Bài tập lớn Đại số tuyến tính – mt1007 Đề tài ma trận wigner

Wigner khảosát về hàm phân phối xác suất Ps cho khoảng cách s giữa các mức năng lượng kế cận để xác định tính chất hỗn loạn hay trật tự của hệ.. [Năng lượng kế cận là đỉnh của đồ thị hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – MT1007

Danh sách thành viên

STT Thành viên nhóm MSSV Công việc

1 Đỗ Ngọc Trí Cường 2410424 Các khái niệm liên quan,

2 Huỳnh Dương Bá Vin 2413955 Ví dụ minh họa

3 Lê Quang Tín 2413505 Code Latex + Thuyết trình

4 Phạm Trường Thịnh 2413336 Code Latex

5 Nguyễn Thành Đạt 2410707 Thuyết trình

BTL Đại số tuyến tính L14 - Nhóm 13

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA GIẢNG VIÊN

Lời nói đầu 4

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6 1.1 Nguồn gốc 6

1.2 Giải thích một số khái niệm liên quan 8

1.2.1 Gía trị riêng và Vector trị riêng 8

1.2.2 Trung bình (Giá trị kỳ vọng) (Expectation) 8

1.2.3 Phương sai (Variance) (σ2) và Độ lệch chuẩn (σ ) 9

1.2.4 Phân phối chuẩn (Phân phối Gaussian) 9

1.2.5 Ma trận tương quan 10

1.2.6 Chuẩn hóa dữ liệu 10

1.3 Khái niệm về Ma trận Wigner 10

1.4 Tính chất của ma trận Wigner 11

1.5 Công thức của Ma trận Wigner 12

1.6 Các phép toán liên quan đến Ma trận Wigner 13

1.7 Ứng dụng của Ma trận Wigner 13

2 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN WIGNER 14 2.1 Ứng dụng trong lĩnh vực vật lý hạt nhân 14

2.1.1 Giới thiệu 14

2.1.2 Thuật toán 14

2.1.3 Kết quả 15

2.2 Ứng dụng trong lĩnh vực tài chính 15

2.2.1 Giới thiệu 15

2.2.2 Ví dụ 15

BTL Đại số tuyến tính L14 - Nhóm 13

2.2.3 Nêu các bước giải quyết bài toán 15

2.2.4 Kết quả 16

2.3 Ứng dụng trong lĩnh vực y tế 16

2.3.1 Giới thiệu 16

2.3.2 Ví dụ 16

2.3.3 Nêu rõ các bước giải 16

2.3.4 Kết quả 17

3 MATLAB 18 3.1 Giới thiệu về MATLAB 18

3.2 Các lệnh được sử dụng 19

3.3 Ứng dụng thực tế: 19

3.4 Code 20

3.5 Giải thích code 21

4 TỔNG KẾT 24 4.1 Kết luận 24

4.2 Lời cảm ơn 24

4.3 Tài liệu tham khảo 25

Lời nói đầu

Trong toán học và vật lý hiện đại, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên đã nổi lên như một công

cụ mạnh mẽ để mô tả và phân tích các hệ thống phức tạp, đặc biệt là những hệ thốngchịu ảnh hưởng của ngẫu nhiên và hỗn loạn Trong bối cảnh đó, ma trận Wigner, đượcphát triển bởi nhà vật lý Eugene Wigner, đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóaphân bố mức năng lượng trong các hệ thống hạt nhân nguyên tử Sự đối xứng và tínhngẫu nhiên của ma trận Wigner không chỉ mang lại giá trị trong vật lý, mà còn có nhữngứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như lý thuyết hỗn loạn, học máy, tài chính, và khoahọc dữ liệu

Báo cáo này nhằm cung cấp cái nhìn tổng quan và chi tiết về ma trận Wigner, từ kháiniệm cơ bản, các tính chất toán học đặc trưng, cho đến các phương pháp tính toán và ứngdụng thực tế Qua đó, người đọc sẽ có được sự hiểu biết sâu sắc hơn về cách các công cụtoán học được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống thực tế, cũng như tầm quan trọngcủa ma trận Wigner trong việc liên kết giữa toán học thuần túy và khoa học ứng dụng.Chúng em hi vọng rằng, báo cáo không chỉ là một tài liệu khoa học mà còn là một nguồntham khảo hữu ích, tạo điều kiện để người đọc tiếp cận và khám phá sâu hơn về lĩnh vực

lý thuyết ma trận ngẫu nhiên nói chung và ma trận Wigner nói riêng

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Nguồn gốc

Ý tưởng đầu tiên của Wigner là nghiên cứu vật lý lượng tử về hạt nhân nặng Ông

khảo sát về phổ năng lượng của các hạt nhân nặng như thorium, uranium Wigner khảosát về hàm phân phối xác suất P(s) cho khoảng cách s giữa các mức năng lượng kế cận

