củng cố và ôn luyện toán 9 tập 1 theo chương trình sách mới nguyễn cao cường

Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng: l +by=c ax+b''''y=c'''' + Mỗi cặp số z¿;¿ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình trên nêu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ

eee wee ee

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYEN CAO CUGNG — DOAN MINH CUGNG — LƯU BA THANG (Bang Chi bién)

BO VAN BAO — TRAN VAN BO — NGUYEN THI THANH HÀ — VU THI THUY HA

NGUYEN THỊ THANH HOA — PHAM HOANG TUAN MINH — TRAN DIEU THUY — DANG VAN THUY

0ỦNG CỔ VÀ ÔN LUYỆN T0ÁN9 -

TẬP MỘT

(Biên soạn theo chươne trình GDPT mới)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

CÁC TÁC GIÁ

-1 | Nguyễn Cao Cường Trường THCS Thái Thịnh, Đống Đa, Hà Nội

2 | Doãn Minh Cường Ni Song ngữ Quốc tế Hanoi Academy, Hà

3 Lưu Bá Thang Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

4_ | Đỗ Văn Bảo Trường Trung học Vinschool The Harmony

5 Tran Van Do Trường THCS Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội

6 | Nguyễn Thị Thanh Hà | Trường THCS Ban Mai, Hà Đông, Hà Nội |

7 | Vũ Thị Thúy Hà Công ty Cổ phần Giáo dục Fermat

8 | Nguyễn Thị Thanh Hoa | Trường THCS Phú Cường, Hà Đông, Hà Nội

9 | Pham Hoang Tudn Minh No THCS Trung Vuong, Hoan Kiém, Ha

10 | Tran Diéu Thuy Công ty Cổ phần Giáo dục Fermat

11 | Dang Van Thuy Trường THCS-THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội

Công tụ Cổ phần Giáo dục Fermat giữ bản quyền công bố tác phẩm

Mọi hành ơi sao chép ma khong duoc sw dong y cua Cong ty đều bị cấm

MUC LUC | Lời NOT GaU eee cccecesssceccececececsssesasssesesssessesesessevevesessesevetsusecsecsvetstseseserses: 5

Dé bai Dap an

HƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

HAI ẨN c2 2222220212121 7 121

Bài 1 Khái niệm về phương trình và hệ phương trình | bậc nhất hai An oa ccecsecsessessssesecseseesesseseesees Ễ 121

Bài 2 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 11 126

Bài 3 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 16 135

Ôn tập Chương l 2-2-5 2222225 nen 21 142

HƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 22.22 222222 EEEeee 25 146

Bài 1 Phương trình quy vê phương trình bậc nhất một ẩn 25 146

Bài 2 Bất đẳng thức và tính chất -:svzsr: 31 164

Bài 3 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 35 169

Ôn tập Chương lI :©22c¿272z22EEEEEEEtEEEeerrrserre 40 177

HƯƠNG III CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA 2222 sec 44 185

Bài 1 Căn bậc hai và căn thức bậc hai 44 185

Bài 2 Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia Đ4 191

Bài 3 Biến đổi đơn giản và thu gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - ccc nen 60 201

Bài 4 Căn bậc ba và căn thức bậc ba - 68 209

Ôn tập Chương IIl ST E1 nE 11H nen ?2 211

CHUONG IV HE THUC LUGNG TRONG TAM 6IÁC VUÔNG 76 218

Bài 1 Tỉ số lượng giác oủa góc nhọn - 76 218

Bài 2 Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam tam giác vuông và ứng dụng - Ø0 220

Gin tap CHUOMG 84 225

HƯƠNG V ĐƯÙNG TRÙN -nnnhrrrrrrrrtrri 89 228

Bài 1 Mở đầu về đường tròn -: -:+:++trrrtth 89 228

Bài 2 Cung và dây của một đường tròn - 93 234

Bài 3 Độ dài cung tròn Diện tích quạt tròn và hình vành khuyên .-. -: -+rrrhttrtth 9 243

Bài 4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 104 249

Bài 5 Vị trí tương đối của hai đường tròn . - 110 257

Ôn tập chương V -sxrtrrrtrrrrrrrrrrrtrte 117 268

LOI NOI DAU

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống, góp phần thúc đẩy sự phát triển của xã hội Ở chương trình lớp 9, kế thừa các vấn đề của Toán 6, Toán 7 và Toán 8, học sinh tiếp tục được tiếp cận các kiến thức, kĩ năng toán học

cơ bản về các mạch Đại số, Hình học và Đo lường, Thống kê và Xác

suất Một điêu mới mẻ của Toán 9 nói riêng và Toán ở cấp học Trung học cơ sở nói chung đó là học sinh tiếp cận và hình thành năng lực thông qua các hoạt động gần gũi với thực tiễn cuộc sống Nhằm giúp

học sinh có nhiều cơ hội hơn để đạt được điều đó, Công ty Cổ phần Giáo dục Fermat và nhóm tác giả xin giới thiệu tới bạn đọc cuốn sách

"Cửng cố uà ôn luyện Toán 9" Sách được viết theo cấu trúc các chương của bộ sách "Kết nổi tri thức voi cuộc sống" Cấu trúc các chương, nội

dung các bài học giúp học sinh ôn luyện và củng cố kiến thức, kỹ năng,

dan hình thành những năng lực Toán học phù hợp với chương trình

môn Toán Mỗi bài học đều được tóm tắt lý thuyết, đưa ra các dạng

toán, bài tập và lời giải mẫu và các bài tập tương tự giúp học sinh hình

thành ý thức tự học, tự nghiên cứu Sách còn là tài liệu giúp cha mẹ học

sinh đồng hành cùng con, góp phần tạo nên các tiết dạy hay cho các Thầy, Cô dạy môn Toán lớp 9.

Trong quá trình biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tập thể tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và độc giả để cuốn sách hoàn thiện hơn trong lân xuất bản tiếp theo

Các tác giả

CHUONG | PHUONG TRINH VA HE HAI PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN

1A

1B

BÀI 1 KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn z và 1 là hệ thức dạng ax+ bự =c,

trong đó a,b và c là các số đã biết, z#0 hoặc b+0

+ Mỗi cặp số (xạ;¿) được gọi là một nghiệm của phương trình

néu ax, +by, =c

+ Trong mat phang tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ (x;1) thỏa

mãn phương trình bậc nhất hai ẩn zxz+ bự =c là một đường thẳng Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax+ bụ =c "

2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Cặp hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c va a'x+b'y=c'

được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ấn Ta thường viết hệ

phương trình đó dưới dạng:

l +by=c ax+b'y=c' + Mỗi cặp số (z¿;¿) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình

trên nêu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ

Il BAI TAP VA CAC DANG TOAN

Dạng 1 Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của

Trong các cặp số (3;2),(4;-1), (6;2),(1;—1),(2;1), cho biết cặp số

nào là nghiệm của mỗi phương trình sau :

b) 3x+=7

Trong các cặp số (3;1), (7;-T1), G;0), (1;2), (2;4), cho biết cặp số nao

là nghiệm của mỗi phương trình sau :

b) 2x-y=0

a) x-2y=2;

a) x+2y=5,;

Giả sử (z;y) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ấn x-— 4y =6

Tìm giá trị thích hợp điền vào chỗ trống trong bảng sau rồi cho

biết nghiệm tổng quát của phương trình

Giả sử (⁄;/) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai an

2x+3=5 Tìm giá trị thích hợp điền vào chỗ trống trong bảng

sau rồi cho biết nghiệm tổng quát của phương trình

Cho phương trình 2x +? =0 với là một hằng số cho trước

a) Phương trình trên có phải là phương trình bậc nhất hai ẩn

không?

b) Tìm điều kiện của để phương trình nhận cặp số (3,1) là

nghiệm

Cho phương trình øx— 3 =7 với ø là một hằng số cho trước

a) Phương trình có phải là phương trình bậc nhất hai ấn không?

b) Tìm điều kiện của ø để phương trình nhận cặp số (4,3) là

Phương pháp siải: Để biếu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc

nhất hai ấn ax + bự =c trên hệ trục tọa độ, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tìm hai nghiệm của phương trình (x,,y,) va (x,,Y,);

Bước 2 Biểu diễn hai điểm có tọa độ là hai nghiệm vừa tìm được

trên mặt phẳng tọa độ, rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó Cho phương trình bậc nhất hai an 3x—y =1

a) Chứng tỏ rằng các cặp số (1;2),(0;-1),(2;5) là các nghiệm của

phương trình trên;

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxự, hãy biểu diễn các nghiệm

(1;2), (0;—1), (2;5) của phương trình trên

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn 3z + 2 = 6 '

a) Chứng tỏ rằng các cặp số (0;3), (2;0), (4;—-3) là các nghiệm của

phương trình trên;

b) Trong mặt phẳng tọa độ Ox, hãy biểu diễn các nghiệm

(0;3), (2;0), (4;-3) của phương trình trên

Viết nghiệm và biểu điễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi

phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) x+2y=3; b) 0x+3 =6; €) x—1 =1

Viết nghiệm và biểu điễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

Dạng 3 Xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

9A Cho cdc c&p sd (0;3), (3; 1), (2;2), (-3;5), (4-1) và hai phương trình

2x+3y=9, (1) x+5y=8 (2)

Trong các cặp số đã cho :

a) Cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2)?

c) Vé hai dwong thang 2x+3y=9 va x+5y=8 tren cùng một mặt

phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b)

9B Cho các cặp số (1;3), (—1;8), (2;0), (9; -3),(0;7) và hai phương trình

3x+=6, (1)

2x+2u=4 (2)

Trong các cặp số đã cho :

a) Cặp số nào là nghiệm của phương trình (1) ?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng 3x+y=6 va 2x+2y=4 trên cùng một mặt

phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở cầu b)

I BAI TAP TU LUYỆN

10 Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình

2x—3 =1?

a) (-1;-1); b) (11); c) (2;1)

11 Giả sử(z;y)là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn2x+=4

Tìm giá trị thích hợp điền vào chỗ trống trong bảng sau rồi cho

biết nghiệm tổng quát của phương trình

a) (1;2); b) (2;-1)

Cho các cặp số (1;2),(2;4),(3;7),(-1;-2),(-2;-5) và hai phương

2x-=0, (1) 3x+2y=14 (2) Trong các cặp số đã cho :

a) Cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng 2x-=0 và 3x+2=14 trên cùng một

mặt phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b) |

Cho phuong trinh (m—1)x+ my =12 voi m la tham sé

a) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn là phương trình bậc

nhất hai ẩn với mọi giá trị của ? t

b) Tìm giá trị của tham số ?r để cặp số (2;5) là nghiệm của phương trình đã cho

BÀI 2 GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẤN

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương pháp thế

+ Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu điễn một ẩn theo ẩn kia

rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ

còn chứa một an

Bước 2: Giải phương trình một ấn vừa nhận được, từ đó suy ra

nghiệm của hệ đã cho

2 Phương pháp cộng đại số

+ Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

11

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để

được phương trình chỉ còn chứa một an

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra

nghiệm của hệ phương trình đã cho

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1A Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Dạng 2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

2A Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

sim t0 c9, HH

2 3.2

12

3) T2 x +21 =4 22A7 b) l|+2lx|=5

Giải các hệ phương trình sau:

Để tìm điều kiện của tham số sao cho nghiệm của hệ phương trình

thỏa mãn điều kiện nào đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tìm nghiệm của hệ phương trình theo tham số, Bước 2 Dựa vào điều kiện của nghiệm thiết lập phương trình mới

chỉ chứa tham số;

Bước 3 Giải phương trình chứa tham số và kết luận

Cho hệ phương trình b —ĐX 1ÿ =Ở vợ là tham số) Tìm giá 2fmmx + 1 = 2

trị của m„n¡ để hệ phương trình đã cho có nghiệm (1;2)

2mx - 7T = 6 (m,n la tham s6) Tìm giá trị Cho hệ phương trình |

mx +ny =12

cla m,n dé hé phuong trình đã cho có nghiém (1;2)

13

Tìm hệ số ?r để hệ phương trình ( ty=3 2x—=2m+5 (mm là tham số) có

nghiém (x;y) sao cho x=2y

J aw A ` — 2 = 1 ` AS 7

Tìm hệ số m dé hé phuong trình “ 3x-4y=m+3 (m la tham số) co

nghiém (x;y) sao cho x=y+2

=m +2

Tìm m dé hé phuong trinh E7 HH T^ dn là tham số) có 3x + 5ụ = 2m7

nghiém (x;y) sao cho giá trị x+ là nhỏ nhất

x+2U=7 Xác định hệ số z để hệ phương trình | 3x+2=2a+1 (a la tham

số) có nghiệm (x;1) thỏa mãn x+2=/

% + = T + 1

Cho hệ phương trình | †nx + = 3m — (m là tham số) Tìm số

nguyên sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ma x„ đều là các số nguyên

3x—= 2m+3

Cho hệ phương trình | (m là tham số) Tim gia tri

x+2y=3m+1 của tham số ? để hệ phương trình có nghiệm (z;) thỏa mãn x+=5

15

BÀI 3 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Các bài toán liên quan đến số và chữ số

Phương pháp giải : Để giải các bài toán liên quan đến số và chữ số,

ta cần lưu ý mối liên hệ giữa các hàng trong một số :

Số có 2 chữ số : ab=10a+b với 0<a<9;0<b<9;a,beNÑ

Số có 3 chữ số: abc =100a+10b+c với0 <ø<9;0 <b,c<9;a,b,c eÑ

1A Cho một số tự nhiên có 2 chữ số Nếu đổi chỗ 2 chữ số của nó thì

ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và

số mới là 99 Tìm số đã cho

1B Cho một số tự nhiên có 3 chữ số Nếu viết các chữ số của số đã cho theo thứ tự ngược lại thì ta được một số mới nhỏ hơn số ban đầu

297 đơn vị Tổng của số đã cho và số mới là 1069 Tìm số đã cho

2A Cho một số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng tổng các chữ số của

nó là 7, và nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được một

số mới lớn hơn số ban đầu là 180 đơn vị Tìm số đã cho

2B Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 11 Nếu

đổi vị trí của hai chữ số thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho

là 27 đơn vị Tìm số đã cho

16

Dạng 2 Các bài toán chuyển động

Phương pháp siải : Để giải các bài toán liên quan chuyển động, ta cần lưu ý đến mối quan hệ giữa ba đại lượng vận tốc đi chuyển (ø), quãng đường di chuyển (s) và thời gian di chuyển (f) theo công thức

S=UE

Đoàn tàu số hiệu S1 đi từ ga A đến ga B, trong khi đoàn tàu số

hiệu 52 đi từ ga B về ga A Hai đoàn tàu gặp nhau khi đoàn tàu S1

đã đi được 1 giờ 30 phút, còn đoàn tàu S2 đi được 2 giờ Một lần

khác, hai đoàn tàu cũng đi từ hai ga A và B như thế nhưng khởi:

hành cùng lúc; sau 1 giò 15 phút thì chúng cách nhau 105km Tính vận tốc của đoàn tàu S1 biết khoảng cách giữa hai ga tàu là 380km Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 162km khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau thì sau 2 giò sẽ gặp nhau Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi từ

B xuất phát trước người đi từ A 15 phút, thì sau khi người đi từ A

đi được 1 giờ hai người còn cách nhau 72km Tính vận tốc của người đi từ A

Quãng đường AB gồm một đoạn lên đốc dài 4km và một đoạn

xuống dốc dài 5km Một người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút

và đi từ B về A mất 41 phút Biết vận tốc lúc lên đốc và lúc xuống dốc là không thay đổi trên cả hai chiều đi, tính vận tốc lúc lên đốc của người đó

Quãng đường AB gồm một đoạn lên đốc dài 4km và một đoạn xuống đốc dài 12km Một người đi xe đạp từ A đến B mất 75 phút

và đi từ B về A mất 105 phút Biết vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống đốc là không thay đổi trên cả hai chiều đi, tính vận tốc lúc lên đốc

của người đó

17

Dạng 3 Bài toán năng suất, công việc làm chung - làm riêng

Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến năng suất lao

động, ta cần lưu ý đến mối quan hệ giữa ba đại lượng năng suất

lao động (0), tổng số sản phẩm (s) và thời gian làm việc () theo

công thức s= 7Í

Hai xí nghiệp phải làm tổng cộng 720 sản phẩm theo kế hoạch

Tuy nhiên, xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 15%, xí nghiệp 1Í đã

vượt mức kế hoạch 12% nên tổng số sản phẩm thực tế hai xí

nghiệp đã làm được là 819 sản phẩm Tính số sản phẩm xí nghiệp

I phải làm theo kế hoạch

Năm ngoái, hai nhà máy đường thu hoạch được 360 tấn mía Năm

nay, nhà máy số 1 thu hoạch vượt mức 20%, nhà máy số 2 thu

hoạch vượt mức 10% so với năm ngoái Do đó cả hai nhà máy đã!

thu hoạch được 1116 tấn mía Hỏi năm ngoái nhà máy số 1 thu hoạch được bao nhiêu tấn mía?

Hai đội công nhân cùng sửa một đoạn đường thì xong trong 12 ngày Mỗi ngày đội A làm được phần công việc gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một mình thì đội B sẽ sửa xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Hai máy in cùng hoạt động để hoàn thành xong một công việc trong 10 giờ Mỗi giờ máy in thứ nhất làm được phần công việc gấp đôi máy in thứ hai Hỏi nếu máy in thứ nhất hoạt động một mình thì sẽ hoàn thành công việc trong bao nhiêu giờ?

Hai đội xây dựng xây một căn nhà và dự định hoàn thành trong

12 ngày Nhưng làm chung duoc 9 ngay thi doi I được điều động

đi làm việc khác Khi làm một mình, đội II da cai tiến cách làm để

tăng năng suất của đội lên gấp đôi Do đó họ đã hoàn thành phần

công việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất ban đầu, nếu

đội II làm một mình thì phải trong bao nhiêu ngày mới hoàn thành

xong công việc?

Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất Nếu hai đội cùng làm

thì trong 18 ngày xong công việc Nếu đội thứ nhất làm 6 ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc Hỏi nếu đội thứ nhất làm một mình thì trong bao nhiêu ngày sẽ xong công việc?

Dạng 4 Bài toán liên quan đến nội dung hình học

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80m Nếu chiều dài mảnh

đất tăng thêm 3m, chiều rộng của mảnh đất tăng thêm 5m thì điện tích của mảnh đất tăng thêm 195m? Tính diện tích của mảnh đất ban đầu

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 54m Nếu chiều dài mảnh

đất tăng thêm 3m, chiều rộng của mảnh đất tăng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 130m2 Tính diện tích của mảnh đất ban đầu

Nhà bạn Hoa có một mảnh vườn trông cà chua, vườn được làm

thành nhiều luống và số cây ở mỗi luống là như nhau Hoa tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì tổng số cây cà chua trong vườn giảm đi 54 cây; nếu giảm đi 4 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà Hoa trồng bao nhiêu cây cà chua?

Nhà bạn Lan có một mánh vườn trông ngô, vườn được làm thành nhiều luống và số cây ở mỗi luống là như nhau Lan tính rằng: nếu tăng thêm 4 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì tổng số cây ngô trong vườn tăng thêm 20 cây; nếu giảm đi 4 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 7 cây thì tổng số cây ngô trong vườn tăng thêm 24 cây Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây ngô?

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Cho một số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng tổng các chữ số của

nó là 14, và nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số thì được

19

Quãng đường AB dài 950km Hai ô tô khởi hành từ A và B đi về

phía nhau Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì sau 10 gio

chúng sẽ gặp nhau Nếu xe đi từ B khởi hành trước xe kia 3 gio 48

phút thì hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A khởi hành được 8 giờ

Tính vận tốc xe đi từ A |

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ sẽ đầy bể

Nếu một mình vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó một mình vòi

? aX XN ? ° Ne kì 2 A 2 AS Ne

thứ hai chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 5 bé Hoi néu voi

thứ nhất chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Hai nhà máy phải sản xuất tổng cộng 360 chỉ tiết máy theo kế, hoạch Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên nhà may A da |

vượt mức 12% kế hoạch, nhà máy B đã vượt mức 10% kế hoạch Do

đó thực tế cả hai nhà máy đã sản xuất được 400 chỉ tiết máy Tính số

chỉ tiết máy mà nhà máy B phải sản xuất theo kế hoạch

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 86m Nếu chiều dài tăng thêm

4m, và chiều rộng của mảnh đất tăng thêm 7m thì điện tích của mảnh

đất tăng thêm 350m2 Tính diện tích của mảnh dat ban dau

d) (x-3)(yt+2)=xy+8

Hai trường A, B có 250 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có

210 học sinh đã trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp

9 dự thi vào lớp 10

Trong một kỳ thi, mỗi học sinh chỉ được đăng ký thi một trong hai

môn Toán hoặc Khoa học Tổng cộng có 460 học sinh tham dự kỳ

thi và đã có 357 học sinh vượt qua vòng 1 Nếu tính riêng mỗi môn thì tí lệ học sinh vượt qua vòng 1 của môn toán đạt 80% và tỉ lệ học sinh vượt qua vòng 1 của môn Khoa học là 75% Tính số học sinh tham dự của mỗi môn

Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9 km/h Khi đi tử B về

A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km so với đường đi lúc đầu,

và đi với vận tốc 12 km/h nên thời gian ít hơn thời gian lúc đi là 20 phút Tính quãng đường AB ban đầu

Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h Khi đi từ B

về A người ấy đi đường khác dài hơn 3 km so với đường đi lúc

đầu, và đi với vận tốc 18 km/h nên thời gian ít hơn thời gian lúc đi

là 5 phút Tính quãng đường AB ban đầu

Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ Nếu

tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu?

Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau Z7 giờ 30 phút Nếu tổ một làm trong 3 giờ, tổ hai làm trong 2 giò thì

Tìm các giá trị của 4, b để hệ phương trình cé nghiém (1;-3)

Tìm một số tự nhiên N có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ

số 1 vào giữa hai chữ số của N thì được một số lớn hơn số 2N là

487 đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số N theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số N là 27 đơn vị

Trên cánh đồng có diện tích 100 ha của một đơn vị sản xuất, người

ta dành 25 ha để trồng thí điểm giống ngô mới, còn lại vẫn trồng giống ngô cũ Tổng số ngô (cả hai giống) thu hoạch trên cả vụ là

600 tấn Người ta so sánh giống ngô mới và giống ngô cũ để đối chứng, thì thấy số ngô trên 4 ha giống mới nhiều hơn số ngô trên 6

ha giống cũ là 6 tấn Hỏi năng suất của mỗi giống ngô trên 1 ha là bao nhiêu tấn?

23

13

14

24

Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định trong một thời

gian đã định Nếu vận tốc ô tô giảm đi 10km/h thì thời gian đến

nơi muộn hơn dự định 45 phút Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đến nơi sớm hơn dự định 30 phút Tính vận

tốc và thời gian dự định đi của ô tô

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai

21x LÔ An Re ye ^ chảy trong 12 phút thì được 1s PỀ Hỏi nếu mỗi vòi chảy một

mình thì bao lâu mới đầy bể?

HƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình tích + Phương trình tích có dạng A(x).B(x)=0, trong đó A(x),B(x) là

các đa thức một biến x

+ Để giải phương trình tích (zx+ b)(cx + đ) =0, ta giải hai phương

trinh ax+b=0 va cx+äÄ=0, sau đó lấy tất cả các nghiệm của

chúng

2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

+ Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, điề+ kiện xác định (viết

tắt là ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu

thức trong phương trình đều phải khác 0

+ Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mâu thức:

e Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

e Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

e Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được

® Bước 4 (kết luận): Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước

3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của

phương trình đã cho -

II BAI TAP VA CAC DANG TOÁN

Dang 1 Giai phwong trinh tich Phương pháp giải: ĐỂ giải phương trình đưa về dạng tích ta thực

hiện các bước như sau:

+ Bước 1 Chuyển vẽ, phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0

+ Bước 2 Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm được giá trị của ẩn

+ Bước 3 (kết luận): Tất cả các giá trị tìm được ở bước 2 là nghiệm

25

Dạng 2 Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực

hiện theo các bước sau: |

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

+ Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

+ Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được

+ Bước 4 (kết luận): Trong các giá trị tìm được của ấn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương

Giải các phương trình sau:

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Bước 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích hoặc phương trình chứa ẩn ở mẫu và giải phương trình |

+ Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm vừa tìm được, nghiệm

nào thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 Tìm số bé hơn

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp cộng với tổng của chúng thì được kết quả là 209 Tìm số lớn hơn

Nhà bạn Hùng được ông bà nội cho một mảnh đất hình chữ nhật

Khi bạn Dũng đến nhà Hùng chơi, Hùng đố Dũng tìm được điện

tích của mảnh đất, biết rằng: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì điện tích mảnh đất đó tăng thêm 20m? Em hãy giúp Dũng tìm

được điện tích của mảnh đất

^ Nd ` ` ~ ^ r oA ^ È 5 `^ XN Ar

Một miếng bìa hình chữ nhật có chiêu rộng bằng s chiêu đài Nêu

chiều rộng giảm đi 6cm và chiều dài giảm đi 3cm thì ta được hình

chữ nhật mới có điện tích bằng nửa diện tích hình chữ nhật ban

đầu Tính chu vi miếng bìa đó

Hai người làm chung một công việc trong 2 giờ thì xong Nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong thời gian ít hơn người thứ hai là 3 giờ Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai phải làm trong bao lâu để xong công việc?

Xe XN ^ ^ oA 1 *X\ ` xế

Hai người làm chung một công việc trong ~ gio thi xong Neu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong thời gian nhiều hơn người thứ hai là 4 giờ Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai phải làm trong bao lâu để xong công việc?

10A Một người công nhân phải hoàn thành 168 sản phẩm theo kế hoạch Do cải tiến kỹ thuật nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm

nhiều hơn 4 sản phẩm so với số sản phẩm làm trong một giò theo kế hoạch Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn 1 giờ so với dự định Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải hoàn thành bao nhiêu sản phẩm?

