Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức

Định lý Banach-Caccioppoli ề điểm bắt động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm và ôm được ngay ng dụng trong nghiên cứu các phương tình đại số vàvỉ phân, Nó cho phép chứng minh su tồn tạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

‘TRUONG DAI HQC SU PHAM THÀNH PHÓ HỖ CHÍ MI

NGUYÊN ĐĂNG QUANG

UNG DUNG QUAN HE THU TY'VA BAC TOPO

TRONG NGHIEN CUU MOT SO LOP BAO HAM THUC

LUAN AN TIEN Si TOAN HOC

“Thành phố Hỗ Chí Minh — Năm 2024

NGUYÊN ĐĂNG QUANG

UNG DỤNG QUAN HE THU TY VA BAC TOPO TRONG NGHIEN CUU MỘT SỐ LỚP BAO HÀM THỨC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SO: 62 46 01 02

“Thành phổ Hỗ Chí Minh — Năm 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hưởng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các kết quả trong luận ấn trung thực và chưa từng được

công bổ trong bắt kỳ một công trình nào khác

“Tác giả luận án Nguyễn Đăng Quang

1.1.1 Định nghĩa và các tinh chất đặc trưng của bậc tôpô theo nóm 2

1.1.3 Tính bậc trên các miễn đặc biệt 21

1.1.5 Ung dung vào bài toán điền bắt động của ánh x9 da trị 28 1.16 Ủng đụng vào Bài toán giá trị riềng, vec riêng của ánh dt 36 1.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa t có giá tị không 38 CHƯƠNG 2 ỨNG DỰNG VÀO MỘT SỐ LỚP BAO HÀM THỨC VẢ PHƯƠNG

3:1 Bao hàm thức vi phân cắp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIÁ

‘TAI LIEU THAM KHAO.

Định lý Banach-Caccioppoli ề điểm bắt động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm

và ôm được ngay ng dụng trong nghiên cứu các phương tình đại số vàvỉ phân, Nó

cho phép chứng minh su tồn tại đuy nhất nghiệm và xây dựng dãy lập đơn giản hội

tụ về nghiệm Định lý điểm bắt động của Sehauder cho phép nghiên cứu nhiễu lớp

phương trình vi phân mới Điểm hạn chế của Định li Schauder là khi áp đụng cho quả

cầu tâm Ø (phần từ zero của không gian định chuẩn) thì không khẳng định được điểm

bắt động tìm được là khác Ø, trong khi các phương trình mô tả các hiện tượng trong nhờ Lý thuyết bộc tôpô của ánh xạ, được J Leray, 1 Sehauder xây dựng và được phát

triển trong các công trình của M Krasnoselskii, F Browder, P Rabinowitz, LY

thuyết này cho phép chứng mình sự ồn ĩ nghiệm không tầm thường, ánh ø

nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compae0

Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm Ví dụ, quan hệ

thứ tự đã được sử dụng vào đầu thế kỷ 20 để chứng minh các dạng tương đương của

tiên để chọn như bổ đề Zom, định lý Hamsdorff về xích cực đại Các kết quả này

‘compact, Dinh If Hahn ~ Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hảm Tuy

nhiên, Lý thuyết về các phương trình trong không gian cỏ thứ tự chỉ dược xây dựng

một cách hệ thống vào thập niên 1940 trong công trình của M Krein — A Rutman

(145Ì) Lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ trong những năm 1930 ~ 1970 trong các công trình của M Krasnoseldii và các học trò, của N, Daneer, P Rabinowit, R Nustbaum, S Carl, S, Heildila (xem |1, 6, 8, 10, 15, 25, 3, 44, 64, 69] và các tài liệu tham khảo tong đó) Nó ip tục được hoàn thiện cho đến tận ngây nay Các kết guả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự im được những ứng dụng rộng rãi tong nghiên cứu nhiều lớp phương tình, bắt phương

trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y ~ Sinh học, Kinh tế học, vì những ưu

điểm sau:

- Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm có các tinh chit đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi là những tính chất cẫn có của nghiệm của các bi toán xuất phát từ các mô hình thực tẾ

- Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các dữ kiện không tốt như sắc ảnh xạ không liên tực là những tỉnh huống thường gặp trong thực tẾ

~ Chúng cho phép đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn

điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực

mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán Tài chính, mà nay sinh nhủ cầu

tự, ví dụ như nghiên cứu các phương trình với ánh xa da tr (hay cũng gọi là các bao hảm thức)

Các ảnh xạ đa tị được nghiên cứu có hệ thống tử những năm 1950 trong Lý thuyết tối tụ, Lý thuyết điều khiển, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân Sự tổn tại

lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster ~ Kuratowski - giá trị lỗi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên

1970 trong các công trình của Y Borisovich R Nusbaum, W Petryshyn, P Eipanick, đã cũng cấp một công cụ mới h u qua hon trong nghiên cứu bao hàm thức Dựa vào nó, các Dinh lý điểm bất động của M Krasnoselskii, Leggett — Williams da được chứng mình cho các ánh xạ đa trị và được ứng dung cho các bao

3⁄2, 38, 60, 61] và các tài liệu tham khảo trong đó) Tuy hiền, iệc sử dụng quan hệthứ tự rong nghiên cứu các bao hm thốc côn hạn chế hảm thức vi phân (Xem (2:

do chưa có một định nghĩa phủ hợp về thứ tự giữa hai tập hợp Gẫn đây, với việc sử

có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7,

38, 51, 54, 57, 65,67, 68]

Để nghiên cứu các bao hảm thức vỉ phân chứa các toán từ vỉ phân không tuyễn

tinh (vi du ton tr p-Laplace) mà Lý thuyết bộc tôpô cho các ánh xạ cổ gi trì không

lỗi cũng được xây dựng Nói riêng, R Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tôpô

tương đối theo một tập ồi,cho lớp ảnh xạ dạng Po với 7 là ánh xạ đa trị lỗi, P là ánh xạ đơn trị phí tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vỉ phân

“Trong luật này, chúng tôi sẽ sử dựng sâu hơn và cổ hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bộc tôpô trong nón, kết hợp vớ các phương pháp đánh giá nghiệm, sir dung toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán

thể êm bắt động vả các phương trình, bao him thức vi phân cụ Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài iệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết

và Ứng dụng

1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự

1L1- Bậc tôpô của một số lớp ảnh xạ đa trịcó giá tr

'Õ mục này, dựa trên các tính chất đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp ánh xa

da tr} compact, nita liên tục trên, có giá trị lỗi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết

quả đễ áp dụng về tính bộc cho một số lớp ảnh xạ hoặc trên các miỄn đặc biệt Một ánh xạ compact và bậc tôpô của ảnh xạ ban đầu có thể được tỉnh qua bộc tôpô của đạo hàm của nó,

Sau đỏ chúng tôi áp dụng các kết quả thu được vẻ tính bậc tôpô để chứng minh các

kết quả sau:

+ Sutin ta một hoặc nhiều điểm bắt động không tầm thường của các nh xạ đa trị compact với giá trị lồi, là mở rộng các Định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nốn

ciia M Krasnoselskii, Binh ly Leggett ~ Williams cho ánh xạ đơn trị

Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán

gặi tị iêng phi tuyến), nghiên cứu đáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham

số tiến về z

Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bổ trong [G1], [162]

Trong bài báo [2] Baderđã xây dụng bộ tôpô theo một ập lỗi cho lớp ánh xạ

đa trị dạng P57, trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lỗi, nữa liên tục trên đối với

bắt động không tằm thường của các bao hàm thức Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết quả về tính bậc tôpô của R Bader Các kết quả này được được công bố rong [TO4] và được sử dụng trong chương 2 dễ chứng mình sự tồn tại một

hoặc hai nghiệm không tầm thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố

phi địa phương

2 Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiến

221 Bao hàm thức vi phân cắp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng

phi địa phương

Trong mục này chúng tôi xét bồ toán

(0) =u(x), x) = Š zx03) (m>3), @) ong đó,

+ w:K ->'R* là phiểm hàm xá định bởi u(x)

+0<8<Ø,< <8,, <1 và 53/8 <1,

“Trong trường hợp phương trình, bài toán mô tả một quá trình truyền nhiệt vả được

nghiên cứu trong [#7] Bao hàm thức (1) với điều kiện biên

./Øx()+3()=0, |0]

+(0)+x()

u(x) = 3,ø,A()) hoặc 6x) = [a(s)u(s)ds

được khảo sát rong [38] Các tác giả trong [38] đã sử dụng bậc tôpô cho ánh xạ đa

iá tị lỗi để chứng mình sự tổn tại một hoặc nhiễu nghiệm của bài oán Chúng tôi áp dụng các định lý điểm bắt động cho ánh xạ đa tr compact, mt Hien chứng mình sự tồn

tục trên, và có giá trị lỗi, đồng được thiết lập trong chương Ì

tr là tác động bên ngoài lên hệ thống được mô tả toán học bởi hệ (3) ~ (4) Như vậy, phụ thuộc vào biển (có th là biến thời gian hoặc biến không gian) mà côn phụ thuộc vio trang thai của hệ thống ở thời điểm hay v r, như trong (5) Như vậy (3) ~ (4)

hoặc nén hình nón, tác giả chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm không tằm

thưởng thuộc một món đặc biệt,

Để nghiên cứu bãi toin (3) ~ (4) ~ (5) chúng tôi chuyển nó về bài toán điểm bất động của một ánh xạ đa trị compact, nữa liên tục trên, có giả trị lồi, đồng Sử dụng

tự, chúng tôi chứng mình bãi toán c một hoặc hai nghiệm khác Ø trong một nón đặc trong các định lý

