MÖC LÖC1.1 ành ngh¾a khæng gian metric.. Ch÷ìng 1Mët sè ki¸n thùc cì b£n Trong ch÷ìng n y chóng tæi s³ tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì b£ncõa khæng gian metric: ành ngh¾a khæng gian metric,
ành nghắa khổng gian metric
ành nghắa
ành nghắa 1.1.1 GiÊ sỷ X l mởt têp khĂc rộng H m sốd : XìX →
R ữủc gồi l mởt metric hay mởt khoÊng cĂch trản X náu cĂc tẵnh chĐt sau ữủc thoÊ mÂn:
M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) vợi mồi x, y, z ∈ X (BĐt ¯ng thực tam gi¡c )
Không gian metric là một tập hợp các điểm được gọi là X, cùng với một hàm số d xác định khoảng cách giữa hai điểm Khi nói đến không gian metric X, chúng ta thường sử dụng ký hiệu (X, d) để biểu thị Mỗi phần tử trong X được gọi là một điểm, và số d(x, y) đại diện cho khoảng cách metric giữa hai điểm x và y trong không gian đó.
Nhên x²t 1.1.2 Tứ cĂc tẵnh chĐt trản dạ d ng suy ra vợi 4 iºm x, y, z, t∈ X ta câ
Vẵ dử
Vẵ dử 1.1.3 Cho X l mởt têp khĂc rộng bĐt kẳ H m số d xĂc ành trản X ìX ữủc cho bði: d(x, y)
1 náu x 6= y l mởt metric trản X, metric n y gồi l metric rới rÔc trản X Khổng gian metric (X, d) gồi l khổng gian rới rÔc.
Vẵ dử 1.1.4 H m số d(x, y) = |x−y| l mởt metric trản têp số thỹc R, v gồi l metric thổng thữớng trản R Têp số thỹc cũng vợi metric thổng thữớng gồi l ữớng th¯ng thỹc.
Vẵ dử 1.1.5 GiÊ sỷ R k l khổng gian vectỡ thỹc k chiãu Vợi mội hai phƯn tỷ x = (x 1 , x 2 ,ã ã ã , x n ), y = (y 1 , y 2 ,ã ã ã , y n ) cừa R k , ta ành nghắa d 1 (x, y) k
1≤i≤k|x i −yi| Khi õ d 1 , d 2 , d ∞ l nhỳng metric trản R k
Metric d 2 ð trản gồi l metric Euclid trản R k ; vợi metric n y R k gồi l khổng gian Euclid k chiãu
Vẵ dử 1.1.6 Kẵ hiằu C[a, b] = {x : [a, b] → R : x liản tửc} X²t h m sè d :C[a, b]×C[a, b] → R cho bði d(x, y) = sup t∈[a,b]
Với không gian metric (X, d), một tập con M được gọi là một không gian metric nếu có một metric dM được định nghĩa trên M Metric dM được sinh ra từ metric d trên không gian X, và không gian metric (M, dM) được xem là không gian con của không gian metric (X, d).
Sỹ hởi tử trong khổng gian metric
Trong không gian metric (X, d), một dãy {x_n} hội tụ đến điểm x ∈ X nếu giới hạn khi n tiến đến vô cùng của d(x_n, x) bằng 0 Điều này có nghĩa là với mọi số dương ε > 0, tồn tại một số tự nhiên n sao cho d(x_n, x) < ε với mọi n ≥ n.
Khi x ∈ X, ta có giới hạn của dãy {x_n} và viết lim x_n = x hoặc x_n → x (n → ∞) Một dãy hội tụ là dãy có giới hạn nàu, trong khi một dãy không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Mằnh ã 1.2.2 Trong khổng gian metric giợi hÔn cừa mội dÂy hởi tử l duy nh§t.
Chựng minh GiÊ sỷ dÂy {x n } trong khổng gian metric (X, d) hởi tử án hai iºm phƠn biằt x, y Ta cõ
Mằnh ã 1.2.3 Trong khổng gian metric (X, d), náu xn → x v yn → y khi n → ∞, thẳ d(x n , y n ) →d(x, y) khi n → ∞
Chựng minh XuĐt phĂt tứ bĐt ¯ng thực
0 ≤ |d(x n , yn)−d(x, y)| ≤d(xn, x) +d(yn, y)Cho n → ∞ suy ra iãu phÊi chựng minh
Vẵ dử 1.2.4 Sỹ hởi tử trản ữớng th¯ng thỹc R l sỹ hởi tử cừa dÂy số theo nghắa thổng thữớng.
Vẵ dử 1.2.5 Trong khổng gian metric Euclid R k , sỹ hởi tử cừa dÂy x (n) = (x n 1 , x n 2 ,ã ã ã , x n k ) án iºm x = (x 1 , x 2 ,ã ã ã , x k ) cõ nghắa l d2(x n , x) v u u t k
(x n i −xi) 2 →0 iãu n y tữỡng ữỡng vợi x n i → x i (i = 1,2,ã ã ã , k) Vêy sỹ hởi tử trong khổng gian Euclid R k l sỹ hởi tử theo toÔ ở.
Cho f: X → Y là một ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) Định nghĩa 1.3.1: Một ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x₀ ∈ X nếu với mọi số > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thoả mãn d(x, x₀) < δ, ta có ρ(f(x), f(x₀)) < ε.
Bờ ã 1.3.2 nh xÔ f liản tửc tÔi iºm x 0 khi v ch¿ khi vợi mồi dÂy {x n } ∈ X, x n → x 0 k²o theo f(x n ) →f(x 0 ).
Chúng tôi chứng minh rằng hàm f liên tục tại điểm x₀, với {xₙ} ⊂ X và xₙ → x₀ Theo định nghĩa, ta có f(xₙ) tiến tới f(x₀) Đối với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, nếu d(x, x₀) < δ thì |f(x) - f(x₀)| < ε.
< M°t khĂc, dox n → x 0 nản tỗn tÔin 0 ∈ N sao cho d(xn, x0) < δ vợi mồi n ≥ n0 Tứ õ d f(x), f(x0)
(⇐) GiÊ sỷ mồi dÂy {x n } ⊂ X, x n → x 0 ãu k²o theo f(x n ) → f(x 0 ). ta phÊi chựng minh f liản tửc tÔi x0.
PhÊn chựng: GiÊ sỷ f khổng liản tửc tÔi x 0 Khi õ tỗn tÔi số 0 > 0 º vợi mồi δ > 0, tỗn tÔi x δ ∈ X sao cho d f(x), f(x 0 )
≥ 0 Do õ, Vợi mộin ∈ N ∗ , tỗn tÔix n ∈ X º d(x n , x 0 ) 0 sao cho khoảng cách giữa các phần tử d(x_m, x_n) nhỏ hơn một giá trị nhất định, với m ≥ n Nếu dãy này là dãy Cauchy trong không gian X, thì không gian đó được gọi là không gian hoàn chỉnh.
Trong không gian metric, ta biết rằng mồi dây số thực là dây Cauchy Hơn nữa, trong không gian Euclid R^k, sỹ hởi tử được định nghĩa dựa trên các tính chất của không gian này Điều này dẫn đến việc suy ra rằng R^k là một không gian Euclid.
Vẵ dử 1.4.4 Khổng gian C[a, b] vợi metric sup l Ưy.
