Luận án tiến sĩ Toán giải tích: Bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng

: Hình ảnh minh họa tính không chỉnh của bài toán: Dữ liệu gốc của ảnh logo Trường Đại học Thủ Dầu Một và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG HCM : Ảnh logo Trường Đại học Thủ Dầu Mộ

_ ĐẠIHỌC QUỐC GIATP.HCM .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DANH HỨA QUỐC NAM

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN ÁN TIEN SĨ

TP Hồ Chí Minh - 2024

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

DANH HUA QUOC NAM

FINAL VALUE PROBLEM FOR SOME

Doctoral Thesis

Ho Chi Minh City - 2024

_ ĐẠIHỌC QUỐC GIATP.HCM .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DANH HỨA QUỐC NAM

Ngành: Toán giải tích

Mã số ngành: 9460102

Phản biện 1: PGS TS Mai Đức Thành

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Dinh Huy

Phan bién 3: PGS TS Lé Xuan Truong

Phản biện độc lập 1: miễn

Phản biện độc lập 2: miễn

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Huy Tuan

TP Hồ Chí Minh - 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, với đề tài “Bài toán giá trị cuối

cho một sô phương trình đạo hàm riêng” là công trình khoa học do tôi thực hiện

dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Huy Tuan.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và

không trùng lắp với các công trình đã công bô trong và ngoài nước.

Cán bộ hướng dẫn Nghiên cứu sinh

PGS.TS Nguyễn Huy Tuan Danh Hứa Quốc Nam

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, với tình cảm sâu sắc và chân thành nhất, cho phép tôi được bày tỏlòng biết ơn đến Thay hướng dẫn - PGS.TS Nguyễn Huy Tuan Thay đã rất quantâm, tận tình hướng dẫn kiến thức chuyên môn cho tôi trong suốt thời gian học tập,

cũng như luôn động viên, chia sẻ giúp cho tôi có thêm nghị lực vượt lên những

khó khăn trong việc học tập, trong cuộc sống.

Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn quý thay, cô thuộc Khoa Toán - Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đãtận tình truyền dạy những tri thức mới; đặc biệt cảm ơn đến quý thay, cô ở các hội

đồng da phản biện, góp ý cho dé cương, các bản thảo luận án thêm hoàn thiện Tôi

cũng chân thành cảm ơn quý thay, cô ở các phòng, ban của Nhà trường đã giúp

đỡ, hỗ trợ chu đáo về các thủ tục, quy ché học vụ cho học viên, nghiên cứu sinh.

Kế đến, tôi trân trọng cảm ơn đến lãnh đạo tỉnh Bình Dương, lãnh đạo TrườngĐại học Thủ Dầu Một - đặc biệt là có PGS.TS Hoàng Trọng Quyền, cảm ơn lãnhđạo và tập thể đồng nghiệp thuộc Phòng Khoa học, Trường Đại học Thủ Dầu Một

đã động viên, tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể an tâm học tập cũng như hoàn

thành các nhiệm vụ công tác được giao Bên cạnh đó, tôi cũng chân thành cảm ơn

quý thay, cô đồng nghiệp, thành viên trong các nhóm nghiên cứu /seminar đã luôn

động viên, chia sẻ nhiều kiến thức bổ ích và đồng hành cùng tôi trong quá trình

học tập.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân đến ông bà, cha mẹ, lời cảm ơn chân thành đến

những người thân trong gia đình đã luôn là chỗ dựa vững chắc và cho tôi những

động lực lớn để tôi có thể hoàn thành chương trình học và luận án này

Mặc dù tôi đã rất cố gắng nhưng luận án khó tránh khỏi những thiếu sót Kính

mong nhận được sự chỉ bảo của quý thay, cô và sự góp ý chân thành của bạn bè,đồng nghiệp

Trân trọng tri ân.

ii

Mục lục

i ii 11

© © = © rn M

Trang thông tin luận án tiêng Anh| Vii

¬ 1X

dữ liệu bị nhiêu ngau nhiên rời rac

2.4 Nội dung nghiên cứu của luận an

iii

Tài liệu tham khảo| CC Q Q LH HQ HH g2 96

Danh mục công trình của nghiên cứu sinh| - 105

1V

THÔNG TIN LUẬN ÁN

Tên đề tài luận án: Bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng

Ngành: Toán Giải tích

Mã số Ngành: 9460102

Họ tên nghiên cứu sinh: Danh Hứa Quốc Nam

Khóa đào tạo: 2019

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP HCM

1 Tóm tắt nội dung luận án

Luận án này trình bày về một số bài toán giá trị cuối cho một số phương trình

đạo hàm riêng Đây là các bài toán/ mô hình thuộc nhóm bài toán ngược thời

gian (backward in time problem) và bài toán xác định hàm nguồn (inverse sourceproblem), có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật

- công nghệ Tuy nhiên, nghiệm của các bài toán này là không chỉnh theo nghĩa

Hadamard Bang cach sử dung phương pháp chỉnh hóa phù hợp, luận án đã trìnhbày kết quả chỉnh hóa nghiệm cho 04 bài toán cụ thể, đồng thời minh họa đượcmột vài kết quả mô phỏng số tương ứng Cụ thể gồm các bài toán sau

Bài toán 1 Chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình

parabolic có chứa số hạng Kirchhoff

Bài toán 2 Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong

không gian L7.

Bài toán 3 Chỉnh hóa nghiệm bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình

bi-parabolic.

Bài toán 4 Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dam

mạnh với dir liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rac.

2 Những kết quả mới của luận án

Luận án hàm chứa một số kết quả mới và được công bồ trên các tạp chí khoa

học quôc tế uy tín Trong luận án này, chung tôi trình bày các kêt quả mới sau

© Chỉ ra sự không chỉnh, dé xuất phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh

hóa nghiệm của Bài toán 1, Bài toán 2 và Bài toán 4.

e Đề xuất phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để chỉnh hóa nghiệm của Bài toán

3.

® Ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa dé xuất và nghiệm chính xác của các

bài toán, dong thời minh họa một vai ví dụ sô cho ket quả ly thuyet đã dat

được.

Các kết quả nêu trên được tổng hợp từ 04 bài báo đã được công bố trên các

tạp chi: Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI-Q1), Applicable ysis (ISI-Q2), Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S (ISI-Q2), va Advances in Difference Equations (Tên mới từ nam 2022: Advances in Continuous and Discrete Models) (ISI-Q2).

Anal-3 Các ứng dung/ Kha năng ứng dung trong thực tiễn hay những

vân đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu

Trong tương lai, chúng tôi dự kiến mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau

© Bài toán ngược cho mô hình Kirchhoff với hàm nguồn phi tuyến

* Bài toán ngược cho một số phương trình sóng dầm trong không gian L7

® Một số bài toán ngược có liên quan đến quá trình Wiener hay chuyển động

Brown

-vi

THESIS INFORMATION

Thesis title: Final value problem for some partial differential equations

Specialty: Mathematical Analysis

Code: 9460102

Name of PhD Student: Danh Hua Quoc Nam

Academic year: 2019

Supervisor: Ph.D Nguyen Huy Tuan, Associate Professor

At: VNUHCM - University of Science

1 Summary

This thesis presents some final value problems for some partial differential tions These are problems/models belonging to the groups of backward in time problem and inverse source problem, which have many applications in the fields

equa-of natural science and engineering - technology However, the solutions to these problems are ill-posed in the Hadamard sense By using the appropriate regular- ization method, my thesis has presented the results of regularization solutions for

04 specific problems, and also illustrated some corresponding numerical tion results Specifically, the following problems include

simula-Problem 1 Regularizing the solution of the backward in time problem for the parabolic Kirchhoff system of equations.

