69 bài toán tích phân vd vdc

69 bài toán vận dụng cao, ôn tập Toán, giúp học sinh nâng cao kiến thức, nắm vững bài học, nâng cao điểm. Tăng khả năng tư duy là được những bài toán khó

PHẦN 1: ĐỀ BÀI

Câu 1 Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm trên đoạn [1;2] thỏa mãn f(1) 2, (2) 1 f  và

2

21

2( )

xf x dx  

( )x f x dx

Câu 2 Một téc nước hình trụ, đang chứa nước được đạat nằm ngang, có chiều dài 3m và đường kính đáy 1m

Hiện tại mặt nước trong téc cách phía trển đỉnh của téc 0,25 m (xem hình vẽ) Tính thể tích của nước trong téc (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?

A 1,768 m3 B 1,167m3 C 1,895m3 D 1,896m3

Câu 3 Cho hàm số y  f x( ) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị nhận đường thằng 7

2x   làm trục đối xứng Biết diện tích hình phẳng của phần giới hạn bới đồ thị hàm số y f x y f x( ),  ( ) và hai đường thẳng

Câu 4 Cho đường cong ( ) :C y x 3 kx 2 và parabol

f x với trục hoành bằng

Câu 6 Cho hàm số y  f x ax3bx2 cx d a b c d, , , , ,a 0 có đồ

thị  C Biết rằng đồ thị  C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y f x  cho bởi hình vẽ dưới đây Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị  C và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox

A 725π35 B 72935 π

b (với ,

IA Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A 2022 B 2021 C 2023 D 2024

Câu 10 Một bức tường lớn kích thước 8m8m trước đại sảnh của một toà biệt thự

được sơn loại sơn đặc biệt Người ta vẽ hai nửa đường tròn đường kính AD AB, cắt nhau tại H ; đường tròn tâm D, bán kính AD, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K Biết tam giác "cong" AHK được sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và một mét vuông sơn trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1,5 triệu đồng Tính số tiền phải trả (làm tròn đến hàng ngàn)

A 0 B 2

C 1 D 9

Câu 12 Cho hàm số bậc ba y f x ( ) có đồ thị là đường cong như

hình bên Biết hàm số f x( ) đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 thỏa mãn x2  x1 2 và f x   1 f x2 0 Gọi S S1, 2 là diện tích hình phẳng được gạch như hình bên và S3 là diện tích phần tô đậm Tính tỉ số 2

3SS ?

A 1

C 2

Câu 13 Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài

nửa đường chéo bằng 4 Biểu tượng 4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng y ax 3 bx2x với hệ số a 0 Để kỷ niệm ngày thành lập 2 / 3, công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng 2

3 Tính 2a2b

A 16

Câu 15 Gọi  H là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C của hàm số đa

thức bậc ba với đồ thị  P của hàm số bậc hai (phần tô đậm) như hình vẽ bên Diện tích của hình phẳng  H bằng

Câu 18 Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O, phía trong được trang trí

bởi hình chữ nhật ABCD; hình vuông MNPQ có cạnh MN 2m và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh O như hình vẽ Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/m2 và phần còn lại là 250.000 đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A 3.439.000 đồng B 3.628.000 đồng

C 3.580.000 đồng D 3.363.000 đồng

Câu 19 Cho hàm số f x( )x3 ax2 bx c a b c( , ,  ) có hai điểm cực trị là 1 và 1 Gọi y g x ( ) là

hàm số bậc hai có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trùng với các điểm cực trị của f x( ), đồng thời có đỉnh nằm trên đồ thị của f x( ) với tung độ bằng 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

( )y f x và y g x ( ) gần với giá trị nào nhất dưới đây?

Câu 20 Cho hàm số y  f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Giả sử

diện tích phần kẻ sọc trên hình vẽ có diện tích bằng a Tính theo a giá trị của tích phân 2   

.( )

Câu 22 Cho hàm số y  f x  liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 2;  

 2

2xf x

Câu 24 Cho hai hàm đa thức f x ax3 bx2  cx d và g x mx2nx p

Biết rằng đồ thị hai hàm số y  f x  và y g x   cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 1;2;4 đồng thời cắt trục tung lần lượt tại M N, sao cho

6MN  (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho ( phần gạch sọc) có diện tích bằng

A 125

C 25316 D 25312

Câu 25 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 3 4 ( ) ( ) 2 ( ), 0

( ) 0x

2f x

  ; f( 3) f(3) 0 và 1

(0)3f  Giá trị của biểu thức f( 4) f(1)f(4) bằng

A 1 1 ln2

3 D 11 83 5ln

Câu 27 Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln ,x trục hoành

và hai đường thẳng x 1;x m , với m 1.Khi hình phẳng D có diện tích bằng 1, giá trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?