để xác định tính chất hỗn loạn hay trật tự của hệ

[Năng lượng kế cận là đỉnh của đồ thị hàm P(s), điểm có xác suất cao nhất cho khoảngcách s giữa các mức năng lượng.]

Hình 1.1: Đồ thị Tốc độ khuếch tán theo Năng lượng của hạt nhân

Dựa trên biến số khoảng cách s giữa các mức năng lượng lân cận, nếu năng lượng lànhững số ngẫu nhiên và không tương quan thì xác suất để xuất hiện khoảng cách s tuântheo phân phối Poisson

P(s) = e−sNgược lại, trong các hệ hỗn loạn, các mức năng lượng không phải là các số ngẫu nhiên

độc lập mà có sự tương tác và "đẩy lùi" nhau Điều này dẫn đến sự phân bố khoảng cách

khác với Poisson, được mô tả bởi phỏng đoán Wigner (Wigner surmise):

P(s) = Cβsβe−aβ s2

Trong đó:

• P(s): Hàm mật độ xác suất của khoảng cách s dùng để cho biết xác suất xuất hiệnmột khoảng cách cụ thể s giữa các giá trị riêng

• β : Tham số đặc trưng cho loại hệ thống ngẫu nhiên:

– β = 1: Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) – Ma trận đối xứng thực.

– β = 2: Gaussian Unitary Ensemble (GUE) – Ma trận Hermitian phức.

• Cβ: Hằng số chuẩn hóa để đảm bảo tổng xác suất tích lũy bằng 1

• aβ: Hằng số khác, quy định tốc độ suy giảm của hàm phân bố xác suất

Z ∞ 0

ds P(s) =

Z ∞ 0

ds s P(s) = 1

Hình 1.2: Đồ thị Tốc độ khuếch tán theo Năng lượng của hạt nhân

Phỏng đoán Wigner có sai số rất tốt về giới hạn kích thước lớn của mật độ xác suất chokhoảng cách giữa các giá trị riêng liên tiếp của ma trận ngẫu nhiên Trên thực tế, mật độnày mang tính phổ quát, đến mức nó không phụ thuộc vào độ chính xác phép đo các ma

BTL Đại số tuyến tính L14 - Nhóm 13

trận ngẫu nhiên, nhưng chỉ dựa trên việc lựa chọn một tập hợp ma trận, với ma trận thực,

ma trận phức và ma trận bậc bốn lần lượt dẫn đến β = 1, 2, 4 Điều này cho thấy nhữngngười Hamilton phức tạp có thể được mô hình hóa chính xác bằng phương pháp ngẫunhiên ma trận

1.2 Giải thích một số khái niệm liên quan

1.2.1 Gía trị riêng và Vector trị riêng

Giá trị riêng và vector riêng là các khái niệm quan trọng liên quan đến ma trận Wigner.Giá trị riêng biểu diễn

Giá trị riêng: Giá trị riêng của ma trận Wigner W là các số λ thỏa mãn phương trình:

det(W − λ I) = 0

Vector riêng: Vector riêng của ma trận Wigner W là các vector không phải là vectorkhông (v ̸= 0), thỏa mãn phương trình:

W v= λ vTrong đó v là một vector riêng tương ứng với giá trị riêng λ

1.2.2 Trung bình (Giá trị kỳ vọng) (Expectation)

Giá trị trung bình (hay kỳ vọng toán học) là một khái niệm trong lý thuyết xác suất vàthống kê, dùng để đo “giá trị trung bình” mà bạn mong đợi từ một phép thử

Giá trị kỳ vọng được tính bằng cách nhận xác suất của từng kết quả với giá trị

tương ứng của nó, rồi cộng tất cả lại:

E(X ) = P1· X1+ P2· X2+ · · · + Pn· Xn

Trong đó:

• E(X): Gía trị kỳ vọng

• Pi: Xác suất xảy ra của kết quả thứ i

• Xi: Gía trị của kết quả thứ i

Ví dụ: Trong một trò chơi tung đồng xu có mặt sấp và mặt ngửa, nếu ra mặt ngửa thì

được 10 điểm, ra mặt sấp được 0 điểm thì giá trị trung bình là

E = 0.5 · 10 + 0.5 · 0 = 5Với 0.5 là xác suất xảy ra mặt sấp, 0.5 là xác suất xảy ra mặt ngửa

1.2.3 Phương sai (Variance) (σ2) và Độ lệch chuẩn (σ )

Phương sai và độ lệch chuẩn là khái niệm trong thống kê dùng để đo lường mức độphân tán của dữ liệu, tức là xem dữ liệu có “lan ra” hay “gần sát” so với giá trị trung bìnhhay không

Phương sai đo mức độ phân tán so với giá trị trung bình, có công thức:

Var(X ) = ∑(xi− ¯x)2

nTrong đó:

• xi: Các giá trị trong tập dữ liệu

• ¯x: Giá trị trung bình của tập dữ liệu

1.2.4 Phân phối chuẩn (Phân phối Gaussian)

Phân phối chuẩn là một dạng phân bố dữ liệu mà phần lớn các giá trị tập trung gầngiá trị trung bình, các giá trị nằm càng xa trung bình thì càng ít xảy ra

BTL Đại số tuyến tính L14 - Nhóm 13

Đặc điểm chính của phân phối chuẩn:

• Đối xứng: Đồ thị cân đối qua trục tại giá trị trung bình ( ¯x)

• Đỉnh cao nhất: Tại trung bình ( ¯x), đây là giá trị có xác suất cao nhất

• Độ lệch chuẩn (σ ): Đo độ lan tỏa của dữ liệu Phân phối chuẩn cho biết tỷ lệ phần

trăm dữ liệu nằm trong khoảng:

1.2.6 Chuẩn hóa dữ liệu

Dữ liệu từ các nguồn khác nhau có thể có phạm vi giá trị khác nhau Chuẩn hóa giúpđưa các giá trị này về cùng một thang đo, làm cho việc so sánh và phân tích dễ dàng hơn

1.3 Khái niệm về Ma trận Wigner

Ma trận Wigner là một loại ma trận ngẫu nhiên do nhà vật lý Eugene Wigner giới

thiệu trong thập niên 1950 nhằm nghiên cứu các mức năng lượng của các hạt nhânnguyên tử phức tạp Wigner giả định rằng các ma trận ngẫu nhiên có thể mô hình hóa

các hệ vật lý hỗn loạn, đặc biệt là trong các hệ phức tạp như các hạt nhân nặng (ví dụ,uranium và thorium) Ma trận Wigner trở thành một công cụ quan trọng trong lý thuyết

ma trận ngẫu nhiên (Random matrix theory), được ứng dụng rộng rãi trong vật lý lượng

tử, thống kê, và nhiều lĩnh vực khác

Ma trận Wigner ngày nay được chia thành nhiều dạng khác nhau Trong đó dạng phổ

biến nhất và làm nền tảng cho các dạng ma trận Wigner khác đó là Ma trận Wigner

ngẫu nhiên (Random wigner matrix).

Ma trận Wigner ngẫu nhiên là một loại ma trận đặc biệt trong lý thuyết ma trận

ngẫu nhiên Nó được sử dụng rộng rãi để mô hình hóa các hệ thống phức tạp, chẳng hạnnhư các mức năng lượng của hạt nhân nguyên tử, và có nhiều ứng dụng trong các lĩnhvực vật lý, toán học và tài chính

Ma trận Wigner ngẫu nhiên là một ma trận đối xứng thực (hoặc ma trận Hermitian

với các phần tử có thể là số phức).

Các phần tử được lấy từ các phân phối xác suất cụ thể Mỗi phần tử trên đường chéo

chính và các phần tử ngoài đường chéo chính có thể được lấy ngẫu nhiên từ một phân

phối chuẩn hoặc các phân phối khác.

1.4 Tính chất của ma trận Wigner

Ma trận Wigner có một số tính chất nổi bật:

1 Đối xứng: Ma trận Wigner thường là ma trận đối xứng thực, tức là W = WT

2 Phần tử ngẫu nhiên: Các phần tử của ma trận là các số ngẫu nhiên, với các phần tửtrên đường chéo có thể được lấy từ một phân phối khác với các phần tử ngoài đườngchéo

Các phần tử ngoài đường chéo là các số ngẫu nhiên độc lập, cũng lấy từ một phânphối xác định (thường là Gaussian), và chúng phải đối xứng qua đường chéo Điềunày có nghĩa là giá trị của một phần tử không ảnh hưởng đến giá trị của các phần tửkhác

3 Phân bố riêng phần tử (Độc lập thống kê): Các phần tử trên đường chéo thường cógiá trị ngẫu nhiên lấy từ phân phối Gaussian

4 Giá trị riêng: Các giá trị riêng của ma trận Wigner có xu hướng tuân theo một phân

BTL Đại số tuyến tính L14 - Nhóm 13

bố xác suất nhất định, được gọi là luật bán nguyệt Wigner (Wigner semicircle law).Luật bán nguyệt Wigner mô tả phân bố của các giá trị riêng khi kích thước của matrận tiến đến vô cùng Theo luật này, các giá trị riêng của ma trận đối xứng ngẫunhiên có xu hướng phân bố theo dạng bán nguyệt:

p(λ ) = 1

2πσ2

p4σ2− λ2

với λ là giá trị riêng và σ là độ lệch chuẩn của các phần tử ngẫu nhiên.

1.5 Công thức của Ma trận Wigner

Một ma trận Wigner ngẫu nhiên thực kích thước N x N có dạng như sau:

• xi j = xji (phần tử ngoài đường chéo) là các biến ngẫu nhiên độc lập khác, cũng có

kỳ vọng 0 nhưng có phương sai khác với các phần tử trên đường chéo.

Ngoài ra còn ma trận Wigner ngẫu nhiên Hermitian (Hermitian Random Wigner Matrix)kích thước n x n có dạng tổng quát như sau:

• Các phần tử trên đường chéo chính xii là số thực

• Các phần tử ngoài đường chéo chính có dạng: xi j± iyi j (với i ̸= j) là các số phức,với xi j và yi j là các số thực

• Các số thực x, y đều được lấy ngẫu nhiên từ phân phối xác suất thường là phân

phối chuẩn.

1.6 Các phép toán liên quan đến Ma trận Wigner

Một số phép toán phổ biến liên quan đến ma trận Wigner bao gồm:

1 Tính giá trị riêng: Đây là một phép toán quan trọng để xác định phân bố giá trị

riêng, giúp đánh giá tính chất hỗn loạn của hệ

2 Sử dụng Phỏng đoán Wigner: Phân tích phân bố của khoảng cách s giữa các giá

trị riêng kế cận, thường tuân theo phỏng đoán Wigner: P(s) = Cβsβe−aβ s2

• Vật lý hạt nhân: Dự đoán mức năng lượng của các hạt nhân nặng

• Lý thuyết trường lượng tử và động lực học hỗn loạn: Phân tích phổ năng lượng củacác hệ hỗn loạn

• Thống kê: Phân tích dữ liệu khi có sự phân bố ngẫu nhiên trong các mẫu số lớn

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN WIGNER

Ma trận Wigner được ứng dụng trong: vật lý hạt nhân, công nghệ thông tin, lý thuyết

ma trận ngẫu nhiên và lý thuyết hỗn loạn, tài chính, xử lý tín hiệu và thống kê

Bước 1: Tạo ma trận Wigner ngẫu nhiên

Ma trận Wigner Hermitian ngẫu nhiên được tạo bằng cách thêm các phần tử ngẫunhiên từ phân phối chuẩn phức và làm Hermitian

Bước 2: Tính toán giá trị riêng và phân tích khoảng cách

Tính toán các giá trị riêng của ma trận Wigner Hermitian

Các giá trị riêng đại diện cho mức năng lượng kề cận của hạt nhân được khảo sát.Tính khoảng cách giữa các giá trị riêng(khoảng cách giữa các mức năng lượng kề cận)

và chuẩn hóa chúng

Bước 3: Tạo histogram thực nghiệm và đường lý thuyết phỏng đoán Wigner

Tạo histogram thực nghiệm của các khoảng cách và chuẩn hóa theo mật độ xác suất

Vẽ đường lý thuyết phỏng đoán Wigner

Bước 4: Đối chiếu kết quả giữa phỏng đoán và thực nghiệm

2.1.3 Kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc sử dụng ma trận Wigner ngẫu nhiên giúp môphỏng chính xác phân bố xác suất của các khoảng cách giữa các mức năng lượng kề cậncủa hạt nhân

