Ứng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm ThứcỨng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm Thức
Trang 1PHẦN 1 NỘI DUNG
1 Mở đầu
Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bất động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm Định
lý điểm bất động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả cầu tâm (phần tử zero của không gian định chuẩn) thì không khẳng định được điểm bất động tìm được là khác , trong khi các phương trình mô tả các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm và ta cần tìm nghiệm khác Hạn chế này được khắc phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J Leray, J Schauder xây dựng và được phát triển trong các công trình của M Krasnoselskii,
F Browder, P Rabinowitz, Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm (như tính liên thông, compact)
Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm Ví dụ, quan hệ thứ tự
đã được sử dụng vào đầu thế kỷ 20 để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn như bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại, Các kết quả này sau đó được sử dụng
để chứng minh Định lý Tychonoff về tích các không gian compact, Định lý Hahn – Banach
và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm Tuy nhiên, Lý thuyết về các phương trình trong không gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thống vào thập niên 1940 trong công trình của M Krein – A Rutman ([25]) Lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950 – 1970 trong các công trình của M Krasnoselskii và các học trò, của N Dancer,
P Rabinowitz, R Nussbaum, S Carl, S Heikkila (xem [1, 4, 6, 7, 11, 13, 23, 24, 36, 39]
và các tài liệu tham khảo trong đó) Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay Các kết quả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình, bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y – Sinh học, Kinh tế học, vì những ưu điểm sau:
- Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi, là những tính chất cần có của nghiệm của các bài toán xuất phát từ các mô hình thực tế
- Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các dữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tục, là những tình huống thường gặp trong thực tế
- Chúng cho phép đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía
Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Toán tài chính, mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự, ví dụ như nghiên cứu các phương trình với ánh xạ đa trị (hay cũng gọi là các bao hàm thức)
Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tối
ưu, Lý thuyết điều khiển, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân Sự tồn tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Định lý Banach-Caccioppoli, Định lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz, bất đẳng thức
Ky Fan, Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị lồi, tác động trong không gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y Borisovich,
R Nusbaum, W Petryshyn, P Fitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức Dựa vào nó, các Định lý điểm bất động của M Krasnoselskii,
Trang 2Leggett – Williams đã được chứng minh cho các ánh xạ đa trị và được ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [13, 17, 20, 34, 35] và các tài liệu tham khảo trong đó) Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp Gần đây, với việc sử dụng các dạng thứ tự thích hợp giữa các tập hợp mà quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa [4, 5, 20, 27, 30, 32, 37, 38]
Để nghiên cứu các bao hàm thức vi phân chứa các toán tử vi phân không tuyến tính (ví
dụ toán tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ có giá trị không lồi cũng được
xây dựng Nói riêng, R Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tôpô tương đối theo một tập lồi, cho lớp ánh xạ dạng P T với T là ánh xạ đa trị lồi, P là ánh xạ đơn trị phi tuyến và
ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vì phân
Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự
và Lý thuyết bậc tôpô trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng toán tử giải của bài toán liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể
Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng
1.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự
1.1.1 Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi
Ở mục này, dựa trên các tính chất đặc trưng của bậc tôpô trong nón của lớp ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tôi chứng minh một số kết quả dễ áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miền đặc biệt Một kết quả đáng chú ý
ở phần này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban đầu có thể được tính qua bậc tôpô của đạo hàm của nó
Sau đó chúng tôi áp dụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô để chứng minh các kết quả sau:
Sự tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lồi, là mở rộng các Định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M Krasnoselskii, Định lý Leggett – Williams cho ánh xạ đơn trị
Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến về Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bố trong [TG1], [TG2]
1.1.2 Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi
Trong bài báo [2], R Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ đa trị dạng P T , trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuẩn và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thể không tuyến tính), liên tục đối với tôpô yếu và tôpô-
chuẩn Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô ( ) -yếu Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô này mới được sử dụng để chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder về tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm Kết quả này không đủ để thu được điểm bất động không tầm thường của các bao hàm thức
Trang 3Do đó, trong luận án, chúng tôi đã chứng minh một số kết quả về tính bậc tôpô của R Bader Các kết quả này được được công bố trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 để chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tầm thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương
1.2 Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển
1.2.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương
Trong mục này chúng tôi xét bài toán
Chúng tôi áp dụng các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên,
và có giá trị lồi, đóng được thiết lập trong chương 1 để chứng minh sự tồn tại một hoặc nhiều nghiệm không tầm thường của bài toán, chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán chứa tham số và đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến tới Ngoài ra, chúng tôi cũng sử dụng phương pháp dãy lặp đơn điệu để chứng minh bài toán có hai nghiệm Các kết quả về bài toán (1) – (2) được công bố trong [TG2]
1.2.2 Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển phản hồi
Trong mục này của luận án, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của hàm uC m( )I và ( )
L I
thỏa mãn
Trang 4
( )
( ) ( ) , ( ), '( ), , ( ) , , (3)( ) 0 , 0 1 , 1, 2, , , (4)( ) ( , ( )) hkn trong , (5)
của phương trình vi phân Lu0 có trên I ít hơn m 0-điểm, kể cả bội
Khi là hằng số thì (3) – (4) là bài toán biên giá trị riêng và tham số đóng vai trò là tác động bên ngoài lên hệ thống được mô tả toán học bởi hệ (3) – (4) Như vậy, trong bài toán (3) – (5) chúng tôi cho phép tham số điều khiển không những phụ thuộc vào biến t
(có thể là biến thời gian hoặc biến không gian) mà còn phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống
ở thời điểm hay vị trí t, như trong (5) Như vậy (3) – (5) là bài toán điều khiển phản hồi
(feedback control)
Khi 1 và không đòi hỏi nghiệm phải thuộc một nón, bài toán (3) – (4) đã được nghiên cứu trong [22] Sử dụng công cụ bậc tôpô Leray – Schauder và kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, tác giả của [22] đã chứng minh bài toán có số chẵn nghiệm (số nghiệm cũng có thể là 0) Khi là hằng số và f f t x( , ), bài toán (3) – (4) được xét trong [8, 9] Sử dụng Định lý Krasnoselskii về điểm bất động của ánh xạ giãn hoặc nén hình nón, tác giả chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm không tầm thường thuộc một món đặc biệt
Để nghiên cứu bài toán (3) – (4) – (5) chúng tôi chuyển nó về bài toán điểm bất động của một ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng Sử dụng công cụ bậc tôpô trong nón, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về thứ tự, chúng tôi chứng minh bài toán có một hoặc hai nghiệm khác trong một nón đặc biệt Chúng tôi cũng xây dựng một ví dụ minh họa cho các điều kiện được đưa ra trong các định lý
Các kết quả về bài toán (3) – (4) – (5) được công bố trong [TG3]
1.2.3 Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi
Trong bài báo [18], M Gutin và R MacCamy đưa ra phương trình sau đây để mô tả trạng thái dừng của sự phát tán của một loài thú trong tự nhiên
Trong phương trình trên, uu x( ) chỉ mật độ của thú tại điểm x trong không gian sống
còn tham số 0 đo độ tăng trưởng của thú
Sau này, phương trình (6) được gọi là phương trình logistic và được mở rộng thành
Trang 5trong đó f g, là các hàm đơn trị, F là hàm đa trị thỏa mãn một số điều kiện cần thiết
về sự phát tán của thú chính xác và tự nhiên hơn
Như vậy chúng tôi cho phép độ tăng trưởng phụ thuộc vào vị trí trong không gian sống
và vào mật độ của thú dạng (9) Chúng tôi cho rằng điều này làm cho sự mô tả toán học tán của thú chính xác và tự nhiên hơn
Cũng nhằm mục đích mô tả chính xác hơn quá trình phát tán của thú mà nhiều lớp phương trình phi địa phương được đưa vào nghiên cứu, như phương trình chứa số hạng Kirchhoff
, p ( , , ) ( , ) trong , 0 trenˆ
M x u u f x u u g x u u
,ˆ
trong tre( , , ) , 0 n , ( ) ( ) p( )
.ˆ( , ) trong , 0 tren
Sử dụng các kết quả tính bậc tôpô của ánh xạ đa trị dạng P T ở mục 1.2, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, chúng tôi chứng minh bài toán có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường trong các trường hợp p 1 và p 1, bài toán
có hai nghiệm không âm, không tầm thường khi p 1 Các kết quả này được công bố trong [TG4]
Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo trên các Hội nghị khoa học của Nghiên cứu sinh, Trường Đại học sư phạm Tp HCM, Hội nghị Toán học miền Trung Tây nguyên lần 4 tại Huế, tháng 8 năm 2022, Hội nghị Toán học Việt nam lần thứ 10, tháng 8 năm 2023
Trang 62 Tóm tắt các kết quả chính của luận án
Chương 1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị tác động trong không gian banach có thứ tự
