.´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONSDirecteurs de la collection : G. Allaire et J. Garnier68.´ docx

[...]... tendent a montrer le caract`re n´cessaire des e ` e e concepts th´oriques Les compl´ments sur les syst`mes lagrangiens concernent e e e un domaine de recherche en cours au Commissariat ` l’Energie Atomique sur a ´ la discr´tisation num´rique des mod`les de la m´canique des milieux continus e e e e et de la physique des plasmas, dans le cadre des ´tudes de base pour la fusion e contrˆl´e Le syst`me de. .. Le syst`me (2.20) de la dynamique des gaz se r´crit en e e e ρ coordonn´es de Lagrange sous la forme e ⎧ ⎨ ∂t τ − ∂m u = 0, ∂t u + ∂m p = 0, ⎩ ∂t e + ∂m (pu) = 0 (2.21) On int`gre directement la premi`re ´quation de (2.20) donc (ρJ)(t, X) = e e e ρ(0, X) est ind´pendant de t Cela permet de sortir ρJ de la d´rivation e e temporelle et fournit les deux derni`res ´quations de (2.21) De mˆme pour e e e... pr´servent la structure de lois de conservation Nous appliquons cette e m´thode ` la d´rivation des ´quations en coordonn´es de Lagrange Enfin nous e a e e e d´finissons ce qu’est un syst`me stable lin´airement bien pos´, un syst`me e e e e e hyperbolique (cas de la dynamique des gaz en coordonn´es d’Euler) et un e syst`me faiblement hyperbolique (cas de la dynamique des gaz en coordonn´es e e de Lagrange... (2.6) ´ 2.1 Equation de bilan 11 2.1.3 Dynamique des gaz compressibles La d´rivation du syst`me de la dynamique des gaz compressibles n´cessite e e e une hypoth`se dont nous donnerons une justification indirecte a la fin de ce e ` chapitre Nous admettons que la pression d’un gaz est une fonction de la masse volumique ρ du gaz et de la temp´rature T de ce mˆme gaz e e p = p(ρ, T ) La temp´rature ´tant... gradient de e e e e e ϕ est orient´ vers l’ext´rieur de Ω la normale sortante est e e 7 8 9 10 La formule de Stokes est x∈Ω ∇.f dx = x∈∂Ω f ndσ Un affaiblissement important des hypoth`ses de r´gularit´ pour cette transformae e e tion aura lieu ` la section 4.6.2 a Relation de nature purement g´om´trique comme la preuve le met en ´vidence e e e Le coefficient en position (i, j) de la matrice des cofacteurs... faveur de la n´cessit´ e e e de l’identit´ de Piola consiste ` remarquer que l’´quation (2.18) fait apparaˆ e a e ıtre des inconnues suppl´mentaires (cof (∇X x)) qui n´cessitent donc des ´quations e e e suppl´mentaires (l’identit´ de Piola) e e On peut r´sumer l’´galit´ (2.18) ainsi : la structure de loi de consere e e vation est invariante par changement de coordonn´es d’espace e 2.3 Coordonn´es de Lagrange... syst`mes lagrangiens ayant e e e une entropie ont une structure particuli`re que nous ´tudierons en d´tail e e e L’´criture en coordonn´es de Lagrange a de nombreuses et fructueuses e e cons´quences pour la construction et l’analyse de m´thodes num´rie e e ques adapt´es ` la discr´tisation des ´quations de la physique math´matique e a e e e Le contrˆle de la stabilit´ de ces m´thodes num´riques reposera de. .. +pu ) = 0 Cela termine e e la preuve 2.3 Coordonn´es de Lagrange e Nous avons vu qu’il est int´ressant et fondamental de pouvoir d´river les e e mod`les (St Venant, gaz compressibles, ) dans un r´f´rentiel qui se d´place e ee e avec le fluide C’est la m´thode classique de d´rivation des ´quations de ce e e e d type, laquelle utilise les op´rateurs de d´rivation mat´rielle dt = ∂t + u∂x et e e e d´rivation... explosions de supernovae, la d´tonation e en g´n´ral Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires Au plan e e num´rique on peut noter que le d´veloppement de m´thodes adapt´es au calcul e e e e de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles Cela contribue a fonder une nouvelle discipline, la M´canique des Fluides Num´rique ` e e Un des objectifs de ce texte est de pr´senter... puB) = 0, et des relations de compatibilit´ (identit´ de Piola temps-espace) e e ⎧ ⎨ ∂t J − ∂X (uM − vL) − ∂Y (vA − uB) = 0, ∂X M − ∂Y B = 0, ⎩ −∂X L + ∂Y A = 0 (2.25) Les deux derni`res ´quations de compatibilit´ sont triviales, la premi`re ne e e e e l’est pas En dimension deux on ne peut pas d´finir de variable de masse comme e cela a ´t´ fait en dimension un d’espace Si cela ´tait possible cela reviendrait . physique des plasmas, dans le cadre des ´etudes de base pour la fusion contrˆol´ee. Le syst`eme de la magn´etodydrodynamique id´eale et le syst`eme de la dynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange. FR marie-christine.costa@ensta.fr G. ALLAIRE et J. GARNIER . Les manuscrits devront etre remis al’Editeurcopie aG .ALLAIRE OU J. GARNIER gregoire .allaire@ polytechnique.edu 123 Bruno Després Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes. et fructueuses cons´equences pour la construction et l’analyse de m´ethodes num´eri- ques adapt´ees `aladiscr´etisation des ´equationsdelaphysiquemath´ematique. Le contrˆole de la stabilit´edecesm´ethodes