Các kết quả về bài toán (3) — (4) ~ (5) được công bố trong [TG3] 2.3 Phương trinh logistic suy rộng với điều khiễn phăn hồi

“Trong bài báo [35] M Gutin va R, MacCamy đưa ra phương trình sau đây để mô

tả trạng thái dừng của sự phát tần của một loài thú trong tự nhiên

[An Aa xu" —b(xy" trong 2, u=0 én 20, ° 6

“Trong phương trình trên, w =w(x) chỉ mật độ của thứ tại điểm x trong không gian

sống @ còn tham số 4 > 0 đo độ tăng trưởng của thú

Sau này, phương trình (6) được gọi là phương trình logistie và được mở rộng thành

Phương ình (7) được sự quan tâm nghiên cứu của nhiễu tác giá và thủ được nhiều

28,41, 52, S3] và các ải liệu tham khảo trong đổ)

Au = ACO (ete Wu) = gu) trong Q.u=0 tren 22, ®

trong đó f, # là các hàm đơn trị, # là hảm đa trị thỏa mãn một số điều kiện cần thiết Như vậy chúng tôi cho phép độ tăng trưởng  phụ thuộc vào vị trí trong không

gian sống © và vào mật độ của thú dạng (9) Chúng tôi cho rằng điều này làm cho

sự mô tả toán học về sự phát tấn của thứ chính xác và tự nhiên hơn Cũng nhằm mục đích mô tá chính xác hơn quá trình phát tần của thú mà nhiều lớp phương tình phí địa phương được đưa vào nghiên cứu, như phương trình chứa số hạng KirchhofT

—M(xji|)A,w = ă GV) — g(x,0) trong Ø3, =0 tiên 2O, (xem [21, 24, 48, 49, 52]) hoặc các phương trình sau [9, 22, 23, 29]

au = Fn Bu)teong Q.u=0 trên, Bụ) = OL" es [AG0nG)äv

Aw =A ¬ t= #(x0) trong €3, =0 tiên CO

“Trong bài toán (8) ~ (9) hàm ƒ thỏa mãn điều kiện cơ sở sau

|/G.v)|<mG9lu[ F2 Vy) cQxR° xIšY

trong đó là ánh xạ đa có giá lồi, là toán tử giải củ bãitoán biên tiên kết sau

~A,u ga trong O, =0 trên a0

Sử dụng các kết quả tỉnh bậc tôpô của ánh xạ đa tr dạng P57 ở mục L2, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, chúng tôi chứng mình bãi toán có ít

= p~1, bai toán có hai nghiệm không âm, không tẩm thường khi Z > p~1 Các kết quá này được công bổ tong [TG4]

Các kết quá chính của luận án đã được báo cáo trên các Hội nghị khoa học của Nghiên cứu sinh, Trường Đại học sư phạm Tp HCM, Hội nghị Toán học miễn Trung,

“Tây nguyên lẫn 4 tại Huế, tháng 8 năm 20

thắng § năm 2023 s Hội nghị Toán học Việt nam lẫn thứ 10,

TAC DONG TRONG KHONG GIAN BANACH

CÓ THỨ TỰ

Các ánh xạ đa trị được quan nghiên cứu nhiễu từ những năm 1950 do sự phát triển nội tạ của Toán học cũng như để giải quyết một số bài toán xuất phát ừ khoa

học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, Các định lý điểm bắt động cho ánh xạ đa trị của S

Nader,K, Ean là sự mở rộng của các định lý của Banach và Schaudkr Lý thuyết bậc

T Ma, của Y, Borieovich và các cộng sự của W PorysÖyn, ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem l4, lố, 25) và các tà liệu tham khảo trong 55, 57,68]

“Trong chương này, dựa trên các kết quả tổng quát về bậc tôpô của ánh xạ đa trị

trong không gian Banach có thứ tự, chúng tôi chứng mình một số kết quả mới để đễ

áp dụng vào các bài toán cụ thể về bậc tôpô này và chứng minh các định lý về sự tồn riêng, chúng tôi chứng minh ring dao hàm theo nón của ảnh xạ đa trị nữa liên tục đầu có thể tính đựa vào bậc tôpô của ảnh xạ đạo hàm,

1.1 - Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa tr có giá tr lồi LLL Định nghĩa và các tính chất đặc trưng của bậc tôpô theo nón Biả sử X là không gian Banach trên trường số thực và C X K được gọi là nón trong X né

