toanvdc ptnn b1 2 3 4 5 6

Trang 1 PHUONG TRINH NGHIEM NGUYEN __ CHƯƠNGI ; MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH NGHIEM NGUYEN Chả đề 1, Các phườm pháp sử Àụna định chất chia het TPhướu prap 4.. Tads plusang “hinl,

Trang 1

PHUONG TRINH NGHIEM NGUYEN

MOT SO PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH NGHIEM NGUYEN Chả đề 1, Các phườm pháp sử Àụna định chất chia het

TPhướu prap 4 Dua ve hang Fang ki, tường

Cold) Disa: Th lu cod, dưa v€ “eT 3 là In, E là sat SAB la coc bia fut

VDL xá Ú*'8k# it: daifit:cifBiBk:5E-T8i Ba) Xá nahiệa %”- 4+u + Sy = 2(x-

Ta«: ”- 4x4) + Sự = 2Íx-d œ &~- 2#(24+4)+ Suˆ+ 24 = O

«œ 4 2t Pui-Ò tấu PT -Ay-4

<> (œ- øz- + (y- Aan

& @ = 2y-1) + (yo) = 2 @

et 5 TÔ, P O Yay > O“(w-Ò <2

Ma 1u£ 2 reo (y- ny é $0; 11

x*MWs(w-D =o te @-2y-) = 2 <Lea>

° Valgr07<+ e[ 1e [3c

+.W:2 SŒ-2-Ð c1 @[-9 51 @ [=4

T7 MỊ +24 =O

tr y u=O+(x-O-)Ÿ =1 œ [* 1! 1 >( ) os th ofS +13

Vay phưag eid 4? ca cá 4 waluôàa (a.y) Aa: 452), (652), (250), (0; 0)

VP2 a sng I ng hin nguyen : Sx - 2u ty = 1+

Tea ent ot 2z +ừ F_ ]ie @&- d ot A = = At Vi @-y) > Onn OF 4a £AF

OLX <Ltt wae is Bagge rn x € 4054544

+ Vo = 0 Sx=-0 DS &- y) = AF <boa >

+Nel xt= 4 > (x-y) =13< Lea >

@W ¢-4o x= +2

+ Vdx- 2 => @-u)” AP bee AT 2-M =-Ì ipa 3 3 y=

lay mahiêm nguyen (ey) oun pườa ink dã ha |e (2; A), (2; 3) ( vied; ha), babdat

Jace: 4 TaRY= Re | Ay + Ay “_An- 4y = 32

«œ Ax a ca,

«_ |2x-— v4 dy A) = 24 = aT 415

về “pt + a” j- = 3

* BaD tac: j Secs See eT TT 2 be& nea -4

%~—| = 6 he& ty-1 = -S TP 11a =^ kxề J=-2

Trang 2

{I

x gu Œ tre: J2e-1 = Show #x—L = -S neg bO w= -2

oe dy-t = 3 hos 2y | -3 erent 2 hed y= —L

ay cas Vighib naywafn fey) cus “Tia, dl chp [= 2,8), (2-2), (-153), -45-Y)

‘Phung phap 2 '“Đw vẽ plưà "ki, ướt, SỐ!

Chá.b dầu: Pr plating Tain ve clang A(x; g5.@;w =c “Tang 38 AY), B(x, 4) fa che

bite Pur nu, cla mat gs! nguysh Ret các bien Pop A CY) BOL yD three Uso wa

NOH pp phn Fe ng hifer navyen' 2ey-R ty = 3

«+_ 2x~Úu-1) + ð-Ð =5

@ @x+Ð(-1)=S

QA va Za-\ Ne? dae ure s6| cua S von Xa:

4x+\| 4 -A| S| -S

Le O -\ | 2] -3

w-\ Sil l-S 1A -1

9 3 -21} 4 O

Nâu phacong lid be leak nghêm aaws Ú&› d3 È: (S;>),Cu-23, œ;Ð0,+;©)

