đồ án phương pháp nhận biết số nguyên tố dạng 2n 1

Tÿ đßnh lý 1.2 ta suy ra thuÁt toán sau đây thực hián viác tìm °ớc sá chung lớn nhÁt cÿa hai sá nguyên bÁt kỳ: ThuÁt toán Euclide tìm °ớc sá chung lớn nhÁt: INPUT: hai sá nguyên không âm

Bà GIÁO DĀC VÀ ĐÀO T¾O

TR¯äNG Đ¾I HàC QUÀN LÝ VÀ CÔNG NGHà HÀI PHÒNG -

Đâ ÁN TàT NGHIàP

NGÀNH : CÔNG NGHà THÔNG TIN

Sinh viên : Đß Hoàng Anh GiÁng viên h°ãng d¿n : TS Hã Văn Canh

HÀI PHÒNG – 2023

Bà GIÁO DĀC VÀ ĐÀO T¾O

TR¯äNG Đ¾I HàC QUÀN LÝ VÀ CÔNG NGHà HÀI PHÒNG -

Bà GIÁO DĀC VÀ ĐÀO T¾O

TR¯äNG Đ¾I HàC QUÀN LÝ VÀ CÔNG NGHà HÀI PHÒNG

-

Sinh viên: Đß Hoàng Anh Mã SV: 1812101004 Lãp : CT2201C

Ngành : Công nghá thông tin

Tên đÁ tài: Ph°¢ng pháp nhÁn biÁt sá nguyên tá d¿ng 2n-1

NHIàM VĀ ĐÀ TÀI 1 Mô tÁ tóm tÃt đÁ tài:

- Tìm hiáu vß vai trò cÿa sá nguyên tá trong an toàn b¿o mÁt thông tin - Tìm hiáu các ph°¢ng pháp nhÁn biÁt sá nguyên tá d¿ng 2n-1

- Cài đÁt ch°¢ng trình thā nghiám

2.Các tài liáu cÅn thi¿t

[1] Hồ Văn Canh, Lê Danh C°ßng (2018): MÁt mã và an toàn thông tin: Lý thuyÁt và āng dāng NXB: Thông tin và Truyßn thông – 8/2018

[2] Mennezes, Paul C Van Oorschot, S cott A Vanstone (1999): Handbook of Applied Cryptography CRC Press: Boca Raton, New York, London, Tokyo [3] Neal Koblitz (2000): A Course in Number Theory and Cryptography Springer-Verlag Press: New York, Berlin Heidelberg, London, Pái, and Tokyo (2000)

[4] Phan Đình Diáu (2002): MÁt mã và an toàn thông tin NXB Đ¿i hác Quác gia Hà Nái năm 2002

.[5] Trßnh NhÁt TiÁn ( 2003): MÁt mã và an toàn CSDL NXB ĐHQG Hà Nái năm 2003

3.Đßa điÃm thực tÁp tát nghiáp

Công ty cổ phần đầu t° tài chính và công nghá Datatech

CÁN Bà H¯âNG D¾N ĐÀ TÀI TàT NGHIàP Há và tên : Hồ Văn Canh

Hác hàm, hác vß : Đ¿i Tá-TiÁn Sĩ

C¢ quan công tác : Hác Vián Kỹ ThuÁt MÁt Mã Nái dung h°ãng d¿n:

Nái dung dự kiÁn

- Mát sá khái niám c¢ b¿n trong sá hác, đ¿i sá - Mát sá ph°¢ng pháp kiám tra sá nguyên tá

- Āng dāng cÿa sá nguyên tá và thā nghiám ch°¢ng trình Đß tài tát nghiáp đ°ÿc giao ngày 17 tháng 4 năm 2023

Yêu cầu ph¿i hoàn thành xong tr°ớc ngày 17 tháng 6 năm 2023

Đã nhÁn nhiám vā ĐTTN Đã giao nhiám vā ĐTTN

Đß Hoàng Anh TS Hã Văn Canh

Hải Phòng, ngày 8 tháng 6 năm 2023

TR¯æNG KHOA

CàNG HÒA XÃ HàI CHĂ NGH)A VIàT NAM Đác lÁp - Tự do - H¿nh phúc

PHI¾U NHÀN XÉT CĂA GIÀNG VIÊN H¯âNG D¾N TàT NGHIàP

Há và tên gi¿ng viên: Hồ Văn Canh

Đ¢n vß công tác: Cāc Kỹ thuÁt Nghiáp Vā-CBA

Há và tên sinh viên: Đß Hoàng Anh Ngành: Công nghá thông tin Đß tài tát nghiáp: Ph°¢ng pháp nhÁn biÁt sá nguyên tá d¿ng 2n-1

1 Tinh thÅn thái đá căa sinh viên trong quá trình làm đÁ tài tát nghiáp

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2 Đánh giá chÃt l°ÿng căa đã án/khóa luÁn(so vãi nái dung yêu cÅu đã đÁ ra trong nhiám vā Đ.T T.N trên các lý luÁn, thực tißn, tính toán sá liáu…)

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

3 Ý ki¿n căa giÁng viên h°ãng d¿n tát nghiáp

Đ¿t Không đ¿t Điám:&&&&&&&&&&&&&

Hải Phòng, ngày 8 tháng 6 năm 2023

GiÁng viên h°ãng d¿n

(Ký và ghi rõ họ tên)

CàNG HÒA XÃ HàI CHĂ NGH)A VIàT NAM Đác lÁp - Tự do - H¿nh phúc

PHI¾U NHÀN XÉT CĂA GIÀNG VIÊN CHÂM PHÀN BIàN

Há và tên gi¿ng viên: Đ¢n vß công tác:

Há và tên sinh viên: Đß Hoàng Anh Ngành: Công nghá thông tin

Đß tài tát nghiáp:

