Thuyết tương Đối rộng và việc giảng dạy cho sinh viên khoa lý như một chuyên Đề

Ta nỗ ắt là đường và mặt “Cũng giống như trong không gia Euciide 3 chiễu, đường có một bộc tự do và phụ thuộc vào mội tham số cho bởi phương trình Phương trình này có tên là phương trìn

THUYET TUONG DOI RONG

VA VIEC GIANG DAY CHO SINH VIÊN KHOA LY NHU MOT CHUYEN DE

DE TAL KHOA HQC CAP TRUONG

2000 - 2001

TAC GIA,

LÊ NAM

TÔ VẬT LÝ ~ LÝ THUYẾT 'KHOA VẬT LÝ - DHSP

“Tập hợp các điểm trên sẽ cho ta đường cong và mặt cong Ta nỗ ắt là đường và mặt

“Cũng giống như trong không gia Euciide 3 chiễu, đường có một bộc tự do và phụ thuộc vào mội tham số cho bởi phương trình

Phương trình này có tên là phương trình liên kết

$2: MA TRAN CHUYEN TOA DO

“Trong đa tạp n chiều ta có hệ tọa độ cũ x'*” x” và hệ tọa độ mới

để đơn giản ta viết

đ Ÿ* mới phụ thuộc tuyển tính Nếu các độc lập tyễn tính với nhau tì Tacobi sẽ khác không

Trang 1

d= Max Hay &

“Chuyển sang không gian n ci ta 66

§3: TENXO PHAN BIEN VA TENXO HIỆP BIÉ

1 Khẩi niệm hiệp biển và phản biển

Xét vectoX trong mặt phẳng với ai veơ cơ sứ e,„ cọ như hình về

x cách mô tả veclơ X'

"Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau, ta có hai

ca Chiếu vuông góc veetơ xiên hai trục ta được x:,

b Chiểu veclơ X song song theo từng trực ta được Xi;

% xe

“Tôm lại nếu biết xị, x; và xÌ, xŸ ta đều xác định được veeto X

Xs, x: thành phẫn hiệp biển của vectơ X

thành phần phản biỄn của vectơ X

‘Vecto phan bién hay tenxơ phản biển hạng 1 là tập hợp nhữ:

trong bệ tọa độ (XÌx), x')=(x”) tại điểm P mà tuân theo quy luật

Trang 3

GV: Lê Nam

Trong đó ma trận | Ta] được ấy ai tị điềm P (go im tase ei sau thay gi tị

"ương ứng ti P)

Vi dy: cho đường cong x°= x'u) trong không thôi gian bốn chiều (a= 0,123) x

Vecta Sa vecto tiếp tuyến của đường cong X? = TỦ có bổn thành phẩm a? ax at ae aie dạ, to thành tenxơ phân biễn hang mot

Từ đây ta ng quất hóa

“Tenxơ phản biển hạng 2 là tập hợp các đại lượng x” trong hệ tọa độ x* mà chúng tuân theo quy lật kiến đổi san

la

‘Cac đại lượng X"" là thành phân của teaxơ hạng 2 trong tọa độ X”' 'Ví dụ : ta có 2 tenxơ phản biển Ya và Za tắt cả các số hạng có dạng Ya Zb sẽ lập thành tenxơ hang 2

Yz

So xánh (4) với 3) ta thây Y*Z? đúng là tenxơ hạng 2

Hoàn toàn tương tự ta định ngha teneơ hiệp biển hạng 1 (vectơ hiệp biển là một tập hợp ác đại lượng kỹ hiệu X, trong hệ ọa độ Xf mà khi chuyển tọa độ tuân theo quy luật

Làn

Céc 2 lập thành ma trận được xic định tại điểm P lip i ình

“Tương tự cho (envơ hng co hơn:

Trang 4

Ta cũng định nghĩa tenvơ hỗn hợp hạng 3 pa

xt

đôi kh ta ý hiu tensơ hạng p phân biến và hạn q hiệp P

4

‘Tenxo hạng không là một vô hướng, và ta hay ky higu bing char

3 Tại sao tenkơ lại được các nhà vật lý chú ý? Giả sử ta có 2 tenxơ Xa; và Y,; trong hệ tọa độ nào đó (hệ quy chiếu) thoa man tinh

“ong đồi xin vi hai so we ae aur wt os

© Ch ý: với tensa hang ba trong không gian n chiều sẽ gồm nxnxn thành phần tắt cả

Khi đồ đa tạp có tên không gian Euclid nchiéw

Ví dụ: xết tọa độ Deseartes trong không gian 3 chiểu

Trang 6

ng gian Euelide 3 By nh tơ) chuyện ng ga 9 md

`Vây đa tạp với hệ tọa độ mới Cae gn ils tome mcg se

if gọi là tenxơ mêtfc phản biễn

§6: DAO HAM LIE

1 Cho dai rong v6 husing R@ rng v6 hung © khong thay di ki chayén he to Nếu ị mỗi đm của hông gian iemam ing v6 mg tin tuc mộ trường vô hướng bay trường terxơ bạng không Tang tame get Si nỗi im on ng nào đồ thuộc hông gen Riemann thì kết quả ta cổ trường tenxơ hạng tương ứm

2, Co tường ve bắt kỹ X va Y, giao hoánữ Lí của 2 veotøtrên tác dụng lên ầm bất

kỳ sẽ được định nghĩa như sau

IX.YJf= (XY - YX)jf=X(Y0 - Y0 (1) Lie giao hoán tử thôa mãn:

“Từ bạ biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie là oán tử tuyến tính và toán tử này giống phép

vi phân “Trong hệ trục toa độ xa ta định nghĩa vectơ X:

(4)

xe x

Bây giờ ta xót thành phần thứ a của giao hoán tứ Lie

[X,Y]'f= (XY~YX)Pf = (X9Ø,Y" ~ Y®6,X?)E

Z =Œô/Y*~Y*ô,X°)f SIX YI =Z! =(X*9,¥" YX")

1 Khái niệm địch chuyỂn song song: “Trong không gian phẳng dịch chuyển song song một vectơ có nghĩa là di chuyển nó

so eho lie mio vecto cng son xong vài chính nủ, Nó cách Múc, dính chuyên sao cho độ lớn và hướng của nó không thay đôi Trong khôn gin cone Riemann địch chuyên song song một veetơ dọc theo C nghĩ đẹh chyền nó tan đa gt to giữa nó và đường cũg C hôn hôn đi, Lá này các y đối thành phẫn của vec sẻ thay đổi cho dồ độ lớn của nộ không

Trang 8

2 Doo tam ig in một trường veetơ phan bign bit ky A" Tai diém P ứng với tọa độ x" vectơ có giá

{ai chen py (96 nga ao làm ip ba)

‘Ta e6 thể xây dựng phép đạo hàm phản biến (xem Landau trang 310)

X?V,Y*~Y*V,X! = X)ô,Y* ~Y*,X* + 7TOCPY*~X*Y®)

"Ta chỉ xét các hệsố iên thông: 7", = Ƒ⁄ nên hai số hạng cuỗi cùng có cùng cấu trúc

as)

Do vậy chú iệ tiêu nhau Cuối cũng ta được:

X?V,Y*~Y*V,X" = Xô,Y*~Y6,X® q6 Trong biểu thức của đạo hàm He ta có thể thay đạo hàm thường bằng đạo him biệp biển Với điều kiện là _ / 2 ôi xúng với hai chỉ số dui

ay,

Trang 10

š 8: ĐẠO HẦM TUYỆT ĐÔI

1 Ở ii tạdã có

= dÁ* BA"

cho du với u : hông ỗ của họ đường cong

2A raps) (AA ras

Biể thức (2) gọi là đạo hàm tuyệt đối của AY và ký hiệu

DAY _dx° (2A* pa ge) 9 gAv=X9V,Á * a a la du

Do GAY BA" OR en tac cách du & d viet thir?

“Tương tự đạo hàm tuyệt đối tenvơ hiệp biển hạng một

§9: KY HIRU CHISTOFFEL VA TENXO METRIC

1 Xedin- Torsion: “Xét một đường võ hướng @

Mặc dù: 8,0,® = 8,0,Đuưng trong trường hợp tổng quất chưa chắc V,Vy®=V,V/© Khidó: — (W.Vk- VaV,) O=? a Néu ta dit: Vub= a=,

V,Vy-ð,Vụ- [Vy = 8,40 -Th,3,0 2)

Wo Ve= AVa- PAVe= 2,,0- 153, 3) Lay 243)

(W,V, - VyV,)®Đ= (6,8, =ô,ô,}Đ+ (T8 - Z§,) V.® (9,V, - Wy§)® = (7Ñ - 5) Ve TẠ- T§

tenxơ xoắn Te 4)

Nếu không gian cong của ta không xoắn tì - TẾ

= TS“ TẢ, krhiệ Chrisofil đội súng với hai chỉ s dưới

2 Ta có định lý su: ‘Bh li tenxơ mêtrie đối xứng Nếu không gian của ta Không Ÿ,g, =0

Ching minh» Vee

ta lly (5)-(6)-(7) và chú ý tới ính đổi xứng của TZ

2Ä 8a, +Ô,8u„ — ÔyB„ —Ô/8,, =

§10: BUONG TRAC DIA

mục này ta tim phương trình cho đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác dạng ôi thiệu cong cơ học có hệ # duy độn từ P đến Q sau cho biển phân của hàm, tác dụng hing lần one hình học: đường cong nỗi ai điễm P và Q sẽ ngắn nhất khi biển phân của

hay Sy reat Yar he

phương trình (5) trùng với phương trình (8)

t=0 (5)

bài 8,

Thông số u trong trường hợp này gọi là thông số Affine, thường ky higu bằng chữ s hoặc

dự de

Nếu ndg Log, SE Ể s2, 2à Sedu du ham lagrange

Thì phương trinh lagrange- Euler vẫn có dạng:

Đối với vật m chu

(phương trình đường trie da)

dể sto null (7) du

nén him < =O dank cho tia sing (hat photon) dự"

ep đài bằng đơn vị dụ lyễn động với vận tốc < e ta cũng áp đụng phương trình lagrange - Euler Trang 14

e

“Ta chú ý rằng nói chung tạo him hiệp biển không giao hoán

~ Đạo hàm riêng gee 38

Đạo hàm higp bién: V,V, # VV, d90 him higp bién vecta phan bién X* VX" =O.X' +X" diy iterxo @) (1)

‘Tae dung tgp V, Hen (1) vi chu (2) là temxơ Tỷ

VV" =O,(8.X +E) TPO +E X)-POK + PX) Tương tự tính

V,V,X' =ô,(0,X" + T1XỀ)+7+(6,X* +T‡XỀ)— T2.(6,X"+ LX) GB) Liy G)- ) và chú ý 2,0," =2,2,X"

XU không gian của ta Không xoắn nghĩa là: 7% =

“Thì R*,„ gọi là tenxo Riemann - Christoffel Ta n6i tt là temxơ Riemann V.V,.X'-V,V.X"=RvaX" 5)

§ 12: HETOA DO TRAC DIA

“Tại điểm P bắt kỷ ta luôn chọn được hệ tọa độ mà trong đó

P)=0

ton my 0660 toa độ ắc đ Đổi vớ ác nhà wt ý i đồ B hệqu chiếu quán

tai mọi điểm trong toàn không gian thì không gian gọi là phẳng

Tee dik lý di tiệu cần và di để hôn gia pìng H kne Kienanm

= Bee Rica = Boe bac

“Trong phẫn bài tập ta chứng mình được R

@ Ruse = Risse (4)

Te Rye = Rea uy fon x9 Ris ing cong vô hướng, hay vô hương Ricei

‘Tents ibn de dh nga sso

§ 14: PHUONG TRINH DO LECH TRAC DIA

“Xét họ đường trắc địa theo thông số 2 và được đánh số n

Công trừ về tá với V,VuU*

'VyVuu" + VụVyu° =VụVyu° =0

của ta (ha Vectơ và

TP đạo hầm tyệ ing, (xem phn bi ập) nên ta

axt_ 0 ot_ at ` wy

um Ye on Od én azn Ox" _ 8 ax" _ ax"

Vyut = Vy Bn Oe ee vl TY 2n Tân ôÄ Onda °

Tenvơ tuyệt đồi hay tenxơ thường Tentơ tương đối

Tương tự cho tenxơ bạng cao hơn Với tenxơ tương đối trong công thức biển đổi luôn

có thêm thức số J” ta n6iT — _ temxơ mặt độ với trọng lượng w(Tensor density of weight

Ta chấp nhận mà không chứng mình qui tắc đạo hàm hiệ biến tenxơ mật độ

8)" mat 46 vô hướng với trọng lượng +1 (7)

"Với lemxơ bắt kỳ Thy khi nổ nhân với -§)!” sẽ tạo nên tenxơ mật độ với trọng lượng +Ì