Chựng minh Thêt vêy, giÊ sỷ {x n } l dÂy Cauchy trong C[a, b] Khi õ, vợi mồi > 0, tỗn tÔi số tỹ nhiản n sao cho d(x m , x n ) = sup t∈[a,b]
Tứ Ơy suy ra rằng, với mọi t ∈ [a, b], dãy {x_n(t)} là một dãy Cauchy trong R, vì nó hội tụ đến một số thực x(t) nào đó Do đó, trong bậc thực (1.1), khi m tiến tới vô cùng, ta nhận được kết quả mong muốn.
|x(t)−x n (t)| ≤ ,∀n ≥n ,∀t ∈ [a, b] (1.2) iãu n y chựng tọ dÂy h m liản tửc {x n } hởi tử ãu án h m x trản
[a, b] Do õ x cụng liản tửc trản oÔn [a, b] Hỡn nỳa, tứ (1.2) ta cụng nhên ữủc d(x, x n ) ≤ ,∀n≥ n
Do õ {x n } hởi tử án x trong C[a, b].
Vẵ dử 1.4.5 Cho (X, d) l mởt khổng gian metric Ưy, A l têp con õng trong X Khi õ khổng gian metric (A, d A ) l khổng gian metric Ưy, vợi d A l metric cÊm sinh bði metric d.
Khổng gian metric compact
Cho (X, d) l mởt khổng gian metric v A l mởt têp con cừa X ành nghắa 1.5.1 Têp con A gồi l compact náu mồi dÂy {x n } trong
A ãu chựa mởt dÂy con x n k hởi tử án mởt iºm x ∈ A.
Náu têp X l têp compact thẳ ta nõi X l khổng gian compact.
Mằnh ã 1.5.2 Mởt têp compact thẳ õng Mởt têp con õng cừa mởt têp compact thẳ compact.
Chứng minh rằng A là một tập hợp compact Cho {x_n} là một dãy trong A, với x_n → x ∈ X Vì A là compact, dãy {x_n} có chứa một dãy con {x_{n_k}} sao cho x_{n_k} → y ∈ A Những dãy con {x_{n_k}} cũng hội tụ về x, tức là x = y ∈ A Do đó, A là compact.
Bộ không gian B là một tập con của không gian compact A Dãy {x_n} trong B hội tụ đến x ∈ A Do B là tập con của A và x ∈ B, nên B là tập compact.
Trong không gian metric, một tập hợp được gọi là compact nếu nó thỏa mãn điều kiện Hausdorff, tức là mọi dãy hội tụ đều có giới hạn nằm trong tập hợp đó Đặc biệt, trong không gian R, đoạn [a, b] là một tập compact Một tập con trong không gian metric được coi là compact khi nó thỏa mãn điều kiện này, nghĩa là mọi dãy trong tập con đều có một dãy con hội tụ trong tập con đó.
Mằnh ã 1.5.6 Trong khổng gian Euclid hỳu hÔn chiãu R k , mởt têp con l compact khi v ch¿ khi nâ âng v bà ch°n.
Khổng gian siảu metric
ành nghắa 1.6.1 Cho X l mởt têp khĂc rộng H m số ρ : XìX → R gồi l mởt siảu metric trản X náu cĂc tẵnh chĐt sau thoÊ mÂn:
Têp hủp X cũng vợi siảu metric ρ trản nõ gồi l mởt khổng gian siảu metric, kẵ hiằu (X, ρ) Mội phƯn tỷ thuởc (X, ρ) ữủc gồi l mởt iºm.
Với tập số thực R và E là tập hợp các dãy vô hạn x = {x_n} (n≥1) là những phần tử của X, ta có thể xác định k(x, y) là số nguyên dương sao cho x_n khác y_n với mọi cặp phân tỷ khác nhau x = {x_n} (n≥1) và y = {y_n} (n≥1) thuộc tập hợp E.
Khi õ ρ l mởt siảu metric trong E
Theo ành nghắa cừa ρ thẳ ρ(x, y) = 0 ⇔x = y
Cụng tứ ành nghắa cừa ρ dạ d ng suy ra ρ(x, y) =ρ(y, x).∀x, y ∈ X
Ta chựng minh ρ thoÊ mÂn tẵnh chĐt S 3 , tực l ρ(x, z) ≤max{ρ(x, y), ρ(y, z)},∀x, y, z ∈ X (1.4)
- Náu x = y ho°c y = z ho°c x = z thẳ (1.4) úng
- Náu x 6= y, y 6= z, x 6= z °t k ∗ = min{k(x, y), k(y, z)} Theo ành nghắa cừa k(x, y) ta cõ xn = yn,∀n < k ∗
Mằm ã 1.6.3 trình bày về khái niệm không gian metric Chứng minh rằng từ định lý S3, ta có thể suy ra rằng ρ(x, z) ≤ max{ρ(x, y), ρ(y, z)} ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) cho mọi x, y, z thuộc X Kết hợp với hai định lý S1 và S2, ta xác định rằng ρ là một metric trên không gian X Do đó, (X, ρ) cũng là một không gian metric.
Nhên x²t 1.6.4 iãu ngữủc lÔi cừa mằnh ã 1.6.3 khổng úng, tực l náu (X, d) l khổng gian metric thẳ cõ thº nõ khổng l khổng gian siảu metric.
Ch¯ng hÔn: Trản X = R, ta °t d(x, y) = |x−y|,∀x, y ∈ R Khi õ d l mởt metric trản X Tuy nhiản d khổng phÊi l mởt siảu metric trản X. Thêt vêy, náu ta chồn x = 1, y = 2, z = 3 thẳ d(x, z) = 2, d(x, y) = 1, d(y, z) = 1 Do õ d(x, z) > max{d(x, y), d(y, z)}
Nhữ vêy tiản ã S 3 khổng ữủc thoÊ mÂn Do õ d khổng phÊi l siảu metric trản X.
Mởt số ành lẵ iºm bĐt ởng trong khổng gian metric Ưy
Trong nghiên cứu này, chúng tôi trình bày các bài báo liên quan đến không gian metric và lợp Ănh xÔ Lipschitz Đặc biệt, chúng tôi phân tích các hàm số có tính chất đặc biệt Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng một số bài toán liên quan đến không gian siêu metric.
iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ co
Trong không gian metric \(X\), định nghĩa một ánh xạ \(f: X \to X\) là một ánh xạ co nếu tồn tại một hằng số \(k\) với \(0 \leq k < 1\) sao cho khoảng cách giữa hai điểm \(f(x)\) và \(f(y)\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(k\) nhân với khoảng cách giữa \(x\) và \(y\).
≤kd(x, y)vợi mồi x, y ∈ X Nhên x²t 2.1.3 nh xÔ co l Ănh xÔ liản tửc
Thêt vêy, lĐy iºm bĐt kẳ x 0 ∈ X Vợi mội > 0, chồn δ k + 1. Khi õ, vợi mồi x ∈ X thoÊ mÂn d(x, x 0 ) < δ ta dãu cõ d f(x), f(x 0 )
Trong không gian metric, một ánh xạ co Banach là một phép biến đổi đặc biệt, trong đó tồn tại một điểm cố định duy nhất Điều này có nghĩa là với mọi điểm trong không gian, ánh xạ sẽ đưa nó về một điểm khác, và cuối cùng sẽ hội tụ về một điểm duy nhất Tính chất này rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và ứng dụng thực tiễn.
