§Ò thi häc sinh giái to¸n 9 Câu 1: ( 6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 2 3 2 x 5 x 2 2 x 5 2 2+ + − + − − − = 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 1 4x 4x 4 x 12x 9+ + + − + Câu 2: ( 3,0 điểm) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì 2 2 3 8 15 n 1 S 4 9 16 n − = + + + + không thể là một số nguyên. Câu 3: ( 3,0 điểm) Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên. Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Câu 5: ( 5,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC. 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB). 1 §¸p ¸n thi Bài Nội dung Điểm Câu 1 (6,0đ) 1) (3,0 điểm) Điều kiện: x ≥ 5 2 Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương trình: 2 2 ( 2x 5 3) ( 2x 5 1) 4− + + − − = ⇔ 2x 5 3 2x 5 1 4− + + − − = ⇔ 1 2x 5 2x 5 1− − = − − Do đó: 1 2x 5 0 x 3− − ≥ ⇔ ≤ Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 5 x 3 2 ≤ ≤ Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 5 x 3 2 ≤ ≤ 2) (3,0 điểm) Ta có: P = 1 2x 3 2x + + − Mà: 1 2x 3 2x+ + − 1 2x 3 2x 4≥ + + − = Nên P ≥ 4 Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x) ≥ 0 ⇔ 1 3 x 2 2 − ≤ ≤ 0,25 1,0 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5x2 1,0 0,5 0,5 Câu 2 (3,0đ) S = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 4 1 n 1 2 3 4 n − − − − + + + + S = 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 3 4 n − + − + − + + − S = n – 1 – ( 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 4 n + + + + ) < n – 1 Vậy: S < n – 1 (1) Ta chứng minh: S > n – 2 Thật vậy: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 4 n + + + + < 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 (n 1).n + + + + − < 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 (n 1) n − + − + − + + − − 0,5 0,5 2 < 1 - 1 n Do đó: S > n – 1 – (1 - 1 n ) = n – 2 + 1 n > n -2 Vậy: S > n – 2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số nguyên dương n ≥ 2. Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên dương liên tiếp. Nên: S không là số nguyên. 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 (3,0đ) Gọi x (km/h) là vận tốc người thứ hai. y (km) là chiều dài quãng đường đua. Điều kiện: x ≥ 3, y > 0 Ta có: x + 15 (km/h) là vận tốc môtô thứ nhất. x – 3 (km/h) là vận tốc môtô người thứ ba. 12 phút = 1 5 giờ 3 phút = 1 20 giờ Theo đề bài ta có hệ phương trình: y y 1 x x 15 5 y y 1 x 3 x 20 − = + − = − Phương pháp giải hệ phương trình trên. Kết quả: x = 75, y = 90 Vậy: vận tốc môtô thứ nhất là: 90 km/h; vận tốc môtô thứ hai là: 75 km/h; vận tốc môtô thứ ba là: 72 km/h. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25x2 0,25x3 Câu 4 (3,0đ) Đặt AC = AB = x, BC = y. Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì có góc nhọn C chung) nên: AH BK AC BC = Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1) Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có: 2 2 2 AC AH HC= + Hay 2 2 2 y x 10 2 = + ÷ (2) 0,5 0,5 0,5 0,5 3 K H A B C C D B A M Từ (1) và (2) ta suy ra: x = 25 2 , y = 15. Vậy: AB = AC = 25 2 cm, BC = 15cm 0,5 0,5 Câu 5 (5,0đ) 1) (2,5 điểm) Lấy điểm D trên cạnh MC sao cho MD = MB Ta có: góc BMD bằng 60 0 . Vậy: tam giác BMD đều. Suy ra: BM = BD (1) Ta có: · · MBA DBC= ( vì cùng bằng 60 0 - · ABD ). (2) AB = BC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: MBA DBC∆ = ∆ . Do đó: DC = MA Vậy: MA + MB = CD + DM = MC 2) (2,5 điểm) Do M thuộc cung nhỏ AB nên theo câu 1) Ta có: P = MA + MB + MC = MC + MC = 2MC P = 2MC ≤ 2. 2R = 4R ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.) Mà: R = a 3 3 Nên P 4a 3 3 ≤ Vậy: P đạt giá trị lớn nhất bằng 4a 3 3 khi đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4 5 . thi häc sinh giái to¸n 9 Câu 1: ( 6,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 2 3 2 x 5 x 2 2 x 5 2 2+ + − + − − − = 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 1 4x 4x 4 x 12x 9+ + + − + Câu 2: ( 3,0. = + − = − Phương pháp giải hệ phương trình trên. Kết quả: x = 75, y = 90 Vậy: vận tốc môtô thứ nhất là: 90 km/h; vận tốc môtô thứ hai là: 75 km/h; vận tốc môtô thứ ba là: 72 km/h. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25x2 0,25x3 Câu. + − + Câu 2: ( 3,0 điểm) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì 2 2 3 8 15 n 1 S 4 9 16 n − = + + + + không thể là một số nguyên. Câu 3: ( 3,0 điểm) Trong một cuộc đua xe môtô,