(i) F duge goi anh x9 compact néu F(S)=[J F(2) 1 tip compact twomg d6i trong

¥, véi $1 tip bj chan bit ky wong D

(đi) E được gọi là thuần nhất đương nêu Fíœ)=1F(1),VI >0,Vx € D, (iv) Voi ĐCY, ta ký hiệu lớp các tập con lồi, đồng, khác rỗng đương ứng, lồi,

‘compact, Khéc ring) eta D Ia ce(D)(Ke(D))

(9) Giá sử A,B C X Tà các tập hợp khác rỗng, ta định nghĩa Khoảng cách Hausdorff

giữa A, B, ký hiệu dụ (A,), bởi

dy(A.B) =a supdls.B)supd(s.A trong d6 a(x.) =in [x

(i) Cho anh xa dat G:Y > 2% \{D}, hop thinh cia G va F, ky higu Gs F 1a én x9 da tj G2 F:X +2? \{Q)} xie dink bai (Go FIX) =GR)= UY Go Trong trường hợp X =Y, điểm xe X hoa min xe F(x) duge gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị F, tập hợp tắt cả các điểm bắt động của F được kỹ hiệu là

Cho © là tập mở, bị hặn trong không gian Banach X với thứ tự sinh bởi nón K:

va A: K€ ec(K) là ánh xạ đa trị nữa liên tục trên, compact sao cho x£ AQ), với mọi xe K 1Q (ta nói A không suy biển trên & “5Ê©)) Khi đó tổn tại ánh xạ

xa đã tị G:|0/1] (K CS) —3 cc(K) là nữa liền tục trên, compaet sao cho

Nắn H:|0.1]x(K cê9) —>cc(K) là ánh xạ đa trị nữa liên tục trên, compact và

“Không suy biển thì

Cho (X.K) là không gian Banach có thứ tự, K, la nén trong X va K, C K

la tap mó, bị chấn trong X, À: K c\Ñ×xcc(K) là ánh xa da tr nủa liên lục trên, compact va thấu đu iện A(K OD) K, Khi đó, (A9) (AKaQ) 1.1.2 - Tính bậc tôpô của một số ánh xạ

Mệnh đề 1.16

Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự, ©,©, là tập mỏ, bị chặn và

€6 Ai SÕ—scc(K) là ánh xạ nửa liên tực trên, compaet Giả sử x # AC), với mọi xe K ^(Đ\Đ,), Khi đó,

ig(A.Q) =ig(A.Q,)

Đặt OQ, = Q,.0, = và áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được ig(A.Q)= ig A.D) +,(A.D)

Do dd, i¢(A.) =0

Đặt ©, =O,,.0, =] va dp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

ig A.D) =i, (A.2)4i,(A,D)

Diohiy Las

Cho (X,K) là không gian Banach e6 thir ne, EX la tip ma, bi ehgn, À:K ¬ô@ —>cc(K) là dnh xa nica lin tuc trén, compact Gid sử tổn tại tập lồ), compact C< K sa cho

mm"

na,

to mii CouND

Die bit néu tin phn wwe K sao cho

H(x-u) ¢ A(a)— x, W120, Vee K NEO, (1 khi wea,

(AQ) 0 khi we —

Giả sử(X,K) là không gian Banach có th tự, €3 là tập mở, bị chặn A: K CQ

—>ec(K) là ánh xạ nita lién tue trén, compact Khi dé,

(i) Néu0eQ va

Ave AQ), Wee KACO, VAP (A9

x# A(x)+Äxu, Vxe K OOD, VA2Z0,

(ii) Khi 2 >0 đủ lớn thì Äx, #Ö và ta sẽ chứng minh tồn tại Ã, >0 sao cho A&~Âw)£AG)—x: Yrš0, Vy € K ED, WAZA, Khi đồ theo Dinh IY 1.1.8 a 66 j,(4,)=0,

Nếu khẳng định nêu trên không đúng thi ta tim duge ee day

1,20,4, 90, 5, €K 02.3, € ACs), sao cho

Khi đó, ta có yụ e AGy) và

iy = Yo* Arty hay % € A(X) + ÂM,

“Ta gặp mâu thuẫn

Định lý 1140

Giá sử (X,K) là Không giam Bamach có thie te, 3 là tập mở, bị chăn AA:KCðK3—»cc(K) là ánh xạ nữu liên tục trên, compact sao cho: 6) ink, d(@.AG))>0,

(ii) 2x€ AQ), Wee K NEO, VAC

Khi do, ig(A,Q)=0

XXết ánh xạ #f:|0/1)X(K vê) — cc(K) xác định bởi

Hox

Ls oC) (t> 0),

th H(s,x) 18h xạ nữa liên tục trên, commpaet và nhận giá tị lồi, đóng Vì r >1 nên

1—s+sí >1, với mọi s [0,1] do đố theo (ii) ta suy ra

x£(,x), V(s,x) c|0,1Ix(K ¬ê9),

Ap dung tinh chit bit biến đồng luân cho /f(s,) ta được ig(4,2) =, (4,2) Tip theo ta sẽ chứng minh i,(1A,O)=0 v6i #>1 di Kin, C5 dinh x, € K\4O}, ta ening minh tn tg 4, > 1 sao cho

Viz pn Wee K 060, VA20: Ax, €8-1AC3) 0149) Giả sử ngược lại, khi đó tồn gi các đầy [,}, CR, {x,}, = K5Z@,{4,], =3 thỏa

ẢjX =x, Ty, NEN (is)

Vì {9,), © A(K x2) là tập compaet tương đối nôn tổn tại đấy con {y,,}, < {94},

va ye saocho lim y, = y Do gi thi () 206 yzØ

Mặt khác, từ (1.1.5) suy ra y, <a, Wk EN", Do đó,

Giả sử (X,K) là không gian Banach có thứ tự, © là tập mỏ, bị chặn A: K EO

—>ec(K) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact va tén tai ánh xạ B: K ¬vÊ(3 —» K

xe HG3).YGu cl0Ix(K ê)

Áp dụng tính chất bắt biển đồng luân cho #f(s.x) ta được (A9) =0 (A+18,), Ví >0,

Định nghĩa 1.1.12

Giả sử (X,K) là không gian Banach có thứ tự, ø : K —>'# là hàm số lồi, liên tục, 8K —R là hàm số lõm, liên tục Với 4,/z e R cho trước, la đặt K(@A)= {xe Kaa) SA}

(i) Voi xe K(a,B,A,p) thì Vy 6 A(x):a(y)< À,

(ii) Vor xe K(a,A) thi Xy € AG):(8(y)< => a(y) <A)

1

i, uw va a(a,)=2 hay x, €K(a,A) 4

* Nếu (y)2 Hp dang tinh chit tom của hàm số, 2), ta có

Bly) > eh fly) + Tân, pa) > Vậy xe K(Ø,) và do đó x, © K(a.f.2.40 Ap dung giả thiết (0, ta có

ay) <4

Ấp đụng tính chất lồi của bằm số Z3), ta được

(4) Saal Ie yea <A, +o

là điều vô lý

Nd f(y) <1 thi theo (i) ta 66 ay.) <A, do a6

“Ta gặp mâu thuẫn Vậy ta đã chứng mình được

H(x-u) € AQ) —x,Wr2 OYE KAD

Ap dung Bin ly 1.1.8 ta suy ra i,(4,0

(i) Voi xe K(ø,,Ä,4) thì Yyc AQ): BO) > ,,

(ii) Với xe K(,J0) thì Wye AG):(aly)> A> BLY)> H) Khi dé, ig(A,Q)=0

Ching minh

“Từ giả thiết ta suy ra €3 là tập mở trong X và K “2€ la tap mo, bj chan trong K Lẩy te {xe K(œ,/,Ã,/):/3) > gÌ thì ¡e K VÕ,

“Ta sẽ chứng minh

Giá sử ngược lại, tức là

3, eK 60,31, >0:1/(x, =0) € ALY) Chọn y€ A(,):/,(4,—#) = 3 — X,, tà có,

% Jy in yy-t Hw va BUH) =H hay x,€ K0) ite

bị chặn gọi là khả vi Erế het theo nón Ấ tại +, nếu tồn tại ánh xạ đa tị

FX ~>2” \{Ø] nữa liên te trên có giá tị lồi, đồng, bị chặn và thuẫn nhất dương sao cho

Hạ đu (A4 +8).AG)+ F9)

Ánh xạ gọi là đạo hàm của A tại xụ, ký hiệu A,

3) Anh xg da tri A:K\K, ->2" VỊØ] có giá tị đồng, bị chấn gọi là khả vi Fréchet theo nón K tại ø nếu tồn tại ánh xạ đa tị Ƒ ; X —>2” \{Ø} nửa liên tụ trên có giá

tị lỗi, đồng, bị chặn và thuần nhất dương sao chơ

Ì) Giả sử Ð là một Ñ —lân cận của x, ánh xạ da tị À: Ð~x2” \|Ø] có giá tị đồng

bị chặn khả vì Fréchet theo nón K tại xụ Khử đó, nẫu A là ánh xạ compaetthì A, là cánh sự compacttrên K:

1Ì) Giả sử ánh xe đa trị A: K\K, —v2” \|Ø) (r > 0 đi lớn) có giá tị đồng, bị chặn

hả ví Fréchet theo nón K tại se Khi đố, nếu A là ánh xe compaet thì A, là ánh xa compact trên K 6 dang sau: Néw QL K 1a tap bj chan va int fa]>0 thd ALCO) la

tập compact tong doi

Chứng minh

Đặt Ø = A, hoặc Ø=A, Giá sử 2c KR tập bị chặn và |l]< M với moi xe <M Vr e0 néu B= A,), ta chig minh BO) la tp compact scone trong ¥

