Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy học môn toán

Drouin 1991 đã phân biệt bốn trào lưu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào lưu: * Khoa học luận lịch sử: ngh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

KHOA TOÁN - TIN

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐÈ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP BỘ

Mã số: B2001 - 23 - 02 Tên đề tài

VAI TRO CUA PHAN TICH KHOA HOC LUAN

LICH SU TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ

THỰC HÀNHDẠY - HỌC MÔN TOÁN

Chủ nhiệm đề tài : TS Lê Thị Hoài Châu

Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003

Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003

TP.Hồ Chí Minh 2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA TOAN - TIN

ĐÈ TÀI NGHIÊN CUU KHOA HQC CAP BO

Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU

VA THUC HANH DAY - HỌC MÔN TOÁN

Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP HCM

Cán bộ giảng dạy khoa Toán — Tin, ĐHSP TP.HCM

TP Hồ Chí Minh 2003

MỤC LỤC

BAO CAO KET QUA NGHIEN CUU u ccccseeseeseesessessessessesseeseeneenecueeuseuseucssseeaneneenseneeneeneenees 1

KHOA HOC LUAN VA PHAN TICH KHOA HOC LUẬN LỊCH SỬ - - 1

I Về thuật ngữ KHOA AOC IUAN cc ccccccccsesssesesesescscscsescsssssseececscstscscsesteesucscasstststitetenensaeatenes 1 II Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học 3

CHƯƠNG 2: LỢI ÍCH SƯ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 5

F8 ¡oto 0000/00 s00 |'Ä 5

B Lợi ích sử phạm của Phân tích khoa học luận - -¿ ¿+55 ‡++++sevssssesssses 6 | Khoa học luận — đối tượng tri thức — đối tượng dạy học 5 + +s+sc+x+scces2 6 II Khoa học luận và lý thuyết tình huống 222252 S2£+++x+x+xzxzxzexerexeresesrscxe 8 III Khoa học luận và chướng ngại - - 5 2221111 1xx 3v ng re 10 IV Khoa học luận và quan niệm - - - - - S222 2 11T nghe 13 NN,.Ciđf-iiaaiaiiadđiiadaddddddddiaÝỶÊỶŸỶỶ 19

CHUONG 3: Vi DU VE LOI ICH SU’ PHAM CUA PHAN TICH KHOA HOC LUAN 20

A Trường hợp khái niém vector NINN NOC cceeeceeessceeeeeseeeeeeeneeeeseneeessseeesseeeeessnaees 20 | Phan tich khoa hoc luan lich str hinh thành lý thuyết vectơ - 5s +s+s<<s+ 20 II Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của tính toán veo Ill Lợi ích sư phạm của phân tích khoa HOC IWAN 0.0 eeescceseseceeessseeeessteeesssseeeeessaees 33 B TRƯỜNG HỢP PHÉP BIÉN HÌNH 2c 2t 22 222i 38 I Những điểm chủ yếu rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển lý thuyêt các phép biên hình - - - S1 ST TH TH Ho KH 38 No NiesÉ-¡Ä9)'-1i;aadđaiaaidddddddd 42

II.2 Điểm hóa các hình hình học - một chướng ngại khoa học luận Vai trò của hình học 510/207 - (41a 43

Sa ¡8 A A 48

| Giai đoạn 1: Cách viết trung gian - mầm mống đầu tiên của số phức - 48

II Giai đoạn 2: ký hiệu hình thức các đại lượng ảO .- - 5 5S sS*sirseseeres 53 Ill Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lƯỢng HH khe, 56 IV Giai đoạn 4: Đại số các số phỨC -¿-¿- ¿+ +t2223 3 t1 EE3EEEEE2xEE1EEE1xExekrkrrree 61 a0) 0 65

V80 0 cà -.niDẦd 66

);f000:10000/03 2

(0) 9n ẻẻỀỀỀỀ.Ề 2

PHẢN I:

BÁO CÁO KÉT QUÁ NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1: KHOA HOC LUAN VA PHAN TICH KHOA HOC LUAN

là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hưởng khách quan của chúng."

Như thế, Khoa học luận xuất hiện như là một bộ phận của Triết học các khoa học Vậy thì Khoa học luận và Triết học các khoa học được phân biệt với nhau ở chỗ nào? Như J -

L Dorrier (1996) đã chỉ ra, Triết học của các khoa học hướng đến việc vạch rõ đặc trưng của những đối tượng gắn liền với tri thức khoa học và xác định tính hợp thức của tri thức Nói

cách khác, hai mục đích dường như không thể tách biệt của Triết học các khoa học là:

- nghiên cứu những đặc trưng của tri thức (nhà bác học nói về cái gì, và nói như thế nào về cái đó?)

- nghiên cứu tính thực tiễn khoa học của một đối tượng tri thức (chân lý khoa học là

gì? có chân lý khoa học với điều kiện nào có thể nói về chân lý khoa học trong những giới

hạn nào?)

Theo nghĩa hẹp thì Khoa học luận được giới hạn ở mục đích đầu tiên, nghĩa là nó nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình thành và phát triển của các kiến thức đó

1.2 Các trào lưu khác nhau

Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, được mở rộng và trở nên đa dang hon nhiéu Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lưu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào lưu:

* Khoa học luận lịch sử: nghiên cứu quá khứ đề khám phá ra quá trình hình thành nên một tri thức (những vấn đề gắn liên với nó, những trở ngại, những bước nhảy quan niệm cho phép tri thức nảy sinh, v.v )

» Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trưng của tri thức khoa học và thử tìm

lại những đặc trưng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát Như thế, khoa học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu quá trình xây dựng những kiến thức "chấp nhận được" và bước chuyên từ tình trạng tháp đến tình trạng kiến thức tăng vọt Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm

Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn

1.3 Khoa hoc luan trong didactic toán

Những gì đã trình bày ở trên cho ta thay thuật ngữ khoa học luận đã được sử dụng với nhiều nghĩa khác nhau Vậy thuật ngữ này được hiểu như thế nào trong các nghiên cứu về

hoạt động dạy và học toán?

Trả lời cho câu hỏi này, J-L Dorrier nói: trong didactic' ta quan tâm đến Khoa học luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học, giúp ta hiểu

rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy

va hoc tri thirc nay (J-L Douier, 1996, tr 21)

Như vậy, khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh trí thức khoa học, quan tâm đến sự tiến triển của các tri thức shay kiến thức Ở đây thuật ngữ riến triển được hiểu theo nghĩa rộng: nó có thê liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một

hệ thống, một thê chế hay một cá thê Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tư tưởng tiến

bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bước lùi Các thuật ngữ ri /hức và kiến thức thì được hiểu theo nghĩa chủng loại: một kiến thức gắn liền với một cá thể, thể hiện qua những hoạt động trong một lớp tình huống xác định, và chỉ có thể trở thành tri thức sau khi đã được phi

cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa Cách hiểu này nhắn mạnh tính chất động cũng như chế độ nhiều thể chế của kiến thức và tri thức, hơn thế nữa, nó có thê thích hợp ở tất cả những nơi

mà kiến thức hay tri thức đang trên đường xây dựng, tiến triển hoặc biến đổi

Thừa nhận quan điểmcủa Dorrier J-L., chúng tôi định nghĩa: Phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ:

- nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết;

- những trở ngại cho sự hình thành tri thức ;

' "Didactic" 1a cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng anh và didactique trong tiếng pháp Tùy theo ngữ

cảnh, thuật ngữ này có thể được hiểu theo những nghĩa khác nhau Trong câu trên, nó có thể được dịch sang

tiếng Việt là lý luận dạy-học Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán.

- những bước nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức;

- những quan niệm cóthê gắn liền với tri thức

- Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này

II Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học

Cách hiểu trên về thuật ngữ khoa học luận khá gần gũi với trào lưu khoa học luận lich

sử Nó dẫn đến chỗ thừa nhận mối liên hệ khăng khít giữa khoa học luận với lịch sử các khoa học

Thoạt nhìn, có thể cho rằng Lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự

kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tư tưởng tổng quát ở từng thời đại Nhưng cách nhìn này quá hạn hẹp, như G Canghuilhem đã nhắn mạnh: "Lịch sử của

một khoa học không phải là bộ sưu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên

đại được tô điểm bởi những giai thoại Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự

chỉnh lý các khái niệm khoa học” Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là

mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gan bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái

niệm, những vẫn đề đưa lại nghĩa cho khoa học đó

Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi

có tính khoa học luận Như thế, nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích khoa học luận về khoa học đó Thậm chí, theo J-L Dorler (1997), nghiên cứu

lịch sử và nghiên cứu khoa học luận không thể tách rời nhau, chúng chỉ có thê thiên về phía lịch sử hay về phía khoa học luận nhiều hơn mà thôi

Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau Bachelard phân biệt hai đối tượng này qua những ý kiến sau:

» "Nhà lịch sử xem các tư tưởng như là những sự kiện Nhà khoa học luận thì lại năm

lấy các sự kiện như là những tư tưởng bằng cách lồng chúng vào trong một hệ thống tư duy."

* "Lo lắng về tính khách quan, nhà lịch sử ghi vào danh mục mọi tư liệu, không đi đến chỗ đo được những biến đổi nhận thức trong sự giải thích cho cùng một bản văn Thực ra thì ở cùng một thời đại, dưới cùng một từ, có thể có những khái niệm khác nhau biết bao nhiêu Cái làm cho ta có thể nhằm lẫn chính là ở chỗ một từ được dùng đồng thời vừa đề chỉ định vừa để giải thích Tên gọi là một, nhưng cách giải thích thì lại khác nhau [ ] Nhà khoa học luận phải cố gắng năm bắt khái niệm khoa học trong quá trình tiến triển, bằng cách thiết lập các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó được hình thành như thế nào và có

liên hệ ra sao với những khái niệm khác."