1 PhÅn nhÁn xét căa giÁng viên chÃm phÁn bián

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2 Những mặt còn h¿n ch¿

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

3 Ý ki¿n căa giÁng viên chÃm phÁn bián

Đ°ÿc b¿o vá Không đ°ÿc b¿o vá Điám&&&& H¿i Phòng, ngày 13 tháng 6 năm 2023

GiÁng viên chÃm phÁn bián

LäI CÀM ¡N

Lßi đầu tiên, em xin gāi lßi c¿m ¢n chân thành đÁn các Thầy Cô trong Khoa Công Nghá Thông, Tr°ßng Đ¿i hác Qu¿n Lý và Công Nghá H¿i Phòng đã gi¿ng d¿y, chỉ b¿o cho em kiÁn thāc và kinh nghiám quý báu trong suát 4 năm hác t¿i tr°ßng đá em có thá thực hián đồ án tát nghiáp này ĐÁc biát em xin gāi lßi c¿m ¢n sâu sắc tới Thầy Hồ Văn Canh ng°ßi đã trực tiÁp h°ớng d¿n và tÁn tình giúp đỡ em hoàn thành tát đồ án tát nghiáp cÿa mình Em cũng xin c¿m ¢n Cô Nguyßn Thß Xuân H°¢ng – Lãnh đ¿o Khoa Công Nghá Thông Tin đã luôn t¿o đißu kián cho em và các b¿n trong suát quá trình hác cũng nh° thực hián các công tác tát nghiáp

Em xin trân tráng c¿m ¢n Ban lãnh đ¿o, các Thầy Cô á các phòng ban cÿa Tr°ßng ĐH Qu¿n Lý và Công Nghá H¿i Phòng đã cho em môi tr°ßng hác tÁp tát nhÁt có thá tÿ khi em bắt đầu đÁt chân vào gi¿ng đ°ßng và cho đÁn khi hoàn thành đồ án tát nghiáp quan tráng nhÁt trong cuác đßi sinh viên

Trong quá trình thực tÁp, cũng nh° là trong quá trình làm đồ án tát nghiáp em không tránh khßi những thiÁu sót vß trình đá lý luÁn cũng nh° kinh nghiám thực tißn nên em rÁt mong sự đóng góp ý kiÁn và chỉ b¿o tÿ Thầy, Cô đá em tiÁn bá h¢n và có thêm nhißu kinh nghiám và kiÁn thāc đá có thá góp ích cho những công viác sau này

Em xin chân thành cÁm ¢n!

LäI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan rằng đß tài này đ°ÿc tiÁn hành mát cách minh b¿ch, công khai Mái thā đ°ÿc dựa trên sự cá gắng cũng nh° sự nß lực cÿa b¿n thân cùng với sự giúp đỡ cÿa thầy Hồ Văn Canh

Các sá liáu và kÁt qu¿ nghiên cāu đ°ÿc đ°a ra trong đồ án là trung thực và không sao chép hay sā dāng kÁt qu¿ cÿa bÁt kỳ đß tài nghiên cāu nào t°¢ng tự NÁu nh° phát hián rằng có sự sao chép kÁt qu¿ nghiên cāu đß những đß tài khác b¿n thân em xin chßu hoàn toàn trách nhiám

H¿i Phòng, ngày 13 tháng 6 năm 2022

(Ký và ghi rõ há tên)

1.1.MàT Sà KHÁI NIàM TRONG Sà HàC, Đ¾I Sà 22

1.1.1 Khái niám trong sá hác 22

1.1.2.Khái niám trong đ¿i sá 22

1.2.MàT Sà THUÀT TOÁN Error! Bookmark not defined 1.2.1.ThuÁt toán tính °ớc chung lớn nhÁt Error! Bookmark not defined 1.2.2.ThuÁt toán tính phần tÿ nghßch đ¿o theo Modulo Error! Bookmark not defined 1.2.3.ThuÁt toán phân tích mát sá ra các thÿa sá nguyên tá Error! Bookmark not defined 1.3 Đà PHĀC T¾P TÍNH TOÁN Error! Bookmark not defined 1.3.1 Khái niám vß đá phāc t¿p tính toán Error! Bookmark not defined 1.3.2 Lớp phāc t¿p Error! Bookmark not defined 1.3.3 Hàm mát phía và cāa sÁp mát phía Error! Bookmark not defined KÁt luÁn Error! Bookmark not defined CH¯¡NG 2: MàT Sà PH¯¡NG PHÁP KIÂM TRA Sà NGUYÊN Tà Error! Bookmark not defined 2.1 Sà NGUYÊN Tà 25

2.1.1.Khái niám sá nguyên tá 25

2.3 MàT Sà PH¯¡NG PHÁP KIàM TRA Sà NGUYÊN Tà Error!

Bookmark not defined

2.3.1 Ph°¢ng pháp cổ đián Error! Bookmark not defined 2.3.2 Ph°¢ng pháp xác suÁt Error! Bookmark not defined 2.4 KÁt luÁn Error! Bookmark not defined

CH¯¡NG 3: ĄNG DĀNG CĂA Sà NGUYÊN Tà VÀ THĈ NGHIàM CH¯¡NG TRÌNH 38

3.1 THĀ NGHIàM CH¯¡NG TRÌNH Error! Bookmark not defined 3.1.1 CÁu hình há tháng Error! Bookmark not defined 3.1.2 Chāc năng chính Error! Bookmark not defined 3.1.3 Cài đÁt há tháng Error! Bookmark not defined

K¾T LUÀN 46 TÀI LIàU THAM KHÀO 54

DANH MĀC HÌNH

Hình 1.2.1: Mô t¿ quá trình tính toán cÿa thuÁt toán Euclid Error! Bookmark

not defined

Hình 1.2.2: Mô t¿ quá trình tính toán cÿa thuÁt toán Euclid má ráng Error!

Bookmark not defined

Hình 1.2.3.1: ThuÁt toán phân tích thÿa sá n-1 Error! Bookmark not defined Hình 1.3: ThuÁt toán phân tích thÿa sá(cho tr°ớc sá mũ gi¿i mã a) Error!

