Cuốn sách TỐI ƯU PHI TUYẾN – Lý thuyết và phương pháp giải này tập trung trình bày những nội dung cơ bản của lý thuyết tối ưu phi tuyến và các phương pháp thường dùng để giải các bài toán tối ưu phi tuyến có hay không có ràng buộc. Nội dung sách được chia thành bốn phần chính, có thể đọc độc lập với nhau tùy theo nhu cầu học tập, nghiên cứu. Phần cuối liệt kê một số tài liệu tham khảo, đưa ra đáp án các bài tập ở cuối mỗi chương và danh mục từ khóa tra cứu. Sách có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên, tài liệu tham khảo, học tập cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh về một số chuyên đề gần nhau như: Giải tích lồi, Lý thuyết tối ưu, Quy hoạch phi tuyến, v.v..
CO SO GIAI TICH LOI
Chương 1 Tập lồi Tập lồi
1.1 Tap afin va bao afin
Cho a, b 1a hai diém trong R" Dudng thang di qua a va b la tap tat cd cdc diém a € R” co dang
+ =(1—À)ứ+Àb=ứa+À(b— a) với À €R Định nghĩa 1.1 Tập M C R” gọi là một tập afin (hay da tạp tuyến tính) nêu (L— À)}a + Ab € M với mọi a, b € ă và mọi À € R, tức là nếu M chita tron cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó
Rừ ràng, nếu ă là một tập aủn và a € IR" thỡ a+ MỸ ={a+z | x € M} cing la mot tap afin va M 1a một tập afin chứa gốc khi và chỉ khi M 1A mot không gian cơn, nghĩa là néu a, b € M thi moi điểm Aa + pb cing thudc M voi A, € R
Dinh ly 1.1 Tap M khong rong là một tap afin khi va chi khi M=a+L, trong d6ae M va L la mét khong gian con
Chting minh Gia st’ MW 1a mot tap afin va a € M Khi do, M =a+ LÙ với Ù = —a + Mĩ Do —a € R" nên Ù = —a + Mƒ cũng là một tập an, hơn nữa, 0 € L (via € M) nén L 1a mot khong gian con.
Negugc lai, gia st M =a+L voia € M va L là một không gian con Do không gian con Ù là một tap afin nén M = a+ L cing la một tập an L]
Không gian con Ù nói trên được gọi là không gian con sơng song với tập aln Mĩ: L//AM Nó được xác định một cách duy nhất
Thú nguyên (hay số chiều) của một tập aflin ÁM, ký hiệu dim M, là số chiều của không gian con song song với nó Ta quy ước: dim @ = —1
Ví dụ 1.1 Trong R®, diém M(a, b,c) 1A mot tap afin sd chiéu 0, vì không gian con song song với Ä⁄ là Ù = {0} (Hình 1.1a); đường thẳng qua hai điểm 4 và ệ là một tập an số chiều 1, vỡ khụng gian con song song {a = À( — 4) | A € R} 1a khong gian con một chiều (Hỡnh 1.1b); mặt phẳng là một tập aủn số chiều 2 (Hỡnh 1.1c);
IRỶ là một tập aủn cú số chiều 3 Tập ỉ là tập afin số chiều —1
Hinh 1.1 Tap afin M va khong gian con song song L Định ly 1.2 Mét tap afin k chiều bat ky cé dang M = {x | Ax =}, trong d6 AC R™", bE R” va rankA=n—k (M la tap nghiém của một hệ phương trành tuyến tính) Một tập khác rỗng bất kỳ có dựng trên là một lập afin k chiều
Chứng minh Giả sử A⁄/ là một tập afin k chiều Với z2 € M, tập
L = M—+° là một không gian con k chiều, vi thé L = {z | Az = 0} với 4 là ma trận cấp m x n cé hang bang n — k Do vậy,
1.1 Tap afin va bao afin 21
Ngược lại, nếu M 1a mot tap co dang trén thi với bat ky 2° € M, ta c6 Ax® = b Do dé, M = {x | A(a — 2°) = 0} = 2° +L véi L= {a | Ax = 0} Do A cú hạng ứ — k nờn L là một khụng gian con k chiéu, vi vay, M 1A mot tap afin k chiều L] Định nghĩa 1.2 Một tập an (w — 1) chiều trong IR* gọi là một siêu phẳng đ1#1 + dạ#a = œ ary
Hình 1.2 Siêu phẳng trong IR? và IR°
Hệ quả 1.1 Một siêu phẳng bất kỳ trong IR" là một tập có dạng
H={x| (a,x) =a}, (1.1) trong dba € R\ {0}, aE R Nguoc lai, mot tap bat ky cé dang trên là một siêu phẳng trong lề"
Véctơ a trong (1.1) gọi là oéctơ pháp tuyến của siêu phẳng HH
Tất nhiờn, với siờu phẳng 7ƒ đó cho, vộctơ ứ và œ được xỏc định sai khác một thừa số chung khác 0 Đường thang {Aa | A € R} cắt Jƒ tại diém Xa sao cho (a, Aa) = a, tit d6 X = a/|lall? Vì vay, khoảng cách từ gốc 0 tới siêu phang H bang |A|||al| = |a|/|lal| (do dài của véctơ Àa)
Vi du 1.2 H = {a = (x1,2%2) | 3#i + 4z¿ = 50} là một siêu phẳng trong mặt phẳng IR? Véctơ pháp tuyến của siêu phẳng này la a = (3;4)T và khoảng cỏch từ 0 tới ù bằng 10, do ||ứ|| = 5 và a = 50 (xem Hình 1.3).