Problem 2 Regularizing the solution to the final value problem for elliptic tions in LP space.

equa-Problem 3 Regularizing the solution to the problem of determining the source function for the bi-parabolic equation.

Problem 4 Regularizing the solution to the final value problem for strongly damped wave equation with statistical discrete data.

2 Novelty of thesis

The thesis includes a number of new results, which are published in prestigious international scientific journals In this thesis, we present the following new results

vii

¢ Showing the ill-posedness, proposing a Fourier series truncation method to

regularize the solutions of Problem 1, Problem 2 and Problem 4.

® Proposing the Tikhonov regularization method to regularize the solution of

Problem 3.

¢ Estimating the error between the proposed regularization solution and the

exact solution of the problems, and illustrate a few numerical examples of the achieved theoretical results.

The above results are compiled from four scientific articles, which have been published in the journals: Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI-Q1), Applicable Analysis (ISI-Q2), Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series

S (ISI-Q2), and Advances in Difference Equations (New name from 2022: Advances

in Continuous and Discrete Models) (ISI-Q2).

3 Applications/ Applicability/ Perspective

In the near future, we are going to expand our research results in the following directions

® Inverse problem for Kirchhoff models with nonlinear source functions.

® Inverse problem for some strongly damped wave equations in L? space.

¢ Some inverse problems involve Wiener processes or Brown motions

vill

: Hình ảnh minh họa tính không chỉnh của bài toán

: Dữ liệu gốc của ảnh logo Trường Đại học Thủ Dầu Một và Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG HCM

: Ảnh logo Trường Đại học Thủ Dầu Một sau khi chỉnh hóa : Ảnh logo Trường Dai học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG HCM sau khi

chỉnh hóa : Nghiệm chính xác và chỉnh hóa tính tại các giá trị rời rac trên đoạn

: K*: Y > X là toán tử liên hợp của K

: Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y,

trong đó X, Y là các không gian Banach

: Không gian tat cả các hàm liên tục từ |0, T] vào XKhông gian tất cả các hàm ø liên tục từ (0, T] vào X thỏa

lløllc, := sup £f||øo()||x <

0<t<T

: Không gian gồm các lớp tương đương chứa ham khả tích

từ [0, T] vào X đối với chuẩn

Chương 1

MỞ ĐẦU

Luận án hàm chứa một số kết quả mới và được công bồ trên các tạp chí khoa

học quốc tế uy tín Kết quả nghiên cứu trong luận án này được tổng hợp từ cácbài báo đã được công bố trên các tạp chi: Advances in Difference

Equations (lên mới từ năm 2022: Advances in Continuous and Discrete Models) (ISI-Q2), Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S (ISI-Q2), Applica- ble Analysis (ISI-Q2), va Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI-Q1).

Cu thé nhu sau

® Bai báo chúng tôi khảo sát bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình

parabolic có chứa số hạng Kirchhoff Bài toán này là không chỉnh theo nghĩaHadamard Nghiệm chỉnh hóa được thiết lập dựa trên việc chặt cụt chuỗiFourier Kết quả chính của bài báo là chứng minh tính không chỉnh của baitoán Đưa ra các đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xácdựa trên giả thiết khác nhau của nghiệm chính xác

® Bài báo khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với cả hai

hàm nguồn tuyến tính và phi tuyến Bài toán này là không chỉnh theo nghĩaHadamard Kết quả chính của bài báo này là thiết lập được nghiệm chỉnh hóa

cho bài toán theo dữ liệu quan sát bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier Dưới một số giả định, chúng tôi khảo sát sự tồn tại và đánh giá sai sO gitta

nghiém chinh xac va nghiém chinh hoa.

® Bai báo khảo sát bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình

bi-parabolic Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Kết quả chính

của bài báo này là thiết lập được nghiệm chỉnh hóa bằng phương pháp

Tikho-nov Dưới một số giả định, chúng tôi đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác vànghiệm chỉnh hóa, đồng thời minh họa một ví dụ số cho kết quả lý thuyết đã

đạt được.

® Bai báo khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng dầm

mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài toán này là không chỉnh

theo nghĩa Hadamard Kết quả chính của bài báo là thiết lập được nghiệm

chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt và ước lượng phi tham số Dưới một số

giả định, chúng tôi khảo sát sự tổn tại và đánh giá sai số giữa nghiệm chínhxác và nghiệm chỉnh hóa, đồng thời minh họa một ví dụ số cho kết quả lý

thuyêt đã đạt được.

Một phần các kết quả nêu trên đã được báo cáo tại các hội nghị/ seminar khoa

học sau đây

® Đại hội loán học toàn quốc lần thứ IX, tổ chức tại Trường Đại học Thông tin

Liên lạc, Thành phố Nha Trang, vào ngày 14-18/8/2018

¢ Hội nghị khoa hoc lần thứ XII Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học

Quốc gia Thành phố Hồ Chi Minh, vào ngày 18-19/12 /2020

¢ Hội nghị Toán học Miễn Trung - Tây Nguyên lần thứ IV, tổ chức tại Trường

Đại học Sư phạm - Đại học Huế, vào ngày 25-27/8/2022

® Seminar Nghiên cứu sinh Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Trường Dai

học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phó Hồ Chí Minh, vào ngày

08/9/2023.

1.1 Lý do lựa chọn dé tài

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực nghiên cứu rất sôi

động của giải tích toán học, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học

trong nước và quốc tế Sở dĩ điều này là do các phương trình đạo hàm riêng thường

mô phỏng được các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật như vat lý, sinh học, môi trường, công nghé,

Các vấn dé liên quan đến tính chỉnh, tính không chỉnh của phương trình đạo

hàm riêng là một hướng nghiên cứu quan trọng có nhiều tiềm năng để phát triểncũng như có nhiều thử thách Các bài toán về phương trình đạo hàm riêng đặt ra

có thể được chia thành hai dạng là bài toán thuận và bài toán ngược Các bài toán

thuận đã được nghiên cứu từ rất lâu với nhiều kết quả phong phú, trong khi đó

các bài toán ngược chỉ mới được quan tâm nghiên cứu nhiều từ thập niên 60-70

của thế kỷ XX với các công trình tiêu biểu của Robert Lattès, Jacques-Louis Lions

[1], Ralph Edwin Showalter [2] Hơn nữa, các bài toán ngược hầu hết có tinh không

chỉnh (theo nghĩa Hadamard).

Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự chỉ dẫn và thảo luận cùng, nhóm

nghiên cứu của PGS.TS Nguyễn Huy Tuan, năm 2018 chung tôi bắt đầu có được

những kết quả mới về bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng.Các bài toán đã tìm hiểu thuộc dạng bài toán ngược và không chỉnh

Bên cạnh đó, đã có nhiều luận án tiến sĩ về chủ đề bài toán ngược, không chỉnh

như luận án tiến sĩ của Nguyễn Huy Tuan, Bùi Thanh Duy, Lê Minh Triết, Nhờ

đó, tôi có thêm động lực và cảm hứng yêu thích chủ đề này.

Với sự định hướng nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, sự đam mê tìm hiểu cũngnhư những kết quả khả quan bước đầu đạt được đã thúc đẩy tôi đi theo hướng

nghiên cứu này, và lựa chọn đề tài “Bài toán giá trị cuối cho một số phương trình

đạo hàm riêng” để làm luận án của mình

1.2 _ Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xây dựng nghiệm chỉnh hóa của một số bài

toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đồng thời đánh

giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa đã thiết lập với nghiệm chính xác của bài toán,minh họa một vài kết quả mô phỏng số tương ứng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Luận án xem xét các bài toán sau

* Bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng

Kirch-hoff.