Bookmark not defined

Hình 1.4: ThuÁt toán phân tích cổ đián Error! Bookmark not defined Hình 2.2.1.2: Đồ thß biáu dißn các chā sá cÿa sá nguyên tá Mersenne lớn nhÁt đã biÁt theo tÿng năm cÿa kỳ nguyên đián tā Error! Bookmark not defined Hình 3.1.3 Kiám tra sá nguyên tá 2,5000 Error! Bookmark not defined Hình 3.1.4 KÁt qu¿ tr¿ vß cÿa ch°¢ng trình sá nguyên tá 2n -1, cÿa 2,11213

Error! Bookmark not defined

Hình 3.1.5 KÁt qu¿ nhÁn đ°ÿc sau khi liát kê tÿ 1 -> 5000 Error! Bookmark

not defined

Hình 3.1.5 Phân tích thÿa sá nguyên tá 27,102,1001,5000 Error! Bookmark

not defined

DANH MĀC TĆ VI¾T TÂT

Ged Greatest Common Divisor ¯ớc sá chung lớn nhÁt Lcm Least Common Multiple Bái sá chung nhß nhÁt

1

Mæ ĐÄU

Ta biÁt rằng sá nguyên tá và đÁt biát là sá nguyên tá lớn đóng vai trò rÁt quan tráng trong nhißu lĩnh vực vß an toàn – b¿o mÁt thông tin nh°: Trong h¿ tần c¢ sá khóa công khai, trong các há mÁt mã RSA, Elgamal, trong xác thực và chữ ký đián tā, vv Tuy nhiên mát vÁn đß đÁt ra là làm thÁ nào đá khẳng đßnh mát sá nguyên d°¢ng N nào đó là sá nguyên tá hay hÿp sá?

Ta biÁt rằng sá nguyên tá là mát sá chia hÁt cho mát và chính nó Nh° vÁy sá nguyên tá là mát sá nguyên (d°¢ng) lẻ? Vì nÁu nó là sá ch¿n thì nó s¿ chia hÁt cho 2 và nh° vÁy, nó không ph¿i là mát sá nguyên tá VÁy sá nguyên tá (trÿ sá 2) là mát sá lẻ Nh°ng sá lẻ ch°a hẳn đã là sá nguyên tá ví dā:

Sá 9 là sá lẻ nh°ng không ph¿i là sá nguyên tá

Sá 15 là sá lẻ nh°ng cũng không ph¿i là sá nguyên tá Vì (15 = 3.5) là hÿp sá

Sá 2047 cũng không ph¿i là sá nguyên tá vì (2047 = 23.89)

VÁy cho mát sá nguyên lẻ n bÁt kỳ làm thá nào đá nhÁn biÁt đ°ÿc n là sá nguyên tá (chỉ chia hÁt cho 1 và chính nó)? ĐÁn nay đã có nhißu tài liáu nghiên cāu vß vÁn đß này chẳng h¿n trong Knut(2004):= The Artof Programming Computer= (TÁp II- 2004): < chẳng h¿n thuÁt toán sàng bình ph°¢ng < (Quadratic Sieve algerithin) [1: Alfred J Menezes, Pau C.van Oorschot and Scott A.Vanstone (1998) CRC press: Boca Raton Newyork, London and Tokyo(1998) ]

2

Ch°¢ng 1 CÁC KHÁI NIàM C¡ BÀN 1.1 MàT Sà KHÁI NIàM TRONG Sà HàC, Đ¾I Sà 1.1.1 Khái niám trong sá hác

1) Ký hiáu chia h¿t

Cho a và b là hai sá nguyên d°¢ng

Sá a chia hÁt cho sá b ký hiáu là a b  Tồn t¿i n þ N sao cho: a = b * n

Khi đó ng°ßi ta nói b là °ớc cÿa a và ký hiáu: b | a

2) ¯ãc sá chung lãn nhÃt

Cho a và b là hai sá nguyên d°¢ng

¯ớc sá chung lớn nhÁt cÿa a và b là sá tự nhiên m lớn nhÁt sao cho m | a và m | b Khi đó ký hiáu là gcd(a, b) = m

3) Hai sá nguyên tá cùng nhau

Cho a và b là hai sá nguyên d°¢ng

Sá a và sá b đ°ÿc gái là 2 nguyên tá cùng nhau  gcd(a, b) = 1

3

1) Khái niám nhóm

Nhóm là mát cÁp (G, *), trong đó G là tÁp hÿp khác rßng, * là phép toán hai ngôi trên G tho¿ mãn ba đißu kián sau:

1 Phép toán có tính kÁt hÿp:

(x * y) * z = x * (y * z) với mái x, y, z þG 2 Có phần tā phần tā trung lÁp e þ G:

1/ Phần tā trung lÁp e cÿa G nằm trong S

2/ S khép kín đái với luÁt hÿp thành trong G (tāc là x * y þ S với mái x, yþ S)

3/ S khép kín đái với phép lÁy nghßch đ¿o trong G (tāc x-1 þ S với mái xþS)

3) Nhóm Cyclic

a) Khái niám Nhóm Cyclic

Nhóm (G, *) đ°ÿc gái là Nhóm Cyclic nÁu nó đ°ÿc sinh ra bái mát trong các phần tā cÿa nó

Tāc là có phần tā g þ G mà với mßi a þ G, đßu tồn t¿i sá n þ N đá g n = g * g * & * g = a (Chú ý: g * g * & * g là g * g với n lần)

Khi đó g đ°ÿc gái là phần tā sinh hay phần tā nguyên thuỷ cÿa nhóm G

NÁu không tồn t¿i sá tự nhiên n đá g n = e, thì G có cÁp 

Ví dā: (Z + , +) gồm các sá nguyên d°¢ng là Cyclic với phần tā sinh g = 1, e = 0 Đó là Nhóm Cyclic vô h¿n, vì không tồn t¿i sá tự nhiên n đá g n = e,

c) CÁp cÿa mát phần tā trong Nhóm Cyclic:

Phần tā ñ þ G đ°ÿc gái là có cÁp d, nÁu d là sá nguyên d°¢ng nhß nhÁt sao cho ñ d = e, trong đó e là phần tā trung lÁp cÿa G Nh° vÁy phần tā ñ có cÁp 1, nÁu ñ = e

4) TÁp Zn và Z*

Zn = 0, 1, 2, , n - 1 Tāc Zn là tÁp các sá nguyên không âm < n TÁp này cùng với phép cáng lÁp thành Nhóm Cyclic có phần tā sinh là 1 Đó là Nhóm hữu h¿n có cÁp n

Zn * = e þ Zn, e là nguyên tá cùng nhau với n Tāc là e # 0 Đó là tÁp các sá nguyên d°¢ng < n, nh°ng nguyên tá cùng nhau với n đ°ÿc gái là tÁp ThÁng d° thu gán theo mod n, lÁp thành mát Nhóm với phép nhân mod n

(n) là sá các phần tā cÿa tÁp �㕧�㕛∗

5

5) Mát sá k¿t quÁ

Những kÁt qu¿ sau đã đ°ÿc chāng minh, nhắc l¿i đá sā dāng:

* Đßnh lý Lagrange: Cho G là nhóm CÁp n và gþ G Khi đó cÁp cÿa g là °ớc cÿa n

* Há qu¿: Gi¿ sā gþ �㕧�㕛∗ có CÁp m thì m là °ớc cÿa  (n) NÁu b þ * �㕧�㕛∗ thì b (n) ú 1 (mod n)

6) Khái niám Logarit råi r¿c

Cho p là sá nguyên tá, ñ là phần tā nguyên thuỷ cÿa Zp, òþ �㕧�㕛∗ Logarit rßi r¿c chính là viác gi¿i ph°¢ng trình x = logñ ò (mod p) với ẩn x

Hay ph¿i tìm sá x duy nhÁt sao cho: ñ x ú ò (mod p)

- Bổ đß: NÁu (a, n) = 1 thì tồn t¿i a-1 þ Zn tho¿ mãn a * a-1 ú 1 (mod n)

- Đßnh lý (Euler tổng quát): NÁu (a, n) = 1 thì a(n) mod n = 1

- Há qu¿: Với p là mát sá nguyên tá và (a, p) = 1 thì ap-1 (mod p) = 1

1.2 MàT Sà THUÀT TOÁN

1.2.1 ThuÁt toán tính °ãc chung lãn nhÃt

6

Ký hiáu Z là tÁp hÿp các sá nguyên, Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, }, và Z+ là tÁp hÿp các sá nguyên không âm, Z+ = {0, 1, 2, } Trong māc này s¿ nhắc l¿i mát sá kiÁn thāc vß sá hác cÿa các sá nguyên cần cho viác trình bày lý thuyÁt mÁt mã Vì đá luÁn văn không quá dài dòng, các kiÁn thāc s¿ đ°ÿc nhắc đÁn chÿ yÁu là các khái niám, các mánh đß s¿ đ°ÿc sā dāng, v.v , còn các phần chāng minh s¿ đ°ÿc l°ÿc bß

TÁp hÿp Z là đóng kín đái với các phép cáng, trÿ và nhân, nh°ng không đóng kín đái với phép chia: chia mát sá nguyên cho mát sá nguyên không ph¿i bao giß cũng đ°ÿc kÁt qu¿ là mát sá nguyên! Vì vÁy, tr°ßng hÿp chia hÁt, tāc khi chia sá nguyên a cho sá nguyên b đ°ÿc th°¢ng là mát sá nguyên q, a = b.q, có mát ý nghĩa đÁc biát Khi đó, nói a chia hÁt cho b, a là bái sá cÿa b, b là °ớc sá cÿa a, và ký hiáu là b|a Dß thÁy ngay rằng sá 1 là °ớc sá cÿa mái sá nguyên bÁt kỳ, sá 0 là bái sá cÿa mái sá nguyên bÁt kỳ, mái sá nguyên a đßu là °ớc sá, đồng thßi là bái sá cÿa chính nó

Với hai sá nguyên d°¢ng a và b bÁt kỳ ta có quan há lcm(a,b).gcd(a,b) = a.b

Tÿ đßnh lý 1.2 ta suy ra thuÁt toán sau đây thực hián viác tìm °ớc sá chung lớn nhÁt cÿa hai sá nguyên bÁt kỳ:

ThuÁt toán Euclide tìm °ớc sá chung lớn nhÁt:

INPUT: hai sá nguyên không âm a và b, với agb OUTPUT: °ớc sá chung lớn nhÁt cÿa a và b

7 1 Trong khi còn b>0, thực hián: 1.1 đÁt r  a mod b,a  b, b  r 2 Cho ra kÁt qu¿ (a)

Ví dā: Dùng thuÁt toán Euclide tìm gcd(4864, 3458), lần l°ÿt đ°ÿc các giá trß gán cho các biÁn a, b và r nh° sau:

B¿ng 1.2.1 Mô t¿ quá trình tính toán cÿa thuÁt toán Euclid

Mát sá nguyên d đ°ÿc gái là °ớc sá chung cÿa hai sá nguyên a và b nÁu d/a và d/b Sá nguyên d đ°ÿc gái là °ớc sá chung lớn nhÁt cÿa a và b nÁu d>0, d là °ớc sá chung cÿa a và b, và mái °ớc chung cÿa a và b đßu là °ớc sá cÿa d Ký hiáu °ớc sá chung lớn nhÁt cÿa a và b là gcd (a,b) Ví dā gcd (12, 18) = 6, gcd (-18, 27) = 3

Dß thÁy rằng với mái sá nguyên d°¢ng a ta có gcd (a, 0) = a, ta cũng s¿ qui °ớc xem rằng gcd (0,0) = 0

8

Mát sá nguyên a > 1 đ°ÿc gái là sá nguyên tá, nÁu a không có °ớc sá nào ngoài 1 và chính a; và đ°ÿc gái là hÿp sá, nÁu không ph¿i là nguyên tá Ví dā các sá 2, 3, 5, 7 là sá nguyên tá; các sá 6, 8, 10, 12, 14, 15 là hÿp sá Hai sá a và b đ°ÿc gái là nguyên tá với nhau, nÁu chúng không có °ớc sá chung nào khác 1, tāc là nÁu gcd (a,b) = 1 Mát sá nguyên n > 1 bÁt kỳ đßu có thá viÁt d°ới d¿ng:

�㕛 = �㕃1�㕎1 �㕃2�㕎2& �㕃�㕘�㕎�㕘

Trong đó p1, p2, ,pk là các sá nguyên tá khác nhau, a1, a2, ak là các sá mũ nguyên d°¢ng NÁu không ká thā tự các thÿa sá nguyên tá thì d¿ng biáu dißn đó là duy nhÁt, ta gái đó là d¿ng khai trián chính tắc cÿa n Ví dā d¿ng khai trián chính tắc cÿa 1800 là 23 3 2 5 2

Các sá nguyên tá và các vÁn đß vß sá nguyên tá có mát vai trò quan tráng trong sá hác và trong āng dāng vào lý thuyÁt mã hóa, s¿ xét riêng trong ch°¢ng sau

ThuÁt toán cho kÁt qu¿: gcd (4864, 3458) = 38 BiÁt rằng nÁu gcd (a,b) = d, thì ph°¢ng trình bÁt đßnh a.x + b.y = d

có nghiám nguyên (x,y), và mát nghiám nguyên (x,y) nh° vÁy có thá tìm đ°ÿc bái thuÁt toán Euclide má ráng nh° sau:

ThuÁt toán Euclide mç ráng:

INPUT: hai sá nguyên không âm a và b với a gb

OUTPUT: d = gcd (a,b) và hai sá x, y sao cho a.x +b.y = d 1 NÁu b = 0 thì đÁt d  a, x  1, y  0 và cho ra (d, x, y) 2 ĐÁt x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1

3 Trong khi còn b > 0 thực hián:

3.1 q  a div b, r  a mod b, x  x2 – qx1, y  y2 – qy1 3.2 a  b, b  r, x2  x1, x1  x, y2  y1 và y1  y

9

4 ĐÁt d  a, x  x2, y  y2, và cho ra kÁt qu¿ (d, x, y)

Ví dā: Dùng thuÁt toán Euclide má ráng cho các sá a = 4864 và b = 3458, lần l°ÿt đ°ÿc các giá trß sau đây cho các biÁn a, b, q, r, x, y, x1, x2, y1, y2 (sau mßi chu trình thực hián hai lánh 3.1 và 3.2)

B¿ng 1.2.2 Mô t¿ quá trình tính toán cÿa thuÁt toán Euclid má ráng

1.2.2 ThuÁt toán tính phÅn tĉ nghßch đÁo theo Modulo * Đßnh ngh*a:

Cho a þ Zn , nÁu tồn t¿i b þ Zn sao cho a.b ú 1 (mod n), ta nói b là phần tā nghßch đ¿o cÿa a trong Zn và ký hiáu a-1

Mát phần tā có phần tā nghßch đ¿o, gái là kh¿ nghßch

* Đßnh lý: gcd (a, n) = 1  Phần tā a þ Zn có phần tā nghßch đ¿o Chāng minh:

10

NÁu a.a-1 ≡ 1 (mod n) thì a.a-1 = 1 + kn ↔ a.a-1 - kn = 1 → (a, n) =1 NÁu (a, n) = 1, ta có a.a-1 + kn = 1 → a.a-1 = 1 + kn, do đó a.a-1 ≡ 1 (mod n)

* Há quÁ: Mái phần tā trong Zn* đßu có phần tā nghßch đ¿o

* Tìm phÅn tĉ nghßch đÁo bằng ThuÁt toán Euclid mç ráng

Input: a þ Zn , n

Output: Phần tā nghßch đ¿o cÿa a Procedure Invert(a, n); Begin

g0:=n; g1:=a; u0:=1; u1:=0; v0:=0; v1:=1; i:=1;

while gi ù 0 do begin

y:= gi-1 div gi; gi+1 := gi+1 - y.gi; ui+1 := ui+1 - y.ui; vi+1 := vi+1 - y.vi; i:= i+1;

end; t := vi+1;

if t > 0 then a-1 := t else a-1:=t + n; End;

Ví dā: Tìm phần tā nghßch đ¿o cÿa 3 trong Z7

Tāc là ph¿i gi¿i ph°¢ng trình 3.x ≡ 1(mod 7), x s¿ là phần tā nghßch đ¿o cÿa 3

Chú ý

Đßnh lý (Euler tổng quát): NÁu (a, n) = 1 thì a (n) mod n = 1 Há qu¿: NÁu p là sá nguyên tá và (a, p) = 1, thì a p-1 (mod p) = 1

1.2.3 ThuÁt toán phân tích mát sá ra các thća sá nguyên tá

ĐÁt vÁn đß: Có mát khái l°ÿng khổng lồ các tài liáu vß các thuÁt toán phân tích thÿa sá Tuy vÁy, trong phần này chỉ đ°a ra mát cái nhìn khái quát bao gồm viác th¿o luÁn s¢ l°ÿc vß các thuÁt toán phân tích thÿa sá tát nhÁt hián thßi và cách sā dāng chúng trong thực tÁ Ba thuÁt toán hiáu qu¿ nhÁt trên các sá thÁt lớn là: sàng bÁc hai, thuÁt toán đ°ßng cong Elliptic và sàng tr°ßng sá Các thuÁt toán nổi tiÁng khác bao gồm: ph°¢ng pháp p và thuÁt toán (p – 1) cÿa Pollard, thuÁt toán (p + 1) cÿa Williams, thuÁt toán liên phân sá và dĩ nhiên là c¿ phép chia thā

12 x ← 2, y ← 2; d ← 1

While d = 1: x ← f(x) y ← f(f(y))

d ← GCD(|x − y|, n)

If d = n, return không thực hián đ°ÿc Else return d

Hình 1 2: ThuÁt toán phân tích thÿa sá p - 1

Chú ý rằng thuÁt toán có thá không tìm thÁy nhân tā và tr¿ vß kÁt qu¿ không thực hián đ°ÿc với mát hÿp sá n Trong tr°ßng hÿp này sā dāng hàm f(x) khác và thā l¿i ThuÁt toán cũng không làm viác khi n là sá nguyên tá, trong tr°ßng hÿp này d s¿ luôn là 1

Đái với hàm f, chúng ta chán đa thāc với há sá nguyên mát trong những d¿ng chung nhÁt đó là: f(x) = x2 + c mod n, c ≠ 0, -2