A 7 ;42 

C 5 ;32

Câu 28 Cho f x( ) là hàm đa thức bậc bốn và có đổ thị như hình vẽ Hình

phắng gióri hạn bởi đổ thị hai hàm số y  f x( ); y  f x( ) có diện tích bằng

-1O1m

Câu 29 Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f 1 e và f x   f x x x,  

f x dx

b trong đó a b, là những số nguyên dương và phân số a

b tối giản Khi đó giá trị của (2a b ) tương ứng bằng

Câu 31 Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm f x( ) liên tục trên  Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bơi

đồ thị hàm số y  f x( ) và trục hoành đồng thời có diện tích S a Biết rằng

10

(x1) ( )f x dx b 

Tính tích phân

10

( )I  f x dx

Câu 33 Cho hàm số f x( )x5 ax4 bx3cx2dx 36 Biết đồ thị hàm số y  f x y( ),  f x( ) và Ox

giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 2,3 Diện tích hình phẳng giớihạn bởi đồ thị hàm số ( )

Câu 37 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên  thoả män 2 ( )f x  xf x( ) 3 x 10,  x và f(1) 6

Câu 38 Cho hai hàm số f x( )ax4bx3cx23x và ( )mx3nx2x, với a b c m n  , , , , Biết

hàm số y  f x( )g x( ) có ba điểm cực trị là 3,1 và 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị ( )

[ ( )]f x  f x( ) x 1  1 [ ( )]f x Nếu f(0) 3 thì giá trị f(1) thuộc khoảng nào sau đây?

A 3;72 

f x    x t f t dt với   x [ 1;1]Tính tích phân 1

1 ( )



Câu 43 Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị ( ), ( )C f x có đạo hàm xác định và liên tục trên khoảng (0;) thỏa mãn

điều kiện f x( ) ln x f x 2( ),  x (0; ) Biết f x( ) 0,   x (0; ) và f e ( ) 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ x 1

Câu 44 Cho hàm số y  f x( ) 0 liên tục trên  và f(1)e3 Biết f x( ) (2 x3) ( ),f x   x Hỏi

phương trình f x( )e2x4 3 4x có bao nhiêu nghiệm?

Câu 46 Cho hàm số y  f x  liên tục và nhận giá trị không âm trên 1;2 và thoả mãn

f x  f x   x   Đặt 1 2  

1d

  , S2là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục Ox và hai đường thẳng x  1;x 2 Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A S1 2S2 B S1 3S2 C 2S1 S2 D 3S1S2

Câu 47 Cho hàm số ( ) 1 3 2

6y  f x  x ax  bx c có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Biết hàm số

22

g x  f x   f x f x f x  có 3 điểm cực trị x1 x2 x3 và  1 2,  2 5,  3 1

g x  g x  g x  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) ( )

( ) 1f xh x

g x

 và trục Oxbằng

 3x

y f m có đúng một điểm cực trị là

A 1 B 6

C 2 D 0

Câu 49 Cho hàm số f x( ) là hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có trục đối xứng là trục Oy và thỏa mãn điều

kiện x2x f x (  1) f x2( )    x3 1, x Biết giá trị của tích phân 3

32

( ) 1x dx a2

, (với a b N,  ,UCLN( , ) 1a b  ) Tính giá trị của biểu thức S a   3 b3 a b

Câu 50 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f x 33xx22 với mọi số thực x Từ đó hãy

tính 4 20 x f x dx( )

A 27

Câu 51 Cho hai hàm số f x ax33x2   bx 1 2d và g x cx2 2x d có bảng biến thiên như hình

vẽ Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn

Câu 52 Cho hàm số f x  liên tục trên  và thỏa mãn  3  

2

af x dx

b

a b c d R ) là các hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới Gọi S S1, 2 là diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ, biết 1 97

60S  Tính S2

A 350 B 305 C 350 D 19

Câu 55 Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên  Đồ thị của hàm số

 y f x như hình vẽ bên Đặt     2 2024

2xg x  f x   x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 34;35 B 36;37 C 37;38 D 35;36

Câu 57 Cho hàm số bậc ba f x  có đồ thị như hình vẽ bên Biết hàm số f x  đạt cực

trị tại hai điểm x x1,   2 thỏa mãn x2  x1 2 và f x   1 f x2 2 Gọi 1,   2

S S là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên Tính 1

2SS

A 5

C 3

Câu 58 Cho đường thẳng y x a  (a là tham số thực dương) và đồ thị hàm số y  x Gọi S S1, 2 lần lượt là

diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên dưới Khi 1 5 2

3S  S thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A 5 8;2 3 

   thuộc khoảng nào dưới đây?

A 1 1;3 2 

 

Câu 61 Cho hàm số f x ax4bx3cx22x và g x mx3nx22x với a c b m n  , , , , Biết

hàm số y f x    g x có ba điểm cực trị là  2; 1;3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường  

A xex  x C B  x 1ex C C xex  x C D  x1 ex C

Câu 63 Ông X muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên,

biết đường cong phía trên là một Parabol, chất liệu làm là inox Giá 1m2 vật tư và công làm là 1.300.000 đồng Hỏi ông X phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn)

2AB  (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y f x   và y g x  

dI   f x x bằng

A

Câu 66 Cho hai hàm số y x 3ax2  bx c a b c, ( , ,  )

có đồ thị  C và y mx 2nx p m n p , ( , ,  ) có đồ thị  P như hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và  P có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?

A  0;1 B  3;4 C  2;3 D  1;2

Câu 67 Cho hàm số bậc ba y  f x( ) có đồ thị là đường cong ở hình bên

Gọi x x1, 2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn x2  x1 2 và f x 1 3f x 2 0, và đồ thị luôn đi qua M x f x 0;  0  trong đó x0  x1 1 ( )g x là hàm số bậc hai có đồ thị qua 2 điểm cực trị và M Tính tỉ số 1

12S SS và S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm ( ), ( ) như hình vẽ )

B-2

A

2C1

Câu 68 Cho hàm số f x  thỏa mãn f 1 4 và f x xf x 2x33x2 với mọi x 0 Giá trị của f 2

LỜI GIẢI CHI TIẾT

xx

x  y   y x Diện tích hình gạch sọc chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

A    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) và trục hoành bằng

20

    

   

Trên đoạn x1;0 , x3      kx 2 x2 2 x3 x2 kx 0 Theo bài ra, diện tích 1 8

3S  nên

1

3x x  x kxdx 

( )f xg x

f x với trục hoành là

  20

01

729d



, ta có:  1    

20

dH

S  f x g x x

20

v t    t tTrong 2 giờ sau đồ thị hàm vận tốc là đoạn thẳng IA như hình vẽ nên hàm vận tốc v t  11 2tVậy quãng đường s vật chuyển động sau 4 giờ là

Câu 10 Chọn C Chọn hệ toạ độ Oxy như hình vẽ sau Dễ thấy cung AB có phương trình y  f x( ) 8  16 ( x 4)2; cung AH có phương trình y g x ( ) 4  16x2 và cung AC có phương trình y h x ( ) 64x2

Dễ tìm được tọa độ các điểm H(4;4) và 6,4;24

5K 

  Diện tích tam giác AHK là

(2 ) 1 0m m 2m 2

Lại có: f x( ) 0 2x4m  x 2 mVới x 2m thì ( ) 16 3 2 1

3

3I m  m  m  Suy ra I d khi và chỉ khi

m 

  

4m   không thỏa mãn, do đó 3; 6 33

4X     

Câu 12 Chọn D Ta thực hiện tịnh tiến điểm gốc tọa độ vào trùng với tọa độ trung điểm hai hoành độ x x1, 2 Khi đó diện tích của các phần cần tính không thay đổi và hàm số

21

       

5 Gọi f x( )ax3 bx2x là hàm số bậc ba biểu diễn đường cong trên logo Ta có x 4 là nghiệm của phương trình nên 64a16b  4 0 4a b 1 (1) Ta có phương trình phương trình f x ( ) 0 sẽ có các nghiệm là 0,4 và a 4 vì 4a 0