Chựng minh GiÊ sỷ (X, d) l mởt khổng gian metric Ưy v f : X → X l ¡nh x¤ tho£ m¢n d f(x), f(y)
LĐy iºm bĐt kẳ x0 ∈ X XƠy dỹng dÂy {x n } xĂc ành bði x n = f(x n−1 ), n ≥1 (2.2)
Sỷ dửng iãu n y liản tiáp ta nhên ữủc d(xn, xn+1) ≤ kd(x n−1 , xn) ≤k 2 d(x n−2 , x n−1 ) ≤ ã ã ã ≤k n d(x0, x1),∀n ≥1
Tứ Ơy, vợi mồi n, p≥ 1, ta cõ d(x n , x n+p ) ≤d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+2 ) +ã ã ã+d(x n+p−1 , x n+p )
1−k →0(n→ ∞) iãu n y chựng tọ {x n } l mởt dÂy Cauchy trong X, m X Ưy nản x n → x ∗ ∈ X Vẳ Ănh xÔ co l liản tửc, nản lĐy giợi hÔn hai vá cừa (2.2) khi n→ ∞ ta nhên ữủc x ∗ = f(x ∗ )
Do õ x ∗ l mởt iºm bĐt ởng cừa f
GiÊ sỷ rơng Ănh xÔ f cỏn cõ mởt iºm bĐt ởng y ∗ 6= x ∗ Khi õ, ta câ
≤kd(x ∗ , y ∗ )Suy ra k ≥ 1 (iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát k < 1) Vêy x ∗ l iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f v ành lẵ ữủc chựng minh.
Tứ chựng minh nguyển là một khái niệm quan trọng trong không gian metric Nó giúp xác định tính chất của các điểm trong không gian, cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và mối quan hệ giữa các điểm Việc áp dụng tứ chựng minh nguyển trong toán học và khoa học máy tính mang lại nhiều lợi ích, đặc biệt trong việc phân tích và xử lý dữ liệu.
x 0 ∈ X x n = f(x n−1 ), n ≥1 (2.3) s³ hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa Ănh xÔ f iãu n y l m cỡ sð cho viằc giÊi mởt số b i toĂn vã dÂy số ð chữỡng 3.
Hằng số k trong ánh xạ có một hằng số khổng lồ phụ thuộc vào từng cặp điểm (x, y) Nếu k không phải là hằng số chung cho mỗi cặp điểm, thì tồn tại một số dương kxy < 1 sao cho d f(x), f(y) vẫn giữ được tính chất cần thiết.
≤k xy d(x, y) thẳ nguyản lẵ Ănh xÔ co khổng cỏn úng nỳa.
2 + x−arctanx, x ∈ R Vợi mội c°p (x, y), x 6= y, giÊ sỷ x < y Do f l h m khÊ vi trản R nản f khÊ vi trản oÔn [x, y], theo ành lẵ Lagrange tỗn tÔi c xy ∈ (x, y) sao cho
Tuy nhiản, f khổng cõ iºm bĐt ởng vẳ phữỡng trẳnh f(x) = x vổ nghiằm.
Trong không gian Banach, mọi ánh xạ liên tục từ không gian metric này đến không gian metric khác đều có tính chất quan trọng Điều này giúp xác định các tính chất hình học và phân tích trong các không gian lớn hơn, đồng thời mở rộng khả năng nghiên cứu các vấn đề toán học phức tạp.
3] cũng vợi metric cÊm sinh bði metric thổng thữớng trản ữớng th¯ng thỹc l khổng gian metric khổng Ưy.
3 < 1 nản f l Ănh xÔ co Tuy nhiản phữỡng trẳnh x 2 = x vổ nghiằm trản X
Do õ f khổng cõ iºm bĐt ởng. iãu gẳ s³ xÊy ra khi k = 1 cõ thº thĐy cƠu trÊ lới trong vẵ dử sau
Vẵ dử 2.1.6 Cho Ănh xÔ f : R → R xĂc ành bði f(x) = x+ 1, x ∈ R.
|f(x)−f(y)| = |x−y|,∀x, y ∈ R những f khổng cõ iºm bĐt ởng
Vẵ dử 2.1.7 Cho X = [1,+∞) l khổng gian metric Ưy vợi metric thổng thữớng trản R X²t Ănh xÔ f :X →X xĂc ành bði f(x) = x+ 1 x. Khi â d f(x), f(y)
Những f khổng cõ iºm bĐt ởng vẳ phữỡng trẳnh x+ 1 x = x vổ nghiằm trản X.
Nhữ vêy nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach thêm chẵ khổng mð rởng ữủc ối vợi lợp Ănh xÔ rởng hỡn mởt chút d f(x), f(y)
Trong không gian metric compact (X, d), với mọi x khác y, nếu tồn tại một ánh xạ f: X → X sao cho d(f(x), f(y)) < d(x, y) với mọi x khác y, thì ánh xạ f này có duy nhất điểm cố định.
Chựng minh Tứ giÊ thiát ta cõ d f(x), f(y)
≤ 2d(x, y) Thay ời vai trỏ cừa x v y cho nhau ta ữủc ϕ(y)−ϕ(x) ≤2d(x, y)
Suy ra, ϕ liản tửc Do X l compact nản ϕ Ôt ữủc giĂ trà b² nhĐt trản
= ϕ(x ∗ )(mƠu thuăn vợi (2.4)) iãu n y chựng tọ f(x ∗ ) =x ∗ , tực l x ∗ l iºm bĐt ởng cừa f.
Ró r ng x ∗ l iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f, vẳ náu cỏn cõ f(y ∗ ) y ∗ , y ∗ 6= x ∗ thẳ d(x ∗ , y ∗ ) = d f(x ∗ ), f(y ∗ )
< d(x ∗ , y ∗ ) (vổ lẵ).Vêy f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ co yáu
ành nghắa 2.2.1 Cho (X, d) l mởt khổng gian metric nh xÔ f :
X →X ữủc gồi l Ănh xÔ co yáu náu d f(x), f(y)
, trong õ φ : [0,+∞) → [0,+∞) l Ănh xÔ liản tửc v khổng giÊm thoÊ mÂn φ(t) = 0 náu v ch¿ náu t = 0.
Nhên x²t 2.2.2 nh xÔ co yáu l Ănh xÔ liản tửc.
Thêt vêy, tứ giÊ thiát ta suy ra d f(x), f(y)
LĐy bĐt kẳ x 0 ∈ X Vợi mội > 0 cho trữợc, tỗn tÔi δ = sao cho vợi mồi x ∈ X thoÊ mÂn d(x, x0) < δ ta ãu cõ d f(x), f(x 0 )
≤ d(x, x 0 ) < δ Do õ f liản tửc tÔi x 0 , m x 0 ∈ X tuý ỵ, nản f liản tửc. ành lỵ 2.2.3 [6] Cho (X, d) l khổng gian metric Ưy GiÊ sỷ f : X →
X l Ănh xÔ co yáu Khi õ f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
Chùng minh L§y x 0 ∈ X Ta x¥y düng d¢y {x n } nh÷ sau xn = f(x n−1 ), n ≥1 (2.5) °t p n = d(x n+1 , x n ), n ≥1 Tứ giÊ thiát ta cõ p n+1 ≤p n −φ(p n ) ≤ p n ,∀n≥ 1 (2.6)
Do õ, dÂy {p n } l dÂy giÊm M°t khĂc dÂy {p n } bà ch°n dữợi bði 0 nản hởi tử GiÊ sỷ n→∞lim p n = r ≥ 0 Vẳ φ liản tửc nản trong (2.6) cho n→ ∞ ta thu ữủc r ≤ r −φ(r)
Cố ành >0, chồn N sao cho d(xN, xN +1) ≤min{
Chúng ta s³ ch¿ ra f l Ănh xÔ co tứ hẳnh cƯu õng B[xN, ] v o chẵnh nâ
≤ d(x, x N ) ≤ Nhữ vêy f l Ănh xÔ i tứ hẳnh cƯu õng B[x N , ] v o chẵnh nõ Do õ x n ∈ B[x N , ],∀n > N, tùc l d(xn, xN) < ,∀n > N
Suy ra, dÂy {x n } l dÂy Cauchy, do õ nõ hởi tử án x ∗ Tứ tẵnh liản tửc cừa f, trong (2.5) cho n→ ∞ ta thu ữủc f(x ∗ ) = x ∗ Do õ, x ∗ l iºm bĐt ởng cừa f.
