Tiểu Luận Học Phần Phương Trình Hàm Và Ứng Phương Trình Hàm Cauchy - Cao Học 2023.Pdf

Trong các kì thi 'Toán học 30/4, Olympic Toán học Quốc Gia, Khu vực Quốc tế, các bài toán về phương trình hàm xuất hiện thường xuyên, hay và khó.. Để giải quyết các phương trình hàm này,

DAI HOC QUOC GIA HA NỘI

TRUONG DAI HOC GIAO DUC

a

` s

§IÁ0 DỤC YÌ NGÀY MAI

EDUCATION FOR TOMORROW

TIEU LUAN HOC PHAN

PHUONG TRINH HAM VA UNG DUNG

Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Học viên: Nguyễn Minh Nghĩa

Ngày sinh: 05/09/2000

Lớp: LL&PPDH môn Toán (lớp 3)

Hà Nội, tháng 8 nam 2023

PHẢN NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị - - -.- 555cc: 3 Chương 2 Phương trình hàm Cauchy 8 Chương 3 Một số ứng dụng của phương trình hàm Cauchy 1L4 Kết luận L c2 Q00 222211 nnnnkn ng chào 21 'Tài liệu tham khảo con nhu na 22

Lời nói đầu

Phương trình hàm là chuyên đề hay và khó của toán sơ cấp Trong các kì thi 'Toán học 30/4, Olympic Toán học Quốc Gia, Khu vực Quốc tế, các bài toán về phương trình hàm xuất hiện thường xuyên, hay và khó Để giải quyết các phương trình hàm này, chúng ta cần phải nắm vững kiến thức cơ bản về hàm

số, một số phương trình hàm cơ bản cùng với các phương pháp giải phù hợp

Trong các tài liệu hiện nay, phương trình hàm Cauchy vẫn còn khá ít và với

mục tiêu của tiểu luận là cung cấp những lý thuyết, kiến thức cơ bản nhất, bồi

đưỡng học sinh khá giỏi, nâng cao nghiệp vụ sư phạm sau đại học, tiếp cận đến các bài toán trong các kì thi Olympic Toán, tiểu luận chia làm ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này, tiểu luận trình bày lý thuyết, định nghĩa cơ bản thường được

ding trong giải bài tập phương tình hàm như: Hàm số liên tục, hàm số chẫn và hàm số lẻ, hàm tuần hoàn và phan tuần hoàn cộng tính, hàm tuần hoàn vA phan tuần hoàn nhân tính, đặc trưng một số hàm sơ cấp

Chương 2 Phương trình hàm Cauchy

Chương này, tiểu luận trình bày phương trình Cauchy và các phương trình chuyển đổi các phép tính số học

Chương 3 Một số ứng dụng của phương trình hàm Cauchy

Chương này, tiểu luận trình bày một số bài tập về phương trình Cauchy và

xây dựng từ các thầy cô để tiểu luận được hoàn thiện hơn

'Tôi xin chân thành cảm on!

Hà Nội, ngày 08 tháng 08 năm 2023

Học Viên

Nguyễn Minh Nghĩa

Giả sử hàm số ƒ(z) xác định trên (a,b)CR va 2, €(a,b)

Hàm số ƒ(z) liên tục tại z, nêu với mọi dãy {z2} “ka €( a,b) sao cho

lim x, = 2, thi lim f (,) =f (z,)

Ham sé { (2) xc dinh trén [a,b] CR, duoc goi 1a liên tục tại trên [a,i] néu f(z)

lién tuc trén khoang (a,b) và lién tuc phai tai diém a , lién tuc trái tại b

1.1.5 Tập trù mật

Định nghĩa 1.1.4

Cho 4c 8C R nếu với mọi ze Ö, với mọi z>0, tồn tại e 4, sao cho |z~|<£

thì A được gọi là tép tri mat trong B

"Fa có nhận xét sau

1 Tap Q tri mat trong R

Diều này tương đương với vz eiR, luôn tồn tại đấy z e(Q để lim#, =#

2 Tập lneZ';me zh er mat trong R

1.2 Ham sé chan, ham số lẻ

Xét các hàm số ƒ(z) với tập xác định Đ(ƒ)cR va tap gid tri R(f)cR Định nghĩa 1.2

a) Hàm ƒ(z) được gọi là hàm chẵn trên M, MẶC D(ƒ) (gơi tắt là hàm chăn trên M) nếu

b) Cho f(z) là hàm tuần hoàn trên 4 Khi đó T(T>0) được gọi là chu kỳ cơ

sở cùa ƒ(z) nếu ƒ(z) tuần hoàn chu kỳ 7' mà không là hàm tuần hoàn với bất

cứ chu kỳ nào bé hơn 7!

b) Cho ƒ(z) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 8, trên 8 mà không là hàm tuần

hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn ö„ trên A7 thì ö„ được gọi là chu kỳ hàm cơ sở

của hàm phản tuần hoàn ƒ(z) trên AM,

1.4 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

1.4.1 Hàm tuần hoàn nhân tính

2 Hàm tuyến tính: ƒ(z)=az, (a#0) có tính chất

f(x+y) = f(z) + f(y), Vz,uelR

3 Hàm mũ: ƒ(z)= a”, (a>0;az1) có tính chất

ƒ(œ+y)=ƒ(z)-f(w) Vay ER

4, Ham liy thita: f(2)= {2° c6 tinh chat

F(ey)=F(2)-F(y), Vey eR\ {0}

5 Ham Logarit: f(z) =log, al, (a>0;a#1) có tính chất

ƒ(eu)= /(z)+7) Vz„wecIR\ {0}

Chương 2

Phương trình hàm Cauchy

Bài toán 2.1 (Phương trình hàm Cauchy)

Xác định hàm ƒ(z) xác định và liên tục trên R thỏa mãn ƒ(1)=ø và

f(et+y)=f(2)+ f(y), VeyeR (2.1)

Cho z =2;y =1 ta được ƒ(3)=/(2)+/(1) =3a

Giả sử ƒ(m)= maV meNÑ “Ta có

Cho z =5! “g7 ta được f{#]*z«

Giả sử f[s:)=g=-eYneN 'Ta có

f (+) =i(: tay) sel (s5) “pat

Theo nguyén ly quy nap ta duoc

Theo (3), ta có ƒ(#,) =a+, với k= 1n

Suy ra limƒ (z,) = lima x, o> lime, | =a lima, Điều này tương đương với

ke Ƒƒ)=az Ve eR*

Do ham f(x) laham s6lénén f(c)=a2 VreR

Thử lại, ta thấy f(z) thoa man yéu cau bài toán

Bài toán 2.2

Xác định hàm ƒ (z) xác định và liên tục trên R thỏa mãn

f(2+ y)= f(a) f(y), VayeR (2.2)

Lời giải

Dé thay #{3)=0 là một nghiệm của bài toán 2.2

Xét ƒ(z) =0, khi đó tồn tại z„eR thỏa mãn:

ƒ(œ)=f(œ+(œ¿—z))=f()ƒ(œ¿—z)>0 VzelR

Mặt khác, /(z) -Í$ 3} (Ì >0 VzelR

Lấy logarith hai về của (2.2) ta được

Inƒf(z+#)=Inƒf(2)+Inƒ(0) Dat g(t) =In ƒ(0) > /() =¿® Khi đó g(z) là hàm liên tục trên R và

ø(z+ ø)=In ƒ(z+ y)=Im ƒ(z)+n ƒ(9)= ø(2)+ s(0)

Suy ra g(z+y)= 9(z)+ 9(y) nên nghiệm ø(z) theo bài toán 2.1 có dạng

g(z)=a2, VaeR

Suy ra ƒ(z)=e” =b” với b>0

Kết luận: Nghiệm của bài toán là ƒ(z)=0 hoặc f(z) =b", b>0 Bài toán 2.3

Xác định ƒ (z) xác định và liên tục trên IR`\ 40} thỏa mãn

Nếu ƒ(1)=1 Khi đó

/0)=/[s ;]=/6)/(S]=! vzeR\ 0}

Xác định ƒ (z) xác định và liên tục trên IR`\ 40} thỏa mãn

f(y) =f(2) +f(y), Vay eR\{O (2.4)

Lời giải

Thay z=y=0 vào (2.4) ta có ƒ (0)=2/ (0)© f (0)=0

Thay z=#y=# vào (2.4) ta có f(t )=2/Œ):

Theo bài toán (2.1) thi (2.4.1) tong duong véi g(t)=bt va ta c6

ƒ(z) =alnz, VzeR',seR tùy ý

Vì /Œ)=/(—£) ve R`\{0} nên nghiệm tổng quát của (2.4) là

f(z)=aln{e ,Vze'\ {0} với ae tùy ý

Tht lai, ta thấy hàm /(z)= aln|z|,Vze R`\ {0}, ae tùy ý, thỏa mãn yêu cầu

bài toán

Bài toán 2.5

Xác định ƒ (z) xác định và liên bục trên IE thỏa mãn

f(2y)= f(2)- f(y), VayeR (2.5)

Do đó f(t y)= f(z) f(y), Vy.zeR va f(x)#0, VeeR

"heo bài toán 2 suy ra f(z) =a" (a >0)

Kết luận: ƒ(z)=#”` trong đó ø>0 tùy ý

Theo bài toán 2.4, khi đó

ƒ(2)=bluz, VzeR',beR tùy ý

Kết luận: f()=bImz, VzeR',beR tùy ý

Chương 3

Một số ứng dụng của phương trình hàm Cauchy

"Trong chương này, ta sẽ áp dụng các phương trình hàm Cauchy trong các lớp

hàm liên tục đến một số bài toán và mở rộng của nó

Bài toán 3.1 (Olyrmmpic Sinh Viên 2010)

Tim ham f(«) xác định và liên tục trên R thỏa mãn ƒ(1)= 2010 và

ƒ(z+y)= 2010 f(y)+ 2010" f(z), VayeR (3.1)

Lời giải

Từ (3.1), ta có

2010 “°*)ƒ(z +) =9010”*/(/)+20107/(z), Ve„yeR (3.1.1) Dat 2010 “f(t) =9(t) Khi đó, ø(¿) liên tục trên R và (3.1.1) tương đương với

g(+y)=g(#)+øg(w), View Theo bài toán 2.1, hàm ø(z) =az với øeR tùy ý

Do đó, nghiệm của (3.1) có dang ƒ(z) = az2010”

Theo giả thiết, ta có ƒ(L) =2010 2010 =a.2010 nên suy ra ø=1

Kết luận: ƒ(z)=z2010, VzeT là nghiệm của bài toán

Thi lai, ta thay nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 3.3 (Phương trình hàm Jensen)

Tim ham f (z) xác định và liên tục trên R thỏa mãn

(3.3)

Lời giải Đặt /(z)—/(0)=ø(z) Ta có ø(z) liên tục trên R với ø(0)=0 và

ou) Heer) Va,y ER

Lần lượt cho =0 và z=0 ta có (3) = 10) = sự) với mọi z,elR

Do đó (2) = (5)+ J8) Vz.uelR, điều này tương đương với

g(z+ y) = 9(2) + gy), Va,yER

Ma (2) liên bục trên R§ nên theo bài toán phương trình hàm Cauchy, ta có

g(z)=az,aelR Suy ra ƒ(z)=az+b với abeTR Thử lại, ta thấy nghiệm thỏa mãn bài toán (3.3)

Kết luận: f()=artb, a,beR

Bài toán có thể mở rộng như sau:

Tim ham f (z) xác định và liên tục trên R thỏa mãn

( + rate) Me) +1(@2) +A PG) Va,eR

Phương trình hàm Jensen có ứng dụng lớn trong việc chuyển đổi đại lượng trung

bình

Bài toán 3.4

Cho a,b e#\ {0} Tìm hàm ƒ(z) xác định và liên tục trên & thỏa mãn

f (ax +by)=af (c)+Of (y), Vay eR (3.4)

Lời giải

Thay z=y=0 vao (3.4), ta dude f(0)(a+ b-1)=0

a) Nếu a+ z1 thì ƒ(0)=0 Khi đó, ta thay lần lượt =0 và z=0 vào (3.4), ta

được

J(œ)=a/(+), 7

'Từ (3.4) và (3.4.1) suy ra (3.4) tương đương với

)= ƒ(az)+ f (by), VayeR

Do a,bz0 nên ta có ƒ(z+)=ƒ(z)+f(w) VayeR

U)=bj(u) VayeR (3.4.1)

f (ax + by

Do f (z) xác định và liên tục trên R nên theo bài toán phương trình hàm

Cauchy, ta có ƒ(+)= c+, ceR

b) Nếu a+ð =1 thì ƒ(0) nhận giá trị tùy ý Khi đó (3.4) tương đương với

f(ax+by)— f(0) =a[ ƒ(+)— ƒ(9)]+0[7)— 7ƒ(0) |], VøweR,

ƒ (na +bụ +e)= mƒ ()+nƒ{w)+p, VeeTR (3.5)

Lời giải

Đặt z = a thế vào (3.5) ta được

f(u+z)=mf[ jeu (SS “rp (3.5.1)

Cho ø=0, thay vào (3.5.1) tacé f(t) =m mi(2 }*“Œ ° xơ:

Cho w =0, thay vào (3.5.1) ta có f(v)=m orn Je»

Cho w= =0, thay vao (3.5.1) ta có f(0)= mf (0)+ {=} Dp

Do đó (3.5.1) tương đương với

ƒ(u+ ø)= ƒ(0)+ ƒ(6)— (0), VuveR Suy ra

f(x+ y)= f(2)+ f(y)- (0), VayeR Đặt /(z)- /(0)= ø(z),VzelR,tacó ø(2) liên tục trên & với ø(0)=0 và

9(z+)=0(2)+3(0) VayeR Theo bài toán phương trình hàm Cauchy, ta có g (x )=9z, eR Suy ra f(z)=qr+r, reR

Bài toán 3.6 (Indonesia TST 2010)

Tim ham f(z) xác định và lién tuc trén R thoa man

f(o° tự *)= aof (a Jeu (v? ), Vz,yclR (3.6)

Thay y =0 vao (3.6), ta dude /) =af (a);

Thay z=0 vào (3.6), ta dude f(y’) =z/(') :

Suy ra (3.6) tương đương với /a°+ y)= /*}* f(y’), VayeR

Do hàm f(z) xác định và liên tục trén R nén

ƒ(e+)=Jf(z)+/(w), VayeR

'Theo bài toán phương trình hàm Cauchy, ta có f(z) =ar,aeR

Thi lai, ta thay nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 3.7 (USA MO 2000)

Tim ham f(z) xác định và liên tục trên R thoa man

ƒ('-?)=#f(@œ)-w/(w) VeueR (3.7)

Lời giải

"Thay g =0 vào (3.7), ta được f(@)=af (2);

Thay z=0 vào (3.7), ta được ƒ(-C)=-w/(0):

Suy ra (3.7) tương đương với ƒ- )E f(a’) + f-ở) Va,yeR hay

flety)=flz)+fly), VeeRysO (3.7.1)

Thay z=„=0 vào (3.7.1), ta được ƒ(0)=0

Thay z=~ vào (3.7.1), ta được f(0)= f(-y)+ f(y)=0 Suy ra f(-y) =-f(y)

Lời giải

Thay z=0 vào (3.8), taco f(f(y))=2y+f(0) (3.8.1)

Suy ra hàm ƒ(z) là đơn ánh trên ®

Thay z =y =0 vào (3.8), ta có ƒ(/(0))=/(0) nên ƒ(0)=0 Khi đó, (3.8.1) tương duong véi f (f(y) )=2y, Vye R va

Thứ lại nghiệm, thay ƒ(z)=az vào (3.8.2) suy ra a=+v2

Kết luận: ƒ(z)= V2z, Vzel hoặc ƒ(z)=—2z, Vze R

Từ bài toán 3.8, ta có thể tổng quát thành bài toán sau

Thay z =y =0 vào (3.9), ta có ƒ(7(0))=/(0) nên ƒ(0)=0 Khi đó, (3.9.1) tương

đương với f(f())= ky, VyeR va

F(R y)=F(F EQ) =F 7) (3.9.2)

Từ đó thay ø= ƒ(ø) và kết hợp (3.9.2) vào phương trình (3.9) ta được

/z+/(f0)))=*2/0) +7) Điều này tương đương với

Thi lai nghiém, thay f(z)=azr vao (3.9.2) suy raa=+k

Kết luận: ƒ(z)= kz, VzelR hoặc ƒ() =-kz, Vz eR

Kết luận Tiểu luận đạt được một số kết quả sau:

1 Tiểu luận nêu ra một số kiến thức cơ bản trong đại số và giải tích ứng

dụng trong giải quyết bài toán phương trình hàm

2 Tiểu luận hệ thống các lớp phương trình hàm Cauchy và phương pháp giải

3 Tiểu luận đưa ra lời giải cho một số bài toán áp dụng phương trình hàm

Cauchy và đưa ra các bài toán mở rộng

Tôi hy vọng tài liệu này có thể ứng dụng trong ôn luyện học sinh giỏi và giảng

dạy ở bậc phổ thông

Xin chân thành cảm ơn!

20

Tai liéu tham khảo

1 Nguyễn Văn Mậu (2001), Phương trình hàm, Nhà xuất bản Giáo dục

2 Nguyễn Tài Chung (2014), Đài dưỡng học sinh giỗi phương trình hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

3 Tap cht Toén hoc tuổi trẻ

21