Tài liệu Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác ppt

Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác A. Biến đổi lượng giác I. Hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 2 2 sin cos 1( ) sin tan ( , ) cos 2 cos cot ( , ) sin tan .cot 1( , ) 2 1 1 tan ( , ) cos 2 1 1 cot ( , ) sin R k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z                                                   II. Một số chú ý 1. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác         sin 2 sin cos 2 cos tan tan cot cot ( , ) k k k k R k Z                         2. Giá trị lượng giác 1 sin ,cos 1( ) R         III. Bảng giá trị lượng giác đặc biệt  0 6  4  3  2  sin  0 1 2 2 2 3 2 1 cos  1 3 2 2 2 1 2 0 tan  0 1 3 1 3 cot  3 1 1 3 0 IV. Dấu của các giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV sin  + + - - cos  + - - + tan  + - + - cot  + - + - V. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau:  và -          sin sin cos cos tan tan cot cot                    2. Cung bù nhau:  và            sin sin cos cos tan tan cot cot                        3. Cung phụ nhau:  và 2    s i n c o s 2 c o s s i n 2 ta n c o t 2 c o t ta n 2                                             4. Cung hơn kém  :  và  +          sin sin c o s co s tan tan c o t c o t                       5. Cung hơn kém 2  :  và 2  +  sin c o s 2 c o s sin 2 ta n c o t 2 c o t tan 2                                                VI. Một số công thức lượng giác 1. Công thức cộng:             cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan                                                         2. Công thức nhân đôi, nhân ba 2 2 2 2 2 3 3 sin 2 2sin cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan2 1 tan sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos                               3. Công thức hạ bậc 2 2 3 3 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 3sin sin3 sin 4 3cos cos3 cos 4                   4. Công thức biến đổi tích thành tổng             1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 1 sin cos sin sin 2                                           5. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos                                                            6. Công thức hỗn hợp sin cos 2 cos 4 2sin 4 sin cos 2 sin 4 2 cos 4                                                B. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình sinx=a TXĐ: R + |a|>1: Pt vô nghiệm + |a|  1 pt có dạng sinx=sin  2 2 x k x k               (k Z  ) Đặc biệt sin 0 sin 1 2 2 sin 1 2 2 x x k x x k x x k                   2. Phương trình cosx=a TXĐ: R + |a|>1: Pt vô nghiệm + |a|  1 pt có dạng cosx=cos  2 2 x k x k              (k Z  ) Đặc biệt cos 0 2 cos 1 2 cos 1 2 x x k x x k x x k                  3. Phương trình tanx=a TXĐ: R\{ , 2 k k Z     } Pt có nghiệm với mọi a tanx=tan  x k      (k Z  ) 4. Phương trình cotx=a TXĐ: R\{ , k k Z   } Pt có nghiệm với mọi a cotx=cot  x k      (k Z  ) II. Phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Đặt t= hàm số lượng giác (nếu là sinf(x), cosf(x) thì -1  t  1) đưa về phương trình đại số rồi quy về phương trình lượng giác cơ bản. 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx *Dạng asinx+bcosx=c (a 2 +b 2  0, a,b,c R  ) *Điều kiện có nghiệm 2 2 2 a b c   *Cách giải: Chia cả hai vế cho 2 2 a b  . Đưa vế trái về dạng sin      ; cos      C. Hệ thức lượng trong tam giác 1. Định lí hàm số cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C          2. Định lí hàm số sin 2 sin sin sin a b c R A B C    3. Công thức diện tích tam giác 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 ( )( )( ) a b c S ab C bc A ac B S ah bh ch abc S R S p p a p b p c            4. Công thức đường trung tuyến 2 2 2 2 2 4 a b c a m    Tương tự cho cho đường trung tuyến còn lại Một số kiến thức cơ bản về Giải tích. A. Đạo hàm và các bài toán liên quan I. Bảng đạo hàm       1 2 ' 0 ' 1 1 ' 1 ' 2 n n C x nx x x x x                   1 2 ' 0 ' . ' 1 1 ' . ' 1 ' . ' 2 n n C u nu u u u u u u u                 2 2 sin ' cos cos ' sin 1 (tan )' cos 1 (cot )' sin x x x x x x x x           2 2 sin ' 'cos cos ' 'sin ' (tan )' cos ' (cot )' sin u u u u u u u u u u u u               ' ' ln 1 ln ' 1 log ' ln x x x x a e e a a a x x x x a             ' ' ' 'ln ' ln ' ' log ' ln u u u u a e u e a a u a u u u u u u a     II. Quy tắc tính đạo hàm Cho u=u(x); v=v(x) ta có (u  v)’=u’  v’; (ku)’=ku’; (uv)’=u’v+uv’ 2 ' ' ' u u v uv v v         III. Vi phân: ta có công thức vi phân dy=y’dx IV. Một số kiến thức liên quan đến khảo sát hàm số 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm số đồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm số nghịch biến 2. Cực trị của hàm số Dựa vào 2 qui tắc để tỡm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. B1: Tỡm tập xỏc định. B2: Tớnh f’(x). Tỡm cỏc điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiờn. B4: Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc cực trị Qui tắc II. B1: Tỡm tập xỏc định. B2: Tính f’(x). Giải phương trỡnh f’(x) = 0 và kớ hiệu là x i là cỏc nghiệm của nú. B3: Tớnh f ”(x i ) B4: Dựa vào dấu của f ” (x i ) suy ra cực trị ( f ”(x i ) > 0 thỡ hàm số cú cực tiểu tại x i ; ( f ”(x i ) < 0 thỡ hàm số cú cực đại tại x i ) 3. Tiệm cận của đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)  y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả món: 0 0 lim ( ) ,hoÆc lim ( ) x x f x y f x y      x = x 0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả món: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x                 4. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trờn   ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thỡ f’(x 0 ) bằng 0 hoặc không xác định  Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trờn [a; b]: B1: Tỡm caực giaự trũ x i   ; a b  (i = 1, 2, , n) laứm cho ủaùo haứm baống 0 hoaởc khoõng xaực ủũnh . B2: Tớnh 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTLN - + y y' b x 0a x GTNN + - y y' b x 0a x B. Nguyên hàm I. Bảng nguyên hàm 1 2 1 2 1 dx x C x x dx C dx x C x dx C x x                   1 2 1 2 1 du u C u u dx C du u C u du C u u                   2 2 sin cos cos sin tan cos cot sin xdx x C xdx x C dx x C x dx x C x               2 2 sin cos cos sin tan cos cot sin udu u C udx u C du u C u du u C u               ln ln x x x x e dx e C a a dx C a dx x C x          ln ln u u u u e du e C a a du C a du u C u          II. Nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến 1. Phương pháp đổi biến dạng 1: Ta cần tính ( ) b a f x dx  =I Đặt x= ( ) t        ' dx d t t dt      Giải phương trình ( ) ( ) t a t t b t           I= ( ( )) '( ) f t t dt      2. Phương pháp đổi biến dạng 2: Ta cần tính ( ) b a f x dx  =   ( ( )) ' b a g x x dx    =I Đặt t= ( ) x  '( ) dt x dx    1 2 ( ) ( ) x a t a x b t b         I= ( ) ( ) ( ) b a g t dt    3. Phương pháp tích phân từng phần B1. Chọn u, dv tính du, v B2. Lắp công thức b b b a a a udv uv vdu udv uv vdu         III. ứng dụng nguyên hàm tích phân vào diện tích, thể tích 1. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là ( ) b a S f x dx   2. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là ( ) ( ) b a S f x g x dx    3. Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi cỏc dường y = f(x), y = 0, x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox tạo thành là   2 ( ) b a V f x dx    4. Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi các dường x = g(y), x = 0, y = c, y = d (c < d) quay quanh trục Oy tạo thành là   2 ( ) d c V g y dy    C. Số phức 1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i 2 = -1 được gọi là một số phức. a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo i được gọi là đơn vị ảo. Tập các số phức được kí hiệu là  Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R  . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Hai số phức bằng nhau z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) ' z z' ' a a b b              3. Cộng, trừ hai số phức z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) z + z' (a + a' ) + (b + b') i z z' (a - a') + (b - b' )i          Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0. 4. Nhân hai số phức z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) zz' ' ' ( ' ' ) aa bb ab a b i           5. Môđun của số phức, số phức liên hợp z = a +bi (a, b   ) thì môđun của z là 2 2 z = a +b z = a +bi (a, b   ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi. Ta có: 2 2 2 zz' = z z' , zz a b z z + z' = z + z', zz'=z z', z = z    z là số thực khi và chỉ khi z = z 6. Chia cho số phức khác 0 Nếu z = a + bi (a, b   ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là 1 -1 z = z 2 z . Thương của z' cho z khác không là: z' z'z -1 z'z z zz   . Ta có: ' ' ' ' , z z z z z z z z         . 7. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi (a, b   ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo Số phức z = a + bi (a, b   ) cũng được biểu diễn bởi vectơ ( ; ) u a b   , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b   ) cũng có nghĩa là OM  biểu diễn số phức đó. 8. Định nghĩa căn bậc hai của số phức Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w. a) Nếu w là số thực + w < 0 thì có hai căn bậc hai: & wi wi    + w  0 thì có hai căn bậc hai: & w w  . b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: 2 z w  khi đó ta có hệ: 2 2 (1) 2 (2) x y a xy b       Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được 2 2 2 2 x y a b    Do vậy ta được hệ: 2 2 2 2 2 2 (1) (2') x y a x y a b           Giải hệ tìm được 2 x và 2 y suy ra x và y để tìm z. Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu. 9. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức Cho PT: 2 0; (1) ( , , , 0) ax bx c a b c a       và có 2 4 b ac    + Nếu 0   pt có hai nghiệm là 1 2 ; 2 2 b b x x a a         Trong đó  là một căn bậc hai của  . + Nếu  = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a    . Một số kiến thức cơ bản về Hình Học A. KHÔNG GIAN 1. Muốn chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau C1. Quy hai đường thẳng đồng phẳng và dùng các tính chất của hình phẳng như: không có điểm chung, định lí Ta let, góc so le trong…. C2. Dùng tính chất bắc cầu C3. Dùng tính chất 3 giao tuyến phân biệt của 3 mặt phẳng phân biệt lần lượt cắt nhau 2. Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng 3. Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song: chứng minh hai cặp đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng lần lượt song song với nhau 4. Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng 5. Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc : chứng minh đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia 6. Thể tích các khối 1 ; ; 3 ˆ . . ( ; ) ` KC KLT KHCN day V Bh V Bh V a b c B S h Chie u cao       7. Diện tích thể tích các khối tròn xoay S cầu = 2 4 R  V cầu = 3 3 4 R  V trụ = S đáy .h V nún = 3 1 S đáy .h S xq nún = 2 1 CV đáy .l B. PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN I. Các kiến thức mở đầu 1. Tọa độ của vectơ trong khụng gian: Vectơ )z ; y ; x(u kz jy ixu  2. Các phép toán của vectơ: Cho hai vectơ 1 1 1 a (x ;y ;z )   , 2 2 2 b (x ;y ;z )   , k  R khi đó : 1. 1 2 1 2 1 2 a b (x x ; y y ;z z )        2. 1 1 1 k.a (kx ;ky ;kz )   3. 1 2 1 2 1 2 a b x x ;y y ;z z        4. 1 2 1 2 1 2 a.b x .x y .y z .z      , 1 2 1 2 1 2 a b x .x y .y z .z 0        5. 2 2 2 1 1 1 a x y z     6. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x .x y .y z .z cos(a;b) x y z . x y z          với 0; 0 a b      3. Tọa độ của một điểm : * Tọa độ của vectơ OM  là tọa độ của điểm M. Như vậy ta có : OM (x;y;z) M (x ; y ; z)     * Cho tứ diện ABCD với : A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ), C(x C ; y C ; z C ) ta cú : 1. B A B A B A AB (x x ;y y ;z z )      2. 2 2 2 B A B A B A AB AB (x x ) (y y ) (z z )         3. M M M(x ;y ) là trung điểm của AB thỡ A B A B A B M M M x x y y z z x ;y ;z 2 2 2       4. G G G G(x ;y ;z ) là trọng tõm của  ABC thỡ A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z x ;y ;z 3 3 3          5. G G G G(x ;y ;z ) là trọng tõm tứ diện ABCD thỡ ; ; 4 4 4 A B C D A B C D A B C D G G G x x x x y y y y z z z z x y z             4. Tích có hướng của hai vectơ: Cho vectơ 1 1 1 a (x ; y ; z )   , 2 2 2 b (x ; y ; z )   khi đó tích có hướng của hai vectơ a  , b  là một vectơ được kí hiệu là [ a  , b  ] và có toạ độ : 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 y z z x x y [a,b] ; ; (y z y z ;z x z x ;x y x y ) y z z x x y              Chỳ ý:1. Hai vectơ a  và b  cùng phương khi và chỉ khi     [a,b] 0 2. Ba vectơ a  , b  và c  đồng phẳng khi và chỉ khi [a,b].c 0     3.     a [a,b] và     b [a,b] (Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ vuông góc với hai vectơ đó) 4.       [a,b] a . b .sin với  là góc giữa hai vectơ a vaø b   5. Diện tớch tam giỏc, thể tớch của hỡnh hộp, khối tứ diện: 1. Diện tớch tam giỏc ABC : ABC 1 S AB,AC 2         2. Thể tớch của hỡnh hộp ABCD.A / B / C / D / : / / / / / ABCD.A B C D V AB,AD .AA         3. Thể tớch của khối tứ diện ABCD : ABCD 1 V AB,AC .AD 6         6. Phương trỡnh mặt cầu: a. Phương trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c) bỏn kớnh R cú dạng (S): (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 . b.Phương trỡnh (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 – d > 0) là phương trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c), bỏn kớnh : 2 2 2 R a b c d     . II.PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG 1. Ph trỡnh mặt phẳng (  ) có vectơ pháp tuyến n (A ; B ; C)   và đi qua điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) cú dạng () : 0 0 0 A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0       2. Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: ():Ax +By+Cz+D= 0(A 2 +B 2 +C 2 >0) với C) ; B ; (An   là vtpt 3.Các trường hợp đặc biệt: Trong khụng gian (Oxyz) cho (  ):Ax + By + Cz + D = 0 1) mp  đi qua gốc toạ độ O  D = 0 2) mp  song song hoặc chứa Ox  A = 0 3) mp  song song hoặc trựng với (Oxy)  A = B = 0. 4) Phương trỡnh của mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng () cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0),(0 ; 0 ; c) có phương trỡnh dạng : 1 c z b y a x  (a.b.c≠ 0) 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: () : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, () : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0  () cắt ()  A 1 : B 1 : C 1  A 2 : B 2 : C 2  () // ()  2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A   ()  ()  2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A  * 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 AA BB CC        5. Khoảng cách từ một điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 là:   222 000 0 CBA DCzByAx Md   )(; 6. Gúc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: () : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 () : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Gọi  là gúc giữa hai mặt phẳng () và () thỡ ta cú: cos = ( ) ( ) ( ) ( ) | . | | |.| | n n n n         2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 CBACBA CCBBAA    . III. PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trỡnh tham số – Phương trỡnh chớnh tắc: Đường thẳng  đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), cú VTCP c) ; b; (au   thỡ : a) Phương trỡnh tham số  :         ctzz btyy atxx 0 0 0 b) Phương trỡnh chớnh tắc  : c zz b yy a xx 000      (a.b.c ≠ 0) 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Đường thẳng  1 đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ), vectơ chỉ phương )c ; b; ( 111 1 au   Đường thẳng  2 đi qua M 1 (x 2 ; y 2 ; z 2 ), vectơ chỉ phương )c ; b; ( 222 2 au   . Khi đó, a)  1 cắt  2  1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , 0 : : : : u u M M a b c a b c               b)  1 //  2  a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2  (x 2 – x 1 ) : (y 2 – y 1 ) : (z 2 – z 1 ) c)  1   2  a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2 = (x 2 – x 1 ) : (y 2 – y 1 ) : (z 2 – z 1 ) d)  1 chộo  2  1 2 1 2 u ,u M M 0           3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng  đi qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) có vectơ chỉ phương c) ; b; (au   Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 cú C) ; B ; (An   . Khi đó : a)  cắt ()  u và n khụng vuụng gúc  Aa + Bb + Cc  0 b)  // ()  u và n vuông góc và không có điểm chung       0DCzByAx 0CcBbAa 000 c)   ()  u  n và có điểm chung       0DCzByAx 0CcBbAa 000 4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) có vectơ chỉ phương c) ; b; (au   là: 0 , ( ; ) | | M M u d M u            5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chộo nhau : Cho hai đường thẳng  1 và  2 chộo nhau với  1 đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ), vectơ chỉ phương )c ; b; ( 111 1 au   và  2 đi qua M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ), vectơ chỉ phương )c ; b; ( 222 2 au   Khoảng cách giữa hai đường thẳng  1 và  2 là                       1 2 1 2 1 2 1 2 u ,u . M M d ; u ,u 6. Góc giữa hai đường thẳng: Đường thẳng  1 có vectơ chỉ phương )c ; b; ( 111 1 au   Đường thẳng  2 có vectơ chỉ phương 2 2 2 2 u (a ; b ; c )   . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  1 và  2 ta cú 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 u .u aa b b c c cos a b c . a b c u . u              7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương   u (a ; b ; c) và mặt phẳng () cú VTPT ) ; ; ( CBAn   . Gọi  là góc giữa đường thẳng  và (  ). Ta cú : 2 2 2 2 2 2 Aa Bb Cc | n.u| sin A B C . a b c | n |.| u|              . Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác A. Biến đổi lượng giác I. Hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 2 2 sin cos 1( ) sin tan. II. Phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Đặt t= hàm số lượng giác (nếu là sinf(x),