Trang 18

Do V/C*®=ô/Œ' nn V[Cg)/2T*]= ô[Cg)2T"] (8i

‘AP phn phy đại số cia ay

Nghĩalà a= aA" (0) kha tién theo hing i

Trang 19

“Ta áp đụng công thúc đạo hàm hiệp biển của mật độ vỗ hướng với ưọng lượng +2

Ÿ,g=ô,g~2g1> (15) Ápdụng (14) vào (19) V,g=2gT2 ~2gT; =0

“Thí nghiệm thang máy Einstein

Thang máy đứng yên tại mặt đất, phí hành gia thả quả táo, quả táo sẽ rơi tự do xuống với gia tốc g

“Thang máy chạy thật êm tại khoảng không vũ trụ với gia tốc ổ = ẩ Phi hành gia thả

qui áo, quả ự sản giống như trường hợp đớng yên tại mặt đắt Nếu động cơ thang máy chạy thật êm tì sẽ có lúc phủ hành gia không phân biệt được lúc nào thang máy đứng yên tại mặt đất, lúc nào thang máy chuyển động với gia tốc đ = ÿ trong khoảng không vai

“Chuyển động tự do rong hệ quy chiếu không quán tính giống như chuyển động của

‘at rong hg quy chigu quán tính có trường ngoài là trường hip dẫn Nếu thang máy quay, ta luôn có thể thay thể bằng trường bắp đẫn tương đương có bản chất đã tính đến lự ly tim va lye Coriolis

Chú§:

Không thể áp dụng nguyên lý này cho toàn không gian vì tại võ cùng trường

— 0 tròng khi trường hip dẫn tương đương có thể tiễn tối vô cùng lớn (chuyển động quay chẳng hạn)

"Nguyên lý này áp dụng cho vùng không gian hẹp,

3 Nguyên lý hiệp biển tổng qu

Moi phường trình vật lý đều được diễn tả bởi phương trình hiệp biến (đưới dạng Tenxơ) Nghĩa là nó có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu Điều này không có nghĩa mọi

hệ quy chiến là tương đương nhau trong toàn không gian Kết quả đo được sẽ Khác nhau

“hưng dang của phương trnh thì không đổi

Trang 1

Einstein ý luận rằng mọi người quan sắt guân íth hy không quân tính - đầu có khả năng

Ìt vậ lý Nếu điều đồ không đúng tôi rõ rằng chúng ta đã không th tìm rà

quấntính

tìmra các định h

định ật vậ lý nào ỗt vì quả đất của ta là hệ quy chiếu khôi

THệ tạa động trong phép tenxơ = Hệ quy chiếu bắt kỳ trong vậtlý

4 Nguyên lý tương ứng « The correspondence principle :

General relativity» Newton theory of gravitation

Special relativity Newton mechanies in the absence of gravitation

5, Hệ quả từ nguyên lý tương duong :

ma m: khối lượng quán tính

°; Chí ý: rong hệ tọa độ tắc địa đạo bàm của hệ ổ liên thông vẽ khác không mặc dà

bn thân hệ sô liên thông bằng không

Bây giờ ta thực hiện phếp thay đối sau

2 =-me ere +3

Từ ý trỡngtrên tụ sẽ xây dụng hàm tác dụng cho trường hắp dẫn

1 Do phân bổ vật chất quy định tín chất hình học của không tht gan mi tinh chit

qb = vô hướng hời gian lại được đặc trơng bởi các tenxơ melrie #,p nên ta phải

Hình học của không

tính đến sự có mật của các gụ

2 Tenxo Riemann của ta có chứa đạo hàm riêng 2 lẫn của metic nÊn ta hy vọng phương trình trường hắp dẫn sẽ có mặt tenxơ Rạ, (phương trình 2 Newlon có đạo hàm 2 lẫn gut

iy git ta Xết biểu thức sau,

Bat > Bao + BB hay Bg + Ôg

Do 8! =2"8,, nén

{8° #58" (Bc + 68 u.) = 8 +B” Bae +B” EB ue + OCS")

Bie HB OR

Trang 4

$4 PHUGNG TRINH EINSTEIN TONG QUAT

6 phin trước ta tìm được phương bình Binsin cho chân không, Muốn tìm phương tỉnh amar lgrange Zi,

Biy giv him tic dung c6 dane T= f (%, +kZy)AQ a

“T: tenxơ hạng ai nào đồ nói lên nh hướng của vật chất trong vùng đang XÉ

“Sau này ta sẽ chứng mình được Tab li lenxo ning - động lượng (The chersy “momentum tensor "ương tự như ở phần nước

Cúc phương trình Einstein edt khó giải vì nó là phương trình không tuyển tính => Ta Không tháp dụng nguyên lý chẳng chit, v8 mat vit ý có, nghĩa là từ một vẫn để vật lý phức tạp ta không thể phân tích thành các thành phần đơn giản hơn để nghiên cứu,

Trang 7

3 Phương trình vi phân không tuyển tính sẽ cho ta rất nhiễu nghiệm rong đó có nhiều nghiệm không có ý nghĩa vật lý vì vậy các nghiệm cằn phải được thực nghiệm kiểm chứng

Trang 8

CHƯƠNG HỊ

NGHIEM SCHWARZSCHILD

“Sau khí công bỗ thuyết tương đối rộng Einatcin nghĩ rằng chắc phải khá lâu mới có

ra nghiệm bởi phương trình

“Ta hoàn toàn có thể biển đổi từ X” => Ấ* => Ta o6 thé lua chon 4 trong 810 gu» de lip

> cin 6 phin ti de Hip

To các g luôn đưa được về dạng chéo nên cuỗi cùng tachỉ cần sắc định 4 phẳn từ đan 8l, gục go Bắt đầu từ tọa độ cầu rong không gian 3 chiều

Cho @= const, ta địch chuyển P từ ÿ = ộ + dội

aso sung chin g6e d= OQ =asin Bde

'Vậy khoảng cách võ cùng nhỏ giữa hai điểm bắt kỳ trên mặt cầu:

AS? = dS} +-dS3 = a* (a0? + sin*0dg*) Trang 9

trong không tôi gian 4 chiều hoàn toàn tương tự a có dạng đơn giản nhất của d” khỉ as? =

các Metrie không phụ thuộc thời gian và có tính đối xứng cầu

=e" dt? —e*dr? —rˆ(đ6” + sin? 6đặ”

"Nghiệm đổi xứng cầu của phương trình Einslein cho chân không (14) có tên yêu tổ độ

«ai Schwarzschild n6i tieng hay nghiệm Sehwarzschild nỗi ng

So sinh rit ra: m=

2 QUY DAO KY LA CUA SAO THUY MERCURY :

‘Ta e6 thể xem mặt trời là khổ dy, Do kh ượng tlớn nên mặt trời tạo quanh mình

ạ hấp đẫn mạnh có tnh đối xứng cẳu, Lúc này nghiệm thích hợp hất cho vùng không thời gian quanh ặt trời là nghiệm Schuarzschil

"Như đi biết:

k2(1-2muy" -(1-2muyth?{ 2) -n?u? =1 (1-2mu)y" -(1-2muy" ao ‘u’

kẻ -h?| CC | -h*u? +2mhều? =1-2mu do

uy tu, Mee ul eu, h m | 40%) <0

“Áp dụng phương pháp nhiễu loạn ta có

0+u,= wa +ecos®)ˆ = pa + 2ecos +e?cos*)

Do cos*® ia +cos2®)

: ti+u, Blues 2B no + BE costo

Tom nghiện dưới dạng: tu =A + BOsin® + C c0s20

Sau ki tah toán được

A=li+S;B= TS; C= wa w on

“Tóm lại nghiệm tổng quát (14) với độ chính xác bộc một có dạng

9=, th Lre®in9+e (} jom0)] ay Hay

ua Tr (I + ecos + co sind) = (1+ ecos[(1-e)]} Tháp dụng

cos(® =6) = cos ®,cosed +sing.sined = cos +6@.sin® Cui cing ta da giải xong bài toán Kepler trong thuyết tương đổi rộng và kết quả

“Sau khi chuyển sang hệ SĨ ta được

Trang 16

3 SỰ UỐN CONG CUA TIA SÁNG :

“Theo thuyết tương đối hẹp, ảnh sáng ong chân không sẽ truyễn theo đường thing,

“Theo thuyết tương đối rộng ánh sáng sẽ truyền theo đường tre da mull (null -geodesi) Ta

Sẽ xế ta sáng đi trong trường bắp dẫn gây bởi mặt ti

“Ta xây dựng hầm lagranse cho ánh sáng với gab —schwarascild

“Tìm nghiệm dưới dạng — U=U,+3m0,

“Thay vào ta được:

vu) tu, £3m(u +ú, )= 3mu) + I8mÊu,u, + 27mŸ\

“Ta có thé chon nghiệm

uy sua +Ecos® +cos*) 30'

Trang 18

“Cuối cùng nghiệm tổng quát gằn đúng bậc 1 của (3)

We wii, ta chon D= ban uth wat bars th He th tay a Sak wy ok swat day

Trang 19