Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường docx

Chun đề TÍCH PHÂN CƠNG THỨC Bảng ngun hàm Ngun hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ∫ dx = x + C ∫ x α dx = ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C ∫ dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C ∫ ax + C ( < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C a x dx = ∫ ∫ ∫ 2 x ∫ ∫ x ∫ sin ∫ du = u + C x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 x Nguyên hàm hàm số hợp ∫ dx = − cot x + C α +1 ( ax + b ) α dx = ( ax + b ) + C (α ≠ 1) a α +1 dx = ln ax + b + C ( x ≠ ) ax + b a e ax + b dx = e ax +b + C a cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) u α du = u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u u au + C ( < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C a u dx = ∫ sin u du = − cot u + C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân u( u ò f[ x)] (x)dx ta thực bước sau: / a x) Bước Đặt t = u(x) tính dt = u/( dx a) x b) Bước Đổi cận: x = a Þ t = u( = a,  = b Þ t = u( = b b b Bước u( u ò f[ x)] (x)dx = ò f(t)dt / a a e Ví dụ Tính tích phân I = dx ị xl x n e Giải dx x x = e Þ t= x = e Þ t= ,  n Đặt t = l x Þ dt = Þ I= ị Ví dụ Tính tích phân I = p dt = l t = l n n t Vậy I = l n cosx dx cosx) ò (si x + n Hướng dẫn: p I= cosx dx = cosx) ò (si x + n ĐS: I = p dx ò (tan x + 1) cos x Đặt t = tan x + 3 Ví dụ Tính tích phân I = ò (1 + dx x) 2x + Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 n ĐS: I = l Ví dụ 10 Tính tích phân I = ị 3- x dx 1+ x Hướng dẫn: Đặ t t = ĐS: I = Chú ý: 3- x t dt an ; đặt t = t u L Þ L 8ò 2 1+ x ( + 1) t p 3 + Phân tích I = ò 3- x dx , đặt t = 1+ x + x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx ta thực bước sau: a Bước Đặt x = u(t) tính dx = u / (t )dt Bước Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β b Bước β β ∫ f ( x)dx = ∫ f [u(t )]u (t )dt = ∫ g (t )dt / a α α Ví dụ Tính tích phân I = ò dx - x2 Giải p pù i ,  é dt Đặt x = s n t t ẻ ; ỳị dx = cost 2û p x = Þ t = 0,  = Þ t = x p Þ I= ò cost dt = - s n2 t i p cost ò cost dt= p Vậy I = Ví dụ Tính tích phân I = ị - x2 dx p p ò dt = t = p p - 0= 6 Hướng dẫn: Đặt x = 2s n t i ĐS: I = p Ví dụ Tính tích phân I = dx x2 ị1+ Giải ổ p pử an , ỗ t dt ữ t x = t t t ẻ ỗ- ; ữị dx = ( an x + 1) ỗ 2ữ è ø p x = Þ t = 0,  = Þ t = x p Þ I= t t+ an dt = t 2t an p Vậy I = ò1+ 3- ò Ví dụ Tính tích phân I = p dx x + 2x + 2 Hướng dẫn: 3- I= ò dx = x + 2x + 3- dx ò + (x + 1) an Đặ t x + = t t p ĐS: I = 12 Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = ò 3- Ví dụ Tính tích phân I = p ĐS: I = 12 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác ò dx - x2 dx x + 2x + 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = p n ò cos x si xdx Hướng dẫn: Đặt t = cosx ĐS: I = 15 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I = p ị