Dé minh hoa ý kiến này, chúng tôi lấy thuật ngữ "phép biến hình" làm ví dụ Như sẽ

phân tích rõ ở chương 3, trong một nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm

"phép biến hình", thuật ngữ này được lấy những nghĩa khác nhau ở những giai đoạn khác nhau Chắng hạn, vào cuối thế kỷ 16, phép biến hình chưa được định nghĩa, chỉ được mô tả

qua kết quả tác động của nó lên một đối tượng hình học Ở giai đoạn này người ta xem xét các hình hình học trong tổng thê về hình dạng, kích thước, không nhìn nó như một tập hợp điểm, và phép biến hình được hiểu là một phép là biến đồi hình-, được sử dụng như một công

cụ ngầm ẩn đề chuyên các tính chất hình học từ hình này sang hình kia, mà người ta cũng chỉ dùng nó trong nghiên cứu về các đường conic Cách hiểu này cho phép chuyên một số tính chất hình học của đường tròn vào các đường cônic ảnh, có nghĩa là từ tính chất của đường tròn mà suy ra tính chất của đường cônic, không cần một phép chứng minh mới Đến thế kỷ

18, mặc dầu được sử dụng ở một góc độ khác, khái niệm phép biến hình vẫn chưa được định nghĩa Người ta đưa vào từ “phép biến đổi hình” như một thuật ngữ được mô tả chứ không phải như một đối tượng của toán học Sang thế kỷ 19, phép biến hình mới được hiểu theo nghĩa ánh xạ trong không gian vào chính nó, và ở đây không gian được xem xét với

tư cách là một tập hợp điểm

* Dé phân biệt phân tích khoa học luận với nghiên cứu lịch sử một khoa học,

Bachelard còn nói đến những chướng ngại: "Một sự kiện được hiểu không đúng ở một thời đại chỉ là một sự kiện đối với nhà lịch sử, nhưng lại có thể là một chướng ngại hay một ý tưởng đối lập theo cách nhìn của nhà khoa học luận Khi một tư tưởng khoa học xuất hiện như là khó khăn đã được khắc phục thì cũng có nghĩa là một chướng ngại đã được vượt qua"

(Bachelard, 1938, tr 17-18)

Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những hướng đi sai lầm, những chướng ngại khác nhau, những điều

kiện có thé lam xuất hiện các khái niệm khoa học mới Trong phân tích khoa học luận lịch

sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh

đó Theo nghĩa này thì cần phải đặt nghiên cứu của nhà toán học vào bối cảnh thời đại ông ta sống (bối cảnh khoa học là hiển nhiên, có khi còn phải tính đến bối cảnh kinh tế, xã hội, chính trị, hay văn hóa, thậm chí hoàn cảnh cá nhân của tác giả) Phân tích khoa học luận lịch

sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triên của khái niệm, những điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả năng hay, ngược lại, cản trở sự tiến lên.

CHUONG 2: LOI [CH SU PHAM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

Sự cần thiết hay không của phân tích khoa học luận một tri thức đối với việc dạy - học tri thức đó là đo quan niệm về hoạt động học quy định Vì thế, trước khi bàn về lợi ích su phạm của phân tích khoa học luận, chúng tôi cần nói rõ quan niệm được thừa nhận ở đây về hoạt động này

A Những giả thuyết về học tập

Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là làm thay đổi kiến thức Quan điểm này hướng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức được thay đôi ở con người

Bộ não con người, giống như một hệ thống xứ lí thông tin, có khả năng thực hiện một

số thao tác nào đó: khả năng phân biệt, nhận dạng, tích lũy thông tin, có khả năng thu hồi thông tin, đặt chúng trong môi liên hệ với nhau, thực hiện những thao tác trí tuệ, Việc vận dụng các thao tác này sẽ khác nhau tùy theo nhiệm vụ cần thực hiện: học, lí giải, đánh giá,

giải quyết một vấn đề, Mục tiêu của việc học càng đa dạng bao nhiêu thì hình thức học tập

càng phong phú bấy nhiêu

Theo trường phái Piaget, chu thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có được do

chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin moi Su kién tao tri thie qua hoat động xảy ra theo kiểu thích nghỉ với tình huống Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình hudng, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của chu thé va tinh huống Trong trường hợp vôn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thé va tinh huông có một sự mắt cân bằng Đề giải quyết nhiệm vụ được đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới Khi vân đề được giải quyết, ta nói chủ thể đã lập lại được sự cân bằng mới Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân bằng mới như vậy

Kế thừa quan điểm của trường phái Piaget, người ta thừa nhận những giả thuyết sau

về học tập:

« Giả thuyết tâm lí: Chú thể học bằng cách tự thích nghỉ với một môi trường - môi trường này gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và sự mắt cân bằng giữa vốn kiến thức của chủ thể với nhiệm vụ phải giả quyết

Theo giả thuyết này:

- học là một quá trình năng động trong đó người học đóng vai trò chủ động

- kiến thức được xây dựng do tương tác giữa chủ thể người học với môi trường vật lý

và xã hội của chủ thê đó.

Y chức để đạy một trì thức) không đủ đễ tạo ra cho chủ thề mọi kiến thức mà xã hội mun chủ hệ đồ Thh lội Aưyc, Thê giáo ph làm há hủ ở ọc nh những sự ích nh mong twin bing các lỗ ức sóc in cm gi là “mối tường" lòng" có một vai rò trung tam trong vie ne 6 nguyện Thân của những

su hich hghị Một nh rang kien thức sẽ được đặc rang bởi một ạn tá cân bằng của hệ Thôn học ảnh - nồi trường, Học ập l sự xây dựng những akan in bing mo 'B Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luị

Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học Tf sia hoạt động dạy” học toán thông qua việc phân ích những lợi (ch mà nỗ mang

k Khen học kn a ag tht — a ee day Đổi tượng tr tice

Sum a của mật" thức bác học là kết ả của một hop động kho học Ha nhân nhà nghiên cửu Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn để, Đề

tùng phương pháp, những kiến thức Một số trong Thăng Lên thịc hy được hà hệ cứ nhật dụ mi, đ by cổ thể tông che công đồng khoa học, Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể được, cm dời tác suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng khoa đọc Trong uá tình sạn to nghiên cứu “on ẤN Hội kỹ khủ thấy của tụ: những suy nghĩ vô ích, rng sim, hing dung vou lt Ko, rat i thâm chí đ đến ngõ cụ Nà nghiên cứu căng b it c những ìiên quan đến động cơ cô nhân hay non tang het tt ea Koa host ane cs minh Ching dng pi ain had hp hop ans ea Sng ta phi Khim phi

khiển cu cũng x6 ph sade đó 0 dấn ninh đế nghiên cứu này

(những mò nấm, những con đường sai lân), cổ khi còn tác nổ ra khôi ải toán đặc biệt mà lúc đầu mình muỗn nghiên cứu và tìm một bỗi cảnh tổng quất nhất sao cho trong đó kết quả winding Cling 1g i am iy iad cin i Nhà n sắp xếp lại những kiến thức mình tìm thấy, lỏng n tưong một hệ thông kiên thức gìn g gửi đị hồ vâo mặ ích tp ận mái Ch giới dùng

từ thi gan ha chỉ hoạ động này ng phi s nhân hôa ph re cnh hóa và phi tời gan hao hf ua ích cực 1989)

nghĩa 12 Đi tương dạy học

Fog hg his nos oh Hy ae ci hi hong i

chọn ra một số vẫn để làm đối tượng day hoc Nhiễu yếu o Sh hưởng đến sự lựa chọn nà)

Thế v4 hi kê chín hình sin Tình tạng của hệ thôn giá dạc, nh độ phá tiên ông nghệ, việc đảo tạo giáo viên, v.v: )„ Dê tr thành có thê dạy được cho một bộ phận Sông chông no đó, hức a tip te ibn i trữn ey eo hi ch hp hg ih quay 8 hin oe, cheng I tho mah ns Hay dâm bảo ính gắn kết giữa các tình phần Theo chương tỉnh quy định, cíc nhà vit ích giáo khoa tìm cách trình bày li hững

he de tn Vie ph ia et he hh in lo đ g0 ân ân được sho mn edging ác nh,

là nhiều khi có một sự chênh ch kh lớn it ithe bac hg vớ vĩ thứ xu hộn wong ong nh veh giáo khoa ä Hạn ch của một nghiên cửa chỉ đồng khung tong nội tại hệ thông dạy lọc lớn những trì thie toán học ging day trong nhà trường đều ra đời muộn nhất là đầu thể kỹ 30 Ngoài bệ thông dạy học, những t thức này tổn Lại như là công cụ cơ sử

gt on hei ay he 8 Yi Won cá Be ee a oe am eh tag a Teng ch hie ba Gag dang Ke nha và đ bị than Ba, ten di so gun ean de Ning vi hho hp tay 0 Fine qu, N& Qượ tro một chức năng hoàn oôn nơi, lš cơ sỡ cho sy hình thành những bí thức khác phốc tạp hơn sinh r từ

th ở Am nó độ thững in đi nà ĩ tức th ca đ tý Đà i ng

“bi uất phát từ một lý dø cổ bản chất khóa học luận gắn ign voi ssi sinha

tạ hức ng, Những biển đồi đó hường mạng nh cất gi pấp nh hưẳng ch yếu tân theo ác he buộc nộ ạt ca ẻ dạ lạc TC De 096,2) Tả nhện tớ bức chung tich gio tga đã được Kink thigh wea cos ky trite Bc hoe am tar eeu Nhung vin cồn một số đệm tô rong mỗi lên hệ giữa thứ vời) thức được dạy Vì thu ag hic bet ve eh a eta the, aba eben et

gần gũi nhất 14 Vai trò của hoa học luận

người ta phải căn cứ vào nội dụ

tiên những yêu tổ do phân tích hoa trì thức đồ cho phép giải quyết, những tở ngại cho sự hình thành trỉ thức, Những bước nhậy thiết ho việc thiết kế một môi trường để trong đó hoạt động học xây rẻ en ci Khoa he In gpd i sm toán học mà việc day học thường có khuyf trình bảy nô như những đối tượng phổ biển đồng thời trong thi gạn và Long không gi (Mt Ate, 1990, tr 243) Nghiên cứu này cũng gip ta

"hảo của oán học

Mi túc ác học Hn quan ism koa he hn ran i h lệch giữa một Hi thức bác học và 0i thúc được d

“Trong Kì tường hạc sống ng sai sn 4 woe hy Be nộ bản

ty de don gan h như vận ngành ca đồi tyny Ba lui thi pn teh Kw hoe luệnsẽgip nhà nghiên cứu hiệu rõ cái gì chi ph se gn in ca ie thức Hoa học

dt Id viên lạc tần thúc bác họ với he dae data hog edhe "ai hệ hồng toán hoe va day hoe

"hân ch tên gải thích sự cẳn thiết của một nghiên cứu khoa học hận Nghiên cứu này giúp La ạchtõ các tham chiên hợp th của tr thức củn dạy, trả lại cho trì hức những

áo km hông hệ tung hi Ähững hệu Mới khoa học hại và mè Đức day ip mh mộ kg bàn bồ hp

cat dng day h

‹nh huồng chó phép học sinh nấm được nghĩa của tí thức

11 Khoa học luận và lý thuyết tình la Ed igh ia th, hing mang rte mga cho ts Các nghiên cứu hoạt động dạy-học du ign quan đồn sự xây dụng nhức ở chủ hệ (họ sinh) Nan

tích sự hình thành kiến thức khoa học trong một tình huỗng dạy-học - được gọi là sự hình thành giá tạo để phân biệt với sự bình thành lịch sử (sự bình thành đã xảy ra trong thực tế lịch:

tìm cách li những câu hỏi su - Lt sĩ đâm lạ ăn vấn de tr rung nh hưng là ih te thức hạ không? Từ ch Dục ở đây được hiễu theo nghĩa te thức cần dạy à tị hức boặc hông BI học dem oi chin age để if mh thế nào với lý do tổn tạ co ite 8i singe uve dit a ong tr thức được xem là mục ned gia hoạ động dạy học Và

