THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG QUẢ BỎNG VÀ ĐÒN BẨY
TÌM HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỐNG
Hình 1.1 Sơ đồ tổng quát hệ thống quả bóng và đòn bẩy
Quả bóng lăn trên thanh dưới tác động của lực hấp dẫn Thanh được nghiêng từ một Momen xoắn bên ngoài để kiểm soát vị trí của quả bóng trên thanh
Tập hợp các tọa độ tổng quát mô tả đầy đủ hệ thống:
r t : Là vị trí của quả bóng trên thanh.
: Là góc nghiêng của thanh so với phương ngang.
Phương trình Lagrange có dạng là:
Tính v b theo tọa độ tổng quát ta được:
.sin 2 os os cos 4 x r c rr c c r y r rr c c r
Thay phương trình (2), (3), (4) vào (1) ta được phương trình động năng của quả bóng:
Thế năng của hệ thống: sin( )
Lagrange phương trình hệ thống:
Phương trình vi phân thứ nhất là:
Phương trình vi phân thứ hai là:
( ) 2 cos( ) (6) d L L dt mr J mrr mgr
Tuyến tính hóa phương trình (5) này về góc nghiêng của thanh sin , chúng ta được xấp xỉ tuyến tính của hệ thống:
Bảng 1 Các kí hiệu của hệ thống cân bằng bóng trên thanh
Ký hiệu Đơn vị Ý nghĩa m kg Khối lượng của bóng
Jb kg m 2 Moment quán tính bóng
J kg m 2 Moment quán tính thanh g m s / 2 Gia tốc trọng trường
Arc Góc giữa thanh và phương ngang
b Arc Góc quay của bóng
kg m 2 / s 2 Moment xoắn tác động vào thanh
Laplace phương trình trên ta được hàm truyền mối quan hệ giữa vị trí quả bóng và góc nghiêng của thanh:
Ta có hàm truyền đối tượng:
VẼ QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ
1.2.1 Tính toán và vẽ quỹ đạo nghiệm số
Hàm truyền kín của hệ thống:
Với H s 1 ta có PTĐT là:
Biểu đồ quỹ đạo nghiệm số:
Theo quỹ đạo nghiệm số ta thấy có nghiệm kép P=0 nên hệ thống đang nằm trong biên giới ổn định
Quỹ đạo nghiệm số nằm trên 2 nhánh của trục tung
1.2.2 Tìm k để hệ thống ổn định
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
Hệ thống ổn định khi tất cả các phần từ của cột 1 bảng Routh đều dương
=> Vậy k 0thì hệ thống sẽ ổn định
ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG
1.3.1 Tiêu chuẩn ổn định đại số
1.3.1.1 Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu
Ta thấy phương trình đặc trưng của hệ thống các hệ số a0, a1, a2 khác 0 và cùng dấu nên hệ thống thỏa mãn điều kiện cần.
1.3.1.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
Hệ thống có phương trình đặc trưng
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo quy tắc:
Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn
Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ
Xét tiêu chuẩn Routh của hệ thống:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh luôn dương nên hệ thống ổn định. s 2 1 7 s 1 0 0
1.3.1.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
Theo tiêu chuẩn Hurwitz, hệ thống ổn định khi và chỉ khi tất cả các định thức con có chứa đường chéo chính của ma trận Hurwitz đều dương.
Xét tiêu chuẩn Hurwitz cho hệ thống:
Định thức của ma trận trên:
Vì định thức con chứa đường chéo tổng của ma trận Hurwitz mang dấu dương nên hệ thống ổn định.
1.3.1.4 Tiêu chuẩn ổn định Bode
Xét tính ổn định của hệ thống kín
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương.
Hệ thống ổn định Xét tiêu chuẩn Bode của hệ thống trên Matlab
%Tiêu chuẩn ổn định Bode
Num = [7]; % Khai báo tử số Demo = [1 0 0]; % Khai báo mẫu số G=tf(Num,Demo) ;% Thành lập hàm truyền bode(G); % Vẽ biểu đồ Bode margin(G); % Tìm độ dữ trữ biên và độ dự trữ pha
Ta nhập hàm magrin để tìm độ dự trữ biên và độ dự trữ pha trên Matlab
Hệ thống đang ở biên giới ổn định
1.3.2 Xét tính độ ổn định của hàm truyền bằng Matlab
1.3.2.1 Xét ngõ ra hàm truyền hở của hệ thống
Xét ngõ ra của hàm truyền hở bằng Simulink
Hàm truyền vừa tìm không ổn định, vì ngõ ra của hàm truyền là hàm dốc Biên độ dao động đi theo hàm dốc và tăng dần (bi lăn và rớt ra ngoài thanh).
1.3.2.2 Xét ngõ ra hàm truyền kín của hệ thống
- Xét ngõ ra của hàm truyền kín bằng Simulink:
Hệ thống đang có sự dao động ở biên giới ổn định, nên cần thiết kế bộ điều khiển ở hệ thống ổn định hơn.
Để cải thiện hệ thống có biên độ giao động lớn, cần thiết kế bộ điều khiển giảm sai số và thời gian đáp ứng Qua mô phỏng, hệ thống kín cho kết quả ổn định hơn hệ thống hở, biên độ dao động nhỏ, không làm rơi viên bi khỏi thanh ngang Thanh ngang thay đổi góc quay với chu kỳ T=2,4s, thể hiện chuyển động dạng hình Cos theo thời gian.
Viên bi sẽ không rơi khỏi thanh ngang nhưng hệ thống không ổn định (vì đồ thị theo hình Cos) Yêu cầu thiết kế bộ điều khiển
Hệ thống phản hồi kín có ngõ ra dao động mạnh, liên tục với chu kỳ T=2,4s, mặc dù biên độ dao động nhỏ Điều này cho thấy hệ thống không ổn định, sai số xác lập lớn Để khắc phục, cần sử dụng các bộ điều khiển nhằm giảm độ vọt lố, giảm sai số xác lập, và tăng tốc độ đáp ứng của hệ thống.
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN P, PI, PD, PID, FUZZY, PID – FUZZY
Giải thuật tính toán PID hay còn gọi là bộ điều khiển ba khâu, bao gồm: Proportional (tỉ lệ), Integral (tích phân) và Derivative (đạo hàm) Giá trị tỉ lệ xác định tác động của sai số hiện tại, giá trị tích phân xác định tác động của tổng các sai số quá khứ và giá trị vi phân xác định tác động của tốc độ biến đổi sai số Tổng chập của ba tác độn này dùng để điều chỉnh quá trình thông qua một phần tử điều khiển Nhờ vậy, những giá trị này có thể làm sáng tỏ về quan hệ thời gian: P phụ thuộc vào sai số hiện tại, I phụ thuộc vào tích lũy các sai số quá khứ và D dự đoán các sai số tương lai, dựa vào tốc độ thay đổi hiện tại.
Cấu trúc của bộ điều khiển PID
Hình 4.1 Sơ đồ khối của hệ kín có bộ điều khiển PID
Biểu thức giải thuật PID là:
( ) ( ) t ( ) de t ( ) u t Kp e t Ki e t dt Kd
Phương pháp điều chỉnh Ziegler - Nichols:
Trong phương pháp này, đầu tiên K i và K d được đặt bằng 0 K p sẽ được tăng đến một giá trị tới hạn K c , ở đó đầu ra của hệ thống bắt đầu dao động K c và chu kỳ dao động T gh sẽ được sử dụng để đặt các tham số còn lại như sau:
Phương pháp Ziegler-Nichols là phương pháp thực nghiệm để xác định tham số của bộ điều khiển, bằng cách dựa vào đáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển Tùy theo đặc điểm của đối tượng điều khiển mà Ziegler-Nichols đã đưa ra hai phương pháp.
Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng nấc của hệ hở là phương pháp hiệu quả cho các đối tượng có đặc tính đáp ứng chậm với tín hiệu vào dạng nấc và có đáp ứng dạng chữ S, như ứng dụng điều khiển nhiệt độ.
Sau đó dựa vào đáp ứng ngõ ra xác định các thông số T1, T2, K
Hình 4.2 Sơ đồ khối hệ hở
Từ các thông số vừa tìm được ta thay vào bảng sau để suy ra các hệ số của bộ điều khiển PID tương ứng.
Bảng 2 Thông số PID theo phương pháp Ziegler-Nichols 1
Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng của hệ kín ở biên giới ổn định. Phương pháp này áp dụng cho đối tượng có khâu tích phân lý tưởng như mực chất lỏng của bồn chứa, vị trí hệ truyền động dùng động cơ, …
Hình 4.4 Sơ đồ khối hệ kín
Tăng dần Kgh cho đến khi đáp ứng đạt được ở biên giới ổn định thì ta dừng lại Chọn Kgh và xác định chu kỳ dao động của tín hiệu Tgh
Từ các thông số vừa tìm được ta thay vào bảng sau để suy ra các hệ số của bộ điều khiển PID tương ứng.
Hình 4.5 Đáp ứng của hệ kín
Hình 4.6 Bảng thông số PID theo phương pháp Ziegler-Nichols 2
1.4.3 Thiết kế bộ điều khiển PID
1.4.3.1 Chọn phương pháp thiết kế các bộ điều khiển
Hình 4.8 Sơ đồ khối vòng kín của hệ bóng thanh trục giữa
Hệ thống chưa xuất hệ dao động
Thời gian đáp ứng của hệ thống chưa được tốt Tgh=4s
Hình 4.7 Đáp ứng vòng kín khi có Kgh=1
Hệ thống có độ vọt lố lớn Bởi vì ngõ ra của hàm truyền nằm ở biên giới ổn định, nên theo phương pháp Ziegler Nichols 2 ta có công thức như sau:
Xét thấy QĐNS đã ổn định khi K>0 nên ta sẽ chọn Kgh và Tgh để tìm bộ điều khiển PD,
Ta chọn thông số Kgh= 6 và Tgh=3s
1.4.3.2 Thiết kế bộ điều khiển P
Thiết kế bộ điều khiển P trên Simulink khi ta chọ được Kgh
Hình 4.9 Sơ đồ mô phỏng hệ thống với bộ điều khiển P
Sau khi có Kgh và Tgh ta tính toán thông số cho bộ điều khiển P như sau:
Thay các thông số tìm được vào bộ điều khiển P và tiến hành mô phỏng
Hình 4.10 Mô phỏng hệ thống khi có bộ điều khiển P
Hình 4.11 Hệ thống sau khi hiệu chỉnh
Hình 4.12 So sánh ngõ ra bộ điều khiển P trước và sau khi hiệu chỉnh
Đường màu xanh đậm là giá trị đặt viên bi.
Đường màu đỏ: Ngõ ra trước khi hiệu chỉnh.
Đường màu xanh dương: Ngõ ra sau khi hiệu chỉnh.
Ta nhận thấy với bộ điều khiển P làm hệ thống luôn dao động quanh vị trí đặt 1 và với biên độ lớn nhất là 0 và 1.9 Đáp ứng của hệ thống dao động, độ vọt lố cao có nghĩa là quả bóng luôn lăn qua lại vị trí cân bằng và không thể đứng yên tại vị trí cân bằng.
Khi ta tăng hệ số Kp lên thì hệ thống sẽ dao dộng nhiều quanh vị trí đặt l.
Khi ta giảm hệ số Kp xuống dưới 1 thì hệ thống sẽ dao động chậm hơn nhưng vẫn ổn định quanh vị trí đặt.
Do đó, chúng ta không thể chỉ thiết kế bộ điều khiển P cho hệ thống ổn định để giảm được thời gian xác lập mà chỉ làm cho hệ thống dao động nhiều hơn Phải thiết kế bộ điều khiển PD hoặc bộ điều khiển PI để khắc phục tình trạng này.
1.4.3.3 Thiết kế bộ điều khiển PI
Thiết kế bộ điều khiển tích phân tỉ lệ PI trên Simulink và đặt các thông số KD=0
Tính toán thông số cho bộ điều khiển PI:
Sơ đồ khối mô phỏng: Với Kp = 2,7, Ki = 1,08, Kd = 0
Hình 4.13 Sơ đồ mô phỏng hệ thống với bộ điều khiển PI
Hình 4.15 Hệ thống sau khi hiệu chỉnh
Hình 4.16 So sánh ngõ ra PI trước và sau khi hiệu chỉnh
Ta nhận thấy với bộ điều khiển PI làm hệ thống luôn dao động quanh vị trí đặt và với độ vọt lố ngày càng cao Đáp ứng của hệ thống dao động, độ vọt lố cao có nghĩa là quả bóng luôn lăn qua lại vị trí cân bằng và không thể đứng yên tại vị trí cân bằng.
Khi ta tăng hệ số Ki càng lớn thì hệ thống sẽ dao dộng nhiều và độ vọt lố ngày càng cao
Vậy ta không cần phải đi thiết kế bộ điều khiển PI
Hệ thống chưa ổn định, do đó ta cần điều chỉnh thêm cho hệ thống ổn định hơn
Với khâu P, hệ thống sẽ giảm sai số xác lập và tăng độ vọt lố.
Với khâu I, hệ thống sẽ triệt tiêu sai số xác lập, tăng độ vọt lố và tăng thời gian quá độ.
1.4.3.3 Thiết kế bộ điều khiển PD
Theo thiết kế của 2 bộ điều khiển P và PI chưa đáp ứng được yêu cầu Như vậy cần phải thêm bộ điều khiển vi phân (D) để làm giảm độ vọt lố Tăng các giá trị K d sao cho hệ thống không vọt lố và ổn định.
Thiết kế bộ điều khiển tích phân tỉ lệ PD trên Simulink và đặt các thông số KD=0
Tính toán thông số cho bộ điều khiển PD
Sơ đồ khối mô phỏng: Với Kp = 3,6, Ki = 0, Kd = 2,25
Hình 4.17 Sơ đồ mô phỏng hệ thống có bộ điều khiển PD
Hình 4.18 Hệ thống có bộ điều khiển PD
Hệ thống với bộ điều khiển PD với K p = 3,6, K i = 0 và K d =2,25 Theo tính toán công thức ta thấy hệ thống tương đối ổn định, vẫn có chút dao động của quả bóng quanh vị trí cân bằng nhưng chưa đáp ứng được thời gian xác lâp.
Thời gian xác lập lâu 10s
Hệ thống không có độ vọt lố
Sai số xác lập lớn
Vì vậy ta cần phải giảm Kp và giảm Kd để giảm độ vọt lố và tăng thời gian xác lập. Khảo sát thêm với các giá trị Kp=2.5, Kd=0.95
Hình 4.19 Hệ thống sau khi hiệu chỉnh bộ điều khiển PD
Hình 4.20 So sánh ngõ ra PD trước hiệu chỉnh và sau khi hiệu chỉnh Đánh giá:
Dựa vào các kết quả mô phỏng cho thấy các thông số của bộ điều khiển PD từ mô phỏng có thể làm ổn định được hệ thống trên Áp dụng thông số PD ta chọn trong mô phỏng cho mô hình thực tế và tinh chỉnh cho hệ thống ổn định hơn
Với sự tinh chỉnh giá trị Kp, Kd ta đã làm giảm được độ vọt lố và giảm thời gian xác lập.
1.4.3.4 Thiết kế bộ điều khiển PID
Tính toán thông số cho bộ điều khiển PD
Sơ đồ khối mô phỏng: Với Kp = 3,6, Ki = 4, Kd = 2,25
Hình 4.21 Sơ đồ mô phỏng hệ thống có bộ điều khiển PID
Hình 4.22 Hệ thống có bộ điều khiển PID
Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển PID sử dụng bộ PID Controler trong Matlab.
Hình 4.23 Sơ đồ mô phỏng hệ thống có bộ điều khiển PID
Bộ điều khiển PID tích hợp 3 bộ điều khiển: tỉ lệ, tích phân và vi phân Có khả năng triệt tiêu sai số xác lập, tăng tốc độ đáp ứng, giảm độ vọt lố nếu các thông số được lựa chọn thích hợp.
Hình 4.2234 Hiệu chỉnh khối PID Tuner
Chúng ta thay đổi các thông số Kp, Kd, Ki trên PID Tuner.
Kd = 0,65 Đánh giá hệ thống điều khiển PID:
Hình 4.25 Hệ thống sau khi áp dụng thông số điều khiển
Hình 4.26 So sánh hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh thông số PID
NHẬN XÉT VÀ ĐƯA RA KẾT QUẢ
1.5.1 Bảng so sánh các bộ điều khiển
KHIỂN Thời gian xác lập Độ vọt lố Sai số xác lập Nhận xét ổn định
P Không Cao Lớn Hệ thống dao động qua lại =>
Hệ thống không ổn định
PI Không có Cao Lớn
Hệ thống giao động với biên bộ càng lớn => Hệ thống không ổn định
PD Nhỏ Nhỏ Nhỏ Hệ thống đáp ứng nhanh
PID Nhỏ Nhỏ Nhỏ Hệ thống đáp ứng nhanh
FUZZY Lớn Cao Lớn =>Hệ thống không ổn định
PID FUZZY Lớn Nhỏ Nhỏ =>Hệ thống ổn định
Dựa vào bảng nhận xét, so sánh các bộ điều khiển: P; PI; PD; PID; FUZZY; PID FUZZY Ta thấy hai bộ điều khiển là PD và PID sẽ giúp hệ thống ổn định nhanh Hai bộ điều khiển này tương đương với nhau vì hệ số Ki ở bộ điều khiển PID rất nhỏ (Ki