cos xdx Hướng dẫn: Đặ t t = s n x i ĐS: I = 15 p ị dt = Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I = p ò cos x s n2 xdx i Giải p I= ò cos p x s n2 xdx = i p p p 1 n n ò cos2 x si 2xdx = 16 ò (1 - cos4x)dx + ò cos2x si 2xdx 0 p p æ x s n3 2x i 1 ÷ = p s n 4x + i = ( - cos4x) + ũ s n2 2xd( i 2x)= ỗ dx i sn ữ ỗ16 64 ữ ũ ố 24 ứ0 32 16 p Vậy I = 32 Ví dụ 14 Tính tích phân I = p ò cosx + dx sn x + i Hướng dẫn: x Đặ t t = t an ĐS: I = l n Biểu diễn hàm số LG theo t = tan 3.2 Dạng liên kết p Ví dụ 15 Tính tích phân I = a : sin a = 2t +t ; cos a = −t +t ; tan a = 2t −t xdx ò si x + n Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = Þ t = p,  = p Þ t = x ( - t dt p ) Þ I= - ị = s n( - t + i p ) p p p ò ( si t + n p t dt sn t+ i ) p dt p dt = pị - IÞ I= ị s n t+ i sn t+ i p p = ò dt ( t t2 s n + cos i 2 ) ổ pử t p dỗ - ữ ữ p p ỗ p dt ữ ỗ2 ứ ổ pử ố p p = ũ ỗt - ữ = p = t ỗ an ữ cos2 t - p = ũ ữ ỗ2 ứ ổ pử ố 2 ỗt ữ cos ỗ - ữ ữ ỗ2 ø è Vậy I= p ( Tổng quát: ) p p p n n ò xf(si x)dx = ị f(si x)dx 0 Ví dụ 16 Tính tích phân I = p s n2007 x i ò si 2007 x + cos2007 x dx n Giải p Đặt x = - t Þ dx = - dt x = Þ t= s n2007 i Þ I= - ò si n 2007 p Mặt khác I + J = p dx = ( p - t) + cos ( p - t) 2 2007 ò dx = Tổng quát: ( p - t) p p ,  = Þ t = x 2 p 2007 cos t ò si 2007 t + cos2007 tdx = J (1) n p (2) Từ (1) (2) suy I = p p s nn x i ò si n x + cosn x dx = n p p cosn x p ò si n x + cosn x dx = ,n Ỵ Z+ n sn x i ò si x + cosx dx J = n Ví dụ 17 Tính tích phân I = p cos x ò si x + cosx dx n Giải I- 3J = p (1) p dx ò si x + p n cosx p Đặt t = x + Þ dt = dx ⇒I + J = l (2) n 1- 1- l 3+ n ,  = J l 3n Từ (1) (2)⇒I = 16 16 l + x) n( dx Ví dụ 18 Tính tích phân I = ị + x2 I+ J = ò si x + n dx dx = ( ) Giải Đặt x = t t Þ dx = ( + t t dt an an ) p x = Þ t = 0,  = Þ t = x p Þ I= p l 1+ t t n( an ) n( ò + tan2 t ( + tan2 t) dt = ò l + tan t)dt 0 p Đặt t = - u Þ dt = - du p p t = Þ u = ,  = Þ u = t 4 p Þ I= n( ị l + tan t)dt = é ỉ ứ p ú l + t ỗ - u ữ du n an ỗ ữ ũ ữ ỗ4 ố ứỳ ỷ p p = ổ nỗ ũ l ỗ1 + ỗ ố 1- t u ữ an du ÷ = 1+ t an ø p = p 0 n n ò l 2du - ò l ( + p ổ nỗ ũ l ỗ1 + ỗ ố t u ) du = an ÷ du ÷ t uø an ÷ p l - I n Vậy I = p Ví dụ 19 Tính tích phân I = p l n cosx dx x + ò 2007 - p Hướng dẫn: Đặ t x = - t ĐS: I = Tổng quát: ( a > Với a    , a > , hàm số f x) chẵn liên tục đoạn [ - a;  ] a a f x) ( ị ax + dx = ò f(x)dx - a ( ( Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục ¡ thỏa f - x)+ 2f x) = cosx p Tính tích phân I = ò f(x)dx - p Đặt J = Giải ị f(- x)dx , x = - t Þ - dx = - dt p p p p p Þ t = ,  = Þ t = x 2 2 x=p Þ I= p ò f(- t)dt = J Þ p 3I = J + 2I = p ò[ f(- x)+ 2f(x)] dx - p = p p ò cosxdx = 2ò cosxdx = - p Vậy I = 3.3 Các kết cần nhớ a ( > i/ Với a    , hàm số f x) lẻ liên tục đoạn [–a; a] ị f(x)dx = - a a ( > ii/ Với a    , hàm số f x) chẵn liên tục đoạn [–a; a] a ị f(x)dx = 2ị f(x)dx - a iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ì ( - 1)! ! ï n ï ,  un lẻ nế ï n! ! cosn xdx = ò s nn xdx = ï i í ò ï ( - 1)! p ! ï n 0 ,nế n chẵ u n ï ï ï ỵ n! ! p Trong p n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0! = 1! = 2! = 2;  != 4! = 5! = 5; ! ;  ! ;  ! 