10B Một nhà in có kế hoạch in xong 7200 cuốn sách giống nhau trong một thời gian quy định Để hoàn thành sớm công việc, mỗi ngày nhà in đã in nhiều hơn 600 cuốn sách so với số cuốn sách phải in theo kế hoạch Do đó, nha in đã hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch Tính số cuốn sách nhà in

phải in trong một ngày theo kế hoạch, biết số sách in trong mỗi ngày là bằng nhau

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

11 Giải các phương trình sau:

2x-3 x-1

a) Tim diéu kién xac dinh cua P

b) Tìm giá trị của x để biểu thức P nhận giá trị bằng 4

Từ một miếng tôn hình chữ nhật, người ta cắt ở bốn góc bốn hình

vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng hình hộp

chữ nhật không có nắp có dung tích là 1500 dm’ Hãy tính diện

tích của miếng tôn ban đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi

chiều rộng À

Một mảnh đất hình tam giác vuông có chu vi là 60 m và cạnh

huyền có độ dài là 25 m Tính điện tích của mảnh đất đã cho

Hưởng ứng phòng trào “Vì biển đảo Trường 5ñ”, một đội tàu dự định

chở 280 tấn hàng ra đảo Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng

hóa đã tăng thêm 50 tấn so với dự định Vì vậy đội tàu phải bổ sung

thêm 1 chiếc và mỗi tàu phải chở nhiều hơn dự định 2 tấn hàng Hỏi

ban đầu đội dự định dùng bao nhiêu chiếc tàu, biết đội tàu có nhiều

hơn 10 chiếc và mỗi tàu chở số tấn hàng như nhau?

Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi, đội tình nguyện gồm 13 học sinh đã tham gia gói 160 phần quà để tặng các em nhỏ vùng cao Tổng số quà mà các học sinh nam gói được bằng tổng số quà mà các học sinh nữ gói được Số quà mỗi bạn nữ gói nhiều hơn số quà mỗi bạn nam gói là 6 phần Tính số học sinh nam trong đội tình nguyện

BAI 2 BAT DANG THUC VA TÍNH CHAT

I TOM TAT LY THUYET

1 Bất đẳng thức

- Với hai số thực a và b bất kì, ta luôn có ba trường hợp sau:

+ Số a bằng số b, kí hiệu a=b;

+ $6 alén hon s6 b, ki hiéu a>b;

+ S6 anho hon sé b, kí hiệu a<b

- Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là a>b hoac a=b, ki hiéu 1a

a>b

- Số ø nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là a<b hoặc a=b, kí hiệu là

a<b

- Bất đẳng thức là hệ thức dạng ø > 0 (hoặc a<b,a>b,a<b), trong

đó a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức |

- Hai bất đẳng thức a<bvà c< (hoặc a>b và c> 3) được gọi là

hai bất đẳng thức cùng chiều

- Hai bất đẳng thức a<b và c>d (hoặc a>b va c<d) duoc goila

hai bất đẳng thức ngược chiều

2 Tính chất bắc cầu

- Nếu a<b và b<c thì a<c;

- Nếu a>b và b>c thì a>c

3 Liên hệ giữa thứ tự và phép tính

a) Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng cùng một số vào hai

vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

Voi ba sé a,b,c, ta cd:

+Néu a<bthi a+c<b+c;

+Néu a<bthi a+c<b+cC;

+Nếu a>bthì a+c>b+c;

+Nếu a>bthì a+c>b+c

31

1A

1B

2A

32

b) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức

đã cho

Voi ba sé a,b,c va c>0 taco:

+Néu a<b thi ac<bc;

+Nếu a<b thì ac <bc;

+Néu a>b thi ac>bc;

+Nếu a>b thì ac>bc

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

Với ba số a,b,c và c<0 ta có:

+ Nếu a<b thì ac>bc;

+Nếu a>b thi ac<bc;

+Néu a2b thi ac<be

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

a) x lon hon 18; b) nhỏ hơn hoặc bằng -5;

c) z là số âm; - đ) a—15 nhỏ hơn 1000

Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Các bạn nhỏ thấp hơn 140cm sẽ được miễn phí vé vào cửa

công viên;

b) Theo quy định, độ tuổi lao động tối thiểu của người lao động ở

Việt Nam là 15 tuổi

2B Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Ca-nô chở được tối đa 30 hành khách mỗi lượt;

b) Ngân hàng A quy định số tiền tối thiểu trong thẻ ATM của mỗi khách hàng là 50 000 đồng

Dạng 2 So sánh hoặc chứng minh bất đắng thức dựa vào tính

Cho a,b,c la cdc số dương thỏa mãn ; >1 Chứng minh — a bac +c

Cho z,b,c là các số dương thỏa mãn 5 <1 Chứng minh = 5 < me

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Nhiệt độ để nước đông thành đá là dưới 0ˆC

b) Công dân Việt Nam từ đủ 14 tuổi trở lên được cấp thẻ căn cước

qb > ad +bc

- S56 x, là một nghiệm của bất phương trình A(z)<B(x) nếu

A(x,) < B(x,) la khang dinh dung

- Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó

2 Các bước giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, mỗi liên

hệ giữa thứ tự và phép nhân để đưa một số bất phương trình về

bất phương trình bậc nhất một ẩn

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Xác định điều kiện để một bất phương trình là bất

phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải: Để xác định một bất phương trình là bậc nhất một ấn z thì bất phương trình đó phải đưa được về dạng ax+ <0

(hoặc øx+b >0; ax+b <0; ax+b>0) với điều kiện hệ số a z0

Tìm điều kiện của tham số ím để các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn:

Phương pháp giải: Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1 Chuyển hạng tử không chứa ẩn sang vế phải

Lưu ý quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương

trình từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu hạng tử đó

Bước 2 Nhân hai vế của bất phương trình thu được với số nghịch

đảo của hệ số của hạng tử chứa ẩn

Lưu ý quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của bất phương trình với

cùng một số khác 0, ta cần:

- Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó là số dương;

- Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó là số âm

Giải các bất phương trình sau:

Dạng 3 Giải bất phương trình có chứa tham số -

Phương pháp giải: Để giải bất phương trình chứa tham số, ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1 Đưa bất phương trình có chứa tham số về dạng Ax<B (hoặc Ax>B; Ax<B; Ax>B), trong đó A,B la cac biếu thức có

b) có nghiệm đúng với mọi z

Dạng 4 Bài toán có lời văn

Trong một kỳ thi, bạn Chiến phải thi bốn môn Toán, Văn, Tiếng

Anh và Hóa, trong đó môn Toán và Văn được tính hệ số 2 Bạn ấy

đã thi ba môn và đạt 8 điểm môn Văn, 7 điểm môn Tiếng Anh, 10

điểm môn Hóa Theo quy định, để đạt phần thưởng, bạn Chiến phải có điểm trung bình các môn thi là 8 điểm trở lên và không

môn nào bị dưới 6 điểm Hãy cho biết để đạt phần thưởng, bạn Chiến cần đạt ít nhất bao nhiêu điểm ở môn Toán?

Trong một kỳ thi giành học bổng, học sinh cần thi bốn môn Toán, Văn, Tiếng Anh và một môn tổ hợp, trong đó môn Toán và môn

Tiếng Anh được tính hệ số 2 Lan đã thi ba môn và đạt 10 điểm

môn Toán, 8 điểm môn Văn và 9 điểm môn Tổ hợp Lan sẽ giành

được học bổng nếu điểm trung bình các môn thi là 9 điểm trở lên Hỏi để giành được học bổng, bạn Lan cần được tối thiểu bao nhiêu

điểm môn Tiếng Anh?

Một hãng taxi có giá mở cửa là 17 nghìn đồng và giá 15 nghìn đồng cho mỗi kilomet Nếu bạn có 200 nghìn đồng, hỏi bạn có thể

đi được tối đa bao nhiêu kilomet (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một hãng taxi chở khách ra sân bay có chương trình khuyến mãi như sau: Trong vòng 25 kilomet đầu tiên, khách cần trả 280 nghìn

HI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các bất phương trình sau:

nghiệm đúng voi moi x

Trong vòng sơ loại của một kỳ thi Toán, các thí sinh phải trả lời 25

câu hỏi và không được phép bỏ trống câu nào Với mỗi câu trả lời

đúng, thí sinh được nhận 2 điểm Với mỗi câu trả lời sai, thí sinh

bị trừ đi 1 điểm Các thí sinh cân đạt 35 điểm trở lên mới được dự

thi vòng tiếp theo Hỏi mỗi thí sinh cần trả lời đúng ít nhất bao

nhiêu câu hỏi để được vào vòng tiếp theo? |

39