Luận văn thạc sĩ Địa kỹ thuật xây dựng: Đánh giá khả năng ổn định công trình kè chống sạt lở bờ sông Ô Môn - Cần Thơ

Cọc ván thép không chỉ được sử dụng trong các công trình tạm thời mà còn có thể được xem như một loại vật liệu xây dựng, với những đặc tính riêng biệt, thích dụng với một số bộ phận chịu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN QUANG HƯNG

ĐÁNH GIÁ KHẢ NĂNG ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH KÈ CHỐNG SẠT LỞ BỜ SÔNG Ô MÔN – CẦN THƠ

Chuyên ngành: Địa kỹ thuật xây dựng(CT) Mã số: 605861

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2013

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 1:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 2:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày……tháng……năm 2013 Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1 ………

2 ………

3 ………

4 ………

5 ……… Xác nhận của Chủ tịch hội đồng đánh giá LV và Trưởng khoa quản lý chuyên

ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN QUANG HƯNG MSHV: 11864421 Ngày, tháng, năm sinh: 11/07/1980 Nơi sinh: CẦN THƠ Chuyên ngành: ĐỊA KỸ THUẬT XÂY DỰNG (CT) Mã ngành: 605861

1 TÊN ĐỀ TÀI: ĐÁNH GIÁ KHẢ NĂNG ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH KÈ CHỐNG SẠT LỞ BỜ SÔNG Ô MÔN – CẦN THƠ

2 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

- Tính toán, đánh giá ổn định công trình kè chống sạt lở bờ sông Ô Môn bằng phương pháp giải tích

- Mô phỏng đánh giá khả năng ổn định công trình trong điều kiện làm việc đồng thời của cọc và bản bêtông bằng phần mềm Plaxis 3D

- Kết luận và kiến nghị: từ kết quả tính toán bằng giải tích và mô phỏng bằng phần mềm Plaxis 3D rút ra những ghi nhận cho các thiết kế khác

3 NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/01/2013 4 NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013 5 HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS BÙI TRƯỜNG SƠN

Tp HCM, ngày……tháng 06 năm 2013 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

(Họ tên và chữ ký)

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn cũng như truyền cho tôi lòng đam

mê nghiên cứu khoa học: TS Bùi Trường Sơn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô bộ môn Địa Cơ Nền Móng, những người đã truyền đạt cho tôi hiểu được phương pháp tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học, đây là hành trang quý giá mà tôi sẽ luôn gìn giữ sau khi ra trường và làm việc

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn tốt nghiệp vừa qua

Trân trọng!

Học viên

Nguyễn Quang Hưng

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nguyễn Quang Hưng

lở có nhiều nguyên nhân Trong đó, có nguyên nhân quan trọng là cọc chưa cắm qua khỏi cung trượt của kè hay không đủ khả năng để giữ khối đất đắp trong điều kiện có

tác động của dòng chảy, dẫn đến lật và sạt lở kè Đề tài “Đánh giá khả năng ổn định

công trình bờ kè ven sông trên đất yếu trong điều kiện làm việc đồng thời của cọc và bản bê tông cốt thép”

Trong đề tài này tôi kiểm tra, đánh giá công trình kè thực tế ở đồng bằng sông Cửu Long Kết quả tính toán cho thấy kè trên đất yếu đồng bằng sông Cửu Long bị chuyển vị ngang, nhưng giá trị chuyển vị ngang này nằm trong giới hạn cho phép

Từ kết quả đó, tôi nghiên cứu đưa ra những phân tích, đánh giá để lựa chọn biện pháp thi công đạt hiệu quả và an toàn

Now there are several embankments fallen during construction time This happens by many reasons Among them, the most important reason is that piles are out of slide arc or could not afford to keep the volume of soil in condition that flow of

water impacts, leading to embankment upturns and falls down The subject “Review

the stabilization of the embankment on weak foundation in conditions of piles and reinforced concrete plate working”

In this topic, I review, evaluate the real embankment construction in Mekong Delta The results show the embankment has horizontal displacement in weak foundation of Mekong Delta, but the value of displacement in allowable limit

From the results, I study and give analyses, reviews to select construction measure for efficiency and safety

1.2 Các giải pháp chống sạt lở thường làm ở ĐBSCL hiện nay 4

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TƯỜNG KÈ VÀ CỌC BÊ TÔNG CỐT THÉP CHỊU TẢI TRỌNG NGANG2.1 Các dạng tải trọng và phân loại tải trọng 14

2.2 Tính toán đối với tường chắn 15

2.3 Phương pháp tính toán áp lực lên tường chắn 16

2.4 Các phương pháp tính toán cọc chịu tải trọng ngang 22

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH PLAXIS ĐỂ TÍNH CỌC CHỊU TẢI TRỌNG NGANG3.1 Lý thuyết biến dạng 27

3.2 Lý thuyết cố kết 32

3.3 Phạm vi sử dụng phần mềm Plaxis cho công trình thực tế 34

CHƯƠNG 4 ĐÁNH GIÁ KHẢ NĂNG ỔN ĐỊNH CỦA CÔNG TRÌNH KÈ TRÊN NỀN ĐẤT YẾU TRONG ĐIỀU KIỆN LÀM VIỆC ĐỒNG THỜI CỦA CỌC VÀ BẢN BÊ TÔNG GIA CỐ MÁI DỐC4.1 Sơ bộ về đặc điểm địa chất khu vực Quận Ô Môn – Tp.Cần Thơ 35

4.2 Sơ lược về công trình kè bảo vệ phương Thốt Nốt 36

4.3 Tính toán và kiểm tra ổn định tường chắn 39

4.4 Kiểm tra ổn định nền 49

4.5 Tính chuyển vị công trình 54

4.6 Mô phỏng đánh giá khả năng ổn định trong điều kiện làm việc đồng thời của cọc và bản bê tông 60 4.7 Kết luận chương 69

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận 70 2 Kiến nghị 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

Tính cấp thiết của đề tài: Khu vực công trình nằm ở bờ tả sông Ô Môn, theo

chiều dòng chảy kéo dài từ rạch Tắc Ông Thục đến cầu Ô Môn dài 1,1993 km Đây là vùng chịu ảnh hưởng bởi lũ khá mạnh do sông Ô Môn là tuyến sông chính chuyển nước từ sông Hậu về biển Tây và các kênh rạch chi lưu phía Tây bởi vậy dân cư sinh sống ven sông chủ yếu phát triển theo các tuyến và các cụm dân cư Dọc theo tuyến nghiên cứu, mật độ nhà dân biến đổi rất lớn, khu vực từ cầu Ô Môn đến rạch Tắc Ông Thục mật độ nhà cửa dày đặc, xây dựng khá kiên cố, đặc biệt là khu vực chợ Ô Môn Hiện tượng lấn chiếm bờ sông tại khu vực này khá phổ biến, khá nhiều hộ dân đã xây dựng nhà ngay trên mép bờ lở với quy mô không nhỏ

Hàng năm, hiện tượng sạt lở bờ thường xuyên xảy ra đe dọa đến an toàn của người dân và tuyến đường liên thôn ven sông, có nơi mép bờ lở đã tiến sát vào mép nhà dân, có nơi đã lở đến mép ngoài của tuyến đường liên thôn Đứng trước tình hình đó, một số hộ dân đã dùng giải pháp xếp bao tải cát để chống sạt lở khu vực nhà mình nhưng giải pháp này không mang tính hiệu quả cao và không đảm bảo về mặt lâu dài, một số đoạn lở mạnh với quy mô lớn hơn đã được địa phương xử lý bằng kè rọ thép đá hộc, tuy nhiên hiện tượng sạt lở vẫn thường xuyên xảy ra tại các vị trí chưa được xử lý làm cho địa phương rất bị động trong công tác phòng, chống sạt lở này

Mục đích của đề tài: Đoạn sông Ô Môn là đoạn sông tương đối thẳng,

nguyên nhân sạt lở chính là do co hẹp và tàu thuyền qua lại, vì vậy thiết kế công trình theo hướng không tác động gì đến dòng chảy chính, chỉ tăng cường sức chịu đựng của bờ, bằng cách bọc cho bờ một lớp áo che chở cho bờ đất mềm yếu phía trong Lớp áo này (thường được gọi là kè) Dạng tường chắn BTCT đổ tại chỗ Công trình sử dụng kết cấu tường chắn bê tông cốt thép có bản chống gia cố nền

bằng cọc BTCT và mái gia cố bằng rọ đá Nhiệm vụ của đề tài này là: “Đánh giá

khả năng ổn định công trình bờ kè ven sông trên đất yếu trong điều kiện làm việc đồng thời của cọc và bản bê tông cốt thép gia cố mái dốc Việc tính toán đánh giá được áp dụng thực tế ven sông Ô Môn – Cần Thơ”

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN NGUYÊN NHÂN VÀ GIẢI PHÁP CHỐNG SẠT LỞ CHO CÔNG TRÌNH VEN SÔNG HIỆN NAY 1 1 Nguyên nhân dẫn đến sạt lở ở khu vực ĐBSCL hiện nay

Hiện tượng sạt lở bờ sông ở khu vực đồng bằng sông Cửu Long là do rất nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra trong đó có nguyên nhân do tự nhiên và cả các nguyên nhân do con người gây ra Nhìn chung hiện tượng sạt lở trên là do các nguyên nhân chủ yếu sau đây:

1.1.1 Do địa chất vùng bờ

Địa chất bờ sông là một trong những yếu tố quyết định đến sự xói lở bờ Kết quả khảo chất cho thấy đia chất các lớp đất bờ sông chủ yếu là bùn hữu cơ, bùn sét với trạng thái chảy, dẻo chảy và dẻo mềm Với cấu tạo địa chất như trên thì bờ sông rất dễ bị xói lở dưới tác động của ngoại lực và các yếu tố tác động khác

1.1.2 Do thủy triểu

Khu vực đồng bằng sông Cửu Long cách biển Tây khoảng 70km bởi vậy sông chịu ảnh hưởng của thuỷ triều khá rõ rệt Chế độ thuỷ triều ở đây là nhật triều với 2 lần lên xuống trong ngày Dưới tác động của dòng thấm (khi nước dâng và rút), các hạt bùn, đất bờ sông sẽ bị cuốn ra ngoài và được dòng nước mang đi gây hiện tượng xói lở

1.1.3 Do ảnh hưởng bởi lũ

Lũ cũng là một trong nhưng nguyên nhân gây xói lở, dưới tác động của dòng chảy lũ các hạt bùn, đất tại bờ sông sẽ bị cuốn trôi gây hiện tượng xói lở Dòng chảy lũ tại các sông miền Tây Nam không quá lớn và xảy ra với tần suất hiếm nhưng dưới tác động kết hợp của dòng chảy lũ và sóng tàu thì tốc độ sạt lở bờ sẽ xảy ra với mức độ rất lớn

1.1.4 Do hoạt động của tàu thuyền

Đồng bằng sông Cửu Long có hệ thống giao thông thuỷ rất phát triển với đội ghe vận tải có quy mô lớn, mật độ tàu thuyền lưu thông trên sông luôn dày đặc

yếu tại bờ sơng sẽ bị xĩi lở, mức độ sạt lở tuỳ thuộc vào độ mạnh yếu của sĩng, sĩng tàu càng lớn thì mức độ xĩi lở càng lớn đặc biệt đối với sĩng của các tàu vận tải lớn chạy sát bờ sơng

Hình 1.1 Tàu thuyền lưu thông trên sông rất đông, trọng tải tàu lớn

1.1.5 Do hoạt động khác của con người

Hoạt động của con người cũng cĩ ảnh hưởng nhất định đến sự xĩi lở bờ khu vực này Sự khai thác hệ sinh vật trên sơng, lấn chiếm bờ sơng, lịng sơng làm thu hẹp mặt cắt ướt của dịng chảy Ngồi ra tình trạng xây dựng đê bao tràn lan trên các sơng thượng nguồn làm thay đổi các chế độ thuỷ động lực học của dịng chảy cũng là nguyên nhân gây ra sự xĩi lở này

Mỗi nguyên nhân ít nhiều đều cĩ vai trị trong sự xĩi lở bờ sơng, đối với tuyến sơng trên đồng bằng sơng Cửu Long qua điều tra tại khu dân cư ven sơng thấy rằng hiện tượng xĩi lở xảy ra mạnh mẽ nhất trong mùa mưa lũ bởi vậy cĩ thể khẳng định nguyên nhân chính gây ra sự xĩi lở bờ sơng là do sĩng và dịng chảy lũ kết hợp địa chất khá yếu tại khu vực đồng bằng sơng Cửu Long

Hình 1.2 Mật độ nhà dân dày đặc, hiện tượng lấn chiếm bờ sông khá phổ biến

1.2 Các giải pháp chống sạt lở thường làm ở ĐBSCL hiện nay 1 2.1 Rọ đá

Rọ đá (Gabion) hay thảm đá (Revet Mattresses hay Reno mattresses) như một cái hộp hình khối mà ở đĩ chúng ta cĩ thể bỏ đá vào để sử dụng gia cố cho các cơng trình Chúng là các hệ thống hình lưới cĩ liên kết thành các khối hình học và phía trong là đá xếp, rất đơn giản

Hình 1.3a Cấu tạo rọ đá

Rọ đá được dùng chủ yếu cho các công trình sau : - Tường chắn đất, mố cầu

- Chống xói bờ sông, biển - Lát mái và đáy kênh - Bảo vệ mái đê, kè - Đập tràn, bậc nước, dốc nước

1.2.2 Cừ Larsen

Cọc ván thép được sản xuất với nhiều hình dạng, kích thước khác nhau với các đặc tính về khả năng chịu lực ngày càng được cải thiện Ngoài cọc ván thép có mặt cắt ngang dạng chữ U, Z thông thường còn có loại mặt cắt ngang Omega (W), dạng tấm phẳng (straight web) cho các kết cấu tường chắn tròn khép kín, dạng hộp (box pile) được cấu thành bởi 2 cọc U hoặc 4 cọc Z hàn với nhau

Hình 1.4 Cừ Larsen tại nhà máy

Ngày nay, trong lĩnh vực xây dựng, cọc ván thép (các tên gọi khác là cừ thép, cừ Larssen, cọc bản, thuật ngữ tiếng anh là steel sheet pile) được sử dụng ngày càng phổ biến Từ các công trình thủy công như cảng, bờ kè, cầu tàu, đê chắn sóng, công trình cải tạo dòng chảy, công trình cầu, đường hầm đến các công trình dân dụng như bãi đậu xe ngầm, tầng hầm nhà nhiều tầng, nhà công nghiệp

Cọc ván thép không chỉ được sử dụng trong các công trình tạm thời mà còn có thể được xem như một loại vật liệu xây dựng, với những đặc tính riêng biệt, thích dụng với một số bộ phận chịu lực trong các công trình xây dựng

Trên thế giới đã có rất nhiều công trình cảng được thiết kế trong đó cọc ván thép (thường kết hợp với hệ tường neo và thanh neo) đóng vai trò làm tường chắn, đất được lấp đầy bên trong và bên trên là kết cấu nền cảng bê tông cốt thép với móng cọc ống thép hoặc cọc bê tông cốt thép ứng suất trước bên dưới Tường cọc thép này cũng được ngàm vào bê tông giống như cọc ống

Bên cạnh công trình cảng, nhiều công trình bờ kè, kênh mương, cải tạo dòng chảy cũng sử dụng cọc ván thép do tính tiện dụng, thời gian thi công nhanh, độ bền chịu lực tốt

Lĩnh vực mà cọc ván thép được sử dụng nhiều nhất hiện nay đó là làm tường vây chắn đất hoặc nước khi thi công các hố đào tạm thời Ta có thể thấy cọc ván thép được sử dụng khắp mọi nơi: trong thi công tầng hầm nhà dân dụng, nhà công nghiệp, thi công móng mố trụ cầu, hệ thống cấp thoát nước ngầm, trạm bơm, bể chứa, kết cấu hạ tầng, thi công van điều áp kênh mương

- Khả năng chịu ứng suất động khá cao (cả trong quá trình thi công lẫn trong quá trình sử dụng)

- Khả năng chịu lực lớn trong khi trọng lượng khá bé - Cọc ván thép có thể nối dễ dàng bằng mối nối hàn hoặc bulông nhằm gia tăng chiều dài

- Cọc ván thép có thể sử dụng nhiều lần, do đó có hiệu quả về mặt kinh tế + Nhược điểm:

- Nhược điểm của cọc ván thép là tính bị ăn mòn trong môi trường làm việc (khi sử dụng cọc ván thép trong các công trình vĩnh cửu) Tuy nhiên nhược điểm này hiện nay hoàn toàn có thể khắc phục bằng các phương pháp bảo vệ như sơn phủ chống ăn mòn, mạ kẽm, chống ăn mòn điện hóa hoặc có thể sử dụng loại cọc ván thép được chế tạo từ loại thép đặc biệt có tính chống ăn mòn cao

1.2.3 Cừ ván bê tông dự ứng lực

Cách đây hơn 50 năm, Tập đoàn PS MITSUBISHI (Nhật Bản) đã phát minh ra loại “cọc ván BTCT dự ứng lực” với kiểu dáng hình học dạng sóng của mặt cắt tiết diện và đã được xây dựng thử nghiệm rất có hiệu quả ở Nhật trong nhiều năm qua

Hình 1.5 Cọc ván bê tông dự ứng lực

Cọc ván PC được ứng dụng vào Việt Nam năm 1999-2001 tại cụm công trình nhiệt điện Phú Mỹ - tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu (lớn nhất Việt Nam) - với sự giúp đỡ của các nhà tư vấn Nhật Bản và đặc biệt sự hướng dẫn trực tiếp công nghệ thi công lắp đặt của Nhà sáng chế ra cọc ván bê tông ứng lực trước - Tiến sĩ ITOSHIMA, Công ty C&T đã thi công hoàn hảo hệ thống các kênh dẫn chính và các kênh nhánh với tổng chiều dài cừ 42.000m chiều rộng 45m, chiều sâu 8,7m đưa nước từ sông Thị Vải vào để giải nhiệt cho các Turbin khí Hiện nay kênh này vẫn bền vững và Nhật bản đã chuyển giao công nghệ này cho ta

+ Ưu điểm: - Rẻ hơn cừ larsen - Để hạ cừ nếu không phải trong thành phố thì có thể dùng búa Diezen để đóng, đơn giản rẻ tiền và nhanh

- Cọc ván bê tông cốt thép dự ứng lực tận dụng được hết khả năng làm việc chịu nén của bê tông và chịu kéo của thép, tiết diện chịu lực ma sát tăng từ 1.5 ÷ 3 lần so với loại cọc vuông có cùng tiết diện ngang (khả năng chịu tải của cọc tính theo đất nền tăng)

- Khả năng chịu lực tăng: mô men chống uốn, xoắn cao hơn cọc vuông bê tông thường, do đó chịu được mômen lớn hơn

- Sử dụng vật liệu cường độ cao(bê tông, cốt thép) nên tiết kiệm vật liệu Cường độ chịu lực cao nên khi thi công ít bị vỡ đầu cọc, mối nối Tuổi thọ cao

- Có thể ứng dụng trong nhiều điều kiện địa chất khác nhau - Chế tạo trong công xưởng nên kiểm soát được chất lượng cọc, thi công nhanh, mỹ quan đẹp khi sử dụng ở kết cấu nổi trên mặt đất

- Kết cấu sau khi thi công xong đảm bảo độ kín, khít Với bề rộng cọc lớn sẽ phát huy tác dụng chắn các loại vật liệu, ngăn nước Phù hợp với các công trình có chênh lệch áp lực trước và sau khi đóng cọc như ở mố cầu và đường dẫn

- Cường độ chịu lực cao: tiết diện dạng sóng và đặc tính dự ứng lực làm tăng độ cứng và khả năng chịu lực của ván

mặt bằng rất tốn kém, chỉ cần xà lan và cẩu vừa chuyên chở cấu kiện vừa ép cọc là thi công được

- Trong xây dựng nhà cao tầng ở thành phố dùng móng cọc ép, có thể dùng cọc ván BTCT dự ứng lực ép làm tường chắn chung quanh móng, để khi ép cọc, đất không bị dồn về những phía có thể gây hư hại những công trình cận kề (như làm nứt tường, sập đổ ) Đây là một giải pháp thay thế tường trong đất (dày tối thiểu 600 - với chi phí xây lắp rất cao) hoặc tường cừ larsen trong một số trường hợp như những trường hợp phải để cừ lại (có một số trường hợp cạnh nhà dân, khi rút cừ lên thì nhà dân bị nứt)

+ Nhược điểm: - Gần khu vực nhà dân không dùng đóng ngoài ra nếu thi công phải tránh chấn động

- Trong khu vực xây chen phải khoan mồi rồi mới ép được cọc, nên tiến độ thi công tương đối chậm

- Công nghệ chế tạo phức tạp hơn cọc đóng thông thường - Thi công đòi hỏi độ chính xác cao, thiết bị thi công hiện đại hơn (búa rung, búa thuỷ lực, máy cắt nước áp lực )

- Giá thành cao hơn cọc đóng truyền thống có cùng tiết diện - Ma sát âm (nếu có) tác dụng lên cọc tăng gây bất lợi khi dùng cọc ván chịu lực như cọc ma sát trong vùng đất yếu

- Khó thi công theo đường cong có bán kính nhỏ, chi tiết nối phức tạp làm hạn chế độ sâu hạ cọc

1.2.4 Tường kè và cọc bê tông cốt thép

Đây là giải pháp có hiệu quả và dễ thực hiện trong phạm vi rộng không cần những thiết bị thi công quá hiện đại, phức tạp trong việc phòng chống sạt lở công trình ven sông, tiết kiệm nhiều chi phí đầu tư xây dựng so với các giải pháp khác Tuy nhiên còn phụ thuộc nhiều vào chiều cao mái dốc và điều kiện địa chất của khu vực đất nền mà quyết định chọn lựa giải pháp cho phù hợp

1.2.5 Sơ lược về tường chắn đất

a./ Khái niệm về tường chắn đất

Tường chắn là công trình giữ cho mái đất đắp hoặc mái hố đào khỏi bị sạt trượt Xây dựng kết cấu tường chắn đất để tăng cường ổn định của công trình chịu các áp lực ngang của đất Các bộ phận của công trình chịu các loại áp lực ngang của đất như: tường các tầng hầm, mố cầu, tường chắn đất, tường chắn cống thoát nước, đường hầm, bờ kè là bản tường…

Tường chắn được sử dụng rộng rãi trong các ngành xây dựng, giao thông, thủy lợi và công trình thủy công

Mục đích:

- Để giữ đất sau lưng tường được cân bằng, khỏi bị trượt, tụt xuống - Chống sạt lở công trình mới xây dựng bên cạnh công trình cũ - Chống thành hố móng, hố đào sâu

- Chống sạt lở bờ sông, bờ kè - Chống thấm nước từ thượng lưu xuống hạ lưu của công trình thủy công

b./ Cấu tạo về tường kè

Tường kè sử dụng ở đây giống như Tường bản góc hay còn gọi là tường chữ L có cấu tạo như sau:

Tường đứng (bản tường): chiều cao tường 255cm chiều dày (25-15cm) Tường bản đáy: bề rộng 2 m, chiều dày 35cm

Chiều dài cọc L=14m

Hình 1.6 Tường kè và cọc bê tông cốt thép 1.2.6 Sơ lược về móng cọc

a./ Cấu tạo về móng cọc bê tông cốt thép

Cọc bê tông cốt thép là kết cấu có chiều dài lớn hơn so với bề rộng tiết diện ngang, cọc được đóng hay thi công đổ tại chổ vào lòng đất, đá, để truyền tải trọng công trình xuống các tầng đất, đá, sâu hơn nhằm cho công trình bên trên đạt các yêu cầu của trạng thái giới hạn

Đài cọc là kết cấu dùng để liên kết các cọc lại với nhau và phân bố tải trọng của công trình lên các cọc Nội lực ở cọc do tải trọng kết cấu phần trên truyền xuống qua hệ đài bản chất sinh ra do chuyển vị tại điểm liên kết cọc với hệ đài Có thể phân ra làm đài tuyệt đối cứng và đài mềm trong tính toán thiết kế hệ cọc Coi đài móng cứng tuyệt đối khi chiều cao đài phải rất cứng Dưới tác dụng của tải trọng thì chuyển vị tại các điểm trên mặt cắt ngàm cọc là tuyến tính (hay là mặt cắt ngàm cọc trước phẳng sau vẫn phẳng) do đó thông thường cọc ở vị trí biên sẽ có nội lực lớn

c./ Các loại cọc chịu tải trọng ngang thường gặp

+ Cọc bê tông cốt thép tiết diện vuông

Hình 1.7 Cọc bê tông cốt thép tiến diện vuông

Cọc bê tông cốt thép tiết diện vuông 200x200, 250x250, 300x300,…thường được sử dụng cọc rỗng hoặc cọc đặc trong các công trình dân dụng, cầu đường, công trình thủy vv…có tiết diện cọc tùy theo yêu cầu tải trọng công trình

+ Cọc bê tông cốt thép tiết diện tròn

Cọc tròn thường được sử dụng như cọc bê tông ly tâm dự ứng lực có đường kính ngoài 300, 350, 400, 450, 500…

Hình 1.8 cọc bê tông ly tâm dự ứng lực 1.3 Nhận xét chương:

Do cấu tạo địa chất ở khu vực Cần Thơ có lớp đất yếu có bề dày đáng kể trên bề mặt nên giải pháp móng cọc thường được lựa chọn cho các công trình Công trình kè trên cọc bê tông cốt thép là giải pháp hiệu quả để giải quyết tình trạng sạt lở Để tính toán và đánh giá khả năng ổn định của loại hình công trình này, chúng tôi lựa chọn đề tài “Đánh giá khả năng ổn định công trình kè chống sạt lở bờ sông Ô Môn – Cần Thơ” Đây cũng là các vấn đề cấp thiết trong thiết kế của khu vực đất yếu như ở Cần Thơ nói riêng và đồng bằng sông Cửu Long nói chung

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TƯỜNG KÈ VÀ CỌC BÊ TÔNG CỐT THÉP CHỊU TẢI TRỌNG NGANG 2.1 Các dạng tải trọng và phân loại tải trọng

2.1.1 Các dạng tải trọng

+ Tải trọng vĩnh cửu (tải trọng tĩnh): Tải trọng mà trong thời gian sử dụng kết cấu không biến đổi trị số, hoặc biến số của chúng so với số bình quân có thể bỏ qua không tính như trọng lượng bản thân kết cấu, áp lực của đất, …

+ Tải trọng khả biến (tải trọng động): Tải trọng mà trong thời gian sử dụng kết cấu có biến đổi trị số mà số biến đổi của chúng so với số bình quân không thể bỏ qua được như tải trọng động mặt sàn, ô tô, cầu trục hoặc tải trọng xếp đống vật thiệu, …

+ Tải trọng ngẫu nhiên: Tải trọng mà thời gian xây dựng và sử dụng kết cấu không nhất định xuất hiện, nhưng hễ có xuất hiện thì hệ số rất lớn và thời gian duy trì tương đối ngắn như động đất, lực phát nổ, lực va đập, …

2.1.2 Phân loại tải trọng

+ Khi đạt cực đại có tên là áp lực ngang của đất ở trạng thái cân bằng phá hoại dẻo bị động, ký hiệu là Ep (kN/m)

Tải trọng thi công như: ô tô, cần cẩu, vật liệu xếp trên hiện trường, lực neo giữa tường cừ, … Tải trọng phụ do sự biến đổi về nhiệt độ và sự co gót của bê tông gây ra Tùy theo loại kết cấu chắn giữ khác nhau

Bao gồm các tải trọng xe thi công, tải trọng sử dụng và tải trọng tàu thuyền khi neo đậu, vv …

2.2 Tính toán đối với tường chắn

Khi tính toán kết cấu chắn giữ, các áp lực tác dụng vào bề mặt tiếp xúc của kết cấu chắn giữ gồm áp lực đất, áp lực nước và các tải trọng ngoài, các áp lực này làm cho kết cấu chắn giữ chuyển vị

2.2.1 Áp lực nước

Tải trọng tác dụng lên kết cấu chắn đất, ngoài áp lực đất còn có áp lực nước của nước ngầm dưới mặt đất, áp lực này gọi là áp lực thủy tỉnh E0(kN/m)

Hình 2.1 Biểu đồ áp lực nước 2.2.2 Áp lực đất chủ động

Nếu tường chắn đất dưới tác dụng của áp lực đất đắp mà lưng tường dịch chuyển theo chiều đất đắp Khi đó áp lực đất tác dụng vào tường sẽ từ áp lực đất tĩnh mà giảm dần đi, khi thể đất ở sau tường đạt đến giới hạn cân bằng, đồng thời

xuất hiện mặt trượt liên tục làm cho thể đất trượt xuống, khi đó áp lực đất giảm đến trị nhỏ nhất, gọi là áp lực chủ động Ea(kN/m)

Hình 2.2 Biểu đồ áp lực đất chủ động 2.3 Phương pháp tính toán áp lực lên tường chắn

2.3.1 Phương pháp Rankine 2.3.1.1 Lý thuyết căn bằng giới hạn

Khi một điểm nào đó trong đất ở trạng thái phá hủy cắt, thì α của góc kẹp giữa mặt cắt với mặt tác dụng của ứng suất chính O1 là:

2α = 90 + φ => α = 450 + φ/2 (2-1)

Hình 2.3 Vòng tròn ứng suất ở điều kiện cân bằng giới hạn 2.3.1.2 Nguyên lý cơ bản của lý thuyết áp lực đất Rankine

Nếu trong thể đất bán vô hạn lấy một mặt cắt thẳng đứng, ở độ sâu z mặt AB lấy một phân tố nhỏ, ứng suất hướng pháp tuyến σx , σz vì trên mặt AB không có ứng suất cắt nên σx, σz đều là ứng suất chính Khi thể đất ở và trạng thái cân bằng đàn hồi σx = K0γz và σz = γz Vòng tròn ứng suất O1 ở điểm này không

tiếp xúc với đường bao cường độ chịu cắt khi σz không đổi σx giảm dần vòng tròn ứng suất O2 tiếp xúc với đường bao cường độ, thể đất đạt đến cân bằng giới hạn σz , σx lần lượt là ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất khi đó ta có trạng thái chủ động Rankine trong thể đất hai tổ mặt trượt làm thành góc kẹp 450 + φ/2 với

mặt phẳng ngang Khi σz không đổi σx tăng lớn dần Vòng tròn ứng suất O3 cũng tiếp xúc với đường bao cường độ, thể đất đạt đến cân bằng giới hạn Khi đó σz là ứng suất chính nhỏ nhất, còn σx là ứng suất chính lớn nhất trong thể đất, hai tổ mặt trượt làm thành góc 450 - φ/2 với mặt nằm ngang khi đó ta có trạng thái bị

động Rankine

Áp lực tác dụng lên lưng tường AB của tường chắn đất, tức là trạng thái ứng suất trên mặt AB ứng với phương chiều, độ dài lưng tường trong thể đất bán vô hạn khi đạt đến trạng thái cân bằng giới hạn Lý thuyết Rankine cho rằng có thể dùng tường chắn đất để thay thế một bộ phận của thể đất bán vô hạn theo lý thuyết Rankine chỉ có một điều kiện biên tức là tình trạng bề mặt của thể đất vô hạn mà không kể đến điều kiện biên trên mặt tiếp xúc lưng tường với thể đất

Hình 2.4 Trạng thái chủ động và bị động của Rankine 2.3.1.3 Tính áp lực chủ động của Rankine

Khi lưng tường thẳng đứng, mặt đất đắp nằm ngang thì cũng vận dụng lý thuyết cân bằng giới hạn để tính áp lực đất chủ động Nếu dưới lưng tường AB dưới tác động của áp lực đất làm cho lung tường tách khỏi đất lắp di động ra ngoài tới A’B’ khi đó thể đất sau lưng tường đạt đến trạng thái cân bằng giới hạn, tức là trạng thái cân bằng chủ động Rankine lấy một phân tố đất ở độ sâu z chỗ lưng tường thì ứng suất theo chiều đứng của nó σz = γz là ứng suất chính lớn nhất

σ1 ứng suất theo phương ngang σx là ứng suất chính nhỏ nhất cũng tức là áp lực đất chủ động cần tính toán Pa , σ3 = Pa , σ1 = γz thay vào công thức ta được áp lực

γ2

(2-5) Trong đó:

Pa - áp lực đất chủ động kN/m2

γ - trọng lượng riêng của đất kN/m3

z - độ sâu từ điểm tính đến điểm đang xét Ka - hệ số áp lực chủ động

φ - góc ma sát trong của đất Ea - áp lực chủ động của đất h0 - cao độ vùng chịu kéo Khi bề mặt đất đắp sau lưng tường có tải trọng phân bố đều liên tục q tác động khi tính toán có thể cho ứng suất đứng σz ở độ sâu z tăng thêm một lượng q tức là áp lực đất chủ động ở tại vị trí cần tính là:

Trong đó: - q tải trọng ngoài

Hình 2.5 Áp lực chủ động của đất 2.3.1.4 Tính áp lực bị động của Rankine

Một tường chắn đất có lưng tường thẳng đứng, mặt đất nằm ngang, nếu tường đẩy về phía đất đắp, dưới tác dụng của ngoại lực, khi đất phía sau tường đạt đến trạng thái cân bằng giới hạn ta sẽ có trạng thái bị động Rankine Xét một phân tố đất ở độ sâu z của lưng tường thì ứng suất σz = γz là ứng suất chính

nhỏ nhất σ3 ứng suất ngang σx là ứng suất chính lớn nhất σ1, cũng tức là pp Cho σ1 = pp, σz = γz thay vào sẽ được công thức tính áp lực đất bị động Rankine

Đất cát:

pp = γz tan2 (450 + φ/2) = γz Kp (2-7) Đất sét:

pp = γz tan2 (450 + φ/2) + 2c tan(450 + φ/2) = γz Kp+2c Kp (2-8) Trong đó:

Từ công thức trên có thể biết, áp lực đất bị động pp phân bố thành đường thẳng theo độ sâu z Hợp lực đất bị động tác dụng lên lưng tường có thể tìm thấy bằng diện tích hình phân bố của pp

Đất cát:

Ep = 1/2 γz2Kp (kN/m) (2-10) Đất sét:

2.3.2 Phương pháp Coulomb 2.3.2.1 Nguyên lý cơ bản tính toán

Theo lý thuyết Coulomb khi tính áp lực đất tác dụng lên tường chắn thì + Tường cứng

+ Mặt trượt được xem là phẳng + Lưng tường là mặt trượt thứ 2 + Lăng trụ trượt được xem là khối gắn tuyệt đối + Đất xem như vật thể rời không có lực dính

2.3.2.2 Áp lực đất chủ động

Pa = γzKa – 2c Ka (2-13)

⎣⎡

++

−+

++

)cos()cos(

)sin()sin(1)cos(cos2

βεεδ

βϕϕδε

δε

Hình 2.6 Áp lực đất chủ động

Nếu mặt đất lắp nằm ngang, lưng tường thẳng đứng, mà lưng tường lại nhẵn thì ta sẽ có

2.3.3 Xét sự căn bằng của một điểm

Đối với đất rời

Nếu điểm A ở trạng thái cân bằng giới hạn φ = φmaxTa có:

sin φmax =

31

31

σσ

σσ

+−=

COCI

(2-22) Phương trình toán học diễn tả sự cân bằng giới hạn của Mohr – Rankine đối với đất cát

Định luật Mohr – Rankine:

- Nếu ømax < φ điểm A ổn định - Nếu ømax = φ điểm A ở trạng thái cân bằng - Nếu ømax > φ điểm A mất ổn định

Ta có mối quan hệ:

σ3 = σ1tg2(450 + φ/2) + c ctg(450 - φ/2) (2-23) Đối với đất rời thì giá trị góc lệch cực hạn ømax:

sin2ømax = 2 2 2

)(

4)(

xz

xzx

z

σσ

τσ

σ+

+−

Đối với móng cọc có số cọc lớn hơn hoặc bằng 3 cọc, có momen và lực ngang nằm trong mặt phẳng nằm ngang hai cọc thì momen đã chuyển thành lực dọc trong cọc, còn lực nằm ngang ở đỉnh cọc được chia đều cho số lượng cọc (ta xem móng cứng tuyệt đối)

H0 =

nH

(2-25)

2.4.1.2 Mô hình nền Winkler

Xác định momen và chuyển vị ngang của một cột dọc theo trục thẳng đứng chịu tác động của momen M0 và lực ngang H0 tại cao trình mặt đất Cũng như

báo và trong giáo trình của ông trong những năm 1950

Khi tính toán cọc chịu tải ngang, đất xung quanh cọc được xem như môi trường đàn hồi tuyến tính được mô phỏng bằng mô hình Winkler

∑∑

++

iixz

tt

yyMn

Dưới tác động của tải trọng ngang, chuyển vị ngang của cọc càng lớn khi

áp lực (tức là phản lực đàn hồi của đất) σ càng lớn, mà độ lớn của áp lực quyết định bởi tính chất của đất, độ cứng của thân cọc, hình dạng mặt cắt của cọc vào trong đất, vv … độ lớn của áp lực có thể biểu diễn bằng công thức sau đây:

yCz

yy ='

Hình 2.8 Quy luật biến đổi của hệ số nền

Ta coi cọc như dầm có độ cứng EI dưới tác dụng của tải trọng phân bố theo quy luật náo đó, phương trình vi phân của đường cong đàn hồi của cọc có dạng chung là:

0

44

=+ z

yzd

Ud

Á sét dẻo IL = (0 – 1)

Đất sét, á sét dẻo và nửa cứng IL = (0 – 0.5) Á sét cứng IL < 0

Cát nhỏ e = (0.6 – 0.75) Cát hạt trung e = (0.55 – 0.7)

5000 – 8000

Đất sét, á sét cứng IL < 0 (0.75 – 1) Cát hạt thô e = (0.55 – 0.7) 8000 – 13000 Từ lời giải của phương trình trên ta suy ra các đại lượng cần thiết: áp lực tính toán σ (kN/mz 2), Moment uốn Mz((kN.m), lực cắt Qz(kN) trong các tiết diện của cọc như sau:

)

12

01

01

IEHC

IEMB

AyzK

bbdb

bdbd

ebd

ψα

3030303

IyEM

bdb

bdb

bd

40404

02

40

Trong đó: A1,B1,C1, D1; A3,B3,C3, D3 ;A4,B4,C4, D4

Le – Chiều dài cọc trong đất tính đổi, Le =αbdL

Hệ số biến dạng: 5

IEKb

bcbd =

bc-bề rộng quy ước của cọc: +khi: d≥0,8m thì bc=d+1m; +khi: d <0,8m thì bc=1,5d+0,5m

Hình 2.9 Sơ đồ tác động của Moment và tải trọng ngang lên cọc

Các chuyển vị δHH,δMH,δHM,δMM của cọc ở cao trình mặt đất do các ứng lực đơn vị gây ra tại cao trình này:

03

1

AIEbbdHH α

02

1

BIEbbdMHMH δ α

0

1

CIEbbdMM α

Chuyển vị ngang và góc xoay của cọc tại cao trình mặt đất y0 và ψ 0

HMHHMH

MMHMM

Chuyển vị của cọc ở cao trình đặt lực hoặc đáy đài

IEMlIEHlly

bb 23

203

000

bb

02

00

+=ψ

11'12

zyz

ϕηησ

Trong đó: - '

v

σ ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng tại độ sâu z - γ1 trọng lượng riêng của đất

- c1, φ1 lực dính và góc ma sát trong cuả đất - ξ hệ số lấy 0.3

- η1 hệ số bằng 1 cho mọi công trình chắn đất - η2 hệ số xét đến tỷ lệ ảnh hưởng của phần tải trọng thường xuyên trong tổng tải

- η2 =

vp

vp

MnM

MM

++

(2-43) - Mp momen do tải thường xuyên

- Mv momen do tải tạm thời - n lấy bằng 2.5

Khi le = 2.5 cọc dài hay cọc chịu uốn, ổn định nền theo phương ngang được kiểm tra tại độ sâu z = L và z = L/3

Khi le >2.5 cọc dài hay cọc chịu uốn, ổn định nền theo phương ngang được kiểm tra tại độ sâu z = 0.85/αbd

CHƯƠNG TRÌNH PLAXIS ĐỂ TÍNH CỌC CHỊU TẢI TRỌNG NGANG 3.1 Lý thuyết biến dạng

3.1.1 Phương trình cơ bản của biến dạng liên tục

Phương trình cân bằng tĩnh học của môi trường liên tục có thể diễn tả theo công thức:

Op

Phương trình quan hệ của 6 thành phần ứng suất trong vectơ δ, với 3 thành phần của tải trọng bản thân tập hợp trong vec tơ p LT là ma trận chuyển của vi phân toán tử, định nghĩa như sau:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂=

xyz

zxy

zy

xLT

00

0

00

0

00

0

Ở trạng thái cân bằng, mối liên hệ động học có thể diễn tả theo công thức:

uL

=

Công thức này diễn tả sáu thành phần biến dạng thể hiện trong vectơ ε, cũng như đạo hàm của 3 thành phần chuyển vị trong vectơ u, sử dụng định nghĩa vi phân toán tử L, kết hợp giữa (3-1) và (3-3) ta được mối quan hệ cân bằng thể hiện sự làm việc của vật liệu theo công thức:

Kết hợp các công thức trên sẽ dẫn đến công thức liên hệ vi phân của vectơ chuyển vị u

dVPL

T

∫∫

Điều này dẫn đến sự hình thành một biến tích phân trong biên kéo thể hiện trong vectơ Công thức (3-6) cũng liên quan đến công thức công ảo

Sự phát triển của trạng thái ứng suất có thể được đánh giá trong một quá trình:

σσ

Từ công thức (3-7) xác định δi ở bước tính toán thứ i thì δi - 1 được xác định theo phương trình:

dVdS

tudVpu

∫∫

∫

3.1.2 Rời rạc hóa theo lưới phần tử hữu hạn

Theo phương pháp PTHH một vật thể liên tục được chia thành một số phần tử Mỗi phần tử bao gồm một số nút Mỗi nút lại có một số bậc tự do tương ứng với số thành phần chuyển vị chưa biết theo điều kiện biên của bài toán Trong một phần tử vectơ trường chuyển vị u thu được từ giá trị vectơ chuyễn vị v tại các nút tương ứng bằng cách sử dụng các hàm nội suy tập hợp trong ma trận N:

vN

Các hàm nội suy trong ma trận N thường được biểu thị như các hàm hình dạng Từ công thức (3-9) và (3-3), ta có:

vBvNL ==

Trong đó: - B là ma trận tính biến dạng, bao gồm đạo hàm của các hàm nội suy Công thức (3-9) và (3-10) có thể được sử dụng dưới dạng biến đổi theo gia số hoặc tốc độ của các đại lượng tương ứng Công thức (3-8) bây giờ có thể viết lại dưới dạng sau:

dSv

BdStvNdVpvNdVv

vdStNvdVPNvdVB

Công thức (3-12) có thể áp dụng trong các điều kiện động học với lượng thay đổi chuyển vị cho phép dvT, công thức trên có thể viết như sau:

Công thức này được lập dựa trên điều kiện cân bằng lực Sự khác biệt giữa vectơ ngoại lực và vectơ nội lực được cân bằng bởi vectơ gia số ứng suất Δδ

Quan hệ giữa gia số ứng suất và gia số biến dạng thường là phi tuyến Kết quả của sự gia tăng biến dạng thường không thể tính trực tiếp mà phải tiến hành tính lặp theo công thức (3-13) đối với tất cả các điểm vật liệu

3.1.3 Vật liệu đàn hồi

Gia số ứng suất tính được bằng cách tích phân tốc độ ứng suất theo công thức (3-7) Đối với các mô hình dẻo khác nhau gia số ứng suất có thể viết chung dưới dạng:

- Đối với vật liệu dẻo, gia số biến dạng dẻo Δεp được tính theo công thức:

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂

∂−Δ=Δ

−l

i

σωλ

Trong đó:

- Δ λ gia số của hệ số dẻo - ω tham số chỉ ra loại tích phân thời gian - ω = 0 tích phân hàm hiện

- ω = 1 tích phân hàm ẩn Vermeer (1979) đã chỉ ra rằng việc sử dụng tích phân hàm ẩn (ω = 1) có một số thuận lợi lớn, khắc phục được vấn đề phải cập nhật ứng suất tại bề mặt cong, trong trường hợp chuyển tiếp từ tính chất đàn hồi sang tính chất đàn dẻo Hơn nữa, nó có thể chứng minh được hàm ẩn trong điều kiện xác định, dẫn tới sự đối

xứng và xác định vi phân ma trận ∂ε/∂s, điều đó có tác dụng tích cực trong quá trình lặp Do đó, khi ω = 1 công thức (4-15) được đơn giản thành:

i

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂

∂Δ=Δ

σλ

Thế công thức (3-16) vào công thức (3-14) và kết hợp với công thức(3-7) ta được:

ietr

D ⎟⎟

⎠⎞⎜⎜⎝⎛

∂∂Δ

−=

σλ

σ

Trong mối liên hệ nội suy δtr là một vectơ ứng suất phụ, xem như ứng suất đàn hồi hoặc ứng suất thử, mà trạng thái ứng suất mới coi như ứng xử thực của vật liệu là đàn hồi tuyến tính

λ

Δ gia của hệ số dẻo, gia trong công thức (3-17), có thể được tính toán từ điều kiện trạng thái ứng suất mới, phải thỏa mãn điều kiện biến dạng:

0)( i =

Đối với mô hình đàn dẻo lý tưởng và mô hình cứng phải tuyến tính gia số của hệ số dẻo có thể viết như sau:

hdftr

+=Δλ (σ )

Trong đó:

iegDgfd

tr

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

∂∂⎟

⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

∂∂=

σσ

(3-20)

- h=0 biểu thị hệ số cứng mô hình đàn dẻo lý tưởng, - h=cosnt biểu thị hệ số cứng tuyến tính Trong trường hợp sau, trạng thái ứng suất mới có thể viết dưới dạng công thức:

ietrtr

Dhdf

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂

∂+

><

−=

σσ

σ

Giá trị trong dấu < > -theo McCauley, quy ước như sau:

<x> = 0 với: x ≤ 0 v: <x> = x với: x > 0

Thay thế quan hệ giữa gia số của ứng suất v gia số của biến dạng trong phương trình (4-13), Δδ = MΔε biến đổi thành

1−

−=

iniexii

ffv

Trong đó :

- K là ma trận độ cứng, - Δv số gia véctơ chuyển vị, - Fex l véctơ ngoại lực, - fin là véctơ phản lực, - i chỉ số thể hiện số bước Tuy nhiên, quan hệ giữa gia số ứng suất và gia số biến dạng nói chung là phi tuyến , ma trận độ cứng không thể lập trước một cách chính xác Do đó, thủ tục lặp tổng thể cần thỏa mãn cả hai điều kiện cân bằng và quan hệ cơ bản Thủ tục lập tổng thể có thể viết như sau:

1−

−

iniexjjvff

jji

vv

1

Ma trận độ cứng K, sử dụng trong công thức (3-23) thể hiện ứng xử của vật liệu trong cùng một loại xấp xỉ Càng chính xác ma trận độ cứng, một vài bước lặp để đạt được điều kiện cần bằng với một dung sai cho phép

Trong đó, ví dụ đơn giản nhất là ma trận độ cứng K kiểu tuyến tính Trường hợp này ma trận xác định theo công thức :