Giả sử ngược lạ, tức là tổn tại {y,}C BÉO) và s, > 0 sao cho

Vì 8 là đạo hàm theo nón của Á tại x, nên

35 >0,vhe x (M <8—x4/ (A(, +Ö),A(x)+ B0) <1 2H) Suy ra

Vi B la dao ham theo nén cba A tai ø: nên

1) Gi sie A: K, => ce(K) là ánh xự đa trị nữa liên tục trén, compact, A(@)={0} ve

có đạo hàm theo nén K tại Ø là A) đồng thời Á không có trong K veclơ riêng với giá tị riêng bằng 1 Khí đá

i, (A,BO.p)) =i, (A,.BUO.p)) v6i p> 0 di nhd

2) Gid sie A: K\K, > ce(K) la ánh xạ đã tị nữa liên tục trên, compaet và có đạo

“ầm theo nón K tại ø la A ding thai A không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1 Khi đó,

i, (ABO.p)) (A.,B(6,ø)) với ø >0 đủ lớn

1) Do Định lý 1.1.16 thi A, là ánh xạ nứa liên tực trên, compaet à có giá trị lỗi, đóng Xét nh xa da tri H :(0,l]xK, —>cc(K) xác định bởi

H(t.) =1A() +(1-D AC)

“Ta có H là ánh xạ đa trị nữa liên tục trên, compact Ta s@ chimg minh

xe Hứ,x),Vt €|0/II,Vš e K¬ÊB(9,ø) với ø > 0 đủ nhỏ

Thật vậy, Vr<[0/1].VS € K{Ø),Vy € ÁG),Vy"€ 4,0), la có

ay Đầu tiên ta sẽ chứng mình

£ sp A(x.Ä,@))+ sp d(v3A0))+4(AG),A,69)

<4(A(G),A;@))+d, (AG),A,69)+ du (AG9,A,0))=34, (AG),A,0)).0.1.10)

Ix->-d-2y|| x_ 3 (AG) A0)

Su(ACACO) 4 nes được >0 Ain st cho

o SLA) a vee kV} bÌ<ø Vay ta di ching minh được

xe Hứ 3) Vi e[0N],XS 6 K5B(9,2)

Ấp đụng tính chất bắt biến đồng luân của bậc tôpô ta được ï(A.B(6,2))=i, (Aj.B(8,ø))với ø >0 đủ nhỏ 2) Chứng minh tường tự như trên ta cũng có

íy (A.B(8,ø)) =i, (A B(8.ø)) với ø >0 đủ lớn

) néw Ảnh xa da tri F: DX -»2* \{Q}, goi (9 tăng (k =1

Vxy eo | sy Fo) s ro] Các quan hệ giữa 2 tập hợp vừa nêu đã được nhiều nhà toán học giới thiệu và sử dụng Các quan hệ này sẽ trùng với quan hệ thứ tự sinh bởi nón nếu các tập hợp 4,

B chi c6 mat ph

Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự, €3,„ (, là các tập mớ, bị chặn trong

2, AKAD, > ec4K) la ảnh xạ nữa liên tục trên, compact

Giả sử một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

@ ARs, Vee KAO, vd AGL, Vue KAO,

Gi) AW) Z x, Yee K EQ, va ACSA, Vee K EQ,

Giả sử ngược hi, ức là tổn gi, € KAR 44> 1 sao cho 5, AC)

Vì gu 3 xy nên Á(x,)S xụ, là điều vô lý

Vay (1.1.11) ding và do đó /,(Á,6,)=1

Lay u > Ø thy ý, ta sẽ chứng minh

X£A()+tu,, Všc K nếO, , Vi >0, (112) Giả sử ngược hi, ức là tồn tổ x, € KAM, 20 sao chox, € ALK) +

Mà xụ — ty Š x, suy ra ACA.) Sy, là điều vô lý

Vay (1.1.12) đúng nên suy ra i, (A,2,) =0

Áp dụng tinh chit ng tính của bậc tôpô ta được

i (A4618) =(,(Á,0,)=i,(A/0)=0= Suy miên í x, € C3, \ẾN) so cho x, € AO) (đpem)

Cho (X.K) là không gian Banach có thứ tự, ©,„ (3, ©,là các tập mở, bị chặn

trong X va 860,,B, <O,, 8, <Q, AKAD, —vec(K) là ánh xg nữa liên tục trên, compact Giả sử

AG)2x, V€ K89: AG)Xx, Vy e K SEO, AQ) Ex, Vee K Ae,

Khi đó ánh xạ A có hai điễn bat ding xx" trong K (483); hon nt,

¥€Q,\G, x" ©O,\9,

Dinh ty 1.1.21

Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự, ©,,., là các tập mở, bị chặn trong

