BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN BỘI

Trên thực tế, chúng ta đã thực hiện điều này ở một mức độ nhất định khi chúng ta chuyển đổi tích phân kép thành tọa độ cực và khi chúng ta chuyển đổi tích phân ba thành tọa độ trụ hoặc t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN BỘI LỚP: L29 - NHÓM: 8, HK232 GVHD: ĐÀO HUY CƯỜNG SINH VIÊN THỰC HIỆN

1

100

3

100

4

100

4 PHAN NGUYỄN ĐĂNG KHOA 231163

1

100

3

100

Thang đánh giá điểm % hoàn thành BTL

Hoàn thành tốt, có vấn đề gì nhóm

trưởng nhắc nhở thì sửa đàng hoàng,

nhanh chóng, nhiệt tình

100%

Trễ deadline nhóm đề ra mà không báo

nhóm trưởng gì hết (có báo không trừ

điểm)

trừ 5%

Không chịu chỉnh kiểu tài liệu tham khảo

cho đàng hoàng, nhờ nhóm trưởng làm

trừ 5%

Đạo văn hơn 50% mà không sửa lại trừ 20%

Làm sai, chưa hoàn thành tốt nhóm

trưởng kêu sửa, chỉ chi tiết luôn mà sửa

sơ sài, không hoàn thành đúng yêu cầu

trừ 30%

Làm sai, chưa hoàn thành tốt nhóm

trưởng kêu sửa thì bơ luôn

trừ 50%

Nhóm trưởng phân việc mà không làm trừ 100%, báo cô, bạn rời nhóm

Khi ban quyết định kỷ luật nhóm trưởng sẽ báo cho thành viên trên nhóm 1 cách công khai, và nếu bạn thấy quyết định của nhóm trưởng chưa hợp lý thì có thể chất

vấn

TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2023 BÁO CÁO KẾT QUẢ LÀM VIỆC NHÓM

1 LƯƠNG ANH KHOA 2011421 Nhóm trưởng, bài 1 và 7 Hoàn thành tốt

2 TÔ THỊ MINH KHIẾT 2311573 Lý thuyết Hoàn thành tốt

3 NGUYỄN ĐĂNG KHOA 2311614 Làm BT trong 15.9 và viết

vào báo cáo: 10, 11

Hoàn thành tốt

4 PHAN NGUYỄN ĐĂNG

KHOA

2311631 Làm BT trong 15.9 và viết

vào báo cáo: 13, 16

Hoàn thành tốt

5 TRẦN MINH KHÔI 2311703 Làm BT trong 15.9 và viết

vào báo cáo: 17, 21

Hoàn thành tốt

6 ĐINH HOÀNG KHƯƠNG 2211706 Làm BT trong 15.9 và viết

vào báo cáo: 23, 24

Hoàn thành tốt

NHÓM TRƯỞNG (ghi rõ họ tên, ký tên)

MỤC LỤC

1 Lý thuyết: Đổi biến số trong tích phân bội

1.1 Công thức đổi biến tổng quát:

1.2 Đổi biến trong hệ toạ độ cực:

2 Ứng dụng: BT phần 15.9

Bài 1

Bài 7

Bài 10:

Bài 13:

Bài 16:

Bài 17

Bài 21

Bài 23

Bài 24

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lý thuyết: Đổi biến số trong tích phân bội

1.1 Công thức đổi biến tổng quát:

Đổi biến để tính tích phân là nội dung quan trọng hỗ trợ chúng ta tính được tích phân dễ dàng hơn cách thông thường Về bản chất, đây là lấy tích phân theo x's

và đổi nó thành u's Ta có thể làm tương tự với tích phân kép và tích phân ba Trên thực tế, chúng ta đã thực hiện điều này ở một mức độ nhất định khi chúng

ta chuyển đổi tích phân kép thành tọa độ cực và khi chúng ta chuyển đổi tích phân ba thành tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu Sự khác biệt chính là ta không thực

sự đi sâu vào chi tiết về nguồn gốc của các công thức Khi đó, ta sẽ chứng minh các công thức cho dA và dV Mặc dù lý do thay đổi biến thường là để có được tích phân mà chúng ta có thể thực hiện với các biến mới, nhưng một lý do khác

để thay đổi biến là để chuyển đổi vùng thành vùng đẹp hơn để làm việc Khi chuyển đổi tọa độ cực, hình trụ hoặc hình cầu, ta không cần lo lắng về sự thay đổi này vì ta có thể dễ dàng xác định các giới hạn mới dựa trên vùng đã cho Tuy nhiên, điều đó không phải lúc nào cũng đúng Vì vậy, trước khi chuyển sang đổi biến với tích phân bội, trước tiên chúng ta cần xem vùng có thể thay đổi như thế nào khi đổi biến Đầu tiên, chúng ta cần một chút thuật ngữ/ký hiệu Chúng ta gọi các phương trình xác định sự thay đổi của các biến là một phép biến đổi Ngoài ra, thông thường chúng ta sẽ bắt đầu với một vùng, R, theo tọa độ x y và chuyển đổi nó thành một vùng theo tọa độ uv

Công thức đổi biến tổng quát

Ta cần tìm:

∬ D f ( x , y )dxdy

Thực hiện phép đổi biến: {x=x (u , v) y= y (u , v) (*)

Giả sử

1 Các hàm x(u,v); y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng D’ nằm trong mặt phẳng Ouv

2 Các công thức (*) xác định 1 song ánh từ D’ lên D

3

J= D(x , y)

D(u , v)=|x ' u

y ' u

x ' v

y ' v|≠ 0, ∀ (u , v )∈ D'

Khi đó ta có công thức đổi biến trong tích phân bội hai:

∬ D f ( x , y )dxd =∬ D f (x (u , v ), y (u , v ))|J|dudv

Ví dụ 1:

Tính:∬ D(x + y )¿

x + y=1 ; x+ y=3 ; x− y=0 ; x− y=1.

Giải:

Thực hiện phép đổi biến {u=x + y v=x− y ⇒{x =1

2(u+ v) y=

1

2(u−v). Xác định miền D’: D’={(u,v) ∈ℝ2

|1 ≤u ≤ 3 ;0≤ u ≤1}.

Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ D’ lên D

Ta có

J= D(x , y)

D(u , v)=|12

1 2

1 2

−1

2 |=−1

2 ≠ 0.

Vậy,

∬ D(x + y )(x− y )2dxdy =∬ D u v2

|J|dudv=1

2∫

1

3

udu∫

0

1

v2dv =2

3.

Phép biến đổi Jacobian:

Jacobian của x= g(u,v), y= h(u,v) là

∂(x , y )

∂(u , v )=|∂ x ∂ u

∂ y

∂ u

∂ x

∂ v

∂ y

∂ v| Giả sử ta muốn tính f(x,y) trên vùng R Thực hiện phép đổi biến x= g(u,v), y= h(u,v) trên vùng S, tích phân trở thành:

∬ D f ( x , y )dA=∬ D f (g (u , v ) , h (u , v ))|∂(x , y ) ∂(u , v )|dA

Nếu chỉ nhìn vào sự khác biệt trong công thức trên, ta có thể nói rằng:

dA=

|∂(x , y) ∂(u , v)|dA

Ví dụ 2: Chứng minh rằng khi đổi sang toạ độ cực, ta có dA = rdrdθ

Giải:

Thực hiện phép đổi biến x = rcosθy = rsinθ

Jacobian của phép biến đổi:

∂(x , y )

∂(u , v )=|∂ x ∂ u

∂ y

∂ u

∂ x

∂ v

∂ y

∂ v|=|cosθθ sθinθ

−rsθinθ rcosθθ |=r cos2θ−(−r sin2θ)=r(cos2φ+sin2θ)=r

Vậy ta có: dA=

|∂(x , y) ∂(u , v)|drdθ=|r|drdθ=rdrdθ

2

1.2 Đổi biến trong hệ toạ độ cực:

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định gọi là cực và trục Ox gọi là trục cực

Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực Vị trí của một điểm M trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi 2 số:

r= ⃗OM được gọi là bán kính vector hay bán kính cực

φ=(Ox, ⃗OM) được gọi là góc cực, là góc định hướng ( có chiều quay dương (khi quay trục Oz lên trùng với ⃗OM) là chiều ngược chiều kim đồng hồ)

Cặp số có thứ tự ,(𝑟,φ) được gọi là các toạ độ cực của điểm M ( r≥ 0; φ ∈| 0,2 π|)

