Phương trình - Bất phương trình cơ bản doc

Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 1 http://ebook.here.vn 1.phơng trình 1.phơng trình 1.phơng trình 1.phơng trình bất phơng trình cơ bản bất phơng trình cơ bảnbất phơng trình cơ bản bất phơng trình cơ bản a.phơng trình cơ bản : Dạng phơng trình: = )()( 0)( )()( 2 xgxf xg xgxf (nếu g(x) có TXĐ là R) b.Bất phơng trình cơ bản: Dạng 1 : < > )()( 0)( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xg xg xf xgxf Dạng 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) < > < xgxf xf xg xgxf 2 0 0 )()( Chú ý : Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đa về dạng cơ bản , ta làm nh sau: + Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa . + Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm . + Bình phơng hai vế . + Tiếp tục cho đến khi hết căn . bài tập áp dụng Bài 1 . 1: Giải các phơng trình sau: )1(3253.1 =+ xx )2(632.2 xx =+ Giải1: Phơng trình đ cho tơng đơng với: = = =+ 2 7 2 014154 2 3 2 x x xx x Giải2: Phơng trình đ cho tơng đơng với: 3 113 6 03314 6 2 = == =+ x xx x xx x Bài 1 . 2 Giải phơng trình sau )1(1266.1 2 =+ xxx (ĐH Xây Dựng -2001). Giải: Phơng trình đ cho tơng đơng với: Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa Tr−êng THPT Tam D−¬ng II 2 http://ebook.here.vn 1 1 2 1 )12(66 2 1 22 =⇔      = ≥      ⇔ −=+− ≥ x x x xxx x Bµi 1 . 3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh 321 =++− xx Gi¶i :Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: 2 )4()2)(1(_ 41 4)2)(1( 1 2 =⇔       −=−− ≤≤ ⇔ −=+− ≥ ⇔ x xxx x xxx x Bµi 1 . 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 231 −=−−− xxx Gi¶i :Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: 3 326 3 326 3 326 43 0883 43 6524 3 231 3 22 + =⇔      − =∨ + = ≤≤ ⇔    =+− ≤≤ ⇔    +−=− ≥ ⇔    −+−=− ≥ x xx x xx x xxx x xxx x Bµi 1 . 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh xxxx −+=−+ 1 3 2 1 2 (§HQG Hµ Néi 2000) Gi¶i :Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:           −=− ≤≤ ⇔ −+=−+−+ ≤≤ 22222 3 2 3 2 3 2 10 21 3 4 3 2 3 2 1 10 xxxx x xxxxxx x    = = ⇔    =∨= ≤≤ ⇔    =−−− ≤≤ ⇔ 1 0 10 10 0)1( 10 22 x x xx x xxxx x Bµi 1 . 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) 3428316643 −=−−+ xx Gi¶i :Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: ( ) 2 2 2 2 4 3 3428316643 4 3 =⇔        = ≥ ⇔      −=−−+ ≥ x x x xx x Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 3 http://ebook.here.vn Bài 1 . 7: Giải bất phơng trình: 27593137 xxx (ĐH DL Phơng Đông -2001) Điều kiện: 5 27 x Bất phơng trình đ cho tơng đơng với: + 93275137 5 27 xxx x ( )( ) ( )( ) 23 59 65762229 044345859 23 5 27 23275932 5 27 275932368137 5 27 2 + + + x xx x xxx x xxxx x Bài tập làm thêm: Bài 1: (PP BĐ TĐ) 2 2 2 2 2 2 1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2 3. 