Các ánh xạ đa trị được quan tâm nghiên cứu nhiều từ những năm 1950 do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để giải quyết một số bài toán xuất phát từ khoa học tự nhiên,
kỹ thuật, kinh tế, Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị của S Nadler, K Fan là sự
mở rộng của các định lý của Banach và Schauder Lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị được xây dựng trong thập niên 1970 trong các công trình của T Ma, của Y Borisovich và các cộng sự, của W Petryshyn, và đã tìm được các ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [3, 11, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó) Gần đây, các ứng dụng mới của bậc tôpô của ánh xạ đa trị được đưa ra trong [31, 32, 38]
Trong chương này, dựa trên các kết quả tổng quát về bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thứ tự, chúng tôi chứng minh một số kết quả mới để dễ áp dụng vào các bài toán cụ thể về bậc tôpô này và chứng minh các định lý về sự tồn tại điểm bất động trong nón, vectơ riêng trong nón của một số lớp ánh xạ đa trị Nói riêng, chúng tôi chứng minh rằng đạo hàm theo nón của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng cũng là ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban đầu có thể tính dựa vào bậc tôpô của ánh
compact CKsao cho
t x u A x x t u C x K Khi đó,
1 khi ,( , )
là ánh xạ nửa liên tục trên, compact và tồn tại ánh xạ B K: K hoàn
toàn liên tục và thỏa mãn:
Trang 7i) Giả sử D là một K – lân cận của x , ánh xạ đa trị 0 A D: 2 \Y có giá trị đóng, bị chặn
khả vi Fréchet theo nón K tại x Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì 0
ii) Giả sử ánh xạ đa trị A K K: \ r 2 \Y (r > 0 đủ lớn) có giá trị đóng, bị chặn khả vi
Fréchet theo nón K tại Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì '
Trang 82) Giả sử A K K: \ r cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và có đạo hàm theo
nón K tại là A' đồng thời A' không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1 Khi
và A K: 2 cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact Giả sử một
trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:
Khi đó A có điểm bất động trong K 2 \ 1
Các định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại nhiều điểm bất động của ánh xạ đa trị
Cho X K, là không gian Banach có thứ tự, ta ký hiệu
K xK x r r K xK x r K xK x r
Đặt K( , , ) a b xK ( )x a; x b (0 a b),với :K[0,) là hàm lõm, liên tục Dễ dàng chứng minh đượcK( , , ) a b là tập hợp lồi, đóng và bị chặn trong K
(ii) Nếu xK d thì y d, với mọi yA x( ),
(iii) Nếu xK( , , ) a c và y b thì ( )y a, với mọi yA x( )
Khi đó, A có ít nhất ba điểm bất động trên K c
2.1.5 Ứng dụng vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị
Trang 9Định lý 2.1.10
Cho X K, là không gian Banach có thứ tự A K: cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục
trên, compact, A( ) và một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:
(nếu có điều kiện (i)) và lim x 0
(nếu có điều kiện (ii))
2.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi
Trong phần này chúng tôi chứng minh một số kết quả về bậc tôpô theo nón cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi, được xây dựng bởi nhà toán học R Bader
Các kết quả này sẽ được ứng dụng trong nghiên cứu phương trình logistic với điều khiển phản hồi
Định nghĩa
I Cho E là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và không gian Banach F với nón
1
K , được trang bị tôpô , trong đó
(a) là tôpô cảm sinh của tôpô yếu *
Giả sử ánh xạ đa trị F K: 2 \K là ánh xạ hợp có dạng F P T, trong đó
T là ánh xạ đa trị từ K vào K , P là ánh xạ đơn trị từ 1 K vào K Ta nói ánh xạ F là phân tích 1
được nếu
(i) F là ánh xạ compact,
(ii) T K: K1, là ánh xạ nửa liên tục trên và có giá trị lồi, - compact,
(iii) P: (K1, ) K là liên tục theo dãy, nghĩa là nếu x n x với tôpô thì
Trang 10Khi đó,
1 khi ,( , )
Giả sử DE là tập mở, bị chặn và F P T K: K là ánh xạ phân tích được
thỏa mãn T là ánh xạ compact theo dãy, nghĩa là nếu BKlà tập bị chặn và x n n T B( )thì x n n có dãy con hội tụ đối với tôpô
Ta có i K( ,F D)0 trong các trường hợp sau đây,
1 Tồn tại phần tử u0K\ sao cho
Giả sử DE là tập mở, bị chặn và F P T K: K là ánh xạ phân tích được
Ta có i K( ,F D)1 trong các trường hợp sau đây,
Trang 11Chương 2 Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển
phản hồi
Trong chương này, chúng tôi áp dụng các kết quả trừu tượng về bậc tôpô của ánh xạ đa trị tác động trong không gian có thứ tự và các định lý về sự tồn tại điểm bất động trong nón, vectơ riêng trong nón của ánh xạ đa trị để nghiên cứu một số lớp bao hàm thức vi phân và hai lớp phương trình vi phân với điều khiển dạng phản hồi Các bài toán này được đưa về bài toán điểm bất động của hai lớp ánh xạ đa trị được xét trong Chương 1
2.3 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương
f :[0,1] cc( ) là ánh xạ đa trị compact và là hàm Caratheodory trên, nghĩa là
hàm f thỏa mãn các tính chất dưới đây:
a1) Với mọi x , hàm t f t x( , ) là hàm số đo được, nghĩa là với mọiy , hàm số D t( )infyz z, f t x( , ) đo được
a2) Hàm số x f t x( , ) nửa liên tục trên hkn trên [0,1]
a3) Với mọi r0, tồn tại 1
Trang 121 1
Giả sử tồn tại các số thực R, sao cho 0 1 R hoặc 0 R 1
và thỏa mãn các điều kiện sau đây: