TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨTóm tắt: Mục đích chính của Luận văn là trình bày chi tiết và hệ thốngmột số kết quả về tính co của hệ phương trình sai phân có chậm và hệ phươngtrình sai phân Vo
Kí hiệu và quy ước
Một số kí hiệu, quy ước
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số quy ước và tính chất cơ bản của ma trận không âm, các kiến thức cơ sở này được sử dụng trong nội dung chính của luận văn.
Kí hiệu Z, R và C lần lượt là vành các số nguyên, trường các số thực và trường các số phức K = R hoặc K = C, Z+ và Z− lần lượt là tập hợp các số nguyên không âm và các số nguyên bé hơn hoặc bằng 0 Với n 1 , n 2 ∈ Z, kí hiệu Z[n 1 ,n 2 ] là tập hợp tất cả các số nguyên thuộc đoạn [n 1 , n 2 ] Cho số nguyên dương n, ta định nghĩa các tập hợp sau: n := {1,2, , n} và n 0 := {0,1, , n} Cho các số nguyên dương l và q, tập hợp tất cả các ma trận thực cỡ l ×q được kí hiệu bởi R l×q Với hai ma trận thực A = (a ij ),
B = (b ij ) ∈ R l×q , bất đẳng thức giữa A và B được hiểu như sau
VÕ ĐĂNG KHINH 6 Đặc biệt, nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q, khi đó ta viết A > B thay cho
A ≤B Cách hiểu tương tự đối với kí hiệu A ≤B và A < B.
Ma trận A = (a ij ) ∈ R l×q được gọi là ma trận không âm nếu a ij ≥ 0 với mọi i ∈ l, j ∈ q Ta có cách hiểu hoàn toàn tương tự như trên khi so sánh hai véctơ và véctơ không âm Tập hợp tất cả các ma trận thực không âm cỡ l×q được kí hiệu bởi R l×q + Với số nguyên dương m, ta kí hiệu ma trận đơn vị cấp m bởiIm Vớix = (x1, x2, , xm) T ∈ R n và P = (pij) ∈ R l×q , ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của véctơ x và giá trị tuyệt đối ma trận P như sau
Cho hai ma trậnC, D (với cỡ phù hợp), ta có|C+D| ≤ |C|+|D| và |CD| ≤
Chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận và tính chất
Trong suốt luận văn này, khi núi về chuẩn vộctơ ∥ã∥núi chung trờn khụng gian véctơ R n thì được hiểu là một trong các chuẩn sau đây:
1≤i≤m|x i |, với x = (x 1 , x 2 , , x m ) T ∈ R n và 1 ≤ p < ∞ Ta biết rằng, không gian véctơ K m cùng với một trong các chuẩn nêu trên là không gian Banach. Theo quy ước trờn, ta cú ∥x∥ = ∥ |x| ∥, với mọi x ∈ R n Một chuẩn ∥ ã ∥ trên R m được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì ∥x∥ ≤ ∥y∥ với x, y ∈ R m Chỳ ý rằng, ∥ ã ∥ p trờn R m ,1 ≤ p ≤ ∞ là đơn điệu Giả sử ∥ ã ∥ p 1 và
∥ ã ∥ p 2 (1 ≤ p 1 , p 2 ≤ ∞) là cỏc chuẩn xỏc định trờn R n Khi đú, ∥ ã ∥ p 1 và ∥ ã ∥ p 2 được gọi là tương đương nếu tồn tại cỏc số dương α, β sao cho α∥x∥ p 1 ≤ ∥x∥ p 2 ≤ β∥x∥ p 1 , với mọi x ∈ R n Chú ý rằng, mọi chuẩn trên R n đều tương đương. Định nghĩa 1.1.1 (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ R l×q , chuẩn của toán tử tuyến tính M : R q → R l , x 7→M x :
∥M x∥, được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.
Từ Định nghĩa 1.1.1, ta có quy tắc tính toán đối với một số chuẩn ma trận cụ thể như sau ([6]):
• Nếu R n được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ 1 thỡ chuẩn toỏn tử của ma trận
M = (m ij ) ∈ R n×n được cho bởi ∥M∥ 1 = max
|m ij | (giá trị lớn nhất của tổng các cột).