1 pat tao" wong ip mts nh tành rên những khổ riệm toân học với ái nghĩa mà a muôn học sinh chẳm nh, Nội cách khác, xây dựng một nh tông cho phếp xây ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tì thức cần day phải xuất tự một giải pháp tôi ưu được xem là mục địch của việc dạy-học Vai trờ của khoa học luận

"Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huồng như vậy, khi mà nghĩa của tỉ thức và tình huồng mang lại nghĩa đó đã bị cbe giầu qua những biến đổi mà trí thức phải chị `Việc sử dụng từ "hình thành” có thé lam cho ta kim tưởng rằng trì thức được phát sin

i ng Dig ny Kd lờ xây ra trong “Thực

trình ình dành ơ thức Thậm chí họng một s tường sa mới nh hiện những cơn đường in ‘ton làm, do nich

lịch sử không phải luôn Tu Toàn Mà! an Toợt động dạy họ vậy Hhuôn ho cdạy-học lại phải tuân thủ những ràng buộc không thể tránh khối vẫn đề thời gian ching nm the ad {ev chàng t k9 tong vài gử? Rồi vẫn đ nhận bức: thúc cn dạy đã được lỗ đúc di theo mbt ua tỉnh hình thành đã trải qua nhiều thập kỳ

hị theo một bề thống không rùng với nh ự cất tiễn ng ch 4 toán của học sinh vào ti ra trong lị Pongal ot he eh ho mt a oe

Bi tao hiệu yê 6 tim cho sinh than giả tạo ong lớp học không thé ng mh Ve

tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M

Aniee, II, 240 đĩ hồi như vậy là vì trong phân th hay thiết KE ede tình huống dạy-học, nhà nghiên etme il nha dội châu với v đỄ nh ca i machi ag tn

đi từng lí đo của việc đưa vào khái niệm này hay khái niệm ki, cũng như những vấn để cải hổi tên tiên củ khá nệm, cá ấu hình sản ng của khá niệm i Chi

ứu vẫn đề dạy-học khái niệm số thép phan G Brousseau da noi: "Dé to

‘id (go dom ại một nghĩ p hấi niệm số thập phân, cả:

hs tên ầm nghề ts hoa lạc hận vạch õ các dạng thức biểu thị số thập phân và cơ tận thức chúng” (G Brousseau 1941, tr Hơn thể thừa nhận những gi thuyết vẻ học tập đã nêu ở phần đầu của chương này dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng vẫn đề à phát làm cho bọc sinh đi vào hoi động toán học Thể nhơng những qui tinh tr uy no chỉ hối hoi động đó? "Chính phân teh khoa học Huân là nghiên cứu trước tên Hiên quan đến những edn hỏi này" (M Arigue, 129i 46)

Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tí thức cho phép vạch rõ quá trình xây

ug thie trong cong dng ce nhà kho học, ph tage củ nổ và các nh vực tận học có ừ đó xác hàm hia ia thi inh hag mang Tại ng độ ci ign cho pp ah ny si ấn đề gis idm woh orth tag dt cana "ong một bì tức

ng ứu đến vo ca ải cho nột s câu hi tổng tệ và s bản sau, là cơ cử cho việc wha chay tế k các nh bung dụ! ra nhằm giải goa ving

có thể tồn tại đưới những dạng thức nào? Chuyển từ dạ dạng túc kè tương ứng với sựthy đồi nao wong quản niệm? ải chuyên đôi cái gì trong việc dạy-học các thành phần của tr thức này và sự tác Na C6 hay không mí lễu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiếu cần phải tôn fone hn lam bin dng nga Những chuyển đổi nào có thế hay cần phát phụ thuộc vào lớp công chúng được xem cin đúc này?

te tp mgt ty thie và ht dupe gun ge sinh ching, BS hông hủ khu những

i thie

học tập được phát iễn bởi Piaget, Bachellard va Bouse Rn hth def AE nm CHE aie a inh wh hơng Điện gi cha nĩ nt gi gp ing hich phi nh hưng bến hĩc được ty dơng

ở bọc ánh thường mang tính cc đa phương, ân lên một cách tùy tên với nhơng kiên Khác Nĩ cũng thường mang tính an diém này dẫn đến một cách nhữn mới trên những sâm: cất tạm di và c tệ khơng oan chi Mc

tai làm khơng phải chỉ là hậu quả của sự khơng biết, khơng Thác ch thơn n ngẫu nhiên,

nh cic gh sa những người te chủ ng nh ghệm vì chủ nha hàn vị nà cịn cĩ 5 hệ gục ong nthe tte hệng in hức đ từng KhẨ! iivệc

Tộc nh cổ những vi lâm nào đổ mang tính bi

ht, hit sie riêng biệt thì cũng cịn cĩ những sai lằm khác khơng phải ngẫu nhiên được sinh gmt chi th, nag Thận này tì một s ki nhat cho học tip: con đường siete — rt a vie sy cg (etn hc mB bao thức tai và đc thúc lặc trưng sai lầm này sẽ là yêu tố cấu thẳnh nên nghĩa của trí thức mà việc dạy-học Thâm đến Brousea gọi những điểm buộc phả tải qua này Jà chướng ng 2 ờahọc hận

Tả nhện mạnh vá tà cachíng hơn le ph triển ác tang của chưởn)

bắn phá nội ơ rằng khơng phải mọi ˆhĩ kiến đều được xem là chướng ngủ, Dươmr

đã nêu ThhẴNng đc trưng sau của chuối ột chướng ngại là một kiến thức, Int quan nm chi kg phi hay một sự thiêu kiễn thức

là một khĩ khăn

lk nt ny dave G tem an tin trung in Dac “cho omg he ân nh

bi trà sự chân cạp và rt lan aut iện dưới mội đọng tắ vếu củ ch nk magn ain ta syd Cng en to ch nga nh dt tai từ} mã cho

‘hoa ge lain Tuy aha, cin aha pg ng Bachelard doa aa hoe ea Who se quan im ea âng th bàn

sf hg "econo og sa im Khng eel dé a deg em xế rong cển sách này nhằm vào ốn học” (Bachelar, 13 cn i thing eat oom dng gh at Shieh hank Hay lọc H 3)

+ Kiến thức này tạo rà những câu trả lỗi phù hợp ong một bỗi cảnh nảo đó mã ta thường hay gặp, Nn kh way kn i cn ny ì nó sánh r thữn cu tr li si Đcó cân

ws nidingc ob + Hon na, kiến (hức này chống bi những mâu thn với nó và ch hn phic mi ty A ing Kong gus te một Hiến ức hon Hiện ơn, Vi dò một kếy hức khác hoàn Hiện lợi cha de thế này biến mắc mà nhất th há ae nh dagen viv or bn so che

+ Chướng ngại didactic: la chung ngại sinh a tử sự lựa chọn của hệ thẳng dạy-học

7 Chướng ngại Mua học km l chướng ngại gắn lên với lệh t phế Hiển củ tỉ thức nà độc VHỢ gia hồ đông vi mà uyễt định đổi với quá trình xây dựng kiến thức của chủ thể Trong học tập, việc vượt qua những chướng ngại khoa học luận là điều không thí trinh khi, bi độ vết tổ cấu thành nên kiến tức in dé là trước hết phải xác định được những chướng ngại khoa học lu đi mặt tíchậ, để su đe rụ những tình uống ch phấp vớt đo chng, ức lai bộ những kiến thức sa tạo nên chướng ngại TH Vai của Kho học ain

ống ngại khoa học luận dẫn đi

lấy dắt vế của chủng tong Ich sự hình Ủãnh tí hức Để nghên cứu cíc chướng ngụ: tho ho in, Brousseau da dé nghi inn sa “Xác định những sai lâm thường xuyên ái diễn, chúng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại

“quanh một quan niệm Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chướng ngại rong lịch sử xây đựng Thái niệm toán học - Đồi chiếu các chướng ngại ch sử với chướng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập đặc trưng khoa học luận của chướng ngại điện thề không mi nụ cường gi mà ức nhà on hạ sp kết dạ dâu những khó khăn thành gi tạo Không i ngy ng hả đương ầu vì tư đ oh than h s Ty thả te thường có hệ âm thấy tong ch sự đâu vất của những khô khăn này {ua phân ch khoa học hận leh sử nhà nhiên cứu có thẻ ơi thông một tổng thể, những giai đoạn chủ yết Xà sự tác động qua lại lẫn nhau của chúng Hơn th, còn cóthể xác định nhữngđiễu kiện nội gi cho sy phat ri, những vẫn để đ từng là lý do eho

sự ôn định hay sự bể tắc của một giai đoạn lịch sử, nhờng ràng buộc chỉ phối các nhà khoa

chỗ thừa nhận là có

Quan

học đương thi Lkh sử sang cắp những ví vẻ qu rnin un on kn dhe ma pin học luận sẽ giúp ta vạch rõ những khổ khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại cho sự hinh thành và nhất min của kền thức, những động Mí hững buc nhậ Hong quan niêm, những điều kiện làm này sinh trì

"hệ thế vẫn đề đầu tên là chân đoán khó khăn, xác định ng sam tb da ding sinh vat cang một quan iệm, Sa độ là nghên cm bản cht và nguồn sốc của khổ khăn đưi ảnh ing của phân tEh khoa học Mận Việc đối chiếu sa lim ta ho chồng ne gn ong eh nh hình phe tin eco hy i sai lắm một cách thỏa đán hân tích khoa học luận có thể giáp ta phân biệt hữn mí lm có bìncht Thay lạc kận vi nhông vi tha ngẫu nhên sổ ngu gối hay từ sự lựa chọn của hệ thông dạy-học Từ đó, nó cung cắp phương tiện để triển khai Int dyin dy he th

1V Khoa học luận và quan niệm

TỰ] Quan niệm Khổ ni « quan si» dg da hm ip in

~ Vạch rõ một thực tế là có thể có nhiều cách nhìn nhận khác nhau về c toán học, phân biệt những thể hiện và cách thức sử dụng được kết hợp với nó, chỉ rổ sự thế ứng ‘thay nhiều của những cách nhìn nhận đó đối với việc iải lớp bài oán này hay lớp bài toá

học muốn nông với những in hức được họ sinh xy cng rong the "Thu gts quan nin » due ng eh nthe da phon, a a tr nào

‘trong tien tình su iếm lĩnh một khát niệm Cụ thể hơn, G Bousseau định nghĩa quan niệm R

mmột tập hợp các uy tc, các cách thục hành động, các tị thức cho phép giải quyết tương đối tốt một lớp tũnh buồng và vẫn đề, trong kh đ k với im nay din dé tắt bụi, oặc gợi lên những câu trả lời sa, hoc có thể i à đen lộ gi nhe diệu tt nụ đều a ite = ng hạn, M, Arlgue và J, Robinet (1982) đã tự đặc ra cho nình câu hỏi vễ nghĩa chân = ae dy cag ih hệ qua ce ih on go ng tg tự không pian cỏ rong chương trnh tiêu học Trong số những hình « đơn gian > nà Sea nghành swe chen ng ‘Mot phan ác tên ha nhương diện Khon hoe uộn và

