Bài toán này tập trung vào việc tối ưu hóa việc vận chuyển hàng hóa từ nơi xuất phát đến nơi tiêu thụ với chi phí thấp nhất, đảm bảo thời gian và chất lượng hàng hóa được vận chuyển tốt
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VÂN TẢI TPHCM
_
BÀI THU HOẠCH
CƠ SỞ LÝ THUYẾT-BÀI TẬP ỨNG DỤNG
BÀI TOÁN VẬN TẢI
Giảng viên hướng dẫn : Ngô Thuận Dù
Nhóm thực hiện : Nhóm 2
Lớp : KT2301B
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 5 năm 2024
Trang 2LỜI MỞ ĐẦU
Bài toán vận tải là một trong những bài toán quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu hoạt động kinh doanh, đặc biệt là trong lĩnh vực logistics và quản lý chuỗi cung ứng Bài toán này tập trung vào việc tối ưu hóa việc vận chuyển hàng hóa từ nơi xuất phát đến nơi tiêu thụ với chi phí thấp nhất, đảm bảo thời gian và chất lượng hàng hóa được vận chuyển tốt nhất
Bài toán vận tải là một dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính, trong đó mục tiêu của bài toán là tối ưu chi phí trong việc phân phối sản phẩm từ một số lượng của các nhà phân phối tới các điểm nhận hàng Bài toán được trình bày lần đầu tiên bởi tácgiả Frank Lauren Hitchcock - một nhà toán học và vật lý vào năm 1941 Hiện nay bài toán này được ứng dụng rất nhiều và rộng trong thực tế, theo một thống kê của các nhà khoa học Mỹ có khoảng 85% các bài toán quy hoạch tuyến tính trong thực tế có dạng bài toán vận tải hoặc mở rộng của bài toán vận tải
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với Thầy Ngô Thuận Dủ bộ môn Toán Kinh Tế của trường đã tạo điều kiện cho chúng em được học tập ở khoa để có nhiều thông tin cần thiết hoàn thiện bài thu hoạch này, và chúng em cũng xin chân thành cám ơn Thầy Ngô Thuận Dủ bộ môn Toán Kinh
Tế đã nhiệt tình hướng dẫn chúng em hoàn thành tốt Bài thu hoạch “Bài toán vận tải” Trong quá trình thực hiện bải thu hoạch này,chúng em vẫn còn nhiều thiếu sót.Chúng em mong được nhận được sự góp ý của thầy để chúng em có thể rút được nhiều kinh nghiệm hơn trong việc làm nhóm cũng như cách hoàn thành một bài thu hoạch được tốt hơn,hoàn thiện hơn Một lần nữa, chúng em xin cảm
ơn thầy Ngô Thuận Dù, chúng em chúc thầy luôn có sức khỏe thật tốt để dìu dắt nhiều thế hệ sinh viên với những kiến thức hay và bổ ích nhất.
Trang 4Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI
1 Các khái niệm
1.1 Bài toán vận tải
a Bài toán
Có m địa điểm A1,A2,…,Am cùng sản xuất một loại hàng với lượng hàng là a1,a2,…,an Có
n điểm B1,B2,…,Bn cùng tiêu thụ loại hàng đó với lượng hàng là b1,b2,…,bn Hàng một đơn
vị hàng được vận chuyển từ Ai đến Bj với cước phí là cij Gọi xij là lượng hàng vận chuyển từ Ai đến Bj Xác định xij , i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n để tổng cước phí vận chuyểnnhỏ nhất ( hàng được vận chuyển cho đến khi hết hàng hoặc nhu cầu)
b Mô hình bài toàn vận tải
vận tải Một phương án vận tải cho tổng chi phí vận tải thấp nhất được gọi là phương
án vận tải tối ưu ( hay nói gọn là phương án tối ưu)
c Dạng bảng của bài toán vận tải
Trang 5xm1 xm2 xmj xmn
1.2 Bài toán cân bằng thu phát
Bài toán vận tải cân bằng thu phát bài toán vận tải có tổng lượng hàng thu bằng tổng lượng hàng phát
Định lí: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu
2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu
Trong mục này ta chỉ xét bài toán vận tải cân bằng thu phát
+ Ta gọi một đường đi là tập hợp các ô của bảng sao cho cứ hai ô liên tiếp thì nằm trêncùng một dòng hay một cột Một dòng đi khép kín được gọi là chu trình
2.1 Giải bài toán theo phương pháp thuật toán thế vị
Bước 1: Chọn ô có chi phí nhỏ nhất để phát hàng (Ưu tiên chọn ô có chi phí nhỏ nhất
ở bên trên và bên trái) để tìm ra phương án ban đầu Sau khi phát hàng ta phải điều chỉnh trạm phát và trạm thu
100
20 0
8
0
5
10*
9
Trang 6- Phương pháp cơ bản sẽ có hai loại
+ Phương án cơ bản suy biến khi: số ô chọn < m + n – 1 ( với m là trạm phát; n
là trạm thu)
+ Phương án cơ bản không suy biến khi: số ô chọn = m + n – 1
- Nếu phương án cơ bản suy biến thì phải chọn thêm ô chọn không có chi phí min
để thành phương án chơ bản không suy biến mà không được tạo thành vòng
Ví dụ: ở Bảng 1
ThuPhát
60 0
60 0
50 30 10
0
80 0
100
20 0
8
0
5
v3
Trang 7Ví dụ khác:
Số ô chọn = 4 < m+ n – 1 = 5
→Phương án cơ bản suy biến
Thêm ô chọn (3;3) (không tạo thành vòng)
→Phương án cơ bản không suy biến và phát
Bước 3: Tính hệ số ước lượng: ∆ij = ui + vj – chi phí; trong đó ui, vj là các thế vị
ui + vj = cij (với mọi (i;j) € f(x0) ) ( luôn cho u1 = 0 )
- Nếu hệ số ước lượng ∆ij ≤ 0 thì kết luận phương án tối ưu của bài tập vận tải có ô cấm
- Nếu hệ số ước lượng ∆ij > 0 thì chưa kết luận được phương án tối ưu của bài tập vận tải có âm cấm => chuyển tiếp Bước 4
Ví dụ: ở Bảng 1
ui
u1 = 0
u2 = -4
Thu
Phát
25 0
25 5 0 10 0
10
0
5
0
3
0
1*
10
30 25
0 7*
25
6*
5
8
0
20 0 3
0
2*
20
2
0
Thu Phát
60 0 60 0 50 30 10
0
80 0
100
20 0
8 -6
0
5 1
0
9*
20
7*
80
80 20
0 4 -6
0
2*
60
5*
20
8 -5
0
70 10 0 3*
60
8 -1
0
10*
10
9 -1
0
Trang 8u3 = 1
Bước 4: Điều chỉnh phương án
- Xác định ô điều chỉnh, với ∆ij = max (∆ij > 0)
- Tìm chu trình điều khiển duy nhất đó là 1 trong 3 vòng ở dưới đây
- Đánh dấu lần lượt các ô trong chu trình bởi dấu (+) và (-)
- Xây dựng phương án mới: X1 = ( Xij1) với
Xij1 = {x ij0
+θ nếu(i ; j)∈ K+ ¿¿x ij0
−θ nếu(i; j)∈ K− ¿ ¿x ij0nếu (i ; j)∈ K
- Rồi quay lại Bước 3
Ví dụ: ở Bảng 1
ui
u1 = 0
u2 = -4
u3 = 1
vj v1 = 2 v2 = 6 v3 = 9 v4 = 7
v1
v2 2
v3
Thu
Phát
60 0
60 0
50 30
10 0
80 0
100
20 0
8 -6
0
5 1
0
9*
20
7*
80
80 20
0 4 -6
0
2*
60
5*
20
8 -5
0
70 10 0 3*
60
8 -1
0
10*
10
9 -1
0
Trang 9
q = 20 f(x) =1240 v1 = 2