4 6 4; 4. 2 4 2 5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0; 7. 1 1; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = + + + = + = + = + + = Bài 2: (PP BĐ TĐ) 1. 3 6 3; 2. 3 2 1 3; 3. 3 2 1; 4. 9 5 2 4; 5. 3 4 2 1 3; 6. 5 1 3 2 1 0; x x x x x x x x x x x x x x + + = + = + = + = + + + = + = 7. 3 4 4 2 ; x x x + + + = 8. 5 5 10 5 15 10; x x x + = 9. 4 1 1 2 ; x x x + = Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 4 http://ebook.here.vn 2 10. 3 2 1 2; 11. 1 5 1 3 2 x x x x x x + + + = = 12. 1 9 2 12 x x x + = 2 2 13. 5 8 4 5 x x x x+ + + = 2 2 14. 3 5 8 3 5 1 1 x x x x + + + + = 2 2 15. 9 7 2 5 1 3 2 1 x x x x x + = 2 2 2 2 16. 3 6 16 2 2 2 4 3 1 1 4 2 17. 3 9 9 x x x x x x x x x x + + + + = + + + = + + 2 18. 1 2 5 x x x = 19. 11 11 4 x x x x + + + + = 20. 1 1 8 x x x + = + 2.phơng pháp Đặt một ẩn phụ Dạng 1: Giải phơng trình: ( ) ( ) 0=++ CxfBxAf Phơng pháp giải : Đặt ( ) ( ) ( ) 2 0 txfttxf == ; Phơng trình đ cho trở thành : ( ) 00 2 =++ tCBtAt Làm tơng tự với bất phơng trình dạng: ( ) ( ) 0++ CxfBxAf Dạng 2: Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA (Với ( ) Dxgxf = + )( ) Phơng pháp giả i : Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) xgxfDtttxgxf 20)( 2 +==+ Phơng trình đ cho trở thành : ( ) 00 2 =++ tCAtBt Làm tơng tự với bất phơng trình dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)(2 ++++ CDxgxfxgxfA bài tập áp dụng: Bài 2 . 1: Giải các phơng trình )1(75553,1 22 +=+ xxxx Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 5 http://ebook.here.vn )2(3012.2,2 22 =++ xx (ĐH DL Hồng lạc-2001) Giải 1: )1(75553,1 22 +=+ xxxx Đặt )0(55 2 =+ ttxx Phơng trình đ cho trở thành: = = = =+ =+ = = =+ 2 215 4 1 455 155 2 1 023 2 2 2 x x x xx xx t t tt Giải 2: )2(30122,2 22 =++ xx Đặt )0(12 2 >+= txt Phơng trình đ cho trở thành: = = =+ )(7 )(6 042 2 Lt tmt tt Vậy 62612 2 ==+ xx Bài 2 . 2: Giải các phơng trình )1(4 2 47 .1 2 x x xx = + ++ (ĐH Đông đô-2000). )2(4324.2 22 xxxx +=+ (ĐH Mỏ -2001) Giải 2: Đặt )0(4 2 = yxy Phơng trình đ cho trở thành: =+ =+ +=+ =+ 23 42)( 32 4 222 xyyx xyyx xyyx yx Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 6 http://ebook.here.vn Giải hệ đối xứng này ta đợc nghiệm: + = = = == == 3 142 2 0 02 20 x x x yx yx Giải 1:Điều kiện: 0 x Đặt )0( = ttx Phơng trình đ cho trở thành: 04874 234 =++ tttt Giải phơng trình bậc 4 : Xét t=0 không là nghiệm Xét t 0 ,chia hai vế cho t 2 và đặt )22( 2 += u t tu Ta đợc phơng trình = = = = = = =+ 4 1 2 1 3 )(1 034 2 x x t t u Lu uu Bài 2 . 