® Bai toán giá tri cuối cho phương trình elliptic trong không gian L7.

* Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic

© Bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dir liệu bị nhiễu

ngẫu nhiên rời rạc.

1.4 Phạm vi nghiên cứu

Pham vi nghiên cứu của dé tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm

riêng, tập trung chính vào chỉnh hóa nghiệm cho các phương trình đạo hàm riêng,

cụ thể là nghiên cứu hai mô hình chính: bài toán ngược thời gian và bài toán xác

định hàm nguồn

1.5 Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp tra cứu và kế thừa kết qua: Chúng tôi thu thập, phân tích, xử lý

các kêt quả đã có về các nghiên cứu liên quan đên đề tài Từ đó chọn lọc các nội dung cũng như các kết quả có giá trị giúp định hướng xây dựng các kêt quả nghiên

cứu.

Phương pháp phân loại và tổng hợp lý thuyết: Từ các kết quả nghiên cứu trước

đó của những công trình liên quan đến đề tài, chúng tôi thực hiện hệ thống hoá lý

thuyết và đưa ra các giả thuyết dự đoán về nghiệm cho các bài toán được nghiên

cứu trong đề tài Phát triển các phương pháp mới trong việc chỉnh hóa nghiệm

1.6 YÝ nghĩa khoa học hoặc thực tiễn của dé tài

Trước hết, việc thực hiện để tài luận án giúp nâng cao năng lực nghiên cứu,

công bo khoa học của người học cũng như nâng cao năng lực hướng dân khoa học

3

của giảng viên hướng dẫn Đồng thời các sản phẩm công bố từ dé tài đóng góp

vào thành tích công bồ và khẳng định uy tín khoa học của cơ sở đào tạo.

Các kết quả công bồ của đề tài sẽ tiếp tục được trình bày, thảo luận trong nhóm

seminar để các thành viên học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới Từ đó, kết quả

đề tài có thể gợi mở và làm nảy sinh một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu

Ngoài ra, việc thực hiện dé tài luận án cũng đã đóng góp vào việc triển khai

nội ham gan ket hoạt động đào tạo với hoạt động nghiên cứu khoa học, hoạt động

nghiên cứu khoa học góp phân nâng cao chât lượng đào tạo của Nhà trường.

Chương 2

TỔNG QUAN

Trong giải tích toán học thì hướng nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng

là một trong những hướng rất sôi động và thu hút được nhiều nhà toán học trong

nước và quốc tế quan tâm Lý do chính của việc này là vì các phương trình đạo

hàm riêng thường mô phỏng các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật - công nghệ như vật lý, sinh học, môi trường, xử lý ảnh,

Có rất nhiều chủ đề khác nhau về phương trình đạo hàm riêng, và trong luận án

này, chúng tôi quan tâm đến các bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng.

Bài toán ngược là các loại bài toán mà khi các dữ kiện của quá trình tự nhiên không

đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp

Chúng tôi tìm hiểu hai loại bài toán ngược: bài toán ngược thời gian (backward in

time problem) và bài toán xác định hàm nguồn (inverse source problem) Bài toánngược thời gian là bài toán tìm phân bồ tại thời điểm ban dau khi quan sát các dữ

liệu tại thời điểm cuối Chẳng hạn như, chúng ta cần khôi phục lại một tam hình

trong quá khứ khi ở thời điểm hiện tại tam hình này đã bị mờ Từ bài báo [3] ta biếtrằng các quá trình khuếch tán thuận rất phù hợp để mô tả làm mịn một tín hiệuhoặc hình ảnh nhất định Quá trình làm mờ này có nghĩa là làm mất đi các tần số

hoặc chỉ tiết cao trong dữ liệu ảnh ban đầu Những ứng dụng chi tiết của quá trình

khôi phục ảnh và xử lý mờ có thể được tìm thấy trong công trình [3] Trong các

vụ hỏa hoạn, chúng ta không thể nào đo được nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu cháy

hoặc nhiệt độ trong lúc đang cháy mà ta chỉ xác định được nhiệt độ tại thời điểmsau đó Từ các dữ liệu tại thời điểm sau đó, ta cần phải khôi phục lại di liệu tạithời điểm ban đầu

Để tìm hiểu về tính chất nghiệm của bài toán ngược, ta nhắc lại về tính chỉnh và

không chỉnh của một phương trình đạo hàm riêng Theo định nghĩa của Hadamard

thì một bài toán đạo hàm riêng gọi là chỉnh (well-posed) nếu nó thỏa mãn cả 3 tínhchất

1) Bài toán có nghiệm;

ii) Bài toán có nghiệm duy nhất;

iii) Bài toán có nghiệm và nghiệm ổn định theo các dữ liệu đầu vào

Nếu bài toán không thỏa một trong ba tính chất trên thì bài toán gọi là không chỉnh

(ill-posed hay non well-posed).

Nhìn chung, các bài toán thuận thường là chỉnh theo nghĩa Hadamard, trong

khi đa số các bài toán ngược thì thường là không chỉnh Tính không chỉnh của các

bài toán ngược thường xảy ra khi nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục

vào dữ liệu cho trước Trong quá trình mô phỏng hay quan sát thực te, thì dữ liệu

thu được từ các quá trình đo đạc luôn có một sai so nhất định Sai số nhỏ của dữ

liệu đầu vào sẽ dẫn đến sai lệch rất lớn của dữ liệu đầu ra Do đó, nếu bài toánngược mà không chỉnh thì việc tính toán số liệu đầu ra có thể mang lại những kếtquả không đáng tin cậy Vì thế, ta cần phải có các phương pháp “chỉnh hóa” đểgiải quyết van dé này Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì phương pháp Tikhonov

là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất cho các bài toánngược tuyến tính Các phương pháp chỉnh hóa khác cho bài toán tuyến tính khôngthuần nhất hay bài toán phi tuyến có thể kể ra như phương pháp chặt cụt chuỗi

Fourier, phương pháp tua giá trị biên, phương pháp tựa đảo,

Sau đây, chúng ta đưa ra hình ảnh để minh họa tính không chỉnh của bài toán

Cho toán tử K : X + Y vag € Y Xét bài toán tìm u € X thỏa Ku = g Đối với bài

toán này, g € Y được gọi là dữ liệu đầu vào, và # € X được gọi là nghiệm

Ta gọi g là dữ liệu nhiễu của g Bài toán không chỉnh do vi phạm điều kiện iii), tức

là nếu với giả định di liệu đầu vào bị nhiễu với ||g — ế|| rất nhỏ, tuy nhiên giữa

nghiệm ug với nghiệm có dữ liệu nhiễu ug khác biệt rất lớn.

(a) Nghiệm ug của bài toán với dữ liệu (b) Nghiệm ug của bài toán với dữ liệu đầu đầu vào 8 vào ế

Hình 2.1: Hình ảnh minh họa tính không chỉnh của bài toán

trong đó A: D(A) C H + H là một toán tử tuyến tính không bi chặn, xác định

dương trên không gian con D (A) của không gian Hilbert H, g € H là dữ liệu tại

thời điểm cuối

Bài toán này không chỉnh theo nghĩa Hadamard và đã được nghiên cứu từ

những năm 60 của thế kỷ trước Chúng tôi sẽ giới thiệu một số phương pháp chỉnh hóa cho các bài toán tuyến tính.

2.1.1 Phương pháp tựa dao (Quasi-Reversibility)

Năm 1967, Robert Lattès và Jacques-Louis Lions [1], đưa ra phương pháp tựa đảo

(Quasi-Reversibility) để chỉnh hóa bài toán (2.1) Các tác giả đã xap xi A bởi toán tử

Bậc ổn định của phương pháp này là e

Năm 1974, Ralph Edwin Showalter [2] cũng dùng phương pháp tựa đảo với

A'=A(I+eA) 1, e>0,

dé đưa ra bài toán xap xi sau

(2.3)

up + Au+eAu;=0, t€ (0,T), u{T) =¢.

2.1.2 _ Phương pháp tựa giá trị biên (Quasi Boundary Value)

Năm 1983, Ralph Edwin Showalter [4] đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa gọi

là phương pháp tựa giá trị biên (Quasi Boundary Value) để chỉnh hóa bài toán thuần

nhất Ý tưởng của phương pháp tựa giá trị biên là làm nhiễu giá trị biên thời gian

u(T) + eu(0) = g.

Phương pháp này còn được gọi là phuong pháp bài toán biên giá trị không dia phương.

Phương pháp này đã được khảo sát kĩ trong bài báo được công bố vào năm 1994

của Gordon Wayne Clark và Seth Fredric Oppenheimer [5].

Mohamed Denche va Khaled Bessila [6] đã đưa ra phương pháp tựa biên kiểukhác Ho đã thay thé u(T) bởi

u(T) — eu;(0) = g.

2.1.3 Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier

Nghiệm của bài toán có thể được biểu diễn dạng chuỗi Fourier

u(x,t) =)_ eT Ang en, (2.4)

n=1

Ở day, ø„ là hệ số Fourier của ø trong khai triển Fourier Chúng ta quan sát rang,

thành phan e(T~ĐÄ» tiến ra vô cùng khi 1 tiến ra vô cùng và 0 < t < T Do đó,

để chỉnh hóa bài toán này, chúng ta chỉ xét nghiệm với 1? < Me, tức là loại bỏ

những thông tin về nghiệm ở “tần số cao” Ở đây M; thỏa mãn điều kiện M; —> +00

khi e — 0 Nhờ vậy, chúng ta đưa ra nghiệm chỉnh hóa có dạng chặt cụt như sau

M;

Ue(x,t) = » cÚ—~ĐÀn gen, (2.5)

n=1

Trong [7], Nguyễn Huy Tuan đã dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh

hóa bài toán phi tuyến Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier cũng được áp dụng

thành công cho các bài toán phi tuyến dang khác, chẳng hạn [8].

2.14 Phương pháp chính hóa Tikhonov

Trong tiểu mục này, chúng tôi trình bày sơ lược và khái quát nhất phương phápTikhonov Các kết quả thể hiện ở dưới đây, được chúng tôi tham khảo chính trongcuốn sách của Andreas Kirsch [9]

Định ly 2.1.1 Cho X va Y là các không gian Hilbert, K : X > Y là toán tử tuyến tính bịchặn Cho € Y Khi đó, ton tại x € X sao cho

||Kx — || < ||Kx — y||,Vx € X, (2.6) khi va chỉ khi x thỏa

K*Kx = K*y, (2.7)

dới K* : Y — X là toán tử liên hợp của K

Nhận xét: Xét bài toán: Tìm x € X sao cho

Kx = ,Vụ € Y (2.8)

° Nếu có nghiệm x € X thix = x.

® Nếu (2.8) không có nghiệm x € X thì việc tìm minyex ||Kx — || chưa chắc tồn

tại.

Định nghĩa 2.1.1 x = arg min ||Kx — y|| nếu x € X thỏa

JIK#~— yl] < ||Kx —y||,Vx € X.

8

Nhu vậy, ¥ = are min ||Kx — || khi và chỉ khi ¥ thỏa K*Kx = K*y.

Xét bài toán: Tìm xy = are minyex j4(x), với

Ja() = ||Kx — yl] + # ||x||,& > 0:

Định ly 2.1.2 Cho K : X — Y tuyén tính, liên tục, compact Khi đó, uới moi a > 0, ham

Ju luôn có cực tiểu xy € X uới x„ thỏa

wx„ + K*Kxq = K*y.

Ta noi xq là nghiém chỉnh hoa Tikhonov.

2.1.5 Các bước để chỉnh hóa bài toán ngược

Để chỉnh hóa bài toán ngược, chúng ta cần thực hiện các bước sau

® Xây dựng và thiết lập nghiệm chỉnh hóa cho bài toán ngược và chứng minh

đây là bài toán chỉnh.

se Đánh giá tốc độ hội tụ và sai số giữa nghiệm chỉnh hóa với nghiệm chính xác

2.2 Ứng dung của bài toán ngược thời gian và van dé chỉnh hóa

trong xử lý ảnh

Bài toán ngược thời gian trong xử lý ảnh là một hướng nghiên cứu mới mẻ và

thú vị, có nhiều ứng dụng thực tê và tiềm năng Bài toán này đặt ra câu hỏi: liệu có

thể khôi phục lại trạng thái trước đó của một đối tượng dựa trên những thông tinhiện tại trong ảnh hay không? Ví dụ, có thể xác định được nguyên nhân gây ra vết

nứt trên bức tường, hay quay ngược lại quá trình phân hủy của một qua táo, hay

tái hiện lại hình ảnh ban đầu của một bức tranh bị hư hại

Gan đây, việc ứng dụng các mô hình toán học để giải quyết các van dé thực tiễnnày đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Một trong những

mô hình đó là bài toán đặt ra trong xử lý ảnh Đầu tiên, để hiểu thế nào là một

bài toán không chỉnh, chúng ta nhớ lại khái niệm bài toán chỉnh, được đưa ra bởi

nhà toán học tên là Jacques Salomon Hadamard (một nhà toán học nổi tiếng người

Pháp sống từ năm 1865 đến 1963 và có những đóng góp đáng kể cho nhiều lĩnh

vực toán học khác nhau, như phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết số, hình học

vi phân và giải tích phức) Ong đã nêu câu hỏi về những vấn dé chưa được đặt ra

trong cuốn sách của mình Theo định nghĩa của bài toán không chỉnh đượcnhà toán học Hadamard đưa ra, đó là những bài toán không thỏa mãn các điềukiện của bài toán chỉnh, cụ thể là: Tính tổn tại, tính duy nhất và tính ổn định củanghiệm Những vẫn đề này phát sinh khi dữ liệu đầu vào không đủ hoặc bị nhiễu,dẫn đến nhiều sai số ở nghiệm đầu ra Hầu hết các bài toán ngược thời gian đều làbài toán không chỉnh, phổ biến trong nhiều ứng dụng như chụp ảnh y tê, thiên vănhọc, chụp ảnh dia chan, kiểm tra không phá hủy và xử lý tín hiệu [11jí12] Các vấn

đề đặt ra trong thị giác máy tính và hình ảnh được mô tả bằng phương trình tuyến

9

tính, được nhân mạnh trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật ứng dụng khác nhau như

vật ly plasma, vật lý hạt nhân, địa vật lý và vật lý phóng xa [13].

Để giải quyết bài toán này, các nhà nghiên cứu đã dé xuất nhiều phương pháp

khác nhau, sử dụng các kỹ thuật xử lý ảnh cơ bản như lọc, biến đổi, phân đoạn,

nhận dạng, cũng như các kỹ thuật tiên tiến hơn như học sâu, học tăng cường, trí

tuệ nhân tạo.

Chỉnh hóa bài toán không chỉnh là một trong những kỹ thuật được sử dụng để

giải quyết các van dé đặt ra trong xử lý ảnh Nó liên quan đến việc thêm các yêu tốràng buộc để đưa bài toán về bài toán chỉnh theo nghĩa Hadamard Việc chỉnh hóa

này có thể có được bằng cách thêm một số số hạng đặc biệt tùy vào phương pháp

được sử dụng, điều này giúp kiểm soát tính ổn định của nghiệm bài toán

Một số ví dụ về kỹ thuật để chỉnh hóa trong mô hình xử lý ảnh được sử dụng

như sau

© Tăng cường đữ liệu, tạo ra hình ảnh mới từ những hình ảnh hiện có bằng cách

áp dụng các phép biến đổi như xoay, chia tỷ lệ, cắt xén, đối lập, Điều này

làm tăng tính đa dạng và kích thước của dữ liệu huấn luyện và giúp mô hình

tìm hiểu các tính năng mạnh mẽ hơn [14]

¢ Khử nhiễu toàn bộ các yêu tố gây nhiễu, giúp giảm thiểu một hàm bao gồm

phần tử độ chính xác của dữ liệu và phần tử biến thể tổng thể Độ chính xác

của dữ liệu đo lường phù hợp với hình ảnh bị khử nhiễu, trong khi thuật ngữ

biến thể tổng thể đo mức độ mượt mà hoặc không đổi từng phần của hình ảnh

bị khử nhiễu Kỹ thuật này bảo tồn các cạnh và loại bỏ nhiễu trong ảnh [15]

¢ Chỉnh hóa Tikhonov (đã nêu ở mục 2.1.4), đây là một phương pháp thông

dụng dùng để giải các bài toán đặt ra trong xử lý ảnh Các vấn đề đặt ra

là những van dé không có giải pháp duy nhất hoặc giải pháp khó xử lý vớinhững thay đổi nhỏ trong dữ liệu đầu vào Chỉnh hóa Tikhonov là một kỹthuật xét hàm mục tiêu để kiểm soát ảnh hưởng của nhiễu lên nghiệm [16]

Để hiểu rõ hơn về tính ứng dụng trong khôi phục ảnh, ta xét một ví dụ cụ thể

về việc khôi phục lại ảnh bị nhiễu bang mô hình nhieu Gaussian và phương pháp

được sử dụng là biến đổi Fourier rời rạc (discrete Fourier transform - DFT) như

sau.

s dữ liệu đầu vào là hình ảnh logo của Trường

Đại học Thủ Dầu Một (nguồn ảnh: https: //tdmu.edu vn) trong Hình [2.2] (a), kétquả khôi phục lại ảnh được thể hiện trong Hình

- Ví dụ thứ hai chúng tôi sử dụng dữ liệu đầu vào là hình ảnh logo của TrườngDai học Khoa học Tự nhiên - DHQG HCM (nguồn ảnh:

vn) trong Hình 2.2] (b), kết quả khôi phục lại ảnh được thế hiện trong Hình

- Ví dụ đầu tiên chúng tôi sử dụng

Để chuyển đổi những hình ảnh này thành dữ liệu được đọc trong phần mềm

Python, chúng tôi chia nó thành kích thước 400x256 pixel cho mỗi hình anh

10

Hiện nay, vẫn còn một số hướng nghiên cứu mới cho các bài toán ngược với các

phương trình khác nhau Như chúng tôi đã giới thiệu ở phần trước, các bài toán

ngược cho phương trình parabolic đã được khảo sát nhiều Tuy nhiên, các kết quả

liên quan đến các bài toán ngược cho những phương trình khác hay cho hệ phương

trình vẫn còn dang hạn chế Tác giả cùng thay hướng dẫn đã liệt kê một số hướngcòn bỏ ngỏ và có khả năng phát triển Cụ thể, trong luận án này, chúng tôi sẽ khảo

sát các loại bài toán sau

© Bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng

Kirch-hoff.

* Bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong không gian L7

© Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic

* Bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu

ngau nhiên rời rac.

11

The original image The observed image

0 0

50 50

100 + 100 4

DAI HOC PAT Pte

200 2009 THU DAU MOT UNIVERSITY 200 —_- = =

2504 250 4

0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300

(a) Dữ liệu gốc (b) Dữ liệu bị nhiễu bởi mô hình Gaussian

i Recovering data i Recovering data

100 100

rnc nicerane 2009 THỤ DAU MOT UNIVERSITY|

150

200

250 250

0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300

(c) Dữ liệu chỉnh hóa với tham số chỉnh hóa (d) Dữ liệu chỉnh hóa với tham số chỉnh hóa

aw = 1x 1071, thời gian CPU chạy: 10.838 a = 2 x 107!, thời gian CPU chạy: 16.532

(e) Dữ liệu chỉnh hóa với tham số chỉnh hóa

a = 4x 1071, thời gian CPU chạy: 20.863

(giây)

-Hình 2.3: Anh logo Trường Đại học Thủ Dâu Một sau khi chỉnh hóa

12

The original image The observed image

(a) Dữ liệu gốc (b) Dữ liệu bị nhiễu bởi mô hình Gaussian

: Recovering data 0 Recovering data

(c) Dữ liệu chỉnh hóa với tham số chỉnh hóa (d) Dữ liệu chỉnh hóa với tham số chỉnh hóa

œ = 1x 101, thời gian CPU chạy: 8.428a = 2 x 10”Ì1, thời gian CPU chạy: 9.023

(e) Dữ liệu chỉnh hóa với tham số chỉnh hóa

a = 4x 101, thời gian CPU chạy: 13.433

„ (giây) Hình 2.4: Anh logo Trường Dai học Khoa hoc Tự nhiên - ĐHQG HCM sau khi

chỉnh hóa

13

2.3.1 Bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng

Kirchhoff

Một trong những lý do mà chúng tôi quan tâm đến phương trình, hệ phươngtrình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff chính là vì ứng dụng của nó trong vật lý.Bài toán dạng Kirchhoff được giới thiệu đầu tiên vào năm 1883 bởi Gustav Kirch-hoff [17] Kirchhoff giới thiệu mô hình bằng phương trình đạo hàm riêng

E L

yutt — (+ 2 2) Uxx =0, t>0, x € (0,L);

ở đây +, po, B, E và L là các hang số dương Thật ra, phương trình này được mở

rộng từ phương trình sóng đAlembert dé xuất năm 1747, kết quả công bố năm

1749,

~ («+0 Ệ \uP) An = ƒn), xEO

u(x,t) =0, x€0Q,

trong đó O là miễn bi chặn, tham khảo [18) [19]

Trong những năm gan đây, việc nghiên cứu bài toán này đã được nhiều nhà

nghiên cứu quan tâm [27] Bài toán này có vai trò quan

trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học 50], chẳng hạn như bài toán động

học quan thể, lý thuyết trường, hiện tượng chuyển pha, vật liệu phân tang, sóng

nước, Đã có nhiều công trình liên quan đến bài toán phi địa phương kiểu

Kirch-hoff, xem [31| (32) (33) (341 [35].

2.3.2 Bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong không gian LP

Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic có nhiều ứng dụng trong các lĩnh

vực Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic là bài toán không chỉnh theo nghĩa

Hadamard và đã thu hút rất nhiều nhà toán học quan tâm với hàng trăm côngtrình, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau

Chúng tôi sẽ mô tả một số phương pháp chỉnh hoá cho phương trình elliptic đã

được sử dụng Trong [8], các tác giả nghiên cứu phương trình Helmholtz trên miền không bị chặn IR* bằng phương pháp chặt cụt Hongwu Zhang và Xiaoju Zhang

nghiên cứu phương trình elliptic nửa tuyến tính bằng phương pháp chỉnh hóa

Lavrentiev tổng quát Các tác giả trong [37] áp dụng một phương pháp chỉnh hoá

Tikhonov tổng quát để xap xi bai toán Cauchy của một phương trình elliptic nửa

tuyến tính Dưới gia thiết về ràng buộc trước của nghiệm cần tìm, các tác giả da

ước lượng được sai số hội tụ theo Hölder cho phương pháp này.

Kết quả phi tuyến của bài toán này được nghiên cứu như sau

¢ Nguyễn Huy Tuan và các cộng sự trong bai báo đã chỉnh hóa bài toán

Cauchy phi tuyến Họ đã thu được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm

chính xác khi nghiệm chính xác thuộc không gian Gevrey.

14

s® Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự trong bài báo đã dùng phương pháp

phương trình tích phân để chỉnh hóa bài toán Cauchy phi tuyến trong không

gian Hilbert Ở đây, ưu điểm của bài báo này là điều kiện của nghiệm không

cần thuộc không gian dạng Gevrey

¢ Hongwu Zhang và Renhu Wang trong bài báo đã dùng phương pháp điều

chỉnh Tikhonov để chỉnh hóa bài toán Cauchy phi tuyến

® Kết quả về hệ phương trình elliptic thì rất hạn chế Một trong những công trình

đầu tiên về hệ elliptic chính là khảo sát bài toán Cauchy cho hệ elliptic

sine-Gordon, xuất phát từ bài báo của Võ Anh Khoa và các cộng sự [41] Phương

pháp chỉnh hóa trong bài báo này là chỉnh hóa nhân tổng quát (general

kernel-based regularization).

* Trong công trình khác của Nguyễn Hữu Cần và các cộng sự [42], các tác giả đã

đưa ra các phương pháp chỉnh hóa mới để khảo sát hệ phương trình elliptic

trong không gian Hilbert với các loại hàm nguồn khác nhau

* Các kết quả về bài toán Cauchy cho phương trình elliptic và hệ elliptic chỉ khảo

sát khi mà sai số quan sát trong không gian L* Tuy nhiên, chúng tôi chưa thay

bất kỳ tài liệu nào khảo sát bài toán elliptic với sai số trong không gian LP với

p # 2 Đây là van dé còn tồn dong Do đó, trong luận án này, chúng tôi sẽ xemxét và nghiên cứu phương trình mà các dữ liệu đầu vào bị nhiễu trong không

gian L?, p # 2.

2.3.3 Bài toán xác định ham nguồn cho phương trình bi-parabolic

Phương trình bi-parabolic có các ứng dụng trong lý thuyết truyền nhiệt Phương

trình parabolic cổ điển không thé mô tả chính xác quá trình dẫn nhiệt [43] Í44], nên

rất nhiều mô hình đã được đề xuất để mô tả quá trình này Trong số các mô hình

được dé xuất nay thì mô hình bi-parabolic trong đã mô tả một cách day đủ

hơn về mặt toán học cho quá trình dẫn nhiệt Chúng tôi cũng giới thiệu đến người

đọc một vài công trình có liên quan [46] 47].

Bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic được cho như sau Gia

sử O là một miễn bị chặn trong RN (N > 1) với biên đủ trơn aM Xét bài toán

up (x,t) + 2Au;(x,t) + A2u(x,t) = F(x,t,u), (x,t) € Ax (0,T), (2.9)

thỏa các điều kiện biên Dirichlet

tạo = Aulag = 0, x € O, (2.10)với điều kiện cuối

u(x,T) = f(x), ur(x,T) = 0,x € ©) (2.11)

Trong đó, F là hàm nguén phi tuyến

Trong bài báo [48], Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự đã chỉnh hóa bài toán(2.21)-(2.23) bằng phương pháp chat cụt chuỗi Fourier Trong [49], nhóm tác giả

15

Nguyễn Đức Phương, Nguyễn Hoàng Lực và Lê Đình Long đã xét bài toán xác

định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic Trong [50], Nguyễn Huy Tuan đãnghiên cứu bài toán xác định hàm nguồn với dữ liệu quan sát trong L? với p # 2

Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Tikhonov để khảo sát bài

toán xác định hàm nguồn

2.3.4 Bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị

nhiễu ngẫu nhiên rời rạc

Chúng tôi quan tâm đến bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng dam

mạnh sau đây

up — Au + bA?u — aAuy, = F (x,t, u(x,t)), (x,t) € Ox [0,T],

u(x,T) = g(x), w;(x,T) = h(x), (x,y) € QO, (2.12)

Ứng dụng thứ ba của phương trình sóng dầm là tính gần đúng nghiệm của

phương trình sóng tắt dần mạnh với hệ vi phân ma trận cấp thấp Đây được gọi là phương trình bậc thấp, và nó là một loại phương trình sóng tắt dần mạnh bao gồm

số hạng tắt dan và số hạng ma trận bậc thấp [55].

Ngoài ra còn một số ứng dụng đã được nghiên cứu khác như

- Phuong phap biến phân đối với các phương trình sóng dầm: Hướng nghiên cứu

này nói về phương, pháp không gian Hilbert cho phép chứng minh tinh đúng đắn

về mặt phân tích của một lớp phương trình sóng suy giảm mạnh tuyến tính Công

cụ kỹ thuật chính là sự nhiễu loạn.

- Lực hút lùi cho phương trình sóng suy biến tới hạn với sự tắt dần phụ thuộc vàothời gian: Hướng nghiên cứu này nói về phân tích hành vi động học trong thờigian dài bằng việc giải phương trình sóng suy biến với số hạng tắt dần phụ thuộc

thời gian Dưới một số hạn ché về số hạng phi tuyến và số hạng tắt dan, ta sẽ chứng

minh nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục và rút ra sự tồn tại của một nhân hútlùi cho quá trình liên quan đến bài toán hyperbol suy biến

- Các định luật bảo toàn cho phương trình sóng dầm: Hướng nghiên cứu này nói

về các định luật bảo toàn cho phương trình sóng tắt dần mạnh Chứng tỏ rằng

phương trình này thừa nhận vô số định luật bảo toàn, những định luật này thu

1ó

được bằng cách áp dụng định lý Noether cho các đối xứng biến phân của một

Lagrange liên quan.

Sau đây chúng tôi liệt kê một vài công trình liên quan đến bài toán (2.12)

® Nếu b = 0 và a > 0 thì bài toán (2.12) đã được nghiên cứu trong bài báo [54].

Các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh hóa vàđưa ra sai số

se Trong công trình khác của Nguyễn Huy Tuấn, Võ Văn Âu và Nguyễn Hữu Cần

[B5], các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hóa “phương trình tích phân” đểchỉnh hóa bài toán sóng dầm khi hàm nguồn Lipschitz toàn cục và địa phương

© Các kết quả về bài toán ngược cho phương trình sóng dam với dit liệu bị nhiễu

ngẫu nhiên còn rat hạn ché Đây chính là động lực cho chúng tôi nghiên cứu

mô hình ngẫu nhiên của bài toán ngược cho phương trình sóng dầm

2.4 Nội dung nghiên cứu của luận án

Từ những định hướng nghiên cứu như trên, trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu các bài toán sau.

Bài toán 1 Chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic

Cho O là miễn bị chặn, với biên đủ trơn trong không gian IRN (N > 1) Xét hệ

phương trình parabolic sau

Chung ta có các nhận xét như sau

¢ Điểm thuận lợi khi khảo sát mô hình Kirchhoff là do số hạng ||Vøw|| 12(o) chỉ

chứa biến thời gian t và không chứa x, nên chúng ta có thể biểu dién nghiệm

dạng tường minh, theo chuôi Fourier.

s Số hạng ||Vul|;2(q) khiến cho bài toán có nhiều thành phan phi tuyến hơn

so với số hang L(t) Cụ thé hơn, nghiệm của bài toán trên sé chứa số hạng

exp ( IV#(,s)llrs¿ayds) Vì thế dung lượng tính toán sẽ công kểnh và

17

phức tạp hơn so với một số công trình như của Lê Minh Triết và các cộng

sự [56].