Khái niệm toán học như nó được định nghĩa trong bỗi cảnh của một thời kỷ cụ the

“Tập hợp những cái dùng đểbiều đạt được kết hợp với đối toon

~ Lớp các bài toán mà qua việc giải quyết chúng thì nghĩa của khát niệm được hình

thành - Các công cụ định ý, kỹ thuật (huậ toán đặc trơng cho phương thức khai thác đổi tương đó ÂM phân Mạ ty dẫn M Ardge đến đổ tí ha ng gu miện củ họ anh vế

nộ đã tưng minh huôn: ân đem bị nh so Hi iộn Hới học dnh lấn ộc- nhộn tàn hn Khe a,

là các hình ảnh tr tuộ, cá bi thức kỹ hiệu bắc công cụ, nh lý, kỹ thật, thuậ toán mà học sinh có để tao ác trên đối tượng,

Bộ ba thành phản này được xem như những yêu tô đặc trưng cho quan niệm về một

tanith deb mnt gael Cg yw de ds

va ” cm "ie honk dng Dish Ikan dn

ắc hành động là một mô hình được G Vergnaud xây dựng nhằm giải thích và iso nog Kin the a he sinh si dụng để đa câu tr lờ hi thực hiện mộc

vụ xác ảnh Quy ác ảnh động nà liên quan dén một hay nhiều nh chất ton họ gẵn bố

la học sinh Hiển nhiên, quy tắc bình động XỀ một đội tượng toấn học

“Chẳng hạn, đội với nhiệm vụ sắp thứ tự các sô thập phân, một số nghiên cứu ở Phá đđã chỉ động dug pt bx brs: on hs tập phân cổ 'ghần nguyên bằng nhu sổ lớn om ra sự gắn kết giữa những câu trả lời ai của học sinh trung học cơ ở với quy tắc hành

Th 5b 6 cok nguyen ở phần tập giận» lớn hơn, Quy tế: tây

thập ph thà một cặp số nguyên được ngãn cách kời dc nhà “Trong trường hợp bú xố đã cho cổ số chữ số ở phần thập phản như nhau thì việc áp dụng quy ắc sẽ đem lại một câu tả lôi ding, nhưng tưong những trường hợp khác tì nó dẫn trả li sử (Ví dụ 12, S1 > 12,3 ( 51 > 43) là câu tả lời đăng; 7, 3 <7, LỊ ì 3 < 11) là câu tr lời sa) St g ức hành độn - 1S đt gua ie ni i ng cô tà lời i của học ảnh, ự lại câu trả li đúng trong một sô tỉnh huồng Những tình uồng đ sắc định phạm vỉ hợp thức của quy tắc hành động Thôn thường ư phạm vì hợp

nh bung mio nh cáp dư một uy ác hình động oc th chập thực nó li a có êm ho guy ắc, Những câu li sỉ hưởng đệ tí

ác quy tắc bảnh độ HU Gin ong việc ao tác én ce ối tượng Vespa ọi cá bi bn ylà in ý kinh ng kha in din ya ng

cải ác nh tấ của những mi an hệ mà họ nh ấm hoặc sỉ dụng tong nh thắng gi any ấn dễ Mạ vải đu đ ng na Boe ith eA ng 1) hy Thế ỗ nữ tnh chả lộ (G' Vegmai, 198), Nhu guy te inh ng trọng những nh huông khác nhau những lại có hÊ cùng thuộc phạm vì một định lý hành

«giá tr tuyệt đối của một số thực», «bình phương của một số thụno ng như tc hảm lạng gd tong KA phan ot hợp di cũ nh cấ chỉ lập hợp những hàm tuyẾn tính Định lý bành động ny due nem 1 hệ q của vệ tp cự bản ae tan oe Tone tye ép toán trên các số nguyên (bảng cộng và nhân) học ở trường tiêu êu diễn bằng đồ thị các hàm sô f) = av O9 =ax ‡ b lớp , tắ cả đều cổ tính chất Sig hoe rong 4 am ớ ing tang hoe eo rỗi nie it Thôn ính Việc họ sinh thường xuyên sử dụng (HÀ (uyn tính ở ngải phạm vụ hợp thức của nó có thể sinh ra từ đó Giống như cíc my tắc ành động định lýbhh động có thẩm vi dụng và phạm hợp thức của nó Phạm vi áp dụng của định lý hành động là tập hợp những tình huỗng mà

mà nỗ đưa ra một câu trả li chính xác W3, Se ode ghế của nghiên cứu quan miện Vi tà của Kâo hoe In Tinh đa Tahiy trở vi công tia Argue va Robnet (1982) vệ hing an nif

Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có gui đã xuất phá từ 1 định nghĩa cô thể nêu ra cho khí niệm mà dưới đây được trích một số im vd “Drone mi png, dog non nO bin kis Rip hợp những đn cích một khoảng R Hầu hư ác cuốn cách gio khoa ng my du đơn ah ngha này, Những ái niệm đường tròn còn có thể được định nghĩa theo những cách khác Chăng "Đường tròn là một đường cong phẳng, đồng, có cone số không dồi + Ds Đường trò là một đường cong phẳng "thuần nhất" đổi với phép đẳng cự

+ Dạ: Đường ồn là một đường cong phẳng có v0 6 uve dBi xing

;De rio une cone phông đn, lì gia ml hở ca ng màn Gia

nữ thằng và tụi mỗi điền đu có mặ tấp tyễn Với mỗi hong ds iu an rn của độ dài các đo nếu hương đ và được chứa rong là một đường rên ấu vàchỉ

O trung điểm ca đoạn hông này

+Dạ: Đường tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM các khoảng cách từ

M dén hai diém cổ định A, B là không đôi + Dụ: Đường tròn là một đường cong đóng mà với mỗi độ dài ác định thì phần mặt phẳng nà mồ bụo quanh có dện th lớn nhất toc 0 cách ngấa rên tương đương với ha rà xi cng mt tượng toấn học Nhung ching tong ng ining quan niềm Kic hạ, những Kửu gì giác khác nhau vẽ đối tượng khững ạ khác nhau các tính chất của nó, và chún; Ent an ng yeu to Hn hoe Re nat nog mới hen he Me na dae ì Thư vậ, nỗi đi lượn toần họ có tề được kết hợp với nhiễu nghĩ nhiều quan iệm khác nhau

Sặr tương hạp giữa quan niệm và tình hung

“Thể nhưng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tỉnh tế những quan niệm có thể có vẻ một đối tượng “ác quan niệm toán học, mà là nghiên cứu sự nỗi khớp giữa

h 5 rn, cho ng bạ thi phn ân ủs quan ri là lớp các th tiễn nhiên, nếu ta h

huồng vẫn để đem li nghĩa cho tr thố đội với hộ nh tập hợp nh ang cli iu dt ma oe sine kh ning minha, cing taco they ngbien cu eu Poe Bao 200 xẻ hổ nệm dt gp wt san cong cum bos sin cb dha te ea the phân số được tình bày trong các sách giáo khoa toán bậc tiêu học ở Việt nam Tác giả đã chỉ ning Kh niệm phân vô được hình thnh ga ba tỏi điện khúc nhau với ba ừnh hoông Khác nhan, + Ở lớp 3, đồ là tình hung chia mộ ình vuông, một hình ra, phần bằng nhan,

“một phần của đơn vị đã được chia thành n phần bằng nhau”

thành n phần bằng nhau và lấy ra p (1< p < ) phần, nhằm đưa vo phân số P Vái ảnh

"huống này, phân số P lấy nghĩa "số phần bằng nhan rút ra tờ đơn ví

huồng sau đồ (cũng ở lớp 4) là "chia đều 3 quả cam cho 4 em” Trong tình huống syn hiểu theo nghĩa "thương của phép chia p cho n" va “Ta két quả của phép chia đều mà thương không nguyé a thấy rất rõ là nghĩa của phân số phụ thuộc như thể nào vào tình huống trong đó khái niệm được đưa vào Yak cia nin ci ning quan in có hệ hựp với một í hức pnt a hom oán Đọc uy hà vi những gaan min nc

thể được kệ hợ vớ n6 Tc nd có thổ giáp thấy gáo thoát r khỏi nh đơn giảnbễ ngoài của đối tượng Ching tam, Ed vt Kam tg en, ig ncn cách gia toa tong “thực tế đã che giấu di tinh plone phú và phúc tp của ee dish nga vb tp se Thững qun viện có được kết hợp với đỗituyng toán bc này, Hơn thể tn chương điền

dạ họ tì chất lên tan đến rạng th th của hp hợp

đế sn chi ý đế đo), mỏ không tính đến nhữ trẻem đã cô rước Khi chà lọc định nghĩa nề An i} Robin R5: 209) chic nhaw về một đổi tượng trí

te sé mang Ii eho ta mgt ng eve pin ch thết k các ủnh hưởng vẫn để đa ra cho

trong thực tế, quá tình ch mỗi

thành nhiều gái đoạn Trang một Sự Mạc tập bản

thường mang tính chất địa phương Hơn thể nữa, trong thực hình, Cảnh kiến tực ở các cáp

độ địa pÍ an với nhăng quan điện khác Tà cái được sử d

42 phải bit chong lining uaa viêm mang tính địa phương được v biển In on nh dg ap ch quan gm sai và nhữ mì cũ đã những điễu kiện cho phép chuyên tử quan hig dia phon hoy Khi cơ để tiên Khai các nhằm xây đøng một ‘pene Tông the

vỉ thức Trong những tình hị Tmới phải sut hiện như là một gi pháp tốt

Nahign cứu những quan niệm khác nhau có thể được kết hợp với một tí thức còn là ge ing Kn og tp cos sh

vào khả nôn ph Kn sei mt don vay hg thn dng no 4, x5 do của mộ ình phẳng S_ phy tage

ign tích được gắn liền với mặt và không tách ra khỏi những đặc trưng khác của mặt

nay

Mở rộng các công thức cho những tỉnh hus

Ie Lo Giải thích những khó khăn này, các tác giả nói đến quan niệm của học sinh về điện trong đó công thức không còn có hiệu

ích, hoặc hằng hạn, việc giảm điện tích đ như việc

aa ình với nh dạng của nỗ, và đu đồ ái kèn theo iệ gảm co vú: điện tích và cầu vị được kế hợp hân hi] lin với hình dạng [ ] bột cục khác, điện tích là tụ đứng tin phương đến thh on và chỉ chủ ÿ đến những yêu tổ thỏa đồng cho tính toân, chẳng vây về ấn đŠ điện ích, họ ah biển ai một quan nệm m nh dụng hạ số đo chiều đi [ ] Như

vi hình học hoặc một « quan niệm số » gắn liên với phạm vi số, hoặc cả Xi các hài toán mà không thiết lập mỗi liên hệ giữa hai ‘oa di

nig nem 6 tp phn ny mot chp iti sh ôm

19

một sai lầm ôn định, xác định những khó khăn của học sinh trong học tập, mà còn ở chỗ nó giúp ta hiểu tình trạng của kiến thức ở một thời điểm xác định