S  ax bx xdx   ax bx x dx

12

42 8

xf x   x  x C , ta có bảng biến thiên trên đoạn [ 3;2] như sau:

Câu 15 Chọn A Dựa vào giả thiết và hình vẽ ta có:  C là đồ thị của hàm số có dạng f x ax3bx2  cx 2   , ,a b c,a 0  P là đồ thị của hàm số có dạng g x dx2 ex d e   , ,d 0

Do  C và  P cắt nhau tại các điểm có hoành độ x  1;x 1;x 2 nên ta có f x    g x a x 1 x1 x2

 

f xf x

212dv dxu e

x

  

ta có:

212

  

Suy ra a 3;b10;c0   2 3a b 4c 36

Câu 18 Chọn A Toạ độ các điểm A B C D, , , là nghiệm của hệ phương trình 2

y x

   

x

23

Gọi I là toạ độ đỉnh của đồ thị hàm số ( ), dễ thấy I(0;2) và g x( ) 2(x1)(x1) hay g x( ) 2x2 2Ta có: f x( ) 3 x2 2ax b Theo bài ra, ta có: 3 2 0 0 3

x  



Đặt 0 1

   

ax bx   cx d mx nx p ax  b m x  c n x d p  Do đồ thị hai hàm số y  f x  và y g x   cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 1;2;4 nên ta được

a x x x ax  b m x  c n x d p  Mà f   0 g 0 yM  yn MN 6 Suy ra 3

4

4f x g x  x x x

Do đó e2x f x( ) là một nguyên hàm của 1

xe , tức

Ta có: f x   f x  x f x e  x f x e  x xex e f xx   xex Nên e f xx  dx  xe xxd e f xx  xex  ex C   x xx

f x

e 

Dof 1 e f 1 e1 e11 C

e    C e2 Suy ra f x  xex exx e2

e 

e 

Câu 30 Chọn C Ta có: x f x    ( ) x (x 1) ( )f x   xf x( ) xf x( )f x( ) x2Với x 0 ta có: f(0) 0 (1)

Với x 0 Chia cả hai vế cho x2 :xf x( )2 f x( ) f x( ) 1 f x( ) f x( ) 1

Lấy nguyên hàm hai vế: f x e( )x  x ex C

1f e e   C CVậy f x e( )x  x ex  1 f x( )x1ex(2) Từ (1) và (2) ta có f x( )x1ex thỏa mãn yêu cầu đề bài

31

00(x 1) ( )f x dx b  (x 1) ( )f x  0 f x dx b( )  2 (1)f f(0) I b

x x   

f x  x x x kMà f(0) 36 nên k  1 Suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là

2x  ta được:

xf x



f x

xx

f x



Câu 37 Chọn C Ta có 2 ( )f x xf x( ) 3x 10 f x( ) 2 f x( ) 3 10 x f x2 ( ) 2 ( ) 3xf x x2 10x

5

24

f x

 

2 12I  

1( )

( )

  



f x   ax b f x  ax b 

12

Cách 1: Xét 2x     1 x 2 x 1;x   2 3x 14  x 3; 3 14 2 1 13

5

Vẽ đồ thị của ba hàm số f x( ) 2 x 1; ( )g x  x 2; ( )h x   3x 14 trên đoạn [0;4] trên cùng một hệ trục toạ độ và quan sát suy ra:

2a b a ba b     và min{ , , } min{ ,min{ , }}a b c  a b c

2

( )( )

f x

f xf x

2f x

x x x

 Khi đó

22(1)

(1) ln1 (1) 0f

 

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ x 1 là: ( )( 1) (1) 2.

3y  f x x f Câu 44 Chọn C

g x  f x  f x  có hai nghiệm là x x x1, 2 1 x2 và g x 1 42,g x 2  6Xét phương trình tìm cận của tích phân để tính diện tích:

2g x  f x f x  f x f x  f x f x   f x f x   g x

  

3

Câu 49 Chọn A Do hàm số f x( ) là một parabol có trục đối xứng là trục Oy nên ta có:

2

f x ax c a b a Thế vào phương trình: x2x f x (  1) f x2( )    x3 1, x , từ đó ta có:

( )( )

u x

v f xdv f x dx

3

3