3: Giải các bất phơng trình sau 123342.1 22 >++ xxxx (ĐHDL Phơng Đông -2000) 2)2(4)4(.2 22 <++ xxxxx (ĐH QG HCM -1999) Giải1: Điều kiện: 13 x Đặt: )0(23 2 = txxt Bất phơng trình đ cho trở thành: 2 5 0 0 2 5 1 0 0532 2 < << >++ t t t t tt Thay vào cách đặt: 13 0 4 13 2 13 2 ++ x xx x Giải2: 2)2(4)4(.2 22 <++ xxxxx Điều kiện: 40 x Đặt: 04 2 += xxt Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 7 http://ebook.here.vn Thay vào BPT Đ cho và giải ra ta đợc 1 > t Thay vào cách đặt ta đợc: 3232 +<< x Bài 2 . 4: Giải các bất phơng trình sau 7 2 1 2 2 3 3.1 +<+ x x x x (ĐH Thái Nguyên -2000) 3)7)(2(72.2 ++++ xxxx Giải1: Biến đổi bất phơng trình đ cho trở thành: ( ) 09 2 1 3 2 1 2 9 2 1 12) 2 1 (3 2 2 2 > + + ++<+ x x x x x x x x Đặt: 2 2 1 += t x xt BPT đ cho trở thành: +> << >+ > > 7 2 3 4 7 2 3 40 3 2 1 3 0932 2 2 x x x x t tt t Giải 2: Điều kiện: 72 x Đặt )0(72 ++= txxt Vậy 2 9 )7)(2( 2 =+ t xx Bất phơng trình đ cho trở thành: = = ++ + 7 2 9)7)(2(29 72 300152 2 x x xx x ttt Bài tập. Bài tập.Bài tập. Bài tập. Giải các PT sau: Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa Tr−êng THPT Tam D−¬ng II 8 http://ebook.here.vn Bµi 1: 2 2 2 2 2 2 2 1. 3 5 5 5 7; 2. 2 12 30; 3. 13 7; 4. ( 5)(2 ) 3 3 ; x x x x x x x x x x x x x x − + = − + + = − − − + = + − = + 2 6. ( 4)( 1) 3 5 2 6; x x x x + + − + + = 2 2 11. 2( 2 ) 2 3 9; x x x x − + − − = 2 2 12. ( 3) 3 22 3 7; x x x x − + − = − + ( ) ( ) 2 15. 1 2 1 2 2 ; x x x x + − = + − ( ) 2 2 16. 2 2 2 3 9 0; x x x x − + − − − = 2 2 17. 3 15 2 5 1 2; x x x x + + + + = Bµi 2: 2 2 5. 3 3 3 6 3; x x x x − + + − + = 2 2 7. 5 2 2 5 9 1; x x x x + + + + − = 9. 1 4 ( 1)(4 ) 5; x x x x + + − + + − = 2 2 10. 4 2 3 4 ; x x x x + − = + − 2 2 13. 2 5 2 2 5 6 1; x x x x + + − + − = 2 2 14. 3 2 2 6 2 2; x x x x+ + − + + = − 2 2 2 18. 4 1 2 2 9; x x x x x x + + + + + = + + 2 2 2 8. 4 8 4 4 2 8 12; x x x x x x+ + + + + = + + 2 2 19. 1 2 1 2; x x x x − − + + − = 2 2 20. 17 17 9; x x x x + − + − = 2 2 21. 1 1 ; 3 x x x x + − = + − 2 4 4 22. 16 6; 2 x x x x + + − = + − − 2 23. 3 2 1 4 9 2 3 5 2; x x x x x − + = = − + − + Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 9 http://ebook.here.vn 2 24. 2 3 1 3 2 2 5 3 16; x x x x x + + + = + + + 25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2; x x x x + + + + = ( ) ( ) 3 3 5 5 26. 7 3 8 7 3 7; x x = 2 27. 2 3 2 ; 2 3 x x x x + + = + 4 2 2 28. 1 1 2; x x x x + + = 2 2 29. 5 14 9 20 5 1; x x x x x + + = + ( ) 3 2 30. 10 8 3 6 ; x x x+ = 3 2 31. 1 3 1; x x x = + 2 32. 1 ( 1) 0; x x x x x x + = Đặt ẩn phụ để trở thành phơng trình có 2 ẩn: * Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x * PP này thờng đợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT còn lại không BD đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đợc thì công thức BD quá phức tap. * Khi đó thờng ta đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số là 1 số chính phơng. Bài tập. Bài tập.Bài tập. Bài tập. Giải các PT sau: Bài 1: 2 2 1. 