Đồ Án Môn Phương Pháp Quán Tính Và Tính Nhớt Thoải Mái Cho Vấn Đề Khả Năng Thực Hiện Phân Chia Và Ứng Dụng Trong Khôi Phục Hình Ảnh..pdf

TRUONG DAI HOC GIAO THONG VAN TAI Khoa Khoa học cơ bản --- øolLLÌœ8 -—— DO AN MON Dé tai: Phuong pháp quán tính và tính nhớt thoải mái cho vấn đề khả năng thực hiện phân chia và ứn

TRUONG DAI HOC GIAO THONG VAN TAI

Khoa Khoa học cơ bản - øolLLÌœ8 -——

DO AN MON

Dé tai: Phuong pháp quán tính và tính nhớt thoải mái cho vấn đề

khả năng thực hiện phân chia và ứng dụng trong khôi phục hình

Các điều kiện sẵn có -.- Q1 222 212112121111 2151 1111111122121 2218 01T ướt 7

Thuật toán và sự hội tụ 2 2Q 0000000 QS SH S22 HH TT ng g1 ngà 7

Két qua thurc Mghi@m 0.0cccccccccccesecesessscessesesesteteesessesacssstereesetieeetseseneeens 17 Kết luận

Thành viên nhóm: Nguyễn Hoàng Đức (Nhóm trưởng)

Chấm

Hoàn thành tốt công việc 10

chỉnh sửa và hoàn thiện 1 203010440 |_ Nguyễn Hoàng Đức báo cáo

Phương pháp quán tính và tính nhớt thoải mái để phân chia vấn đề khả thi và ứng dụng trong phục hồi hình ảnh

Trừu tượng : Trong bài báo này, chúng tôi kết hợp phương pháp suy luận quán tính của Polyak cho bài toán tối thiếu hóa với phương pháp quan tinh và tính nhớt thoải mái của mô hình tương ứng đề phát triển một loại phương pháp giải số mới cho bài toán tính khả thi chia rẽ Dưới các giả định thích hợp, chúng tôi chứng minh sự hội tụ toàn cầu của phương

pháp được thiết kế Kết quả thử nghiệm được thực hiện trên bài toán tái tạo thưa của hình ảnh cho thấy rằng thuật toán được đề xuất không chỉ mạnh mẽ đối với các mức

thưa thớt và biên độ của tín hiệu cũng như các pixel nhiều khác nhau mà còn không

nhạy cảm với các giá tri khác nhau của trọng số vô hướng Hơn nữa, thuật toán đề xuất đạt được hiệu suất khôi phục tốt hơn so với một số thuật toán khác trong việc khôi phục

hinh anh Từ khóa :

Van dé tinh kha thi chia ré (Split feasibility problem): Là một vấn đề trong toán học và tối ưu hóa, nơi mục tiêu là tìm một giải pháp sao cho các ràng buộc tôn tại trong các

không gian khác nhau Khôi phục thưa (Sparse reconstruction): Là quá trình khôi phục hoặc tái tạo một tín hiệu hoặc hình ảnh sao cho nó chỉ có một số lượng lớn các thành phản quan trọng, trong khi các thành phân khác đều là không đáng kẻ

Suy luận trọng tâm (Inertial extrapolation): Là một phương pháp trong tối ưu hóa, thường được sử dụng đề gia tăng tốc độ hội tụ của các thuật toán tối thiêu hóa bằng cách gia định một đà trạng thải trước đó

Hội tụ (Convergence): La tinh chat của một chuỗi giá trị hoặc điểm trong không gian số

hội tụ đến một giá trị hoặc điểm có định

Khôi phục hình ảnh (Image recovery): Là quá trình phục hỏi hoặc tái tạo một hình ảnh từ các dữ liệu đo lường hoặc mô phỏng Trong ngữ cảnh này, có thể ám chỉ việc khôi phục hình ảnh từ dữ liệu thưa

minf (x) = 5II( - Po)Acll” (2):

O day, Py la toán tir chiéu tir R” > Q,/ la ma tran đơn vị và || || được ký hiệu là chuân Ll, Vi ham muc tiéu c6 dao ham lién tuc voi d6 déc

Vf (x) = AT(I - Po)Ax,

Áp dụng phương pháp chiếu độ doc truyền thống cho tối ưu hóa có ràng buộc (2) vào

van dé tính khả thi chia rẽ (SFP) tạo ra chuỗi lặp sau đây:

Xpar= Pc(3, — @Vƒ(X,)) = Pc(x, — gAT(L— Pa)A„y),, trong dé a € (0,2/||A]|*2) la c& bude

Do cỡ bước ø phụ thuộc quan trọng vào chuẩn của toán tử tuyến tính cơ bản, nó có thê

rất nhỏ và do đó ảnh hưởng đến hiệu suất của thuật toán Đề khắc phục nhược điềm này,

Yang giới thiệu cỡ bước sau:

ơy =—PI

HVACR’ trong đó p, > 0 va Yee 1 Pk = ©, » "Pe < œ,

của thuật toán cần một số điều kiện nghiêm ngặt đói tMY tRlỆn2S64)ôLdtn tàn,8âW¡nh

sự hội tụ của thuật toán dưới điều kiện nhẹ hơn, Lopéz et al giới thiệu cỡ bước sau:

a, = pick (a)

IIYf(¿)ll

voi p, € (0,4)

Đề thuật toán CQ dễ thực hiện hơn, Dang [6]thực hiện sự thư giãn cho các tap Idi C va

Q đề thu được vân đề tôi thiêu giảm nhẹ sau đây:

minfi(x) = FI — Pox) Az

trong do:

Cy = ự € R“|c(x¿)— („x„— x) <0), (3)

Qn = Ly € R™| q(Axx) — (op, Ax — y) SO}, (4)

va & € dc(x,) va w € dq(Ax;,) Dya trén hinh thanh giam nhe, Sahu et al [13] áp

dụng kỹ thuật suy luận trong tam cua Polyak [12] vào thuật toán CQ của Byrne đề thu được thuật toán CQ suy luận giảm nhẹ sau đây đề giải quyết SFP:

( Vi = Xe + Oe (Xe — Xe1); Xer1 = Pop, (Ye — a@At ự — Pạ,)Ay.),

vàØ € [0, 1) Các thir nghiém sé hoc trong [13] cho thay rang kỹ thuật suy luận trọng tâm thực sự có thẻ cải thiện hiệu suất của thuật toán CQ

Ngược lại, để tăng tốc thuật toán điêm có dinh Halpern cho một ánh xạ không mở rộng

T trong không gian Hilbert thực, Sakurai và liduka [22] giới thiệu thuật toán lặp sau đây bằng cách sử dụng ý tưởng của các phương pháp đồng biến gradient:

Xnt1 = UAyXg + (1- Un) Vn,

trong d6 d,,:= = —- + na

Khám phá từ kết quả của [6, 11, 17, 22], chúng tôi xem xét SFP từ góc độ khác Chuyên

vấn đề có ràng buộc (2) thành một vấn đề không có ràng buộc Với sự giúp đỡ của toán tử chiếu, SFP có thê được sắp xép lại thành vấn đè tối thiêu hóa sau:

minƒ(x) = sIlÚ — P,)x|Ê +gII— Pạ,)4x|Í”

Dé thay rang (2) có một giải pháp néu và chỉ nêu vấn đẻ tôi thiêu hóa trên có giá trị mục

tiêu tối ưu là 0 Hơn nữa, đề triển khai tính toán chiếu dễ dàng hơn, người ta có thẻ xem xét biến thẻ giảm nhẹ của nó:

minfelx) = ;IIÚ — P„,)x|Í + ;IlÚ= Pạ)4xll (5),

trong đó Œy và Qy được định nghĩa tương ứng bởi (3) và (4)

Dựa trên điều này, dựa trên một định hình mới cho SFP, chúng tôi xây dựng một phương pháp hiệu quả hơn đề giải quyết SFP Phương pháp mới có những đặc điệm sau: (1) Hàm mục tiêu trong định hình mới là lồi và bậc hai Độ dốc tương ung có thê được tính toán rát dễ dàng (2) Một phương pháp đồng biến mới được thiết kế bằng cách thay thé k TXy-—Xy

điện cản tạo 'B"9|Zfpt0e.teeng-giif đie,ộc đàn Vóitftebltnyeggpb4n đP09 đ"b§fg

cách sử dụng vector trước đ„_;, thuật toán của chúng tôi không càn biết tắt cả các phân tử của tập hợp đồng biến, dạ được Cập nhật tự động với những vector này Tính chất đặc biệt này cho tháy răng phương pháp yêu cầu ít lưu trữ và tính toán (3) Một quy trình tự

