Cho đường trònØ:R& và một điểm M nam ngoai đường tròn.. Cho đường trònG:® và diém M nam ngoài đường tròn.. Khi đó ÓC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 48C.. Gọi 7 là giao
Trang 1Chuyén dé 19: MOT SO HE THUC LUQNG TRONG DUONG TRON
1 Cho đường tròn(Ø:R&) và một điểm M nam ngoai đường tròn Qua Ä⁄ kẻ các cát tuyến Œ@®
MAB và MCD thì ta có hệ thức: A⁄4.MB = MC.MD = MO? — RẺ M F
2 Cho dudng tron(O:R) va mot diém M nam trong dudng tron Qua Mké day cung AB va D
CD thì ta có hệ thức: A⁄4.A⁄8 = MC.MD = R” — MO” Of < † PY
3 Cho đường tròn(G:®) và diém M nam ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến A⁄4( 4 là tiếp SN b
điểm) và cát tuyến A⁄ØC thì ta có hệ thức: A⁄4 = MB.MC = MO? — R’ @
4 Cho tứ giác 48CD Hai đường chéo 4C và 8D cắt nhau tại 7 D
a) Nếu/4/C = ¡81D thì bốn điểm 4.B8,C,D cùng thuộc một đường tròn
b) Néu 4B và CD kéo dài cắt nhau tại Ä⁄ và A⁄4.A⁄8 —= MC.MD thì bốn điểm 4.8,C,D
cùng thuộc một đường tròn
5 Cho góc xy Hai điểm 44 và Ö thuộc canh Ox và điểm C thuộc canh Oy sao
cho 04.0B = OC’ Khi đó ÓC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 48C
| | > A AEB » ADIC (c.g ` | | _C - > AMAD 2 ANCE (cgc
5S) CA.0B =0C @ SA OC
oc OP
> DOnc ACER (e.g)
> BA = Ont - ARC
> OC la tếp ke; của dưa bền ngài NếD ABC
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho tam giác 4ÖC cân tại 4 Gọi (Ó) là đường tròn đi qua 4 và tiếp xúc với 8C
tại 8 Gọi (Ó') là đường tròn tiếp xúc với 1ð tại và tiếp xúc với 4C tại C Gọi 7 là giao
điểm (khác 8) của hai đường tròn trên Chứng minh rằng C7 di qua trung điểm 447
HD
Ta co: Bie ey (=2 4 sd BL)
> A MÉT c MCB (4.4) > NB_ MI
& MR = MI.MC @
Lai co: Ay = #8 (=3 sàỀ) + wa
>t > AL = Cy
4 = Cy (= 4 sd Ic)
Co: AMC lor hop Ae CG
> AMAL DAMA (9.4) 5 MA 2 ME
MC MA
=> MA = MLMC @
Te Ove Os MAS ME > MA= MB
> CL di pana a2 di cua AB
Trang 2Vi dụ 2 Từ một điểm nam ngoài đường tròn tâm Ở kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến
đường tròn (4 và Ö là các tiếp điểm) Tia 2x nằm giữa hai tia DA va DO; Dx cắt đường
tron tai C va E( E nam giữa C va D); doan thang OD cat doan thang 4B tai M Chimg
minh rang:
a) Tu Lứ giác @Ä OMEC là tử giác nội tiếp;
b) CMA= EMA:
Mey _ DE MC) DC
(Tuyển sinh lớp 16, THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm học 2011-2012)
HD ke Hứ -
Kia Bi tụ ~— ĐM.Dô = PE.DC
DN Do = DAY = “DE DC C)
EMA
20— ONC = 30°- Sec = 90° - OcE = -g0°- END
EMA
airs <u lo pkangide nyse ede AMEC>
Co chy ME = a ha HE = HE NC « NO.MO = ME MC _
b Or
cần
=> CMA
c) DE
HC MƠC MO ME A.M0E c> AMCD
ADRE WADA (gq) > AE „ DE _ ĐA
> (Ne + RE RE BE DA _ DE MC’ AC AC DĐ BC OT
Vi du 3 Cho tam giac ABC nhon ndi tiếp đường tron (O) AD, BE, CF là ba đường
cao(Dé BC,E€C4,F € AB) Duong thang EF cat BC tai G, duong thang AG cat lại đường
tron (O) tai diém M ; , ;
a) Ching minh rang bon diém 4,M,£,F clung nam trén cing mot duong tron
b) Gọi X là trung điểm cạnh BC va H là trực tâm tam giác 48C Chứng minh rằng
GH | AN
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Ưĩnh Phúc, năm học 2009-2010)
HD tom tak
a) GF.GE = GB.GC \ > GM.Gh = GEGE
GM.GA = GB.GC
> A 4 GNF aA 2B GEA
> GME - GER > A,H,E,E rã Hộ
by AMFE n§ ape shat > ME Diigy kim desig ánh AM,
| >HMLMA | RK o> pr
Ve duds làL KOK 5 nó HA J9 > eat
BK La hind bie Ahan | LJ || L]Ị]
>HK ẩk ga pide N cia BC
> M,H,N, K thang hang
A.AữN cá Ap GV, NM LAG, AD ANIM = inh
> H0 ke ie AAGS
> GH LAN
Trang 3Vi dụ 4 Từ một điểm £ 6 ngoai dudng tron tam O ké hai tiép tuyén voi dudng tron tai 4
và B Goi M la diém nam trén doan AB (M khac A va B, M44 MB) Goi C va D la 2 diém
trén duong tron sao cho M 1a trung diém ctia CD Cac tiép tuyến của đường tròn tại € và 2
cat nhau tại # Chứng minh rằng tam giác OEZ# là tam giác vuông
( Thi hoc sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thái Bình, năm học 2009 — 2010)
Rene hang aly Kak € thay hue on CD >
AOEF wens tai F
‡
P
MNEF vin he
rai ON.0E <cvy= OD= OA’)
ObFEA v§ M <oBEA vôi lôp -Á£ cm >
_fNOBF rộ: Hếp
nghi 'M0.ME
£ NAN®=MCMO = NOMF
Vị dụ 5 Cho tam giác 4ZC nhọn, kẻ các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H gọi K là
điểm tùy ý thuộc CD (K khác Œ và D) Đường tròn ngoại tiếp tam giác 5K và đường
tròn ngoại tiệp tam giác CEK cat nhau tai diém L khác với điêm K Chứng minh rang ba
điêm K,L,A thang hang va HZ vudng goc voi AK
\ HO SE 2 a al
Jaco: BEC = BFC = 20 men he gees BCEF nes
Ab AF = AC
dian the 2 ofa AK Voi duchy bom neni Gs ABFK
AB AE = AL
Cho tam giác ABC nhọn, kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, cho K là một điểm
tùy ý trên cạnh BC và khác với điểm B và C Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại
tiếp tam giác BFK và kẻ đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng
minh rằng ba điểm M, HN thăng hàng
HD tow 4h
Gx L = (BFE) NO (ceK)
| T =- AKN (BFK) | |
Ab.AE = AC AE Ls AE = ALAR
SB _AF = pera i ii il
> T= FON CH) S VETS aii, k thay hag
ALK = PH AD (= AP.AB) > HOTK nb hep
CK [2 Auth Jub ona GFK), KN Ad Anany lunb ona (CEK)
> M,R/E,N thang bộ Yên M.HỤQN TRO hào —