GiÊ sỷ y ∗ l iºm bĐt ởng khĂc x ∗ cừa f Tứ giÊ thiát ta cõ d(x ∗ , y ∗ ) = d f(x ∗ ), f(y ∗ )
< d(x ∗ , y ∗ )(vổ lẵ)Vêy f cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng.
iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ Lipschitz
ành nghắa 2.3.1 Cho (X, d) l mởt khổng gian metric nh xÔ f :
X →X ữủc gồi l Ănh xÔ Lipschitz náu tỗn tÔi số k > 0 sao cho d f(x), f(y)
Hơng số k b² nhĐt thoÊ mÂn bĐt ¯ng thực trản gồi l hơng số Lipschitz cõa f
1 nh xÔ co, Ănh xÔ co yáu l Ănh xÔ Lipschitz.
2 nh xÔ Lipschitz l Ănh xÔ liản tửc
Thêt vêy, lĐy iºm bĐt kẳ x 0 ∈ X Vợi mội > 0 cho trữợc, tỗn tÔi δ k, sao cho vợi mồi x ∈ X thoÊ mÂn d(x, x0) < δ ta ãu cõ d f(x), f(x 0 )
Trong không gian metric (X, d), cho hàm f: X → X là ánh xạ Lipschitz với số Lipschitz kn và tổng P n=1 kn < +∞ Chứng minh rằng f có duy nhất điểm cố định x∗, với dãy {f n(x)} hội tụ về x∗ khi n → ∞ cho mọi x ∈ X Hơn nữa, xác định hàm số ϕ: X → R sao cho ϕ(x) = d(x, f(x)).
≤ (1 +k 1 )d(x, y) Thay ời vai trỏ cừa x v y ta ữủc ϕ(y)−ϕ(x) ≤ (1 +k 1 )d(x, y)
Bði (2.7) nản ϕ liản tửc BƠy giớ cố ành x ∈ X Vẳ chuội +∞ P n=1 kn hởi tử nản k n → 0(n → ∞).
Trong (2.8) cho n→ ∞ ta ữủc lim n→∞ϕ(f n (x)) = 0
Vẳ chuội +∞ P n=1 kn hởi tử nản r n−1 +∞
Suy ra dÂy {f n (x)} l dÂy Cauchy trong X Vẳ X Ưy nản {f n (x)} hởi tử GiÊ sỷ n→∞lim f n (x) =x ∗ ∈ X Suy ra d x ∗ , f(x ∗ )
Do õ x ∗ l iºm bĐt ởng cừa f
GiÊ sỷ y ∗ ∈ X l mởt iºm bĐt ởng cừa f Khi õ, vợi mội n ≥1 ta cõ
Khi n → ∞, ta có d(x ∗ , y ∗ ) = 0, dẫn đến x ∗ = y ∗, cho thấy x ∗ là điểm cố định duy nhất của hàm f Định nghĩa 2.3.4 chỉ ra rằng tập con Y ⊂ X được gọi là compact nếu sup{d(x, y) : x, y ∈ X} < +∞ Định nghĩa 2.3.5 khẳng định rằng hàm số f: X → X là hàm Lipschitz với ∀n ≥ 1, f n là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz k n và lim n→∞ k n = 0 Nếu f có điểm cố định x ∗, thì tồn tại x ∈ X sao cho tập {f n (x) : n ≥ 1} là tập chặn.
7 GiÊ sỷ f cõ iºm bĐt ởng x ∗ Do dÂy {k n } hởi tử nản bà ch°n, tực l tỗn tÔi M > 0 sao cho k n ≤ M,∀n≥ 1 Vợi mồi x ∈ X ta cõ d f n (x), x ∗
Vêy vợi mội x ∈ Xtêp {f n (x) : n ≥1} bà ch°n
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ tỗn tÔi x ∈ X sao cho {f n (x) : n ≥ 1} bà ch°n, suy ra tỗn tÔi c > 0 sao cho d f n (x), f m (x)
≤c vợi mồi m, n ≥1 Vợi n ≥ 2, p ≥ 1 ta cõ d f n+p (x), f n (x)
Do õ dÂy {f n (x)} l dÂy Cauchy trong X Vẳ X Ưy nản dÂy {f n (x)} hởi tử án x ∗ ∈ X
Do õ x ∗ l iºm bĐt ởng cừa f GiÊ sỷ y ∗ cụng l iºm bĐt ởng cừa f Khi â
Do õ x ∗ l iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f.
iºm bĐt ởng trong khổng gian siảu metric Ưy
Trong phƯn n y chúng tổi xƠy dỹng mởt số ành lẵ iºm bĐt ởng trong khổng gian siảu metric Ưy Trữợc tiản ta cƯn bờ ã sau
Bờ ã 2.4.1 Cho (X, ρ) l mởt khổng gian siảu metric iãu kiằn cƯn v õ º {x n } l d¢y Cauchy l : n→∞lim ρ(x n , x n+1 ) = 0
Chựng minh (⇒) GiÊ sỷ {x n } l mởt dÂy Cauchy Khi õ vợi mội > 0 cho trữợc tỗn tÔi n sao cho ρ(xm, xn) < ,∀m, n ≥n
Suy ra n→∞lim ρ(x n , x n+1 ) = 0 (⇐) Ngỹủc lÔi, giÊ sỷ n→∞lim ρ(x n , x n+1 ) = 0 Khi õ, vợi mội > 0 cho trữợc, tỗn tÔi n sao cho ρ(x n , x n+1 ) < ,∀n≥ n
Tứ Ơy vợi mồi n ≥ n , ∀p≥ 1 ta cõ ρ(xn, xn+p) ≤ max{ρ(x n , xn+1), ρ(xn+1, xn+2),ã ã ã , ρ(xn+p−1, xn+p)} < Vêy {x n } l dÂy Cauchy ành lỵ 2.4.2 Cho (X, ρ) l khổng gian siảu metric Ưy GiÊ sỷ f :
,∀x, y ∈ X, trong õ φ : [0,+∞) → [0,+∞) l Ănh xÔ liản tửc thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn sau
Khi õ, f cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng trong X.
Chựng minh LĐy iºm bĐt kẳ x 0 ∈ X XƠy dỹng dÂy {x n } xĂc ành bði x n = f(x n−1 ), n ≥1
+ Náu x n = x n+1 vợi n n o õ thẳ f cõ iºm bĐt ởng.
Do õ dÂy {ρ(x n , x n+1 )} l dÂy giÊm, m dÂy n y bà ch°n dữợi bði 0 nản hởi tử GiÊ sỷ n→∞lim ρ(xn, xn+1) = r ≥0
Do φ liản tửc nản tứ bĐt ¯ng thực ρ 2 (x n , x n+1 ) ≤ ρ(x n−1 , x n )φ ρ(x n−1 , x n ) cho n→ ∞ ta thu ữủc r 2 ≤rφ(r) (2.10)
Náu r > 0 thẳ tứ (2.10) ta suy ra r ≤ φ(r), iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát φ(r) < r,∀r > 0 Do õ r=0, tực l n→∞lim ρ(xn, xn+1) = 0
Theo bờ ã 2.4.1 dÂy {x n } l dÂy Cauchy, m (X, ρ) l khổng gian siảu metric Ưy nản dÂy n y hởi tử án x ∗ ∈ X
(2.11) Trong (2.11) cho n → ∞ ta thu ữủc ρ 2 f(x ∗ ), x ∗
Do õ x ∗ l iºm bĐt ởng cừa f.