Trong R", siéu phang H = {x | (a,x) = a} vdi a € R" \ {0} va a € R chia R” thanh hai nia khong gian đóng:
A = {a | (a,x) a}, mỗi nửa không gian này ở về một phía của siêu phẳng và phần chung của chúng chính là siêu phẳng #7 Tương tự, #ƒ cũng chia ]R" thành hai nửa không gian mở:
(a,z) =@œ xy Hình 1.3 Khoảng cách từ gốc 0 tới siêu phẳng trong IR? và R3 Định nghĩa 1.3 Diễm z € ùR" cú dạng x =a! + doa? + + \pa® voi a’ ER” va y+ An + - +A, = 1 say ph " : gọi là một fổ hợp afin của các điểm a!,a?, ,a*
M là một tập afủn khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp aủn cỏc phần tử thuộc nó
Giao của một họ bất kỳ các tập afin cũng là một tập an
Cho E la mét tap bat ky trong R”, cd it nhat mét tap afin chita
1.2 Tập lồi, nón lồi uà bao lồi 23 Định nghĩa 1.4 Giao của tất cả các tập afin chứa # gọi là bao afùn của E và ký hiệu là af# Đú là tập an nhỏ nhất chứa #
Dễ thay z € aff khi và chỉ khi z là một tổ hợp afin của các phan tử thuộc E Định nghĩa 1.5 Ta nói k điểm a!, a2, , a* € IR" là độc lập afin nếu cỏc vộctơ a2 — ứ!, ứ# — a!, ,a! — a! độc lập tuyến tớnh (xem Hình 1.4a)
Cú duy nhất một siờu phẳng đi qua ứ điểm độc lập afin a\,a?, ,a" trong R” D6 chinh 1a tap afin n — 1 chiéu
M = aff{a'l,a’, , a*}, vỡ M =ứ+! + L với L là khụng gian con ứ — 1 chiều, xỏc định duy nhất bởi n — 1 vộctơ độc lập tuyến tớnh a2— a!, ứ3— a!, ,ứ—ứ (xem Hình 1.40)
Hình 1.4 (a) a!,a?,a°,a‘ doc lap afin; (b) Siéu phang qua ba diém
1.2 Tập lồi, nón lồi và bao lỗi
Cho hai diém a, b € R” Tap tat cả các điểm z = (1— À)a + Ab với 0 < À < 1 gọi là đoạn thắng (đóng) nối a và b và được ký hiệu la [a, 6).
24 Chương 1 Tap loi Định nghĩa 1.6 Tập C Cc R” dude goi IA mot tap loi néu no chita trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó, nói cách khác, nếu (1— À)a + Àb € C với mọi a, b € C và mọi 0 < À < 1
Ví dụ 1.3 Các tập sau đây đều là các tập lồi:
(a) Cac tap afin (nói riêng, các siêu phẳng);
(b) Các nửa không gian đóng, các nửa không gian mở;
Hinh 1.5 Mot s6 tap 1di va tap khong 16i trong R? ©
Từ định nghĩa của tập lồi, trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau:
(a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi
(b) Nếu Œ, DC R" là các tập lồi thì
C+D=t{z+ul|lzeC,uceD), œŒ ={az|+zcŒ, œcR},
C-D=C+(-1)D cing 1a cdc tap 1di trong R”
(c) Neu C CR", DCR™ là các tập lồi thi
Cx D={(x,y) |x EC, ye D} la mot tap 16i trong R’*™ (Co thé md rong cho tich nhiéu tập lồi).
1.2 Tập lồi, nón lồi uà bao lồi 25 Định nghĩa 1.7 Diễm z € " có dạng x= da + -+,a* véia’ ER”, 4; >0, Ap + + AR = 1 goi lA mot t6 hgp Idi cia céc diém a!, ,a* o& Tap Œ là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử thuộc nó
Thú nguyên (hay số chiều) của một tập lồi Ở, ký hiệu đim Ở, là thứ nguyờn hay số chiều của bao aủn của nú Một tập lồi Ở trong IR" gọi là có thứ nguyên đầy nếu đìm Ở = n Định nghĩa 1.8 Một tập con ă của R” được gọi là một nón
(mũi tại 0) nếu z € M, À > 0 thì Az € AM Nón AM gọi là nón lồi nếu tập M lồi (Hình 1.6b) Điểm gốc 0 có thể thuộc hoặc không thuộc A/ Tập a + M (a € R") goi là nún cú mũi tại ứ Nún Aƒ khụng chứa đường thẳng nào gọi là nón nhọn Trong trường hợp này, gốc 0 gọi là đính của 1M và a + ÁM là nón có đỉnh tại a Mỗi nửa không gian (đóng hay mở) đều là một nón, nhưng không phải là một nón nhọn
Ví dụ 1.4 Các tập sau đây là các nón lồi (đỉnh tại gốc 0) hay gap trong R”:
(a) RY = {@ = (a1, , a) ER" | a; > 0, i=1, ,n} (orthant khong am)
Dinh ly 1.3 Tap con M ciia R” la một nón lồi đính tại gốc khi va chi khi
AM CM, VA>0vaM+MCM, (1.2) nghia la vdi moi x, y€ M va moi 86 X> 0, tacdax+yeEM va Ace M.
Chứng minh Nếu A/ là một nón lồi thì AM C M, VA > 0 theo định nghĩa của nón Hơn nữa, lấy bất kỳ z, y € M thì do AM lồi nên
(+) € ÄM, do đó, theo trên z + € M, vì thế M + M C M
Ngược lại, nếu có (1.2) thi M 1A mot non va véi moi z,y € M, À€ |0;1], ta có (1— À)+ € A/, Àu € A/ Từ đó (1— À)z+ Au€ 1M, nghĩa là AZ là một tập lồi L]
Chương 2
2.1 Hàm lồi và hàm lõm Định nghĩa 2.1
(a) Hàm ƒ : S — [-o0, +00] xác định trên một tập hợp lồi
S CR” goi IA một ham 1di trén 9 nếu với mọi z!,#+? € Š và mọi số thực A € [0; 1], ta có ƒ[U—AJz'+Az#?] < (1d) f(0") + AF (22), mỗi khi về phải được xác định, nghĩa là hệ thức trên cần được thỏa man trừ khi ƒ(œ!) = —ƒ(z?) = +œ (vì biểu thức +oo
(b) Hàm ƒ gọi là ham lồi chặt trên S néu véi moi z!, 2? € S,
+! # z? và mọi A € (0; 1), ta có ƒ[(—A)#z!+Az?] < (L— ÀA)ƒ@!)+Aƒ(2?)
(e) Hàm ƒ gọi là hờm lốm (lốm chặt) trên S nếu —ƒ là lồi (lồi chặt) trờn Š; gọi là tuyến tớnh aủn (hay đơn giản là aƒ#in) trờn 5 nếu ƒ hữu hạn và vừa lồi vừa lõm trên 9
Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại khong ding Mot ham afin trén R” c6 dang f(x) = (a,x) + a véi
2.1 Ham loi va ham lốm 49 a€R", a ER, béi vi véi moi z!, 2? € R” va moi A € |0; I], ta có
Tuy nhiờn, hàm aủn khụng lồi chặt hay lừm chat
Hình 2.1 (a) Hàm lồi chặt; (b) Hàm lồi (không chặt) Định nghĩa 2.2 Cho hàm bất kỳ ƒ : 9 — [—oo, +œ] với § C IR”, các tập dom f = {x € S| f(a) < +e} va epi f = {(œ,a) €8 x R | ƒ(œ) < a} được gọi lần lượt là miền hữu dựng và tập trên đồ thị của hàm ƒ Nêu dom ƒ khác rỗng (ƒ không đồng nhất bằng +œ) và ƒ(#) > —oœo với mọi z € Š thì ta nói hàm ƒ là chính thường Nói cách khác, ƒ chính thường nếu domƒ 4 0 và ƒ hữu hạn trên dom ƒ
9x Có thể chứng minh rằng hàm ƒ lồi trên Š khi và chỉ khi
(a) Tập trên đồ thị epi ƒ là một tập lồi, hoặc
(b) f(a Axz°) < nh Akƒ(œ*) với mọi z# € 9, See ae = 1 va Ax, > 0 với mọi k, trong dé m 1a sé nguyén > 2 (bat dang thitc Jensen).
& Ham Idi f : S + [-00, too] c6 thé dude mé rong thanh hàm lồi xác định trên toàn không gian R” bang cach dat f(x) = +00 véi moi ô Â S Vi vay, để đơn giản, ta thường xột hàm lồi trờn toàn R",
Sau đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi (Œ C IR" là một tập lồi khác rỗng):
0 khi z € Œ, b) Hàm chỉ của Ở: ðo(z) = ©) cũ) tn khiz €C
(c) Ham tua cha C: so(@) = supyec(y, +) (cận trên của xy trén tap C)
(d) Ham khoang cach do(x) = infyec ||x — y|| tit diém x € R” tdi C
Dưới đây là bốn phép toán cơ bản bảo toàn hàm lồi (suy trực tiếp từ định nghĩa):
(a) Néu f;: R” = R (i =1, ,m) 1A ham lồi thì œxƒi + - + Amfm 16i v6i moi a; > 0 va 16i chat néu it nhat mot trong các ham ƒ; lồi chặt với a; > 0
(b) Nếu ƒ; (¡€ 7) : IR" —> IR là hàm lồi thì ƒ(+) = sup;¿; fi(x) 1a hàm lồi
(ec) Nếu 4: IR“ —› IR” là biến đổi tuyến tớnh và ứ : R” —› R là hàm lồi thì hàm hop f(x) = g(Az) 1A ham lồi
(d) Neug: DCR" > Ra ham lồi và h : R — R 1a ham lồi không giảm thi ham hop f(x) = h(g(x)) 1a ham 1éi
Vi du 2.1 Theo (d), ham f(x) = ce + -+ene9™, & € R” lồi nộu moi  > 0 va moi ham ứ;(z) lồi (chẳng hạn, hàm hai biến f (x1, 22) =e" 4+ 2e"!~?2 là hàm lồi)
Dịnh lý sau đây nêu lên mối liên hệ đáng chú ý giữa hàm lồi và tập lồi.
2.1 Ham loi va ham lốm 51
Dinh lý 2.1 Gid sit f : R" + [-00, +00] la mot ham loi trén R” va a € [—00, +00] Khi dé, cdc tap mức dưới
Cy = {a | f(a) < ah, C= {x | f(@) < at là tập lồi Tương tự, nếu f la mot ham lõm trên R” thà các tập muc trên
Dạ = {z | f(x) > B}, Da = {2| f(x) = 8} là tập lồi
Chứng minh Theo định nghĩa của hàm lồi, ta có ƒ[(—A)z!+Az?] < max {ƒ(z'), ƒ(z?)} V+',z° € R", À e (0;1)
Từ đó suy ra các kết luận của định lý L]
Hình 2.2 Tập mức dưới hàm lồi, tập mức trên hàm lõm z® Tuy nhiên, mệnh đề đảo của định lý trên không đúng
Mở rộng hàm lồi: Một hàm f ma moi tập mức dưới là tập lồi gọi là một hàm tựa lôi Ví dụ, ƒ() = z3 hay f(x) = v/]z| trên R là hàm tựa lồi nhưng không lồi
Dịnh lý sau đây nêu lên một tính chất đặc trưng cơ bản của các hàm lồi.