Công thức tính

Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Decastares (x,y) và các tọa độ cực (r , φ¿ của cùng một điểm M, ta dựng hệ trục tọa độ Decascartes có gốc tại cực, trục hoành trùng trục cực

Theo định lý về phép chiếu vuông góc ta có {x=φ y=r sin sin φ (**)

Nếu r¿0 ; φ ∈[0,2 π ] thì (**) xác định một song ánh giữa các tọa độ Decascartes

và các tọa độ cực (riêng điểm O(0,0) có r=0, φ tùy ý)

Do đó ta có thể xem (**) như một phép đổi biến

Ta có J ¿D(x , y )

D(r , φ)=|coscosφ sin sin φ

−r sin sin φ

φ |=r ≠ 0 (trừ điểm O(0,0))

Do đó, ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:

∬ D f ( x , y )dxdy =∬ D f (rcosθφ , rsθinφ)rdφdr

Ví dụ 2:

Tính tích phân

∬ D(x2+y2)dxdy

Với D là hình tròn (O,2)

Giải:

∬ D(x2

+y2)dxdy=∬ D[(r cos cos x)2

+(r sin sin x )2]rdφdr=∫

0

2 π

dφ∫

0

2

r2rdr=8 π

2 Ứng dụng: BT phần 15.9

Bài 1

Tìm dạng Jacobian của phương trình sau: x=5 u−v , y=­u+3 v

Ta có:

Jacobian=|∂ x ∂ u

∂ y

∂ u

∂ x

∂ v

∂ y

∂ v| Với phương trình theo x: x=5 u−v

∂ x

∂ u=5 và

∂ x

∂ v=−1

Với phương trình theo y: y=­u+3 v

∂ y

∂u=1 và

∂ y

∂ v=3

Jacobian=|51

−1

3 |=5 (3 )−(1) (−1)=16

Bài 7

Tìm hình ảnh của S với phương trình như sau:

S={(u , v )∨0≤ u ≤3, 0 ≤ v ≤2 }; x=2u+3 v , y=u−v

Ta có: {x=2u+3 v , y=u−v →{−2 u=3 v−x , v=u− y→{u= x+3 y

5 , v=

x−2 y

5

Do 0 ≤ u≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2

� 0 ≤ x +3 y

5 ≤ 3 và 0 ≤

x−2 y

5 ≤ 2

� 0 ≤ x+3 y ≤15 và 0 ≤ x−2 y ≤10

x +3 y=0, x+ 3 y =15, x−2 y=0, x−2 y=10

� Vùng nằm trong những đường trên chính là S.

Figure 1 Hình ảnh được vẽ bởi geogebra

4

Bài 10:

Đề bài:Cho S là đĩa có phương trình cho bởiu2+v2≤ 1; x=au , y =bv tìm hình ảnh của tập S qua phép biến đổi đã cho

Giải

Ta có:

và

Thay vào phương trình đề bài ta được:

Do đó ảnh của S là miền bên trong hình elip(tính cả đường bao), kích thước của hình elip phụ thuộc vào a và b

Giả sử cho a=2 và b=1 ta được elip có độ dài trục lớn a=2 và trục bé b=1

Hình ảnh minh hoạ bằng GeoGebra

Bài 11:

Đề bài:Sử dụng phép đổi biến để tính với R là miền tam giác với các đỉnh (0,0), (2,1) và (1,2); x=2 u+ v , y=u+2 v

Giải

R là miền tam giác với các đỉnh (0,0), (2,1) và (1,2) nên R là miền được bao quanh bởi các đường thẳng có phương trình là:

Hình minh hoạ miền của R theo u,v Dựa vào hình ảnh ta thấy được Thực hiện tính toán:

6

Hình ảnh kiểm tra kết quả bằng matlab

Bài 13:

Sử dụng phép biến đổi để tính tích phân ∫

❑

❑

∫

R

❑

x2dxdy, R được giới hạn bởi đường

elip 9x2 + 4y2= 36; x = 2u, y = 2v

Giải Miền ban đầu được giới hạn bởi đường elip 9x2

+ 4y2

= 36, theo đề bài:

x = 2u và y = 3v

Pttt: 9(4 u)2

+ 4(9v¿ ¿2= 36

⇔u2

+ v2= 1

∫

❑

❑

∫

R

❑

x2dxdy = ∫

−1

1

∫

− ❑

√1−v2

√ ❑

❑24

u2dudv

Đặt u = r cosθ, v = r sinθ, ta có:

∫

0

2 π

∫

0

1

24¿ ¿ ¿ =

∫

0

2 π

∫

0

1

24 r3cos2θdrdθ

=

∫

0

2 π

6 cos2θdθ = 3∫

0

2 π

(1+cos 2θ)dθ

=3

[θ+ sin 2θ

2 ]0

2 π

= 3(2π) = 6π

Bài 16:

Sử dụng phép biến đổi để tính tích phân ∫

❑

❑

∫

R

❑

y2dA, R là vùng được giới hạn bởi

các đường cong xy = 1; xy = 2; xy2 = 1, xy2 = 2; u = xy; v = xy2 Minh họa R

Giải Đặt u = xy, v = xy2

, ta có:

u=

x y2

xy

= y

u = v

y

y = v

u

Ta có: 1 < xy❑

< 2; 1 < xy2 < 2 ⇔ 1 < u < 2; 1 < v < 2

∫

❑

❑

∫

R

❑

y2dA = ∫

1

2

∫

1

2

¿ ¿ ¿

=

∫

1

2

∫

1

2 1

u2vdudv

=

∫

1

2

1

2vdv

=

[12v

2

]1

2

= 3 4

8

Bài 17(a) Đánh giá ∫

E

dV trong đó E là khối nằm bên trong ellipsoid

x2

a2+y2

b2+z2

c2=1.Sử dụng phép biến đổi x=au ,y=bv , z=cw.

(b)Trái đất không phải là một hình cầu hoàn hảo; sự quay đã dẫn đến sự dẹt ở các cực Vì vậy, hình dạng có thể được xấp xỉ bằng một ellipsoid với a=b=6378

km và c=6356 km.Sử dụng phần (a) để ước lượng thể tích của trái đất

(a) Sử dụng phép biến đổi x=au ,y=bv ,z=cw

Ta có:x2

a2+

y2

b2+

z2

c2=1

=>

¿ ¿=>

u2+v2+w2=1 Phương trình của một hình cầu trong không gian (u, v, w)

Gọi vùng trong hình cầu là R

Ta có: ∫

E∫

❑

dV= ∫

R∫

❑

(Jacobian)dV=∫

R∫

❑

abc dV =abc∫

R∫

❑

dV

Mà∫

❑

❑

∫

R

❑

∫

❑

❑

dV là thể tích của hình cầu trong mặt phẳng (u,v,w) có bán kính 1

∫

❑

❑

∫

R

❑

∫

❑

❑

dV=4

3π¿

=>abc∫

❑

❑

∫

R

❑

∫

❑

❑

dV=4 πabc

3 Kết quả:∫

❑

❑

∫

E

❑

∫

❑

❑

dV=4 πabc

3 (b)Với a=b=6378 km và và c=6356 km

Ta có:

∫

❑

❑

∫

E

❑

∫

❑

❑

dV=4 πabc

3 =

4 π

3 ⋅(6378)⋅(6378)⋅(6356)≈ 1.08 ×1 012

k m3

Bài 21.∫

❑

❑

∫

R

❑

cos(y−x

y +x)dA,trong đó R là vùng hình thang có các đỉnh (1, 0), (2, 0),

(0, 2) và (0, 1)

Đặt u=x− y và v=x+ y

x= v −u

2 y= u+v

2

Vẽ R

10

Vẽ lại hình thang sau khi biến đổi

Theo Jacobian:

Dựa vào hình thang sau biến đổi,ta có:

∫

❑

❑

∫

R

❑

cos(y−x

y +x)dA=∫

1

2

∫

−v

v

cos(u

v)|−12 |dudv=1

2∫

1

2

2 vsθin(1)dv

¿3

2sin(1)

Bài 23

Giải tích phân bằng cách thực hiện phép đổi biến

∬❑Rⅇx+ y

A

ⅆA trong đó R được cho bởi bất đẳng thức x + y∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣≤1

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích miền R

Miền R được xác định bởi bất đẳng thức x + y∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣≤1 Đây là một hình vuông với

các đỉnh tại

(1, 0), (0, 1), (-1, 0) và (0, -1).

