3 phương trình bậc nhất hai ẩn trang 53 62

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNI KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x y, là hệ thức dạng ax by c , trong đó , ,   a b c là

những số cho trước, a0hoặc b0

- Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x y, : ax by c Nếu   ax0by0 c là một khẳng

định đúng thì cặp số ( ; )x y được gọi là một nghiệm của phương trình  00 ax by c

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax by c được biểu  

diễn bởi một điểm Nghiệm ( ; )x y được biểu diễn bởi điểm có tọa độ 00 ( ; )x y00

- Đường thẳng 

a là đường thẳng đi qua điểm c

a trên trục Oxvà vuông góc trục Ox- Đường thẳng 

b là đường thẳng đi qua điểm c

b trên trục Oyvà vuông góc trục Oy- Mỗi nghiệm của phương trình ax by c a  ( 0, b0) được biểu diễn bởi điểm nằm

Ví dụ 2 Xác định các hệ số , , a b c của phương trình:

a) x y 2 b)  x y12 c) x y 10 d)  x y8

Lời giải

a) Phương trình x y 2 có các hệ số a1, b1, c2b) Phương trình  x y12 có các hệ số a1, b1, c12c) Phương trình x y 10 có các hệ số a1, b1, c10d) Phương trình  x y8 có các hệ số a1, b1, c8

Ví dụ 3 Chứng minh cặp số (1; 1) là nghiệm của phươưng trình x y 2Lời giải

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Thay x1, y1 vào phương trình x y 2 ta được 1 1 2  là khẳng định đúng

Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của phươưng trình x y 2

Ví dụ 4 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

x Ryx

b) 3x y  5 y3x5

Nghiệm tổng quát của phương trình là: 3 5

x Ryx

d)  x 4y 3 x4y 3

Nghiệm tổng quát của phương trình là: 4 3

y Rxy

Ví dụ 5 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

x Ry

b) 2x10 x5

Nghiệm tổng quát của phương trình là: 5

y Rx

Ví dụ 6 Tìm giá trị của m để phương trình

a) (m 1)x 3my8 nhận cặp số (1; 2) làm nghiệmb) (2 m y)  3x 2 m nhận cặp số ( 2; 5) làm nghiệm

Lời giải

a) Phương trình (m 1)x 3my8 nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm

 m  m    m  m  mVậy m1 là giá trị cần tìm

b) Phương trình (2 m y)  3x 2 m nhận cặp số ( 2; 5) làm nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Vậy m3 là giá trị cần tìm

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) 2x y 3m2 b) x 2ym1 c) y3x2m5 d)  x y m  1

Bài tập 17 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 2; 1)x y    làm nghiệma) mx y m   2 b) x my  3 m

Bài tập 18 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 1; 2)x y    làm nghiệma) 2x y m   4 b) y 3x 5 m

Bài tập 19 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) (3; 2)x y   làm nghiệma) (m 2)x y 1 b) (1 m x y)  2

Bài tập 20 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 3; 4)x y   làm nghiệma) (2m 1)x y m  b) x(m 3)y2m

Bài tập 21 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 2; 5)x y    làm nghiệma) (m1)x2my m  5 b) (m 1)x(2 m y) 3

Bài tập 22 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) (2; 1)x y  làm nghiệma) (2m1)x (m2)y1 b) (1 m x)  (2m 3)y2

Bài tập 23 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 2; 5)x y    làm nghiệma) y x m   3 b) y2x m 8

Bài tập 24 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 2; 3)x y   làm nghiệma) y3x4m 1 b) y x 2m5

Bài tập 25 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm (1; 3)A a) y mx  3 m b) y2mx2m1

Bài tập 26 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm ( 1; 3)A  

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

IV TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN1 CÁCH GIẢI:

Phương pháp chung

Bước 1 Rút gọn pt trình , chú ý đến tính chia hết của các ẩn

Bước 2 Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ ( chẳng hạn x ) theo ẩn kia

Bước 3.Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

Bước 4 Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t , ta được một1

pt bậc nhất hai ẩn y và t 1

Bước 5 Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa

thức với các hệ số nguyên

Phương pháp tìm nghiệm riêng :

* Phương trình : ax by c (1) trong đó , ,  a b c là các số nguyên , a0, b0 và ( , , ) 1.a b c 

Định lí 1 :

Nếu pt (1) có nghiệm nguyên thì a b,  1và ngược lại

Định lí 2 :

Nếu x y là một nghiệm của pt (1) thì pt (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi 0, 0

nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng :

Ta thấy x1; y1 là một nghiệm riêng của pt đã cho

Vậy pt đã cho có vô số nghiệm nguyên biểu thị bởi công thức :

1 21 3 

 

( tZ )  y3 –1t  x 3 2 3 1 t    t 5 5t

Thay các biểu thức của x và y vào pt đã cho , pt được nghiệm đúng

Vậy các nghiệm nguyên của pt được biểu thị bởi công thức :

5 51 3 

 

yt ( tZ )

Cách 2 : Ta thấy x5; y1 là một nghiệm riêng của pt đã cho

Vậy pt đã cho có vô số nghiệm nguyên biểu thị bởi công thức :y 1 3t ( tZ )

Cách 3 : Để ý đến tính chia hết của các hệ số trong pt ta có cách giải sau :

 

Thay các biểu thức của x và y vào pt đã cho , pt được nghiệm đúng

Vậy các nghiệm nguyên của pt biểu thị bởi công thức :

62 16218 47

Khi đó 6x8y2t  3x4y t 

ty  t yy

t yk

, (t Z )  y t – 3k  x t 3k k  t 4k

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

+ m là số nguyên lẻ phương trình có các nghiệm nguyên biểu diễn bởi công thức

43 

 

y tk ( với 2 1mt

, kZ )

+ m là số nguyên chẵn phương trình không có nghiệm nguyên

Bài tập 12 Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) x2 y2x y xy2   x 14. b) 5x28y2 20412