GiÊ sỷ f cỏn iºm bĐt ởng y ∗ 6= x ∗ Khi õ ρ 2 (y ∗ , x ∗ ) =ρ 2 f(y ∗ ), f(x ∗ )
< ρ 2 (y ∗ , x ∗ ) (vổ lẵ) Vêy f cõ iºm bĐt ởng duy nhĐt trong X. ành lỵ 2.4.3 Cho (X, ρ) l mởt khổng gian siảu metric ừ GiÊ sỷ f :
,∀x6= y trong õ φ : [0,+∞) →[0,+∞) l Ănh xÔ liản tửc v thoÊ mÂn φ(t) = 0 náu v ch¿ náu t= 0 Khi õ f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng
Chựng minh Tứ giÊ thiát ta cõ ρ f(x), f(y)
≤ ρ(x, y),∀x, y ∈ X Do õ f liản tửc LĐy bĐt kẳ x 0 ∈ X Ta xƠy dỹng dÂy {x n } nhữ sau xn = f(xn−1), n ≥1 (2.12) °t p n = ρ(x n+1 , x n ), n ≥ 1 Chựng minh tữỡng tỹ nhữ ành lẵ 2.2.3 ta thu ữủc limρ(x n , x n+1 ) = 0
Trong không gian X, giả sử {x_n} là dãy Cauchy hội tụ đến x* ∈ X Từ tính liên tục của hàm f, khi n tiến tới vô cùng, ta có f(x*) = x* Do đó, x* là điểm cố định của f Ngoài ra, y* cũng là một điểm cố định khác của f Từ giả thiết, ta có ρ(x*, y*) = ρ(f(x*), f(y*)).
< ρ(x ∗ , y ∗ )(vổ lẵ)Vêy f cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng.
Nhên x²t 2.4.4 ành lẵ 2.4.3 trong khổng gian siảu metric ừ ta khổng cƯn giÊ thiát φ khổng giÊm nhữ trong ành lẵ 2.2.3.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của các toán tử trong không gian metric, đặc biệt là trong không gian Banach Chúng tôi tập trung vào các ứng dụng liên quan đến khảo sát tồn tại của các bài toán liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tách phân, và phương trình tuyến tính Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng một số bài tập liên quan đến ứng dụng của các toán tử trong không gian này.
Mởt số ựng dửng cừa nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach
Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh
vợi iãu kiằn ban Ưu
GiÊ sỷ f(x, y) l h m số liản tửc trản dÊi [x 0 −r, x 0 +r]ìR v thoÊ mÂn iãu kiằn Lipschitz theo bián y:
|f(x, y)−f(x, y 0 )| ≤K|y −y 0 |,∀(x, y),(x, y 0 ) ∈ [x 0 −r, x 0 +r]×R, vợi K l hơng số dữỡng khổng phử thuởc v o x, y Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m khÊ vi ϕ(x) trản oÔn [x 0 −δ, x 0 + δ] ⊂ [x 0 −r, x 0 + r] sao cho: ϕ(x0) = y0 v dϕ dx = f x, ϕ(x)
(ð Ơy y0 l mởt số cho trữợc tuý ỵ).
Thêt vêy, cĂc iãu kiằn nảu ð (3.1) cõ thº viát dữợi dÔng: ϕ(x) = y 0 + x
, ð Ơy C[x 0 −δ, x 0 + δ] l khổng gian cĂc h m liản tửc vợi chuân sup
Ta s³ chựng tọ rơng f l Ănh xÔ co Thêt vêy ta cõ: d F(ϕ), F(η)
Vẳ θ = Kδ < 1 nản F l Ănh xÔ co Theo nguyản lỵ iºm bĐt ởng tỗn t¤i duy nh§t ϕ ∈ C[x0 −δ, x0 +δ] sao choF(ϕ) =ϕ, tùc l ϕ(x) = y0 + x
Tứ ¯ng thực n y suy ra ϕ(x 0 ) = y 0 v dϕ dx = f x, ϕ(x)
Ùng dửng nguyản lỵ Ănh xÔ co cho phữỡng trẳnh tẵch phƠn
(ð Ơyf l h m liản tửc trản oÔn [a, b], ψ liản tửc trản oÔn[a, b]ì[a, b]). °t M = max{|ψ(x, s)| : (x, s) ∈ [a, b]ì[a, b]} Náu |λ| < 1
M(b−a) thẳ phữỡng trẳnh trản cõ nghiằm duy nhĐt
Thêt vêy, x²t Ănh xÔ T :C[a, b] → [a, b] cho bði cổng thực
Z a ψ(x, s)ϕ(s)ds Vợi bĐt kẳ ϕ, η ∈ C[a, b], ta cõ d T(ϕ), T(η)
M |λ|M(b−a) < 1 nản T l Ănh xÔ co i tứ C[a, b] v o chẵnh nõ Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach tỗn tÔi duy nhĐt ϕ, sao cho
3.1.3 Ùng dửng cừa nguyản lỵ Ănh xÔ co v o giÊi mởt số b i toĂn vã dÂy số
DÂy số n y ho n to n xĂc ành náu biát x 0 , v f Mởt °c iºm quan trồng cừa dÂy số n y l náu nõ hởi tử vã x thẳ f(x) =x (vợi giÊ thiát f liản tửc).
Náu X l têp con õng trong R, x 0 ∈ X, v f : X → X l Ănh xÔ co. Theo chựng minh nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach dÂy số Â cho s³ hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa Ănh xÔ f.
Trong phƯn dữợi Ơy têp X m chúng ta x²t cõ mởt trong cĂc dÔng
Bờ ã 3.1.1 Náu Ănh xÔ f : X → X khÊ vi trản X sao cho sup x∈X
Vợi x, y ∈ X, x 6= y, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ x < y.
Vẳ f khÊ vi trản X nản f khÊ vi trản oÔn [x, y] (giÊ sỷ x < y) Theo ành lẵ Lagrange tỗn tÔi c ∈ (x, y) sao cho f(x)−f(y) = f 0 (c)(x−y) suy ra
M°t khĂc, hiºn nhiản(3.3) úng khi x = y.
