3 phương trình bậc nhất hai ẩn trang 53 62

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy m3 là giá trị cần tìm... PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG IV.. TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT H

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Phương trình bậc nhất hai ẩn x y, là hệ thức dạng ax by c , trong đó , ,   a b c là

những số cho trước, a0hoặc b0

- Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x y, : ax by c Nếu   ax0by0 c là một khẳng

định đúng thì cặp số ( ; )x y được gọi là một nghiệm của phương trình  0 0 ax by c

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax by c được biểu  

diễn bởi một điểm Nghiệm ( ; )x y được biểu diễn bởi điểm có tọa độ 0 0 ( ; )x y0 0

- Đường thẳng 

c x

a là đường thẳng đi qua điểm

c

a trên trục Oxvà vuông góc trục Ox

- Đường thẳng 

c x

b là đường thẳng đi qua điểm

c

b trên trục Oyvà vuông góc trục Oy

- Mỗi nghiệm của phương trình ax by c a  ( 0, b0) được biểu diễn bởi điểm nằm

trên đường thẳng y :  

a c

b b Đường thẳng d là đồ thị của hàm số y y a b xc b

II VÍ DỤ

Ví dụ 1 Xác định các hệ số , , a b c của phương trình:

a) 2x5y6 b) 3x6y7 c) 5x 2y4 d) 6x 7y1

Lời giải

a) Phương trình 2x5y6 có các hệ số a2, b5, c6

b) Phương trình 3x6y7 có các hệ số a3, b6, c7

c) Phương trình 5x 2y4 có các hệ số a5, b2, c4

d) Phương trình 6x 7y1 có các hệ số a6, b7, c1

Ví dụ 2 Xác định các hệ số , , a b c của phương trình:

a) x y 2 b)  x y12 c) x y 10 d)  x y8

Lời giải

a) Phương trình x y 2 có các hệ số a1, b1, c2

b) Phương trình  x y12 có các hệ số a1, b1, c12

c) Phương trình x y 10 có các hệ số a1, b1, c10

d) Phương trình  x y8 có các hệ số a1, b1, c8

Ví dụ 3 Chứng minh cặp số (1; 1) là nghiệm của phươưng trình x y 2

Lời giải

Trang 2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Thay x1, y1 vào phương trình x y 2 ta được 1 1 2  là khẳng định đúng

Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của phươưng trình x y 2

Trang 3

Ví dụ 4 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

a) 2x y 3 b) 3x y 5 c) y 3x1 d)  x 4y3

Lời giải

a) 2x y  3 y2x3

Nghiệm tổng quát của phương trình là: 2 3









x R

y x

b) 3x y  5 y3x5









x R

c) y 3x 1 y3x 1









x R

y x

d)  x 4y 3 x4y 3









y R

x y

Ví dụ 5 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:

a) 3y6 b) 2x10

Lời giải

a) 3y 6 y2

Nghiệm tổng quát của phương trình là: 2











x R y

b) 2x10 x5

Nghiệm tổng quát của phương trình là: 5











y R x

Ví dụ 6 Tìm giá trị của m để phương trình

a) (m 1)x 3my8 nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm

b) (2 m y)  3x 2 m nhận cặp số ( 2; 5) làm nghiệm

Lời giải

a) Phương trình (m 1)x 3my8 nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm

 m  m    m  m  m

Vậy m1 là giá trị cần tìm b) Phương trình (2 m y)  3x 2 m nhận cặp số ( 2; 5) làm nghiệm

Trang 4

Vậy m3 là giá trị cần tìm

Trang 5

III BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn

a) 2x y 1 b) 3x5y6 c) 3x0.y1 d) 0.x6y10

a) 4x5y0 b) y 3x0 c) 0.x5y10 d) 3x 0.y12

a) x y 6 b) y x 7 c) 0.x0.y1 d) 0.y0.x2024

Bài tập 4 Xác định các hệ số , , a b c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x y 7 b) 5x y 3 c) y 2x1 d) 3y 5x0

a) 4x7y18 b) x y 5 c) y x 9 d) 2x y 11

a) 2x 6y b) 4y x 1 c) 5  x y d) 2y 3x7

a) 2x7 b) 4y5 c) 2x3 d)  y9

a)  y9 b)  x5 c) 3y8 d) x12

Bài tập 9 Viết nghiệm tổng quát của mỗi phương trình sau:

a) x y 2 b) x y 5 c) y x 7 d)  x y4

a) 2x y 5 b) x 3y8 c) 2x3y1 d) 4x y 3

a) y 2x1 b) y3x5 c)  y4x1 d) 3y x 2

a) 2x6 b) 4y12 c) 2x5 d)  y7

a)  y1 b)  x6 c) 3y7 d)  x15

a) 2 x5y b) 3y 1 x c) 2x 5 4 y d) 3y 6 x

Bài tập 15 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) (2; 3)x y  làm nghiệm

a) x y m  b) x y 3m c) mx y 4 d) 2x my 1

Bài tập 16 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 1; 2)x y   làm nghiệm

Trang 6

a) 2x y 3m2 b) x 2ym1 c) y3x2m5 d)  x y m  1

Trang 7

Bài tập 17 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 2; 1)x y    làm nghiệm

a) mx y m   2 b) x my  3 m

Bài tập 18 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 1; 2)x y    làm nghiệm

a) 2x y m   4 b) y 3x 5 m

Bài tập 19 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) (3; 2)x y   làm nghiệm

a) (m 2)x y 1 b) (1 m x y)  2

Bài tập 20 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 3; 4)x y   làm nghiệm

a) (2m 1)x y m  b) x(m 3)y2m

a) (m1)x2my m  5 b) (m 1)x(2 m y) 3

Bài tập 22 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) (2; 1)x y  làm nghiệm

a) (2m1)x (m2)y1 b) (1 m x)  (2m 3)y2

a) y x m   3 b) y2x m 8

Bài tập 24 Tìm m để các phương trình sau nhận cặp số ( ; ) ( 2; 3)x y   làm nghiệm

a) y3x4m 1 b) y x 2m5

Bài tập 25 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm (1; 3)A 

a) y mx  3 m b) y2mx2m1

Bài tập 26 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm ( 1; 3)A  

a) ymx m 6 b) y3mx 7 4m

Bài tập 27 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm M(2; 1)

a) y(m2)x2m1 b) y (1 m x m)   5

Bài tập 28 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm M(1; 3)

c) y(3 2 ) m x m 7 d) y(2m 1)x m  4

Bài tập 29 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm ( 1; 1)P  

a) y(m1)x 4 2m b) y(2m5)x m 8

Bài tập 30 Tìm m để đồ thị mỗi hàm số sau đi qua điểm M( 4; 2)

c) y(4 x)m 4 d) y(x 3) 2 m 1

Trang 8

IV TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 CÁCH GIẢI:

Phương pháp chung

Bước 1 Rút gọn pt trình , chú ý đến tính chia hết của các ẩn

Bước 2 Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ ( chẳng hạn x ) theo ẩn kia

Bước 3.Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

Bước 4 Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t , ta được một1

pt bậc nhất hai ẩn y và t 1

Bước 5 Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa

thức với các hệ số nguyên

Phương pháp tìm nghiệm riêng :

* Phương trình : ax by c (1) trong đó , ,  a b c là các số nguyên , a0, b0 và ( , , ) 1.a b c 

Định lí 1 :

Nếu pt (1) có nghiệm nguyên thì a b,  1và ngược lại

Định lí 2 :

Nếu x y là một nghiệm của pt (1) thì pt (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi 0, 0

nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng :

0 0







x x bt

y y at ( tZ )

2 VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 3 – 2x y5

Lời giải

Ta thấy x1; y1 là một nghiệm riêng của pt đã cho

Vậy pt đã cho có vô số nghiệm nguyên biểu thị bởi công thức :

1 2

1 3

 





 



y t ( tZ )

Ví dụ 2 Tìm các nghiệm nguyên của phươngtrình 3x5y10

Lời giải Cách 1 :

Đặt

1 3



t

( tZ )  y3 –1t  x 3 2 3 1 t    t 5 5t

Thay các biểu thức của x và y vào pt đã cho , pt được nghiệm đúng

Vậy các nghiệm nguyên của pt được biểu thị bởi công thức :

5 5

1 3

 





 



y t ( tZ )

Cách 2 : Ta thấy x5; y1 là một nghiệm riêng của pt đã cho

Trang 9

Vậy pt đã cho có vô số nghiệm nguyên biểu thị bởi công thức :y 1 3t ( tZ )

Cách 3 : Để ý đến tính chia hết của các hệ số trong pt ta có cách giải sau :

Ta thấy : 5 5y và 10 5  suy ra 3 5x  5 x (  vì 3;5  1)

Đặt x = 5t (tZ ) thay vào pt đã cho được 3.5t5y10 3t y 2 y2 – 3t Thay các biểu thức của x và y vào pt đã cho , pt được nghiệm đúng

Vậy các nghiệm nguyên của pt được biểu thị bởi công thức :

5

2 3







 



x t

y t ( tZ )

Ví dụ 3 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 47x162y2

y

Đặt

2 21 47



t

( tZ ) 

2

Đặt

2 5 21



k

( kZ ) 

4

Đặt

2 5



m

( mZ )  k  2 5m

 y2t k 2 4 k m   2 5m8 2 – 5 m – 2m2 – 5m18 – 47m

 x3 18 – 47 m  4 2 5  mm62 162 m

Thay các biểu thức của x và y vào pt đã cho , pt được nghiệm đúng

Vậy các nghiệm nguyên của pt biểu thị bởi công thức :

62 162

18 47







y m ( mZ )

Ví dụ 4 Chứng minh rằng phương trình 6x15y10 không có nghiệm nguyên :

Lời giải

Ta có : 6 3, 15 3x y  (6x15 ) 3y  Mà 10 không chia hết cho 3

Do vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Ví dụ 5 Tìm các ngiệm nguyên của pt 6x8y m 1trong đó m là số nguyên cho trước

Lời giải

Ta thấy 6x8 2y  m 1 2 m là số lẻ Đặt m2 –1t (t Z ) 

1 2



m t

Khi đó 6x8y2t  3x4y t 

4 x

t y  t y

y



t y k

, (t Z )  y t – 3k  x t 3k k  t 4k

Trang 10

+ m là số nguyên lẻ phương trình có các nghiệm nguyên biểu diễn bởi công thức

4 3

 





 



x t k

y t k ( với 2 1



m

t

, kZ )

+ m là số nguyên chẵn phương trình không có nghiệm nguyên

Trang 11

3 BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài tập 1 Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

a) 3 x  17 y  159 b) 3 x  2 y  10 c) 11 x  18 y  120 d) 3x19y168

a) 7x8y 200. b) 2x3y11. c) 4x7y15. d) 19m94n1994.

a) 11x18y120 b) 2x3y17 c) x 2y5 d) 3x y 11

a) 11x8y73 b) 4x5y65 c) 3x5y10 d) 21x17y3

a) 3x117y15 b) 2x3y11 c) 5x3y2 d) 7x 11y15

a) 17x 39y4 b) 40x31y1 c) 2x13y156 d) 9x20y547

a) 5x12y31 b) 6x11y27 c) 7x4y100 d) 8x9y14

a) 2x2 2xy 5x y 19 0. b) x2 4xy x 4y5.

a) x2xy3x2y1. b) (y2)x2 y2 2y 1 0.

a) 3x2 2y2 5xy x  2y 7 0. b) (y2)x2 y2 2y 1 0.

a) (x24y228)2 17(x4 y4) 238 y2833.

b) 4(x 3)y22(x2 4x3)y x 2 5x24.

a) (x3)(y4) 3  xy b) y x(  1)x22.

a) 5x 3y2xy11. b) x22xy y 6.

a) 2x2 2xy 5x y 19 0. b) x2xy x  2y 5 0.

Trang 12

a) x2 y2x y xy2   x 14. b) 5x28y2 20412

Tiêu đề	Phương trình bậc nhất hai ẩn
Người hướng dẫn	Giáo Viên Cù Minh Quảng
Trường học	TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo án

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	514,02 KB