Đây là tài liệu khái quát về độ đo tích phân dành cho sinh viên năm 2 bậc đại học của trường KHTN-TPHCM ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2022 Độ đo Tích Phân 1 Độ đo Định nghĩa. Cho M là một họ các tập con của tập X. Ta nói M là một σ-đại số nếu M thỏa a) X ∈ M, b) Nếu A ∈ M thì Ac ∈ M c) Nếu An ∈ Mn = 1, 2, . . . thì ∪∞ n=1An ∈ M Khi đó (X,M) gọi là một không gian đo được và phần tử của M gọi là các tập đo được. Hệ quả. Cho (X,M) là một không gian do được. Ta có a) ∅ ∈ M b) Nếu An ∈ Mn = 1, 2, . . . thì ∩∞ n=1An ∈ M. Bài tập. Chứng minh hệ quả bằng cách sử dụng luật De Morgan A\[ i∈I Ai = \ i∈I (A\Ai) , A\\ i∈I Ai = [ i∈I (A\Ai) Mệnh đề. a) Nếu Mi(i ∈ I) là một họ các σ-đại số trên X thì ∩i∈IMi là một σ-dai số. Cho F ⊂ P(X). b) Dặt σ(F) = {A : A ∈ M,∀F ⊂ M}. Khi đó, σ(F) là σ-dại số nhỏ nhất chúa F, nghĩa là cho \sigma-đại số M, F ⊂ M ⇒ σ(F) ⊂ M Ta nói σ(F) là σ- đại số sinh ra bởi F. Bài tập. a) Chứng minh ba tính chất của σ-đại số. b) CM tính nhỏ nhất của σ(F) Định nghĩa. Cho I ⊂ ◆. Cho F = {Ai : i ∈ I} là các tập đo được thỏa Ai 6= ∅, Ai ∩ Aj = ∅ nếu i 6= j, i, j ∈ I và ∪i∈IAi = X. Nếu I hữu hạn, ta nói F là một phân hoạch hũu hạn của X. Trong xác suất họ này còn gọi là một bộ biến cố đầy đủ. Nếu I vô hạn, ta nói F là một phân hoạch đếm được của X. Ta nói σ(F) là σ-dại số của phân hoach hữu hạn (hay phân hoạch đếm được) F
Trang 1De Cuong DDTP 2022 - DDTPphương pháp nghiên cứu khoa học (Trường Đại học Sài Gòn)
De Cuong DDTP 2022 - DDTPphương pháp nghiên cứu khoa học (Trường Đại học Sài Gòn)
Trang 2n=1An∈ MKhi đó (X, M) gọi là một không gian đo được và phần tử của M gọi làcác tập đo được.
Hệ quả Cho (X, M) là một không gian do được Ta cóa) ∅ ∈ M
b) Nếu An ∈ Mn = 1, 2, thì ∩∞
n=1An∈ M.Bài tập Chứng minh hệ quả bằng cách sử dụng luật De Morgan
F ⊂ M ⇒ σ(F) ⊂ MTa nói σ(F) là σ- đại số sinh ra bởi F
Bài tập a) Chứng minh ba tính chất của σ-đại số b) CM tính nhỏ nhấtcủa σ(F)
Định nghĩa Cho I ⊂ ◆ Cho F = {Ai : i∈ I} là các tập đo được thỏaAi 6= ∅, Ai∩ Aj =∅ nếu i 6= j, i, j ∈ I và ∪i∈IAi = X Nếu I hữu hạn, ta nóiF là một phân hoạch hũu hạn của X Trong xác suất họ này còn gọi là mộtbộ biến cố đầy đủ Nếu I vô hạn, ta nói F là một phân hoạch đếm được củaX Ta nói σ(F) là σ-dại số của phân hoach hữu hạn (hay phân hoạch đếmđược) F
Trang 3Mệnh đề Cho I ⊂ ◆ Cho F = {Ai : i∈ I} Khi đó σ(F) bao gồm ∅, X vàcác tập hợp có dạng Si∈JAi với J ⊂ I.
Định nghĩa Cho τ là họ các tập mở của ❘n Khi đó σ-đại số nhỏ nhất trên❘n chứa τ gọi là σ-đại số Borel và ký hiệu là B (❘n) Các phần tử củaB (❘n)gọi là các tạp Borel Các tập Borel thông thường là các tập mở trong❘n, cáctập đóng trong ❘n, giao đếm được các tập mở, hội đếm được các tập đóng.Định nghĩa Cho (X, M) là một không gian đo được Một ánh xạ µ : M →[0,∞] gọi là một độ đo (dương) nếu
a) Tồn tai A ∈ M sao cho µ(A) < ∞,b) Nếu An∈ M, n = 1, 2, và Ai ∩ Aj =∅(i 6= j) thì
µF([a, b]) = F+(b)− F−(a)µF((a, b)) = F−(b)− F+(a)µF([a, b)) = F−(b)− F−(a)µF((a, b]) = F+(b)− F+(a)trong đó F+(x) = limt→x+F (t) và F−(x) = limt→x−F (t).Định nghĩa Nếu chọn F (x) = x thì µF được gọi là độ đo Lebesgue trên ❘và ký hiệu là m hay m1 Với độ đo Lebesgue, ta có m({a}) = 0, m((a, b)) =m([a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = b− a với a, b ∈ ❘, a < b
Định lý Cho (X, M, µ) là một không gian đo Ta cóa) µ(∅) = 0,
b) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, , m và Ai∩ Aj =∅(i 6= j) thi
Trang 4i=1Bi.iv) Tính µ (An) và µ(A) theo µ (Bi).v) Suy ra đpcm.
Mệnh đề Cho không gian đo (X, M, µ).a) Nếu A, B ∈ M, A ⊂ B và µ(B) = 0 thì µ(A) = 0.b) Nếu An ∈ M và µ (An) = 0, n = 1, 2, , thì µ (S∞
n=1An) = 0.Định nghĩa Cho (X, M, µ) Ta nói độ đo µ là đầy đủ nếu với moi A ∈ M,µ(A) = 0 và cho B ⊂ A thì B ∈ M Trong trường hợp này, σ-đại số M cũnggọi là đầy đủ
Mệnh đề Cho (X, M, µ) Gọi M∗ là họ các tập E ⊂ X sao cho tồn taicác tâp A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và µ(B\A) = 0 Khi đó đăt µ∗(E) =µ(A) Ta được M∗ là một σ-đại số đầy đủ trên X và µ∗ là một độ đo đầy đủtrên M∗
Bài tập Chứng minh mệnh đề trên theo các bước saui) Giả sử A ⊂ E ⊂ B và µ(B\A) = 0, A1 ⊂ E ⊂ B1 và µ (B1\A1) = 0 vởiA, A1, B, B1 ∈ M.CMµ(A) = µ (A1) Từ đó suy ra định nghĩa cúa µ∗ hoàntoàn xác định
ii) CMM∗ là môt σ-đai số.iii) CMµ∗ là một độ đo
Trang 5iv) CM tính đầy đủ của (X, M∗, µ∗).Định nghĩa Trên (X, M, µ), xét hàm mệnh đề P(x), x ∈ X Ta nói Pđúng hầu hết trên E ∈ M nếu tập N = {x ∈ X : P (x) không đúng} thỏaµ(N ) = 0 Ta viết P đúng hầu hết khắp nơi (hkn hay a.e.) trên E Nếu µ làđộ đo xác suất, ta còn nói P đúng hầu chắc chắn (hcc hay a.s.) trên E.BÀI TẬP
Dạng 1 Kiểm tra các điều kiện của σ-đại số, tìm σ(F)Khi cho một F ⊂ P(X), ta tìm các phần tử của σ(F) bằng cách (1) Bổsung X, ∅, (b) thực hiện các phép toán tập hợp ∩, ∪, \, ∩∞
i=i0,∪∞i=i0 trên Fđế suy ra các tập hợp của σ(F)
1 Cho X = {a} Hỏi P(X) là gì? Tương tự với X = {a, b}, X = {a, b, c}.Liệt kê các σ-đại số trên X
2 Cho X = {a, b, c} Đặt A = {a}, F = {A} Hỏi (i) F có là σ− đại sốkhông? (ii) Nếu M là một σ-đại số trên X và M ⊃ F thì M chứa cáctập con nào? (iii) Tìm tất cả các σ-đại số chứa F, (iv) σ-đại số nhỏnhất σ(F) là gì? (v) Cho µ : P(X) → ❘ là một độ đo với thông tinµ(X) = 1, µ({a}) = 1/3 Với các thông tin trên, chỉ ra các tập hợp cóthể tính độ đo được, các tập hợp không tính độ đo được Tập hợp nàolà σ(F)
3 Bài tương tự với X = {a, b, c}, µ(X) = 2, µ({a, b}) = 1 và F = {{a, b}}4 Bài tương tự với X = {a, b, c}, µ(X) = 1, µ({a, b}) = 3/4, µ({a}) =
1/2, F = {{a, b}, {a}}.5 Bài tương tự với X = {a, b, c, d}, µ(X) = 1, µ({a, b}) = 1/3 Đặt
F = {{a, b}}, F = {{a}, {b}}.6 Bài tương tự với X = {a, b, c, d}, µ(X) = 1, µ({a, b}) = 1/3, µ({a}) =
1/6 Đặt F = {{a}, {b}}.7 Cho Mi, i ∈ I, là một họ các σ-đại số trên X CMR T
i∈IMi là mộtσ-đại số trên X
8 Cho X 6= ∅, M là họ các tập A của X sao cho A hay X\A là quá lắmđếm được
(a) CMR M là một σ-đại số trên X và M = σ({x}, x ∈ X)
Trang 6(b) CMR nếu X quá lắm đếm được thì M = P(X).(c) CMR nếu X là hội của hai tập vô hạn không đếm được rời nhau
thì M 6= P(X).Dạng 2 Tìm σ-đại số sinh ra từ một phân hoạchCho F ⊂ P(X), F = {Ai : i∈ I} trong đó I ⊂ ◆, Ai∩ Aj =∅ với i 6= j
1 Nếu Sji∈IAi = X thì ta tìm các phần tử của σ(F) bằng cách thự hiệnlấy tất cả các tập hợp có dạng Si∈JAi với J ⊂ I để suy ra các tập hợpcủa σ(F)
2 Nếu Si∈IAi 6= X thì ta bổ sung Ac = X\S
i∈IAi Khi đó {Ac, Ai},i ∈ I là một phân hoạch của X và σ(F) gồm các phần tử có dạngS
i∈JAi, Ac∪S
i∈JAi với J ⊂ I3 Trên (X, M), cho A ⊂ X, tìm σ(F) với F = {A}.4 Trên ❘, tìm σ(F) với F = {[0, 1], (2, 4)} Tập hợp [0, 3] có σ(F)-đo
được không?5 Trên ❘, tìm σ(F) với F = {[0, 3], (2, 5)} Tập hợp [0, 5) có σ(F)-đo
được không?6 Cho tập X và các tập hợp A, B ⊂ X Đặt F = {A, B} Tìm σ(F)
trong hai trường hợp A ∩ B = ∅ và A ∩ B 6= ∅.Dạng 3 Chứng minh một tập hợp trên ❘ là tập BorelTa sử dung tính chất: các tâp mở trên ❘ bao gồm các khoảng mở (a, b)và ∪i∈J(ai, bi) với J ⊂ ◆ Các tập hợp khác dùng phép toán tập hợp đểkiểm tra
1 Cho a, b ∈ ❘, a < b CMR các tập hợp (a, ∞), [a, ∞), (−∞, b], (−∞, b),[a, b), (a, b], [a, b], (a, b) là các tập Borel Tập hợp {a} với a ∈ ❘ có phảilà tập Borel không?
2 Cho a, b ∈ ❘, a < b Cho F0 ={(a, ∞) : a ∈ ❘}.(a) CMR σ (F0)⊂ B(❘)
Trang 7(b) Cho M là một σ-đại số trên ❘ và giả sử (a, ∞) ∈ M với mọi a ∈❘ Sử dụng đẳng thức [a, ∞) = T∞
n=1 a− 1
n,∞CMR [a, ∞) ∈M Suy ra (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] là các tập hợp trongM Từ đó suy ra σ (F0) cũng có tính chất như M
(c) Cho tập hợp U mở trong ❘ Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợpcác khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ ◗) là đếm dược, do đó, tacó thể viết các khoảng này dưới dang dãy (In) , n = 1, 2, CMRU =S∞
n=1In Từ đó suy ra U ∈ σ (F0) với mọi tập mở U ⊂ ❘.(d) Sử dụng điều trên CMR σ (F0) = B(❘)
3 CMR σ (F0) = B(❘) với F0 ={[a, ∞) : a ∈ ❘}.4 CMR σ (F0) = B(❘) với F0 ={(a, b] : a, b ∈ ❘, a < b}.5 CMR σ (F0) = B(❘) với F0 ={[a, b] : a, b ∈ ❘, a < b}.Dạng 4 Các độ đo tổng quát
Ta sử dụng các tiên đề của độ đo đế chứng minh.1 Cho µn là một dãy các độ đo trong không gian đo được (X, M) và
{an} là một dãy các số thực không âm Hỏi µ = P∞
j=1anµn có xácđịnh một độ đo dương trên (X, M) ? Nếu µn là các độ đo xác suất vàP an = 1 thì µ có độ đo xác suất 2 Cho (X,M, µ) là một không gianđo, µ(X) < ∞, và (An) là một dãy các tập con đo được trên khônggian đo Đặt
\
k=n
Ak
CMµlim inf
n An
≤ lim inf
n µ (An) , µlim
n sup An
≥ lim
n sup µ (An)Dạng 5 Các độ đo rời rạc từ σ-đại số sinh ra từ một phân hoạchCho F ⊂ P(X), F = {Ai : i∈ I} trong đó I ⊂ ◆, Ai∩ Aj =∅ với i 6= j
1 Nếu Si∈IAi = X thì ta xây dựng độ đo trên σ(F) bằng cách đặtµ (Ai) = pi ≥ 0, i ∈ I Khi đó nếu A = S
i∈JAi với J ⊂ I thì µ(A) =P
i∈Jpi
Trang 82 Nếu SicIAi 6= X thì ta xây dựng độ đo trên σ(F) bằng cách đặtµ (Ai) = pi, i ∈ I, µ (Ac) = pc ≥ 0 với Ac = X\S
i∈IAi Khi đó nếuA =S
i∈JAi với J ⊂ I thì µ(A) = Pi∈Jpi.A = Ac∪S
i∈JAi với J ⊂ Ithì µ(A) = pc +P
i∈Jpi.3 µ(X) = Pi∈Ipi Nếu µ là độ đo xác suất thì Pi∈Ipi = 1.4 Cho X = {a, b}, µ là một hàm trên các tập con của X Cho biết
µ({a}) = 1/4 và µ(X) = 1 Cho biết giá trị của µ(∅), µ({b}) để µ là độđo
5 Cho X = {a, b, c}, F = P(X) Cho biết µ là một độ đo xác suất trên Fvà µ({a, b}) = x, µ({b, c}) = y, µ({c, a}) = z Tìm điều kiện của x, y, zvà tính µ({a}), µ({b})µ({c}) theo x, y, z
6 Cho X = {a, b, c, d}, cho µ, ν là độ đo xác suất trên P(X) Cho biếtµ({a}) = µ({b}) = µ({c}) = µ({d}) = 1/4 và ν({b}) = ν({d}) = 1/2Cho J = {∅, X, {a, b}, {b, c}, {c, d}, {d, a}}
(a) µ(A) = ν(A) với A ∈ J(b) CM có A ∈ σ(J ) với µ(A) 6= ν(A).7 Cho tập X và một phân hoạch F = {Ai : i∈ I} , I ⊂ ◆, của X Cho
các số thực pi > 0, i∈ I và µ0 :F → ❘ với µ0(Ai) = pi Xây dựng độđo µ trên σ(F) với µ (Ai) = µ0(Ai) với mọi i∈ I Khi nào thì độ đo µlà độ đo xác suất
8 Cho tập X và một phân hoạch F = {Ai : i = 0, 1, , n} Chứng minhđộ đo µ là độ đo xác suất
Trang 9(b) µ thỏa µ (Ai) = p(1− p)i(p∈ (0, 1)) Độ đo này gọi là độ đo hìnhhọc Tính µ (A1∪ A2∪ A3∪ A4) với p = 0.6.
Dạng 6 Đô đo Lebesgue, Stieljes trên ❘Dộ do Lebesgue: m((a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = m([a, b) = b − a (vớia < b) Ta cũng có m({a}) = 0
Dộ do Stieljes:Nếu F : ❘ → ❘ là hàm không giảm thì F xác định độđo Stieljes µF trên ❘ với µF({a}) = F+(a)− F−(a), µF((a, b)) = F−(b)−F+(a), µF((a, b]) = µF((a, b)) + µF({b}), µF([a, b)) = µF((a, b)) + µF({a})µF([a, b]) = µF((a, b)) + µF({a}) + µF({b}), µF((−∞, b)) = F−(b)−lima→−∞F (a), µF((a,∞)) = limb→∞F (b)− F+(a)
1 Cho m là độ đo Lebesgue trên ❘ Tìm m([2, 3]), m((1, 5]), m({4}),m∪∞
n=1 n, n + 21n 2 Với A ⊂ X, ta định nghĩa hàm ■A: X → ❘ như sau
■A(x) =
(1 x∈ A0, x∈ X\ACho F (x) = 1
4■[0,∞)+1
2■[1,∞)+1
4■(2,∞).ChoP xác định bởi P((−∞, x]) =F (x) Tìm độ đo của A = −1
2,12 , B = −1
2,32 , C = 2
3,52 , D =[0, 2), E = (3,∞), G = [1, 2], H = [0, 1), K = {2}
3 Cho F (x) = P∞
j=121j■[1,∞)(x) Cho P xác định bởi P((−∞, x]) = F (x).Tìm độ đo của các tập hợp sau A = [1, ∞), B = 1
10,∞ , C = {0},D =0,1
2 , E = (−∞, 0), G = (0, ∞)
Trang 10Dạng 7 Các độ đo Radon-Nikodym trên ❘Nếu f(x) ≥ 0 có R∞
−∞f (t)dt <∞ thì ta có thể xác định hàm
F (x) =
Z x−∞
f (t)dtKhi đó µF({a}) = 0, với mọi a, b ∈ ❘ ta có
µF([a, b]) = µF((a, b]) = µF([a, b)) = µF((a, b)) =
Z ba
f (t)dtTa ký hiệu dµF/dm = f
(a) đều Uniform(a,b): f(x) = 1
b−a với x ∈ [a, b], a = 0, b = 3, chọnc =−1, d = 2
(b) chuẩn N (µ, σ2) : f (x) = √1
2πσ2e−(x−µ)22σ2 (x ∈ ❘) với σ = 2, µ = 0,chọn c = −2, d = 1,
(c) mũ Exp(β)(β > 0) : f(x) = 1
βe−x/β(x > 0), β = 1, chọn c =−1, d = 4
2 Cho biết hàm Γ(z) = R∞
0 tz−1etdt xác định với z > 0 và có các tínhchất Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, Γ(1/2) = √π, Γ((2m + 1)/2) =1 × 3 × × (2m − 1)√π/2m(m ∈ ◆) Dùng máy tính, tìm độ đoµF((c, d)) với F (x) = Rx
−∞f (t)dt Đặt f (x) = 0 trên các khoảng khôngghi ra Độ đo đó gọi là
(a) Gamma(α, β)(α, β > 0) : f(x) = βα
Γ(α)xα−1e−βx(x > 0), chọn α =1, β = 1, chọn c =−1, d = 3, cho biết Γ(1) = 1
(b) χ2(p)(p > 0) : f (x) = 1
2p/2Γ(p/2)x−1+p/2e−x/2(x > 0), chọn p = 1chọn c = 1, d = 3
(c) Beta(α, β)(α, β > 0) : f(x) = Γ(α+β)
Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1(0 < x < 1),chọn α = 1, β = 2, chọn c = −1, d = 2
Trang 11(d) Student St(n)(n ∈ ◆) : f(x) = √Γ((n+1)/2)
nπΓ(n/2)
1 + x2
n
−(n+1)/2
, x∈ ❘chọn n = 1, chọn c = −1, d = 2
(e) Fisher-Snedecor F (p, n) : f(x) = (p/n)p/2Γ((p+n)/2)
Γ(p/2)Γ(n/2)
xp/2−1
(1+px/n)(p+n)/2x >0 , chọn p = 2, n = 3 và c = 1, d = 4
Dạng 8 Tính chất đúng hầu hết khắp nơiCho (X, M, µ), cho một hàm mệnh đề P (x), x ∈ X Ta nói P (x) đúng hầuhết khắp nơi theo độ đo µ nếu tôn tại tập A ∈ M, µ(A) = 0 sao cho P (x)đúng với moi x ∈ X\A
Đề giải các bài toán ta sử dụng tính chất: nếu B ⊂ A và µ(A) = 0 thìµ(B) = 0 và µ (∪i∈IAi) = 0 nếu µ (Ai) = 0 với mọi i ∈ I, I ⊂ ◆
1 Trên❘ với độ đo Lebesgue, chứng minh rằng mọi tập con hữu hạn, mọitập con đếm được của ❘ đều có độ đo Lebesgue là 0
2 Cho hàm f(x) = 1/ sin x với x 6= kπ, f(kπ) = 1 với (k ∈ ❩), g(x) =1/ sin x với x 6= kπ, g(kπ) = 0 với (k ∈ ❩) Chứng minh f = g hầukhắp nơi theo độ đo Lebesgue
3 Cho hàm f(x) = 1/| cos x| với cos x 6= 0, f(x) = 1 với cos x 6= 0,g(x) = 2/| cos x| với cos x 6= 0, g(x) = −3 với cos x = 0 Chứng minh0≤ f ≤ g hầu khắp nơi theo độ đo Lebesgue
4 Nếu f1 = g1, f2 = g2 hkn thì f1 ± f2 = g1 ± g2, f1f2 = g1g2 hkn 5.Chứng minh rằng nếu f = g hkn và g = h hkn thì f = h hkn
5 Nếu fn = gn hkn với mọi n = 1, 2, và nếu limn→∞fn = f hkn,limn→∞gn= g thì f = g hkn
6 Nếu tồn tại M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M hkn thì ta nói f bị chặn hkn.CMR nếu f, g bị chặn hkn thì f ± g, fg bị chặn hkn
7 Nếu f bị chặn hkn Đặt kfk∞= inf{M : |f(x)| ≤ Mhkn} CM |f(x)| ≤kfk∞hkn
8 Nếu f, g bị chặn hkn thì kf + gk∞ ≤ kfk∞+kgk∞
Trang 122 Hàm đo được
Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y, B ⊂ Y Ta định nghĩa ảnh nguợc củatạp B qua ánh xaf là f−1(B) = {ω ∈ X : f(ω) ∈ B} Tập hợp này cũngđược ký hiệu là (f ∈ B)
Mệnh đề Cho Bi, i∈ I, B, C là các tâp con của Y và cho ánh xaf : X → Y Khi đó (f ∈ Y ) = X và
f ∈[
i∈I
Bi!
=[
i∈I
(f ∈ Bi)f ∈\
i∈I
Bi!
=\
i∈I
(f ∈ Bi)(f ∈ B\C) = (f ∈ B)\(f ∈ C)HÀM BOREL ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa Cho (X, M), (Y, N ) là hai không gian đo được Ánh xạ f :X → Y gọi là đo được nếu f−1(W ) ∈ M với mọi W ∈ N Nếu (X, M) =(❘n,B (❘n)) , (Y,N ) = ❘k,B ❘k
thì f được gọi là Borel đo được hay gọivắn tắt là hàm Borel
Định lý Cho (X, M), ❘k,B ❘k
là không gian đo được Ánh xaf : X →❘k là đo được nếu và chỉ nếu f−1(U )∈ M với mọi U là tập mở trong Rn.Bài tập CM Định lý theo các bước sau: i) Đặt Nf =W ⊂ ❘k : f−1(W )∈ M CMNf
là một σ-đại số trong ❘k
ii) CM B ❘k ⊂ Nf
Hệ quả Mọi ánh xa liên tucc f : ❘n → ❘k đều là một hàm Borel đo được.Bài tập Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục của một tập mở là một tậpmở và tính chất nếu F ⊂ σ− đai số M thì σ(F) ⊂ M để chứng minh mệnhđề
Bài tập a) Chứng minh tính chất (g ◦ f)−1(A) = f−1(g−1(A)) với A⊂ Z.b) CM mệnh đề
Mệnh đề Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được nếu và chỉ nếu một trong cácdiều sau là đúng với mọi a ∈ ❘
a) (f ≥ a) := f−1([a,∞]) đo dược.b) (f > a) := f−1((a,∞]) đo dược.c) (f ≤ a) := f−1([−∞, a]) đo dược.d) (f < a) := f−1([−∞, a)) đo được
Trang 13e) (f ∈ (a, b)) := f−1((a, b)) đo được với moi a < b và f−1(∞) do dược.Bài tập Cm mệnh đề trên theo các bước sau
i) CM(f > a) = ∪∞
n=1 f ≥ a + 1
n
Từ đó CM a ) ⇒ b ).ii) CMb) ⇒ c )
iii) CM(f < a) = ∪∞
n=1 f ≤ a − 1
n
Từ đó CMc) ⇒ d ).iv) CM(f ∈ [a, b)) = (f < b)\(f < a) Từ đó CM(f ∈ [a, b)) đo được.CM a + δn < b với δn = b−a
2n và (f ∈ (a, b)) = ∪∞
n=1(f ∈ [a + δn, b) Từ đóCMd) ⇒ e)
v) Sử dụng tính chất: mọi tập mở V trong ❘ đều có thể viết dưới dạngV =∪∞
n=1( ˙an, bn) , an < bn, ˙CMe⇒ fMệnh đề Cho u, v : X → ❘ là các hàm số đo được và Φ : ❘2 → ❘ liên tụcthì h : X → ❘ với h(x) = Φ(u(x), v(x)) là một ánh x a do được
Mệnh đề Cho dãy hàm fn : X → [−∞, ∞] do được thì sup fn, inf fn,lim sup fn, lim inf fn là đo được
Bài tập Đặt g(x) = supnfn(x), h(x) = infnfn(x) CM
(g > a) =∪∞
n=1(fn> a) , (h < a) =∪∞
n=1(fn< a)Từ đó CM mệnh đề
HAM ĐƠN ĐO ĐƯỢCĐịnh nghĩa Cho H là một tập hợp, A ⊂ H Khi đó ta định nghĩa
■A(x) =
(1 (x∈ A)0 (x∈ H\A)Hàm này còn được ký hiệu là χA
Mệnh đề Cho X là không gian đo được, A ⊂ X Khi dó ■A do dược khi vàchi khi A do dược
Bài tập CM mệnh đề trên bằng cách tìm ■−1
A (V ) với V mở Xét các trườnghợp a) 1 ∈ V, 0 /∈ V ; b) 1 /∈ V, 0 ∈ V ; c) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; d) 1 /∈ V, 0 /∈ V Định nghĩa Cho X là không gian đo được Cho s : X → ❘ Hàm s gọi làhàm đơn nếu s(X) chỉ có hữu hạn giá trị
Mệnh đề Cho hàm s : X → ❘ có s(X) = {α1, , αn} với αi 6= αj vớii6= j Đặt Ai = s−1(αi), ta có
a) Ai∩ Aj =∅ với i 6= j và Sn
i=1Ai = X.b) s = Pn
i=1αi■Ai
c) với moi g :❘ → ❘ ta có g(s(x)) = Pn
i=1g (αi)■Ai
Trang 14d) hàm s do được khi và chỉ khi Ai do được với moi i = 1, 2, Bài tập Chứng minh mệnh đề trên.
Định lý Với mọi hàm đo được f : X → [0, ∞] tồn tại các hàm đơn đo đượckhông âm sn trên X sao cho
a) 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ≤ fb) sn(x)→ f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X.Bài tập i) Ký hiệu [α] là số nguyên lớn nhất không vượt quá α ∈ ❘ CMα− 1 ≤ [α] ≤ α và nếu α ≤ β thì [α] ≤ [β]
ii) Đặt ϕn(t) = [22nnt](0 ≤ t ≤ n) và ϕn(t) = n với t > n CM t− 2−n ≤ϕn(t)≤ t với mọi 0 ≤ t ≤ n Từ đó suy ra limn→∞ϕn(t) = t
2n,k+12n )(t) + n■[n,∞)(t)v) Đặt sn(x) = ϕn(f (x)).CM (sn) thỏa định lý
BÀI TẬPDạng 1 Tìm ảnh ngược của một hàm sốTa sử dụng các tính chất
x∈ (f ∈ A) = f−1(A)⇔ f (x) ∈ Ax∈ (f > a) = f−1((a, +∞)) ⇔ f(x) > ax∈ (a < f < b) = f−1((a, b))⇔ a < f (x) < bCho s(X) = {α1, , αn} , (s = αi) = Ai = {x ∈ X : s(x) = αi} Với mọitập B ⊂ ❘, đặt J = {i ∈ I : αi ∈ B} ta có
Trang 15(c) ex,−4, −3.2 ChoP là độ đo Lebesgue trên [0, 1] Đặt
f (x) =
1 0 ≤ x < 1/42x2 1/4≤ x < 3/4
x2 3/4≤ x ≤ 1Tính P(f ∈ A) với A = [0, 1], [1/2, 1]
3 Cho hàm s :❘ → ❘ với s(x) = −■(0,2](x) + 3■[3,6)(x) a) Tìm s(❘), b) vẽđồ thị hàm số, c) Tính s−1(E) với E = (−∞, 4), E = [2, 5), E = [1, 3].4 Bài tương tự với s = 2■(−3,1]− 3■[2,4] · E = (−∞, 3), E = [−2, 2],E = [1,∞]
4 Bài tương tự với s = −3■(−3,0] + 4■[−1,4].E = (−∞, 3), E = [−2, 2],E = [1, 3]
5 Bài tương tự với s =■(−3,4]+ 4■[−1,2] E = (−2, 3), E = [−2, 2], E =[1, 3]
Dạng 2 Tìm dạng hàm đơnCho Ai, i = 1, , n là một phân hoạch của không gian (X,M) Ta có
(a) Viết s dưới dạng tổng các hàm dạng cj■Aj
(b) Viết các tập hợp sau theo Ak, k = 0, , 4 : (s = 2), (s ≤ 2),(s > 2), (1≤ s ≤ 4)
(c) Từ đó tìm độ đo P(s = 2), P(s ≤ 2), P(s > 2), P(1 ≤ s ≤ 4) nếuđộ đo P là độ đo nhị thức (p = 0.2), độ đo đều hữu hạn? Trongcác trường hợp đó, tính P(s > 1 | s ≤ 3)
2 Cho các tập đo được A0, , An, n ≥ 5, là một phân hoạch hữu hạncủa X Đặt hàm s : X → ❘ với s(x) = k nếu x ∈ Ak
Trang 16(a) Viết s dưới dạng tổng của các hàm dạng cj■Aj.(b) Tìm µ(0 ≤ s ≤ 3), µ(s = 5), µ(0 ≤ s ≤ 4 | s ≥ 3) nếu µ là độ đo
nhị thức, độ đo đều hữu hạn?3 Cho các tập đo được A0, A1, , là một phân hoạch đếm được của X
Đặt s(x) = k nếu x ∈ Ak.(a) Viết s dưới dạng tổng của các hàm dạng cj■Ai.(b) Tìm P(s ≤ 3), P(2 ≤ s ≤ 5), P(s ≥ 4), P(1 ≤ s ≤ 5 | s ≥
3) nếu P là độ đo Poisson (λ = 2), độ đo hình học (p = 0.6),độ đo Pascal (p = 0.4) 4 Cho khoảng (0, 1], chia khoảng nàythành 4 khoảng bằng nhau x0 = 0 < x1 < x2 < x3 < x4 = 1.Đặt Mi = sup(xi,xi+1]f (x), mi = inf(xi,xi+1]f (x), i = 0, 1, 2, 3 Đặts(x) = mi, S(x) = Minếu x ∈ (xi, xi+1] Viết s(x), S(x) dưới dạnghàm đơn Vẽ đồ thị s(x), S(x), f(x) trên cùng hệ trục tọa độ vànhận xét Giải bài toán với hàm f lần lượt là f(x) = x2, f (x) =x− x2, f (x) = 1− x
Dạng 3 Chứng minh một ánh xạ đo đượcSử dụng tính chất (D):
Hàm f : X → [−∞, ∞] do được khi và chỉ khi(f > a) = f−1((a,∞]) làmột tập Borel với moi a
Ta cũng có thể sử dụng các tập hợp (f < a), (a < f < b) với a, b ∈ ❘, a <b, để chứng minh
1 CMR hàm f : ❘ → ❘, f(x) = 2x là đo được Borel trên ❘ Có cáchchứng minh nào khác không?
2 Bài tương tự với f(x) là 2x + 1, ex,−3x, x3+ 1.3 Cho f(x) = x2 Hỏi f có đo được Borel hay không? hãy kiểm tra trực
tiếp bằng cách sử dụng tính chất (E): Hàm f : X → [−∞, ∞] đo đượckhi và chỉ khi (f ≤ a) đo được với mọi a ∈ ❘
4 Bài tập tương tự với(a) f(x) = x−2(x6= 0) và f(0) = +∞.(b) f(x) = x−4(x6= 0) và f(0) = −∞
(c) f(x) = x−1(x6= 0) và f(0) = 1
Trang 17❊s =Z
X
s(x)dµ(x)Mệnh đề Cho s,t là hai hàm đơn đo đuợc không âm trên (X, M, µ), E ∈ MTa có
b) REs(x)dµ(x) =R
Xs(x)■E(x)dµ(x).c) REs(x)dµ(x) = αµ(E) nếu s(x) = α với moi x∈ E.d) Nếu s dơn và µ(E) = 0 thi REs(x)dµ(x) = 0
Bài tập a) Giả sử s = Pn
i=1αi■Ai với s(X) = {α1, , αn} và Ai = s−1(αi).Viết biểu thức của φ(E) Từ đó CM các tính chất của độ đo
b) Sử dung đinh nghĩa và công thức ■A(x)■E(x) =■A∩E(x)c), d) Áp dụng định nghĩa
Mệnh đề Cho s,t là hai hàm đơn đo được không âm trên (X, M, µ), E ∈ M.Ta có
a) RE(s + t)dµ =R
Esdµ +R
Etdµ
Trang 18b) REαs(x)dµ(x) = αR
Es(x)dµ(x).c) Nếu 0 ≤ s(x) ≤ t(x) với mọi x ∈ E thì REs(x)dµ(x) ≤R
i=1βj■Bj vớit(X) ={β1, , βk} và Bj = t−1(βj) CM Đặt φ(E) =R
F(s + t)dµ, φ1(E) =R
Esdµ, φ2(E) =R
Etdµ.CM (s + t)(x) = αi+ βj khi x ∈ Ai∩ Bj, i = 1, n, j =1, k Từ đó suy ra
φ (E ∩ Ai∩ Bj) = φ1(E∩ Ai ∩ Bj) + φ2(E∩ Ai∩ Bj)Kiểm tra Pn
i=1
Pkj=1φ (E ∩ Ai∩ Bj) = φ(E) Từ đó suy ra mệnh đề b) Ápdụng định nghĩa
c) Ta có t − s là hàm đơn không âm Vậy RE(t− s)dµ ≥ 0 Suy ra kếtquả
Bài tậpDạng 1 Tính tích phân Lebesgue của hàm đơnCho không gian đo (X, M, µ) Cho Aj ∈ M, j = 1, , n, hàm đơn s(x) =Pn
2 Bài tương tự với s = 2■(−3,1]+ 4■[2,4] E = (−2, 3), E = [−2, 2], E =[1, 3]
3 Bài tương tự với s =■(−3,4]+4■[−1,2]·E = (−2, 3), E = [−2, 2], E = [1, 3].4 Bài tương tự với s = 2■(−3,3]+ 4■[2,4]− ■[1,3].E = (−2, 3), E = [−2, 2],
E = [1, 3]