X2 Ta apie nguafiin La plukong iưển: X”~ 24 + 30 ~ 5% + T = O

Tacð: X”~ 20 + 30-54 41<O @ 2 ~ x24 vSỒ + 30+†=O

é 4⁄7~4x(2zu+ SỒ + 129+ 28 = ©

« 3x — 4.2% (2+5) + Ơu + Ss) l= Ay + 29u + 25 - 12 - 2Ä

œ (2 - 24- s) = Aw dy -S= G+ 2) - +

S (20+ 2) - (2x-2y-s) = t & (2x-2)(24-x+1= + @

VireY nguafoe min $e plating bird @ tach coc budony bap Som:

TH$S:\ &-3= t „| —È 2L = SỈ H4: @-3 =-\ 1p me = |

Vay car nghin nyguyh Gay) cite plating hind be: C2;-29,(251,($5), Us-a)

VD2 Gi dưng cá ong inh nghibeo ght 38 nawfen: %+12z x +12" = ur =U

Thuau Vài Agr cho ee (+ 6) -y= 36

_ Gio pers ry) = 46

De as ini chin "BS vin sỊ | maj@s Mar —y caing lz nghim nen ta gid sd y > O

2 dõ N+ 6-y 4 #tếr+t

Ni +6 -y)4 +6 + 9) 3œ 1,6) kee > X+6-Y va Kre ty clay chan

Œ +6-v)(x+€ TY) = 36

Ded to net cic butaly DP Sow: @

Mh peters “4 @ [tre jerity ede @ fxa8

Trang 3

S TRH ETCHY = ho gy rae

Nu platens “isn C8 cae nighif ra So Cry) tas at al tear (45 8), (45-®

we NR at: ICH kde al ld, deel babe Rate ngurfin thang AE 4) ded tinh chấn để

TH3: lake +N -6 w= -42

Plutong prop Bide th mat an thao Gin cin bi nis ding tle chat chia hat

+ Dau hide: oo 140 bed > bist didn dn riagy Hus ah com Noi» ding te Vớu SẼ nguyn

NL Tin cao 86) ngwadn x.y Theo man: x + y-24y- 2-5 = O

Taco: Sota byl obyl dle Lb © N“#)- -x+†z+5 @

+ xe 4 Tñ ®< 0-36)

De wie WR Bi R-2 max ngu‡ền sờ g-2 |e vex cun 3, do de:

29 R-2ES-B,-1, 1,35 5S RE F-14415 3584

% =-Ä >W=-1;+~=1>u=:5; Re beyert oe Se ye +5)

Nàu phường link cả nglSns (uy) ngwqen lx tts -1),(1;~52,(3; -3) ; (5; =5)

VP2 Ja yD" nghậu CER Ge duvong ee cura plulong hành Sau: xài ~ 24—30+4 = O Pe +9 3

aco RY - 2# =0 +1 =O @ vu(%-đ) = 24-4

Te [a Reh n= 2 ly Lk mgs 1S dt + 3 >U = = a ‘ => = Zz-{ = ace “+ Ss n

DE y la ngư x-2 lat Wel ode |S

+R Bd HM ob ae oe Ge Fz

40-3 =-1 a= 2,42 2-S=-2<Lai>

+e-32 5 x| =2 < Lạt

“Phuong phap 4 Tads plusang “hinl, ban đầu dÑonb cac gic bi reuse 4£ wet

VDL Tim nghian ah mang mayo cad p ủd phê hành: J 2 Zu*+ x 2u +u+ d= xt aye „+ Map

ac: Qeyr+ 43+U+41 = 4+2”

& AD RAN - cho v4 =O @

Nha that 2-1 lig la rghit cl D min wt x4, chin 2 ve! oun D cho x—1 de được:

ay - RY + A = O ®

hưu, Si, cá giêm 4 ngusfin > A guia min 2-1 EYs-44 >| 2'G

+ Vã L =O» Wry-l=0 SYDUy +O =0 ela = -L < Lea >

+ VMax=2 2y-y MS Eee Hares

Này yutang hinl AS che cd tylSe gry (ang) la (254), (54).

Trang 4

Phitong phap 5 ữ ss! À hig ve

\DOL Ching veil Nang, cau pions: ai, Sau gig ok ng ve u42

a) R= y= 1338 by tự ve

+t

Do x Les yen R= 2k ha$ % = He +4 (ke Z) ảds 32 x?- Ale k¿§c a= A 4 Ale th

Vial at che Gam he 4 Ren ©

Neg ara Et ° cha +2 Luss div 1 ho ©, yi chia 42 2, du 1 ña$ O

aera cea at Ae © dam ek fg tt cle

HN Wt ddstald bono, yi chia 42 Las dw 1 ho® ©

ett ite ao fee + he 2.Mä 1393 cÌáa cho 4 dự % rho

ue pe ee của phutong hind: 3z++=” +U

Fac: Sere Tà > Grid = 0012 ® > VIO v2

y= Bhp L S0 nộ SE ee: :3 <Loa >

Vai 9= 2k++ (k€ Z)1Äza we ® ta Adee: Ax 4+ 2 = (Sk+D(3k +2)

+ 2x +42 = 4k ”+93k+2

+ = kh+k,= k+ Ò<HÊ lothee xá»)

Noy eg hide nguyen ( 3) dan VẢ: "ts ke; 3 vời k

`D32 Tro ty Aa se Aƒ nHuổn d»a môn: x 4 2%= 3026

HD

Ket y= 0 > +S = 3026 5 x= 3015 wa EN & = SS

KY G >0 + 49¡% mà #hoisckssdv s1 <vr+ - 2L >x =8:.3,kéZ>

%= atte >3 = 4lˆ toh +(

ax tlh abel litle fade dl

> x4 83 chia che ® Àd © bos 1 ma es ea df 2 <3

Vận ph+x inl cỏ nghirn nga À4 v8} (x.y) =GS; 0)

MP ng eee ty= SI lehtig có mạhuận ngay,

Aa of hin, locP- Ty = SIO co mghiém ngwyen

+ Ad xe thot (kEZ th x® chs cho tdy 1 Ao® 6

+ Ñd n= hr2(kED th x>chachs ded RoR 6

+ Met c= Fe4703 đa) thi x2 din hot dvd le 6

> NTO Ide chia che F Nes 1 Mase 6 cm VP® chic do tdi 2 5 O v2 Ly

*» NAS Aad

+ Tam ¬ hap nit se! di Loa ut! +R! os As Meat Uo ed 18 ngs

+ Ngà “khây ain ta aie wali aged egy dea We aera 'dd tig ve!

+ \G chia 2 vel che nm KRY thud Ván ca Hà se! hay Thin và phat bai

Trang 5

Tướng phap 6 Sit dung tink chain te |

Nba ie 3 VG uujto W4sa mã v~ 2x7= 1

H

Jad: 0 =2 La vg sex tr »

poe = 2k 2k = 2k(kH)

4 ofl! >xX: 2 xà Hla 8ã

| torah Clef 12 = ® Vig feng 8 fay) ce poy ta ric ee Ts

VD2 Tim i grin nguyen cone plusavg hid, (2x + su+1)(2'” +y +X + x)= 105

Tack "e+ sy +HQo™ SOS ES 195 @

Ta thay os Pel S 20 + Sy Lies, >

x = OVD

Gy +O(y +) = ASS & Su” + by - -194=O & Y- #) (Sy +26) = 0

os < Leal >

Slash

Yến no Pee thea tile œ, +)

Ta pháp T1 Số dung tin chat php chia hat vs phip dia co dif

cms agi guy bi Aubry cia plutons bir 6x 4+ 5y"

oT

-44 ®

Th cà: 6x +L Sub = TH & 6Œ T4) = S(©- > © :

„@ > CLE 14): B su Ihde (els) = LÊ 1P, > x-5tt4 (tEN) thay van © > 65t >= SUS-Y) = Gt = 19- y & u.=19-6t

= 2À: eS = ok ak b « >© ,tS5t+3$sO 2 ¢to-t Cos om + -tetee, Sten

Vay Criyp = (3; 2)

VWD2 He 2 wag xu» của thường Tính 3 ˆ~ Sự = 2T

Do x là số nguyên nên ta có thể biểu diễn x dưới dạng: x = 5k hoặc x = 5k +1

hoặc x = 5k + 2 với k€ Z

Xét x = 5k thì x2 — 5y? = 27 © (5k)2 — 5y? = 27 © 5(5k? — y?) = 27

Điều này là vô lý vì về trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn về phải không

chia het cho 5

Xétx = 5k +1 thì x? — 5y? = 27 © (5k + 1)? — 5y? = 27

Điều này là vô lý cũng vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn về phải

không chia hêt cho 5

Xét x = 5# 2 thì x? — 5y? = 27 © (5k + 2)? — 5y? = 27

Điều này là vô lý cũng vì về trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn về phải

không chia hết cho 5 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Trang 6