• Nếu R n được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ ∞ thỡ chuẩn toỏn tử của M được cho bởi ∥M∥ ∞ = max
|m ij | (giá trị lớn nhất của tổng các dòng).
• Nếu R n được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ 2 thỡ chuẩn toỏn tử của M được cho bởi ∥M∥ 2 = pρ(M T M).
Giả sử R l và R q được trang bị các chuẩn đơn điệu Khi đó, chuẩn toán tử tương ứng ∥ ã ∥ của ma trận trờn R lìq cú tớnh chất sau:
Trong suốt luận văn này, nếu không phát biểu gì thêm, chuẩn của các ma trận được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn véctơ đơn điệu nào đó. Bán kính phổ của M được kí hiệu bởi ρ(M) = max
8 trong đó σ(M) := {z ∈ C : det(zIm −M) = 0} là phổ của ma trận M, tập hợp tất cả các giá trị riêng của M.
Bổ đề tiếp theo trình bày một số tính chất phổ của ma trận không âm sẽ được sử dụng trong phần tiếp theo.
Bổ đề 1.1.1 [4] ChoM ∈ R n×n + Khi đó, các trường hợp sau đây tương đương: (i) ρ(M) < 1;
Giới thiệu mở đầu cho bài toán co của hệ phương trình sai phân có chậm
trình sai phân có chậm
Tính ổn định của hệ thống là một trong các chủ đề nghiên cứu quan trọng trong lí thuyết điều khiển hệ động lực Một tính chất mạnh hơn tính ổn định là tính co của các hệ thống động lực Nói một cách đại khái, tính co của một hệ động lực có nghĩa là hai quỹ đạo bất kỳ của hệ thống hội tụ về nhau khi thời gian dần ra vô cùng, xem chẳng hạn [2], [11] Trong Toán học, tính chất co của một hệ động lực có nghĩa là dòng chảy (flow) của hệ đó là co lại trong không gian trạng thái.
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về tính co của các hệ phương trình sai phân phi tuyến tổng quát, với chậm phụ thuộc thời gian, có dạng sau x(k+ 1) = H k;x(k), x(k −τ 1 (k)), , x(k−τ m (k))
Từ đó, bài toán về sự tồn tại, duy nhất và ổn định của nghiệm tuần hoàn của (1.2) được giải quyết.
Trong quá khứ đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính ổn định của trạng thái cân bằng hoặc quỹ đạo tuần hoàn của phương trình sai phân, xem [6], [16],[22] Ngoài ra, nhiều bài toán khác nhau về tính co của các phương trình vi phân phi tuyến đã được nghiên cứu chuyên sâu, xem [3], [11]-[12], [17], [20] và các tài liệu tham khảo trong đó Tuy nhiên, bài toán co của phương trình sai phân phi tuyến vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ Tính co của phương trình sai phân phi tuyến không có chậm x(k+ 1) = f(k, x(k)), đã được nghiên cứu trong [17] Năm 2019, tính co của hệ phương trình sai phân có chậm được trình bày trong [15].
Phương pháp truyền thống để nghiên cứu bài toán co của các hệ phương trình sai phân là phương pháp dùng hàm Lyapunov Một số phương pháp khác như dùng bất đẳng thức thời gian rời rạc của Halanay, Trong luận văn này chúng tôi trình bày một cách tiếp cận khác để nghiên cứu tính ổn định, tính co của các phương trình sai phân phi tuyến có chậm Cách tiếp cận của chúng tôi đơn giản ở chỗ nó dựa trên nguyên lí so sánh nghiệm và các tính chất phổ của các ma trận không âm Từ đó, chúng tôi thu được các tiêu chuẩn tường minh cho tính co của (1.2) Cuối cùng, các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng (1.2) và tính ổn định của các tập hợp bất biến (1.2) được rút ra Hơn nữa, kết hợp các kết quả thu được và ánh xạ Poincaré, chúng tôi thu được một số tiêu chuẩn tường minh về sự tồn tại, duy nhất và ổn định hàm mũ toàn cục của nghiệm tuần hoàn của (1.2) Cuối cùng, các kết quả được áp dụng cho các mạng nơ-ron thời gian rời rạc có chậm phụ thuộc thời gian Một số ví dụ minh họa được đưa ra.