1.2.3.2 ThuÁt toán đ°ång cong Elliptic

ThuÁt toán đ°ßng cong Elliptic m¿nh h¢n (đ°ÿc Lenstra xây dựng vào những năm 80) trên thực tÁ là sự tổng quát hóa cÿa ph°¢ng pháp p - 1 Ta s¿ không th¿o luÁn vß mÁt lý thuyÁt á đây mà chỉ nhÁn m¿nh rằng, thành công cÿa ph°¢ng pháp đ°ßng cong Elliptic tuỳ thuác vào mát tình huáng t°¢ng tự: mát sá nguyên <gần

13

với= p chỉ có các thÿa sá nguyên tá bá Trong khi ph°¢ng pháp p - 1 phā thuác vào quan há trong Zp thì ph°¢ng pháp đ°ßng cong Elliptic phā thuác vào các Nhóm xác đßnh trên các đ°ßng cong Elliptic theo modulo n

1.2.3.3 ThuÁt toán kiÃu Las Vegas

ThuÁt toán đ°ÿc xây dựng trên c¢ sá mát sá nguyên tá nhÁt đßnh liên quan tới các căn bÁc hai cÿa 1 theo modulo n, trong đó n = p * q là tích cÿa hai sá nguyên tá lẻ phân biát

1 Chán w là ng¿u nhiên và 1  w  n – 1 2 Tính x = gcd (w, n)

3 NÁu 1 < x < n thì thoát (thành công: x = p hoÁc x = q) 4 Tính a = A (b)

5 ViÁt ab - 1 = 2s r, r lẻ 6 Tính v = wr mod n

7 NÁu v = 1 (mod n) thì thoát (không thành công) 8 Trong khi v ù 1 (mod n) thì thực hián

14

1.2.3.4 ThuÁt toán phân tích cổ điÃn

Hián nay ng°ßi ta ch°a có cách nào tính trực tiÁp p, q hữu hiáu tÿ n trÿ khi biÁt  (n) Vì khi biÁt  (n), ta có:

p * q = n

 (n) = (p -1) * (q - 1)  p + q = n -  (n) +1

Dựa vào đßnh lý Vi-ét p và q là nghiám cÿa ph°¢ng trình: x 2 - (n -  (n) +1) * x + n = 0

Gi¿i ph°¢ng trình này ta dß dàng tìm đ°ÿc p và q

Ví dā: n = 84773093,  (n) = 84754668  q = 9539, p = 8887 Ngoài ra theo cách cổ đián, sā dāng thuÁt toán :

// Input: n

// Output: p tho¿ mãn p | n //

// 0 trong tr°ßng hÿp ng°ÿc l¿i For (int i = 3; i <= sqrt (n); i+ = 2)

if (n % i) return i; return 0;

Hình 1 4: ThuÁt toán phân tích cổ đián

Trong thuÁt toán trên vòng lÁp là (n1/ 2/ 2) NÁu n có 512 bit, giá trß lớn nhÁt cÿa n là 2512 NÁu 1 máy tính thực hián 106 chỉ lánh trong 1 giây thì thßi gian thực hián là:

T = n 1/ 2 / 2  2 1/2 * 512 / 2 = 2256 / 2 = 2255(giây)  2 238 (ngày)  2 230 năm (1 ngày = 60 * 60 * 24 = 86400 giây  2 17 giây

15

1 năm = 30 * 12 * 86400 giây = 31104000 giây  2 25 giây.)

NÁu kẻ gi¿ m¿o muán tìm p, q theo cách này thì đây là đißu không t°áng

1.3 Đà PHĄC T¾P TÍNH TOÁN

1.3.1 Khái niám vÁ đá phąc t¿p tính toán

Lý thuyÁt thuÁt toán và các hàm sá tính đ°ÿc ra đßi tÿ những năm 30 cÿa thÁ kỷ 20 đã đÁt nßn móng cho viác nghiên cāu các vÁn đß <tính đ°ÿc=, <gi¿i đ°ÿc= trong toán hác, đ°a đÁn nhißu kÁt qu¿ rÁt quan tráng và lý thú Nh°ng tÿ cái <tính đ°ÿc= mát cách trÿu t°ÿng, hiáu theo nghĩa tißm năng, đÁn viác tính đ°ÿc trong thực tÁ cÿa khoa hác tính toán bằng máy tính đián tā, là c¿ mát kho¿ng cách rÁt lớn VÁn đß là do á chß những đòi hßi vß không gian vÁt chÁt và vß thßi gian đá thực hián các tiÁn trình tính toán nhißu khi v°ÿt quá xa những kh¿ năng thực tÁ Tÿ đó, vào kho¿ng giữa những năm 60 (cÿa thÁ kỷ tr°ớc), mát lý thuyÁt vß đá phāc t¿p tính toán bắt đầu đ°ÿc hình thành và phát trián nhanh chóng, cung cÁp cho chúng ta nhißu hiáu biÁt sâu sắc vß b¿n chÁt phāc t¿p cÿa các thuÁt toán và các bài toán, c¿ những bài toán thuần túy lý thuyÁt đÁn những bài toán th°ßng gÁp trong thực tÁ Sau đây giới thiáu s¢ l°ÿc mát sá khái niám c¢ b¿n và vài kÁt qu¿ s¿ đ°ÿc dùng đÁn cÿa lý thuyÁt đó

Tr°ớc hÁt, hiáu đá phāc t¿p tính toán (vß không gian hay vß thßi gian) cÿa mát tiÁn trình tính toán là sá ô nhớ đ°ÿc dùng hay sá các phép toán s¢ cÁp đ°ÿc thực hián trong tiÁn trình tính toán đó

Dữ liáu đầu vào đái với mát thuÁt toán th°ßng đ°ÿc biáu dißn qua các tÿ trong mát b¿ng ký tự nào đó Đá dài cÿa mát tÿ là sá ký tự trong tÿ đó

Cho mát thuÁt toán A trên b¿ng ký tự  (tāc có đầu vào là các tÿ trong ) Đá phāc t¿p tính toán cÿa thuÁt toán A đ°ÿc hiáu là mát hàm sá fA(n) sao cho với mßi sá n, fA(n) là sá ô nhớ, hay sá phép toán s¢ cÁp tái đa mà A cần đá thực hián tiÁn trình tính toán cÿa mình trên các dữ liáu vào có đá dài  n Ta nói thuÁt toán A có đá phāc t¿p thßi gian đa thāc, nÁu có mát đa thāc P(n) sao cho với mái n đÿ lớn ta có fA(n)  P(n), trong đó fA(n) là đá phāc t¿p tính toán theo thßi gian cÿa A

16

Vß sau khi nói đÁn các bài toán, ta hiáu đó là các bài toán quyÁt đßnh, mßi bài toán P nh° vÁy đ°ÿc xác đßnh bái:

- Mát tÁp các dữ liáu vào I (trong mát b¿ng ký tự  nào đó)

- Mát câu hßi Q trên các dữ liáu vào, sao cho với mßi dữ liáu vào x þ I, câu hßi Q có mát tr¿ lßi đúng hoÁc sai

Bài toán quyÁt đßnh P là gi¿i đ°ÿc, nÁu có thuÁt toán đá gi¿i nó, tāc là thuÁt toán làm viác có kÁt thúc trên mái dữ liáu vào các bài toán, và cho kÁt qu¿ đúng hoÁc sai tùy theo câu hßi Q trên dữ liáu đó có tr¿ lßi đúng hoÁc sai Bài toán P là gi¿i đ°ÿc trong thßi gian đa thāc, nÁu có thuÁt toán gi¿i nó với đá phāc t¿p thßi gian đa thāc Sau đây là vài ví dā vß các bài toán quyÁt đßnh:

Bài toán SATISFIABILYTY (vi¿t tÃt là SAT):

- Mßi dữ liáu vào là mát công thāc F cÿa logic mánh đß, đ°ÿc viÁt d°ới d¿ng hái chuẩn tắc, tāc d¿ng hái cÿa mát sá các <clause=

- Câu hßi là: công thāc F có thßa đ°ÿc hay không?

Bài toán CLIQUE:

- Mßi dữ liáu vào là mát graph G và mát sá nguyên k

- Mßi câu hßi là: Graph G có mát clique với g k đỉnh hay không? (mát clique cÿa G là mát graph con đầy đÿ cÿa G)

Bài toán KNAPSACK:

- Mßi dữ liáu là mát bá n + 1 sá nguyên d°¢ng I = (s1, sn; T) - Câu hßi là: có hay không mát vect¢ Boole (x1, ,xn) sao cho i=1n xi-si = T?

(vect¢ Boole là vect¢ có các thành phần là 0 hoÁc 1)

Bài toán thặng d° bÁc hai:

- Mßi dữ liáu gồm hai sá nguyên d°¢ng (a, n)

- Câu hßi là: a có là thÁng d° bÁc hai theo mod n hay không?

17

Bài toán hÿp sá:

- Mßi dữ liáu là mát sá nguyên d°¢ng N

- Câu hßi: N là hÿp sá không? Tāc có hay không hai sá m, n >1 sao cho N = m.n?

T°¢ng tự, nÁu đÁt câu hßi là <N là sá nguyên tá hay không?= thì ta đ°ÿc

bài toán sá nguyên tá

Đái với tÁt c¿ các bài toán ká trên, trÿ bài toán hÿp sá và sá nguyên tá, cho đÁn nay ng°ßi ta đßu ch°a tìm đ°ÿc thuÁt toán gi¿i chúng trong thßi gian đa thāc

1.3.2 Lãp phąc t¿p

Xét mát vài lớp các bài toán đ°ÿc xác đßnh theo đá phāc t¿p tính toán cÿa chúng Tr°ớc hÁt, đßnh nghĩa P là lớp tÁt c¿ các bài toán có thá gi¿i đ°ÿc bái thuÁt toán đ¢n đßnh trong thßi gian đa thāc

Gi¿ sā cho hai bài toán A và B với các tÁp dữ liáu trong hai b¿ng ký tự t°¢ng āng là 1 và 2 Mát thuÁt toán f: *

1 → *

2 đ°ÿc gái là mát phép quy d¿n bài toán A vß bài toán B, nÁu nó biÁn mßi dữ liáu x cÿa bài toán A thành mát dữ liáu f(x) cÿa bài toán B, và sao cho câu hßi cÿa A trên x có tr¿ lßi đúng khi và chỉ khi câu hßi cÿa B trên f(x) cũng có tr¿ lßi đúng Ta nói bài toán A quy d¿n đ°ÿc vß bài toán B trong thßi gian đa thāc, và ký hiáu A ñ B, nÁu có thuÁt toán f với đá phāc t¿p thßi gian đa thāc qui d¿n bài toán A vß bài toán B Dß thÁy rằng, nÁu A ñ B và B þ P, thì cũng có A þ P

Mát lớp quan tráng các bài toán đã đ°ÿc nghiên cāu nhißu là lớp các bài toán khá th°ßng gÁp trong thực tÁ nh°ng cho đÁn nay ch°a có kh¿ năng nào chāng tß là chúng có thá gi¿i đ°ÿc trong thßi gian đa thāc Đó là lớp các bài toán NP-đầy đÿ đ°ÿc đßnh nghĩa sau đây:

Cùng với khái niám thuÁt toán tÁt đßnh thông th°ßng (có thá mô t¿ chính xác chẳng h¿n bái máy Turing tÁt đßnh), xét khái niám thuÁt toán không đ¢n đßnh với mát ít thay đổi nh° sau: nÁu đái với máy Turing tÁt đßnh, khi máy đang á mát tr¿ng thái q và đang đác mát ký tự a thì cÁp (q, a) xác đßnh duy nhÁt mát hành đáng kÁ tiÁp cÿa máy, còn đái với máy Turing không đ¢n đßnh, qui °ớc rằng (q,

Ta nói thuÁt toán không đ¢n đßnh A chÁp nhÁn dữ liáu x, nÁu với dữ liáu vào chÁp nhÁn (tāc với kÁt qu¿ đúng)