v2 = 6 v3 = 9 v4 = 7 Phương án tối ưu X = [ 0 20 0 80 0 40 40 0 60 0 10 0 ] Chi phí X = 1220 2.2 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát ∣ Lập thêm trạm phát(thu) giả Đối với bài toán vận tải không cân bằng thu phát, ta làm như sau: 1 + Nếu tổng thu > Tổng phát thì ta lập thêm trạm phát giả có lượng hàng phát là: Tổng thu – Tổng phát + Nếu Tổng phát > Tổng thu thì ta lập thê trạm thu giả có lượng hàng thu là: Tổng phát – Tổng thu 2 Cước phí vận chuyển tại các ô giả bằng 0 3 Tiến hành giải bài toán với chú ý: ưu tiên thực hiện phân phối tối đa các ô thực có cước phí nhỏ nhất trước rồi mới đến ô giả 4 Khi được phương án tối ưu thì các giá trị ở các ô phát giả hoặc thu giả chính là lượng hàng còn lại sẽ không thu hoặc không phát 5 Phương án tối ưu của bài toán vận tải ban đầu có được từ phương án của bài toán vận tải có trạm phát giả hoặc thu giả bằng cách bỏ đi dòng hoặc cột ứng với các trạm phát giả hoặc thu giả 2.3 Bài toán vận tải có ô cấm Bài toán vận tải có ô cấm là bài toán vận tải mà vì một lý do nào đó có một nơi phát không thể chuyên chở hàng đế nơi nhận hàng nào đó được Để giải quyết vấn đề này chúng ta cho cước phí ở ô cấm đó là M, với M ≈ +∞ Sau đó ta giải bài tập vận tải này bằng phương pháp thuật toán thế vị Cách giải: Bài toán vận tải có ô cấm ta làm như sau: Bước 1: Thay thế phí vận chuyển ở các ô cấm bằng M (với M ≈ +∞ ), ta được bài toán vận tải mở rộng Bước 2: Dùng thuật toán thế vị giải để tìm ra phương án tối ưu của bài tập có ô cấm u1 = 0 u2 = -4 u3 = 1 8 -6
0
5 1
0
9*
20
7*
80
4 -6
0
2*
60
5*
20
8 -5
0
3*
60
8 -1
0
10*
10
9 -1
0
Trang 104 -5 0
5 -3 0
3 1 0
-0
4 -1
0
5 -5 0
1*
+ 50
4 1 0
70 2 2
+ 0
4 1 0
2 60
3 0 0
5 -1 0
2*
- 40
6*
+ 20
Trang 114 -3 0
5 0
3 3 + 0
4 -3 0
5 -5 0
1*
50
4 1
02*
+ 0
4 -1 0
2*
60
3 0 0
7*
- 10
3 -2 0
7 5 0
5 -4 0
2*
40
5 -6 0
3*
10
4 0
0
5 -2 0
1*
- 50
4 1+ 02* 0
10
4 -1 0
2*
60
3 -3
0
3 -1 0
7 2 0
5 -4 0
2*
+ 40
6*
- 20
Trang 12Chương 2: BÀI TOÁN VẬN TẢI ỨNG DỤNG
Dạng 1: Bài toán cân bằng thu phát
4 0
5 0
3 0
4
0
5 -2 0
1*
30
4*
202*
10
4 0
2*
60
3
0
3 0
7 0
5 0
2*
40
Trang 13
1 Giải bài toán vận tải có số liệu được cho trong bảng sau với yêu cầu các trạm thu nhận đủ hàng và các trạm phát phải phát hết hàng Với tổng chi phí vận chuyển là thấp nhất:
Thu
Phát
Ta có: Tổng thu = 10 + 50 + 20 + 80 + 20
= 180
Tổng phát = 30 + 80 + 10 + 60 = 180
→ Đây là bài toán vận tải cân bằng thu phát u1 = 0 u2 = -3 u3 = -4 Thu Phát 10 0 50 0 20 10 0 80 50 30 0 20 0
30 0
3 2
+ 0
4 1
0
6 0
0
8* - 30
9 -3
0
80 70
20 0 2* - -10
2* 50
4 -1
0
5* + 20
5 -2
0
10 0 2 -1
0
2 -1
0
2* 10
3 1
0
2 0
0
60 50 30 0 3 -2
0
3 -2
0
2* 10
4* 30
2* 20
Trang 14u4 = -4
PA: X0 =
Chi phí f(x0) = 30.8 + 10.2 + 50.2 + 20.5 + 10.2 + 30.4 + 20.2
= 660
Số ô chọn = 8 = m + n – 1 = 8 → Phương án cơ bản không suy biến Ô điều chỉnh là ô (2;1), lượng hàng điều chỉnh q=10 và chi phí f(x0) = 660 q = 10 f(X0)=660 V
v1 = 3 v2= 5 v3 = 6 v4 = 8 v5 = 6
u1 = 0 u2 = -3 u3 = -4 u4 = -4 3*
10
4 1
+ 0
6 0
0
8* - 20
9 -3
0
2* - 50
4 -1
0
5* + 20
5 -2
0
2 -3
0
2 -1
0
2* 10
3 1
0
2 0
0
3 -4
0
3 -2
0
2* 10
4* 30
2* 20
Trang 15q = 20
f(X1)=620
V
V
v1 = 3 v2= 4 v3 = 5 v4 = 7 v5 = 5
q = 10 f(X2)=610 v1 = 3 v2= 4 v3 = 5 v4 = 7 v5 = 5
Chi phí f(X3) = 3x10 + 4x20 + 2x30 + 5x40 + 3x10 + 2x20 + 4x20 + 2x20 = 560
u2 = -2 u3 = -3 u1 = 0 u4 = -3 u3 = -4 u4 = -3 u2 = -2 u1 = 0 3*
10
4*
20
6 -1
0
9 -4
0
2* 30
4 -1
0
5* 40
5 -2
0
2 -2
0
2 -1
0
2* - 10
3 1
+ 0
2 0
0
3 -3
0
3 -2
0
2* + 10
4* - 30
2* 20
3*
10
4*
20
6 -1
0
9 -4
0
2* 30
4 -1
0
5* 40
5 -2
0
2 -3
0
2 -2
0
3*
10
2 -1
0
3 -3
0
3 -2
0
2* 10
4* 30
2* 20
Trang 16PATƯ: X=
Với chi phí f(X) = 560
2 Giải bài toán vận tải có số liệu được cho trong bảng sau với yêu cầu các trạm thu nhận đủ hàng và các trạm phát phải phát hết hàng Với tổng chi phí vận chuyển là thấp nhất
Thu
Ta có tổng thu = 70 + 45 + 65 + 40 + 55 = 275
tổng phát = 50 + 90 + 75 + 60 =275
→ Đây là bài toán vận tải cân bằng thu phát
u1
= 0
u2
= 2
Thu
Phát 70 20 0 45 25 0 65 0 40 0 55 30 0
50 0 3*
50
13 -3
0
4 1
0
12 -3
0
7 -1
0
90 25
0
12 -7
0
14 -2
0
7* 65
10 1
0
8* - 25
75 55
25 0
6* 20
13*
25
8 0
0
14 -2
0
9* + 30
60 20
0
12 -9
0
10* +
20
7 -2
0
9* 40
11 -5
0
Trang 1706*
20
8 0 0
14 -3 0
9*
15
11 -4 0
Trang 18Phương án tối ưu: X = [50 0 0 0 0
u2
= 2
4 1
0
12 -3 0
7*
65
10 1 0
14 -2 0
9*
40
11 -5 0
Trang 19556*
50
13*
25
8 -1 0
9*
40
11 -6 0
Trang 20PATƯ: X = [20 0 30 0 0
0 0 35 0 55
50 25 0 0 0
0 20 0 40 0]
Chi phí fmin(x) = 2050
3 Giải bài toán vận tải sau: vườn ông A chuyên cung cấp trái cây cho doanh nghiệp B Với lượng hàng ông A cung cấp và lượng hàng mà doanh nghiệp B nhận được, được thể hiện cụ thể trong bảng số liệu với chi phí cụ thể như sau:
Thu Phát 80 110 95 65 70 1 2 4 5 120 3 1 2 4 65 4 2 6 5 55 3 1 2 3 - Vì tổng trạm phát nhỏ hơn tổng trạm thu nên thêm 1 trạm phát phụ với lượng hàng là 40 ( với chi phí ở trạm phát phụ bằng 0 ) u1=0
Thu Phát 80 10
0 110 0 95 8520 0 65 100 70 0 1*
70 2 -1
0 4 -2 0 5 -3 0
120 0
10
3 -2
0
1* -
110 2* +
10 4 -2
0
65 55
0 4* 10 2
2 +
0 6
-1
0 5* -
55 55
0 3 -2 0 1 0 0 2*
55 3
-1 0
40 10
0
0 -1
0
0 -1
0
0* -
30 0* +
10
Trang 21u3=3
u4=0
u5=-2
v1=1 v2=1 v3=2 v4=2 PA: X0=[70 0 0 0 0 110 10 0 10 0 0 55 0 0 55 0 0 0 30 10]
Chi phí f(X0¿= 1.70 +1.110 +2.10 +4.10 +5.55 +2.55 +0.30 +0.10=625 - Số ô chọn = 8 = m+n-1 = 8 →PACB không suy biến - Ô điều chỉnh là ô (5,3) ; lượng hàng điều chỉnh q=30 với chi phí f(X0¿=625 PA: X1= [70 0 0 0 0 80 40 0 10 30 0 25 0 0 55 0 0 0 0 40]
Chi phí f(X1¿= 1.70 +1.80 +2.40 +4.10 +2.30 +5.25 +2.55 = 565 u1=0 u2=2 u3=3 u4=2 u5=-2 v1=1 v2=-1 v3 =0 v4 =2 q=30 f(X0¿ =625 1*
70
2 -3
0
4 -4
0
5 -3
0
3 0
0 1*- 80 2*+ 40 4 0 0
4* 10
2* + 30
6 -3
0
5* - 25
3 0
0
1 -2
0
2* - 55
3 1
+ 0
0 -1
0 0 -3 0 0* 40