3! 3;  ! 4;  ! 6! = 6;  != 8! = 9! = 9;  != 10 ! 7! 7;  ! 8;  ! 10! Ví dụ 21 Ví dụ 22 p ị cos 11 xdx = 10! ! 10 256 = = 11! ! 11 693 n ò si 10 xdx = 9! p ! p 63p = = 10! 2 10 ! 512 p II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cơng thức x) v( Cho hai hàm số u( ,  x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có / / / / ( uv ) / = u v + uv Þ ( uv ) / dx = u vdx + uv dx b b ị d(uv) = Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ a b Þ uv b a = b b ò vdu + a b ị vdu + ị udv Þ ị udv = uv a a a b a - ò udv a b ị vdu a Cơng thức: b b ò udv = uv b a - a ò vdu (1) a Cơng thức (1) cịn viết dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a a - ò f (x)g(x)dx (2) / a Phương pháp giải tốn b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực a Cách ( ,  x) x) Bước Đặt u = f x) dv = g( dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v( vi b / x) phân du = u ( dx không phức tạp Hơn nữa, tích phân ị vdu phải tính a Bước Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b n ò P(x)si axdx, ò P(x)cosaxdx, ò e ax a b ii/ Nếu gặp b a x) x) với P(x) đa thức đặt u = P( P( dx a n n ò P(x)l xdx đặt u = l x a Cách b Viết lại tích phân b ị f(x)g(x)dx = ò f(x)G a / ( dx sử dụng trực tiếp cơng thức (2) x) a Ví dụ Tính tích phân I = ị xe dx x Giải ìu=x ï Đặt ï dv = ex dx ị ù ù ợ ị ỡ du = dx ï ï (chọn C = ) í x ï ïv=e ỵ ị xe dx = xe x x - ò e dx = (x x 1) x e = e Ví dụ Tính tích phân I = n ị x l xdx Giải ì ï du = dx ï ï x ï í ï x ï ïv= ï ỵ e e e x e2 + Þ ị x l xdx = n l x - ò xdx = n 2 1 n ìu=l x ï Þ Đặ t ï í ï dv = xdx ï î Ví dụ Tính tích phân I = p òe x s n xdx i Giải i ì u = sn x ï Þ Đặt ï í ï dv = ex dx ï ỵ p Þ I= ì du = cosxdx ï ï í ï v = ex ï ỵ p n n ò ex si xdx = ex si x p - ì u = cosx ï Đặt ï dv = ex dx ị ù ù ợ p Þ J= ịe x i ì du = - s n xdx ï ï í x ï ïv=e ỵ cosxdx = ex cosx p ò ex cosxdx = e2 - J p p + òe x s n xdx = - + I i p p e2 + Þ I= e - ( + I Þ I= ) Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân I = p2 ị cos xdx Hướng dẫn: Đặ t t = p x L Þ I = 2ị tcost = L = p - dt e Ví dụ Tính tích phân I = n( n ị si l x)dx ĐS: I = ( i - cos1) + s n1 e III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b ò f(x) dx , ta thực bước sau Giả sử cần tính tích phân I = a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a + f x) ( b Bước Tính I = x1 x1 x2 - + x2 b b ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx a a x1 x2 ịx Ví dụ Tính tích phân I = - 3x + dx - Giải Bảng xét dấu x x - 3x + 2 - + 1 I= - 2 ò( x ò( x - 3x + 2) dx - - p 59 59 Vậy I = Ví dụ 10 Tính tích