Mát bài toán P đ°ÿc gái là gi¿i đ°ÿc bái thuÁt toán không đ¢n đßnh trong thßi gian đa thāc nÁu có mát thuÁt toán không đ¢n đßnh A và mát đa thāc p(n) sao cho với mái dữ liáu vào x có đá dài n, x þ P (tāc câu hßi cÿa P có tr¿ lßi đúng trên x) khi và chỉ khi thuÁt toán A chÁp nhÁn x bái mát tiÁn trình tính toán có đá phāc t¿p thßi gian  p(n) Ta ký hiáu lớp tÁt c¿ với các bài toán gi¿i đ°ÿc bái thuÁt toán không đ¢n đßnh trong thßi gian đa thāc là NP

Ng°ßi ta đã chāng tß đ°ÿc rằng tÁt c¿ những bài toán trong các ví dā ká trên và rÁt nhißu các bài toán tổ hÿp th°ßng gÁp khác đßu thuác lớp NP, dù rằng hầu hÁt chúng đßu ch°a đ°ÿc chāng tß là thuác P Mát bài toán P đ°ÿc gái là NP-đầy đÿ, nÁu P þ NP và với mái Q þ NP đßu có Q ñ P

Lớp NP có mát sá tính chÁt sau đây: 1) P ý NP

19

đó còn đ°ÿc xem là mát trong 7 vÁn đß khó nhÁt cÿa toán hác trong thiên niên kỷ mới!

1.3.3 Hàm mát phía và cĉa sÁp mát phía

Khái niám đá phāc t¿p tính toán cung cÁp mát cách tiÁp cÁn mới đái với vÁn đß bí mÁt trong các vÁn đß b¿o mÁt và an toàn thông tin Dù ngày nay đã có những máy tính đián tā có tác đá tính toán cỡ hàng tỷ phép tính mát giây, nh°ng với những thuÁt toán có đá phāc t¿p tính toán cỡ f(n) = 2n , thì ngay với những dữ liáu có đá dài kho¿ng n = 1000, viác thực hián các thuÁt toán đó đã không thá xem là kh¿ thi, vì nó đòi hßi thực hián kho¿ng 10300 phép tính! Nh° vÁy, mát gi¿i pháp mã hóa chẳng h¿n có thá xem là có đá b¿o mÁt cao, nÁu đá gi¿i mã cần ph¿i thực hián mát tiÁn trình tính toán có đá phāc t¿p rÁt lớn Do đó, viác phát hián và sā dāng các hàm sá có đá phāc t¿p tính toán rÁt lớn là có ý nghĩa hÁt sāc quan tráng đái với viác xây dựng các gi¿i pháp vß mã hóa và an toàn thông tin

Hàm sá sá hác y = f(x) đ°ÿc gái là hàm mát phía (one-way function), nÁu viác tính thuÁn tÿ x ra y là <dß=, nh°ng viác tính ng°ÿc l¿i tÿ y tìm l¿i x là rÁt <khó=, á đây các tính tÿ <dß= và <khó= không có các đßnh nghĩa chính xác mà đ°ÿc hiáu mát cách thực hành, có thá hiáu chẳng h¿n dß là tính đ°ÿc trong thßi gian đa thāc (với đa thāc bÁc thÁp), còn khó là không tính đ°ÿc thßi gian đa thāc! Thực tÁ thì cho đÁn hián nay, viác tìm và chāng minh mát hàm sá nào đó là không tính đ°ÿc trong thßi gian đa thāc còn là viác rÁt khó, cho nÁn <khó= th°ßng khi chỉ đ°ÿc hiáu mát cách đ¢n gi¿n ch°a tìm đ°ÿc thuÁt toán tính nó trong thßi gian đa thāc! Với cách hiáu t°¢ng đái nh° vÁy vß <dß= và <khó=, ng°ßi ta đã đ°a ra mát sá thí dā sau đây vß các hàm mát phía

Ví dā 2:

Cho n=p.q là tích cÿa hai sá nguyên tá lớn Hàm sá y=x 2mod n (tÿ Zn vào Zn) cũng đ°ÿc xem là mát hàm mát phía

20 Ví dā 3:

Cho n = p.q là tích cÿa hai sá nguyên tá lớn, và a là mát sá nguyên sao cho gcd (a, (n)) = 1 Hàm sá y = x a mod n (tÿ Zn vào Zn) cũng là mát hàm mát phía, nÁu gi¿ thiÁt là biÁt n nh°ng không biÁt p, q

Hàm y = f(x) đ°ÿc gái là hàm cāa sÁp mát phía (trapdoor one-way function), nÁu viác tính thuÁn tÿ x ra y là <dß=, viác tính ng°ÿc tÿ y tìm l¿i x là rÁt <khó=, nh°ng có mát cāa sÁp z đá với sự trÿ giúp cÿa cāa sÁp z thì viác tính x tÿ y và z l¿i trá thành dß

Ví dā 4 (tiÁp tāc ví dā 3):

Hàm sá y = x a mod n khi biÁt p và q là hàm cāa sÁp mát phía Tÿ x tính y là dß, tÿ y tìm x (nÁu chỉ biÁt n,a) là rÁt khó, nh°ng vì biÁt p và q nên biÁt (n) = (p1)(q-1), và dùng thuÁt toán Euclide má ráng, tìm đ°ÿc b sao cho a.b ú 1 (mod ñ (n)), tÿ đó dß tính đ°ÿc x = y b mod n à đây có thá xem b là cāa sÁp

21

1.4 K¿t luÁn ch°¢ng

Ch°¢ng 1 này tìm hiáu tông quan các khái niám trong sá hác và đ¿i sá, Tìm hiáu mát sá thuÁt toán, có thá liát kê thuÁt toán tính °ớc chung lớn nhÁt, thuÁt toán nghßch đ¿o theo Modulo, ThuÁt toán phân tích mát sá ra các thÿa sá nguyên tá, nh°ng thuÁt toán này góp phần xây dựng ch°¢ng trình vào ch°¢ng tiÁp theo Tìm hiáu vß các lớp phāc t¿p trong tính toán, các khái niám phāc t¿p tính toán, lớp phāc t¿p, hàm mát phía cāa sÁp mát phía