1 2 2 ; x x x x = 2 2 2. 1 2 2; x x x = + 2 2 3. (4 1) 1 2 2 1; x x x x + = + + 2 2 4. 4 4 (2 ) 2 4; x x x x x + = + + 2 2 5. 3 1 (3 ) 1; x x x x + + = + + 2 2 6. (4 1) 4 1 8 2 1; x x x x + = + + 2 7. 4 1 1 3 2 1 1 ; x x x x + = + + Lê Thị Phơng Hoa Trờng THPT Tam Dơng II 10 http://ebook.here.vn 2 2 2 2 2 8. 2(1 ) 2 1 2 1; 9. 1 2 4 1 2 1; 10. 12 1 36; 1 1 1 11. 2 1 3 0; x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + + + + = + = 3.Phơng pháp Đặt hai ẩn phụ Dạng 1: Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn (Với ( ) Dxgxf = + )( ) Phơng pháp giải : Đặt: ( ) ( ) Dvu vxg uxf nn n n =+ = = Phơng trình đ cho trở thành: ( ) =+ =+++ Dvu CBuvvuA nn 0 Dạng 2 : Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 0)( =++ CxgxfBxgxfA nnn (Với ( ) ( ) Dxgxf = ) Phơng pháp giải : Đặt: ( ) ( ) Dvu vxg uxf nn n n = = = Phơng trình đ cho trở thành: ( ) = =++ Dvu CBuvvuA nn 0 bài tập áp dụng: Bài 3 . 1: Giải phơng trình: )x6)(2x(x62x +=++ (ĐH Ngoại Ngữ-2001) Giải : Đặt )0v,u( vx6 u2x = =+ Phơng trình đ cho trở thành: 2vu 08uv2)uv( vuuv vuuv 8vu 2 22 == = += += =+ Vậy: [...]... Phơng Hoa Phơng trình đ cho trở th nh A g ( x ) + B h(x ) = (Phơng trình cơ bản) f (x ) bài tập áp dụng: B i 5.1: Giải phơng trình sau 1 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 1 = 2 x + 2 (1) (ĐH Bách khoa H Nội -2 001) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 1 = 2x + 2 (1) Giải1: 1 2 x 2 + 8 x + 6 0 2 x 1 x 1 0 Điều kiện : x = 1 2 x + 2 0 Nhận thấy x =-1 l một nghiệm của phơng trình đ cho Với x 1 : Phơng trình tơng đơng... phơng trình đ cho có hai nghiệm l x=1 v x =-1 B i 5.2: Giải các bất phơng trình sau 1 x 2 4 x + 3 2 x 2 3x + 1 x 1 2 x 2 3 x + 2 + x 2 4 x + 3 2 x 2 5 x + 4 (ĐH Y HCM -2 001) Giải1: 1 (ĐH Kế toán H Nội -2 001) x 2 4 x + 3 2 x 2 3x + 1 x 1 x = 1 ( x 1)( x 3 ) 0 x 3 Điều kiện: ( x 1)( 2 x 1) 0 1 x 2 Nhận thấy x=1 l một nghiệm của bất phơng trình Với x 3 Ta tách căn của bất phơng... cho trở th nh uv = 78 v = 6 Giải ra ta đợc 2 nghiệm (4;9); (9;4) Hệ đối xứng loại 2: - L hệ phơng trình m khi thay đổi vai trò của x v y thì hai phơng trình của hệ đổi chỗ cho nhau Cách giải: -Trừ vế với vế của hai phơng trình để đợc một phơng trình có dạng tích - Hệ đ cho sẽ tơng đơng với tuyển hai hệ phơng trình - Giải hai hệ n y để tìm nghiệm x v y bài tập áp dụng: x +1 + y 2 = m Cho hệ: y... s 0 < < 2 0 < 1 < 2 2 2 -B i 9.2:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm x + 9 x = x 2 + 9 x + m (CĐ Y HCM-1997) -Giải: Điều kiện: 0 x 9 Đặt : x(9 x ) = t 0t 2 (t 0) t = 1 x 9 81 4 2 4 2 9 2 B i toán đ cho trở th nh: Tìm m để phơng trình t 2-2 t+m-9=0 Trờng THPT Tam Dơng II 22 http://ebook.here.vn Lê Thị Phơng... thuộc