Cha ae |2 Thưa pha Sử đụng Beak Aang aie

a Pak ding {Ñm, AM- đM (CSw2

+ Val ab khang Am taco: “4 ath, (cb Dal- alha-b

[

+ Va abe kiêu Gm tack:

a+E+c 5 Vobc Dai - cả là 4 =bL- ¿

K Brak ding thik Condy — SCluwarz < Bauwrhiaceprlei »

@ằ+E+e2(x 2q 7++39 & @x + bu + cz)

Dad = ndyra di f6 3x k +0 seo cho a= ke, b= ky, c= ke

aH in agttie eg un cao pha Tih: %ˆ~- 2 + y= 3

Jaco: x*=-xyry*= 30D © x my + Ye _ 3-28 @(@- gy 3~ 3a

2

Ni (x-2)"z O Vxu > 3- 2 > O @œ y 24 >-2<ythd

Ways ed thay yas @® †z được %+2x# +4: 3 &ø (+H) "= oe x= 2

+ No ys 1 đRm ves @ ta dive a+ atl = 2 @» Œ-)(x+2)=© @œ ee

+ Va y= O » x= 3 Cleat >

- Za 4= Val y =t D> xt = 3BQWUM-K-2-0 & AH(xr-D - O © Pert

+ Mã yo 2s > By-SO R41) -9 6 nid

NBạ gin ngurfon Gri) cule pouromg hin fas (1) - 29, 25-1, (45-0, AH D,(0 0, D

NEDO a3 ml Ng wow cue phitng bin: 2L +34 +y = xy

HD

Do vai HS Oho Ley ls ast Aười xi Ge Kể (x| < ly)

eh cd am - 17+ xả tu” 2 xt Ixyl tụ @ yor y+ y= Su”

Na yto axes > xé€4-1,0;45

tliat ge L 4! | +2 vĂa Tài + được 1- đa” be, Tọa) - 31

+ \ph we A dhoay va» plướn Wink da được Ary ry ay @ 9 =-L

Nây ma Lấy, "3= Œœ;\Ð da vÌ le (0;0),(49-0, CD

V3 Tis sy nauise dubong tesa wan: (a+b GỞ tụ”) = 44”0

Prp ding GBT AN-—GH dace: 14 > 2-19 = may sn bhi x= L

L+y" > 2ry - Dor - nay aa hi R=Y

Do ry durmry afi hes od lt cham BOT £8 da Aye

@ t+Ô(x +ự^2 > Ary

1ã - nay aa Wha =a =4

ay) px Tà có vwluờa dua) nkat (x; y) = 4)

Trang 7

Phiang phép 2 Phường, phap sip nép the hi cae dn

NBL Ti hii v39 Aaldny Cte prong Wie: yz = 2(a+y + =>

Ta ob: Xu? = 2Íxtg+z2 và xụ # CN?

+ Not ohn att @ (> Lyte dé +» 2(wtqx+):2, i2: 4 <Ìsz>

Pa w= 20,4 Qe, eed! đen kết há doc: &akc = 4(a+b+€} 24c clarbke (WH a, _

a pat ect = atrb+ce B® = 2b2 2 > abel

Oz tịcc Ð„, >(%u,2-= (259; 4) vẽ œcks2» v

Ket 1uảuy lap nay th 2 2 À8 1% - #4 <4 MT ee a A Be

œ lu xu =5,a<L » # =4, œ-0(3-0 = © > fe > <1M5

=A } 5-1 SH

\ — 1) >,# =

SA pay = pL EE xe 4,223

+ Ne 9= J > xzu=1, + - 2(2+z) <VLsẽ ñ z>OÈk

NS 2 he vgn dng 6o), các tưng Àuwø cna tik) Nae | Cela PER ears bet cde, Eaa|u

(173; 8) vẽ ca) lưu vụ VD4 Tim nghận wguện Àion ca gÙ: Ý tủ =#

Phony hal Ag che vet ta in: Wye = K+Y

"Ve st Dey > Wt = L+AYS Wy Dre “2

+N@erz- 2s ~=1,t=2 >u=+}

+ Net xetst = 2-2-1 5 - ©<L:a>

2u vatÖn vao Àeu (mạ3)c6s phdag bil fá: (1;A;23; (25 254)

hướng phap 3 hương phap danh gia kep quả

Pek oe ea ae nt <@+Ðˆ (ma 6 N)<€L a-|<f<-dœ

< ` <‹@Ñ@Ÿ (vàn a €c Z) > ø<n <a+l ak< mk <(a +4)

2Na c<n<@t2) vraeNnez th nar) "lại [

del gk Gia) rae N, “ez ea - @39)) „

m"= (4+4 2)”

a Noa y(y+d).- (yr) = (Œ% +L)(X€+tL+3) (x+i+ w) = Y= L +b

n= art

w=-a=1

Lv

Trang 8

VDA we ait nguyor cha phutang hành: A+ + 9 + 2° =dqŸ

‘Jaco: Tạm % s #t#++l= Œ&+}) tẩ> O > #<u”

Xai @+2)- ` - (+ 2) -# '+xz+x+Ð

M x + 6x + M20 4+ - x - %”~x-Ä a

Sx + +Alx +t = 5(x+ 3 (x 2x 1 1% † iD 4 3s ¡4⁄29N+4-4/24

S uynas Ble yr<(sc42) > #<vd<#+2 > ya Rt! <u xy © Zp

> 4†Xt + # =(W#) «<» #(x+1)=© «œ[

âu nahộn nauxên (my) của phưt>w Mai, fe: (0; 4), C450)

HD

x=O > hà “Ly ye 0 4 let thse man ? 2 °

at mee Veta 2 D> y > Game

Tacs: (Yt) - 2% = yrayr ag rl- (gir ay tay ri) = ys Os x

x Va r= Nao oe = + + 344l @&2M +$4u+4 - O

er 9 = ~F loa

® W3 x= Yr, Ray va ta doe (y+) = Yt yrs By tt & yr =

Nay ng hiển Nig ayo Cx, y) Của platong hinb ao alls la: 3.0), (-t;-

<ly HW)

Oo Se y=O X=)

VD» fins mị ngên ng uyjen BURE.NHI x “+ (si) = y" (yt!

Tacd: kc Fl@ad - 7 Ht)" œ 20, + WM+4 = trú + by ei)

«œ 2x 7+2x +® - 3 y* +lyr +yrDty] = Qty +y Hy vi" +M +1) tụ?

«> 2X +24+2 =( +u+1) 3+ ( + +1)

& a+ 2+) = SN NA BCT +4 +4) = aye yr

Ka plutang “Win, tn ne hide nguyen won: 4 Rd = bE

inane Bo > Re Ba tlelk < wrod » eke

+ Na x<-1 => +0 =122#11< x”+#z + =kˆ < 47 @LD < k°

> kl5x 12 lạ kạx € Z thea ma an

+ N& R= -1 they vao > red ae qa kèằo>

Vay n be, nguyen (xa) caa plutons inh La: (0; 0), Coy-1), 43.0), (145.4)

+» NRan net: nộ parte tet ay ase TÌN diay Bc Lip va cing b&e va Lx du clue Li

chil Bay Ay the

Trang 9

Tưau pháp Cu as Lys age ne vsjeo Inge 2 b2 cac, dựa ST là binl, platong

Tacks x 2x +y= 4œ len 2x +(y ry 9) =

S

_M@-Ð) xo» - =w†lOÐyO<» U 2w -Iố “O @œ 4+ +r2u < 4Ô

& (yt) 2 4

> (4+)e€ {4495 254

15

2u+ll A | -A 4_ | -$ S

| 4| O|-2 | 2 -4 4K | || | +46

U O | -Ì A -2 2 im ~

Leat | Laat | 3 hen -1

| #% | Leal} Leas 2 `

Và nahồn ngage Cm y) của Phan Tên Ae ‘ei 2) C1; 2), (3;- 3), (45-3)