Một số bình luận cho mô hình Kirchhoff

Chúng ta thử áp dụng phương pháp chỉnh hóa tựa giá trị biên cho bài toán

phương trình Kirchhoff trong với hàm nguồn F = 0 Bài toán chỉnh hóa lúc

này có dạng như sau

uf = £(||Vue(-, Alla) Au’, (x, #) € 80x (0,7),

u®(x,t) = 0, (x,t) € dO x (0,T), (2.15)u®(x,T) + eu®(x,0) = fé(x), xeQ).

Bằng tính toán sơ bộ, chúng tôi thu được

van <P? (Aj Jy" Z(IV+“(,s)llra¿a)4s)

j=l €+ exp (a, Io Z(IIVw£(-,s) llrz¿oy)đs ) (*,0j)®jø) — (2.16)

Nếu chúng tôi chỉnh hóa theo phương pháp tựa đảo như trong bài báo củaNguyễn Huy Tuấn và các cộng sự thì sẽ nhận được bài toán sau

us = L (II Vu (-,t)Ila(a)) Aut + eAut, (x,t) € AO x (0,T),

ué (x,t) = 0, (x,t) € AO x (0,T), (2.17)u®(x,T) = f*(x), xe.

Bằng tính toán so bộ, chúng tôi thu được

09 rÀj£ (I[V+(,5)llz(oy ) ds

— € B +

=_kew L/ T+ eh; (f+ $j) $;(x) (2.18)

Bang cách quan sát hai công thức và (2.18), chúng tôi thay có sự phức tạp

của các thành phần phi tuyến Thành shan tức và mâu trong hai công thức đã nêu

đều có chứa 1, khiến cho việc chứng minh sự tôn tại nghiệm tương đối cồng kénh.

Do đó, chung ou có xu 210 Nee chọn phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh

hóa bài toán (2.13 ) Nếu có dự định nghiên cứu về các prong pep chinh

hoa khac, shone is sé = dụng phương pháp tựa đảo như bài toán (

với diéu kiện giá trị cuối được cho bởi

u(x,y,M) = f(x,y), uz(x,u,M) = 0,(x,w) € (0,7) (2.20)

Trong đó, ta ky hiệu (0, 7r)* = (0, 7t) x (0,7r) va A ở phương trình đầu tiên của hệ

(2.19) được cho bởi

Au = Uzz + Myy + Uyy.

Bài toán ( có nhiều ứng dụng trong thực tế Nếu hàm nguồn ở về phải của

(2.19) có dạng tuyên tính, tức là G(x,,z„(x,,z)) = G(x,y,z) thì phương trình

được gọi là phương trình Poisson Phương trình Poisson xuất hiện trong

nhiều lĩnh vực kỹ thuật như kiểm tra không phá hủy, phát hiện ăn mòn, chụp cắt lớp, hoặc trong dia vật lý [58} 59) (60) 6T] Nếu G(u) = sin thì được gọi là

phương trình elip sine-Gordon, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của vật lý

toán học bao gồm lý thuyết hiệu ứng Josephson, siêu dẫn và sóng spin trong từ trường [41] [62] Nếu G() = —k”u, thì được gọi là phương trình Helmholtz,

có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của vật lý, như quang học, âm

học, điện tích tĩnh, xem thêm tại [8j 63].

Theo kết quả tìm kiếm của chúng tôi, có rất ít kết quả liên quan đến bài toánchỉnh hoá trong trường hợp L? Hơn nữa, chưa có kết quả nào để nghiên cứu bai

toán Cauchy cho bài toán elliptic với dữ liệu nhiễu trong L? Trong luận án này,

chúng tôi quan tâm đến bài toán chỉnh hoá cho phương trình elliptic khi dữ liệu

quan sát được thuộc không gian L? với p # 2.

Để tiện theo dõi, chúng tôi mô tả các kết quả chính như sau

s Kết quả đầu tiên liên quan đến mô hình (2.19)-(2.20) với hàm nguồn G là một

hàm tuyến tính Với các giả thiết phù hợp của nghiệm chính xác, chúng tôi thuđược đánh giá sai số trong không gian L cho nghiệm chỉnh hoá và nghiệm

chính xác.

© Kết quả thứ hai liên quan đến việc chỉnh hóa nghiệm của Bài toán (2.19)-(2.20}

cho trường hợp phi tuyến

* Một điểm thuận lợi của mục này là chúng tôi học được về phương pháp chặt

cụt về phương trình elliptic từ các bài báo trước đó như [64] Để đánh giá

sai số trong LP, chúng ta không thể sử dụng kỹ thuật một cách trực tiếp Ý

tưởng thú vị của chúng tôi là sử dụng phép nhúng giữa L? và các không gian Hilbert Những kỹ thuật này được tham khảo ý tưởng trong bài báo của

Nguyễn Huy Tuấn trong tài liệu [50], Nguyễn Huy Tuan va Tomas Caraballo[65], Trần Thanh Binh và các đồng nghiệp [66]

® Theo tài liệu [50], Nguyễn Huy Tuấn đã nghiên cứu bài toán giá trị cuối cho

phương trình bi-parabolic với hàm nguồn tuyến tính và phi tuyến Trong [66],các tác giả chỉnh hoá phương trình tiến hóa cấp phân số trong cả hai trườnghợp: trường hợp tuyến tính và phi tuyến Một trong những kết quả chính củabài báo [65] là nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa trong không gian L cho

bài toán giá trị cuối của phương trình giả parabolic phi tuyến Trong những

19

mô hình nay, đữ liệu đầu vào bị nhiễu trong LP Nhờ các bài báo đã nêu này,chúng tôi học những kỹ thuật để giải quyết bài toán elliptic.

Bài toán 3

parabolic.

Gia sử O là một miền bị chặn trong RN (N > 1) với biên đủ trơn 9O Trong

mục này, luận án xem xét một bài toán hàm nguồn ngược trong việc xác định hàm nguồn ƒ cho phương trình bi-parabolic sau đây

use (x,t) + 2Au;(x,t) + A?u(x,t) = w(t) f(x), (x,t) € Ax (0,T), (2.21)

thỏa các điều kiện biên Dirichlet

Mục tiêu chính của bài toán ở đây là khôi phục hàm nguồn ƒ từ dữ liệu đã cho

h và p Trong đó, h mô tả dữ liệu tại thời điểm cuối T và mô tả mô hình tiến hóatheo thời gian £ Trên thực tế, dữ liệu chính xác (,) bị nhiễu bởi dữ liệu đo được(We, he) với sai số e > 0 thỏa

Pe #|qwx) Š

trong đó ||ÿ|Ìr=(o,r) = suPo<¿<r|Œ)|, với ÿ € L*(0,7) Yêu cầu ở đây là tìm ra

một phương pháp chỉnh hóa, nghĩa là thiết lập các nghiệm xấp xỉ fe của ƒ sao cho

fe ổn định trong một chuẩn phù hợp nào đó, tức là lim ›o || fe — ƒl| = 0

Ihe — hl 24a) < &; (2.25)

Ta áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngược xác định

hàm nguồn đối với phương trình bi-parabolic Đây là phương pháp rất hữu dụngcho nhiều dạng bài toán ngược Trong công trình [67], Nguyễn Huy Tuấn và cáccộng sự đã sử dụng phương pháp Tikhonov để chính quy hóa bài toán ngược chophương trình khuếch tán cấp phân số theo thời gian không thuần nhất Yang và các

cộng sự đã sử dụng phương pháp Tikhonov cải tiền để giải bài toán ngược cho

phương trình khuếch tán cấp phân số theo thời gian Wei và các cộng sự [69] đã áp

dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngược cho phương trình

khuếch tán cập phân số theo thời gian với hàm nguồn không thuần nhất Xiong và

Fu [70] đã sử dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán Cauchy củaphương trình Helmholtz Chúng tôi cũng giới thiệu đến người đọc một số công

trình có liên quan khác [71/72 73].

20

Bài toán 4

đữ liệu đầu vào được quan sát và bị nhiễu ngẫu nhiên rời rac

Xét bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng dầm sau đây

u(x,T) = g(x), „;(x,T) = h(x), (x,y) € QO, (2.26)

trong do O là miễn bị chặn với biên đủ trơn; (e,h) là các dữ liệu đầu vào tai thời

điểm cuối; F là hàm nguôn; các hệ so a,b là các hang sô thực

Trong ứng dụng, chúng ta thường không có g,h, F mà chúng ta chỉ có các giá

trị đo tương ứng của chúng Việc đo đạc luôn tiềm ẩn sai số do dụng cụ đo hoặc

do nguồn đo Theo sự hiểu biết của chúng tôi, hiện nay, có rat ít kết quả về bài toán

ngược cho phương trình sóng dầm với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên Luận án tiếp cận

nghiên cứu mục này theo tinh thần của các công trình trước đây của Erkan Nane

và Nguyễn Huy Tuan [Z4 [75], Nguyễn Dang Minh và các cộng sự [76], MokhtarKirane, Erkan Nane and Nguyễn Huy Tuấn [77]

21

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN

CỨU

3.1 Cơ sở lý thuyết

3.11 Bài toán không chính theo nghĩa Hadamard

Trong luận án này, khái niệm bài toán không chỉnh sẽ được hiểu theo nghĩa

Hadamard được định nghĩa như sau

Định nghĩa 3.1.1 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, K : X —> Y là ánh xạ (tuyéntính hoặc phi tuyến)

Xét bài toán tìm u € X, sao cho

Ku=g, tới @€ Y cho trước.

Bài toán goi là chỉnh (theo Hadamard) nếu thỏa ba tính chat sau

a) Tính tồn tại (existence): Với mọi g € Y, ton tại u € X sao cho Ku = g.

b) Tính duy nhất (uniqueness): Với moi g € Y, tồn tại duy nhất một u € X sao cho

Ku = g.

c) Tinh ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vao g; nghĩa là, uới moi day

(un) € X thoa Jim Kuy = Ku thi Jim Un = U.

Ngược lại, bài toán vi phạm một trong ba tinh chat trên thì gợi là không chỉnh

Sự không chỉnh ở định nghĩa trên sẽ được sử dụng ở các chương sau Trong đó

sự không chỉnh được chi ra vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Cu

thể, ta cho X, Y là các không gian Banach Cho toán tử K : X + Y vag € Y Xét bài

toán tìm € X thỏa Ku = g Đối với bài toán này, g € Y được gọi là dữ liệu đầuvào, và € X được gọi là nghiệm Giả sử dữ liệu đầu vào bị nhiễu 2°, ta tìm đượcnghiệm 1° nếu

22

lle— g° lly — 0 khi e > 0,

llz — w“||x A 0 khi e > 0,

ta nói nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu.

3.1.2 Một số không gian hàm

Cho O C RN(N > 1) là miền bị chặn với biên đủ trơn.

Định nghĩa 3.1.2 Không gian L?(Q) là không gian Lebesgue các hàm do được ƒ : A >

R,

?(x)dx < œ,

[ Pear <e

ky hiệu tích trong (-,-) va chuẩn của L?(Q) (nghĩa là l2, = fof? (x)dx).

Cho X là không gian Banach, T là số thực dương, ta có các định nghĩa không

gian sau.

Định nghĩa 3.1.3 (Không gian LP(0,T; X))

Cho X là không gian Banach uới chuẩn || - || Không gian LP(0, T; X) gồm tat cả các hàm

do được u : |0, TÌ + X uới chuẩn

Định nghĩa 3.1.4 (Không gian CTM ((0, TÌ; X))

Không gian CTM (|0, T]; X) là không gian gồm tat cả các hàm liên tục ƒ : [0,T] + X có

đạo hàm đến cấp m, tức là ƒ!, ƒ", , ƒU") : [0,T] —> X là các hàm liên tục.

Khi đó, C" (|0, T]; X) là không gian Banach uới chuẩn sau

TH

|f|[c»to,rjx) =}„ sup ||ƒ'?(0|

¡=0 t€[0,T]

yw Yƒ€ C"([0,T];X)

Không gian C({0,T]; X) bao gdm tat cả các hàm liên tục ƒ : [0, T] + X tới

| llcqor;» = max IIFOllx < +.

Đặc biệt,

© w € C ((0, T]; L7(Q)), khi đó

® Với V, } là không gian Banach Khi đó ¥ x cũng là không gian Banach với

Dinh nghĩa 3.1.5 Goi A là toán tử elliptic déu, doi xứng tuong ứng tới day phổ {Ap}

va day vector riêng Pp Với 0 < s < ©œ, ta định nghia không gian

Không gian này có tính chất đơn điệu giảm theo nghĩa H* (O) => H°(O), với

s” > s > 0 Cụ thể hơn, ta đưa ra bổ dé sau đây.

Định nghĩa 3.1.6 (65) [79]) Gọi A là toán tử elliptic đều, doi xứng tương ứng tới dãy

phổ {Ap} va day vector riêng py Cho trước ơ,u > 0, lớp hàm Gevrey được định nghĩa

Gov = {fF EEO): 3) e MAI (f gp)? < +00},

p=l

là không gian Hilbert trương ng tới chuẩn

|ƒll§,„ = Doe PADS Pp)

p=1

Dinh nghĩa 3.1.7 (Không gian Bochner, [80]) Cho không gian xác suất (Õ,.Ƒ,w) va

không gian Banach B Với p > 2, ta ký hiệu không gian Bochner

LE = £T(Ö,B) = L? ((Õ,Z,m),B)

duoc định nghia

ch= fui [ Ime)lÿápe) < « we ah,

tương ứng uới chuẩn

log = Ella = ˆ lao) lh de).

3.1.3 Một số định lý phụ trợ

Dinh ly 3.1.2 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho không gian metric đầu đủ (X,d) Nếu T :

X — X là ánh xạ co, thì T có duy nhất điểm bắt động z € X, nghĩa là Tz = z

Định lý 3.1.3 (Bat đẳng thức Grönwall) Cho C là hằng số, u va w là các hàm số thực

xác định trên [a,b], w(t) > 0 uới mọi t € [a,b] Giả sử trên đoạn [a,b] nếu ta có

u(t) <SC+ [ «600504

thì

u(t) < Cexp ([ w(s)as) :

3.2 Cách tiếp cận van dé nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết, lý luận đã biết và các phương pháp nghiên cứu đã nêu trên,

luận án tiêp cận việc nghiên cứu cho từng vân đề như sau

Vấn đề thứ nhất: Xây dựng và thiết lập nghiệm của bài toán ngược và chứng

minh đây là bài toán không chỉnh Trong một số trường hợp thuận lợi, chúng tôi

25

thiết lập nghiệm nhẹ bài toán giá trị cuối đang xét bằng cách sử dụng khai triển

chuỗi Fourier để tìm dạng nghiệm tích phân cho bài toán Dùng định lý điểm bat

động Banach để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

Vấn đề thứ hai: Thiết lập nghiệm chỉnh hóa Bằng phương pháp chặt cụt, chúng

tôi thiết lập nghiệm chỉnh hóa cho bài toán giá trị cuối và chứng minh sự ton tại

của nghiệm chỉnh hóa Sau đó, chúng tôi đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa

và nghiệm chính xác dựa vào các tính trơn khác nhau của nghiệm chính xác.

26