Từ đó suy ra tầm quan trọng của vấn đề đặt việc nghiên cứu quan niệm trong mối liên

hệ với những điều kiện dẫn đến sự hình thành quan niệm (đối tượng dạy học) và những tình huống mà nó có hiệu lực Nghiên cứu đó sẽ cho ta một cơ sở đề thiết kế các tình huống dạy

học

Vai trò của khoa học luận

Vấn đề là làm thế nào để vạch ra những quan niệm có thê được kết hợp với một tri

thức toán học Theo M Artigue, việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận:

- phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh ;

- nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

Hai phân tích này bổ sung cho nhau, chỉ thực hiện một là không đủ Điều đó nói lên tầm quan trọng của nghiên cứu khoa học luận Nếu như chỉ dựa vào những ứng xử được quan sát trực tiếp ở học sinh trong tình huống cụ thể mà suy ra quan niệm thì ta chỉ có một phân tích không day du, thiéu khách quan Việc nhúng quan niệm vào trong một nghiên cứu những quan điểm có thể có về tri thức, những lớp vân đề có thê dẫn tới quan điểm này hay quan điểm kia dường như là một đảm bảo cân thiết Phân tích khoa học luận, đặc biệt nếu như đó

là một phân tích cắm chặt vào lịch sử phát triển của khái niệm, sẽ giúp ta phân biệt một số lượng có thể khá lớn các quan niệm khác nhau và nhóm chúng lại thành từng lớp

Tuy nhiên, cần nói rằng không phải bao giờ mọi quan niệm đã từng tồn tại trong lịch

sử cũng đều xuất hiện ở học sinh ngày nay, bởi vì luôn luôn có một khoảng cách giữa lịch sử

toán học với thực tế lớp học

V Kết luận

Thừa nhận học tập được xây ra qua hoạt động nhằm thích nghi với tình huống dẫn đến

chỗ thừa nhận sự cần thiết của một môi trường được xây dựng sao cho kết quả của sự tương

tác giữa chủ thể với môi trường là chủ thể tự « phát minh » ra kiến thức mới Để xây dựng một môi trường như vậy, những hiểu biết khoa học luận về tri thức, về những khó khăn găn liền với việc xây dựng kiến thức và về quan niệm học sinh đã có về tri thức là cần thiết Điều này giải thích vai trò quan trọng, thậm chí không thể thiếu của phân tích khoa học luận tri thức cần dạy.

20

CHƯƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƯ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

A Trường hợp khái niệm vectơ hình học

Như đã nói, trong một nghiên cứu khoa học luận, vấn đề không phải là liệt kê các sự

kiện, kể lại quá trình hình thành và phát triển tri thức toán học đang bàn đến, mà, tùy theo mục đích sư phạm được đặt ra, cần tìm trong lịch sử những yếu tố giúp hiểu tốt hơn, sâu hơn

Giữa nhiều câu hỏi liên quan đến hoạt động dạy-học vectơ mà một số yếu tố cho phép trả lời có thể được tìm thấy qua nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi chọn câu hỏi về những khó khăn học sinh phải đương đầu để chiếm lĩnh đối tượng toán học này Như thế, khi phân tích khoa học luận lịch sử của lý thuyết vecto, chúng tôi sẽ có gắng vạch ra những tư tưởng, những lý do dẫn tới sự sáng lập, sự phát triển của lý thuyết này, những trở ngại mà các nhà toán học đương thời đã gặp phải và những bước nhảy trong quan niệm cho phép họ vượt qua trở ngại đó

Ở đây thuật ngữ vectơ không được dùng theo nghĩa phần tử của không gian tuyến tính tổng quát được định nghĩa qua một hệ tiên đẻ Chúng tôi quan tâm đến khái niệm vectơ hình

Những nội dung trình bày trong phần này chủ yếu được rút ra từ Lê Thị Hoài Châu,

1997

I Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ

Tiền thân của lý thuyết vectơ được tìm thấy ở xu hướng xây dựng các hệ thống tính toán trong nội tại hình học và ở quá trình mở rộng tập hợp số trong đó những nghiên cứu tìm cách biểu diễn các đại lượng ảo (mà ngày nay được gọi là số phức) đóng vai trò quan trọng

L1 Những hệ thống tính toán hình học đầu tiên

1.1.1 Hình học vi tri cua Leibniz

Người đầu tiên có ý định xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học là Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Vào năm 1637, René Descartes (1596 -1650) cho ra doi tac pham Discours de la Méthode trong do 6ng trình bày một phương pháp mới để nghiên cứu hình học Tác phẩm

này đã đặt nên móng cho hình học giải tích và tạo ra một cuộc cách mạng trong hình học

Pierre de Fermat (1601 - 1655), hoàn toàn độc lập với Descartes, cũng phát triển một phương pháp

Rựang tự Với phương áp gi ch của Descartes va Fert ng hy hình học van nh hạ tình quân hệ hỗ và da độ mã chuyên Bai toan hi he thin oàt đụ Phương pháp này nhanh chóng ép tậ thuật của ại số đễ nghiên cứu hình học và đem li n các đổi tượng nhà toán học

cho lồi gà tán thái quá hệ nhưng điệu đồ khôn có nghĩ phương pháp giả tích không bị chỉ trích, Lý do chủ yêu năm ở cỗ hồ đã to một ôm mà che mắt đ tực gíc hinh bọc Bc dnt cho quá trình tim tồi lời giải bài toán Leibniz là một trong những người chỉ trích phương Tháp gi IẤh manh nhấ, Ông nuôn tị một phon, pip Kh vin hoop tn mg dc tu của đi mà hi vi báo ấn được bản bài oán, Ông lập luận

ng muộn th th phì tích biểu diễn tong Kn sian cus ede độ tượng phần bee Với ÿ đồ đô ông di sing to ra Hinh hoe v tit (Geometie des stations) Hinh hoe fh niệm tương đẳng ba hp dit dave got twong ding nên cing mot Khoang je thể chồng khít lên nhau, v.v Với eich, hai ba diem hực bạ lương LeBniz nghiên cia mot sb quỹ th Ống cha rằng quỹ (ch những Hà rome dn một điểm cho trước là một không gian « vô hạn theo mọi hướng », hình cầu là quỹ tích ông điềm X co cho AX tương đng với AB cho tue, tip hyp các điềm X so củo AX tơ đẳng vi BX sẽ xc HH một mặt phẳng vự Ông căng gi quyễ tếm mậ sói án the ceo bin khic, alumng ebi dt Rõ tàng hình học vị uf hông dip ứng được những mong muôn của Leibniz Lý do hong dara thêm kết qua nào thấ bự có th tm thy hit chủ vn su

Với khái nif tong ding, Leibniz chi giữ ð sập điềm đặc ng độ đi, Ông không xem rằng vb do ng Kg in ch i bi png ong hin gần Ấy vậy mí Say nội ìg ch nh đổ độ dì không đu rong nh họ da sử Kông này rong lời mở đu của

Auant Egdmal Vobiu 11790 86) không tực sự r9 dụng một hộ bồn ve

nhì toán lọc khí gông với lý tuy velơngủy nay rên niều phương điện, Mô nh đó Sg cng bm 837 tong ác him Ti in tâm ý ự (ancenrxle Cdeu) khí

Một trong những tư tưởng cơ bản và mới mẻ của Mobius liên quan đến việc định hướng cá ìh ụng khôn gim Điệm cất ph củ ng gm m đường có cùng mộ phương To gan điện à hạ đôi dụ cổ nha l AB

đun hông củng uyễn Rb Og an rộng nhy ắc dâu và su tắc cột tạo thành bối nhi hơn bại Ảnh Chang hats Ong i

được định hướng tho thứ của ba điểm tạo rên nó, họ nồi ss điện (ch này là một

ai hg cl ug hu bh a shi oi bu this di, op hệ ABC CBA Theo cing cich do, Ong dinh nga th ch ương đội của một

or im 1843, Mobius khái quất hóa phép cộng, trừ các đoạn thing (định hướng) cộng tuyển vào không gian Sau đồ, nămlš62, ông đưa vào khái niệm th hình học (muhiplicaton somata) cs dog hing ng ng yn Teh ny wing 9h eee chúng la ngày io aang thôn địg nhà (h th h ¡h hàn đinh hương vàn ‘tha một đoạn thẳng định hưới ông đề cập đến (ch uit projec Ba doạn thủng nh bướng ch chiếu wang ch 8 hướng

đa cúng tangy ny (hiên cứu của Mobius đánh dấu một mốc quan trọng trong lịch sử phát sinh lý

vu Tước i ý thưt Tâm c đã ca Ảựn cc nến bán tt c để tượng học, và những đối tượng này được xem xết khôt phương điện số mà còn cả về phương ngày nay, thể nhưng vào thời đó thì nó đã không đễ dàng xuất hiện Ta đã thây điều ấy qua din nh hướng rang không dua TỰ (tưởng này dườ ng nhự Hi ơ đẳng với chíng tạ thất bi a Leibniz hain, wi Mobius, yi in du én nhp hin a dan thẳng đhh hướng

ập đến Rõ ng Tà so ái nh hi phép nhân các doan thing kbs hit

hm Vii pp con, inh tin en ci od mg bh hye ecg, TRE

wo pp tosh na ban eh ty thy Ta ty vn php min quan trons nn thé no trọng qua tình xây đựng ý huyệt các veto sau “Thế nhưng, cỏ lẽ do tính phức tạp của việc xây đựng một nhện tính toán trên các đối tượng hình h vẵn để bị ý huyết của nình it

nhân của nó đáng đề che aun tm Cog a, By 8

tich hinh hoe AB.CD vị CD của bái đoạn thẳng đánh boỳng đừng hủ

CD The Unga cs Mobi st teh ABCD bing dig seh hn bình hành được tạo bửi AB, CD, còn về mặt hình học th n mộ nh nh hành ó th ø

nào trong không gian, miễn là song song với ¡mật phẳng (AB, CD), với các avy a woe aa dấu

tay DE act mi len bei hi uch iy, Mens ba au fbn doe thôn (nh hướng)

thy, s6 bang dir ht ca ting & vé ra mt 6, ehé nhung, vi Mobius khéng hé

định nghĩa tích của hai hình bình hành định hướng nên việc giải thích số hạng thứ hai không

dupe ring, YErvbn ae in mp my, rasan đới

gh wg ncn he [1 eh 1 ie hut gen kế hợp trong mot tuo cad 8 png” (Grose 184,146) 1 do nay on số hề co php giải theh và kiểm khuyết Chấp nữ ong ý tiết

nh ton im ye es Mobi ching ann hả iệm « ng cin ine» cs ee em trong trong trường hợp tổng các hệ số bằng Ó tham khảo Lê Thị Hoài châu, 1591, tr 83) dầu mang bỉ một tưởng mới, có th được xem nhữ là thuộc trìo mm

Xây dựng những hệ thông ính toán trong nội tạ hình học, lý (buyết Tính toán tâm tỷ cự vã

6 vài gm map me the hin mot kind khăn tồn a kh lu ong lh s ý huyết ve khổ

khăn trong việc kết hợp đặc trưng định hướng và đặc trưng vô hướng trong cùng một đối

tượng hình hộ 13 Tah on wong ig

Năm l§33, nhà toán học người Ý m— sông bố Tính toán các tương đẳng (Calcul des équipolences) Theo định nghĩa của ông, hai đường ”' được gọi là tương đẳng nêu chúng

“hà nh ngơ le nh p Bellavtis viet

các din he eb hong tn gig thu ích vie tea vecto lvitis định nghĩa phép cộng của bai hay nhiều đường bằng Sinh sử dụng qhan hệ tương đụng nối ác đường ảo ho cách điềm cốc của mỗi đường uừng với dim ngon của đường trước đó, tổng là đường tương đảng với đường nối điểm gốc của dường đã Và điểm ngọn của đường cuối cùng, Ông cũng nói rằng tông không thay đổi khi ta thay một ing mt tig Heong và nói rõ là ong một phương trình (tuyển tính) chứa các đường ta có thể thực hiện vinh, gS gi hcl fing {Se php toan như với các phương tình dại số: Định lý cợ bản ct Tinh oan ee tong dns

Be "Trong tính toán các tương đẳng, các số hạng có thể được chuyển vị, biến đổi, cộng,

tr nein sắc phương tri Tm ie he hs à những tương đẳng nhận được luôn luôn chính xác (theo nghi cả những pip oặnd được sử dụng tốc phép to luôn sóc định và duy nhấo” (ồelattic T833 tr 217) Belsviis còn đựn vào khái in độ nghềng hclisken) của một đường đồ là ắc

đi Hương nắm ng iy he hưng tứ ti ang thải La là ø đây Belhaiie ch hạn chế xết tong mặt phẳng, Dựa vào khế niệm này, ông định nghĩa ph nhân bai đờng: ch của hai đường một đường cỏ độ nghiêng bằng tổng ha độ nghễng và chiễu đài bằng tích hai chiều đi

Người ta thừa nhận là lý thuyết của Bellavits chứa đựng nhiều yếu tổ của cấu trúc đụ Ngày nay 4 Ảnh nh cvs hth hae ng vẫn sử dụng quan hệ 1iơn thể, phép cộng, phép nhân với một số trong lý thuyết của ông hoàn toàn đồng nhất Vốtcác php toắn volg tương ng ngày my Ngoài, Bola tú đã thành ông ong vệ xây đơn một cẵ túc ss số trên cá đội tượng lình bọc nà không cần bắt cũ một sự giả thích nào mang bản cất đố, Vic các ôn sử dụng ó ản cht in học hn hy dem cho ông ‘oh của ông một

in bin Thậm chí, so với Mobiug, sự quan tâm xử tợng hình học

ect hận

nhự với ác cản tượng ti Hồ, Beliviisìm cách mở rộng hệ thông tính toán chôn về tán gia nhung Lại cho công tình củu ông một tâm cỡ mới thông nhấn sông, Khó Khân ma Gi gp hài là va để định nghị phép rong ng gin ng ong ping th ong va hướng của rn to tần ai duc come dave sác nh tời đồ nhiên BS k bai đoạn hiểu theo định nghĩa của Bellvhis là không xe định trọng trường hợp ia nó Nhưng đến đồ Niông còn đứng rữn rong khong Lich sử chỉrarẳng việc khi quát hóa vào không gian ba chiễu các bệ hông ính toán

TS đực vi dưng ty thắng hổ hỗn đụ Đi mộ vnđ sóc hẹp mất ứng tà hytong ie gg mt Ch oi với vn để biệu didn ce 3 Vấn đồ tô đến Ni lọc 36 ph

Việc ở rộng các tí toán đại, trang đô trước hỗ là số Âm, ồi đến số phúc đồng

nộ tt ung Nan qiúÊH I6, nó lộn ch sáu Tel ih hi Thú niệm veto 5 pi ân và si bậc của các sồ Âm với tư ch là trung wane oe hoi 0g

phương tình bậc bạ), Cho đến tận thẻ ky Sain be hee bn Thon nộ hong những ổthậ ng nhượng iệ tho ca on lạc Nauta goi diy

3 ag di eso, yl rane ch it tod sy ng ean tầm đến sn pm a a ry, Bo iu n

ng iệu diễn cho đối tượng nà cảnDực thun bạc Mô

vân để n vỡ gp đồ ca ôh họ

Tình h bọc vỗ hức di đượt mạn tho ban oan ôn hự seg Woe cng dng tone: Caspr Wesel io 179, Aden Quentin Buce vio 1805, Jean Robert Argand v0 1806, Mou vio 1828 Cée mo Hình ea ho Kn nên ở đây i ttn tien và Argand Đệm suất

hố của người thứ nhất ình học côn của người tứ ai là đại Tuy nhiền, trước khi nghiên cứu ch iết các công trình này, cẫn phải nồi rằng ý tưởng aun vw ly, không thẻ, áo) thuộc về dh nh in a cn Ba viêm (mà ie 85 được sọ là phi khoảng năm 1673, Nhưng mô hình của ôn: không

Um tounge sy si teh tsa địng ha hép nhễm Lộ da t in ôn về được cập độ

ở phẫn cuỗi của hân ti Kho học hận ịc s hình Bành ý tuyết te:

Mãi đến cuối thế kỷ 19 người ta mới biết đến công trình nghiên cứu công bỗ năm

179 gi Cosa Wesel (1745-118), ng dye xem h hâm phí dầu tê về Mộ bêy cđiễn hình học các số

Wessel cách giải thích sự tổn tại của các số phúc, mà, theo cách

nói của ông là tìm các điễn các phương bằng giải tích Ông nhận thấy rằng với kỹ thuật

đại số cỗ diễn thì một hướng chỉ có thẻ được biến đồi thành hướng đổi của nó, đến nỗi mà khi

ác phục thiểu sót này, Wessel tìm cách mỡ rộng c (với lưu ý về ính vô hạn của các phương), sao cho khổ: các quy ắc tính toán quen thuộc, "Từ tồi cổ Hy lạp người ta có thối quen chỉ lẬy độ đầi lâm den các phương Damie, 090, 27) - nhất là trong những phép toản đại số, thì thực sự là một đối mới" -L ont thing ih on nh vx iy định nghĩa phép cộng hai done Tong dha es dg 8 tng bat nai quan nigm (ngim én) ve

đại diện của vectơ đã mở rộng định xắn nảy cho một số hữu hữu hạn đường tùy ý (không

cin dng ohn) Ong go rng Sau đồ ông đa vào phép ohn bái Semen hing D

neta coa Belo eh hat dong done png handed ng png chế tếh các ch da v.40 nghẽng Gòn, được gọi là phương Bác aection angle) bine tổng các độ nghiêng của hai đường so quy tức của Wessel, một đường đơn vị được cổ định và ký hiệu là +I Một ding is dom vj dies on vif dom v1 veh ra rằng vớ phép toán đa nh nghị he th T= ngewe in me 3 dey gala +8 Ons ky

sau đồ Weseeltìm cách mổ rồng bệ thing tính ton của nình ra không gian ba chiều Như ta ủy, phép cộng các đường và phép nhân với một số đã được định nghĩa cho mại

hệ BI 9 11 Ôn chỉ ng mại đụờn cụ khôn gan lu số hệ Mu dẫn hàn một

tỗ hợp tuyễn tính của 1 ba đơn vị này Tương tự như trong mặt phắng, ông đặt Š =-l,

Bồi ông đnh ngĩa hé hân bai đường thờ vào háo quy xung hạnh of te,

“Theo hướng này ôi quay quanh trụ ụ tới gố quay u và phệp quay quanh tục 1 ð với góc quay v- Nhưng ông xél (cos u + ð sin 0) và (C05 V + ổ in v) - tương ứng với các phép

ng

5 cing hự 6 BaIniús ữ « đường » cũng được Wexel sử dụng với ngà « đoạn thing „nhựa nối ngày

"nghiên cứu phép quay quanh trục +1 Trong thự tế oán học thì trước đô đã tổn ti một khó khăn thực sự trong việc biểu diễn những phép quay như vậy, đặc biệt là phải định nghĩa các tích và gõ, Hẳn là Wesselđã vấp phải khó khăn này và không thể vượt qua

122, Mo inh cia im 1806 Jean Robert Argand (1768- 1822) công bổ Tiểu luận đại lượng ảo trong các pháp dựng hình học (Esaai sur une manière de représenter les diễn nk ne ca Pháp cộng tà hp lượng giác, hình học sơ hả ác pi, hing mi smu ah ye

một cách biểu diễn

2 Quan hướng hợ châu tà chín tuộc ào, mối quan hệ được xem là như nhau bay đổi nhau” (Areand, 1806, tr 5)

- ính từ nhận xét nề Hạ nà tà tướng vẻ diễu mắt hện ở Argmd và đi 46 dẫn đến chỗ đưa vào một 9 biểu diễn các số thực trên một trục định hướng (axe view), Argand nổi và tnh hợp thức của số Im như sa đại lượng âm, à áo khi cách đánh số được áp dụng cho một đại lượng nào đó, sẽ hải tực Kí a phối họp heo một cách rào độ tường về gi vị uy đồ với tr tướng (Argam TẠMG, ư 6)

xi có hướng đối nhau, đồ là đại lượng x thỏa mãn tệ thốc: +l: x x: =1 (ngMia là `

Hiển nhiên ta có x Ông mỡ rộng lập luận đã,

số âm VÏđại lượng x Không thể dương,

chia x Voit tưởng này ông biễu diễn c fe trên một trụ€, sau đồ Xế trục vuông góc với rực thứ hất tại iễm gốc của nó, Trên trục lai, ai ại lượng đơn vịteo thứ tr được biểu diễn bởi + V—Ï và - V=T Như thể là nguyên ân đơ vào loin mgd eng (ene ie lý biêu diễn hình học đã được đt ra Rồi

‘oie tg i ane abso) dưng mà gta cho th xem sch ds không een kế các dường định hướng với nhu ông chi ng nhỉng đườn Son 900 qu tng dng" Argan 106, tr TỦ

‘ei trục thực được iết là #a, những đường vuông góc với nó được viết là b v/=T và cu

cùng thì mọi đường của mặt phẳng được biểu diỄn bởi + ä by =T Sau đó ông thiết lập sự hướng

duy it ma i chang dã KA Si một đi lượng ng KA và đụ ly Đạo ng nội trông Khả nấm can ha bề hôn vi dì nức c dẫu còn ng e phép on Arranl đã đưa ra (một cáchh vim in rmbt kt qua rt

—¬ nà ia chit it quan rong fe tag cho tt phẳng với tr

khi sie "Frog ý vịtiívà đùng hình hge 83) ine BS nit i Bl ong Ging da thôn ngyện th ho cúc đại lượng ảo Một cuộc nh luận hoa ocd) ra ida Afgan, Banas a Servi san Ai bs Bo due cng bộ Thông aqua cuge tranh lun khoa hoe dé, Arrgand hon thign nahién ctu ca minh va m cách mờ Tông nó ra không sian wi akong ipa ome Hh rong mặt phẳng Chấn lô 8 hôn hân Cà chị tê bấm

phông Lên ô bổng địn một kế qu thôn chín xác xem Ari et Dele tay cúc nh hận, cũng nh Aga, Faas va Seno Un ich

nh toá Hh học vo khong len Chic ý Mừng của So due eh quant do, acs reo 4, các ốc da đường nấy t0 a wb re ông góc Nhưng ông không thành công ong Việc xic định bản (không phải là số thực) Nhu ching abt vn ny duge Hamiton gat uy so 0 one atone tn

ác hệ nà th toán trong nội tại ình học và cách gi thích mù còn cả về phương

nie da con

Tiếp côn ác động cũng nhự hếp nhân một sỗ vĩ mặt đàng ge inh gh he đường tang Không gian, Chứng rùng rới ác áp ấn Yelg tương ông mà chứng ta xế ngày nay, Hơn thế, ch et ce gi duct engin rng mà nh của mình cho kg gian bà chiều lính chất của các phép toán veto ni nhưng vá bại Hạ đều gập hi một vẫn để eB qt i hi p nhân ¡ quyết vất “Sd thấy, Hamllon đã sử dụng khổ niệm các đường qgulemionvà ph Toi bo nh ch gio sna

13 Lý thui VỀ các quaternion của Hamilion

ch th mg tncmim (a hone x qian) cs Sila Rowan Hamilton (1805-1865) dug trong ti 9 quan điển ia Hato, di othe dupe xem net sh h Khoa học của thời tợp thức

gi fay ở li tong Hội nh Sai dốc để rẻ vế Sho et ht th haw hú củ những tee du Temps pur) Với nghĩa này, ông giải thí âm theo ki sv

vá uên các cập mà ông gợi là ndim và phép công và phép hận với mộ

6 ông tìm ách nh ngha phép nhân ha cập, » Trọng quá hhh xây dụng một ih Tan thôa đẳng cho phép nhân hai cặp ôn Hồ bú những th ch vn thuộc" của các phép toán đại số, Theo hướng này Tà với tụ tưông mở rộng hợp đc bịt đã {hye inh nahi, dng di dn ket duộnrắn ch aa hl ep eh có thể một dụn duy nhấ là

ép nhân đôi với phép côn:

li php chia: Voi toi DG ba N,N’ luda uôn tổn ti một và chỉ một

~ Cac b9 ba phaithoa min quy tic modu, ngha fi: néu a? + b + c là bình phưng của modal cia 66 ba (a,b, , thì bình phương của modal của tích hai bộ ba phải bằng tích

có đen bị ho ác bộ bạ này một cách gi thích hình hức của mặt phân;

Tiên trình này hoàn toàn mới mè và Hani được xem như một rong những người đầu tiên khơi thông ý tưởng về các cấu trúc ếp cộng và hp nhân với một vô hưởng được Xây dụng khôn khó Kh vn dễ còn lại lề định nghĩa tích hai bộ ba Hamilton đã thử tìm nhiều con đường O: thưởng xuyên thay đổi cách thức tiếp cận, xem xét vẫn đề khi thì dưới góc độ Peer phép nhân các số phúc mà ông đã cỏ một bớc tiền quyết định Ông chỉ rõ rằng phép nhât

6) Là những dan từ hỉ tôi gia, nghĩa của chúng là lác chốc lối

hs hsp a un eh le tl i la mB ag ng hyn nny ng an ch, ôn Nên avo ge ca et do ching go th Thông đủ mà phải xé mt ping tone ge ny dove ách khác là xét p aay cho phếp chê từ phương này vào phương ki “Thể nhung, đê xác định nội p cay th ed pai ae die một si ns ot hia ing wm pug wong bai chiều), và như vậy là 18 xác định chiễu đãi và ba để hoàn toàn

‘edn doe hung "hân tích này đã dẫn Hamilton đến với tư tưởng là một hệ thông tính toán hình học trong không gia bu cia pad cde bộ bốn ch hôn phố hộ bự Sự tượng tự với

phép quay đưa ông đến chỗ loại bỏ tính chất giao hoán của phép nhân Cuối cùng, ông đã đi

đến phát mình ra các quaremion 3 mang nth gi th inh bọt cho matenion, Hamlen hân nó đành bại phần một phản thực (patie él) vi mi hin do (pai imaging), mi ng cna 8 (partie pin veto (pati 'Yedorelk) Phân Ved được bibs

học, mặc đầu người ta đã sử đụng từ những năm tước các iu thúc bản ính veto (Grove, 1967.32) Tuy nhién, Vt quan trọn củi Hàm rong lh sử họh tănh lý thuyết xeetơ không phải NHiễu nghiện cửu v các câu tú đại số tên R và Conte en tin mi ng theo ở độ, mi ở chỗ khẩm phổ m các quatersion Hà điểm xuất phát cho nan lạ nộtáh tần hàn oần mới mệ về hân dt ca đụ số CHNh vậy mà nga

học, không phải là velø theo nghữa tổng Không dị âu vào ph IEh đồng sp của Han đổi vớ ịh dự há Đàn nhà trấn ý số tuyên thuyết về các không gian vedơ, Với nghiên cứu khoa học un SE Hy emg din Hato dn ee gue de Theich ip ein an ở rên chúng tôi chi cd gắng

nh nahi rh Lf thipét cia Grassmann ni gố

ing tw Hamton sue, Mermann Grsiann (1809-1877) eng cổ một vai qua rong og Hh ha inf ht ec, BS ah gi inc cn ninco Ceasar cpg 6 nn 24 hn rg da bg vite pi eh Huong is pom pn Th, Bn a ch pong phi nc ob dang in be

yt eh em mg ht heute pe quan dn Urge to he

'hép tương tự với hình bọc là nguồn sốc của sự kHái quất hĩa và à phương điện thục

tế của lý thuyết” do Grassamnn xây dựng Tư tưởng đầu tiên dẫn ơng đến lý thuyết này được

sii thi

cá điện thuộc cùng một đường hẳn tì AB = BC = AC hn Inn ding Ki AB, BC được hin theo một ceh sing nhu và An BC đốinhau, heo là dược đặt gia A về rong tường hợp san AB và BC khơng chỉ được nhịn đơ giản là các độ đài mà cịn là

dài ng CC đạm hơng duc đ bụng mit hae dn To ay mem my ng khơng chích trường hợp các dog hang ie iu ay nha chủ mọi tưng hợp Điệu đồ cĩ dhạc lim theo mol céh dm an nic du gu ức At BC = AC, ad À.8,C ăn cũng uộc mật dưỡng táng (Grassmann, |

nee, FL Doser vs «Quy te my hà già tiên Gà 6 a

n thức đã được biết đến tờ thời cĩ đại Thể nhơng, giữa phương tiện bigu đồ để biểu diễn hợp của ba lẹc với cách giải tích đại sb cho php cg ha veto một

Ht di » UL Dorrie, 1996, i 36)

ủy ơng di đến định nghĩa một kha niệm tương ứng với khá niềm đoạn thing inh hang hay eto be) woe i ục Ngời tan Hy tong đnh na ch ơng khi niệm

ng lai đoạn thẳng cũng phương rồi tổn các oạn thẳn bắt

kỳ, Cách xác định tổng (đặt nồi đầu nhau sao cho điểm cuối của đoạn thứ nhất trùng với điểm đầu của đoạn thứ hai, tơng là đoạn ada idm ei cs Soạn th bú đ dị ảg d cách tiện in bng i [oh + đầu là điểm đầu của đoạn thứ nhất, điểm Ioy] Chính cách vụ phương điện ình thức hĩa khi xây dựng lý thuyết của nình Ơng chí ra rừng mỗi én Ket ny tein mot php cn (của nhớm gian

y, Ơng giải vỗ âm, rồi định nghĩa đích Đàn học” (prodidr gưemeuil ch li ‘tn ng Áp đường Khơng đã vào d tu la ch cân “ ting 'Gassmann đã đưa ra hầu hềt các khát niệm chủ yêu của tỉnh tộn vectơ hiện đại, và didi gan tạng nhất ở Hộ là bệ từng chủ ng dược tn By de dụng cĩ tháp ng ch khơng gian n chí

Những hệ thơng đầu tiên mang các đặc trưng của tỉnh tốn veclơ được tìm thây trong: bai hướng, một hướng gắn lên với Việc nghên cứu số phúc và đẫn đến khám phá ra các cquatermion của Hamilton, cồn hưởng kit nhằm mục địch thực hiện phép tốn trực tiếp trên

Tác phậm của Grsenann mang lên Áusácbnungtilre địch sang ng Pháp à Lø thêm de FExtension (Dire nd ng

(8) Cồn được ơng gợi làpodicưếieur

lối tượng hinh hoc mi Grassmann 13 ngudi đầu tiên thành công trong không gian ba

cn, thấm ching ng gin ws td én ho sác lý thuyết của Hamiton và Grasmann đã không được tiếp nhận một cách dễ dang wong nắn đẳng các nhà khoa học thời đó Đối với Hamilon, lý do nằm ứ bản chất phức hợp, « không đồng chit » của các quaternio'”, còn đối với Grassmann thì đó là tink Thức tp của những trung tệ ục chức đựng nong l Huyết của ông

Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của

hải vượt qua Kiệu thứ nhắc gắn lên với vẫn để gi tích khá iệm phương và chiêu tong kép đụ xố -hình học của tính von vec ILE Xan uh in a Ch Kh ptr i [Mo hin hinh he Ké thừa thời Hy lạp cổ đi của Euclhde chỉ cho phép các số can thấp phone điện độ đo và do đó củỉcỡ các số dương được vĩ in Chẳng hạ đoạn 3 di nh ngưng với đế ch hạt ắể ương Ứng the

th Chữ te cích há tương Un ty sm an yi he chức

Phương pháp gi tích của Deseartes và Fermmt đã lt đổ sự cân bằng này, thiết lập nên những mỗi liên hệ mới giữa đại số với hình học, Thể nhưng ở đây các phép toán vẫn luôn luôn chỉ được thực hiện trên các s chuyển vào một hệ thống tính toán trong nội tạ hình học đòi hỏi phi gin cho

các đại ương hình học một đặc trưng Ni với đặc trưng số Clính ở bước chuyển này mà

các nhà tuân học gặp phả trở ngại đầ tiên Lịch sử đã chỉ raring 6 bud ban dite tường chiều và phương ã Không dễ dùng uất iện rong những nghiÊn cứ nhằm xây dựng một mô Tình tính toán tong nộ tại Hình hộc, Sự vắng mặt của tư trởng này là một trong những nguyên nhân chủ yếu làm cho Leibniz thit bai

oO ‘diy +a nhận thấy sự xuất hiện của số âm có vai trò quan trọng Chính trong mỗi

-guan hệ biện chứng với số âm mà chiêu (hướng), đặc trưng định hướng đâu tiên của ác đại lượng hình học xuất hiện Ta đã thấy rõ điễu đỡ không chỉ qua những nghiên cửu về tính hợp thức của số phức mà còn qua cả các hệ thông tính toán được xây dựng rong hin hoc Mab ong Tn tin ng 8 27, đồ nhìn thấy bú chiều đối nha trên một phương, nhưng không quân lý về phư ác phươ

Kc than tong mặt phẳng: Phổ ổ năm a Ong mi vu sus ue i Joan my Chen

(9) VỀ đi này, nhà vật ý học Maxeel, một ưlg số t người cảng thời với Hamilơh cổ lưu ¥ st dg ec cây hy không! »

tử phân biệt ai chiều đối nhau tên một phương đến sự phân biệt các phương khác nhau thực

sự là mại bước ngoặt quan trọn

Wallis (1616-1703) mot ong những người đu tên đa, Hong phim mang ten Dai sé (Algebra) xuit bin nim 1685, một cách giải thích c ving thei teh hos dng nh, nhân "thông lp ela dng Khổ uất hóa và mại lại lượng ão Nhưng ông đã

Ấn eo Huậ ng hiện đụ Hi ta (he nol rng vr Wats vie mo ồn từ vo

gia cho số âm mộ trước hết vì nỗ cho hấp nh đến cân trúc ộng của Z Thể nhưng ở

ó Môhinh dư và nh ôn còn thch hơn nữ cản độ này di hơn một a

xo với vấn đề phương, mật khác thì hai vấn đề này lại không thể tách rời nhau T: the thy ỡ điệu đồ ong ích dẫn đ nêu rên của Ormsomann, kh ông gói tích ring enh với mụch đích tính toán, mủ các phép toán thì lại đôi hỏi các phương được định hướng Nhung dé inh hudng ede veeto, vn: thể hài lồ

đã làm bằng cách xác định độ vạn

12 Tnh phúc op ong mud Li edge ge gn vớt học của tính toán vec đồ sửa lý thuyết vedø, Bằng trực tiếp các vị trĩ như đại số mt ny eho phép gi các bài toán hình học với công cụ của Với trực giác hình học Nói ích lúc, ý thuyết mạnh tực gác của ình bạc 96 chứa đựng những pầp toán đại số mà người có th áp ve là trột sự hợp nhất sóc mạnh nh toán của đạ số với se dụng cận cá đổitơng tình

in kh quá hóa ghế mình của bọ vo khôn can bạ đhẻu song đây tế lại độ di ¡mép cquan hệ qua lại giữa các quan điểm đại số và hành học Chủng ta đã thấy Hamilton lip luin

phương đến nh thúc ỉa sầu túc d X của mình Cách nhìn nhận cơ bân ay cho ep ng dy dan

“eugene pain vi nh học [_.J Mặt khá làm các nhà toán học đương thời chán nàn như hệ hào (đài nghiên cứu Lý tuyết của Ông “ho mu được là tự tưởng này cua ân căng xem xết hình học và mỗi quan hệ của nổ với đại sô dưới c độ này » PT, Domrier, 1990, tr 56)

‘Nhu vay, eng à rong lịch sử phát sen et ho a nh con đường biện chứng nỗi liên hai cực, đại s vì nh oe Th pte tp ts an ht ais hh ny hg Ki hn i ve nh on Boe củ hi th he amg by tong vie ily chị ác Wing toda vst

in phi ni rine “mà chúng tôi nói đến ở đây không chỉ thu hẹp vào cấu trúc đại số của các không, mm veto hay nach Whe vo ti ht cynthia được dịnh ngha bằng những tiên đ Xe phin minh inh tan ta ede vets hinh hạc được e6 vai trò cơ bản như thể nào trong lịch sở phát sinh các vet hình học,

THỊ Lợi ích sự phạm của phân tích khoa học luậ

“Từ phân th khoa học luận lch sử hình thành và phát triển các hệ thing tính tos Xedt, ta đã có thể đưa rả một số giả tho lên quan đến thùng khó Kn nà hoe xinh gặp hải to ie ip ang i cs thang ki Kt hà mồ tràn cứu này

hi i han ong phan vs Kho khẩn Tiên quan đến toán học Kh khẩn trong việ sử dụng công eu" xe để giả toán ẽ khô cap vớ ch nà được dể cập đến

{40 Mã thg Nữn ai đng ta dang ch đỗ tư nộ nẻdưc xen là m đổ trưnenghện cứ nể lọc nh nạ me cónhôn ta pct mth alo wong ml tơ ca chí Ong hm cc tí thức ấn bếp kho bọ được 3h từa nhậm vá niệm số cự ch "công cụ" khi hồ được sĩ dụng mộ ích ngắm ân hay tưởng mình như à hương tện

để gi qayệt mộ vắn để một bà tám

Ên eo ở cơ chế đội tượng, phân tích khoa học uận dẫn ta đến với giả thuyết về ba mức độ khó khăn trong bọc tập của học sinh Những giả thuyết này đã được

‘ching qu nahin uh nh L1 Mức độ thữ nhất: khô khăn trong việ thoát ra khối cách nh

ti me og nh Bọc eh đến đặc rung định hướng của vectơ ith hõ ôn hy cho hẹp gi tịch mặt i sa lân ds Miễn củ họ sinh chine lầm ng đ được chi qua mộ số ngiền cáp được tực Một cm xé sự hy na gia các eo, những thỏ lem has sha, vú với những đội tượng Khác nhau ‘Ching han,

thống trị của môi

95 trên tổng số 172 (55%) học sinh cuối lớp l0 ở Pháp, cho rằng Â'= 3 5 và Âm

gấp 4lấn P hay à đà hơn B 4 tin, hay ama Ga đặn di độ an can có ch eign ổn mắc tạm cả ti

ge tre inl lơ, học sinh vẫn quay ở lạ với quan

ày nêu họ đc đt ong một nh huồn không quen thuộc Ching ban ki 1

có ý thú

‘ich vide | > § ding hay sai? Vi sao”

p73 toe Sin việt nam ch

7 hoặc nh nà

equation here

"mẽ ẻ st ones tang định hướng khi được yêu cầu xét sự ding sai

Khi đã thoát ra khỏi ảnh hưởng của mô hình mếic thì học sinh lại có khó khăn trong ¡nh hướng của vectơ Trong một hùng mực nảo đồ có th cho rằng

tig fe thuật ngữ phương điều, hướng nên học sinh có th sù dụng khôn đúng nhữn từ này kh nồi về đặc trưng nh hướng của vet “Tuy nhiên, không thể giả thích rằng khó khân này 3 hi da ln ng 4 ưng Điệu đô thé ign Fit 19 kh học sinh ding oe từ duy nhất " để nói về hai đặc trưng

one in Pha a ee vest th “cine chống căn cs cùng không công phưo “eing cng cy nhưng không công nà th dc

đu của kn dùng iệm tương đối, người ta chỉ nội đn sự cùng chit hay không cùng chiêu đi với các vectơ hộ v19 học nh khôn hc ng Khim nec mt Ki sông Phương Việc phân eh sai lầm của bọc sinh được đặt dưới nh sắng của nghiên cấu khoa học

tnd hin mri trước hết cần phải nhìn thấy rên mỗi đường thẳng ai chiu đối nhau, sau đồ lến nhiều phương khắc nhau được

nhất nhưng kết hợp cô chiều và phương rong cùng một mô ìnhthựcs là một kh khẩn Trong những sa tn Liên quan đến bai mức độ khó khăn này, la gặp ở học sinh những kiẫu lồi au rá đíng quan tâm,

- Cách vid > time ve dea a lớn hơn 0

- Cách viết > © sai mội ve có thể đương hay ôm

“Câu lồi thú nhất chứng tổ họ sinh đang ở tròng mô hình metric, chỉ lưu ý đến độ digi ets, Con ăn học sinh có câu trả ah «hid ra Khoi mo hin mitre ahung lại đang ột phương định hướng, Tà có th nêu lên gia định rằng ở đầy học sinh đã đồng nhất một velø vỗi độ di đại ỗ của nó HML3 Mức độ thứ ba: khó khăn trong việc hiu bản chất ép đại sổ ~ hình học của tính ton veeta =k th ni nr Ms di ch thực nghiệm, chúng tôi nn thy hi

ong thé 0 ong ech fang Ong khôn vase hinges veto ms “rong mọi trường hợp đều phải ó một sự dịch chuyển"

Pan es i a lì ph tết l uy es do iệp tia dave ân

xy de oe php toát đi: NG cừu hiết ch in gi của ông led đi nhu và hiệu hại ved nga, Nt et yuan diém hi trọt thôn do đi h có nh khi nhươg dn đụ can tiện Một lí nghĩ đến vectơ "0, Đổi với học Tình r rng đoạt ẳng có Mộ đài Bằng Không (nên Ti nên veto de gid thiệu qua xedo) tông có ý nghĩa gì vệ mật hình bọ, và do đồ ve 10 không phải là

mg dội tuợng quên Huộ “Chắc chân là bọc sinh không đặt ra vẫn đề về sự tần tại của vectơ '0 khi thực hiện các tính toán vectø, vì họ làm việc trên các biểu thức veetơ như với các biêu thức số Thể nhưng,

1 guy i fw ác tực HỆ nh họ th he lại sập khó khăn ong việ hình dung vet Woke, ð một cụ khác với cách tiễn đầm à đe tắn có hai đầu mắt ang aa, bo

lạ cho rằng có bạ nhiệt điềm ly nhiều chit dad ean soe vú thái cực đều cùng bị

l tình học của vectơ cần thể hiện ở việc học sinh không phân bột các pháp toán vect với các pháp oán số

Ching hn, 66 thé hy dda my ana ning ki ati sas

lã-bI=ls+bl 2(a+b)

ÄR-kMN Rõ rằng là khi thực biện các pháp biến đôi rên hoe sin Ich in chit hin hoe ia = Bak MA

eetơra khôi các phế toánđại sổ Việc kết hợp vào rong cùng một đối tượng cá ai phương cdiện đại số và hình Đọc khôn phải đơn im Tà đã thấy rõ điều đó trong phân tích khoa ie ch pt ncn th on wets túc độ khó khi rên gn ồn với ản chất phức tạp của đối ượng ved Vắc lện các khỏ Kin do tnt dai dng © hoe sin, Kang et trong toán học mà cả tròng vật lý, với học sinh trung học phổ thông cũng như sinh viên đi họ, cào HN còn đợi nghĩa khái niệm ved như th rảo đi chăng nữa (ham khảo Lê Thị 1997), và nghiên cứu lịch sử đã được tiễn bình cho phép ta Kết luận rìng những

I tn nye nun Bo Soon he