góc tù,đường tròn tâm, tam giác, hình chữ nhật, hình vuông hình tinh hành hình thời Ta cóthể chia định nghĩa của Euclide thành hai loại, loại có việc làm, tức là những địnhnghĩa được sử
Tiểu sử
Người ta không biết nhiều về cuộc đời của Euclid Từ điển Tiểu sử Khoa học (Dictionary of Scientific Biography) mở đầu bài viết dài về Euclid bằng những lời này: “Mặc dù Euclid là nhà toán học trứ danh nhất mọi thời đại, là người mà tên tuổi đã đồng nghĩa với hình học cho đến tận thế kỷ 20, nhưng chỉ có hai sự kiện về cuộc đời ông được biết đến, mà ngay cả những sự kiện này cũng chưa phải là không còn tranh cãi” Những “sự kiện” này được suy diễn hay đồn đoán dựa vào việc tham khảo các tác phẩm cổ đại Đầu tiên là ông sống ở thời sau Plato (mất vào năm 347 TCN) và trước Archimedes (sinh năm 287 TCN) Thứ đến là ông làm việc ở Alexandria Ông không phải là Euclid ở Megara, là một người bạn của Plato, là người vẫn bị nhầm với ông Heath cho biết khả năng khả dĩ nhất là Euclid (tác giả của Cơ sở của hình học) tiếp nhận giáo dục về toán tại Athen từ các học trò của Plato bởi vì hầu hết những nhà hình học có thể dạy ông đều xuất thân từ trường đó, và các nhà toán học mà Cơ sở của hình học của Euclid dựa vào đều sống và dạy ở Athen Nếu chúng ta đồng ý với những điều này thì chúng ta xác định rằng Euclid sống sau năm 347 TCN Quan điểm cho rằng ông sinh trước Archimede là dựa vào một chỉ mục tham khảo dẫn đến tác phẩm Về hình cầu và hình trụ của Archimede Tuy nhiên, chỉ mục tham khảo đó bây giờ đã bị cho là được chèn vào sau này.
Mặc dù vậy, một số người vẫn giữ quan điểm là chỉ có thể hơi chắc chắn rằng ông sống trước hoặc cùng thời với Appollonius (là người sống vào khoảng năm 200 TCN). Một chút bằng chứng cho chuyện này cũng là bằng chứng cho việc ông làm việc ở Alexandria là một tham khảo từ Pappus (khoảng năm 320 CN) Pappus nhận xét về Apollonius rằng Apollonius “sống khá lâu với các học trò của Euclid ở Alexandria, và nhờ thế mà ông có được thói quen tư duy khoa học như vậy” Nếu chúng ta tin Pappus trong chuyện này thì chúng ta phải đặt Euclid vào thời gian trước năm 200 TCN. Heath cũng rút ra từ nhận xét của Pappus rằng Euclid dạy và mở một ngôi trường ở Alexandria Tuy nhiên, những người khác phản bác rằng cho dù rõ ràng là ông có học trò ở Alexandria thì điều đó cũng không chứng minh được là ông làm việc ở đó.
Dù gì đi nữa, chính Apollinius đã tham khảo Euclid trong lời giới thiệu của Quyển I bộ Các đường conic Bởi vì Apollonious sinh vào khoảng năm 262 TCN cho nênEuclid sẽ phải sống trước 200 TCN Đây là tất cả những gì chúng ta biết về cuộc đời của Euclid Thế còn tác phẩm? Heath trích Proclus (410-485 CN) như sau: “Euclid đã biên soạn Cơ sở của hình học từ việc tập hợp các định lý của Euxodus, hoàn chỉnh nhiều định lý của Theaeterus, và cũng chứng minh một cách không thể chối cãi được những định lý vốn chỉ được chứng minh một cách lỏng lẻo bởi các bậc tiền bối” Từ điển Tiểu sử Khoa học nói rằng: “Danh tiếng lừng lẫy của Euclid nằm ở bộ Cơ sở của hình học, trong đó ông viết mười ba quyển và đã để lại một ảnh hưởng to lớn lên tư duy của con người mạnh mẽ hơn bất cứ tác phẩm nào khác ngoại trừ Kinh thánh Bởi lý do đó, ông được biết đến trong thời cổ đại như là Người viết nên Cơ sở của hình học và đôi khi chỉ đơn giản là “Nhà hình học” Đã từng có các Cơ sở của hình học được viết trước Euclid - đáng chú ý nhất là các tác phẩm của Hippocrates, Leo and Theudius ở Magnesia - nhưng tác phẩm của Euclid đã vượt qua chúng một cách ngoạn mục đến nỗi bây giờ chúng chỉ còn được biết đến qua các chỉ mục tham khảo của Eudemuss như là Proclus đã dẫn lại”.
Nhiều tác phẩm khác được cho là của Euclid, trong thiên văn học, quang học, lý thuyết âm nhạc, cũng như là trong toán học Nhiều tác phẩm trong số đó đã không còn hiện hữu nữa, hoặc chỉ còn lại những mảnh vỡ Sau Cơ sở của hình học, công trình toán học quan trọng nhất của ông vẫn còn giá trị là Dữ liệu (Data), là tác phẩm rõ ràng được viết ra như một công cụ để giải toán bằng phép phân tích Quyển Về sự phân chia (của các số) - vẫn còn lưu truyền qua bản tiếng Ả rập - nói về việc phân chia các số thành các số khác không đồng dạng Quyển Các hệ quả được cho là của Euclid đã bị mất, nhưng vẫn được biết đến thông qua các tác phẩm của Pappus Nó bao gồm không phải là các hệ quả như trong Cơ sở của hình học, mà là, theo Heath, “các định lý về lý thuyết của các đường cát tuyến và hình học xạ ảnh hiện đại” Euclid cũng được cho là đã viết một chuyên luận về các mặt cắt với hình nón, dày bốn quyển, là tác phẩm đã vượt qua tác phẩm Các hình nón của Apollonius, vốn đã bị mất Hai tác phẩm quang học được cho là của Euclid, Quang học (Optics) và Phản xạ học (Catropics), đã mở ra truyền thống rất dài của môn quang hình học, duy trì cho đến tận đầu thế kỷ mười bảy [ ].
Những gì chúng ta biết về Eucid là biết qua tác phẩm sáng chối mà ông đã để lại.Quyển sách mà bạn đang cầm trên tay cho bạn cơ hội được nghiên cứu tác phẩm một cách trực tiếp và tự mình nghiên ngâm xem vì sao “nhà toán học khả kính nhất của mọi thời đại” lại được vinh danh trong suốt hơn hai thiên niên kỷ.