|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|,∀x, y ∈ X (3.4)Vẳ k < 1 nản f l Ănh xÔ co tứ X v o chẵnh nõ. º tẳm giợi hÔn cừa dÂy số dÔng (3.2) ta l m nhữ sau
Bữợc 1: Chựng minh f l Ănh xÔ co
CĂch 1: Ănh giĂ |f(x)−f(y)| theo |x−y|, tẳm 0≤ k < 1 sao cho
CĂch 2: Náu f khÊ vi trản X, sỷ dửng bờ ã 3.1.1
Bữợc 2 GiÊi phữỡng trẳnh f(x) =x trản X tẳm ữủc nghiằm duy nhĐt x ∗
Bữợc 3: Kát luên: DÂy  cho hởi tử, v giợi hÔn cừa dÂy l x ∗
Vẵ dử 3.1.2 Chựng minh dÂy số {x n }sau hởi tử v tẳm giợi hÔn cừa d¢y
Líi gi£i °t X = [2,+∞) Khi õ X l têp con õng cừa ữớng th¯ng thỹc. X²t h m sè f :X →X x¡c ành bði f(x) = 2 + 1 x, x ∈ X Khi õ, dÂy số Â cho ữủc xĂc ành bði
x0 = 2 ∈ X x n = f(x n−1 ), n ≥ 1 (3.5) Vợi bĐt kẳ x, y ∈ X, ta cõ
Do õ f l Ănh xÔ co tứ X v o chẵnh nõ Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng x ∗ , v x ∗ l giợi hÔn cừa dÂy ban ¦u
Phữỡng trẳnh f(x) =x cõ nghiằm duy nhĐt x = 1 +√
Sau Ơy ta cõ b i toĂn tờng quĂt cừa b i toĂn trản
Vẵ dử 3.1.3 (Tờng quĂt): Vợi a > 1 cho trữợc Chựng minh dÂy số sau hởi tử v tẳm giợi hÔn cừa dÂy a, a+ 1 a, a+ 1 a+ 1 a
X = [a,+∞) l têp con õng trong R. x²t ¡nh x¤ f : X →X x¡c ành bði f(x) = a+ 1 x, x ∈ X Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
Vợi a > 1 thẳ k = 1 a 2 < 1 nản f l Ănh xÔ co tứ X v o chẵnh nõ Do õ dÂy số Â cho hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f.
Phữỡng trẳnh f(x) =x cõ nghiằm duy nhĐt trản X l x = a+ √ a 2 + 4
Vẵ dử 3.1.4 Cho dÂy số {x n } n≥1 nhữ sau
3 ln(x n 2 + 2009 2 )−2009 2 ,∀n = 1,2,ã ã ã , (3.7)Chựng minh rơng dÂy số {x n } cõ giợi hÔn hỳu hÔn khi n → ∞
3 ln(x 2 + 2009 2 )−2009 2 , x ∈ R Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
Do õ f l Ănh xÔ co tứ ữớng th¯ng thỹc v o chẵnh nõ Vẳ vêy, dÂy số Â cho hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f
Vẵ dử 3.1.5 Cho a > 0, dÂy {x n } n≥1 xĂc ành nhữ sau
Chựng minh dÂy số Â cho hởi tử v tẳm giợi hÔn cừa dÂy.
Têp X = [0,+∞) l têp con õng cừa ữớng th¯ng thỹc. ôt f(x) = log 3 (x 3 + 1) 1 3 + 4
Khi õ dÂy số Â cho ữủc xĂc ành bði
Do õ f l Ănh xÔ co i tứ Xv o chẵnh nõ Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach dÂy số Â cho hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f.
Dạ thĐy x = 2 ∈ X thoÊ mÂn phữỡng trẳnh f(x) =x
Vêy n→∞lim x n = 2 Vẵ dử 3.1.6 Chựng minh dÂy số sau hởi tử v tẳm giợi hÔn cừa dÂy
5sinx, x ∈ R. Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
Định lý Banach về không gian Banach khẳng định rằng mọi dãy số hội tụ đều có giới hạn trong không gian đó Điều này có nghĩa là nếu một dãy số trong không gian Banach hội tụ, thì nó sẽ hội tụ về một điểm cụ thể trong không gian đó.
5sinx = x nhên x = 0 l nghiằm Vêy n→∞lim xn = 0 Têng qu¡t: Cho a, b ∈ R, trong â |a| < 1 Khi â d¢y sè
x 0 = b xn = asinxn−1, n ≥ 1 (3.13) cõ giợi hÔn bơng 0
Thêt vêy, l m tữỡng tỹ nhữ vẵ dử 3.1.6 vợi f(x) = asinx, x ∈ R Vẵ dử 3.1.7 Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số {x n } xĂc ành bði
3] Khi õ, X l têp con õng trong R X²t h m sè f(x) = 1
3sinx 2 , x ∈ X Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
Theo nguyên lý ánh xô co Banach, dãy số Â cho hỏi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu và áp dụng nguyên lý này trong các bài toán liên quan đến ánh xô.
Vêy n→∞lim x n = 0 Vẵ dử 3.1.8 Cho dÂy số {u n } ữủc xĂc ành nhữ sau
u 0 = −2010 un = sin 2 (u n−1 + 3)−2011, n ≥1 (3.16) Chựng minh dÂy số Â cho hởi tử.
Têp X = [−2011,−2010] l têp con õng trong ữớng th¯ng thỹc. X¡t ¡nh x¤ f :X →X x¡c ành bði f(x) = sin 2 (x+ 3)−2011, x ∈ X
Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
Vẳ |f 0 (x)| l h m liản tửc trản oÔn [−2011,−2010] nản nõ Ôt ữủc giĂ trà lợn nhĐt trản oÔn õ °t α = max x∈[−2011,−2010]|sin(2x+ 6)|
Ró r ng α ≤ 1 Ta s³ ch¿ ra α < 1 X²t phữỡng trẳnh
Do õ f l Ănh xÔ co tứ X v o chẵnh nõ Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach dÂy số Â cho hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f
Vẵ dử 3.1.9 Cho dÂy số {x n } ữủc xĂc ành nhữ sau
Chựng minh dÂy số Â cho hởi tử v tẳm giợi hÔn cừa dÂy.
Têp X = [0,+∞) l têp con õng trong ữớng th¯ng thỹc.
Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
Để giải phương trình \( x \ln(1 + e^{-x}) = x \), ta có thể biến đổi thành \( 1 + e^{-x} = e^{x} \) Theo lý thuyết của Banach, điều này cho thấy mối quan hệ giữa các hàm số trong không gian Banach và giúp hiểu rõ hơn về tính duy nhất của nghiệm trong bài toán này.
4 Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số {x n } n≥1 sau x n s a+ r a+ q a+ã ã ã+√ a
Líi gi£i Têp X = [√ a,+∞) l têp con õng cừa ữớng th¯ng thỹc.
Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c ành bði
x 1 = √ a ∈ X xn = f(x n−1 ),∀n ≥2 (3.20) Vợi bĐt kẳ x, y ∈ X, ta cõ
Để giải phương trình X f(x) = x ⇔ √(a+x) = x, ta có thể tìm được nghiệm x = 1 + √ Theo lý thuyết Banach, điều này cho thấy rằng Ảnh xô có thể giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến số liệu trong không gian duy nhất của f.
Vẵ dử 3.1.11 Cho dÂy số {x n } xĂc ành nhữ sau
5ln(1 +x 6 n−1 ), n ≥ 2 (3.21) Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số Â cho.
Têp X = [0,+∞) l têp con õng trong ữớng th¯ng thỹc
5ln(1 +x 6 ), x ∈ X Khi â, d¢y sè ¢ cho x¡c inh bði
5(1 +x 6 ), x ∈ X Theo b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ
Do õ f l Ănh xÔ co i tứ X v o chẵnh nõ Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach dÂy số Â cho hởi tử án iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa f.
5ln(1 +x 6 ) =x. Vêy dÂy số Â cho cõ giợi hÔn bơng 0.