khoảng (;); bài tập áp dụng: -B i 9.1:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm x2 6x + m + (x 5)(1 x ) = 0 (CĐ SP HCM-2001) -Giải: Điều kiện: 1 x 5 Đặt (x 5)(1 x ) = t t 2 = 4 (x 3)2 4 0 t 2 B i toán đ cho trở th nh: Tìm m để phơng trình t2-t+5-m=0 0 t1 2 t 2 có nghiệm t [0;2] ,nghĩa l t1 0 t 2 2 0 < t1... ; ; hoặc = cos t với 2 2 x 1 = sin t x t [0; ] ; v giải phơng trình lợng giác bài tập áp dụng: -B i 11.4: Giải phơng trình: : 1 x 2 = 4 x 2 3x ; (Tuyển tập đề thi Olimpic 3 0-4 -2 003 ) -Giải: Điều kiện x 1 Dựa v o điều kiện n y ta đặt x=cost với phơng trình lợng giác: 4 cos 3 t 3 cos t = sin 2 t cos 3t = sin t t [0;... -B i 11.5: Giải phơng trình: : x+ x 1 x2 > 35 12 ; (Tuyển tập đề thi Olimpic 3 0-4 -2 003 ) Trờng THPT Tam Dơng II 28 http://ebook.here.vn Lê Thị Phơng Hoa -Giải : Điều kiện x > 1 Vì vế trái luôn dơng nên yêu cầu x > 0 , do đó x>1 Dựa v o điều kiện n y ta đặt : 1 = cos t với t 0; ; v giải bất phơng trình lợng giác x 2 1 1 35 +... Giải2: {1} ; 1 2 x 2 3x + 2 + x 2 4 x + 3 2 x 2 5 x + 4 2 x 1 Điều kiện: x 4 Nhận thấy x=1 l một nghiệm của bất phơng trình Với x 4 Ta tách căn của bất phơng trình đ cho v đợc bpt x2 + x3 2 x4 x2 > x3 > x4 BPT thoả m n với x 4 vì: Với x 1 Ta tách căn của bất phơng trình đ cho v đợc bpt 2 x + 3 x 2 4 x BPT vô nghiệm vì 2 x < 3 x < 4 x 1 Kết luận: Tập nghiệm { } [4;+ ) B i tập l m thêm:... phơng trình đ cho trở th nh hệ r (uy + v )2 = arx + br r (ux + v )2 = uy + (ar u )x + br Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phơng trình , đợc một tuyển hai hệ phơng trình trong đó có một nghiệm x=y 2 bài tập áp dụng: -B i 11.1: Giải phơng trình: 2 x + 15 = 32 x 2 + 32 x 20 (1 ) (Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ Số 303) -Lời... kiện: x 2 ; Phơng trình đ cho tơng đơng với: 3 x 2 x + 6 = 2x 6 Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 3 x2 + x+6 11 3 5 L m tơng tự nh phần 1) ta đợc tập nghiệm: T = 3; 2 B i 4.2: Giải các bất phơng trình sau 1 + x 1 x x (ĐH Ngoại thơng HCM-2001) Giải1: Điều kiện: 1 x 1 Nhân hai vế với biểu thức liên hợp trình đ cho tơng đơng với: Trờng THPT Tam Dơng II 1+ x + 13 1 x thì bất phơng http://ebook.here.vn . 1.phơng trình 1.phơng trình 1.phơng trình 1.phơng trình bất phơng trình cơ bản bất phơng trình cơ bảnbất phơng trình cơ bản bất phơng trình cơ bản a.phơng trình cơ bản : Dạng phơng trình: . các bất phơng trình sau 123342.1 22 >++ xxxx (ĐHDL Phơng Đông -2 000) 2)2(4)4(.2 22 <++ xxxxx (ĐH QG HCM -1 999) Giải1: Điều kiện: 13 x Đặt: )0(23 2 = txxt Bất phơng trình. http://ebook.here.vn Phơng trình đ cho trở thành ( ) ( ) ( ) xfxhBxgA =+ (Phơng trình cơ bản) bài tập áp dụng: Bài 5 . 1: Giải phơng trình sau )1(221682.1 22 +=+++ xxxx (ĐH Bách khoa Hà Nội -2 001). Giải1: