Phương trình và bất phương trình mũ− logarit 1.. Bất phương trình mũ−logarit a... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆPHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I.. Đây là phương trình
Trang 1KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I Hàm số mũ
• y=a x ; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞
1 −∞
y +∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
y=3 x
f(x)=(1/3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -3 -1 1 2
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
x
y=
3
II Hàm số lgarit
• y=log a x, ĐK:
≠
<
>
1 0
0
a
x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
x 0 0 +∞ x 0 0 +∞
1
−∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3)
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -10 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x y
y=x
y=3 x y=log3x
f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 4
x y
x
y 3
x y
3
log
= y=x
III Các công thức
1 Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
m
n a a
= ;( n
a
1
=a−m ; a0=1; a− 1=
a
1 );
n b
a b
a =
n m n
m
a
2 Công thức logarit : loga b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
loga (x1x2)=log a x1+log a x2 ; loga 2
1
x
x
= loga x1−log a x2;
x
Trang 2log
α
a
x b
b
log
log
;(loga b=
a b
log
1 )
IV Phương trình và bất phương trình mũ− logarit
1 Phương trình mũ−logarit
a Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x)
+ 0<a≠1: a f(x) =b ⇔ ( )=
>
b x
f
b
a
log
0
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7±4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta
có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x
Phương pháp logarit hóa: af(x) =b g(x)⇔ f(x).logc a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1.
b P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+loga f(x)=g(x)⇔ ( ) ( )
=
≠
<
x g a x f
a 1
0
+loga f(x)= log a g(x)⇔ ( ) [ ( ) ]
( ) ( )
=
>
>
≠
<
x g x f
x g x
f
a
0 0
1 0
Đặt ẩn phụ
2 Bất phương trình mũ−logarit
a Bất phương trình mũ :
af(x) >a g(x) ⇔( − ) ( ) ( ) [ − ]>
>
0 1
0
x g x f a
a
>
0 1
0
x g x f a
a
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x);
a f(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x);
a f(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≤g(x).
b Bất phương trình logarit :
loga f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
>
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,
0
1 0
x g x f a
x g x f
a
; loga f(x)≥log a g(x)⇔ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
≥
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,
0
1 0
x g x f a
x g x f
a
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: loga f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )
( )
>
>
0
x g
x g x f
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )
( )
>
<
0
x f
x g x f
*
* *
Trang 3MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 +x −4.2x2 −x −22x + = ⇔4 0 (2x2 −x −1 2) ( 2x −4) =0
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:
(2x2 −x −1 2) ( 2x −4) =0 Đây là phương trình tích đã biết cách giải
2 log x =log logx 2x+ −1 1
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3x−2 log3( 2x+ −1 1 log) 3x=0
Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích
II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x +2(x−2)3x+2x− =5 0 Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có:
t + x− t+ x− = ⇒ = −t t= − x Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2( ) ( ) ( )
log x+ +1 x−5 log x+ −1 2x+ =6 0 Đặt t = log3(x+1), ta có:
t + −x t− x+ = ⇒ =t t= − ⇒ x = 8 và x = 2.x
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f u( )= f v( ) ⇔ =u v
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃ c ∈ ( ) a ; b :
a b
a F b
F
c
F
−
−
=
' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
( ); : '( ) 0 '( ) 0
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D
Ví dụ 1: Giải phương trình: x+2.3log 2x =3
Hướng dẫn: x+2.3log 2x = ⇔3 2.3log 2x = −3 x, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x +2x =5x +3x Phương trình tương đương 6x −5x =3x−2x, giả sử phương trình có nghiêm α Khi đó: 6α − 5α = 3α − 2α
Xét hàm số f ( ) ( ) t = t + 1α − tα, với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c∈( )2;5 sao cho: f c'( ) = ⇔0 α(c+1)α−1−cα−1= ⇔ =0 α 0,α =1, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình:−2x2 −x +2x− 1= −(x 1)2 Viết lại phương trình dưới dạng 2x− 1+ − =x 1 2x2 −x +x2 −x
, xét hàm số f ( ) t = 2t + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình được viết dưới dạng:
f x− = f x −x ⇔ − =x x − ⇔ =x x
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x +2x =3x+2 Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1 Ta cần chứng minh
không còn nghiệm nào khác
Xét hàm số f x( ) =3x +2x −3x− ⇒2 f ''( )x =3 ln 3 2 ln 2 0x 2 + x 2 > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm
Trang 4Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1 2007
1
x
y
y e
y x e
x
có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số ( ) 2 2007
1
x
Nếu x < −1 thì f ( ) x < e− 1 − 2007 < 0suy ra hệ phương trình vô nghiệm
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6: Cho a≥b>0 Chứng minh rằng 2 1 2 1
+ ≤ +
HD: BĐT
Xét hàm số
( )
1
ln 2
2
x x
f x
x
+
=
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0ta có f ( a ) ≤ f ( ) b (Đpcm)
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log7x=log (3 x+2) Đặt t = log7x⇒ =x 7tKhi đó phương trình trở thành:
3
+ ÷
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
5 6
log (x −2x−2)=2 log x −2x−3
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log6(t+ =1) log5t
Ví dụ 2: Giải phương trình ( log 6 )
log x+3 x =log x Đặt t=log6x, phương trình tương đương 3
2
t
÷
.
3 Dạng 3: alogb(x c+ ) =x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình 4log 7(x+3) =x Đặt t=log7(x+ ⇒3) 7t = +x 3, phương trình tương
÷ ÷
Ví dụ 2: Giải phương trình 2log3(x+ 5) = x + 4 Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2log3( )t+ 1 = t
Ví dụ 3: Giải phương trình 4log 3(x+1) −(x−1 2) log 3(x+1) − =x 0
s
s + =c dx+e + αx+ β , vớid =ac+α,e bc= +β
Ph
trình một ta được: s ax b+ +acx s= ay b+ +acy Xét f t( ) =s at b+ +act
Ví dụ: Giải phương trình 1
7
7x− =6log (6x− +5) 1 Đặt y− =1 log 67( x−5) Khi đó chuyển thành hệ
1 7
y
−
đó: 7x−1−6x+ =5 0 Xét hàm sốg ( ) x = 7x− 1− 6 x + 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2
nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Trang 5HD: Viết phương trình dưới dạng 18 1 1 1 181
2x− 1 2+ −x 2 =2x− 2−x 2 + + + + , đặt u =2x−1+1,v=21−x+1 ,u v>0.
Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:
u v u v
+ =
= +
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.( 2 ) 2 1
1
x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.34x+ 8 −4.32x+ 5+27=0 b.22x+ 6 +2x+ 7 −17=0
c.( 2+ 3) (x + 2− 3)x − =4 0 d.(3+ 5)x +16 3( − 5)x =2x+ 3
e.( 7 4 3+ )x −3 2( − 3)x + =2 0 f ( 2− 3) (x + 2+ 3)x =4
g 3.16x +2.8x =5.36x h.2.41x +61x =91x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a 3x +4x =5x b x2− −(3 2x) (x+2 1 2− x) =0
c 2x2− +5x 6+ 21−x2 = 2.26 5− x+ 1 d 3x + − =x 4 0
e 22x 1− +32x +52x 1+ =2x +3x 1+ +5x 2+ f 32x−3 +(3x−10)3x−2 + − =3 x 0
g − 2x2−x + 2x− 1 = ( x − 1 )2 h 4x2− +3x 2 + 4x2+ +6x 5 = 42x2+ +3 7x + 1
i 6x + 2x = 5x + 3x j 3.8x +4.12x−18x−2.27x =0
o 2x+ 3x − 5x = 0 p 3x + 8x = 4x + 7x
q 9x + 15x = 10x + 14x r 8 − x 2x+ 23 −x − x = 0
s x 2x = x ( 3 − x ) + 2 ( 2x − 1 ) t 52x+ 1− 53x − x + 1 = 0
u 3x2− 2x − 32x− 3 = 1 − ( x − 2 )2 v 4x+ 7x = 9 x + 2
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a 43 2 1283
x y
+
− −
=
x y
x y
+
− −
b
2
5
x y
+ =
2
2
với m, n > 1.
Bài 5: Giải và biện luận phương trình:
a (m−2 2) x +m.2−x + =m 0 b 3m x +m.3−x =8
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
2 x− ≥2 x+
c.1 5x2−x 25
< < d.(x2 − +x 1)x<1
Trang 6e.( 2 2 3) 11 1
x x
− +
x − + > x −
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
a.3x +9.3−x −10 0< b.5.4x +2.25x −7.10x ≤0
e.25.2x −10x +5x >25 f. 9x −3x 2+ >3x −9
x
9 .
b Định m để bất phương trình thỏa x R∀ ∈
Bài 11: a Giải bất phương trình :
+ >
b Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: 2x2+(m+2) x+ −2 3m<0
Bài 12: Giải các phương trình sau:
a log5x=log5(x+6) −log5(x+2) b log5x+log25x=log0,2 3
c logx(2x2−5x+4) =2 d.lg( 2 2 3) lg 3 0
1
x
x
+
−
e.1.lg(5 4) lg 1 2 lg 0,18
2 x− + x+ = +
Bài13: Giải các phương trình sau:
4 lgx+ 2 lgx =
c log0,04 x+ +1 log0,2 x+ =3 1 d.3log 16 4 logx − 16x=2 log2x
e.log 16 logx2 + 2x64 3= .
Bài 14: Giải các phương trình sau:
a.log3 log9 1 9 2
2
x
2
1
8
x+ + x + = d.lg 6.5( x +25.20x) = +x lg 25
e.x+lg 4 5( − x) =xlg 2 lg 3+ f.5lgx =50−xlg5
g x−1lg2x−lgx2 = −x 13 h 2
3
log log
3 x +x x =162
Bài 15: Giải các phương trình sau:
a.x+lg(x2 − − = +x 6) 4 lg(x+2) b.log3(x+ +1) log 25( x+ =1) 2
x+ x+ + x+ x+ − = d.2log 5(x+3) =x
5 6
log (x −2x− =2) 2 log x −2x−3
g 6x = 3 log6( 5 x + 1 ) + 2 x + 1
Bài 16: Giải các phương trình sau:
Trang 7a lg2 lg2 1
29
5
x y
+ =
d log2 4 2log2 0
x y
y x
+
f
2 2log
y
x
Bài 17: Giải và biện luận các phương trình sau:
a lgmx2 +(2m−3) x m+ −3=lg 2( −x)
2
a x
a a
a x− =
−
Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3
log x +4ax +log 2x−2a− =1 0 b ( )
lg
2
ax
+
Bài 20: Giải bất phương trình:
8
log x −4x+ ≤3 1 b log3x −log3x− <3 0
3
log log x −5 >0
5
log x −6x+ +8 2 log x−4 <0
e 1
3
5
g log 2.logx 2x2.log 42 x>1 h 1
3
x+ ≥
i log2(x+ ≥ +3) 1 log2(x−1) j 8 1
8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x− + x− >
2
log log x 0
l log5 3x+4.log 5 1x >
m
2
5
x x
x x
− +
≥
2
log x+log x>1
2
log x x −5x+ <6 1 p log3x x− 2 (3−x) >1
q
2
2
3
1
5
2
x
x
+
1
2
x
+ − >÷
+
2 16
1 log 2.log 2
−
1 2
log x+ 4 log x < 2 4 log − x
Bài 21: Giải bất phương trình:
x
x
Trang 8c ( ) ( 1 )
2
log 2x −1 log 2x+ −2 > −2 d ( 2 )2 ( 2 )3
2
0
≥
Bài 22: Giải hệ bất phương trình:
a
2
2
4
0
lg 7 lg( 5) 2lg 2
x
− +
1
1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12
x
x x
+
+ >
2
4
x
y
y x
−
−
a xloga x+1>a x2 b
2
1 log
1
1 log
a a
x x
+
>
+
5 loga x+1 loga x<
4
x= Giải bất phương trình
1
x
>
1 2
x − m+ x+ m< −x m x
a Giải bất phương trình khi m = 2.
b Giải và biện luân bất phương trình
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−