2 1.1.1.2 Phương pháp cát tuyến Ở phương pháp Newton Newton’s method hay Newton-Raphson method, từ điểm có hoành độ x n−1trên đồ thị ủa đườ c ng cong y=f x , ta kẻ tiếp tuy n vế ới đườ
Lý thuyết
Cho f x ( ) là hàm s liên tố ục trên đoạn a b, thỏa mãn f a f b ( ) ( )0 Khi đó, tồn t i m t giá trạ ộ ị p n m giằ ữa a và sao cho b f p ( ) = 0 Gi s giá tr ả ử ị p là duy nh t, ấ ta g i ọ a b, là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f x ( ) = 0
Gọi *x là nghi m gệ ần đúng của nghiệm đúng p trên a b, thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quátEquation Chapter 1 Section 1
Kiểm tra giá tr c a hàm tị ủ ại điểm gi a khoữ ảng
2 c=a b+ N u ế f c f a ( ) ( )0 thì chắc ch n r ng nghi m cắ ằ ệ ủa phương trình sẽ ằ n m trong a c, có độ dài bằng một nửa đoạn a b , ban đầu Ngược lại, nếu f c f b ( ) ( )0thì ta có điều tương tự đối với đoạn c b , L p lặ ại các bước này sẽ giúp định v ngày càng chính xác ị hơn vị trí nghiệm của phương trình Đây gọi là phương pháp chia đôi (the bisection method).
Công thức đánh giá sai số:
Giả s sử au n lần chia đôi, ta tìm đượ đoạc n a b n , n có độ dài
2 n b a− Ch n ọ nghiệm gần đúng là điểm gi a kho ng ữ ả
2 n n n a b x = + vì nó g n v i giá tr nghi m chính ầ ớ ị ệ xác nhất, khi đó ta có công thức đánh giá sai số:
1.1.1.2 Phương pháp cát tuyến Ở phương pháp Newton Newton’s method ( hay Newton-Raphson method), từ điểm có hoành độ x n − 1 trên đồ thị ủa đườ c ng cong y = f x ( ), ta kẻ tiếp tuy n vế ới đường cong Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành sẽ là x n Ta d dàng ễ viết phương trình tiếp tuyến:
( 1 )( 1 ) ( 1 ) ´ n n n y= f x − x−x − + f x − Cho y=0,x=x n ta thu được công thức xác định x n , cũng chính là công thức lặp của phương pháp Newton:
= − = (1.3) Đây l mà ột trong những công thức n i tiổ ếng và được sử dụng r ng rãi nhất trong ộ việc gi i quy t vả ế ấn đề tìm nghi m Tuy nhiên, nó có mệ ột điểm yếu, đó là phải biết được giá tr o hàm c a ị đạ ủ f m i l n x p x ở ỗ ầ ấ ỉ Đôi khi, việc tìm f ´ ( ) x s r t ẽ ấ khó khăn và không thu n ti n do c n nhi u kậ ệ ầ ề ỹ thuật tính toán Với những trường h p này, có ợ ta thể tính gần đúng đạo hàm bằng công thức
− , khi đó, phương trình (1.3) có thể được viết l i thànhạ công thức lặ như sau:p
Kỹ thuật này được g i là ọ phương pháp cát tuyến the secant method ( ) (xem Hình 1.1) Xuất phát t hai giá tr gừ ị ần đúng ban đầu p 0 ,p 1 , giá tr ị p 2 là giao điểm của trục x với đường thẳng đi qua hai điểm ( p 0,f p ( ) 0 ) và ( p 1,f p ( ) 1 ) Giá tr ị p 3 là giao điểm của tr c x vụ ới đường thẳng đi qua hai điểm ( p 1,f p ( ) 1 ) và ( p 2,f p ( ) 2 ), tương tự với các giá trị x p x p theo ấ ỉtiế
Khi muốn đánh giá sai số nghiệm gần đúng đã tìm được, ta dùng công thức ước lượng sai số tổng quát (1.1)
(1.5) với y = y x ( ) là hàm c n tìm, khầ ả vi trên đoạn a b, , y 0 là giá trị ban đầu cho trước của y x ( ) tại x=x 0 , f x y ( , ) là hàm hai biến liên t c vụ ới các đạo hàm riêng của nó. Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1.5), ta chia đoạn a b, thành n đoạn nhỏ b ng nhau vằ ới bước chia b a h n
= − Khi đó, các điểm chia là x 0 =a x, k =x 0 +kh, 0,1,2, , , n k= n x =b
1.1.2.1 Phương pháp Euler cải tiến
Giả s ử y x ( ) là nghi m duy nh t c a bài ệ ấ ủ toán (1.5), có đạo hàm c p hai liên tấ ục trên a b , Ta xây d ựng đượ c công th c ứ Euler (Euler’s method) như sau:
Hình 1.1 Minh họa phương pháp cát tuyến
Nếu thay f x y ( k , k ) trong công thức (1.6) bởi ( , ) ( 1 , 1 )
2 k k k k f x y +f x + y + ta được công thức Euler c i tiả ến (modified Euler’s method):
= + = − Để đơn giản, ta thay y k + 1 v phở ế ải i bở y k − 1+hf x ( k − 1,y k − 1 ), khi đó:
Viết lại công th c Euler cứ ả ến: i ti
1.1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
Ta c n ầ xác định các h s ệ ố A A 1 , , , ; 2 K A n 2 , , , ;K 3 n 21 ,K 31 , , n n , 1 − Khai triển Taylor nghiệm y x ( ) tại x k đến bậc m r i thay ồ x=x k + 1 , ta được:
N ội dung và kết quả có đượ c
Trong trường hợp m= =n 4, ta có công th c Runge-Kutta b c bứ ậ ốn Four - ( th Order Runge-Kutta method – RK4):
1.2 Nội dung và k t quế ả có được
A bungee jumper jumps from a mountain with the downward vertical velocity v described by the mathematical model: d 2 d c d v g v t = −m (see the picture), where is the m mass of jumper and c d is called drag coefficient a) Suppose that the jumper is initial at rest, find analytically the expression of v b) Let g=9.8 (m/s ), 2 mh.1 (kg),c d =0.25 (kg/m) and the jumper is initial at rest, establish the table to compute the velocity of the jumper for the first 10 seconds with step size h=1 (s) by using modified Euler’s and Runge-Kutta method Compare the results to the exact values found in a) c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to determine the drag coefficient for a jumper with the weight of 95 (kg) and the velocity
46 (m/s) v= after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5% (Guess the isolated interval containing root)
Một vận động viên bungee nh y t mả ừ ột ngọn núi với vận tốc v thẳng đứng hướng xuống (xem hình), được mô tả bởi mô hình toán học d 2 d c d v g v t = −m (1.10), trong đó,
6 m là khối lượng của vận động viên, c d là hệ ố ả s c n a) Giả s ử ban đầu vận động viên đang ở ng thái ngh , tìm bi u th c trạ ỉ ể ứ mô tả v b)Biết g=9.8m/s 2 , mh.1(kg), c d =0.25(kg/m) và vận động viên bắt đầu nhảy từ trạng thái nghỉ L p b ng ậ ả để tính v n t c cậ ố ủa vận động viên trong 10 giây đầu tiên k t lúc rể ừ ời ngọn núi với bước chia h=1(s) bằng phương pháp Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta So sánh kết quả với giá trị chính xác tìm được từ câu a). c) Sử d ng k t qu câu a) cùng các ụ ế ả phương pháp chia đôi, phương pháp cát tuyến để tìm hệ s cản i với vố đố ận động viên có khối lượng 95 (kg), vận tốc vF(m/s) sau 10 giây k t lúc bể ừ ắt đầ rơi đếu n khi sai số tương đối nhỏ hơn 5% (dự đoán khoảng cách ly nghi m) ệ
1.2.2 Kết quả a) Nhân hai vế của phương trình (1.10) với d m c , ta được d 2 d d d m v gm c t= c −v Đặt d a gm
Do lúc đầu, vận động viên ở trạng thái ngh nên ỉ v ( ) 0 =0, suy ra C=0 tanh c d v a a t m
(1.11) b)Giá trị vận tốc chính xác v exact được tính b ng bi u thằ ể ức (1.11), với g=9.8, 0.25, 68.1 c d = m= , kết quả được thể ện ở ột 2 của Bả hi c ng 1.1
Với phương pháp Euler cải tiến, t công thừ ức (1.7):
Thao tác tương tự đố ới v i các giá trị t tiếp theo, ta thu được kết quả ở ộ c t 3 và cột
5 của Bảng 1.1 Trong đó, v m.Euler 10 49.2271057, v m.Euler 10 − v 0.1647634 Với phương pháp Runge-Kutta bậc b n (RK4), ố áp dụng công thức (1.9):
Thao tác tương tự với các giá trị t còn lại, ta thu được kết quả ở cột 4 và cột 6 của Bảng 1.1 Trong đó,v RK4 10 49.3909717 và v m.Euler 10 −v exact 10 0.0008974 Điều đó cho thấy rằng việc sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn mặc dù phức tạp hơn nhưng cho giá trị xấp xỉ tốt hơn nhiều so với phương pháp Euler cải tiến
Bảng 1.1 So sánh giá tr v n tị ậ ốc được tính theo phương pháp Euler cải ti n và ế phương pháp Runge-Kutta bậc bốn với giá trị chính xác c) Thay các giá trị: g=9.8,m,vF,t vào phương trình (1.11) ta được:
Kiểm tra điều kiện phương trình (1.12)trong đoạn 0.3, 0.5 :
t v exact v m.Euler v RK4 v m.Euler −v v RK4 −v
Ngoài ra, dùng Maple để ki m tra, ể ta thấy: f ´ ( ) c d 0 c d 0.3, 0.5, do đó,
0.3, 0.5 là khoảng cách ly nghiệm của phương trình (1.12)
= + = = + − = Sai số tương đối của c d 1 là 1 0
Quá trình tính toán tiếp di n vễ ới các bướ tương tự được thể ệc hi n trong B ng 1 ả 2 Bảng 1.2 Hệ s c n tính theo ố ả phương pháp chia đôi n a n b n c d n n (%) f c ( ) d n
Nghiệm th a mãn yêu c u cỏ ầ ủa đề bài ( n 5%) là giá trị tìm được ở ần chia đôi l thứ 3:
Như đã trình bày ở chương 1, ta thấy rằng, hàm f c ( ) d đã phứ ạc t p, chắc chắn rằng o hàm c a nó còn ph c t p đạ ủ ứ ạ hơn rất nhi u Lúc này, vi c tìm nghi m b ng ề ệ ệ ằ phương pháp cát tuyến sẽ là sự thay thế hoàn hảo cho phương pháp Newton Chọn c d 0 =0.3,c d 1 =0.5 Ta có:
Bảng 1.3 Hệ s c n ố ả tính theo phương pháp cát tuyến n c d n n (%) f c ( ) d n
Có thể thấy r ng, do kho ng cách ly nghi m ằ ả ệ được ch n là ọ 0.3, 0.5 có độ dài khá nh , sai sỏ ố mà đề yêu c u là 5% lầ ại tương đố ới l n nên v i cớ ả hai phương pháp, ta ch cỉ ần tính toán đến giá tr ịc d 3 và chưa thể đưa ra nhận xét gì v tề ốc độ
Bài toán m r ở ộng
hội t cụ ủa hai phương pháp này Tuy nhiên, tiế ục tính các giá tr p t ị c d tiếp theo, khác biệt đã thể hiện rõ Phương pháp cát tuyến cho sai s gố ần như bằng 0% sau
6 l n l p (ầ ặ n=7), còn phương pháp chia đôi thì đến lần chia đôi thứ 10, sai số vẫn lớn hơn 0.02%
When factors such as food shortages, pollution, and lack of space inhibit growth, the population growth rate can be formulated as
(1 / max) g gm k =k −p p , where k g = growth rate, k gm = the maximum growth rate under unlimited conditions, p= population, and p max = the carrying capacity Thus, at low population density max, p= p k g → k gm As p approachesp max , the growth rate approaches zero Using this growth rate formulation, the rate of change of population can be modeled as max d 1 d gm p p k p t p
This is referred to as the logistic model The analytical solution to this model is
Simulate the world’s population from 1950 to 2000 using a) the analytical solution, b)the modified Euler’s method, the fourth-order Runge-Kutta method with a step size of 5 years Employ the following initial conditions and parameter values for your simulation: p 0 (in 1950)=2,560 million people, k gm =0.026/yr, and p max 12,000 million people
Have the function generate output corresponding to the dates for the following measured population data (in million) Establish the table to compare your result along with these data
Year 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 p 2560 2780 3040 3350 3710 4090 4450 4850 5280 5690 6080 1.3.2 Kết quả a) Phương trình (1.14) được viết l i ạ thành
Kết quả tính toán được th hi n c t ể ệ ở ộ thứ tư c a B ng 1.4 ủ ả b) Phương trình (1.13) được viế ạt l i thành d 0.026 1 d 12000 p p t p
Phương pháp Euler cải tiến: Áp dụng công th c (1.8): ứ
Tính toán tương tự với các giá trị t tiếp theo, ta thu được kết quả ở cột thứ năm trong Bảng 1.4
Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn: Áp dụng công th c (1.9): ứ
+ Tính toán tương tự với các giá trị t tiếp theo, ta thu được kết quả ở cột thứ sáu trong Bảng 1.4
Năm t p real p m.Euler p anal p RK4
K ết luận
Phương pháp Euler cải tiến có quá trình tính toán rất đơn giản, tuy nhiên độ chính xác không cao Ngược lại, phương pháp Runge-Kutta b c b n ph i tr i qua ậ ố ả ả nhiều bước khá dài và phức tạp nhưng cho kết quả có độ chính xác rất cao
Mặc dù phương pháp chia đôi trông có vẻ dễ dàng thực hiện nhưng thực tế, ta phải th c hi n nhiự ệ ều bước tính toán mà phương pháp này lại có tốc độ ộ ụ h i t nghiệm rất chậm so với phương pháp cát tuyến
Qua đó, ta thấy bất kỳ phương pháp tính toán nào cho kết quả có độ chính xác cao hơn đều có quá trình tính toán phức tạp hơn Tuy nhiên việc tính toán giờ đây đều được thực hiện trên máy tính, thậm chí là siêu máy tính v i khả năng thựớ c hiện lên đến
10 tri u t phép tính trên giây thì quá trình tính toán có ph c tệ ỷ ứ ạp đến m y ấ cũng không còn quan trọng, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuậ ớt v i yêu c u vầ ề độ chính xác cao
Lý thuyết
Trong m t ph ng xOy cho tặ ẳ ập các điểm M k ( , )x y k k n k = 1 , trong đó có ít nhất hai điểm nút x và x khác nhau v i i i j ớ j và n là r t lấ ớn Khi đó việc xây d ng mự ột đường cong đi qua tất cả những điểm đã cho không có ý nghĩa thự ế Thay vào đó chúng ta sẽc t tìm một hàm f(x) đơn giản sao cho nó thể hiện tốt nhất dáng điệu của của tập điểm
M k ( , ) x y k k n k = 1 và không nhất thiết đi ngang qua các điểm đó
Có nhiều phương pháp để giải quy t vế ấn đề trên, và m t trong nhộ ững phương pháp như vậ là phương pháp bình phương cựy c tiểu (Least Squares)
Dạng c a hàm củ ần xác định f(x) phụ thuộc vào nhi u y u t Tuy nhiên, các dề ế ố ạng đơn giản nhất thường g p trong thặ ực tế là:
( ) , ( ) 2 , ( ) , ( ) Bx f x = +A Bx f x = +A Bx Cx+ f x =Acosx+Bsinx f x =Ae ,… .Nghĩa là để xác định f(x) ta cần xác định các hệ số A, B, C, từ điều kiện (**) Trường h pợ f x ( ) = +A Bx Khi đó:
Bài toán quy v vi c tìm c c ti u c a hàm 2 bi n g(A,B) Tề ệ ự ể ủ ế ọa độ điểm d ng c a hàm ừ ủ được xác định b i hệ phương trình: ở
Trường h p ợ f x ( ) = Ap x ( ) + Bq x ( ) Khi đó:
Bài toán quy v vi c tìm c c ti u c a hàm 2 bi n ề ệ ự ể ủ ế g(A,B) Tọa độ điểm d ng c a hàmừ ủ được xác định b i hệ phương trình: ở
N ội dung và kết quả có đượ c
2.2 Nội dung và k t quế ả có được
Enzymes act as catalysts to speed up the rate of chemical reactions in living cells
In most cases, they convert one chemical, the substrate, into another, the product The Michaelis-Menten equation is commonly used to describe such reactions:
= + where v=the initial reaction velocity, v m = the maximum initial reaction velocity,
S= substrate concentration, and k s = a half-saturation constant a) The relationship between S and v is provided in the following table:
Using the least square method to determine v m and k s by converting the given model into linear model
20 b) With the model v=aS 2 +bS+c, again, using the least square method to determine a b c, , Can you estimate that which model (linear or parabola) gives the better approximation?
Enzymes đóng vai trò là chất xúc tác để đẩy nhanh tốc độ các phản ứng hóa học trong nh ng t bào s ng H u hữ ế ố ầ ết các trường h p, chúng chuyợ ển đổi một cơ chất thành một s n phả ẩm nào đó Phương trình Michaelis-Menten thường được dùng để mô t các ả phản ứng như vậy:
= + (1.16) trong đó, v là tốc độ phản ứng ban đầu, v m là tốc độ ph n ả ứng ban đầu cực đại, là S nồng độ cơ chất, k s là hằng s bán bão hòa ố a) Mối liên hệ giữa S và vđược thể hi n trong b ng s u sau: ệ ả ốliệ
Sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu để xác định v m ,k s bằng cách đưa phương trình trên về dạng tuyến tính b) Cho mô hình v=aS 2 +bS+c, ti p tế ục dùng phương pháp bình phương cực tiểu để xác định a b c, , Có thể đánh giá mô hình nào (tuyến tính hay parabol) cho giá tr x p x tị ấ ỉ ốt hơn không?
= = = = Đưa phương trình về dạng tuyến tính: Y=BX+A
Bảng số liệu được thay th : ế
Áp d ng công thụ ức bình phương nhỏ nhất cho trường h p ợ f x ( )= + A Bx :
0.4084 2.8132.b) Sử d ng b ng sụ ả ố liệu từ đề bài và áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu cho trường h p ợ f x ( )= +A Bx Cx+ 2
+ + + + + + Vậy phương trình vận tốc : v= −0.0062S 2 +0.0987S−0.0352
Ta có thể đánh giá hai mô hình trên dựa vào sai s cố ủa từng trường h p: ợ
Trường h p mô hình tuy n tính:ợ ế
Vì sai s mô hình tuy n tính lố ế ớn hơn sai số mô hình parabol nên mô hình parabol cho giá trị x p x tấ ỉ ốt hơn.
Bài toán m r ở ộng
A company test-markets a new soft drink in 10 cities of approximately equal size The selling price(in dollars) and the number sold per week in the cities are listed as follows:
10 0.69 3300 a) First, the company wants to find the “demand curve”: how many it will sell at each potetinal price Let P denote price and S denote sales per week Find the line S= +c 1 c P 2 that best fits the data from the table in the sense of least squares Find the normal equations and the coefficients c 1 andc 2 of the least squares line b) After studying the results of the test marketing, the company will set a single selling price P throughout the country Given a manufacturing cost of $0.23 per unit, the total profit(per city, per week) is S(P-0.23) dollars Use the results of the preceding least squares approximation to find the sell price for which the company’s profit will be maximized
b) Ta có công thức tổng lợi nhuận: S(P - 0.23) khi đó, thay S là hàm vừa tìm được
= − là hàm lợi nhuận Tìm giá bán mà l i nhu n c a công ty tợ ậ ủ ối đa tức là tìm giá trịP cực trị ủ c a L(P)
= − + Vậy công ty bán với giá đơn lẻ P = 0.6834 dollars trong các thành ph trên số ẽ đạt lợi nhuận tối đa.
K ết luận
Phương pháp bình phương cực tiểu chỉ xây dựng một hàm đơn giản cho thể hiện tốt nhất giáng điệu c a t p hủ ậ ợp các điểm Chính vì v y, c n xây dậ ầ ựng hàm đơn giả ấy n sao cho thích hợp nh t vấ ới sai số nh nh t ỏ ấ
Lý thuyết
3.1.1 Phương pháp Euler cải tiến cho hệ phương trình vi phân
Xét hệ phương trình vi phân: Equation Section 3
• Chia đoạn [t , t0 0+ H] thành n đoạn con bằng nhau có độ dài h = H/n
• Các điểm chia là t = t k 0+ kh, k = 0, 1, …, n
• Giá trị gần đúng của x(t) , y(t) tại tk lần lượt là xk ≈ x(tk), yk ≈ y(tk),
Công thức Euler cải tiến
3.1.2 Spline b c ba t nhiênậ ự Định nghĩa:
Cho hàm y=f(x) xác định trên đoạn [a,b] và bảng số
Một spline bậc 3 nội suy hàm f(x) là hàm g(x) thỏa các điều ki n sau : ệ i) g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b] ii) g(x)=gk(x) là 1 đa thức bậc 3 trên [xk ,xk+1], k=0,1, ,n-1
Cách xây d ng spline bự ậc 3: Đặt hk = xk+1 - xk gk(x) là đa thức bậc 3 nên có thểviết dưới dạng : gk (x) = ak+bk (x-xk )+ck (x-xk) 2+dk(x-xk ) 3
Các h s a , b , d ệ ố k k kđược xác định theo các công thức :
H s cệ ố k được tính theo công th c: ứ
Phương trình (4) là hệ pt tuyến tính gồm n-1 pt dùng để xác định các hệ số c k
Phương trình (4) có số ẩn = n+1 > số phương trình = n-1 (thiếu 2 phương trình) nên chưa giải được, để giải được ta cần bổ sung thêm 1 số điều kiện
Spline t nhiên là spline vự ới điều kiện: g ”(a) = g”(b) = 0
Giải thuật xác định spline t nhiên: ự Điều kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra co = c = 0 n
B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (c , c o 1, …, cn )T
N ội dung và kết quả có đượ c
3.2 Nội dung và k t quế ả có được
In biology, the predator-prey model is used to observe the species interaction One model is proposed by Lotka Volterra as: - d d d , d x ax bxy t y cy dxy t
= − + where x, are the number of preys and predators, y respectively, a=the prey growth rate, c= the predator death rate, b and d= the rates characterizing the effect of the predator prey interactions on the prey death and the predator growth, respectively t is time measured in month a) Given the following data a=1.2,b=0.6,c=0.8,d=0.3 with initial conditions of x=2 and y=1 Find the number of prey and predators after 10 months with modified Euler’s method with step size h=0.625 b)With the found data, construct the natural cubic spline for x and y Plot in one figure the graphs of x t ( ) ( ) , y t
Trong sinh h c, mô hình kọ ẻ săn mồi – con mồi được dùng để quan sát sự tương tác giữa các loài Mô hình được đề xuấ ởi Lotka-t b Volterra là d d d , d x ax bxy t y cy dxy t
(3.1) trong đó x y, lần lượt là số lượng c a con mủ ồi và động vật săn mồi, a là tốc độ tăng trưởng số lượng loài bị săn, clà tốc độ chết đi của loài đi săn, b và d theo thứ ự t là tỷ lệ đặc trưng cho ảnh hưởng của tương tác kẻ săn mồi – con mồi lên sự chết đi của con mồi và sự tăng trưởng của loài săn mồi, t là thời gian tính bằng tháng a) Cho a=1.2,b=0.6,c=0.8,d=0.3 với điều kiện ban đầu là x=2 và y=1 Tìm số lượng c a loài bủ ị săn và loài đi săn sau 10 tháng bằng phương pháp Euler cải tiến với bước chia h=0.625 b) Với các dữ liệu tìm được, xây d ng spline b c ba t nhiên cho và Vự ậ ự x y ẽ đồ thị của x t ( ) ( ) , y t trong cùng một hệ ọ ta độ
0.625 n=h = d 1.2 0.6 ( ; ; ) d d 0.8 0.3 ( ; ; ) d x ax bxy x xy f x y t t y cy dxy y xy g x y t t
2 y y 2 y=y + K +K = + − + Ta làm tương tự v i các giá tr x, y còn lớ ị ại tổng hợp được bảng: k t x y
Số lượng c a loài bủ ị săn 1.8974 và loài đi săn 3.6834 sau 10 tháng b) Ta sẽ tính hàm spline của x(t)
16 10.0000 1.8974 Áp dụng công th c trong ứ slides l p ma tr n vuông c p 17 để ậ ậ ấ
Ta Giải được ck k ck
Ta áp dụng công thức: k Ak Bk Ck Dk
Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới:
Ta cũng sẽ giải tương tự ới hàm y(t): v
1.0000 0.6250 0.9443 0.6250 0.2587 2.5000 1.0435 2.0000 1.2500 1.106 0.6250 0.9466 2.5000 2.0635 3.0000 1.8750 1.6976 0.6250 2.1875 2.5000 3.7229 4.0000 2.5000 3.0648 0.6250 1.4744 2.5000 -2.1394 5.0000 3.1250 3.9863 0.6250 -1.1778 2.5000 -7.9565 6.0000 3.7500 3.2502 0.6250 -1.3179 2.5000 -0.4205 7.0000 4.3750 2.4265 0.6250 -1.0533 2.5000 0.7939 8.0000 5.0000 1.7682 0.6250 -0.7328 2.5000 0.9614 9.0000 5.6250 1.3102 0.6250 -0.4546 2.5000 0.8347 10.0000 6.2500 1.0261 0.6250 -0.2091 2.5000 0.7363 11.0000 6.8750 0.8954 0.6250 0.0706 2.5000 0.8390 12.0000 7.5000 0.9395 0.6250 0.5605 2.5000 1.4698 13.0000 8.1250 1.2898 0.6250 1.6565 2.5000 3.2880 14.0000 8.7500 2.3251 0.6250 2.7106 2.5000 3.1622 15.0000 9.3750 4.0192 0.6250 -0.5373 2.5000 -9.7435 16.0000 10.0000 3.6834 Áp dụng công th c trong ứ slides l p ma tr n vuông c p 17 để ậ ậ ấ
Ta áp dụng công thức: k ck
Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới:
Từ các hàm x và y tìm được ta vẽ đồ thị x(t) và y(t)
Bài toán m r ở ộng
Một tr i nghiên c u v s sạ ứ ề ự ố lượng cá th c a qu n th rể ủ ầ ể ắn đã được tiêm m t loộ ại thuốc và xem xét sự ảnh hưởng tới quần thể Tuy nhiên trong thời gian đo đạt máy gặp trục tr c và ch lặ ỉ ấy được 3 l n sầ ố liệu đo đạt như bảng bên dưới Hãy vẽ đồ thị về số lượng loài rán theo th i gian và áp dụng hàm spline tự nhiên ờ
Tìm đa thức spline bậc 3 của hàm
Ta thay các giá trị tìm được vào phương trình
Theo sơ đồ ta thấy số lượng loài có tăng và giảm sau đó nhưng vẫn cao hơn mức ban đầu.
K ết luận
Việc s dử ụng phương pháp Euler c i tiả ến giúp ta tính được x p x các n c n tìm ấ ỉ ẩ ầ của chúng 1 cách chính xác hơn Hàm Euler cải tiến s càng sai s n u có quá ít giá ẽ ố ế trị
D a vào các sự ố liệu có s n ta có th s a d ng hàm spline tẵ ể ử ụ ự nhiên để ẽ ra đồ v thị đường đi với các số liệu đang có một cách chính xác hơn so với vẻ đường thẳng nối các điểm Cụ thể hóa nó bằng các phương trình nối các điểm Càng nhìu số liệu việc vẽ hình s ẽ càng chính xác hơn.