3.1.4 Dũng nguyản lỵ Ănh xÔ co v o giÊi toĂn
B i têp 3.1.12 X²t hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh n ân x i n
X j=1 a ij x j + b i , i= 1,2,ã ã ã , n, trong õ a ij , b i (i, j = 1,2,ã ã ã , n) l nhỳng số thỹc cho trữợc Chựng minh rơng hằ phữỡng trẳnh trản cõ nghiằm duy nhĐt náu mởt trong nhỳng iãu kiằn sau thoÊ mÂn:
P j=1 a 2 ij ≤α < 1 Chùng minh X²t ¡nh x¤ f : (R n , d) →(R n , d) cho bði f(x) = Ax+b, ð õ A = (a ij ) nìn , b = (b 1 , b 2 ,ã ã ã , b n ) T
, trong cĂc trữớng hủp sau
1≤i≤n|x i −yi|.Khi õ, (R n , d1) l khổng gian metric Ưy Vợi 2 iºm bĐt kẳ x = (x 1 , x 2 ,ã ã ã , x n ), y = (y 1 , y 2 ,ã ã ã , y n ) trong R n , ta cõ d1(f(x), f(y)) = max
M α < 1 nản f l Ănh xÔ co Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng Do õ hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nh§t.
|x i −y i |. Khi õ, (R n , d 2 ) l khổng gian metric Ưy Vợi 2 iºm bĐt kẳ x = (x1, x2,ã ã ã , xn), y = (y1, y2,ã ã ã , yn) trong R n , ta cõ d 2 (f(x), f(y)) n
M √ α < 1 nản f l Ănh xÔ co Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng Do õ hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nh§t.
|x i −y i | 2 Khi õ, (R n , d 3 ) l khổng gian metric Ưy Vợi 2 iºm bĐt kẳ x = (x 1 , x 2 ,ã ã ã , x n ), y = (y 1 , y 2 ,ã ã ã , y n ) trong R n , ta cõ d3(f(x), f(y)) v u u t n
M √ α < 1 nản f l Ănh xÔ co Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng Do õ hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nh§t.
B i têp 3.1.13 Cho (X, d) l khổng gian metric Ưy GiÊ sỷ f : X → X l Ănh xÔ thoÊ mÂn f N l Ănh xÔ co vợi N nguyản dữỡng n o õ Chựng minh rơng f cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng.
Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach f N cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng x
= f(x) nản f(x) cụng l iºm bĐt ởng cừa f N
Vẳ iºm bĐt ởng cừa f N l duy nhĐt nản f(x) = x
GiÊ sỷ y cụng l iºm bĐt ởng cừa f, tực l f(y)=y.
Do õ y cụng l iºm bĐt ởng cừaf N Do tẵnh duy nhĐt iºm bĐt ởng cừa f N nản x = y Vêy f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
B i têp 3.1.14 Cho h m số x(t) khÊ vi trản oÔn [0,1] thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn:
X²t sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh x(t) −t = 0 trản o¤n [0,1]
Líi gi£i oÔn [0,1] l têp con õng cừa ữớng th¯ng thỹc.
H m số x : [0,1] →[0,1] khÊ vi trản oÔn [0,1].
Tứ giÊ thiát ta cõ sup t∈[0,1]
Theo định lý Banach, không gian các hàm liên tục trên đoạn [0,1] với chuẩn sup là một không gian Banach Phương trình x(t) - t = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng [0,1].
B i têp 3.1.15 Cho Ănh xÔ T :C[0,1] → C[0,1] xĂc ành bði
HÂy chựng tọ rơng tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m khÊ vi f trản oÔn [0,1] thoÊ mÂn iãu kiằn
2 < 1 nản T l Ănh xÔ co tứ C[0,1] v o chẵnh nõ Theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m f ∈ C[0,1] thoÊ mÂn
Tứ Ơy suy ra f l h m khÊ vi v thoÊ mÂn iãu kiằn
Náu g l mởt h m thoÊ mÂn iãu kiằn trản thẳ g(x) = e x + 1
0 g(t)dt tực l T(g) =g Nhữ vêy g l iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ T Vẳ T cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng nản ta cõ f = g.
3.2 XƠy dỹng mởt số b i toĂn liản quan án iºm bĐt ởng
B i têp 3.2.1 GiÊi phữỡng trẳnh sau sinx 4 = 2x Líi gi£i
Dạ thĐy náu x l nghiằm cừa phữỡng trẳnh thẳ x ∈ [−1
2] Têp X l têp con õng cừa ữớng th¯ng thỹc.
LĐy bĐt kẳ x, y ∈ X, ta cõ
Theo nguyên lý ánh xô co Banach, phương trình có nghiệm duy nhất nếu tồn tại một ánh xô co Để xác định nghiệm, ta cần xem xét trường hợp x = 0 trong phương trình.
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt x = 0.
B i têp 3.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh sau e −sin 2 x −1−x = 0 Líi gi£i Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh e −sin 2 x −1 = x
Do õ náu phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm thẳ
Têp X = 1 e −1,0big] l têp con õng trong ữớng th¯ng thỹc.
Vẳ |f 0 (x)| liản tửc trản X h1 e −1,0 i nản nõ Ôt ữủc giĂ trà lợn nhĐt trản X °t k = max x∈ h1 e −1,0 i
0 < e − sin 2 x ≤1,0 ≤ |sin 2x| < 1,∀x ∈ X Suy ra e − sin 2 x |sin 2x| < 1,∀x ∈ X
Để đảm bảo tính duy nhất của ánh xạ trong không gian Banach, điều kiện cần là ánh xạ phải là hợp lệ Theo định lý, ánh xạ trong không gian Banach có một điểm cố định duy nhất, điều này được chứng minh thông qua việc giải phương trình liên quan.
Dạ thĐy x = 0 ∈ X thoÊ mÂn phữỡng trẳnh Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm duy nhĐt x = 0
B i têp 3.2.3 Mởt Ănh xÔ i tứ khổng gian metric Ưy v o chẵnh nõ cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng cõ phÊi l Ănh xÔ co khổng?
Líi gi£i nh xÔ f cõ thº khổng l Ănh xÔ co.
Thêt vêy, x²t X 0,3 4 vợi metric cÊm sinh bði metric thổng thữớng trản R Vẳ X õng trong R nản X l Ưy
Ta x¡c ành ¡nh x¤ f : X → X x¡c ành bði f(x) = x 2 , x ∈ X
Phữỡng trẳnh f(x) =x trản X cõ nghiằm duy nhĐt x = 0 nản f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
Tuy nhiản f khổng phÊi l Ănh xÔ co, vẳ náu ngữủc lÔi f l Ănh xÔ co s³ tỗn tÔi k ∈ [0,1) sao cho
4 > 1, mƠu thuăn 0≤ k < 1 Do õ f khổng phÊi l Ănh xÔ co.
B i têp 3.2.4 Cho (X, d) l khổng gian metric Ưy GiÊ sỷ f : X → X l ¡nh x¤ tho£ m¢n d f(x), f(y)
,∀x 6= yChựng minh f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
Líi gi£i X²t ¡nh x¤ φ : [0,+∞) → [0,+∞) x¡c ành bði φ(t) = ln(1 +t), t ∈ [0,+∞)
Dạ thĐy Ănh xÔ φ liản tửc thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn
(i) φ(t) = 0 náu v ch¿ náu t= 0 ii) φ khổng giÊm, vẳ φ 0 (t) = 1 t+ 1 > 0,∀t≥ 0 nh x¤ f tho£ m¢n d f(x), f(y)
Do õ, theo ành lẵ 2.2.3 f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
B i têp 3.2.5 Cho Ănh xÔ A xĂc ành trản nỷa khoÊng [2,+∞) v o chẵnh nõ bði cổng thực A(x) =x+ 1 x A cõ phÊi l Ănh xÔ co khổng? Vẳ sao?
TêpX = [2,+∞)l têp con õng trong ữớng th¯ng thỹc Do õ X cũng vợi metric cÊm sinh bði metric thổng thữớng trản ữớng th¯ng thỹc l khổng gian metric Ưy.