Tính co các phương trình sai phân phi tuyến với chậm phụ thuộc thời gian
với chậm phụ thuộc thời gian
Một hệ động lực được cho là có tính co nếu hai quỹ đạo bất kỳ hội tụ với nhau theo tốc độ mũ, xem [17] Trong mục này, bằng cách sử dụng một cách tiếp cận khác với thông thường, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn tường minh cho bài toán co của hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm làm hàm phụ thuộc theo thời gian (1.2).
Xột phương trỡnh phi tuyến (1.2), trong đú,H(ã;ã, ,ã) : Z + ì
R n , là một hàm đó cho và τ i (ã) : Z + → Z + , i ∈ {1,2, , m}, là cỏc hàm sao cho 0 < τ i (k) ≤ τ, ∀k ∈ Z + , với mọi τ ∈ Z, τ > 0.
Gọi S là tập hợp tất cả các hàm ϕ : Z [−τ,0] →R n và đặt
Với một số cố định k 0 ∈ Z + và một hàm cho trước ϕ ∈ S, (1.2) có một nghiệm duy nhất, ký hiệu là x(ã;k 0 , ϕ), thỏa món điều kiện ban đầu x(j +k 0 ) =ϕ(j), j ∈ Z [−τ,0] (1.3) Định nghĩa sau đây là sự mở rộng đơn giản của Định nghĩa 1 của [17] cho phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm phụ thuộc thời gian (1.2). Định nghĩa 1.3.1 Phương trình (1.2) được gọi là co (contractive) nếu tồn tại M ≥ 1, β ∈ [0,1), sao cho x(k;k 0 , φ)−x(k;k 0 , ψ) ≤M β k−k 0 ∥φ−ψ∥, (1.4) với mọi φ, ψ ∈ S, k ≥ k0, trong đó (φ−ψ)(k) := φ(k)−ψ(k), k ∈ Z [−τ,0] Định lí sau đây trình bày các tính chất tường minh cho tính co của (1.2). Định lớ 1.3.1 Giả sử tồn tại A i (ã) : Z + → R nìn + , i∈ Z [0,m] sao cho
A i (k)|u i −v i |, (1.5) với mọi k ∈ Z + và với mọi u i , v i ∈ R n , i ∈ Z [0,m] Khi đó, (1.2) là co nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Tồn tại p∈ R n , p ≫ 0 và 0 < δ < 1, sao cho
(ii) Tồn tại p∈ R n , p ≫ 0 và 0< δ < 1, sao cho m
(iii) Tồn tại một ma trận A ∈ R n×n + , ρ(A) < 1, sao cho m
Chứng minh •Chứng minh (i): Phép chứng minh được chia thành hai bước. Bước I: Chứng minh tồn tại M ≥1, β ∈ (0,1) sao cho
Vì p ≫0, tồn tại một số dương K ≥ 1, sao cho
Cho φ, ψ ∈ S sao cho φ − ψ ∈ S 1 Đặt x(ã) := x(ã;k0, φ) và x(ã) : x(ã;k 0 , ψ) Xột hàm số u(k) := Kβ k−k 0 p, k ∈ Z, với 0< β := τ+1 √ δ ω 1 log λ 2K 1 > 0 và Kλ mω < 1 2 Xét ánh xạ Poincaré được xác định bởi
Kết hợp với điều kiện (1.32), ta nhận được
Do đó P m là một ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ S Theo Định lí điểm bất động định Banach, tồn tại một φ 0 ∈ S, duy nhất sao cho
Do đó, ta có P(φ 0 ) =φ 0 Từ đó, (1.32) kéo theo điều sau x(k+ ω;φ 0 ) = x(k;x ω (ã;φ 0 )) = x(k;P(φ 0 )) = x(k;φ 0 ), với mọi k ∈ Z + Vì vậy, x(k;φ 0 ), k ∈ Z + là một hàm tuần hoàn với chu kì ω Hơn nữa, (1.33) suy ra rằng nghiệm ω-tuần hoàn của hệ (1.28)-(1.29) là duy nhất và ổn định mũ toàn cục Định lí được chứng minh. Định lí sau đây được suy ra từ Định lí 1.4.1. Định lí 1.4.2 Giả sử tất cả điều kiện của Định lí 1.3.2 được thỏa mãn và F(ã;ã, ,ã) là ω-tuần hoàn theo biến thứ nhất, τi(ã), i ∈ Z [1,m] là cỏc hàm ω-tuần hoàn Khi đó, tồn tại một nghiệm ω-tuần hoàn duy nhất của hệ (1.28)-(1.29) và nghiệm ω-tuần hoàn này là duy nhất và ổn định mũ toàn cục.