X vd 060.3, C, Gid sie >0.K, =[ve KBÄ >0: x> Ä,} và AK OD,

—>ec(K) là ánh xạ nữa lên tục trên, compact Gia st méit trong hai diéw kign dedi đây thủa mẫn

G) AG) XC +e)x, Vee K NED, Ve>0 va AG) Zs, Vee K, 14%, Gi) AG) Z x, xe K,, N20, va AG) RC +2)x, Vee K EQ, Ve>O Khi đó A có điễn bắt động trong K ©(Q, \Õ,)

Giả sử ngược lại, tire Ba tn ai x, € K VAR, 44, > sao cho 44,5) € AC) Vay (1.1.13) đồng và do d6 ig(A,Q,) =1

Tiếp the ta sẽ chứng mình

Giả sử ngược hi, ne a tba tai x, © KABA, 1,20 sao chờ xe A0 )+ (00

Vì xụ— ty, > Ø nên x, > hy suy ta x, EK, hay 4, eK, 020, Mặt khác, ta có x — , € xụ nên suy ra Á(s,)< xụ, là điều vô lý

Vay (1.1.14) đúng nên suy ra ¡, (4,9,

Áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

0A 6,\8)=(,(A,0,)~i (A0,

Suy ra ổn tại x, e K ©3(, \Õ,) sao cho +, € A(x,) (đpem) Định lý 1.122

Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự, Q,, Q, là các tập mố, bị chăn trong

Xa 0€, Õ, CA, và ASK AD, xcc(K) là ánh xạ nữa iên tục trên, compact Giả sử mt trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn

6) [A@j, <|b|[ Yxe& eA, v0 [ACD], ZI] Vee K eM,

Gi JA 2x] Vee Ke, va JAG)|, sp] Vee K eR,

là điều vô lý

Vay (1.1.15) đúng và đo đó i, (A,Q,

“Tiếp theo, ta sẽ chứng minh điều kiện (i) va (i) của Định lý 1.1.10 thỏa mãn Vì 2,

là ập mở chứa Ø nên để 29, suy ra

'Vậy điều kiện (ii) đúng Suy ra ú,(A,O,) =0

Ấp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

i( ABN Q,) =i AQ,)—f(A,Q,)=0-1=-17 0, Suy ra ổn tại x, € K ©(Đ, \Õ,) xảo cho 4 € AC) (đpem)

Hệ qua 1.1.23

Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự, ©,, ©3,, la ede tip maz bi chin

trong X va 0€, Õ, CO, Ö, CO, Ảnh xạ đa tị A+ K OB, > ce(K) la dink xa

bị với mọi xe K AAO, [ACI], < xf

ita lién tuc trén, compact Giá sit |A(x)),,

vai moi xe KOEQ, va |AQO, 2a] vdi mọi xe K VEO, Khi dé dnh xg A 06 hai

dé bd dong x," rong K O(Q,\Ñ,); hơn nữu, x6, \,, x” =Q,\G, Các định lý đưới đầy khẳng định sự tổn tại nhiều điểm bất động của ánh xạ đ trị

‘Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự, ta ký hiệu

K,=|xeK|l|<r} r>0,.ðK, ={xeK||xJ=r} K: =[x< K|I|<z}

DB K(a.a,b)={ve K|a(s)2 a; fs] <b} (0< <b), dễ dàng chứng mình được

(œ,a,b) là tập hợp lồi, đóng và bị chặn trong K với ø: K —>[0,+s) là hàm lõm,

liên tục

Định lý 1124

Cho A:K, > ce( 1a dh xa nitalién tue trén, compact (véi ¢ > Ocho truéc)

“Ham sé o¢: K¥[0,+20) la hm Yom, tin tue va théa man aes) <x eK,

Giả sir ton tai các số thực đương a, b, c,d voi d <a<bSe théa cae điều kiện sau:

(0 Tập hợp {xe K(œ.a,b)|a(a) >a) Ø và nấu xe K(ø,a,Ð) thi ay) >a, với moi ye AG),

đồ Nếu xe K, thì [y[< 4, với mới ye AC),

(ili) Néw xe K(@,a,c) va |y| >b thi #(y) > a, với mọi y € A(x)

Khi đó, A có ít nhất bạ điềm bắt động trên X,

Giả sử ngược lại, ức là tổn tại (,x,) €|0.1] (ÊU,) sao cho

4p € Alor) = Fey + IDLY), khi dd a(x.) =a

> b thì suy ra ay) >a (theo (ii)

a(x) = ates HU y4) 2 tL) 4-Day) > fa + —Na=a,

là điều voy

Suy ra x, € K(c,a,b) Theo (i)ta cing suy ra a(y,) >a Và tương tự như trên ta cũng

£6 ax,) >a, la didu vO ly

Vay (1.1.17) ding, Ap dụng tính chất bắt biển đồng luân của bậc tôpô cho Zf(/,x) ta

Cho A: K, —>cc(K) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact (với c > (cho trước)

Ham sé er: K (0,40) là hàm lãm, liên tục và thỏa mãn ø(3) || với mọi xe K_

Giả sử tồn tại các số thực đương a, e d với d <4 <e thỏa cúc điều kiện sau: (a) Tập hợp {x< K(œ.a,C)|z(x) > a) ©Ø và nễu xe K(œ,a,c)thì #(y) >a, với

moi ye AQ),

(b) Néu xeK, thi |y|<d, với mọi ye AC),

(6) Mot trong hai điễu kiện dưới đây đúng

(i) Néu xe K, va |y>e thi 4@)> | với mpi ye AC),

“Khi đó, A có nhất hai điểm bắt động trên K

|Aol, kh [t|>e -WweAe ([Ao9| inf bl)

tì 8 à ánh xạ nữa iên tục trên, compact nh gid we lồ, đông và thỏa mãn ắt cả các

x, €K,\U, OU) voi U, = {x2 K(a,ao) atx) >a},

Dé thấy D10; K, OK (a.a,0),d0d6 als.) <a

AC) „ suy ra tỒn tại y€ A(x,)

Vậy |y[<e, với mọi y€ ÁG,), do đó x, € B(x,) = AC)

+ Nếu điều kiện ) của ©) đúng thì ta 6 [yp] ayy) Sea

Đặt n pbs B= Jat JAC Chon a> 7 lachứng mình ánh xà øA thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1.10 Hiển nhiên điều kiện (0) đúng, tiếp theo ta chứng minh

4x £ZA(), ve K S60, Yue (Os) Giả sử ngược lại, tức là

3 £ K nếÐ, 3m, € (011: gay øAGx) nig 2 Lach 2 /Ê >1 là điều vô lý

Do dé theo Binh Iy 1.1.10 ta suy ra í„ (24,9) =

Ảnh xạ /f:|0,lI<(K 1ê) —> cc(K) xác định bởi H (t,x) =rzA(x) là ánh xạ nữa

liên tục tên, compact Nếu + £ /f(,x), với mọi (,x) £[0.Jx(K 9) thì áp dụng

tinh chất bắt biến đồng luân của bậc tôpô ta duge i, (@A,Q) =i, (8,2) =1 (trong đó

thuẫn

Vậy tồn tại (0%) €101}<(K AQ) sa0 cho x, e WE0,.x,)—t,2A(x,), Hiển nhiên

1, 20 và đặt gu, =(af,) ` >0 thì /6x, € AC) (đpem),

“Tụ chứng mình định Lý rong trường hợp diéu kiện (0 thôa mãn, trường hợp (i

Cho trước ør >0, thì đo điều kiện (0) suy ra tổn tại cá

|Acol,<z|b|| :vxe£ lỗ R>r >0 sao cho

|Aœl,>z„b| :vxeK.jl

xeX :|b[<r} , , ={x e X :|[< E} tả ©,„ 9, là các tập mỡ bị chăn trong X và Øe@,„ Ö, C3, Khi đó, ánh xạ đa trị -L A thỏa điều kiện () của Định #

lý 1.122 Do đó, tổn tại x,=Õ,VO, hay x,>0 suo cho x, ¢4A(x,) hay ”

x, AG,

~ 32 Giá sử ngược lại, tứ là ổn tại số thực c >0

Tiếp theo ta chứng mình, lim

m và || <c, với moi me Chuyên

và đấy số thực {4,} sao cho im 4

sang dy con au cn, 6th coi tm fs

Khi đó,

To bất đẳng thức thứ nhất trong (1.121) và ø, =2, ta suy ra ế #0 Những khi đó,

do bắt đẳng thức thứ hai ta lại gặp mâu thuẫn

1⁄2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi

“Trong phần này chúng tôi chứng minh một số kết quả về bậc tôpô theo nón cho , được xây dựng bởi nhà toán học R Bader một số lớp ánh xạ đa trị có giá trì không \

Các kết quả này sẽ được ứng dụng rong nghiên cứu phương tình logisie với điều khiển phản hồi

Giả sử ánh xạ đa tị E :K =>2Ý \|Ø] là ảnh xạ hợp có dạng F = Po trong đồ

Tà ánh xạ đa tị từ K vào K,, P Tà ánh xạ đơn trị từ K, vào K: Ta nói ánh xạ F là phân tích được nếu

) £ là ánh xạ compset,

Gi) 7: K => (K,.z) là ánh xạ nửa liên tục trên và có giá trị lồi z - compact, Gil) P:(K,,£)—> K là liên tục theo dãy, nghĩa là nếu x, => x với tôpô z thì P(x) > P(x) tong K