điều chỉnh bước được giới thiệu vào thuật toán của chúng tôi, được thực hiện thông qua

một tính toán đơn giản và không càn bát kỳ quy tác tìm kiếm dòng nào Hằng số

Lipschitz không thê là tham só đầu vào của phương pháp của chúng tôi và điều này đặc biệt thú vị khi hằng số không xác định hoặc không dễ xác định (4) Kỹ thuật suy luận trọng tâm của Polyak và kỹ thuật xáp xi nhớt được áp dụng đề tăng tốc quá trinh hội tụ của thuật toán Hơn nữa, tính hợp lý của phương pháp được đám bao lý thuyết dưới các giá thiết phù hợp Một số thử nghiệm số được thực hiện để minh họa hiệu suất của phương pháp đề xuất

Phân còn lại của bài báo này được tố chức như sau Trong Phân 2, chúng tôi đưa ra một số khái niệm cơ bản và két luận liên quan Trong Phân 3, chúng tôi trình bày phương pháp Suy luận mới được thiết kế của chúng tôi đề giải quyết SFP và xác định sự hội tụ toàn câu của nó Phản 4 trình bày một số thử nghiệm số vẻ xử lý tín hiệu và khôi phục hình ảnh đề minh họa hiệu suất của phương pháp đề xuất

2 Cac diéu kign san cé (Preliminaries) Trong phản này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và các kết luận liên quan

Đôi với x e R", chiêu của nó vào tập lôi đóng O € R" được ký hiệu là Po(x), nghĩa là:

Pa(x) = argmin ||y — *|| Đối với toán tử chiếu Pa(-), chúng ta có két luận sau Bồ đề 1: Giá sử O là một tập con không rỗng, đóng, và lồi trong R” Khi đó, các điều

cụ phân tích quan trọng, được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1 Cho hàm lồi ƒ: R" ¬ R, đạo hàm con của nó tại x được định nghĩa như

sau:

a f(x) = leer If(y) = f(x) + (Ey — x),VyeR ny

Định nghĩa 2 Chức năng ƒ: R” ¬ R được gọi là liên tục từ dưới tai x néu

cho (Ax,x) > r||x||ˆ uới mọi x e R" Hơn nữa, nếu toán tử tuyến tính A: R* ¬ R là

mạnh và dương và giới hạn với hệ số z > 0 thì:

Bé đề 4 Nếu dãy G¡) có một dãy con lg, } thea MAN oj, < 04,41, thi dãy được định

nghĩa bởi t, = max \t < k|o, < 64} 1a khéng giam Hon nữa, lim, = 0 và max

lo, Ox} = Ởy, +1:

3 Thuật toán và hội tụ

Trong phân này, chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp quán tính và độ nhớt thoải mái

đề giải bài toán SFP và thiết lập sự hội tụ toàn cục của nó Chắc chan, hàm mục tiêu của

(5) là liên tục có thê phân biệt với đạo hàm

Vƒ;(z) = (I - Po,)a + A' (I — Po,) Az

Bước 1 Chọn hàm ø- -contraction g: IR” > R” và toán tử tuyen tinh giới hạn dương mạnh D: IR" — IR" với tham số > 0 Khởi tạo xạ,xị¡ € IR*, các tham só + €

(0, 2)T e (0,1], và lỗi dung sai z > 0

Bước 2 Lấy Ø¡ e [0,1),ø¡ e (0,1),và đặt yị = xị + Ø¡(x¡ — xạ) Nếu||(I — P,)y¡ + AT(I — Pạ,)Ay: || < , loại, mặt khác, đặt dạ = —t¡Vƒf Úwị) với tị =

2pi(—Pei)yi lÏ+lÚ—=Pe,)4»: lÖ

Œ-Pc¡)yi+AT-Pq)4y: |

Bước 3 Lấy ø, € (0,1),Ø, e |0;),ø„ € (0,1) và

— 2p(|0—Ps,)» Í+||0-Pa,)Aw lÔ Sree (IH-Poy)ave l dy = -tyVfclve) + Theda,

Đặt k = 1 và đến Bước 3

Dat x91, @yy0(24) + (T — œyD)Pc,Z,, k = k + 1, đến Bước 4

Bước 4 Lấy Ø¿ € [0,1) và đặt yy = x„ + Ø¿(x¿ — x¿_¡) Nếu ||(I — P¿„)y¿ +

AT(T~— Pạ,)Ay, || < z, loại, mặt khác, quay lại Bước 3

Với điều này, chúng tôi có thẻ trình bày thuật toán sau đề giải quyết SFP

Đối với thuật toán, sơ đô lặp y-k.=,x-k.+,Ø-k.,,x-k.—,x-k—1 sử dụng kỹ thuật quán tính

do Polyak giới thiệu đề giải quyết vấn đề giảm thiêu [12] và sơ đồ lặp x-k+1.=,ø- k.yg,,z-k +,I—,œ-k.D.,P-,C-k ,z-k.sử dụng kỹ thuật xáp xi độ nhớt đề giải quyết vấn đề điểm có định [10] Ngoài ra, sơ đồ lặp đ-k.—=—,t-k.V,ƒ-k.,,y-k +1,8-k.,d-k—1 áp dụng

kỹ thuật gradient liên hợp Vì vậy, thuật toán là một loại phương pháp giải pháp mới đề

giải quyết SFP vẻ bản chất Ve = XR + 8, —X—1)Xk++= Any G (Zn) + U- aD) Po, 2dr

—teV fie Vee) + Teed

Dé có được kết quả của chúng tôi, chúng tôi sẽ tiết lộ các bố đẻ sau đây Bồ đề 5: Giả sử rằng các điều kiện sau:

(ii) đu < đ,

(iii) (a Po.) is) va la - Po, Ave lần lượt đóng, giữ Sau đó la la dong Vì theo điều kiện (), lim-k—>œ.,ø-k.=0, chúng tôi có thé gia định, mà không mát tính

tong quat, rang a, = 0a; < mind > ¬ tới mọi k

Sau đó, chúng tôi chứng minh rằng bị ràng buộc bởi quy nạp la} Voi k = 0, Điều này giữ tầm thường Bây giờ, chúng tôi giá định răng khẳng định giữ cho mét sé k, va cho thay rang no tiếp tục giữ cho k + 1 Từ các điều kién (i) va (ii) trong khang định, chúng tôi kết ludn rang lim; , 8; = 0 Do do, ton tai ky > 0 sao cho

CC với mọi kK = Ko

Dat M, = max Va, Il, 2sup lt, [1 — Po, ye + AT (1 - Po, Ave] Il} với k > 1

điều kiện (iii) rang M, < œ Giả sửi|d, || < Mị với mọi k > kạ, thì

Wiel = Wtesa[C - Pop Meta + ATU - Po, AV] + Beside Il

< llt¿:1[Ú — P,.,)yx+ì + AT (TT Pạ,.,)Awk¿i| || + £6xà lld, | < M,

Diéu dé chirng told; ll < M, voi moi k Do a6, dự} bị chặn

Bồ đề 6: Giá sử rằng các điều kiện sau:

(i) Be S ae,

(iii) O < lim inF, „0, < limsupz_,„„ < 1 Sau đó, các chuỗi bu), bự) và LA đều bi chan

Cho mọi x'của SFP: x* = Pp, x* va Ax* = Po, (Ax*) Theo z, = y, + dy llz¿ — x*ll= |y¿ — x` — tx[(— Po, vx + ATC - Pạ,)Ay,| + t¿dy¡ ||

< ||: — x* — t¿[(— Pc,)w¿ + AT(T— Pa,)Ay¿] || + z8¿ Ild,— ill Từ điều kiện (ii), có

=llyy — x'I + tỷ || — Po ye + ATT — Po, Ave Il’ - 2t — Po,)W

+AT(I— Pạ,)A,,¿ — x*)

=lly, — *IÝ — ty[2(Œ — Pc,)y, + AT(T— Pạ,)Ayu,yy — *”) — te I= Pov +A™(I = Po, \Ayy II?]

=lly, — *'H” — tz[2(( — Pe,)Yw,w — *") +(Ú— Pg,)Ayu, Ayy — Ax")T— tụ l(T — Pạ,)y, + AT(I = Pạ,)Ay, l]

=lly, — x"ÚIŸ — tu[2({ — Pc,)Wu,¿ — Pc,¿ + Pc,y, — *°)

+((I— Po,)Ayw, A, — PạyAyy + Pạ,Ay, — Ax”) — ty IU - Po.) vx

+AT (I~ Pạ,)4y, I]

+A™(I = Po, \Ayy II?]

4oe(1 — pe) (ICU Po,)ve + WC ~ Po,)Avell?)

l( — Po, ) We + AT (J — Pạ,)Ayx |

=llyy —

slly, - x'IỨ, trong đó bất đẳng thức dau tién str dung Bo dé 1 Tit; Il < M, voi k = kạ, theo (6) trong phan nay, rang

llz„ — x”ll S lly, — x" + TM, Bx Từ đó

ly — x'll= ly — x` + Ø(x¿ — x¿—¡) < llx¿ — x*ll+ Ø¿|Ì*¿ — #z~— I có từ Thuật toán 1, Bỏ đề 2, (7) trong phản này và điều kiện (i) rằng

llx¿.: - x*lI= llw„yø(2,) + U - œ¿P)P;,Z, — +` |

= lfex(ø(Z¿) — Dx') + (T~— ayD)(Pc,Z, — Pc,x`) |

< # llyg(Z4) — D+'l| + (1~ wœ¿)llzy — +” = đụ yØ(Z¿) — yø(x') + yø(x') = D+xT| + (1 — wøy)llz, — +'

Say py lZ¿ — x*l| + #xllyg(x') — Dx*l|+ (1 — wøy)lZ¿ — *”

=(1- ay (u — yp) Jl — x°I + a llyg(x*) — Dx'l <(1 — ay (u — yp) lly — x°I + or llyg(x*) - Dx" Il

+(1— #y(w — yp))8,l|x¿ — x¿—¡ lÍ + (1— #yÚu — yp) TM) By

< max Mix, — x" p trate) ~ Pr, u- ¡—yp (Mi, +2 — a, —#¿-¡ ll)},

trong dé bat dang thirc thir ba tir (8), bat dang thúc thứ tư từ Đụ apt ding thức thứ năm xuất phát từ 0 < a;,(u — yp) < 1 được suy ra tir a, S= và y€ (0,5) Vì dãy

số NI, — xạ _ II} bi chan theo điều kign (ii), nên tồn tại M; > 0, sao che Í%„ —

Bây giờ, chúng ta chứng minh sự hội tụ của Thương pháp đê xuât Định lý 1 Giả sử tập nghiệm của bài toán SFP, ký hiệu là L, là nhất quán Khi đó, đưới

(v) \(— Pc,)y¿} và ((1 — Pạ,)Ay,} lần lượt là dãy số bị chặn, dãy só ba) được tạo ra

bởi Thuật toán 1 hội tụ đến: một nghiệm của, bài toán SFP Chứng minh: Từ Bỏ đề 5 vẻ sự bị chặn của la, , chung ta suy ra rang tén taiM, > 0 sao cho 21|(z, —x*,d,_1)| < M3 voi bat ky x* cia bai toan SFP

Theo Thuật toán 1, ta có

Nhân mạnh rằng, bát đẳng thức đâu tiên xuất phát tùfact || a + b II“<|| a ll“+ 2(a +

b,b), bắt đẳng thức thứ hai xuất phát từ Bồ đẻ 1, và bát đẳng thức thứ ba xuất phát từ

By < ef Két hop điều này với sự thật rằng ly — x* HẾ = lay —x` + (oe — Xy-1) WF

= Wee — 271? + OFM — Kea IP + 20; lle — 7 Mlle — Heal

2

Cho ta

lIx¿.¡ — x*IÝ =|œuyø(Z,) + (T— œyD)P,Z — ||

=ll#¿(yø(2,) - Ðx*) + (T— aD) (Po, 2% — Pc,x')||

<(1- u#y) ly — x" lÍ + 2øy(yg(24) — Dx',xu¿+ — x") =(1- we,)?lz„ — x" lÚ + 2ø,(yg(2,) — yg(*°),xu.ì — x*)) + 2a,ø()

bat dang thức cudi cling xuat phát từ (10) và (11) Do đó

(1— #¿yp)llx¿;: — x7 IP S((1 - wor)? + ory p)Ilxy — 2° IP + Zax ky g(x") — Dx", X41 — x”)

<(1- 2a,(u- rp} le, <x" + 2ax(u— yp) (yg(x") — Dx", X41 — x")

LH ap (1 - wax)? + axyp 2(u-yp) * = 2ax(u-yp)

Với bát đăng thức thứ hai xuất phat tir a, € (0,1) và sự thật rang ton tai M, > 0 sao

cho IIx, —x* I< Mụ Với mọi k

(0; ll — Xy-1 Il

Dat & = 2ak(w—Yp)

và ạ, _000€09) — DX`,Xiyi = X)), HỦy — Vụ

,d- Udy)? + YP; 9, 2zy[u —yp (9£ ÍÍx¿ — *¿—: 8 lÍxy — Xg—1 |Í + 2Ø,M¿l|x„ — X„_— |] + Mow, H2 kWqÏ|Xw — Xk—1 5 5 %

xu — x7? S (1 & Jb — 2" WP + §yổ, tin

Bây giờ, chúng ta đến bước chứng minh st hội tụ của dãy số x, } Đề làm điều nảy, chúng ta chia đối số thành hai trường hợp

Trường hợp 1: Tồn tại kạ € N sao cho dã} — +" l2, „là không tăng Trong 2Ko

trudng hop nay, day sdk, — x"ll?} hai tụ và

Bat đăng thức thứ hai xuất phát twrsự that rang ton taiM; > 0 sao cho Il yg(x*) — Dx’ I

Il 2, — x" I+; đy | yø(x')— Dx` lÝ< M; với mọi k

Ngược lại, bằng cách sử dụng Ve, = Xe Ox (x4 — i 1) Vix, — x" ll < M, rang Ilvie — + *lÍ < lx¿ — x* lÝ + để ly — x¿—¡llÍ + 29M: kè — xe

Dựa trên điều kiện (ii), ta có từ (9), (14) và (15)

rằng

2 4o(1=p9( |ứ-Ps,) |ˆ+ -Pa,)4w |Ủ)

|(-Pc,)x+AT—Pq,)Ayk |

<lly, — x* lẾ — llz — x*lÝ + 2zØ,(Z„ — x", dy1)

<llx¿ - x` IF + GE llx; 7 XR lỨ + 2Ø,M¿ ||x¿ — x¿—+ ÍÏ— llxx¿.1 — xl?

+2ữ,M: + 2T(Zy — x*, dy_1)

SM xj — 207 WP — Ilx.ị — x" lẾ + 26M: ly, — Xp 1 + OF Mace — X41 11? + 2, Ms + Mgaze

Vì limy „„ 6y |lx¿ — xg_¡ |[ = 0 theo điều kiện (iii), từ (13), và các điều kién (i)(ii) ta

CIC — P‹,)>xl” + lIứ — Pa,)4w:| )

2 IU - Pc,)y¿ + 4TŒ — Po, JAYe Il

Ieee — x71 = lzxrø(2,) + (I - Day) Po, 2% — x* I"

= lla (vg(zx) — Dx") + (1 — Derk) (Poze = +") lÍ

< (ax yg (2) — Dx" + IM — Day lllPoze — x" II)’

a < ||Pc,z, — x I’ + Mẹ, Trong đó, bât đăng thức thứ hai sử dụng điều kiện tôn tại Mạ > 0 sao cho a, ||

yø(Z,) — Dx*||? + 2 llyg(z¿) — Dx* Ill Po, 2% — x" IIS Mẹ với mọi k va aR < + Sau

Theo Thuật toán 1,

ka +u2

lIPc,Z — Z |Í < ly - *' B” + Mz&¿ — ||Pe,Z¿ — *' |

< ly —*' lỮ + Øÿllxy — x¿_i lẾ + 2,Mu llxy — xe ¡|| + Maar? —llXy.1 — x* lễ + a,Me

Từ đây suy ra

jim ||P, 2 — 2, |= 0

Tir cdc diéu kién (i), (iii) va BG dé 6, suy ra tinh chat ché cua {zk} va

Jim Eeyi — Po,Z+ ll = Jim a Ivo (2x) — DPc,Zxll = 0,

Jim Ive — Xe ll = lm 6, Ibe, — Xe-all = 0, Hơn nữa, suy ra từ (19) va cac diéu kién (i)(ii) rang Jim lz — Yee = Jim —teVfe (i) + TB tial

S fim (ey iliVfe(re)Hl + eller) — 9

Dollx¿+ — Xe WS |] Xe41 — Poy Ze I+ Po, 2% = 2% |] + We — Yell + lye — Xe lL Kết hợp với (21)(23), ta nhận được

jim lx„,¡ — x„ll = 0 Băng tính không mở rộng của toán tử chiếu, ta có Ìxx — Pc,z l| <lxx — Ve WA Ie — Ze + |Èz — P„Zz Ì|