Dinh ly 2.2 Cho Ở là một tập lồi, khác rong trong R” va ham f:R° SR là một hàm lồi Khi đó, mọi điểm cực tiểu địa phương của ƒ trên Ở đều là điểm cực tiểu toàn cục Tập arg mìn,eo ƒ(#) là tập cơn lồi của Ơ
Chứng minh Giả sử z° e Ở là một điểm cực tiểu địa phương của ƒ trên Ở và (z9) là một lân cận của #° sao cho f(x°) < f(x) với mọi € Œf\U(z9) Với bất kỳ ứ € Œ, ta cú
& = Ar + (1—A)x® €E CNU(2") với mọi A > 0 đủ nhỏ Khi đó, ƒ() < fứ) < Aƒ() +(1— A)ƒ(@°) hay AÀƒ(#°) < Aƒf(z) Do À > 0 nên ƒ(z°) < ƒ(z) Vì z € Ở được chọn tùy ý nên zÐ là điểm cực tiểu toàn cục của ƒ trên C
Nếu a = min{ƒf(+) |z € Œ} thì argmin;ec ƒ(+) trùng với tập Cr{x | f(x) < a} Tap nay 1éi do ham f(x) 16i (xem Dinh lý 2.1)
Hệ quả 2.1 Bát cứ điểm cực đại địa phương nào của một ham lõm trên một tập lồi cũng là điểm cực đại toờn cục Tập tắt cả các điểm cực đại của một hàm lõm trên một tập lồi là lồi
Dinh lý 2.3 Một hàm lồi chặt ƒ trên một tập lồi Œ có nhiều nhất một điểm cực tiểu trên Ở, nghĩa là tập arg min„eo ƒ(œ) gồm nhiều nhất một phần tử
Chứng minh Nếu ƒ cú hai điểm cực tiểu khỏc nhau zứ!,+? € Ở thì do tính lồi chặt của ƒ nên
/§m + 3”) < f(x') = f(a”), điều này khụng thể xảy ral ủ
Ví dụ 2.2 Hàm lồi chặt một biến ƒ(z) = z2 có duy nhất một điểm cực tiểu ứ* = 0 Cũn hàm lỗi chặt ƒ(z) = eđ (2 € R) khong có điểm cực tiểu nào.
+ Hàm lồi n biến có mối quan hệ chặt chẽ với hàm lồi một biến
Ta có định lý sau đây
Dinh ly 2.4 Ham f(x) x € R", la ham loi khi va chi khi ham một biến số p(X) = f(x +d) la ham léi theo A uới mỗi z, d € IR"
Chứng minh Diều kiện cần là rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử ¿(A) là hàm lôi với mọi z, d € IR” Lấy bất kỳ z, € IR" và dat d = y — z Khi đó, với mọi À € [0; 1], ta có f[(L— ÀA)#z + Au] = ƒ(+Ađ) = ¿(A) = ¿[(— À).0+ÀA1]
2.2_ Hàm lồi liên tục Định lý 2.5 Hàm lồi chính thường f trén R” liên tục tại mọi điểm trong của miền hữu dụng của nó (ƒ liên tục trên int (dom f))
Chứng minh Giả sử z° € int (dom f) V6i moi i = 1, ,n, ham thu hẹp của ƒ trên khoảng mở {£ | z° + te" € int (dom } liên tục trên khoảng này Vì thế, với mọi e > 0 cho trước và với mọi ¿=1 ,n, ta có thể chọn ổ; > 0 đủ nhỏ sao cho
B=t| Izlli < 3} (|zli = max{lzi, |za|})-
Ký hiệu đ' = ôe?, đ"*? = —ðe!, ¿ = 1, ,n Khi đó, có thể thấy ring moi a € B cé dang x = \yd! +++ -+Ag,d?” voi Ay +++ Aon = 1, À;>0 Từ đó f(a +2) 0) Nếu ƒ liên tục tại điểm z? thì tồn tại một lân cận mở Ù của # sao cho ƒ(#) < ƒ(#) + 1 với mọi z € Ù, tức là ƒ(+) bị chặn trên trong U
(b) = (e) Nếu ƒ(z) < M với mọi z trong một tập mở Ù thì U x [M, +00) C epi f, vi thé int (epi f) 4 2
(c) = (d) Néu int (epi f) 4 @ thì tồn tại một tập mở U C R” và một khoảng mở 7 C R sao cho U x I C epif, nén U C dom f,
2.3 Hàm lồi khả vi 55 nghĩa là int (dom ƒ) khác rỗng Theo Định lý 2.5, hàm ƒ liên tục trén int (dom f)
(a) Mot ham thuc mot bién y(t) kha vi trong mét khodng mé la loi khi va chỉ khi dạo hàm của nó @{(Ð) là một hàm không giảm
(b) Một hàm thực một biến p(t) hai lan kha ơi trong một khoảng mở là lồi khi oà chỉ khá đạo hàm cấp hai của nó yp" (t) không âm trên toàn bộ khoảng tmmở nay
Vớ dụ 2.4 Cỏc hàm e*, ô?* voi k =1,2, va ham #logz+ (được xác định bằng 0 khi z = 0) lồi trong R Các hàm lnz, v⁄ lõm trong R,
+® Để nhận biết hàm lồi, người ta còn sử dụng các tiêu chuẩn sau (trường hợp khả vì)
Dinh ly 2.8 Cho một tập lồi C C R” uà một hàm ƒ : R" — R kha vi trén C
(a) Ham ƒ lồi trên Œ khi uà chỉ khi fly) > Fle) +(VFla),y 2) nối mới z,y € Ơ
(b) Néu f(y) > f(a) + (Vƒ(#),— #) oới mọi z,ụ € Ở, # # ụ thi ham ƒ lồi chặt trên Ơ
Chứng mỉnh (a) Giả sử hàm ƒ lồi trên Œ Với mọi z, € Œ và với mọi số A € [0; 1], ta có
Từ đó suy ra f0) — fe) > TP ?X8=Đ]=ƒE) và cai,
Cho qua giới hạn ở về phải khi A | 0*, ta được f(y) — f(x) = (VF (a), y — 2)
Ngược lại, giả sử ƒ() Với bất kỳ z, € Œ và 0 nên z € Œ
Với z và z, ta có ƒ(+) — ƒ(z)) > (Vƒ(z).+ — 2)
Với và z, ta có f(y) — ƒ(2)) > (Wƒ(2).— 2)
Nhân bất đẳng thức đầu với A, bất đẳng thức sau với (1 — À) và cộng lại, ta có
>A(VƒŒ),z— z)+(1—A){VƒŒ):u= 2) ƒ(z)+(Vƒ(),u— z) với mọi +, € C
< À f[Az + (1— AJ] điều này chứng tỏ hàm ƒ lồi
Phần (b) chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng mỉnh điều kiện đủ của (a) ở trên L] Định lý 2.9 Cho một tập lồi mở Ở C TR" uà một hàm ƒ : R" —› R hai lần khả 0i liên tục trên Œ W?ƒ(œ) là ma trận Hessian các đạo hầm riêng cấp 2 của ƒ tại œ.
(a) Néu V?f(x) mita xác định dương tới mỗi zœ € CƠ ((,V?ƒ(z)w) > 0, uới mợi ụ € R") hoặc nếu V?ƒ() có mọi giá trị riêng không âm thi ham f loi trên Ơ
(b) Néu V?f(x) sác định dương tới mỗi x € CC (tức là (y, V7f(x)y) > 0, vdi moi y € R” \ {0}) hode néu V? f(x) có mọi giá tri riéng duong thi ham f loi chat trén C
(c) Néu C = R" va ham f loi thi V? f(x) nita vac dink duong voi moi x € R”
Chứng minh (a) Với mọi z, € Œ, theo công thức khai triển
Taylor bậc 2, ta có f(y) = f(x) + (VF(2),y-2) với œ € |0; 1] Vì thế, do WV2ƒ(z) nửa xác định dương nên ta nhận được ƒ() > ƒ(z) + (Vƒ(+), — x) với mọi z, € Œ Từ Dịnh lý 2.8a) suy ra hàm ƒ lồi
(b) Chứng minh tương tự như trong phần (a), suy ra
Theo Định lý 2.8(b), hàm ƒ lồi chặt
(c) Giả sử ƒ : IR“ — IR là hàm lồi Nếu V?ƒ(z) không nửa xác định dương với mọi + € IR” thì phải có một phần tit 2 € R” va một phần tử € IR" sao cho (w,V?ƒ(z)y) < 0 Do V?ƒ(z) gồm cỏc hàm liờn tục theo ứ nờn ta cú thể chọn ứ với ||u|| đủ nhỏ sao cho (w, V?ƒ(z + aw)) < 0 với mọi œ € [0; 1] Khi đó, lại dùng công thức khai triển Taylor bậc 2, ta suy ra ƒ( +) < ƒ(œ) + (Vƒ(z) 0) trái với kết luận a) Định lý 2.8 vì ƒ là hàm lồi Vậy, V2ƒ(z) nửa xác định dương với mọi z € R” L]
Hệ quả 2.2 (Điều kiện cần cho hàm lồi/lừm) Gửđ sở ƒ : R" — R là một hàm hai lần khả ơi liên tục va w(x) la dao ham riéng hai lần của f theo cing bién x;.
(a) Néu f(a) lồi thì f7,() > 0, j = 1, ,m tới mợi #
(b) Nếu ƒ(œ) lõm thà ƒj(z) < 0, j = 1, ,m' uới moi x
(c) Néu f(x) loi chat hay lém chat thi các bất đẳng thúc trên được thay tương ứng bằng các bắt đẳng thúc thực sự > hay <