phân I = - 3x + 2) dx = - 4cos x - 4s n xdx i ò p ĐS: I = - Dạng b ò[ Giả sử cần tính tích phân I = f x) ± g( ] dx , ta thực ( x) a Cách b Tách I = ò[ b f x) ± g( ] dx = ( x) a b ò f(x) dx ± ò g(x) dx sử dụng dạng a a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I = ò( x - x - ) dx - Giải Cách I= ò( - =- x - x - ) dx = ò x dx - ò x - - dx - ò xdx + ò xdx + ò (x - 1) dx ò (x 1) dx x2 =- + - x2 2 ổ2 ổ2 x x + ỗ - xữ - ỗ - xữ = ữ ữ ỗ2 ỗ2 ữ ữ ố ứ- ố ứ1 Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 0 – – – I=  + + + ò( - x + ò( x + x - 1) dx + - =- x - Dạng x + 1) dx 1 + ( x - x) + x = Vậy I = b Để tính tích phân I = ị( x - x - 1) dx + b n ò m ax { f(x), g(x)} dx J = ò m i { f(x), g(x)} dx , ta thực a a bước sau: x) ( x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số h( = f x)- g( đoạn [a; b] Bước x) ( ,  x) ( n ( ,  x) x) + Nếu h( > m ax { f x) g( } = f x) m i { f x) g( } = g( x) ( ,  x) x) n ( ,  x) ( + Nếu h( < m ax { f x) g( } = g( m i { f x) g( } = f x) Ví dụ 12 Tính tích phân I = ị m ax { x + 4x - 2} dx ,  Giải 2 x) Đặt h( = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x - 4x + Bảng xét dấu x h(x) + I= – + ò( x ò ( 4x - + 1) dx + 2) dx + ò( x + 1) dx = 80 80 Vậy I = Ví dụ 13 Tính tích phân I = n ị m i { , 4 x x } dx Giải x x x) Đặt h( = - ( - x ) = + x - Bảng xét dấu x h(x) I= – ò dx + ò x 0 + 3x ỉ x2 ÷ ç4x + ç + ÷ = ÷ l 30 è n ø1 l n ( - x ) dx = Vậy I = + l n IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải tốn Dạng 10 b Để chứng minh b ò f(x)dx ³ ò f(x)dx £ (hoặc a ( ( ) ta chứng minh f x) ³ (hoặc f x) £ ) với a " x Ỵ [ a;  ] b Ví dụ 14 Chứng minh ị - x6 dx ³ Giải 1 Với " x Ỵ [ 0;  ] :x £ Þ ị 1- x ³ Þ - x6 dx ³ Dạng b Để chứng minh b ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³ a g( với " x Ỵ [ a;  ] x) b a Ví dụ 15 Chứng minh p ị1+ dx £ s n10 x i p ò1+ dx s n11 x i Giải pù é 0;  :0 £ s n x £ Þ £ s n11 x £ s n10 x i i i Với " x Ỵ ê ë 2ú û 1 Þ + s n10 x ³ + s n11 x > Þ i i £ 10 + s n x + s n11 x i i Vậy p dx £ s n10 x i ò1+ p ò1+ dx s n11 x i Dạng b Để chứng minh A £ ò f(x)dx £ B ta thực bước sau a ( Bước Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m £ f x) £ M b b Bước Lấy tích phân A = m ( - a) £ ò f(x)dx £ M ( - a) = B b a Ví dụ 16 Chứng minh £ ò + x2 dx £ Giải Với " x Ỵ [ 0;  ] :4 £ + x2 £ Þ £ + x2 £ Vậy £ ò + x2 dx £ Ví dụ 17 Chứng minh p £ 3p ò3p dx p £ 2s n x i Giải p 3p ù é £ sn x £ Þ i Với " x Ỵ ê ;  ú: 4û ë Þ £ - 2s n2 x £ Þ i £ 3- 11 £ s n2 x £ i £1 2s n2 x i Þ 3p p £ 4 ) ò3- dx 3p p £1 4 2s n x i p £ ò3- dx p £ 2s n x i ( Vậy Ví dụ 18 Chứng minh 3p £ 12 p ò p ( p 3p p ) cot x dx £ x Giải cot x ( ,  Ỵ x Xét hàm số f x) = x é p pù ê ;  ú ta có ê 3ú ë û - x - cot x é p pù s n2 x i / f( = x) < 0  " x Ỵ ê ;  ú   ê 3ú x ë û p p p pù Þ f £ f x) £ f (   " x Ỵ é ;  ú   ê ë 3û é cot x p pù Þ £ £   " x Ỵ ê ;  ú   ê p x p 3ú ë û ( ) Þ ( ) 3ổ ỗp - p ữÊ ữ ỗ ố ứ p ỗ3 ữ p cot x 4ổ p pử dx Ê ỗ - ữ ữ ỗ ũ x ữ ố p ỗ3 ứ p Vy £ 12 p ò p cot x dx £ x Dạng (tham khảo) b Để chứng minh A £ ò f(x)dx £ B (mà dạng không làm được) ta thực a ì f x)£ g(   x Ỵ [ a;  ] x) " b ï ( ï b ï b ï Þ ị f x) £ B ( dx Bước Tìm hàm số g(x) cho í ï g( dx = B ï ò x) a ï a ï ỵ ì x) (   b ï h( £ f x) " x Ỵ [ a;  ] ï b ï b ï Þ A £ ị f x) ( dx Bước Tìm hàm số h(x) cho í ï h( dx = A ï ò x) a ï a ï ỵ Ví dụ 19 Chứng minh 2 dx p £ - x2007 Giải é 2ù 0;  ú:0 £ x2007 £ x2 £ Với " x Ỵ ê ú ê ë û £ ị 12 Þ £ - x2 £ - x2007 £ Þ £ 2 Þ 2 1 - x2 2 dx dx £ ò 2007 1- x - x2 0 i dt Đặt x = s n t Þ dx = cost p x = Þ t = 0,  = x Þ t= ị dx £ ị 2 ị Þ Vậy Ví dụ 20 Chứng minh £ - x2007 3+ £ p dx = - x2 £ 2 ò cost dt p = cost dx p £ - x2007 ò xdx 2+ £ x + 2- Giải Với " x Ỵ [ 0;  ] : - £ x2 + - £ - 1 x x x Þ £ £ 3- 2- x2 + - 1 Þ ị Vậy ị xdx £ 3- 3+ £ xdx £ x + 2- ò 1 ò xdx £ x2 + - ò xdx 2- 2+ V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong ( Cho hàm số f x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y = f x) x = a,  = b trục hoành S = ( ,  x ò f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ị f(x) dx a n x ,  Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = l x,  = x = e Ox Giải n " ;  Do l x ³ 0  x Ỵ [ e] nên e S= e n n n ò l x dx = ò l xdx = x ( l x 1) e = 1 Vậy S = (đvdt) x x Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x2 + 4x - 3,  = 0,  = Ox Giải Bảng xét dấu 13 x y – ò( - x S=- + ò( - x + 4x - 3) dx + + 4x - 3) dx 1 ỉ x ỉ x3 2 ữ ỗ = - ỗữ ữ ỗ + 2x + 3x ø + è- + 2x + 3x ữ = ỗ ữ ữ ố ứ1 Vậy S = (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f x) y = g( ,  = a,  = b S = ( ,  x) x x ò f(x)- g( dx x) a Phương pháp giải toán ( x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ị f(x)- g( dx x) a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f x) y = g( S = ( ,  x) ò f(x)- b g( dx Trong a,  nghiệm nhỏ lớn x) a ( x) phương trình f x) = g( ( a £ a < b £ b ) Phương pháp giải toán ( x) Bước Giải phương trình f x) = g( ( x) b Bước Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( đoạn [ a;  ] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ị f(x)- g( dx x) a y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6,  = 6x2 , x = 0,  = x Giải x) x Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h( = Û x = Ú x = Ú x = (loại) x) Bảng xét dấu x h(x) – + S=- ò( x ò( x - 6x + 11x - 6) dx + - 6x2 + 11x - 6) dx 1 ỉ ỉ x 11x x 11x2 = - ỗ - 2x3 + - 6x ữ + ỗ - 2x3 + - 6x ữ = ữ ữ ỗ4 ỗ4 ữ ữ è ø0 è ø1 2 Vậy S = (đvdt) y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6,  = 6x2 4 14 Giải x) x Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h( = Û x = Ú x = Ú x = x) Bảng xét dấu x h(x) + – S= 3 ò( x ò( x - 6x2 + 11x - 6) dx - - 6x2 + 11x - 6) dx 2 æ ö æ ö x 11x x 11x2 = ç - 2x3 + - 6x ÷ - ç - 2x3 + - 6x ữ = ữ ỗ ữ ç4 ÷ è4 ÷ è ø1 ø2 2 Vậy S = (đvdt) 4 Chú ý: b ( x) Nếu đoạn [ a;  ] phương trình f x) = g( khơng cịn nghiệm ta dùng b cơng thức ị f(x)- b ò [ f(x)- g( dx = x) a g( ] dx x) a y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3,  = 4x Giải Ta có x3 = 4x Û x = - Ú x = Ú x = Þ S= ị( x ò( x - 4x ) dx + - - 4x ) dx 0 ỉ4 ỉ4 x x = ỗ - 2x2 ữ + ỗ - 2x2 ữ = ữ ữ ỗ4 ỗ4 ÷ ÷ è ø- è ø0 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - x + trục hồnh Giải 2 t Ta có x - x + = Û t - 4t + = 0,  = x ³ t x é =1 éx = é = ±1 Û ê Û ê Û ê ê =3 êx = ê = ±3 t x ë ë ë Þ S= òx - - x + dx = 2ò x2 - 4x + dx é ù = êò ( x2 - 4x + 3) dx + ò ( x2 - 4x + 3) dx ú ê ú ê0 ú ë û 3 éỉ ỉ ù 16 x x = ờỗ - 2x2 + 3x ữ + ỗ - 2x2 + 3x ữ ỳ= ữ ữ ỗ3 ỗ3 ữ ữ ờố ứ0 ố ứ1 ú ë û 16 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - 4x + y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - 4x + = x + 3 15 ì ï ï ï Û ï í ï ï ï ï ỵ Bảng xét dấu x+ 3³ x é =0 é - 4x + = x + Û ê x ê ê = x ë ê - 4x + = - x - x ê ë x x - 4x + Þ S= + – + ò( x - 5x ) dx + ò( - x + 3x - 6) dx + ò( x - 5x ) dx 3 2 ỉ 5x2 x - x3 ÷ + ỉ x + 3x - 6x + ỉ - 5x = 109 ÷ ÷ ç ç = ç ÷ ÷ ÷ ç3 ç ç3 ÷ ÷ ÷ è ø1 è ø0 è 2 ø3 109 Vậy S = (đvdt)   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - ,  y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - = x + Û t - = t + 5,  = x ³ t ì t= x ³ ï ï ì t= x ³ ï ï t Û ï é - = t+ Û ï Û x = ±3 íê í ï ï t= ï ê2 ï ỵ ï ê - = - t- t ùở ợ ị S= ũ x - 1- x + 5) dx = 2ò x2 - - ( - ( x + 5) dx Bảng xét dấu x x - – + Þ S=2 ị( - x - x - 4) dx + ò( x - x - 6) dx 1 ỉ x3 x2 x3 ÷ + ỉ - x - 6x = 73 ÷ ç ç =2ç - 4x ÷ ÷ ç ÷ ÷ è ø0 è ø1 2 73 Vậy S = (đvdt) Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Trường hợp ( b Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f x) ³ 0" x Ỵ [ a; ] , y = , b x = a x = b  a < b) quay quanh trục Ox V = pò f ( dx ( x) a C):x + y = R quay quanh Ox Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình trịn ( Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R Û x = ±R C):x2 + y2 = R Û y2 = R - x2 Phương trình ( 16 R R Þ V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R - x2 ) dx 2 - R R ỉ x ÷ = 4pR = 2p ỗR 2x ữ ỗ ố ứ ÷0 3 4pR Vậy V = (đvtt) 3 Trường hợp y) ; Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x = g( ³ 0" y Ỵ [ c d ] , x = , d y = c y = d  c < d) quay quanh trục Oy V = p g2( dy ( ò y) c x2 y2 E): + = quay quanh Oy Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse ( a b Giải y2 Tung độ giao điểm (E) Oy = Û y = ±b b 2 x y a2y2 2 E): + = Û x = a Phương trình ( a b b2 b b 2 ỉ a2y2 ÷ = 2p ỉ - a y ửdy ữ ỗa ị V = pũ ỗa dy ữ ữ ỗ ũỗ ố ứ ố ø b2 ÷ b2 ÷ - b R ỉ a2y3 ÷ = 4pa b = 2p ça2y ÷ ç ÷ è 3b2 ø0 4pa b Vậy V = (đvtt) 3 Trường hợp ( ,  x) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f x) y = g( , x = a x = b  a < b,  ( ³ 0, x) ³ 0  x Ỵ [ a;  ]) quay quanh trục Ox ( f x) g( " b b V = pò f2( - g2( dx x) x) a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox Giải x ìx³ é =0 ï ï Û ê Hồnh độ giao điểm í ê = ïx =x x ï ë ỵ 1 Þ V = pị x - x dx = p ò( x - x ) dx 3p x = 10 3p Vậy V = (đvtt) 10 =p ( 1x 5 ) - Trường hợp ( ,  y) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x = f y) x = g( , y = c [ c d ]) quay quanh trục Oy y = d  c < d,  ( ³ 0, y) ³ 0  y Ỵ ;  ( f y) g( " d V = pò f2( - g2( dy y) y) c 17 Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x = - y2 + , x = - y quay quanh Oy Giải y é =- Tung độ giao điểm - y + = - y Û ê ê =2 y ë Þ V = pị ( - y2 + 5) - ( - y ) dy - =p ò( y - 11y2 + 6y + 16) dy - ổ 11y3 y 153p =pỗ + 3y2 + 16y ữ = ữ ỗ ữ ỗ5 ố ứ- Vậy V = VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 153p (đvtt) 10 1 10 Tính I= ∫ ( − x ) dx Áp dụng kết tính tổng sau: S = − C10 + C10 − + C10 11 Tính: I = x ( − x ) ∫ 19 dx Áp dụng kết tính tổng sau: S= 1 1 18 19 C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 20 21 3 Chứng minh rằng: + Cn + Cn + + 2n +1 − n Cn = n +1 n +1 BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x + cos x  π , biết F  −  = ln sin x − cos x  4 Tính tích phân sau: e2 A= ∫ 2 x + - 7x dx x B= ∫ x -1 dx x C= ∫ ln 2dx -2 Tính tích phân sau: π A= ∫ e e cos x sin xdx ln x dx B= ∫ x * C= ∫ dx x x +4 2 x dx x -1 1+ D =∫ * Tính tích phân sau: e sin(ln x) dx I= ∫ x ln dx L= ∫ x −x −3 ln e + 2e C= π π J= ∫ π dx sin x cot x π M= ∫ sin xdx cos x + sin x 10 K= ∫ lg xdx N= ∫ dx x -9 sin x dx x)2 ∫ (1 + cos Tính tích phân sau: dx A= ∫ - x2 B= ∫ dx x2 + 18 C= ∫ 16 - x dx ln ∫ D= 1- e x dx + ex E= ∫ Tính tích phân sau: e ln x dx A= ∫ x dx x −1 π 2 x sin x dx B =∫ + cos2 x eπ * 3x − x dx E= ∫ x3 D = ∫ cos(ln x)dx * ln x dx x C =∫ * F* = x2 − ∫1 + x dx − Tính: π π A= ∫ cos xdx e F= ∫ ln x + dx x x C= ∫ xe dx B= ∫ cos3 xdx 0 G= ∫ x + x dx H= ∫ x + xdx 0 D= ∫ e I= ∫ x x dx x dx x +1 E= ∫ x ln xdx 1 x dx 1+ x J= ∫ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a x=1; x=e; y=0 y= + ln x x b y=2x; y=3− x=0 x π c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x3− 2+4x− (C) tiếp tuyến với 2x đường cong (C) điểm có hồnh độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: a)Trục Ox b) Trục Oy − ết − H 19 ... ò xdx £ x2 + - ò xdx 2- 2+ V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong ( Cho hàm số f x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y... TỰ GIẢI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x + cos x  π , biết F  −  = ln sin x − cos x  4 Tính tích phân sau: e2 A= ∫ 2 x + - 7x dx x B= ∫ x -1 dx x C= ∫ ln 2dx -2 Tính tích phân sau:... với P(x) đa thức đặt u = P( P( dx a n n ị P(x)l xdx đặt u = l x a Cách b Viết lại tích phân b ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G a / ( dx sử dụng trực tiếp công thức (2) x) a Ví dụ Tính tích phân I = ị