2.2 Ứng dụng trong lĩnh vực tài chính

2.2.1 Giới thiệu

Trong lĩnh vực tài chính người ta có thể sử dụng ma trận Wigner để dự đoán ổn địnhtài chính của một hệ thống ngân hàng, quản lý rủi ro doanh mục đầu tư, phân tích hiệusuất các danh mục đầu tư

2.2.2 Ví dụ

Sử dụng ma trận Wigner để dự đoán ổn định tài chính của một hệ thống ngân hàng

2.2.3 Nêu các bước giải quyết bài toán

Bước 1: Thu thập và dữ liệu

Thu thập dữ liệu tài chính từ các ngân hàng trong hệ thống, bao gồm giá trị tài sản,

nợ, danh mục đầu tư và các khoản vay liên ngân hàng, xác định mức độ biến động tàisản của từng ngân hàng dựa trên dữ liệu lịch sử

Bước 2: Xây dựng ma trận tương quan của hệ thống ngân hàng

Ma trận tương quan được xây dựng dựa trên các dữ liệu của hệ thống ngân hàng Matrận tương quan này là ma trận đối xứng vì mức độ tương quan của ngân hàng X và ngânhàng Y giống mức độ tương quan của ngân hàng Y với ngân hàng X

Bước 3: Xây dựng ma trận Wigner ngẫu nhiên

Ma trận ngẫu nhiên được tạo ra bằng cách bổ sung các yếu tố ngẫu nhiên vào cấu trúctương quan của hệ thống để phản ánh tính không chắc chắn và các rủi ro có thể xảy ratrong hệ thống

Bước 4: Tính toán và phân tích các giá trị riêng của ma trận

Tính các giá trị riêng của ma trận Wigner để có phố các giá trị riêng từ đó các giá trịnằm ngoài phổ Wigner có thể biểu thị các yếu tố rủi ro hoặc bất ổn

Bước 5: Dự đoán

2.3.2 Ví dụ

Làm rõ hình ảnh cộng hưởng từ(MRI) để phát hiện khối u trong não

2.3.3 Nêu rõ các bước giải

Bước 1: Thu thập và xử lí hình ảnh MRI

Thu thập ảnh từ bệnh nhân, chuyển ảnh MRI thành ma trận dữ liệu

Bước 2: Xây dựng ma trận tương quan từ dữ liệu ảnh

Chia ảnh MRI thành các đoạn nhỏ để xây dựng ma trận tương quan Ma trận này giúpxác định các cấu trúc và đặc điểm quan trọng trong hình ảnh

Bước 3: Xây dựng ma trận Wigner ngẫu nhiên

Ma trận ngẫu nhiên được tạo bằng cách phải có cùng kích thước với ma trận tươngquan để có thể so sánh giá trị riêng của 2 ma trận

Bước 4: Phân tích và xác định khối u trong ảnh MRI

Phân đoạn hình ảnh để xác định, đo lường kích thước, hình dạng khối u và xác định

rõ vị trí dựa trên tọa độ bất thường trên ảnh

Bước 5: Đánh giá và đưa ra chẩn đoán

Tổng hợp lại thông tin từ hình ảnh đã xử lý và các kết quả phân tích để xác định đặcđiểm khối u từ đó đánh giá và đưa ra chẩn đoán

Chương 3

MATLAB

3.1 Giới thiệu về MATLAB

MATLAB là ngôn ngữ bậc cao, tích hợp khả năng tính toán, hình ảnh hóa, lập trìnhtrong một môi trường dễ sử dụng, ở đó vấn đề và giải pháp được trình bày trong cùngmột lời chú thích toán học Thường MATLAB được sử dụng cho:

• Toán và điện toán

• Phát triển thuật toán

• Dựng mô hình, giả lập, tạo nguyên mẫu

• Phân tích, khám phá hình ảnh hóa dữ liệu

• Đồ họa khoa học và kĩ thuật

Qua nhiều năm, MATLAB đã phát triển và phục vụ nhiều người dùng Trong môi trườngđào tạo, nó là công cụ hướng dẫn chuẩn mực cho cả các khóa học dẫn nhập và chuyênsâu trong toán học, kỹ thuật và khoa học Trong ngành, MATLAB cũng là công cụ đượcnhiều nghiên cứu, phân tích, phát triển lựa chọn