Chúng tôi minh họa kết quả thu được ở trên bằng một ví dụ đơn giản sau đây.
Ví dụ 1.4.1 Xét hệ phương trình sai phân có chậm, phụ thuộc thời gian, phi tuyến, trong không gian R 2 , được xác định bởi x(k+ 1) = H k;x(k), x(k−τ 1 (k)), x(k −τ 2 (k)) , k ∈ Z + , (1.36) trong đú, τ1(ã), τ 2 (ã) : Z + →Z + , là cỏc hàm tuần hoàn chu kỡ ω = 10 và
, (1.37) với x := (x 1 , x 2 ) T , y := (y 1 , y 2 ) T , z := (z 1 , z 2 ) T ∈ R 2 Thật vậy, F(ã;ã,ã,ã) là tuần hoàn với chu kì ω = 10 đối với biến thứ nhất.
Ta có, f(x) = arctanx, x ∈ R và g(x) = √ x 2 + 1, x ∈ R là các hàm liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz 1 Khi đó, điều này kéo theo với mọi x := (x 1 , x 2 ) T , y := (y 1 , y 2 ) T , z := (z 1 , z 2 ) T , x ′ := (x ′ 1 , x ′ 2 ) T , y ′ : (y 1 ′ , y ′ 2 ) T , z ′ := (z 1 ′ , z 2 ′ ) T ∈ R 2 ,
H(k;x, y, z)−H(k;x ′ , y ′ , z ′ ) ≤ A0|x−x ′ |+A1|y −y ′ |+A2|z −z ′ |, với mọi k ∈ Z + và x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R 2 , trong đó
101) < 1, nên theo Định lí 1.4.2, hệ (1.36)-(1.37) có nghiệm tuần hoàn duy nhất, với chu kì10, và nghiệm tuần hoàn này là ổn định mũ toàn cục.
1.5 Ứng dụng của kết quả đạt được vào nghiên cứu mạng nơ-ron rời rạc
Trong phần này, chúng tôi sử dụng các kết quả thu được để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của mạng nơ-ron rời rạc Các vấn đề về tính ổn định của trạng thái cân bằng hoặc quỹ đạo tuần hoàn của mạng nơ-ron rời rạc đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong nhiều
24 thập kỷ qua, chẳng hạn, độc giả có thể tham khảo điều này trong các bài báo sau đây: [9], [21], [22]. Ứng dụng 1.5.1 (Mạng nơ-ron rời rạc có chậm) Xét mạng nơ-ron rời rạc có chậm, phụ thuộc thời gian, phi tuyến, được xác định bởi hệ phương trình sai phân có chậm sau đây (xem [21]) x(k + 1) = C(k)x(k) + A(k)f(x(k))
• x(k) = [x 1 (k), , x n (k)] T ∈ R n là vectơ trạng thái của mạng nơ-ron;
• Hàm f xác định f(x(k)) = [f 1 (x 1 (k)), , f n (x n (k))] T , f(x(k−τ(k))) = [f 1 (x 1 (k −τ(k))), , f n (x n (k −τ(k)))] T , biểu thị các hàm kích hoạt nơ-ron (neuron activation functions);
• J(k) = [J 1 (k), , J n (k)] T ∈ R n biểu thị vectơ đầu vào bên ngoài (ex- ternal input vector);
• τ(k) là các hàm chậm, phụ thuộc thời gian, bị chặn, thỏa mãn 0 ≤ τ(k) ≤ τ (τ là số nguyên dương);
• C(k) = diag(c 1 (k), c 2 (k), , c n (k)) ∈ R n×n với |c i (k)| < 1,∀k ∈ Z + , mô tả tốc độ mà nơ-ron thứ i sẽ thiết lập lại tiềm năng của nó về trạng thái nghỉ khi bị ngắt kết nối khỏi mạng và đầu vào bên ngoài;
• A(k) = (a ij (k)) n×n ∈ R n×n , là ma trận trọng số kết nối (connection weight matrix);
• B(k) = (b ij (k)) n×n ∈ R n×n , là ma trận trọng số kết nối bị trì hoãn
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(H 1 ) Với mỗi i, j ∈ Z [1,n] , tồn tại số thực không âm c j , a ij , b ij sao cho
|c j (k)| ≤ cj < 1,|a ij (k)| ≤aij và |b ij (k)| ≤ bij,∀k ∈ Z + (1.39) (H 2 ) Với mọi j ∈ Z [1,n] , tồn tại p j ≥0 sao cho
|f j (k 1 )−f j (k 2 )| ≤ p j |k 1 −k 2 |, với mọi k 1 , k 2 ∈ Z + Định lí 1.5.2 Cho D := (d ij ) ∈ R n×n + with d ij := c i δ ij + (a ij +b ij )p j , i, j ∈ Z [1,n] , δ ij
Nếu ma trận D ổn định Schur (tức là ρ(D) < 1) thì mạng nơ-ron (1.38) là co.
Ngoài ra, nếuci(ã), a ij (ã), b ij (ã), τ ij (ã), I(ã) là cỏc hàm ω-tuần hoàn với mọi i, j ∈ Z [1,n] , thì (1.38) có đúng một nghiệm ω-tuần hoàn và nghiệm ω-tuần hoàn này là ổn định mũ toàn cục.
Chứng minh Cho F(ã;ã,ã) : Z + ìR n ìR n được định nghĩa bởi
F(k;x 0 , x 1 ) := C(k)x 0 +A(k)f(x 0 ) +B(k)f x 1 +J(k), với k ∈ Z + , x0 = (x01, , x0n) T , x1 = (x11, , x1n) T ∈ R n Khi đó, từ (H1) và (H 2 ), ta có
+|B(k)|P|x 1 −x ′ 1 |, (1.41) với mọi x 0 , x ′ 0 , x 1 , x ′ 1 ∈ R n , k ∈ Z + , trong đó, P := diag(p 1 , , p n ) ∈ R n×n + Mặt khác,
26 trong đó,C := diag(c1, , cn), A := (aij) n×n , B := (bij) n×n , P := diag(p1, , pn) ∈
Theo Định lí 1.3.1 (ii), mạng nơ-ron thời gian rời rạc (1.38) là co, nếu ma trận C + (A + B)P = ciδij + (aij + bij)pj) n×n ổn định Schur (tức là ρ(C + (A+B)P) < 1).
Ngoài ra, nếu c ij (ã), a ij (ã), b ij (ã), τ(ã), J(ã) là ω-tuần hoàn với mọi i, j ∈
Z[1,n], thỡ F(ã;ã,ã) là ω-tuần hoàn theo biến thứ nhất Khi đú, theo Định lí 1.3.1, mạng nơ-ron rời rạc (1.38) có đúng một nghiệm ω-tuần hoàn và nghiệm ω-tuần hoàn này của (1.38) là ổn định mũ toàn cục Định lí được chứng minh. Ứng dụng 1.5.3 (Mạng nơ-ron Hopfield rời rạc) Tiếp theo, xét mô hình mạng nơ-ron Hopfield có chậm, được mô tả bởi hệ phương trình sai phân có chậm như sau x1(k+ 1) = (1−a1)x1(k) +T11f1(x1(k−τ11)) +T12f2(x2(k−τ12)) +I1(k),
(1.44) trong đó, a 1 , a 2 ∈ (0,1)là những số thực; τ ij , i, j ∈ {0,1} là những các chậm
(số nguyên dương); I 1 (k), I 2 (k), k ∈ Z + là hai dãy số thực tuần hoàn với chu kì ω chung (ω là số nguyên dương cố định); f 1 , f 2 : R → R, là các hàm liên tục.
Giả sử thêm rằng có p i ≥ 0, i = 1,2 sao cho
|f i (x)−fi(y)| ≤ pi|x−y|, ∀x, y ∈ R. một nghiệm ω-tuần hoàn và nghiệm ω-tuần hoàn này ổn định mũ toàn cục nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn ρ
Kết quả này đã được chứng minh trong [7, Định lí 2.2] bằng cách sử dụng lí thuyết đồng bậc của D Gaines và J M Mawhin.
Nhận xét 1.5.1 Chú ý rằng là các kết quả thu được trong Mục 1.3 và Mục 1.4 có thể được áp dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các lớp mạng nơ-ron rời rạc khác nhau (Mạng nơ-ron kiểu Hopfield có chậm, mạng nơ-ron cellular có chậm, mạng nơ-ron Cohen-Grossberg có chậm, ).
Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ
Tính co của hệ phương trình sai phân Volterra với chậm hữu hạn
Trong mục này chúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ tường minh cho tính chất co của hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến có dạng sau x(k + 1) = F k, x(k), k
, k ≥ k0, (2.1) trong đú F(ã,ã) : Z + ìR n → R n và G(ã,ã,ã) : Z + ìZ + ìR n → R n là cỏc hàm cho trước.
Nội dung trình bày trong mục này được phát triển từ bài báo [13] về tính ổn định mũ của hệ phương trình sai phân Volterra với chậm hữu hạn.
2.1 Tính co của hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến
Xột hệ phương trỡnh sai phõn Volterra phi tuyến (2.1), trong đú F(ã,ã,ã) :
Z+ìR n ìR n → R n và G(ã,ã,ã) : Z + ìZ + ìR n →R n là những hàm vộctơ cho trước Với mỗi k0 ∈ Z + , φ ∈ Sk 0 hệ phương trình sai phân (2.1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu sau đây x(k) = φ(k), k ∈ Z [0,k 0 ] (2.2)
Ta kớ hiệu nghiệm này là x(ã, k 0 , φ). Định nghĩa 2.1.1 (i) Hệ phương trình sai phân (2.1) được gọi là co suy rộng (generalized exponentially contractive) nếu tồn tại K > 0,Γ > 0 và λ ∈ (0,1) sao cho x(k, k 0 , φ)−x(k, k 0 , ψ)
(ii) Khi bất đẳng thức (2.3) đúng với Γ = 0 thì ta nói hệ (2.1) là co toàn cục (globally exponentially contractive, xem [15]). Định lí sau đây là kết quả chính của chương này Định lí cung cấp cho chúng ta một số điều kiện đủ về tính co suy rộng của hệ (2.1). Định lớ 2.1.1 Giả sử tồn tại cỏc hàm ma trận A(ã) : Z + → R nìn + , D(ã) :
Z+ → R nìn + , B(ã,ã) : Z + ì Z + → R nìn + , và cỏc hàm vộc tơ bị chặn f(ã) :
30 với mọi x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R n , với mọi i, k ∈ Z + , i ≤ k Khi đó, hệ (2.1) là co suy rộng nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Tồn tại α > 1, p ∈ R n + , p ≫0, sao cho
! p ≤α −1 p, (2.5) với mọi k ∈ Z + ii) Tồn tại β > 1, A ∈ R n×n + , ρ(A) < 1, sao cho
≤A, (2.6) với mọi k ∈ Z + iii) Tồn tại γ > 1, sao cho sup k∈ Z +
Ngoài ra, khi f(k, x, y, x ′ , y ′ ) ≡ g(k, i, z, z ′ ) ≡ 0, với mọi k, i ∈ Z + , i ≤ k, x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R n thì hệ (2.1) là co toàn cục.
Chứng minh Cố định k 0 và lấy tùy ý và cố định φ, ψ ∈ S k 0 Trong các chứng minh sau đây, ta ký hiệu x(k) := x(k, k 0 , φ) và x(k) := x(k, k 0 , ψ), nếu trường hợp đó không có sự nhầm lẫn.
(i) Đầu tiên, ta chứng minh hệ (2.1) là co suy rộng nếu điều kiện (2.5) được thỏa mãn. Đặt p min := min{p i ,1 ≤ i ≤ n} và e := [1 1 1] T ∈ R n Từ điều kiện đầu (2.2) và do |x| ≤ ∥x∥e, với mọi x ∈ R n , nên ta được
Với α được xác định trong (2.5), ta đặt λ := α −1 ∈ (0,1) và hàm u(k) := λ k−k 0 ∥φ−ψ∥ k
!) , với f i , h i lần lượt là thành phần thứ i của f và h, với h(k, j, z j , z j ′ ) := D(k)g(k, j, z j , z j ′ ), k, j ∈ Z + , k ≥ j, z j , z j ′ ∈ R n
Sau đây (2.9) được chứng minh hoàn toàn bằng phương pháp quy nạp toán học Giả sử có số nguyên dương k 1 ∈ Z + , k 1 ≥k 0 sao cho
32 Để gọn trong việc trình bày, ta đặt f ∗ (k 1 ) := f k 1 , x(k 1 ), k 1
Khi đó, bất đẳng thức ở trên trở thành x(k1+ 1)−x(k1 + 1)
Theo nguyên lý quy nạp, ta có
Do tính chất đơn điệu của chuẩn véctơ trên R n nên suy ra ∥x(k)−x(k)∥ ≤
∥u(k)∥ Thay biểu thức của u(k) vào ta được bất đẳng thức co suy rộng
0 + Γ. trong đó, K ∥p∥ p min và Γ M ∥p∥ p min Như vậy, hệ phương trình sai phân Volterra (2.1) là co suy rộng.
Ngoài ra, khi f(k, x, y, x ′ , y ′ ) = g(k, i, z, z ′ ) = 0, với mọi k, i ∈ Z + , i ≤ k, x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R n thì ta có Γ = 0 Khi đó, hệ (2.1) là co toàn cục.
(ii) Tiếp theo, ta chứng minh (2.1) là co suy rộng nếu (ii) được thỏa mãn Vì A ∈ R n×n + , ρ(A) < 1, nên theo Bổ đề (1.1.1) (ii), tồn tại vectơ p∈ R n , p ≫ 0 sao cho Ap ≪ p Khi đó, tồn tại η > 1 sao cho
Với β được xác định trong (2.6) của Định lí 2.1.1, đặt α0 := min{β, η}, ta có α 0 > 1 và
Vậy (ii) được thỏa mãn Khi đó, hệ (2.1) là co suy rộng.
(iii) Tiếp tục kí hiệu như trong chứng minh (i) như sau nếu không có sự nhầm lẫn: x(k) = x(k, k 0 , φ) và x(k) := x(k, k 0 , ψ), k ∈ Z + Từ điều kiện đầu ta có
Từ (2.7), tồn tại γ > 1 (đủ gần 1), sao cho
Khi đó, từ (2.11), ta có
Ta cần chứng minh∥x(k)−x(k)∥ ≤ w(k), với mọi k ≥ 0 Chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử tồn tại k 1 ≥ k 0 sao cho
G(k 1 , i, x(i))) Để ngắn gọn việc trình bày, ta đặt như sau f ∗ (k 1 ) := f k 1 , x(k 1 ), k 1
Khi đó, ta có bất đẳng thức sau
Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có ∥x(k)−x(k)∥ ≤ w(k), với mọi k ≥ 0 Vậy (2.1) là co suy rộng Khi f(k, x, y, x ′ , y ′ ) =g(k, i, z, z ′ ) = 0, với mọi k, i ∈ Z + , i ≤ k, x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R n thì Γ = 0 Khi đó, hệ phương trình sai phân Volterra (2.1) là co toàn cục Định lí (2.1.1) được chứng minh hoàn toàn. Định lí sau đây cho chúng ta một điều kiện tường minh cho tính co suy rộng của hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến (2.1). Định lí 2.1.2 Giả sử tồn tại các ma trận A, D ∈ R n×n + và hàm ma trận B(ã) : Z + → R nìn + , B(ã) ∈ l γ (R nìn ), γ > 1, sao cho
(2.14) với mọi k, i ∈ Z + , k ≥ i, ∀x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R n Trong đó, f, g là các hàm bị chặn và sup k
< 1thì hệ phương trình (2.1)là co suy rộng. Ngoài ra, khi f(k, x, y, x ′ , y ′ ) ≡ g(k, i, z, z ′ ) ≡ 0 với mọi k, i ∈ Z + , k ≥ i, x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ∈ R n thì (2.1) là co toàn cục.
Chứng minh Ta cú B(ã) ∈ l γ (R n ), γ > 1 và ρ
< 1 Từ đó, do bán kính phổ của ma trận là liên tục (theo ma trận) nên ρ A+D
< 1, với γ 1 > 1 (đủ gần 1) nào đó Khi đó,
Vậy Định lí (2.1.1) (ii) được thỏa mãn Do đó, hệ (2.1) là co suy rộng Định lí được chứng minh.