Các công trình của Euclide
Tác phẩm của Eculide
Oclit (330 – 275 TCN) sinh ra ở thành Athena, Hy Lạp) Oclit để lại khá nhiều tác phẩm vẽ toàn học, quang học âm nhạc, nhưng nổi tiếng vẫn là tập Cơ bản gồm 13 cuốn Đó là tác phẩm đầu tiên của thời cổ còn giữ nguyên vẹn đến ngày nay Trước Oclit, còn có nhiều người viết các tập Cơ bản, trong số đó có tập Cơ bản của Hypocrat, nhưng tất cả các tác phẩm đó không thể sánh kịp với tập Cơ bản của Oelit do đó bị lãng quên Trong lịch sử phương Tây, bộ Cơ bản của Oclit chiếm hàng thứ hai về số lần tái bản, chỉ sau Kinh thánh.
Cuốn sách đỏ đã sống hơn 2000 năm, cho đến ngày nay giá trị khoa học của nó vẫn không hề bị giảm sút Tất cả các nhà toán học thế giới đều phải học cuốn sách này như là bước đầu cần thiết để năm được hình học Oclit viết tập Cơ bản nhằm mục đích hệ thống các kiến thức hình học đã biết thành một lí thuyết toán học hoàn chỉnh, dựa trên một số tiên đề, và các định li đều được chứng minh bằng suy diễn một cách chặt chẽ. Như vậy, Oclit chính là thuỷ tổ của phương pháp tiên để hiện đại.
Tuy nhiên, một số đặc điểm của bộ Cơ bản cũng phản ánh một loạt các nhân tổ không thuận lợi cho sự phát triển của toán học sau này đã hình thành vào lúc viết bộ sách đó. Việc trình bảy có tính chất hình học rõ rệt, ngay cả con số cũng được thể hiện bằng đoạn thẳng, phương tiện dụng hình về bản chất chỉ thời bạn trong phạm vi compa và thuốc Vì thế trong bộ Cơ bùn không có lí thuyết thiết diễn cônic, các đường cong đại số và siêu việt, và hoàn toàn không có các phương pháp tỉnh toán.
Mỗi cuốn trong tập Cơ bản đều bắt đầu bằng những định nghĩa Ngoài ra, trong cuốn thứ nhất có năm định để và năm tiền đều Sau đây là một số định nghĩa:
1 Điểm là cái mà không có thành phần
2 Đường có bề dài và không có bề rộng
3 Mút của đường là điểm
4 Đường thăng là đường như nhau đối với mọi điểm của nó.
Sau đó là định nghĩa về mặt phẳng, gói, góc vuông, sự vương góc, góc nhọn góc tù, đường tròn tâm, tam giác, hình chữ nhật, hình vuông hình tinh hành hình thời Ta có thể chia định nghĩa của Euclide thành hai loại, loại có việc làm, tức là những định nghĩa được sử dụng để xây dựng lí thuyết (ví dụ định nghĩa về góc vuông, về hai đường thẳng song song) Loại thứ hai là loại mô tả, gồm những định nghĩa về sau không sử dụng (ví dụ định nghĩa điểm, đường Các định để của tập Cơ bản là :
1 Từ một điểm bất kì này tới một điểm bất kì khác có thể về một đường thăng
2 Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn
3 Từ một tâm bất kì với bán kính bất kì luôn vẽ được một đường trong
4 Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5 Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thi hai đường thăng này sẽ cắt nhau khi kéo dài chúng về phía hai góc đó.
Và sau đây là các tiên đề:
1 Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2 Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau
3 Bớt những cái bằng nhau từ những cai bằng nhau thì được những cái bằng nhau
4 Trùng nhau thì bằng nhau.
5 Toàn thể lớn hơn một phần.
Việc lựa chọn các đỉnh để và tiền đề của Euclide khá thành công Nhưng các định để và tiên đề của ông không đủ để xây dựng hình học Trong nhiều chứng minh, ông đã phải thừa nhận những điều mà ông không nêu lên thành tiên đề Chẳng hạn khi có hai đường tròn bằng nhau trả đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kh thì Euclide mặc nhiên công nhân chúng cắt nhau, chỉ không chứng cứu bắt minh sự tồn tại của các giáo điểm Euclide thiếu hẵn các tiên đề của hình học không gian, các tiên đề về dời hình (mà hình học của ông thực chất là nghiên biển qua phép dời) và các tiên đề về liên tục
Ta hãy điểm qua nội dung của 13 cuốn sách trong tập Cơ bản:
Quyển 1: Trình bày các định lí về sự bằng nhau của tam giác, về vuông góc và song song, vẽ hình bình hành, về “diện tích” của các hình phẳng và định là Py-ta-go.
Chữ “Diện tích” chúng ta để trong dấu ngoặc kép vì “Diện tích” của Ochit không phải là các số Lí thuyết diện tích của ông là các mệnh đề về sự đẳng hợp Chẳng hạn, định lí “Diện tích tam giác bằng nửa tích số của cạnh đáy và chiều cao” được Ơclit phát biểu là: “Tam giác đẳng hợp với nửa hình chữ nhật có các cạnh là đáy và chiều cao của tam giác” Định lí Py-ta-go được phát biểu dưới dạng: “Hình vuông dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông đăng hợp với hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông”.
Qua Quyển 1, ta thấy được một vài nét tiêu biểu cho phương pháp suy luận toán học và hình thức trình bày của Ơclit Một là, phương pháp lập luận của Oclit luôn luôn là phương pháp tổng hợp Để chứng minh một định lí nào đó, ông xuất phát từ một khẳng định hiển nhiên đúng mà xét cho cùng là dựa vào hệ thống các mệnh đề cơ bản.
Từ đó, ông phân tích các hệ quả dẫn đến điều khẳng định cần tim trong bộ Cơ bản. Ơclit không lập luận theo phương pháp phân tích, nghĩa là lấy định lí cần tìm coi như là điều đã chứng minh, suy từ nó ra một loạt hệ quả cho đến khi tìm thấy một điều hiển nhiên đúng.
Hai là, cách chứng minh xây dựng theo một sơ đồ thống nhất bao gồm các phần sau:
– Phát biểu bài toán hoặc định lí (mệnh đề);
– Vẽ hình để diễn tả các dữ kiện bài toán (trình bày);
– Theo hình vẽ nêu cải cần tìm (phân tích);
– Đưa vào những đường phụ (dựng);
– Chứng minh theo đúng nghĩa của nó (chứng minh);
– Phát biểu rằng điều cần chứng minh đã được chứng minh xong (kết luận).