VDL Tim aie oh dhiong ciia phtany “hinh: S + 4

Chin 2 ve oda phifong thin cho S® ta được : (sy + = 1 @

“Thị 3g) + - 1 khá 12.10 T1 TT

Noro ta Wye ues "`

"Ndixz3 > (SY ‹($ŸÝ; Ay < (4) (ey ay <(4)+(4)- L

Mầu x- 2Ì: vali dey what ca phiog Tab |

* BIVN 24/8/2023

Giá: guưan kế, njện ngoỆn oÃ + x”~ 9 hp =| G®

1

Ta có: x* —y* +24 + 2x?z? + 3x? + 4z? + 1= 0(1)

Ta có: 3x2 + 4z? + 1 >0;x?+3 >0 nên

(x* + 24 + 2x2z? + 3x? + 422 +1) — (3x? +422 41) < y* < (x4 +24 4+ 2x72? +

3x? +4z% +1) 4+ (x? +3)

Do đó: (x2 + z?)? < (y?)? < (x? +z? + 2)? = (y?)? = (x? +z? + 1)”

Phối hợp với (2) ta có: x? + 2z? = 0 > x = z = 0 Từ đó ta có: y = +1

Nghiệm nguyên (x, y, z) cua phương trình trên là (0; 1; 0) và (0; -1; 0)

Ta có: x + x? < x# +x? + 10 < (x† +x? + 10) + (6x? + 2)

1)=(x?+1)(x?+2)

Do đó: x?(x? + 1) < y(y — 1) < (x? +3)(x? +22 DO — 1) = (x? + 2)(x2 +3)

x* + x2 +10 = (x? +1)(x? +2) x* + x2 +10 = (x? + 2)(x? +3)

Ket hợp với (2) ta suy ra: suy ra |", 1

xe =

Từ đó: x = +2,x = +1

Vậy nghiệm (x,y) cần tìm là: (-1;-3), (-1:4), (1:-3), (1:4), (-2;-5) (-2;6) (2:-5) (2;6).

Trang 10

Clu de 3 Se es tinh chat caa s&' chinh ee mui tì vn rer

See hư Ấn eae lên ‘abe chia Fat! che pt

+ $S` chủ, phatong Ichi chia cho 5, cha 9 ch œ {8Ø dự 0,4, 4

+ Sel dhin phương Để chia che 4,2 thi s6/du dew lad

+ Sa! ch}, pluton hi chia che 3 chi ch Wa? dw 1,4, 4 Rode O

» Ngoai ra: ab = (ab, EZ)

Nat ab la 2-36! S vs» 4 2AZ vì m, “Cm ne N

x Mật:sẽ! vì dụ

NDI Tila gh ngu cáa tươơg hộ: % + 2z = Su+€

tịb

2st ki as +e 12 25s vua» {iin nop mà TA MU 2 một sẽ! chin, phuang mon mat trong

+ Net we bot uz-»®>#z=2

Niâu phưi»»a navy in Cx, 4) 1s + 2), (85-3)

VD Tir cac nghiền ngwfev Của phường hai, Ix + Ana ID- 2u” @®

HD

Taco: 207+ An = 19- 2S 2(x+:Ð)” E ¿99 ®@

TiO > & Ta đa mg: bế

Mat bids aie Ow Gat) z 0 > y= + hp

Thay 4” = 1 ye ODO DS 2xtN 24 y+ x11 = 423 @ peat

=-4 Mậu phường think co cac nghiiin nguyen (ry) la: (2) -a),(259), (- 45-4), AA)

VD3% “lim lại các Cấp s6 ngugen (2 Y) +ñŠa mãn:

%^- 2x?®+€x”- Ayr °2x + y+ 39= 0

HD

Tac: ?— 2X7 + 62" = Ayr S22 + +39=0

> xt 2# °*+ Ox - 222440 = Ay -4y +4

val @-23°(x*+ 9x+19) = - (2n =)"

EZ mn 2y-| +O > L$ 2

ps? K+ 24,410 = ™ “(meN”*)

SS 4p) +3Zem & @tH-—m\(xXtl+em) = -9 G9

x+lL-m z=-]

Lt) -m = -3 w2: Š

A xe $ > @y-0 = 25 >y=3 Most y = -2

* %=-5 S(-1) = 4205 S y= 18 how y = - 17

dee ee > Y= 5S wy Bs = -4

Tiêu đề	Phương Trình Nghiệm Nguyên
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Study Material

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	16,72 MB