GiÊ sỷ f l Ănh xÔ co Khi õ, theo nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng x ∗ Tuy nhiản, phữỡng trẳnh x+ 1 x = x vổ nghiằm trản X
Do õ f khổng phÊi l Ănh xÔ co
Bài viết đề cập đến việc sử dụng không gian metric để phân tích các đặc điểm của một không gian X Câu hỏi đặt ra là liệu không gian X có chứa một điểm duy nhất hay không Điều này liên quan đến việc xác định các tính chất hình học và cấu trúc của không gian metric, cũng như cách mà các điểm trong không gian này tương tác với nhau.
X = [0,1] vợi metric cÊm sinh bði metric thổng thữớng trản ữớng th¯ng thỹc l khổng gian metric Ưy.
GiÊ sỷ f : [0,1] → [0,1] l Ănh xÔ liản tửc X²t h m số g(x) = f(x)−x, x ∈ [0,1]
Vẳ f liản tửc trản oÔn [0,1] nản g liản tửc trản oÔn [0,1].
Giả sử tồn tại c ∈ [0,1] sao cho g(c) = 0, tức là f(c) = c Do đó, c là điểm cố định của hàm f Điểm cố định của f có thể là duy nhất, chẳng hạn như hàm f: [0,1] → [0,1] xác định bởi f(x) = x², với x ∈ [0,1] Trong trường hợp này, hàm f có hai điểm cố định là x₁ = 0 và x₂ = 1.
Chựng minh dÂy số cõ giợi hÔn hỳn hÔn v tẳm giợi hÔn cừa dÂy.
Líi gi£i p dửng vẵ dử 3.1.3, vợi a = 5 > 1, dÂy số Â cho hởi tử v cõ giợi hÔn l n→∞lim x n = 5 +√
B i têp 3.2.8 LĐy vẵ dử vã mởt khổng gian metric ừ (X, d) m mồi ¡nh x¤ X →X tho£ m¢n d f(x), f(y)
< d(x, y), x 6= y ãu cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
LĐy X = R , d l metric rới rÔc trản X, tực l d(x, y)
Ta s³ ch¿ ra (X, d) l Ưy Thêt vêy, giÊ sỷ dÂy Cauchy{x n } trong(X, d). Khi õ, tỗn tÔi n 0 sao cho d(x m , x n ) < 1,∀m, n ≥ n 0
Vẳ vêy dÂy {x n } hởi tử Do õ (X, d) l khổng gian metric Ưy.
Vợi x 6= y theo giÊ thiát ta cõ d f(x), f(y)
Do õ, f l Ănh xÔ hơng Vẳ vêy f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
B i têp 3.2.9 Cho (X, ρ) l khổng gian siảu metric Ưy, f : X → X l ¡nh x¤ tho£ m¢n ρ f(x), f(y)
,∀x, y ∈ X Chựng minh f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
Líi gi£i X²t ¡nh x¤ φ : [0,+∞) → [0,+∞) x¡c inh bði φ(t) = ln(t+ 1), t ≥0
Dạ thĐy φ l Ănh xÔ liản tửc Ngo i ra φ thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn
Thêt vêy h m g(t) = ln(1 +t)−t, t ∈ (0,+∞) cõ Ôo h m g 0 (t) = −t
Do â g(t) < g(0) = 0,∀t > 0Theo ành lẵ 2.4.2 f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng.
B i têp 3.2.10 Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số {x n } n≥1 sau: x n s
Líi gi£i p dửng vẵ dử 3.1.10 trong trữớng hủp a = 3 DÂy số Â cho cõ giợi hÔn l 1 +√
B i têp 3.2.11 GiÊ sỷ f : [a, b] → [a, b] l mởt h m số thoÊ mÂn iãu kiằn
|f(x)−f(y)| < |x−y|,∀x, y ∈ [a, b], x 6= y Chựng minh rơng phữỡng trẳnh f(x) = x cõ nghiằm duy nhĐt.
Têp X = [a, b] l têp con compact trong ữớng th¯ng thỹc Do õ X cũng vợi metric cÊm sinh bði metric thổng thữớng trản R l khổng gian metric compact.
M°t kh¡c, ¡nh x¤ f tho£ m¢n |f(x)−f(y)| < |x−y|,∀x, y ∈ X, x 6= y nản theo ành lẵ 2.1.8 f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng Vẳ vêy phữỡng trẳnh f(x) =x cõ nghiằm duy nhĐt.
Kát quÊ Â Ôt ữủc ã t i têp trung vào việc nghiản cựu mởt số ành lỵ iºm bĐt ởng trong khổng gian metric Ưy v cĂc ựng dửng cừa chúng  Ôt ữủc kát quÊ nhữ sau: Việc áp dụng các phương pháp phân tích dữ liệu hiệu quả giúp tối ưu hóa quy trình làm việc và nâng cao hiệu suất Điều này không chỉ cải thiện chất lượng sản phẩm mà còn giảm thiểu thời gian và chi phí sản xuất.
- XƠy dỹng mởt số ành lẵ iºm bĐt ởng trong khổng gian siảu metric Ưy Cử thº l ành lỵ 2.4.2 v ành lỵ 2.4.3.
Nảu ữủc mởt số ựng dửng cừa nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong các bài toán về cấp và dãy số Nó liên quan đến việc giải phương trình và cũng như giải một số bài toán cao cấp khác.
- XƠy dỹng mởt số b i toĂn liản quan án iºm bĐt ởng.
- Tẳm vẵ dử minh hoÔ cho cĂc kát quÊ chẵnh.
Nghiên cứu cựu ảnh là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, tập trung vào các điều kiện cần thiết để xác định tính liên tục và tính hội tụ trong không gian metric Đặc biệt, các không gian Banach và không gian rỗng metric đóng vai trò chủ chốt trong việc phân tích các đặc tính của các hàm số Việc hiểu rõ về các không gian này giúp cải thiện khả năng áp dụng lý thuyết vào thực tiễn và phát triển các phương pháp mới trong nghiên cứu toán học.
[1] Nguyạn Vôn Khuả, Bũi ưc Tưc - ộ ực ThĂi, Cỡ sð lỵ thuyát h m v giÊi tẵch h m, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc Viằt Nam, 2001.
[2] Cung Thá Anh - Nguyạn Th nh Anh, GiĂo trẳnh TổPổ Ôi cữỡng,
Nh xuĐt bÊn Ôi hồc sữ phÔm, 2011.
[3] ộ Hỗng TƠn - Nguyạn Thi Thanh H , CĂc ành lẵ iºm bĐt ởng,
Nh xuĐt bÊn Ôi hồc sữ phÔm H Nởi, 2003.
[4] Nguyạn T i Chung, Bỗi dữùng hồc sinh giọi chuyản khÊo dÂy số,
Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc Gia H Nởi, 2003.
[5] B.H.T¥n and H.D V÷ìng,On eventually and asymptotically Lips- chitz mappings, Vietnam J Math 30 (2002), 31 - 42.
[6] B.E Rhoades,Some theorems on weakly contractive maps, Nonlinear Analysis 47 (2001), 2683 - 2693.
[7] Mohamed A Khamsi, Remarks on Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, Spinger - Verlag NewYork, 2010.
[8] Binayak S Choudhury*, N Metiya, Fixed points of weak contrac- tions in cone metric spaces, Nonlinear Analysis 72 (2010), 1589 - 1593.
[9] Huang Long - Guang, Zhang Xian*, Gani T Stamov,Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math.Anal Appl 332 (2007), 1468 - 1476.