Phương pháp đề xuất được cụ thể hóaqua các nội dung về mô phỏng Monte Carlo; một số ví dụ về phương phap này; ứng dụng phương pháp trong việc giải phương trình vi phân thường va đặc biệt
BANG KY HIỂU
Ky hiéu Ý nghĩa Q Không gian các biển cỗ sơ cấp D ỉ - trường đại số cỏc tập con của Q P Độ đo xác suất thông thường (QD.P) Không gian xác suất é -U[0,]] có phân bé déu trên [0,1] ¿#-Xịazơ] ¿có phan bỗ chuân với ky vọng a, phương sai 0 c1) Không gian các ham liên tục trong XY
C'Œœ®) Không gian các ham khả vi liên tục đến cấp š trong X L(G).L'G) Không gian các ham khả tích tuyệt đối tran G
(x,x) Tích vô hưởng của hai phan tử x, v.
IxlI=lkll Chuẩn của phan tử trong không gian tuyên tỉnh định chuân Y. axb a rat lớn so với b
|(a 2 4)| - ẩ Chuân của vécto (a.a a ) € R" llx¿›|=ll;->|| Độ lậch của ước lượng không chậch ?J đỗi với ve# ơ(n)=-|P) Độ lậch chuân của đại lượng ngẫu nhiên 77AT Chuyên VỊ của ma trận 4
PHẦN MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật, vật lý, hay kinh tế Phương trình vi phân thông thường là phương trình vi phân trong đó có chứa hàm phải tìm là hàm một biến Các phương pháp truyền thống đã được sử dụng để giải phương trình vi phân thông thường với giá trị khởi tạo ban đầu gồm có: Phương pháp Euler, phương pháp Euler ngược, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp đa bước và phương pháp đa giá trị Các phương pháp trên có thể dẫn đến sự khác nhau trong đáp án của bài toán, tuy nhiên, tất cả đều dựa trên các lý thuyết toán học cổ điển.
Trong các ứng dụng thực tế, người ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập hoặc có những ứng dụng mà ngay cả giá trị thực cũng khó có thể tìm ra bằng phương pháp phân tích, tính toán thông thường mặc dù đã có hầu hết các dữ liệu cần thiết Vì vậy, việc tìm ra công thức của ham đôi khi còn gặp nhiều khó khăn Lúc này, việc tìm đến giá trị xấp xỉ (có giới hạn nhất định về độ chính xác) với giá trị chính xác được quan tâm.
John von Neumann và Stanislaw Ulam (hai nhà toán học người My) đã đề xuất một mô hình thử nghiệm trên máy tính Sau đó, họ đặt tên phương pháp nay là phương pháp mô phóng Monte Carlo Tuy nhiên, phương pháp này thật sự tỏ ra hữu hiệu và được phát triển mạnh mẽ khi chiếc máy tính điện tử đầu tiên ra đời (năm 1945) trong những dự ấn Mahattan hoặc nghiên cứu bom Hydrogen ở Los Alamos, và đến nay nó đã và đang đóng góp rất lớn trong nhiều lĩnh vực, mang lại hiệu quả kinh tế cao và tiết kiệm được nhiều thời gian, công sức và chi phí cho các nhà nghiên cứu.
Trên cơ sở đó, tác giả quyết định chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp Monte Carlo giải bài toán phương trình vi phân” nhằm tìm hiểu rõ hơn về nội dung phương pháp đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực và cụ thể trong luận văn này là áp dụng giải phương trình vi phân thường.
Trong quá trình thực hiện luận văn này, chúng tôi cũng nghiên cứu thêm
DANH SÁCH BANG
Ứng dụng Trong chương này, tác giả đã tổng quan một số kết quả mới của các nhà
Phần kết luận: Dựa trên các kết quả dat được để kết luận, trình bày ưu và nhược điểm của phương pháp đề xuất, những đóng góp của đề tài.
BẢN
Đại lượng ngẫu nhiên [5]
Xét không gian xác suất (Q, D, P), trong đó D là 6 - đại số trên Q và hàm xác suất P: D — [0,1] Ánh xạ X :O —> R được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến thiên nhận giá trị số phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên (một quy tắc đặt tương ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực) và có thể nhận biết xác suất để X nhận giá trị đó.
Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu là X, Y, 2 hoặc X, X2, Ấ„ ; Y1, Yo, , Y„, ; các giá trị có thể có của chúng được ký hiệu là #1, #s¿, , Ln:
Có hai loại đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục Đại lượng ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó là tập giá trị rời rạc (hữu hạn
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 2
hoặc vụ hạn đếm được, nghĩa là cú lượng số khụng quỏ tập số tự nhiờn ẹ ). Đại lượng ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.
1.1.1 Ky vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên a Ky vọng
Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X rời rac, ký hiệu là EL (X) là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên với các xác suất tương Ứng:
Nếu X là dai lượng ngẫu nhiên liên tục với ham mat độ xác suất f (x) thi kỳ vọng & (X) được xác định bằng bởi:
Vậy: kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của các giá trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên, tức là F(X) + x Nó phan ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.
Kỳ vọng có điều kiện của X khi sự kiện A đã cho là một số thực dương và được xác định bởi công thức:
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng là F(X) Khi đó, ta gọi phương sai của X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X E (X) , ký hiệu là D(X) Vậy:
D(X) = E[(X — E(X))”] = E(X”) — [E(X) (1.4) e Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì phương sai được xác định bởi công thức:
D(X) = | fe E(X)ffe)de= | z2f(z)dz [EOP (15
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 3
e Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rac thì phương sai được xác định bởi công thức:
Nhận xét: e Phương sai càng nhỏ thì các giá trị của X càng tập trung xung quanh e Phương sai có điều kiện của X khi sự kiện A đã cho là số thực được xác định bởi công thức:
Cho X là dai lượng ngẫu nhiên không âm, có kỳ vọng & (X) hữu hạn Khi đó: Ve > 0, ta có
Bo đề trên cho ta biết cận trên của xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị không nhỏ hơn e cho trước.
Gia sử X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai hữu han.
Khi đó Ve > 0, ta có:
Hai bat dang thức trên đánh giá các cận trên hoặc cận dưới của xác suất áp dụng cho các đại lượng ngẫu nhiên tùy ý, không bị ràng buộc như bổ đề trên.
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 4
1.1.3 Luat số lớn a Định lý Tchebyshev
Nếu X1, X;, X„, là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có các kỳ vọng hữu han và các phương sai đều bị chặn trên bởi hang số c(D(X) < c), 1=1,n,Ve > 0, ta co: lim P >> 0, ta có: lim P | — (1.10) b Định lý Bernoulli lim P |“ —=p x thì phương trình (1.13) trở thành
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 6
Phương trình trên được gọi là phương trình Volterra loại hai.
Nêu g(x) = 0 thì các phương trình trên là phương trình thuần nhất; nếu g(x) # 0 thì các phương trình trên là phương trình không thuần nhất.
Phương trình tích phân Fredholm loại một và phương trình Volterra loại một là các phương trình tương ứng có dạng:
Trong luận văn này, ta chỉ xét đến phương trình loại hai Va dùng ky hiệu như sau: b
KƒƑ = / K(e,y) f(y)dy = gle) (1.17) K°f = / K(e,y) fly)ay = g(x) (1.18)
1.3.1 Giải phương trình Volterra loại hai
Giải phương trình f(x) — A j FE(z,9)@(0)dụ = g(x) bằng phương pháp xấp xi liên tiếp Quá trình xấp xỉ liên tiếp được thực hiện theo công thức: ful) = f K(e.y)fu-alu)dy = ge) (1.19)
Nếu quá trình xấp xỉ liên tiếp hội tu và việc doi thứ tu lấy tích phân va lấy tổng có thể thực hiện được thì nghiệm của phương trình tích phân Volterra loại hai được biểu diễn bằng công thức:
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 7
1.3.2 Khai niệm tích võ hướng
Ta gọi tích vô hướng của hai ham ƒ(#) và w(a) là b
Hai ham f(x) va w(x) được gọi là trực giao với nhau nếu:
1 Đại lượng 4/(ƒ, f) = ủ Z0] được gọi là chuẩn của f(x) và ký 1 hiệu || ƒ] b b Đặt K*w = [| K*(x, y)w(y)dy = ƒ K(u, x)w(y)dy, ta có dang thức sau : a
1.4 Phương trình vi phan thường [4]
Phương trình vi phan là phương trình liên hệ giữa biến độc lap z , ham cần tìm và các đạo hàm +, „ 2 của nó Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình.
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN S
Phương trình vi phân cấp n có dạng:
Nghiệm của phương trình vi phân là ham số = ¿(#) khi thay vào thỏa phương trình đã cho Đồ thị của y = v(x) được gọi là đường cong tích phan.
1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một [4] Định nghĩa 1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: y + p()U = q(#) (1.25)
Trong đó p(x), g(#) là những hàm số liên tục, cho trước. e Nếu q(x) = 0 thì phương trình (1.25) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. e Nếu q(x) # 0 thì phương trình (1.25) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Phương trình (1.25) có công thức nghiệm tổng quát là: y= e~ J?)dư | q(z)el nữ)ằ +C|,, trong đú C là hằng số (1.26)
1.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai [4] Định nghĩa 1.7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:
Trong đó p(x), g(x), f(x) xác định trên |a, 5] e Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.27) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và có dạng: Ụ ++ p(z)U + q(x)y = 0 (1.28) e Nếu f(x) # 0 thì phương trình (1.27) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Cách tìm nghiệm của (1.27) khi biết nghiệm riêng (+) của phương trình
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 9
Bước 1 Tìm nghiệm riêng y2(x) của (1.28) bằng công thức: en | p(a)dx lan
Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.28) có dạng:
9(#) = C14¡(#) + Coye(x), trong đó C1, Co là hằng số.
Bước 2 Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.27), có dạng: trong đó Œ1(#), Co(x) là ham số cần được xác định.
Giải hệ sau để tìm C1(#), C2(z) :
Ci(x) = ÿ1(3),Ca(3) = ý2(z) lay tich phan 2 vé ta dude
Khi đó, nghiệm riêng của (1.27) có dang: y*(x) = @1()11() + Ós(#)9s()
Kết luận nghiệm tổng quát của (1.27) là: yr) = + = W'oi()M(() + Ó2()2(#) + Cr (4) yi (@) + Ca()02(3) (1:29)
Nếu phương trình vi phân tuyến tinh cấp hai có dang y +p(z)u + q(z)U= filx) + folx), với a < z 0 khin,m — oo thì tồn tai zp € B sao cho ||#„ — #o|Ì >
0 hay %, 9% EB. b Toán tử vi phan
Trong không gian Banach B , với mỗi € R tương ứng một toán tử biến đổi B vào chính nó: X : 8 xlR—> B với z€ Byte R ta có X(z,t)€ B.
Toán tử vi phân 2 : B > B tác động trên B như là đạo hàm của ham dt 7
Phương trình vi phân trong không gian Banach là phương trình cua hai toán ttt g và X (x,t) có dạng: dx
Ham so x = y(t) € B dược gọi là nghiệm của phương trình vi phan trong không gian Banach nếu thỏa mãn:
NHUNG KIEN THUC CƠ BẢN 11
1 y(t) xác định và liên tuc trên |, 7},
2 (p(t), t) € D, 3 Vt € [to, T], tồn tại toán tử vi phân M sao cho: = = X (y(t), t)
Giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân trong không gian Ba- nach là tìm nghiệm tổng quát của phương trình thỏa mãn ty cho trước:
Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.33) thỏa mãn #(fạ) = 2 cho t trước sẽ là nghiệm của phương trình tích phan: Ax = #o + ƒ X(a(s), s)ds và to ngược lai.
Trong quả cầu tâm 2 , bán kính r : Š;(#o) C B tồn tại duy nhất nghiệm x(t) của bài toỏn Cauchy (1.33), (1.34) biến khụng gian ệ vào chớnh nú bởi toán tử X(.,É) x (t) = X(x(t),t), Vt: | — tạ| L) Tính xác suất P(A) dé cây kim cắt một trong các đường thắng đã kẻ trên mặt bàn Buffon thực hiện thí nghiệm tung cây kim nhiều lần để xác định P và phân tích cho ra
Vì vậy, ta có thể sử dung kết qua nay để tính gần đúng số 7 , muốn tính được ta phải biết được P(A) Nhưng xác suất này lại có thể tính gần đúng bởi tần suất TM của nó, với m là số lần xảy ra biến cô A trong n lần thí nghiệm.
Qua bài toán trên ta nhận thấy rằng: để giải bài toán bằng phương phápMonte Carlo cần phải thực hiện nhiều lần những phép thử thống kê và trong quá trình tiến hành các phép thử thống kê là quá trình được lập lại nhiều lần, rất thích hợp với sự hoạt động của máy tính Chính vì vậy, khi sử dụng
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 15
Các nội dung của mô phỏng Monte Carlo
Phương pháp Monte Carlo được ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải bằng số các bài toán tất định Ở đây ta xét những bài toán nhiều chiều của giải tích số mà với những phương pháp số thông thường không thể giải được hoặc không thể cho kết quả được vì khối lượng tính toán quá lớn.
Dé giải những bài toán trên, đầu tiên ta cần thiết lập một bài toán xác suất tương đương (gọi là mô hình xác suất tương ứng) mà lời giải của bài toán tất định được xác định từ lời giải z của bài toán xác suất được xác định bởi một quan hệ hàm tính y = f (x) nào đó. b Nội dung thứ 2
Sau khi thiết lập mô hình xác suất tương ứng với mỗi bài toán tất định, ta cần phải giải gần đúng các bài toán này trong mô hình thông qua việc tiến hành các phép ngẫu nhiên Đây là mô hình thể hiện mô hình xác suất tương ứng Để thực hiện được quá trình này, ta xét các quá trình thể hiện các mô hình xác suất cơ bản trên máy tính như: thể hiện các đại lượng ngẫu nhiên, các véctơ ngẫu nhiên, các biến cỗ ngẫu nhiên, các quỹ đạo của các quá trình ngau nhiên (nói chung) và một xích Markov (nói riêng), c Nội dung thứ 3
Phương pháp Mlonte Carlo còn được ứng dụng hiệu quả trong việc giải bằng số các bài toán xác suất với hiện tượng ngẫu nhiên không quan sát được vì lí do nào đó Để giải quyết những bài toán loại này, đầu tiên ta cũng thiết lập một bài toán xác suất tương đương sao cho có cùng lời giải z với bài toán xác suất ban đầu nhưng có thể mô hình hóa trên máy tính Đến dây, tương tự như khi giải bài toán tất định, ta có thể xác định phỏng ước X đối với lời giải z thông qua quá trình thể hiện một mô hình xác suất cơ bản nào đó. d Nội dung thứ 4
Giả sử từ mô hình mô phỏng ta thu được phỏng ước đối với lời giải z là Xy Mặt khác, từ các số liệu quan sát ta cũng thu được ước lượng thô đối với lời giải # là Xy Nhưng do N >> m nên ước lượng X„ sẽ kém chính xác hơn so với X„y Đó là vẫn đề giảm sai số (theo nghĩa giảm phương sai) của
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 16
Các phương pháp tạo ra số ngẫu nhiên
a Khái niệm về số ngẫu nhiên [1]
Giả sử # là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn |0; 1]
, nghĩa là R là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có ham phân bố:
0 (khi x < 0) hoặc hàm mật độ:
Hàm mật độ liên hệ với hàm phân bố bởi hệ thức: x
Khi đó đại lượng ngẫu nhiên # và các thể hiện (giá trị mẫu) của nó đều được gọi là số ngẫu nhiên.
Kỳ vọng và phương sai được xác định theo công thức:
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 17
Gia sử d là cơ số của một hệ đếm nào đó và p là một đại lượng ngẫu nhiên rời rac nhận giá trị trong tập hợp số nguyên {0, 1, ,đ — 1} một cách đồng kha năng, nghĩa là:
Khi đó p được gọi là một chữ số ngẫu nhiên (trong hệ đếm cơ số d). Đặc biệt: e Nếu d thi p gọi là chữ số ngẫu nhiên thập phan. e Nếu d=2 thì p gọi là chữ số ngẫu nhiên nhị phân.
Dé xét mối quan hệ giữa số ngẫu nhiên và chữ số ngẫu nhiên, trước hết ta xét biễu diễn một số x € [0,1] (trong hệ đếm với cơ số đ nào đó) dưới dang phân số (nói chung là vô hạn): a = 0,12 đg (tp € {0,1, ,đ— 1},Vk = 1,2, ) (2.9) hay
Với cách biểu diễn mỗi số (trong một hệ đếm nào đó) như trên, ta có thé tạo ra số ngẫu nhiên R € [0; 1] từ các chữ số ngẫu nhiên trên cơ sở định lý sau. Định lý 2.1 [1]
Giả sử 0y (k = 1,2, ) là các chữ số ngẫu nhiên trong một hệ đếm nào đó và chúng là độc lập trong toàn bộ Khi đó đại lượng ngẫu nhiên # có biểu diễn trong hệ đếm cơ số đ dưới dạng:
R= Spa (2.12) k=1 sẽ là một sô ngẫu nhiên. b Khái niệm số tựa ngẫu nhiên Định nghĩa 2.2 [1]
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
Giả sử p1, Do, , 0y là K chữ số ngẫu nhiên trong hệ đếm cơ số d nào đó và chúng độc lập trong toàn bộ Khi đó dại lượng ngẫu nhiên:
R(K) = 0, pipr. -D (2.14) được gọi là số tựa ngẫu nhiên cấp K trong hệ đếm cơ số d. c Mỗi liên hệ giữa số ngẫu nhiên và số tựa ngẫu nhiên Định lý 2.2
Giả sử R() là số tựa ngẫu nhiên cấp K trong hệ đếm cơ số d, khi đó R (kK) là đại lượng ngẫu nhiên rời rac nhận giá trị trên tập hữu han.
R(K)= {en can =nd-*:n =0,1, ,d% = 1} (2.15) một cách đồng khả năng:
P{R(K)=z„} =d ”, (Va, € R(R)) (2.16) đồng thời, mọi số ngẫu nhiên với:
R=) pđ” (2.17) k=1 đều khai triển được dưới dang:
R=R(KR)+d “R (2.18) trong đó, pz (k = 1,2 ) là các chữ số ngẫu nhiên độc lập trong toàn bộ và R’ là một số ngẫu nhiên.
Nếu sử dụng số tựa ngẫu nhiên R (i) dé thay thế một cách gần đúng cho số ngẫu nhiên #, thì sai số mắc phải là
Vậy, với số K đủ lớn thì sai số nói trên khá bé và ta có thể nói rằng các số ngẫu nhiên R và tựa ngẫu nhiên #(#Ý) là gần nhau về mặt giá tri.
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
Giả sử R() là số tựa ngẫu nhiên cấp # trong hệ đếm cơ số d Khi đó ta
Fp (x) < d* (Vx € (—oo,+oe)) ) trong đó, Fry (2) va Fr (a) là hàm phân bố của lần lượt số ngẫu nhiên R và số tựa ngẫu nhiên #(). Áp dụng hệ quả (2.1), ta suy ra lim E{R(K)}= F(R) lim D{R(K)} = D(R)
Với K đủ lớn thì kỳ vọng, phương sai, hàm phân bố của các số tua ngẫu nhiên #() và ngẫu nhiên # khá gần nhau Do sự gần nhau về giá tri lẫn những đặc trưng xác suất này, nên ta sẽ sử dụng những số tựa ngẫu nhiên R() thay cho những số R Vậy việc ta cần là tạo ra chữ số ngẫu nhiên độc lập trong toàn bộ từ phép thử ngẫu nhiên được tiến hành một cách độc lập trên các thiết bị phát chữ số ngẫu nhiên. d Các phương pháp tạo ra số tựa ngẫu nhiên R.[1] e Phương pháp thứ nhất
Phương pháp bình phương giữa để tạo ra số tựa ngẫu nhiên:
Xét những số ngẫu nhiên gồm 4 chữ số thập phân Số ngẫu nhiên đầu tiên có thé chọn từ một số R, bất kỳ trên khoảng (0; 1) , chang hạn: R, = 0,9876 Ta bình phương số thứ nhất ta được Ri = 0,97535376 Ta lấy 4 chữ số ở giữa trong 8 chữ số sau dấu phẩy làm những chữ số thập phân của #;.
Vậy Hạ = 0,5353 Cứ tiếp tục quá trình như vậy ta được ?3¿ = 0.6546 ; R,; = 0.8501 : Rs =0,2670: Rg = 0.1289: e Phương phap thứ har
Các số tựa ngẫu nhiên được tao ra bang thiết bị phát chữ số ngẫu nhiên (ví dụ như bàn quay ru - lét) được đưa ngay vào xử lý để giải toán, mà không lưu lại trong bộ nhớ hoặc in ra Điều này gây ra những khó khăn cho việc kiểm tra kết quả tính toán, kiểm tra chất lượng của những số ngẫu nhiên được tạo
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 20
Bang 80 chữ số ngẫu nhiên với 5 chữ số thập phân
Nhưng việc sử dụng bộ nhớ ngoài để lưu giữ bảng các chữ số ngẫu nhiên thường hạn chế tốc độ tính toán. e Các phương pháp tạo ra số giả ngẫu nhiên Để khắc phục khó khăn trên, người ta dùng chương trình để tạo ra số giả ngẫu nhiên Nghĩa là, người ta xây dựng những phần mềm để thiết lập dãy so {Rj}; = tRị € 0:1]: 7 > OF bằng các phương trình truy hồi cấp r có dạng:
Rye = ® (Rj, Ria, Riri) (r = 1) với R gid trị ban dau Ro, Ry,
(2.22) !,_¡ là các đại lượng ngẫu nhiên đã cho.
Dạng đơn giản nhất của phương trỡnh truy hồi cấp r = 1 là Rjy; = đ(ủ,) (
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 21
Thể hiện đại lượng ngẫu nhiên
a Phương pháp nghịch đảo hàm phân bố
Ham đơn tri z = G (0) được xây dựng như sau:
G(y) =inf{z: < F()} =F '(y) (2.26) gọi là hàm ngược của hàm phân bố = F (a) và được ký hiệu là:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 22
Giả sử ƑF'(z) là một hàm phõn bố nào đú với G(y) = F7(ứ) là hàm ngược của nó Giả sử € |0; 1] là đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên [0; 1]
Khi đó đại lượng ngẫu nhiên € xác định từ công thức:
€=G(R) = F"'(R) (2.28) sẽ có phân bố F(x) Ngoài ra còn có sự tương đương của các bất dang thức
Giả sử ham phân bố F(X) là liên tục, thực sự tăng trên miền < a,b >
(hữu hạn hoặc vô hạn, đóng hoặc mở), sao cho F(a) = 0, F(b) =1 Gia sử R là đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên [0, 1}.
F(Q=R với Re (0:1) (2.30) sẽ có nghiệm duy nhất € € (a;b) trong đó € là đại lượng ngẫu nhiên có ham phân bố F(X)
Giả sử p(x) > 0 là ham mật độ của một đại lượng ngẫu nhiên xác định trên miền < a,b > hữu hạn hoặc vô han Nghĩa là: b p(z) > 0(V+z €< a,b >); p(x) = 0(V+z € R\ (a,b) và | p(z)dr =1 (2.31) a
Gia sử R € |0; 1] là một số ngẫu nhiên Khi đó phương trình Ệ
[aa =R (2.32) a sẽ có nghiệm duy nhất € € (a;b) , trong đó € là đại lượng ngẫu nhiên có ham mật độ tương ứng là p(x)(a< # 0, > 0) (2.34) khi đó có thể thu được € từ công thức:
E= T [In R|, (R là số ngẫu nhiên).
Giả sử € € (xo; œ) là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố mũ mở rộng với hàm mật do: p(x) = ae") (ay < & < oo,a < 0) (2.35) khi đó có thể thu được € từ công thức:
1 trong đó R là một số ngẫu nhiên.
Gia sử € € (0, +) là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với ham mật độ: p(x) =A(1— 23+) (00) (2.37)À 2
Khi đó có thể thu được € từ công thức: é=5 (1 _ VR) (2.38) 2 trong đó R là một số ngẫu nhiên.
Giả sử € € (0: =) là đại lượng ngẫu nhiên có phan phối phan thức với hàm mật độ:
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
Khi đó có thể thu được € từ công thức: ơ
€ (x) (2.40) trong đó R là một số ngẫu nhiên.
Giả sử £ € |0, 1] là đại lượng ngẫu nhiên có phân bồ lũy thừa với ham mật độ: p(z)=Az`”, (0 0(V(a,y) € G*\A), p(x,y) =0(V(a,y) €G^A),
That vay Trường hợp 1: z €G + Với € A.Do ÁC G=ŒGU{a} nên ta có Khi A = A\ fa}
+ V6ia ¢ A suy ra ACG Do đó,
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 34
Trên cơ sở (2.85) ta thay xích Markov € (t) có miền hap thụ là fa} C Œ, nghĩa là nếu € (t) = a thì
Vì các xác suất chuyển P(z, A4) qua một bước của xích Markov thuần nhất £(#) (£= 0,1,2, ) được cho bởi (2.85), nên có thể xác định được các phân bố xác suất chuyển trạng thái:
Trong số các quỹ đạo của xích Markov dang:
Ta xét các quỹ đạo có dạng:
€(0)=z>zÌ—© z”—+a—>a (mxz”€Œ,1„ Ah hội tụ trong C (a,b) (Vh € C(a;b)) Khi đó, ta tìm được
=0 một số tự nhiên m, sao cho ||F”'||< 1.
Tóm lại mọi điều kiện của định lý 2.6 đều thỏa mãn.
Kiểm tra tính đúng đắn các giả thiết của định lý 2.7.
Theo định lý 2.7, ta có
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 49
Và tương tự như khi chứng minh chuỗi 5) AK? trong C [a, b| , chuỗi Neu- n=0 man tương ứng với toán tử A, la }) yh cũng hội tu trong Ó (a,b) , (Wh € C (a,Ù)) hay tim được một số tự nhiên m, sao cho Jn? | # là hàm đã cho, sao cho ƒ()œ()€T'(G) (2.194)
Với L' (G) = tứ |All = [lf (z)| da < too} là không gian những ham tuyệt đối khả tích trên Œ : Để xây dựng một mô hình ngẫu nhiên tính tích phân trên, trước hết ta lựa chọn một ham mật độ r(x) xác định trên G, sao cho r(x) >0,(Va EG); [rae =1,
J (2.195) r(x) =0 ,(Vx € Go); r(x) > 0, (Vx € G\Go) trong đó Gp = {@ €G: p(x) =0}.
Lập dai lượng ngấu nhiên
Ng ma. với € là véc tơ ngẫu nhiên có mật độ đồng thời r (x) va đại lượng ngẫu nhiên ¢ (x) = Qu(œ,#`, , #7) g(a") (Va € G) (2.197) q(x”)
Với điều kiện của định lý 2.7 và các điều kiện f()e()€1'(@); r(x) >0 (vir EG); | rí) =1 (2.198)
Ta gia thiét thém rang
PO Oe Da (2.199) 2 r(.) trong đó s(.) € B la nghiệm của phương trình: s(x) = |K,s] (x) + g ) ,(Vx € G) (2.200) 2 q(x)
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 51
Khi đú đại lượng ngẫu nhiờn ỉ cú kỳ vọng va phương sai hữu han Đồng thời
EXO} =
09) (1 —> ỉ, —> } (2.254) sẽ kết thúc (h.c.c) sau một số hữu hạn v bước chuyển trạng thái và có dang:
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 62
trong đú đại lượng ngẫu nhiờn /(ỉy_Ă) cú thộ tạo từ cụng thức:
Trong đó, R, = 1— lạ là số ngẫu nhiên độc lập với ##„ (k > 1) và thỏa:
1 Ôy_ạ ' 1 Ptu(ỉy 1) =1 PĐ4- — =1UH (Ora) = 1h = tps (5 i+ộ ~ Fi) +3
=l—P4H¿¡< — P4 Hạ — hi mi {Be Oy, —} € €
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN THƯỜNG BANG
Xét véc tơ ngẫu nhiên ¢ (£) có dạng:
Với cách xác định độ dài theo tiêu chuẩn (2.256) và do
(0) = Qn (01,0) IEE) lớp 0,7) (2263 trong do: g (0; Ro) = fo + @.b (A, Ro) va
1 (tos tis es tm) = Qn—t (tos tis ees bn (n>),
Bn Cos Frvorin) Got lo tirwotm a TET py MSs (9.964)
Qn (to, ẫt, , tn) = Qn—-1 (to, t1, ô03 tn—1) (€ + tn-1) A (tn)
Tiép theo ta can chitng minh véc to ngau nhién:
€(Ð = (& Œ).,& (, &„ (9) ” ER” (2.267) nói trên là ước lượng không chệch đối với nghiệm: ƒ()=(Œ:0).&() #„(Ð)ˆ c R" (2.268) của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và các phương sai D [&; (f)} (1