Ba là, các phương tiện dựng hình compa và thước về nguyên tắc không được dùng đo đạc Vì vậy, ở dây và về sau, trong bộ Cơ bản không có vấn đề do độ dài đoạn thăng, diện tích các hình và thể tích vật thể, mà chỉ nói đến những mối tương quan giữa chúng
Quyển 2: Gồm các mệnh đề cơ bản của “Đại số hình học”, tức là những đẳng thức về đại số, nhưng phát biểu như là sự đăng hợp giữa các hình
Quyên 3: Đề cập tới tinh chất của hình tròn và đường tròn, đường cong vàtiếp góc ở tâm và góc nội tiếp Ở đây đặc biệt có định li về phương tích của một điểm đối với đường tròn Trong quyển này, phép quy nạp Aristốt (thế kỉ IV TCN) được dùng đến để chứng minh định lí về số đo góc nội tiếp
Quyển 4: Gồm những tính chất của đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp cũng như cách dựng các đa giác đều 3, 5, 6 và 15 cạnh Trong đó, phương pháp dựng hình 15 cạnh đều rất hay.
Các định nghĩa
Trong mỗi quyển sách của mình Euclide đã bắt đầu bằng những định nghĩa, khái niệm sẽ gặp sau đó Sau đây là những định nghĩa ở mỗi quyển trong 6 quyển đầu
1 Điểm là cái không có bộ phận.
2 Đường là cái có bề dài mà không có bề rộng.
3 Các đầu mút của một đường là những điểm.
4 Đường thẳng là đường có sự sắp đặt vị trí như nhau đối với mọi điểm của nó.
5 Mặt là cái chỉ có bề dài và bề rộng.
6 Các biên của một mặt là những đường.
7 Mặt phẳng là mặt có sự sắp đặt vị trí như nhau đối với mọi đường thẳng của nó
8 Góc phẳng là độ nghiêng của [các] đường so với một khác, khi hai đường trên một mặt phẳng gặp cắt nhau, và [hai đường này] không nằm trên một đường thẳng.
9 Và khi hai đường tạo góc đều là đường thẳng, thì góc được gọi là góc thẳng.
10 Khi một đường thẳng đứng trên một đường thẳng khác tạo thành hai góc kể bằng nhau, mỗi góc đó là một góc vuông, và đường thẳng đang xét được gọi là vuông góc với đường mà nó đứng trên
11 Góc tù là góc lớn hơn góc vuông.
12 Góc nhọn là góc nhỏ hơn góc vuông.
13 Biên là chỗ tận cùng của một cái gì đó.
14 Hình là cái được tạo thành bởi một vài hoặc nhiều biển.
15 Hình tròn là một hình phẳng được tạo thành bởi một đường đơn [được gọi là chu vi sao cho mọi đoạn thẳng tỏa ra [đến chu vi] từ một điểm trong số các điểm nằm bên trong hình tròn là bằng nhau
16 Và điểm đó được gọi là tâm của hình tròn.
17 Còn đường kính của hình tròn là một đoạn thẳng bất kì được kẻ xuyên qua tâm và bị chu vi của hình tròn ngắt đứt Mỗi đoạn thẳng như thế đều cắt đôi hình tròn.
18 Một nửa hình tròn là hình được giới hạn bởi đường kính và một phần đường chu vi bị cắt ra bởi đường kính này Tâm của nửa hình tròn cũng chính là tâm của hình tròn.
19 Hình thẳng là những hình được giới hạn bởi các đoạn thẳng: hình ba cạnh (tam giác) là những hình được giới hạn bởi ba đoạn thẳng, hình bốn cạnh (tứ giác) được giới hạn bởi bốn đoạn thẳng, và hình nhiều cạnh (đa giác) thì được giới hạn bởi nhiều hơn bốn đoạn thẳng xóa
20 Đối với hình tam giác (hình ba cạnh): một tam giác là tam giác đều khi có ba cạnh bằng nhau, là tam giác cân nếu chỉ có hai cạnh bằng nhau, và là tam giác lệch nếu có ba cạnh không bằng nhau.
21 Hình ba cạnh khác: là tam giác vuông nếu có một góc vuông, là tam giác tù nếu có một góc tù và là nhọn nếu cả ba góc đều là góc nhọn.
22 Đối với hình bốn cạnh (tứ giác): hình vuông là hình các cạnh vuông góc và bằng nhau, là hình chữ nhật nếu các cạnh vuông góc nhưng không bằng nhau, là hình thoi nếu các cạnh bằng nhau nhưng không vuông góc, và là hình chữ nhật lệch (hình bình hành) nếu chỉ có các cạnh đối bằng nhau và góc đối bằng nhau nhưng không vuông góc Và gọi những hình tứ giác không cùng loại với những hình vừa kể trên là hình thang.
23 Các đường thẳng song song là những đường nằm cùng mặt phẳng và khi kéo dài ra vô hạn ở cả hai hướng thì không gặp nhau (ở cả hai hướng).
1 Một hình bình hành bất kỳ được gọi là hình chữ nhật khi được tạo thành bằng hai đoạn thẳng vuông góc
2 Từ một hình bình hành lớn bất kỳ, lấy đi một hình bình hành bất kỳ trên đường chéo của nó, để lại hai phần bù của hình bình hành nhỏ này, thì được (một hình) gọi là hình bình hành khuyết.
1 Các hình tròn bằng nhau là các hình tròn mà đường kính của chúng là bằng nhau, hay khoảng cách từ tâm đến đường chu vi là bằng nhau (tức là các bán kính của chúng là bằng nhau).
2 Một đường thẳng được gọi là tiếp xúc với một đường tròn là một đường thẳng bất kì gặp đường tròn và được kéo dài mà không cắt hình tròn đó.
3 Các hình tròn được gọi là tiếp xúc nhau là các hình tròn bất kỳ gặp nhau mà không cắt nhau.
4 Trong một hình tròn, các đoạn thẳng được gọi là cách đều tâm khi mà các đoạn thẳng vuông góc kẻ từ tâm đến các đoạn thẳng đó là bằng nhau.
5 Và đoạn thẳng đó được gọi là cách xa tâm hơn khi mà đoạn vuông góc vẽ từ tâm là dài hơn.
6 Một hình viên phân là hình tạo bởi một đoạn thẳng và một phần đường chu vi của hình tròn hay cung tròn
7 Và góc của một hình viên phân là góc kẹp giữa đoạn thẳng đó và đường chu vi của hình tròn
8 Và góc nội tiếp một hình viên phần là góc kẹp giữa hai đoạn thẳng cắt nhau khi lấy một điểm bất kỳ nằm trên đoạn chu vi hình tròn của hình viên phân rồi nối các đoạn thẳng từ điểm đó đến các đầu mút của đoạn thẳng là cạnh đáy của hình viên phân.
9 Và khi các đoạn thẳng tạo góc cắt một phần chu vi (cung tròn) của hình tròn thì góc đó được gọi là góc chắn (cung).
Chứng minh một số mệnh đề của từng quyển
Mệnh để 4: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bảng nhau, và góc xen giữa hai cạnh bằng nhau, thì hai tam giác cũng sẽ có cạnh đáy này bằng cạnh đáy kia, tam giác này sẽ bằng tam giác kia, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Gọi ABC và DEF là hai tam giác với hai cạnh AB và AC tương ứng bằng với DE và
DF Tức là, AB bằng DE, AC bằng DF Đặt góc BAC bằng góc EDF Có thể phát biểu rằng cạnh đáy BC bằng cạnh đáy EF, tam giác ABC sẽ bằng tam giác DEF, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng nhau thì bằng nhau Tức là ABC bằng DEF, ACB bằng DFE.
Bởi vì nếu tam giác ABC được xếp chồng lên tam giác DEF' điểm A được đặt lên trên lên điểm D, đoạn thẳng AB trên DE, thì điểm B cũng sẽ trùng với điểm E vì AB đã trùng với DE Do đó, từ AB trùng với DE, và hơn nữa góc BAC bằng góc EDF, ta sẽ có đoạn thẳng AC cũng bằng DE Thêm nữa, vì AC bằng DF điểm C cũng sẽ trùng với điểm F Nhưng rõ ràng là B trùng với E, đáy BC thì sẽ trùng với đáy EF Vì nếu B trùng với E, C trùng với F, mà đáy BC không trùng EF thì hai đoạn thẳng này sẽ tạo thành hình có kích thước Điều này là không thể [ĐĐ 1]" Đáy BC do đó sẽ trùng với
EF, và bằng nó [TĐ 4] Kết quả là cả tam giác ABC sẽ trùng với tam giác DEF, và bằng nó [TĐ 4] Các góc còn lại cũng sẽ tương ứng trùng nhau, và bằng nhau [TĐ 4]. Tức là, ABC bằng DEF, ACB bằng DFE [TĐ.4].
Như vậy, nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, và góc xen giữa chúng bằng nhau, thì cạnh đáy cũng bằng với cạnh đáy, tam giác này sẽ bằng tam giác kia, và các góc còn lại bị chắn bởi các cạnh tương ứng bằng nhau cũng bằng nhau. Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề 6: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì các cạnh chặn chúng cũng bằng nhau.
Gọi ABC là tam giác với góc ABC bằng góc ACB Có thể phát biểu rằng cạnh AB bằng cạnh AC.
Vì nếu AB không bằng AC, thì một trong chúng là đoạn lớn hơn Gọi AB là đoạn lớn. Đặt DB bằng với AC là đoạn được cắt ra từ đoạn lớn AB [MĐ 1.3] Nối D với C [ÐÐ 1] Theo đó, từ DB bằng AC và BC chung, hai cạnh DB, BC tương ứng bằng với
AC, CB, góc DBC cũng bằng góc ACB Như vậy đáy DC bằng đáy AB, và tam giác DBC sẽ bằng tam giác ACB [MĐ 1.4], cái nhỏ bằng cái lớn hơn Điều này vô lý [TĐ.
5] Như vậy AB không thể không bằng AC, và do đó nó bằng AC.12
Như vậy, nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì các cạnh đối diện với chúng cũng bằng nhau Đây chính là điều cần phải chứng minh
Mệnh đề 17: Cho một tam giác bất kì, tổng của hai góc tùy ý luôn nhỏ hơn hai
Cho tam giác ABC Có thể phát biểu rằng tổng hai góc được chọn tùy ý của tam giác ABC luôn nhỏ hơn hai vuông.
Vì ACD là góc ngoài đối với tam giác ABC, nó lớn hơn góc đối bên trong ABC [MĐ. 1.16] Cộng góc ACB vào cả hai góc kể và đối Như vậy, tổng các góc ACD và ACB lớn hơn tổng của ABC và BCA Mà tổng của ACD và ACB lại bằng hai góc vuông [MĐ 1.13] Do đó, tổng của ABC và BCA phải nhỏ hơn hai góc vuông Tương tự, có thể chứng tỏ rằng tổng của BAC và ACB cũng nhỏ hơn hai góc vuông, và cả tổng của CAB và ABC cũng vậy.
Như vậy, trong một tam giác bất kì, tổng hai góc được tổ hợp tùy ý luôn nhỏ hơn hai góc vuông Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề 34: Trong hình bình hành thì các cặp cạnh và góc đối nhau thì bằng nhau, và đường chéo sẽ chia hình này thành hai phần bằng nhau.
Gọi ABCD là một hình bình hành, và BC là đường chéo của hình này Có thể phát biểu rằng các cạnh và góc đối nhau của hình ABCD bằng nhau theo cặp và đường chéo BC chia hình này thành hai phần bằng nhau.
Do AB song song với CD và đường thẳng BC cắt qua chúng, nên các góc so le ABC và BCD là bằng nhau [MĐ 1.29] Cũng vậy, do AC song song với BD và BC cắt qua chúng các góc so le ACB và CBD cũng bằng nhau (MĐ 1.29] Nhưn vậy hai tam giác ABC và BCD có các góc ABC và BCA tương ứng bằng các góc BCD và CBD, và có một cạnh chung BC nằm giữa các cặp góc tương ứng này Do đó, các cặp cạnh tương ứng còn lại cũng bằng nhau [MĐ 1.26] Nghĩa là cạnh AB bằng CD, và cạnh AC bằng BD Hơn nữa, góc BAC bằng góc CDB Và do góc ABC bằng góc BCD, và góc CBD bằng góc ACB, nên góc tổng ABD bằng góc tổng ACD Và góc BAC cũng được chứng minh bằng với góc CDB al neob no guns des S
Như vậy, trong hình bình hành thì các cặp cạnh và cặp góc đối nhau thì bằng nhau. Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề 2: Nếu một đoạn thẳng được chia thành hai phân một cách ngẫu nhiên thì tổng diện tích của các hình chữ nhật có các cạnh bằng cả đoạn thẳng đó và mỗi phần (của nó) bằng với diện tích hình vuông có cạnh là cả đoạn thẳng đó
Gọi AB là đoạn thẳng được chia một cách ngẫu nhiên bởi điểm C Có thể phát biểu rằng diện tích của hình chữ nhật có kích thước AB và BC cộng với diện tích của hình chữ nhật có kích thước BA và AC bằng diện tích hình vuông có cạnh AB Dựng hình vuông ADEB trên đoạn AB [MĐ 1.46], và từ điểm C dựng đoạn CF song song với
AD hoặc BE [MĐ 1.31] Khi đó, hình vuông AE có diện tích bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật AFvà CE Hình vuông AE chính là hình vuông có cạnh AB Hình chữ nhật AF có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật có các cạnh bằng BA và AC, vì nó có các cạnh là DA và AC, mà AD bằng AB Hình chữ nhật CE có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật kích thước AB và BC, vì BE bằng AB Do đó diện tích của hình chữ nhật có các cạnh AB và BC cộng với diện tích của hình chữ nhật có các cạnh
BA và AC thì bằng diện tích hình vuông có cạnh bằng AB.
Vậy nếu một đoạn thẳng được chia thành hai phần một cách ngẫu nhiên thì tổng diện tích của các hình chữ nhật có các cạnh bằng cả đoạn thẳng đó và mỗi phần (của nó) bằng với diện tích hình vuông có cạnh là cả đoạn thẳng đó Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề 1: Tìm tâm của một hình tròn cho trước
Gọi ABC là hình tròn cho trước Hãy tìm tâm của hình tròn ABC.
Vẽ đoạn thẳng AB bất kì cắt qua hình tròn ABC, và chia đôi AB tại điểm D 1.9] Từ điểm D, vẽ đoạn DC vuông góc với AB [MĐ 1.11] Kéo dài CD đến E Và chia đôi
CE tại F [MĐ 1.9] Có thể phát biểu rằng (điểm) F là tâm của (hình tròn) ABC.
Các định đề
(I) Từ một điểm bất kì này đến một điểm bất kì khác có thể được một đường thẳng. (II) Một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn.
(III) Từ một điểm bất kì làm tâm với một bán kính tùy ý, có thể vẽ một đường tròn. (IV) Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.
(V) Nếu một đường thẳng cách hai đường thẳng khác tạo nên hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông thì hai đường thẳng đó phải cắt nhau về phía có hai góc nói trên đối với đường thẳng cắt.
Các tiên đề
(I) Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau.
(II) Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
(III) Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. (IV) Các hình chồng chít lên nhau thì bằng nhau.
(V) Toàn thể lớn hơn một phần.
Chú thích 1.2.1 Theo một số nhà nghiên cứu hình học thì dường như Euclide phân biệt định đề và tiên đề ở chỗ, định đề có nội dung hình học còn tiên đề thì chỉ có nội dung chung về mặt suy luận Ngày nay người ta không phân biệt như vậy nữa và gọi các mệnh đề đó đều là các tiên đề.
Các định lý về việc suy luận trong tác phẩm Euclide
Sau khi đưa ra các định nghĩa, định đề và các tiên đề, Euclide đã trình bày các định lí hình học theo thứ tự suy diễn lôgic sao cho mỗi định lí đều có thể được chứng minh bằng cách dựa vào các định lí, định đề và các tiên đề có trước đó Việc nêu ra các định nghĩa, các định đề và các tiên đề cần phải đủ để cho mọi định lí đều được chứng minh một cách chặt chẽ, bằng suy diễn lôgic, là một việc làm rất khó khăn và đầy phức tạp.Trong lôgic người ta quam tâm đến các qui luật của sự suy diễn, cho phép đi từ tính đúng đắn của một phán đoán này đưa đến kết luận về tính đúng đắn hay sai lầm của các phán đoán khác dựa vào dạng của các phán đoán chứ không phụ thuộc vào nội dung của các phán đoán đó Đây là một quan niệm về yêu cầu của một khoa học suy diễn do Aristotle nêu lên từ thế kỉ thứ VI trước Công nguyên và đã được Euclide áp dụng trong việc xây dựng hình học Trải qua hơn hai ngàn năm, tác phẩm “Cơ bản” của Euclide vẫn được xem là mẫu mực về tính chính xác chặt chẽ trong suy luận để xây dựng hình học Tuy nhiên nội dung tác phẩm của ông chưa đáp ứng được yêu cầu của một khoa học suy diễn như Aristotle đã đề xuất Ngày nay đứng trên quan điểm của toán học hiện đại mà xét thì tác phẩm “Cơ bản” của Euclide cũng còn có nhiều thiếu sót và chưa cung cấp đầy đủ các điều kiện cần thiết để xây dựng môn hình học.
Định đề V của Euclide
Lịch sử phát triển của hình học đã có quan hệ rất mật thiết với việc nghiên cứu Định đề V của Euclide Nhiều hệ toán học trên thế giới đã tốn rất nhiều công sức để chứng minh Định đề V của Euclide, nhưng mọi cố gắng đều không đi đến kết quả Mãi đến giữa thế kỉ thứ XIX lí thuyết về đường song song nêu trong Định đề V của Euclide đã được nhà toán học Nga N.I Lobatchevski (1793 – 1856) và nhà toán học Hungari là Bolyai János (1802 – 1866) nghiên cứu và giải quyết thành công Hai nhà toán học đó đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có mâu thuẫn gọi là hình họcLobatchevski – Bolyai Hai ông đã thay định đề V của Euclide bằng tiên đề khác có tính chất phủ định Định đề V và sáng tạo ra môn hình học mới là một thứ hình học phi– Euclide Việc làm trên đây của Lobatchevski và Bolyai chứng tỏ rằng Định đề V không thể suy ra được từ các tiên đề khác và điều đó khẳng định rằng Định đề V củaEuclide là một tiên đề chứ không phải là một định lí Phát triển tư tưởng sáng tạo này,người ta nghĩ tới việc xây dựng nhiều thứ hình học khác nhau và mỗi thứ hình học đó gắn với một hệ tiên đề riêng của nó.
Định đề V trong chương trình học ở phổ thông
Trong các sách giáo khoa về hình học ở trường phổ thông, chúng ta hãy quan tâm đến thứ tự xuất hiện của các mệnh đề đầu tiên trong hình học phẳng để thấy vị trí của Định đề V và các định lí có trước Định đề V Điều này sẽ làm cho chúng ta thấy rõ những định lí nào của hình học có các chứng minh chưa cần dùng đến Định đề V Ngày nay người ta gọi các định lí đó là các định lí của hình học tuyệt đối.
Sau khi đưa ra các khái niệm cơ bản và dựa trên khái niệm dời hình (khái niệm này chưa được định nghĩa) hoặc khái niệm khoảng cách của hai điểm và độ lớn của góc người ta so sánh các đoạn thẳng và các góc Sau đó ta có các định lí sau:
(i) Các định lí về sự bằng nhau của các tam giác thường và tam giác vuông.
(ii) Định lí về sự bằng nhau của hai góc ở đáy trong một tam giác cân.
(iii) Định lí về góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
(iv) Định lí về mối quan hệ giữa độ lớn của cạnh và góc đối diện trong một tam giác. (v) Các định lí về việc so sánh độ dài các đoạn vuông góc và đoạn xiên.
(vi) Các định lí về sự so sánh độ lớn của một cạnh với tổng hoặc hiệu của hai cạnh còn lại trong một tam giác.
Sau đó xuất hiện Định đề V (hay tiên đề Euclide) nhằm mục đích xây dựng lí thuyết về đường thẳng song song Cần lưu ý rằng để chứng minh sự tồn tại của đường thẳng song song, người ta không cần dùng Định đề V mà dùng định lí sau đây: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song”. Để chứng minh sự duy nhất của đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng không chứa điểm đó ta phải dựa vào Định đề V hoặc một định đề tương đương với Định đề V. Định đề V tương đương với tiên đề mà ngày nay ta thường gọi là tiên đề Euclide sau đây: “Trong mặt phẳng qua một điểm ở ngoài một đường thẳng cho trước có không quá một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho”.
Cần lưu ý rằng trong hình học phẳng mệnh đề: “Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho” không phải hoàn toàn là tiên đề Hơn nữa chúng ta cần thấy rằng sự kiện có không quá một đường thẳng song song nói trên chỉ xảy ra đối với một điểm và một đường thẳng nào đó Nếu công nhận điều này ta sẽ chứng minh sự kiện đó đúng với mọi điểm nằm ngoài mọi đường thẳng.
Sự tương đương của định đề V với tiên đề Euclide
2.9.1 Nếu công nhận định đề V ta chứng minh được tiên đề Euclide
Giả sử qua điểm B nằm ngoài đường thẳng a có hai đường thẳng b và b’ đều không cắt đường thẳng a nghĩa là b và b’ đều song song với a Ta sẽ chứng minh b và b’ phải trùng nhau. Đường thẳng c cắt a và b lần lượt tại A và B Giả sử cát tuyến AB tạo với hai đường thẳng a, b hai góc trong cùng phía là u và v
Theo Định đề V vì a, b không cắt nhau nên ta có u+ v ≥ 2 vuông.
Gọi u ' , v ' là hai góc trong còn lại cùng ở phía khác với u , v đối với cát tuyến AB. Cũng theo Định đề V vì a, b không cắt nhau nên ta có: u ' +v ' ≥2 vuông Mặt khác ta lại có:
Lý luận tương tự đối với đường thẳng b ' , ta có a và b ' cũng tạo với cát tuyến AB hai góc trong cùng phía có tổng bằng hai vuông Vậy b và b ' phải trùng nhau Điều đó có nghĩa là qua điểm B nằm ngoài đường thẳng a không thể có quá một đường thẳng song song với a và như vậy tiên đề Euclide đã được chứng minh.
2.9.2 Nếu công nhận tiên đề Euclide thì ta chứng minh được Định đề V
Giả sử đường thẳng c cắt a, b tại A, B và tạo với hai đường thẳng a, b hai góc trong cùng phía α 1 và β 1 có tổng nhỏ hơn hai vuông, nghĩa là α 1+β 1 2 Bây giờ qua điểm A ta vẽ đường thẳng a ' tạo với cát tuyến c các góc α 1 '
Như vậy, α 2 ' =β 1 Do đó ta chứng minh được a ' song song với b Thật vậy, giả sử a ' cắt b về một phía nào đó thí dụ tại điểm C về phía α 1 , β 1 thì khi đó đối với tam giác ABC có α 2 ' là góc ngoài của tam giác đó nên α 2 '
>β 1 (điều này mâu thuẫn với kết luận α 2 '
=β 1 ta tìm được ở phần trên).
Vậy a ' song song với b Vì ta công nhận tiên đề Euclide tức là công nhận sự duy nhất của đường thẳng a ' đi qua A và không cắt b Vậy đường thẳng a khác với a ' sẽ không song song b, nghĩa là a cắt b Bây giờ ta còn phải chứng minh hai đường thẳng a, b cắt nhau về phía α 1 , β 1 đối với cát tuyến c nói trên Ta chú ý rằng, α 1+α 2 =2 vuông, theo giả thuyết α 1+β 1 β 1
Do đó a và b không thể cắt nhau về phía α 2 , β 2 được, vì nếu chúng cách nhau về phía đó tại điểm C’ thì β 1 trở thành góc ngoài của tam giác ABC’ và ta sẽ có β 1>α 2 điều này trái với kết quả mà ta đã chứng minh ở phần trên Vậy ta đã chứng minh được Định đề V của Euclide.
2.9.3.Các mệnh đề tương đương với với Định đề V của Euclide
Từ thời Euclide cho đến cuối thế kỉ XIX đã có rất nhiều công trình nghiên cứu Định đề V của nhiều nhà toán học trên thế giới thuộc nhiều thế hệ khác nhau, nhưng tất cả đều không chứng minh được Định đề V Tuy không đạt được mục đích, nhưng những chứng minh đó đã mang lại nhiều kết quả bổ ích vì dựa vào đó người ta đã tìm ra một loạt các mệnh đề tương đương với Định đề V Sau đây là một số mệnh đề tương đương với Định đề V của Euclide.
(1) Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có nhiều nhất là một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho (là tiên đề Euclide ở trường phổ thông).
(2) Hai đường thẳng song song cắt bởi một cát tuyến tạo nên hai góc đồng vị bằng nhau (hoặc hai góc so le trong bằng nhau, hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau).
(3) Tổng các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông.
(4) Tất cả các đường thẳng vuông góc với một cạnh của một góc nhọn đều cách cạnh còn lại của góc đó.
(5) Có những tam giác có diện tích lớn tùy ý.
(6) Có những tam giác đồng dạng và không bằng nhau.
(7) Qua một điểm nằm trong một góc lồi bao giờ cũng dựng được đường thẳng cắt cả hai cạnh của góc đó.
(8) Tập hợp tất cả các điểm nằm về một phía của một đường thẳng đã cho và cách đều đường thẳng đó là một đường thẳng.
3.Các thiếu sót trong tác phẩm của Euclide
3.1 Trước hết Euclide chưa nhận ra được sự tất yếu cần phải có các khái niệm cơ bản là các khái niệm xuất phát đầu tiên dùng để định nghĩa các khái niệm khác Ông đã đi vào cái vòng luẩn quẩn là dùng cái chưa được định nghĩa để định nghĩa các khái niệm khác Thí dụ như trong định nghĩa về “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” thì các khái niệm như “bộ phận”, “bề dài”, “bề rộng”, “sắp đặt vị trí như nhau” đều chưa được định nghĩa Mặt khác một số định nghĩa của Euclide là thừa, người ta có thể bỏ đi mà không có ảnh hưởng gì đến việc xây dựng hình học, thí dụ như “điểm”, đường thẳng”, “mặt phẳng” Hơn nữa các định nghĩa nêu lên ở phần này là một sự mô tả sơ sài các khái niệm đó mà thôi.
3.2 Các định đề và tiên đề của Euclide vừa thừa nhưng lại vừa thiếu Thí dụ như mệnh đề “Tất cả các góc vuông đều bằng nhau” là thừa vì mệnh đề này có thể chứng minh được Mặt khác hệ tiên đề Euclide còn thiếu các tiên đề về thứ tự, về sự liên tục nên chưa cung cấp đủ cơ sở cho suy luận chặt chẽ trong việc chứng minh các định lí có liên quan đến vấn đề này.
Trong nhiều chứng minh ông đã phải thừa nhận những điều mà ông chưa nêu lên thành tiên đề Thí dụ khi có hai đường tròn bằng nhau mà đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia thì Euclide mặc nhiên công nhận rằng chúng cắt nhau chứ không chứng minh sự tồn tại các giao điểm (mà thực ra không thể chứng minh được vì thiếu các tiên đề liên tục) Về sự bằng nhau của các hình thì Euclide đã định nghĩa thông qua khái niệm dời hình thể hiện cụ thể bằng khái niệm chồng chít, nhưng trong hệ tiên đề Euclide không có một tiên đề nào nói về phép dời hình cả Ngoài ra hệ tiên đề Euclide còn thiếu một số tiên đề về hình học không gian.
3.3 Chúng ta không hề gặp trong tập “Cơ bản” những ứng dụng thực tiễn của hình học, thậm chí không thấy nói đến thước và compa là những công cụ dựng hình thông thường để dựng đường thẳng và đường tròn Vấn đề này có lẽ nằm trong xu thế chung của xã hội lúc bấy giờ, vì lúc đó người ta có xu hướng coi trọng các môn toán học lý thuyết và xem nhẹ các môn toán học ứng dụng Hơn nữa trong tác phẩm của Euclide người ta không thấy nói tới các đường cônic là những kiến thức của thời bây giờ.
Các nhà toán học thời cổ đã phát hiện một số thiếu sót trong tác phẩm của Euclide. Đặc biệt Aristotle đã bổ sung thêm các tiên đề làm cơ sở cho việc đo độ dài, đo diện tích và thể tích Trong khi nghiên cứu về hệ tiên đề của Euclide có một số nhà toán học cho rằng cần phải thêm vào đó một số tiên đề cần thiết thì một số đông khác lại cố gắng bớt đi những tiên đề thừa Theo hướng này định đề V của Euclide bị nghi ngờ thừa vì người ta quen nghĩ rằng tiên đề phải đơn giản trong khi đó Định đề V của Euclide lại phát biểu khá phức tạp Quá trình thêm, bớt, lựa chọn, hoàn chỉnh hệ tiên đề của Euclide đã diễn ra trên hai ngàn năm trong đó có các công trình quan trọng của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới nghiên cứu về định đề V của Euclide.
Chứng minh các mệnh đề
Cho một tam giác bất kì, tổng của hai góc tùy ý luôn nhỏ hơn hai (góc) vuông.
Cho tam giác ABC Có thể phát biểu rằng tổng hai góc được chọn tùy ý của tam giác ABC luôn nhỏ hơn hai vuông
Vì ACD là góc ngoài đối với tam giác ABC, nó lớn hơn góc đối bên trong ABC [MĐ. 1.16] Cộng góc ACB vào cả hai góc kề và đối Như vậy, tổng các góc ACD và ACB lớn hơn tổng của ABC và BCA Mà tổng của ACD và ACB lại bằng hai góc vuông [MĐ 1.13] Do đó, tổng của ABC và BCA phải nhỏ hơn hai góc vuông Tương tự, có thể chứng tỏ rằng tổng của BAC và ACB cũng nhỏ hơn hai góc vuông, và cả tổng của CAB và ABC cũng vậy.
Như vậy, trong một tam giác bất kì, tổng hai góc được tổ hợp tùy ý luôn nhỏ hơn hai góc vuông Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Mỗi đường thẳng a của mặt phẳng (P) chia tất cả các điểm không thuộc a của mặt phẳng (P) ra hai lớp không rỗng sao cho hai điểm A, B bất kì thuộc hai lớp khác nhau nếu đoạn AB chứa một điểm của đường thẳng a, còn hai điểm A, A’ bất kì thuộc cùng một lớp nếu đoạn AA’ không chứa điểm nào của a cả.
Ta lấy trong (P) một điểm C bất kì không thuộc a và chia các điểm của mặt phẳng (P) (trù các điểm thuộc a) ra làm hai lớp theo tiêu chuẩn sau đây:
+ Lớp thứ nhất gồm mọi điểm A của (P) không thuộc a sao cho CA không chứa điểm nào của a Điểm C thuộc lớp này.
+ Lớp thứ hai gồm mọi điểm B của mặt phẳng (P) không thuộc a sao cho đoạn "Cơ bản" chứa một điểm của a Khi đó ta cần chứng minh:
(1) Mỗi lớp đều không rỗng Thật vậy, lớp thứ nhất có điểm C và nếu gọi D là một điểm nào đó của a thì thoe tiên đề (2.2) trên đường thẳng CD có ít ra là điểm E sao cho D ở giữa C và E Vậy E thuộc lớp thứ hai.
(2) Bất kì điểm nào của (P) (trù các điểm trên a) đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi Thật vậy, một điểm M bất kì, đoạn thẳng CM bất kì này hoặc chứa một điểm của a hoặc không chứa điểm nào của a cả.
Mỗi cặp điểm A, A’ của lớp thứ nhất xác định đoạn thẳng AA’ và đoạn này không chứa điểm nào của a cả Thật vậy, nếu C, A, A’ không cùng thuộc một đường thẳng và nếu đoạn AA’ chứa một điểm của a thì theo tiên đề Pasch một trong hai đoạn CA hoặc CA’ phải chứa một điểm của a và điều này trái với giả thiết Còn nếu C, A, A’ cùng thuộc một đường thẳng ta xét hai trường hợp sau:
+ Nếu C không ở giữa A và A’, ta giả sử A ở giữa C và A’, khi đó nếu M là một điểm của a ở giữa A và A’, thì theo định lí 2.2.4 thì điểm M cùng ở giữa C và A’ là điều trái với giả thiết.
+ Nếu C ở giữa A và A’, thì một điểm M thuộc đoạn AA’ theo định lí 2.2.6 sẽ thuộc hoặc CA hoặc CA’ Điều trái với giả thiết.
(4) Một cặp điểm B, B’ thuộc lớp thứ hai xác định một đoạn thẳng BB’ không chứa điểm nào của a.
+ Nếu C, B, B’ không thẳng hàng thì các đoạn CB, CB’ lần lượt chứa các điểm M và M’ của đường thẳng a Đường thẳng a cắt đoạn BB’ tại N thì điểm N phải nằm ngoài đoạn MM’ Thật vậy, nếu N ở giữa M và M’ thì theo tiên đề Pasch đối với tam giác CMM’ đường thẳng B’N cắt CM tại B, nghĩa là B ở giữa C và M Điều này trái với giả thiết M ở giữa B và C.
Chứng minh tương tự, ta có điểm M nằm ngoài đoạn NM’ và điểm M’ cũng nằm ngoài đoạn MN Như vậy là trong ba điểm M, M’, N không có điểm nào ở giữa hai điểm kia, điều này mâu thuẫn với định lí 2.2.2.
(5) Mọi cặp gồm hai điểm A và B thuộc hai lớp khác nhau xác định một đoạn thẳng
AB chứa một điểm nào đó của a.
Thật vậy, theo giả thiết đoạn "Cơ bản" chứa một điểm M của a Nếu C, A, B không thuộc một đoạn thẳng thì theo tiên đề Pasch hoặc là CA hoặc là AB phải chứa một điểm của a Theo giả thiết CA không chứa nên AB chứa một điểm của a.
Nếu C, A, B thẳng hàng thì điểm M của a phải ở giữa C và B Mặt khác theo định lí 2.2.9 điểm M của a chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng CB thành hai lớp, mỗi lớp nằm về một phía đối với M Do đó điểm A phải nằm về phía điểm C đối với
M, nghĩa là đoạn AB chứa điểm M của a.
Nếu A, B là hai điểm nằm trên hai cạnh h, k của một góc mọi tia xuất phát từ góc O và thuộc miền trong của góc đều cắt đoạn AB Ngược lại, mọi tia nối đỉnh của góc với một điểm bất kì của đoạn AB đều thuộc miền trong của góc.
Gọi A, B là các điểm nằm trên các cạnh h, k của góc h,k là l là một tia xuất phát từ điểm O và nằm trong miền trong của góc.
Trên tia h’ bù với tia h, ta lấy một điểm C tùy ý sao cho O ở giữa C và A Gọi l’ là tia bù với tia l và đường thẳng l* là đường thẳng chứa l và l’ Áp dụng tiên đề Pasch đối với tam giác ABC, ta có đường thẳng l* cắt CB hoặc cắt AB Vì đường thẳng l* không có điểm nào thuộc miền trong của góc h ', k nên l* cắt cạnh AB Hơn nữa tia l’ không có điểm nào thuộc góc h,k nên tia l cắt cạnh AB tại một điểm M nào đó.
Ngược lại với mọi điểm M thuộc đoạn AB thì tia OM thuộc miền trong của góc h,k vì điểm M thuộc miền trong đó và tia l nằm cùng phía đối với đường thẳng hh’ và đối với đường thẳng kk’.
Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau.
Theo giả thiết AB=A’B’, AC=A’C’ nên để chứng minh tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ ta chỉ cần chứng minh CAB C'A 'B'
Giả sử CAB khác C'A 'B' theo tiên đề (3.4) ta có tia A’P’ về phía B’ đối với tia A’C’ sao cho C'A 'P ' CAB và như vậy tia A’P’ khác với tia A’B’ Trên tia A’P’ theo tiên đề (3.1) có một điểm B' 1 sao cho A 'B' 1 A 'B' AB Theo định lí 2.3.3 ta có A 'C'B' 1 ACB Do đó, ta có B' C' BC B'C' 1
Bây giờ ta dựng tam giác A’B’C’ nằm khác phía đối với đường thẳng A’C’ có
A 'B' C' 2 A 'B' C' (c.g.c) 1 và ta có C'B' 2 C'B' 1 Theo định lí 2.3.5 tam giác
A 'B' B' A 'B' B' và tam giác C'B' B' 2 1 cân tại C' nên
C'B' B' C'B' B' Áp dụng định lí 2.3.6 (nói về các góc tương ứng bằng nhau) ta có A'B' C' 2 A'B' C' 1
Mặt khác ta lại có A'B'C'A'B' C' (c.g.c) 2 nên C'A 'B' 2 C'A 'B' mà theo cách dựng ở trên ta có
C'A 'B' C'A 'B' , C'A 'B' C'A 'B' do đó theo tiên đề
(3.4), tia A 'B' 1 phải trùng với tia A 'B' có nghĩa là CAB C'A 'B' Vậy ABC A 'B'C '
Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng tạo ra các góc đối đỉnh bằng nhau.
Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E Có thể phát biểu rằng góc AEC bằng góc DEB góc CEB bằng góc AED.
Vì AE cắt đường thẳng CD tạo thành hai góc CEA và AED, tổng của chúng do đó bằng hai góc vuông [MĐ 1.13] Thêm nữa, vì DE cắt đoạn thẳng AB tạo thành hai góc AED và DEB, tổng của chúng do đó sẽ bằng hai góc vuông [MĐ 1.13] Nhưng tổng của CEA và AED đã [được chứng tỏ] là bằng 2 góc vuông Do đó, nó bằng tổng của AED và debDEB [TĐ 1] Trừ đi AED từ cả hai lượng trên, Phần còn lại CEA do đó sẽ bằng với phần còn lại BED [TĐ 3] Tương tự, có thể chứng minh rằng CEB cũng bằng DEA.
Như vậy, nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng tạo thành các góc đối đỉnh bằng nhau Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Trong một tam giác bất kì, cạnh lớn hơn chắn góc lớn hơn
Cho tam giác ABC với cạnh AC lớn hơn cạnh AB Có thể phát biểu rằng góc ABC cũng lớn hơn BCA.
Vì AC lớn hơn AB, dựng AD bằng với AB [MĐ 1.3], và nối B với D.