Bước 2: Chọn phép đổi biến:

ta sử dụng phép đổi biến sau:

u=x+ y v=x− y

Từ phép đổi biến, ta có:

x= u+v

2

y= u−v

2

Bước 3: Tính toán Jacobian:

∂(x , y )

∂(u , v )

=

|12−

1 2

1 2

1

2|=1 2 Bước 4: Biểu diễn miền R và hàm dưới dấu tích phân theo u, v:

12

Thay vào bất đẳng thức x + y∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣ ∣x∣+∣y∣≤1, Miền tích phân mới là một hình vuông trong

hệ tọa độ (u, v) với các đỉnh tại (1, 1), (-1, 1), (-1, -1) và (1, -1)

Hàm dưới dấu tích phân trở thành:

ⅇx+ y=ⅇu

Bước 5: Tính tích phân:

∬❑Rⅇx+ y

A

ⅆA trở thành ∬❑R1ⅇu|J|ⅆA ⅆAu v trong đó R1 là miền tích phân mới

Ta có:

∬❑R1ⅇu

|J|ⅆA ⅆAu v=∫

−1

1

∫

−1

1

ⅇu

|12|ⅆA ⅆAu v

=1

2∫

−1

1

ⅇu

∨¿−11 ⅆAv¿

=1

2∫

−1

1

e−1

ⅇⅆAv

=1

2[ⅇ −v v

ⅇ]−1

1

=1

2[ⅇ− 1

ⅇ+ⅇ− 1ⅇ]

=ⅇ−1

ⅇ

Vậy giá trị tích phân cần tìm là ⅇ−1

ⅇ

Bài 24

Giả sử f liên tục trên (0,1) và gọi R là vùng tam giác có các đỉnh (0,0), (1,0) và

(0,1) Chứng minh:

∬❑R f ( x + y ) AⅆA =∫

0

1

uf (u) uⅆA Lời giải chi tiết:

Bước 1: Hình dung miền tích phân

Miền tam giác R được xác định bởi ba đỉnh (0, 0), (1, 0) và (0, 1) Ta có thể biểu diễn miền này bằng các bất đẳng thức sau:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 – x

Bước 2: Biến đổi tích phân kép

Tích phân kép ban đầu được viết dưới dạng:

∬❑R

f ( x + y ) AⅆA Chúng ta sẽ thực hiện phép đổi biến để đơn giản hóa tích phân này Đặt:

u = x + y

v = y

Từ đó, ta có thể suy ra:

x = u - v

y = v

Bước 3: Tính Jacobian

Ta có:

∂(x , y )

∂(u , v )

=|1−10 1|=1

Bước 4: Biến đổi miền tích phân

Với phép đổi biến trên, miền tích phân R sẽ được biến đổi thành miền R’ trong mặt phẳng (u, v) Ta cần xác định các giới hạn mới của u và v

● Khi x = 0, ta có u = y và v = y Vì 0 ≤ y ≤ 1, nên 0 ≤ u ≤ 1

và 0 ≤ v ≤ u

● Khi y = 0, ta có u = x và v = 0 Vì 0 ≤ x ≤ 1, nên 0 ≤ u ≤ 1

và v = 0

14

● Khi x + y = 1, ta có u = 1 và 0 ≤ v ≤ 1.

Do đó, miền tích phân mới R’ được xác định bởi:

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ u

Bước 5: Viết lại tích phân

Sử dụng phép đổi biến và Jacobian, ta có thể viết lại tích phân kép ban đầu thành:

∬❑R f ( x + y ) AⅆA =∫

u=0

1

∫

v=0

v=u

f (u)|1|ⅆA ⅆAu v

=

∫

u=0

1

f (u )[v]0

u

u

ⅆA

=

∫

0

1

uf (u) uⅆA

Như vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức:

∬❑R f ( x + y ) AⅆA =∫

0

1

uf (u) uⅆA

KẾT LUẬN

Qua BTL môn giải tích 2 chúng em đã hiểu sâu hơn về ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN BỘI và qua quá trình làm BTL chúng em đã biết cách làm việc chung, phân công, chia sẻ với nhau để cùng nhau làm 1 công việc lớn, qua đó sẵn sàng hơn với tư cách là sinh viên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 6e, Thomson

Brooks/Cole, 2008