Đề thi HSG 9 (dự kiến) năm 2009 - 2010

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO DUY TIÊN Đề thi đề xuất KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (4đ). a) Cho phương trình x 2 - x- 1 = 0 có 2 nghiệm là x 1 và x 2 (x 2 < 0). Tính giá trị của biểu thức: 5 2 8 1 1 2 2 1 2 1 24 3 A x x x x = − + − − . b) Giải hệ phương trình: 2 2 3 1 2 x y xy x x y  + − =  = +  Bài 2. (3đ): Tìm số thực a để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: 2 2 11 3 3 6 4 0 4 2 x a x a   − + + + =  ÷   Bài 3. (5đ). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 10 3 5 6 x C x x + = − + + b) Giải phương trình: 32 4 2 3 1 2x x x x − − = − − . Bài 4. (6,5đ). Cho tam giác ABC có AB > AC > BC. Trên các cạnh AB; AC lấy lần lượt 2 điểm M và N sao cho BM = BC = CN. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. AI cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giác AMIC nội tiếp. b) So sánh IE và IF. Bài 5. (1,5đ). Cho Parabol (P) y = x 2 . Tìm tất cả các số thực m ≥ 0 sao cho qua điểm M(0;m) có đúng 2 dây cung của (P) có độ dài bằng 2. - HÕt - PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO DUY TIÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Năm học 2009 – 2010 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) x 2 - x- 1 = 0(1) x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của (1) ; x 2 < 0 nên x 1 > 0. x 1 2 = x 1 +1 ; x 2 2 = x 2 +1 0,25 x 1 4 = (x 1 +1) 2 = x 1 2 +2 x 1 +1= 3 x 1 +2. Tương tự x 2 4 = 3 x 2 +2 0,5 x 1 5 = x 1 (3x 1 +2) = 3x 1 2 + 2x 1 ( ) 2 5 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1.( 1 0)x x x x x x x− + = + + = + = + + > 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 8 2 2 2 2 2 24 3 2 3 2 .( 3 2 0)x x x x x− = − = − − − < 0,5 A = 1 x +1- ( ) 2 1 2 1 1 1 4 3 2 1 3 3 3 3 x x x− − = + + = + =    0,25 b) 2 2 3 1(1) 2 (2) x y xy x x y  + − =  = +  Thay (1) vào (2) được 2x 3 = (x+y)(x 2 +y 2 -xy) = x 3 +y 3 1,25 => x = y 0,25 Nghiệm (1;1) ; (-1;-1) 0,5 Bài 2 Viết pt đã cho là pt bậc 2 đối với a: ( ) 2 2 , 2 11 3 4 6 3 0 4 2 3 11 6 a xa x x x x − + − + = ∆ = − − + 1,0 Pt có nghiệm khi ( ) ( ) ' 2 0 3 2 3 0 3 3 x x x∆ ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ 1,0 Để pt đã cho có nghiệm nguyên thì x { } 1;2;3∈ 0,25 x = 1 tìm được 3 2 4 a ± = 0,25 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM x = 2 tìm được a = 1; a = 2 0,25 x = 3 tìm được 9 4 a = 0,25 Bài 3 a) – x 2 + 5 x +6 = ( x +1)(6- x ) ĐK: -1 < x < 6 0,25 2 5 6 1. 6x x x x− + + = + − Đặt 2 2 1 ( 0); 6 ( 0) 10 3 4x a a x b b x a b+ = > − = > ⇒ + = + 1,0 2 2 2 2 4 2 4 4 a b a b C ab ab + = ≥ = (BĐT Cô si) 0,25 Dấu “=” xảy ra khi 2 2 2 4 5 a b x= ⇔ = 0,25 Kết luận C min = 4 khi x = 2/5 0,25 b) Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của pt đã cho 0, 5 Chia cả 2 vế cho x 0≠ được pt: 3 1 1 3 2x x x x − − = − − 1,0 Đặt 3 1 x t x − = ; ta có pt 3 3 2a a− = − (*) 0,5 Giải pt (*) đươc a = 1 0,5 KL: Nghiệm của pt đã cho là 1 5 2 x ± = 0,5 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 4 Hình vẽ 0,25 a) Chứng minh được · · · 1 2 BMI BCI BCA= = 1,0 Chứng minh được · · BCI ACI = 0,5 => · · BMI ACI = 0, 5 Kết luận: AMIC là tứ giác nội tiếp 0,25 b) Chứng minh được ∆ BIF cân tại F => IF = BF(*) 0,5 (1) BF ME BFC MEN BC MN ∆ ∆ ⇒ = : 0,5 Chứng minh được (2) ME IE MIE MCN MN CN ∆ ∆ ⇒ = : 1,5 Từ (1) và (2) => IE BF CN BC = 0,5 BC= CN nên IE = BF (** ) 0,25 Từ (*) và (**) suy ra IE = IF 0,25 Bài 5 Phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0;m) có dạng : y = ax + m. Pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x 2 – ax – m = 0.(1) Vì m ≥ 0 nên pt (1) luôn có 2 nghiệm x 1 ; x 2 . A(x 1 ; x 1 2 ) ; B(x 2 ;x 2 2 ) là giao của (d) và (P). 0,25 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM Tính được AB 2 = a 4 + (4m +1)a 2 +4m Để AB = 2 thì ta có a 4 + (4m +1)a 2 +4m = 4 (2). Đặt a 2 = t ( t ≥ 0). Ta có pt: t 2 +(4m + 1 ) t + 4(m-1) = 0 (3) 0,25 Để có đúng 2 dây cung của (P) có độ dài bằng 2 thì pt (2) có 2 nghiệm; => pt (3) có đúng 1 nghiệm dương 0,25 Chứng minh được pt(3) có 2 (4 1) 16 0m∆ = − + > với mọi m nên có 2 nghiệm phân biệt t 1 ; t 2 0,25 Để (3) có đúng 1 nghiệm dương thì t 1 t 2 < 0 0,25  4(m-1) < 0 m < 1 Kết luận: 0 1m ≤ < 0,25 . PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO DUY TIÊN Đề thi đề xuất KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 20 09 – 2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (4đ). a) Cho phương trình x 2 - x- 1 = 0 có. cung của (P) có độ dài bằng 2. - HÕt - PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO DUY TIÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Năm học 20 09 – 2010 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) x 2 - x- 1 = 0(1) x 1 ; x 2 là 2 nghiệm. 2 4 a ± = 0,25 BÀI NỘI DUNG ĐIỂM x = 2 tìm được a = 1; a = 2 0,25 x = 3 tìm được 9 4 a = 0,25 Bài 3 a) – x 2 + 5 x +6 = ( x +1)( 6- x ) ĐK: -1 < x < 6 0,25 2 5 6 1. 6x x x x− + + = + − Đặt 2 2 1 (