BK TP.HCM 2011 dce Chương 3 Biến đổi Z ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 2011 dce 2 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Biến đổi Z – BĐ thuận – BĐ ngược • Các tính chất của BĐ Z • BĐ Z hữu tỉ – Điểm không (Zero) – Điểm cực (Pole) – Pole và t/h nhân quả trong miền thời gian – Mô tả h/t LTI bằng hàm hệ thống • Biến đổi Z ngược – Phương pháp tích phân – Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa – Phương pháp phân rã thành các hữu tỉ • Biến đổi Z một phía (Z + ) – Tính chất – Giải PTSP bằng BĐ Z + • Phân tích hệ LTI – Đáp ứng của hệ – Đáp ứng tức thời, quá độ – Tính ổn định và nhân quả Nội dung 2011 dce 3 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tổng quát – Một cách biểu diễn t/h khác về mặt toán học – Biến đổi t/h từ miền thời gian sang miền Z – Dễ khảo sát t/h và h/t trong nhiều trường hợp (dựa vào các t/c của BĐZ) • Định nghĩa – Công thức – Quan hệ – Ký hiệu X(z) ≡ Z{x(n)} – Biến z Điểm thuộc mặt phẳng z z = a + jb hay z = re jδ – Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞} Chỉ quan tâm X(z) tại những điểm z thuộc ROC Biến đổi Z () () n n Xz xnz +∞ − =−∞ = ∑ () () z xn Xz← → 2011 dce 4 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ – x 1 (n) = δ(n) X 1 (z) = 1 ROC = mặt phẳng z (mpz) – x 2 (n) = {8 10 1^ 9 7 2} X 2 (z) = 8z 2 + 10z + 1 + 9z –1 + 7z –2 + 2z –3 ROC = mpz \ (∞, 0) – x 3 (n) = δ(n – k) X 3 (z) = z –k ROC = mpz \ {0 nếu k>0, ∞ nếu k<0) • Nhắc lại Ví dụ về BĐZ 1 1 1 1 1 1 1 11 1 32 1 32 < − =++++ ≠ − − =+ =++++ + A A AAA A A A An AAAA n n 2011 dce 5 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ BĐZ của t/h nhân quả và không nhân quả • T/h nhân quả x(n) = a n u(n) • T/h phản nhân quả x(n) = –a n u(–n–1) • Ý nghĩa – T/h RRTG x(n) được xác định duy nhất bởi biểu thức BĐ Z và ROC của nó – ROC của t/h nhân quả là phần ngoài của vòng tròn bán kính r 2 , trong khi ROC của t/h phản nhân quả là phần trong của vòng tròn bán kính r 1 azROC az zXazeiazKhi azznxzX n n n n >⇒ − =>< == − − +∞ = − +∞ −∞= − ∑∑ : 1 1 )(), (1 )()()( 1 1 0 1 azROC azza za zXazeizaKhi zazaznxzX l l n nn n n <⇒ − = − −=<< −=−== −− − − ∞ = − − −∞= − +∞ −∞= − ∑∑∑ : 1 1 1 )(), (1 )()()()( 11 1 1 1 1 1 2011 dce 6 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Miền hội tụ của các t/h Re Img T/h hữu hạn T/h vô hạn T/h ROC T/h ROC Nhân quả [x(n)=0 n<0] Mpz \ {0} Nhân quả (t/h bên phải) [x(n)=0 n<0] │z│> r 2 Phản nhân quả [x(n)=0 n>0] Mpz \ {∞} Phản nhân quả (t/h bên trái) [x(n)=0 n>0] │z│< r 1 2 bên Mpz \ {0, ∞} 2 bên Vành khuyên r 1 >│z│> r 2 2011 dce 7 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ BĐZ một phía ∑ +∞ = −+ = 0 )()( n n znx zX () () n n Xz xnz +∞ − =−∞ = ∑ 2011 dce 8 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ BĐZ ngược • Tích phân Cauchy • Biến đổi Z ngược – Từ – Nhân 2 vế với z n–1 – Tích phân 2 vế theo đường cong kín C bao gốc O thuộc ROC của X(z) – Áp dụng tích phân Cauchy ⇒ dzzzX j nx C n ∫ − = 1 )( 2 1 )( π ∑ +∞ −∞= − = k k zkxzX )()( ≠ = = ∫ −− nk nk dzz j C kn 0 1 2 1 1 π ∫ ∑ ∫ +∞ −∞= − −− = C k C n dzzkxdzzzX kn 1 )()( 1 )(2)()( 1 1 njxdzzkxdzzzX k CC n kn π == ∑ ∫∫ +∞ −∞= − −− 2011 dce 9 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • ROC = ROC 1 ∩ ROC 2 ∩ … ∩ ROC n • Tuyến tính ⇒ – Ví dụ: x(n) = a n u(n) + b n u(–n–1) Do đó BĐZ – Tính chất (1) )()( 22 zXnx Z →← )()( 11 zXnx Z →← )()() ()()()( 2121 zbXzaXzXnbxnax nx Z +=→←+= azROC az zXnuanx Z n > − =→←= − : 1 1 )()()( 1 11 bzROC bz zXnubnx Z n < − =→←−−−= − : 1 1 )()1()( 1 22 bzaROC bzaz zXzXzXnxnxnx Z << − − − =−=→←−= −− : 1 1 1 1 )()()()()()( 11 2121 2011 dce 10 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Dịch theo thời gian ⇒ BĐZ – Tính chất (2) )()( zXnx Z →← <∞ > = →←− − 0 00 \ )()( )( k k ROCROC zXzknx nx k Z [...]... ∑ z − zi dz 2πj i =1 n Ai ( z ) 1 =∑ ∫C z − zi dz i =1 2πj n f ( z) Ai ( z ) = ( z − zi ) : Thặng dư = ∑ Ai ( zi ) g ( z) i =1 • B Z ngược • x ( n) 1 X ( z ) z n −1dz = 2πj ∫C [thang du cua X ( z ) z n −1 tai zi ] ∑ = cac pole{ zi }trong C = ∑ ( z − zi ) X ( z ) z n −1 i DSP – Biến đổi Z z = zi ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 31 dce 2011 B Z ngược – PP trực tiếp (3) • Ví dụ: tìm BĐ Z ngược của X ( z )... 2z 1Y (z) + 3X (z) 2 Tính H (z) = Y (z) / X (z) • H ( z) = 3 1 − 2 z −1 n Hàm đáp ứng xung đơn vị: tra bảng, kết quả h(n) = 3.2 u (n) DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 27 dce 2011 Ví dụ B Z hữu tỉ (2) x(n) 3 y(n) + + Z- 1 Z- 1 1 + 2 –3 • Z- 1 PTSP: y(n) = 2y(n–1) – 3y(n–2) + 3x(n)+ x(n–1) • Hàm hệ thống 1 Biến đổi Z hai vế Y (z) = 2z 1Y (z) – 3z 2Y (z) + 3X (z) + z 1X (z) 2 Tính H (z) = Y (z) / X (z) 3 + z −1... ← → [ X ( z ) − X * ( z* )] 2 z DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 18 dce 2011 B Z hữu tỉ – Điểm zero & pole • • • • Zero của B Z X (z) : các giá trị z sao cho X (z) = 0 Pole của B Z X (z) : các giá trị của z sao cho X (z) = ∞ ROC không chứa bất kỳ pole nào Ký hiệu trên mpz: zero – vòng tròn (o) và pole – chữ thập (x) 1 X ( z) = 1 − 0.9 z −1 DSP – Biến đổi Z 1 − z −1 X ( z) = 1 − z −1 − 2 z − 2 ©2011,... ( z ) = 1 1 zn z n −1 x ( n) = ∫C 1 − az −1 dz = 2πj ∫C z − a dz 2πj 1 1 − az −1 z >a – C: vòng tròn bán kính r > |a| 1 n ≥ 0: zn không có pole trong C Pole bên ngoài C là z = a ⇒ x(n) = f (z0 ) = an 2 n < 0: zn có pole bậc n tại z = 0 (bên trong C) x(−1) = 1 1 1 dz = 2πj ∫C z ( z − a ) z a x(−2) = – + z =0 1 =0 z z =a 1 1 1 d 1 + 2 dz = ∫C z 2 ( z − a) 2πj dz z − a z =0 z =0 z =a Có thể... x2 (n) ← Z X ( z ) = X 1 ( z ) X 2 ( z ) • Tính tổng chập của 2 t/h dùng phép B Z – Xác định BĐ Z của 2 t/h Miền thời gian → miền Z X1 (z) = Z{ x1(n)} X2 (z) = Z{ x2(n)} – Nhân 2 BĐ Z với nhau Xử lý trong miền Z X (z) = X1 (z) X2 (z) – Tìm BĐ Z ngược của X (z) Miền Z → miền thời gian x(n) = Z- 1{X (z) } DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 15 dce 2011 B Z – Tính chất (7) • ⇒ • • → x1 (n) ← Z X 1 ( z ) → x2... (n) ← z X 1 ( z ) = → với x1(n) = anu(n) 1 ROC : z > a −1 1 − az dX 1 ( z ) az −1 → = x(n) ≡ nx1 (n) = na nu (n) ← z X ( z ) = − z (1 − az −1 ) 2 dz ROC : z > a – Nếu a = 1, B Z của hàm bậc thang đơn vị z −1 x(n) = nu (n) ← z X ( z ) = → (1 − z −1 ) 2 DSP – Biến đổi Z ROC : z > 1 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 14 dce 2011 B Z – Tính chất (6) • Tổng chập → x1 (n) ← Z X 1 ( z ) → x2 ( n ) ← Z X 2 ( z ) →... x(n)*h(n) z • z Y (z) = X (z) H (z) Xác định y(n) Tìm đáp ứng đơn vị ∞ Y ( z) H ( z) = = ∑ h( n) z − n X ( z ) n = −∞ • Hàm h/t: H (z) – H (z) : đặc trưng cho h/t trong miền Z – h(n): đặc trưng cho h/t trong miền TG DSP – Biến đổi Z – h(n) = (1/2)nu(n) – x(n) = (1/3)nu(n) z – Tính X (z) và H (z) – Xác định Y (z) – Tìm y(n) bằng cách tính B Z ngược của Y (z) • • Ví dụ H ( z) = X ( z) = 1 1 − 1 z −1 2 1 1 − 1 z −1... z −( M − N ) + 1 D( z ) D( z ) N ( z ) b0 + b1 z −1 + + bM z − M X ( z) = = D ( z ) 1 + a1 z −1 + + a N z − N b0 z N + b1 z N −1 + + bM z N − M = z N + a1 z N −1 + + a N • X ( z ) b0 z N −1 + b1 z N − 2 + + bM z N − M −1 = z z N + a1 z N −1 + + a N Phương pháp – Bước 1: Khai triển phân số cục bộ – Bước 2: Tra bảng để xác định BĐ Z ngược của từng phân số DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh... ) f ( z) 1 dz = (k − 1)! dz k −1 z = z 0 2πj ∫C ( z − z0 ) k 0 z0 bên trong C z0 bên ngoài C • Vế phải của 2 biểu thức trên gọi là thặng dư của cực tại z = z0 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 30 dce 2011 B Z ngược – PP trực tiếp (2) Giả sử f (z) không có pole trong bao đóng C và đa thức g (z) có các nghiệm đơn riêng biệt z1 , z2 , …, zn trong C n Ai ( z ) f ( z) 1 1 ∫C g ( z ) dz = 2πj... ( z ) ⇒ −1 ROC : r1 < z < r2 1 1 ROC : < z < r2 r1 • Ý nghĩa – ROCx(n) là nghịch đảo của ROCx(–n) – Nếu z0 ∈ ROCx(n), 1 /z0 ∈ ROCx(–n) • Ví dụ xác định B Z của x(n) = u(–n) 1 1 − z −1 1 Z u ( − n) ← → 1− z → u ( n) ← Z ⇒ DSP – Biến đổi Z ROC : z > 1 ROC : z < 1 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 13 dce 2011 B Z – Tính chất (5) • Vi phân trong miền Z → X ( z ) x ( n) ← z • Ví dụ ⇒ dX ( z ) nx(n) ← − z → dz z . diễn ∑ ∑ = − = − −− −− = +++ +++ == M k k k M k k k N N M M za zb zazaa zbzbb zD zN zX 0 0 1 10 1 10 )( )( )( 00 1 00 1 1 1 0 0 )( a a N a a N b M b M b b M MN N zz zz z a b zX +++ +++ = − − − ∏ ∏ = = −− − − = −−− −−− = N k k M k k MN N M MN pz zz Gz pzpzpz zzzzzz GzzX 1 1 21 21 )( )( )())(( )())(( )( 0 0 a b G. a = 1, B Z của hàm bậc thang đơn vị B Z – Tính chất (5) )()( zXnx z →← dz zdX znnx z )( )( −→← azROC az zXnuanx z n > − =→←= − : 1 1 )()()( 1 11 azROC az az dz zdX zzXnunannxnx z n > − =−=→←=≡ − − : )1( )( )()()()( 21 1 1 1 1: )1( )()()( 21 1 > − =→←= − − zROC z z zXnnunx z 2011 dce 15 DSP. (1) )()( 22 zXnx Z →← )()( 11 zXnx Z →← )()() ()()()( 2121 zbXzaXzXnbxnax nx Z +=→←+= azROC az zXnuanx Z n > − =→←= − : 1 1 )()()( 1 11 bzROC bz zXnubnx Z n < − =→←−−−= − : 1 1 )()1()( 1 22 bzaROC bzaz zXzXzXnxnxnx Z << − − − =−=→←−= −− : 1 1 1 1 )()()()()()( 11 2121 2011 dce 10 DSP