Sách hình học dạy Đội tuyển quốc gia toán

Đây là sách hình học dùng để giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia toán. Ngoài ra có thể dùng để dạy chuyên đề hình học phẳng ở các lớp chuyên môn toán. Các lớp nâng cao ở THCS.

I O

CB

A

TÀI LIỆU HÌNH HỌC

LỚP 10

Đầy đủ kiến thức Bài tập đa dạng Trích từ các đề thi

2024

1 HÌNH HỌC PHẲNG 3

1 GÓC, TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, TỨ GIÁC NỘI TIẾP 3

2 LUYỆN TẬP GÓC (PHẦN 1) 9

3 LUYỆN TẬP GÓC (PHẦN 2) 14

4 LUYỆN TẬP GÓC (PHẦN 3) 18

5 LUYỆN TẬP GÓC (PHẦN 4) 21

6 PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG 24

7 LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG 28

8 HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HOÀ 30

9 LUYỆN TẬP HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HOÀ 34

10 ĐƯỜNG ĐỐI SONG 36

11 ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG 38

12 MÔ HÌNH TRỰC TÂM 42

13 MÔ HÌNH TÂM NỘI 44

14 MÔ HÌNH TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN 46

15 CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN, KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỈ SỐ 48

16 LUYỆN TẬP BIẾN ĐỔI TỈ SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN 52

17 BÀI TẬP TỔNG HỢP (PHẦN 1) 54

18 BÀI TẬP TỔNG HỢP (PHẦN 2) 56

19 BÀI TẬP TỔNG HỢP (PHẦN 3) 59

Để biến đổi góc hiệu quả, cần lưu ý các tính chất sau:

a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau và ngược lại dùng để chứng minh thẳng hàng

b) Hai góc so le trong, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau và ngược lại để chứng minhquan hệ song song ta sẽ dùng cặp góc này

c) Sử dụng các góc cùng phụ

d) Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau

e) Một tứ giác nội tiếp thì góc ngoài bằng góc trong đối diện, 2 góc cùng nhìn 1 cạnh bằng nhau

và ngược lại dùng để chứng minh 1 tứ giác nội tiếp

f) Dùng tam giác cân, tam giác cân trong đường tròn

g) Liên hệ góc ở tâm, góc nội tiếp, góc có đỉnh trong, ngoài đường tròn, hai dây song song trongđường tròn, hình thang cân

h) Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì bằng nhau, hai góc có cạnh tương ứng song songthì bằng nhau

i) Sử dụng đường đẳng giác, đường đối trung, cặp điểm liên hợp đẳng giác

j) Trong∠xOyvẽ hai tia Oz, Ot sao cho∠xOz= ∠tOy thì hai tia Oz, Ot đẳng giác

k) Cho△ABC Đường thẳng đẳng giác với đường trung tuyến từ đỉnh A được gọi là đường đốitrung ứng với đỉnh A của△ABC

l) Xét△ABC Lấy điểm P bất kì trên mặt phẳng không nằm trên cạnh của tam giác và cũngkhông nằm trên đường tròn ngoại tiếp Gọi da, db, dc lần lượt là các đường đẳng giác với

AP, BP, CP trong∠A,∠B,∠C Khi đó da, db, dc đồng quy tại một điểm, giả sử đó là điểm Q.Khi này Q, P là một cặp điểm liên hợp đẳng giác trong△ABC

cạnh-cạnh-c) Phép đồng dạng tương ứng, hai cấu hình đồng dạng, kĩ thuật gấp đôi - chia đôi, đổi cạnh

3 Tứ giác nội tiếp

a) Góc ngoài bằng góc đối trong, tổng 2 góc đối bằng 180 độ

b) 2 góc cùng nhìn một cạnh thì bằng nhau

c) Sử dụng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp

4 Phương pháp lấy đối xứng để chứng minh vuông góc

Trong các bài toán hình học thì chứng minh hai đường thẳng hay đoạn thẳng vuông góc luôn làbài toán phổ biến Đặc biệt tác giả gặp một dạng chứng minh vuông góc xuất hiện rất nhiều, nộidung khái quát như sau:

"Cho , lấy M là trung điểm CD, chứng minh∠AMB=90◦."

Phương pháp chứng minh đơn giản nhất là lấy A′đối xứng với A qua M thì điều cần chứng minhtương đương với chứng minh tam giác cân

B

1 Biến đổi góc

Mlà trung điểm của BC

a) Chứng minh AEHF nội tiếp

b) (AEF)cắt AM tại K Chứng minh EKMC, FKMB nội tiếp

c) Chứng minh BHKC nội tiếp

Mdi chuyển trên cung nhỏ BC Gọi P, Q là điểm đối xứng của M qua AB, AC

a) Chứng minh AHBP nội tiếp

b) Chứng minh P, H, N thẳng hàng

c) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để PN lớn nhất

Mlà trung điểm BC

a) Chứng minh BFEC, MEFD nội tiếp

b) Gọi I là trung điểm AH Gọi AH cắt(O)tại N khác A Chứng minh BNEI nội tiếp

(O) Dựng cát tuyến MCD (MC <MD) sao cho tia MD nằm giữa hai tia MO, MA Gọi E là trungđiểm CD

a) Chứng minh M, A, E, O, B đồng viên

b) Đường thẳng qua E song song BD cắt AB tại N Chứng minh ANEC nội tiếp

c) AEcắt(O)tại giao điểm thứ hai là F Chứng minh BF ∥CD

Đường kính AS

a) Chứng minh BFHD, CEHD, AFHE, ABDE, AFDC, BFEC nội tiếp

b) Chứng minh BHCS là hình bình hành H, M, S thẳng hàng với M là trung điểm BC

c) CHứng minh AO ⊥EF

d) Chứng minh DH là phân giác∠EDF Từ đó suy ra H là tâm nội DEF

e) ADcắt(O)tại H′ Chứng minh H, H′đối xứng nhau qua BC Từ đó chứng minh tâm(BHC)

là O′thì O′ đối xứng O qua BC

f) EFcắt BC tại T AT cắt(O)tại K Chứng minh A, K, F, H, E đồng viên

g) Chứng minh TH ⊥ AM tại L.Chứng minh BFLM, CELM, BHLC nội tiếp (ALC),(ALB)

tiếp xúc BC

Chứng minh CEXI, BYFI, BYXC nội tiếp Gọi M, N là trung điểm CA, CB Chứng minh M, X, Nthẳng hàng

điểm BC Kẻ đường kính AK của(O)

a) Chứng minh AO⊥ EF, BHCK là hình bình hành

b) Gọi d là đường thẳng qua H và vuông góc với AN Chứng minh d, BC, EF đồng quy

(I) của△ABCtiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F Gọi M là trung điểm BC AI cắt DE, DF tại X, Y.Chứng minh M là tâm(DXY)

trung điểm M của BC AT cắt(PDT)tại G.(AGP)cắt AB, AC, AM tại E, F, N Chứng minh D, E, Fthẳng hàng

2 Lấy đối xứng chứng minh vuông góc

nằm trên cạnh AB, AC thỏa mãn BD = BEvà CD = CF Gọi G là trung điểm EF Chứng minhrằng∠BGD =90◦

MB= MC Gọi K, L, N lần lượt là trung điểm AB, DM và AC Chứng minh KL⊥LN

giác ABC các tam giác đều BMX và tam giác ANY Gọi Z là trung điểm XY Chứng minh rằng

Bài 2. Cho△ABCnhọn nội tiếp(O) Đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi M là trung điểm

BC I là trung điểm AH Dựng đường kính AK của (O) Gọi P là giao AH với(O) P khác A.Chứng minh

a) AHEFnội tiếp

b) I Mlà trung trực EF

c) H, K, M thẳng hàng OA ⊥EF

d) ME, MF tiếp xúc(AEF)

e) Pđối xứng H qua BC Từ đó suy ra(HBC),(ABC)có cùng bán kính

f) Gọi N là giao(ABC),(AEF) Chứng minh MH.MN = BC2

4

Bài 3. Cho hai đường tròn(O1; R1),(O2, R2) cắt nhau tại A, B Giả sử AB cắt MN tại D Chứngminh DM =DN

Bài 4. Cho hai đường tròn(O1; R1);(O2; R2) tiếp xúc ngoài tại A Dựng tiếp tuyến chung ngoàicủa(O1; R1);(O2; R2)tại A là d Đường tròn(O)đường kính O1O2cắt d tại I Đường tròn(I; I A)

cắt(O1; R1),(O2; R2)lần lượt tại M, N khác A

a) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung ngoài của(O1; R1),(O2; R20

b) Kẻ đường kính NP của(O2) Chứng minh M, A, P thẳng hàng

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB kẻ tia Bx ⊥ AB Trên tia Bx lấy O sao cho BO = BA

a) ADNHnội tiếp

b) Dựng đường thẳng qua A vuông góc với BC, CD, BD tại X, Y, Z Chứng minh X, Y, I, Z nộitiếp

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có∠A >90◦ Đường phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại P,cắt CD tại Q Gọi O là tâm(CPQ) Chứng minh BDOC nội tiếp

Bài 8. Cho△ABCcó BC =a, AC =b, AB=cnội tiếp(O; R)Chứng minh

a) a2=b2+c2−2bc cos A (Định lý cos)

b) a

sin A =

bsin B =

csin C =2R

f) S = prvới r là bán kính đường tròn nội tiếp△ABC

Bài 9. Cho△ABC Trong đó AB=c, BC=a, CA =bKẻ AD là phân giác góc A Chứng minh

d) AD=

2bc cos A

2

b+c

Bài 10. Cho nửa đường tròn(O; R) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB Dựng các tiếp tuyến Ax, Bycủa nửa đường tròn Lấy điểm M trên nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M của(O)cắt Ax, By lầnlượt tại D, C AM, BM kéo dài cắt By, Ax lần lượt tại F, E Chứng minh

a) DMOA, CMOB nội tiếp

2 Lấy đối xứng chứng minh vuông góc

Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn(O) Lấy hai điểm P, Q lần lượt là các điểm nằmtrên tia AD, CD thỏa mãn AP = BC và CQ = BA Gọi I là trung điểm PQ Chứng minh rằng

∠AIC =90◦

Bài 2. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm AB, AC Dựng ra phía ngoài tam giácABCcác hình bình hành MBXX′và N AYY′sao cho∠MBX = ∠N AY=60◦ Gọi Z và Z′lần lượt

là trung điểm XY, X′Y′ Chứng minh rằng∠MZN = ∠MZ′N =90◦và ZZ′∥BC

Bài 3. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O) Kẻ dâycung BE song song với AC và BV song song với AO Lấy điểm G, F thuộc đoạn BE và BV sao cho

GF∥EV Gọi K là trung điểm GE Chứng minh∠FKC=90◦

a) BFHD, CEHD, BFEC nội tiếp

b) AD, BE, CF chứa đường phân giác∠EDF,∠DEF,∠EFD Từ đó suy ra H là tâm nội DEF

c) Kẻ đường kính AN của(O) Chứng minh BHCN là hình bình hành H, M, N thẳng hàng.Gọi G là trọng tâm△ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng và HO=3GO

d) P, Q, R đối xứng H qua BC, CA, AB

e) OA⊥ EF,△ARQcân

f) EFkéo dài cắt(O)tại E1, F1(E nằm giữa E1và F Khi đó AE1, AF1tiếp xúc(CEE1),(BFF1)

g) Klà trực tâm△IBC

h) ME, MF tiếp xúc(AEF)

i) (AEF)cắt(O)tại T Chứng minh M, H, T thẳng hàng

j) RDcắt(O)tại D1thì AD1chia đôi DE

p) Giả sử BC cố định, A di động trên cung lớn BC Tìm A để HA+HB+HClớn nhất

q) Giả sử BC cố định, A di động trên cung lớn BC Tìm vị trí A để EF+FD+DElớn nhất

r) Giả sử BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC Tìm vị trí A để DH.DA lớn nhất

Bài 2 (Mô hình tâm nội). Cho△ABCnhọn ngoại tiếp(I)và nội tiếp(O) Gọi D, E, F là tiếp điểm

(I)với BC, CA, AB AJ kéo dài cắt(O)tại giao điểm thứ hai là K Chứng minh rằng

a) KB =KC=KI Tức là K là tâm(IBC)

b) BI, CI cắt EF tại M, N Chứng minh IEMC, I NFB nội tiếp

c) Kí hiệu R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp△ABCthì ta có R2−2R.r =

OI2(Công thức Euler)

d) Gọi K′ là tâm đường tròn bàng tiếp góc A (đường tròn tiếp xúc BC và phần kéo dài cạnh

AB, AC) Khi đó ta có KK′ =KI=KB =KC

e) BI, CI kéo dài cắt(O)tại X, Y KY cắt AB, BC, BI tại B1, B2, B3 KX cắt AC, BC, CI lần lượt tại

(e) I là trực tâm△KXY

(f) Gọi J là trung điểm IK thì AB3C3Jnội tiếp

f) Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD, DF tại E1, E2thì E1là trung điểm EE2

g) DIlà phân giác∠MDN

Bài 3 (Mô hình tiếp tuyến, cát tuyến). Cho đường tròn(O; R)và một điểm M nằm ngoài đườngtròn(O), qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O)(A, B là các tiếp điểm) và dựng cáttuyến MCD sao cho MC < MD Gọi E là trung điểm của CD, đoạn thẳng MO cắt(O)và AB lầnlượt tại I, H Khi đó các tính chất hình học sau có liên quan đến nhau:

a) 5 điểm M, A, O, E, B nằm trên một đường tròn

b) MElà tia phân giác của góc ‘AEB

c) MA2= MCMD

d) ACAD = BDBC

e) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

f) Tứ giác CHOD nội tiếp

g) ABchứa đường phân giác của góc ’CHD

h) CAD’ =BHD.’

i) OEkéo dài cắt AB tại K thì KC, KD là tiếp tuyến của(O)

j) AEcắt(O)tại giao điểm thứ 2 là F(Fkhác với A) Khi đó BF∥ CD

k) Tia CH cắt đường tròn(O)tại giao điểm thứ 2 là P (khác C ) thì DP∥ AB

l) Đường thẳng qua E song song với BD cắt AB tại N Khi đó CN ⊥OB

m) Vẽ đường kính AQ, các đường thẳng QC, QD cắt đường thẳng MO lần lượt tại X, Y thì O làtrung điểm của XY

n) Đường thẳng qua trung điểm E của CD song song với AD cắt AB tại F, DF cắt AM tại N1,thì N1là trung điểm AM

o) Qua M dựng cát tuyến thứ 2 của(O)là MC1D1 Chứng minh: CD1, C1Dcắt nhau tại 1 điểmnằm trên AB

p) Giả sử MC cắt AB tại K Gọi L là trung điểm MK ta có các hệ thức sau tương đương nhau:(a) KCKD = MDMC (∗)

(b) LM2= LK2 =LC·LD(Hệ thức Newton)

(c) ME.MK= MC.MD (hệ thức Maclaurin)

q) Kẻ đường kính CC′của(O), đường thẳng đi qua trung điểm của BD song song với BC′cắt

C′Dtại J′thì J′ nằm trên một đường tròn có bán kính không đổi

r) Giả sử M cố định, chứng minh: khi cát tuyến MCD thay đổi, trọng tâm G của tam giác BCDthuộc một đường tròn cố định

s) Giả sử M cố đinh, chứng minh: Tia BO cắt O tại giao điểm thức 2 là L ( L khác B) Đườngthẳng ML cắt(O)tại điểm thứ 2 là T (khác L ) Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp tamgiác ATM luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định

t) Giả sử M thuộc đường thẳng cố định(d) MO cắt AB tại H Chứng minh: H thuộc đườngtròn c định

u) Giả sử M cố định nằm ngoài(O)cát tuyến MCD thay đổi quanh điểm M Đường thẳng BEcắt đường tròn (O)tại giao điểm thức 2 là B1(khác B ) Tìm vị trí cát tuyến MCD để diệntích tam giác MB1Dlớn nhất

v) Giả sử M thay đổi ở ngoài(O) Đường thẳng qua O vuông góc với MO cắt các tia MA, MBtại S, W Khi nào thì diện tích tam giác MS W nhỏ nhất

w) Giả sử MO=2R, cát tuyến MCD thay đổi quanh Tìm vị trí của cát tuyến để EA+EB+EMlớn nhất

x) Giả sử MO=2R, cát tuyến MCD thay đổi quanh M tìm vị trí của cát tuyến để EA1 + EB1 nhỏnhất

B

Bài 1. Xét một đường thẳng d Cố định ở ngoài(O; R) (khoảng cách từ O đến d không nhỏ hơn

R√2) Từ một điểm M nằm trên d dựng các tiếp tuyến MA, MB đến(O) Dựng cát tuyến MCD(tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC< MD) Gọi E là trung điểm CD H là giao điểm AB và

MO Chứng minh

a) M, A, E, O, B đồng viên

b) MC.MD =MA2 =MO2−R2

c) Các tiếp tuyến tại C, D của(O; R)cắt nhau tại một điểm nằm trên AB

d) ABluôn đi qua một điểm cố định

e) Một đường thẳng qua O vuông góc với MO cắt MA, MB tại P, Q Tìm GTNN của SMPQ

f) Tìm M để AB nhỏ nhất

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp(O) Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại P Gọi Q, R là haiđiểm bất kì trên cung CD không chứa A, B RA, RC lần lượt cắt(PQR)tại L, K khác R PK, PL cắt

BC, AD tại M, N

a) Chứng minh PQND nội tiếp

b) Chứng minh BC, AD cắt nhau trên đường tròn(QMN)

Bài 3. Cho đường tròn(O) và điểm M nằm ngoài(O) Qua M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyếnMCD, MC< MD Dựng AH ⊥ MO Chứng minh CHOD nội tiếp

Bài 4. Cho△ABCcó ba góc nhọn nội tiếp(O) Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.(AEF)cắt

(O)tại N AN cắt BC tại M

a) Chứng minh M, E, F thẳng hàng

b) Đoạn ME cắt(O)tại X Chứng minh AX tiếp xúc(XHD)

Bài 5. Cho△ABC nhọn đường cao AH Đường tròn (O) đường kính AH cắt AB, AC tại D, E.Đường thẳng ED cắt BC tại M MO cắt AB, AC tại N, P Chứng minh

a) MH2= MB.MC

b) OP=ON

c) DEcắt HN, HP tại R, Q Chứng minh BR, CQ, AH đồng quy

Bài 6. Cho đường tròn(O)và điểm A nằm ngoài(O) Kẻ tiếp tuyến AB, AC tới(O) Gọi I là giao

OAvới BC Kẻ dây cung DE của(O)đi qua I

a) Chứng minh ADOE nội tiếp

b) CHứng minh∠BAD = ∠CAE

Bài 7 (Đường trònEuler). Cho△ABCnội tiếp(O; R)Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi

X, M, Y, I, Z, T lần lượt là trung điểm AB, BC, AC, H A, HB, HC Khi đó 9 điểm D, E, F, X, M, Y, I, Z, Tcùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm OH Bán kính bằng R

2

Bài 8. Cho△ABCnội tiếp(O) Đường kính AD M là trung điểm BC H là trực tâm△ABC Gọi

X, Y, Z là hình chiếu D lên HB, HC, BC CHứng minh XYZM nội tiếp

Bài 9. Cho hai điểm A, B cố định và C di động trên mặt phẳng sao cho∠ACB =α(0<α <180◦).Đường tròn tâm I nội tiếp△ABCtiếp xúc AB, BC, CA tại D, E, F AI, BI cắt EF tại M, N Chứngminh

a) MNcó độ dài không đổi

b) (DMN)luôn đi qua một điểm cố định

Bài 10. Cho△ABCnội tiếp(O) P di chuyển trên O Đường thẳng qua P song song BC cắt CA tại

E Gọi K là tâm(PCE)và L là tâm đường tròn Euler của△PBC Chứng minh đường thẳng qua Lsong song với PK luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên(O)

Bài 11 (Đường thẳngSimson, Steiner).

Cho△ABC nội tiếp (O) P là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC Gọi D, E, F lần lượt là hìnhchiếu P lên AB, BC, CA X, Y, Z đối xứng P qua AB, BC, CA H là trực tâm△ABC

a) Chứng minh D, E, F thẳng hàng

b) Chứng minh X, Y, H, Z thẳng hàng

c) Chứng minh DF chia đôi PH

Bài 12 (Định lýBrocard). Cho tứ giác ABCD nội tiếp(O) AB cắt CD tại E AD cắt BC tại F.ACcắt BD tại G Chứng minh G là trực tâm△OEF

Bài 13 (Định lý con bướm). Cho dường tròn(O) Dây cung AB M là trung điểm AB Qua M vẽhai dây CD, EF (C, E nằm trên cung nhỏ AB, D, F nằm trên cung lớn AB).CF, DE cắt AB tại X, Y.Chứng minh MX =MY

Bài 14. Cho△ABCngoại tiếp(I) AI cắt BC tại D Gọi E, F đối xứng của D qua CI, BI Gọi M, N

là trung điểm DE, DF.(AEM)cắt(AFN)tại P Chứng minh AP chia đôi BC

Bài 15 (Bổ đề hình thang). Cho hình thang ABCD (AB∥ CD) Gọi M, N là trung điểm AB, CD

ADgiao BC tại P,AC giao BD tại Q Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng

Bài 16. Cho ta giác nhọn ABC đường cao AH phân giác trong góc ’BACcắt BC tạ O Qua O dựngcác đường thẳng OM vuông góc với AB và ON vuông góc với AC

a) Chứng minh 5 điểm A, M, H, O, N cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AH là phân giác góc ÷MHN

c) Đường thẳng đi qua O vuông góc với BC cắt MN tạ K Chứng minh KN·AC =KM·AB

d) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh A, K, I thẳng hàng

Bài 17. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp(O), tiếp tuyến tại A của(O)cắt CB tại K, kẻ tiếp tuyến

KDvới(O) Gọi E, G, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB, BC, CA

a) Chứng minh: KA2 =KB·KC

b) Chứng minh: ABAC = DBDC

c) Chứng minh: BC =2R sin ’BAC

d) Chứng minh: G là trung điểm của EF

Bài 18. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp(O)có trực tâm là điểm H Một điểm D nằm trên cungnhỏ BC, gọi E là điểm đối xứng với D qua BC, đường tròn ngoại tiếp tam giác ODE cắt AD tại G.Gọi J là giao điểm thức 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác AGO với AH Chứng minh:

a) J, O, E thẳng hàng

b) Chứng minh: G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JHE

c) Chứng minh: Trực tâm tam giác AGO nằm trên đường thẳng HE

Bài 19. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp(I), gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC Khi đó 3điểm I, M, N thẳng hằng Đường thẳng đi qua I, M, N gọi là đường thẳng Newton của tứ giácABCD

Bài 20. Cho nửa đường tròn đường kính AB Lấy điểm C thuộc AB sao cho CA<CBvà điểm Mthuộc nửa đường tròn đó Đường thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt tiếp tuyến tại A tại M1.Đường thẳng qua C vuông góc với M1Ccắt tiếp tuyến qua M tại M2 Chứng minh rằng M, M1, M2

thẳng hàng

Bài 21. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn(O) Các tiếp tuyến qua A, C cắt nhau tại

M Vẽ hình bình hành ACMBN Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn(O)ở D.Chứng minh N, C, D thẳng hàng

Bài 22. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn(O)các tia AB, CD cắt nhau ở E AD cắt BCtại F Gọi M là giao điểm thứ hai khác C của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCE, CDF.Chứng minh E, M, F thẳng hàng

Bài 23. Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, M, B về cùng một phía của đường thẳng AB vẽhai hình vuông AMCD và BMEF Hai đường tròn(O1)và(O2)ngoại tiếp hai hình vuông đó cắtnhau tại M và N Chứng minh rằng:

a) B, C, N thẳng hàng

b) A, E, N thẳng hàng

Bài 3 LUYỆN TẬP GÓC (PHẦN 2)

A

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn tâm O, D là diểm bất kì thuộc cạnh BC ( D khác B

và C ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC Đường thẳng MN cắt đường tròn

(O)tại P, Q (theo thứ tự P, M, N, Q ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B ).Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K

a) Chứng minh 4 diểm A, I, P, K nằm trên một đường tròn

và cắt dường tròn(I)tại N ( A nằm giữa hai điểm M và N )

a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn (O),(I) lần lượt tại D, E Chứng minh OI làđường trung trụcc của đoạn thẳng AH và AB+AC+BC =2DE

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyển trên một đường tròn cốđịnh khi đường thẳng (d) quay quanh A;

c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường trong(I)tại điểm thứ hai là T(T ̸= H) Chúng minhrằng ba điểm N, I, T thẳng hàng và ba đường thẳng MS, AT, NH đồng quy

Bài 3. Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp(O)có CD//BE Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại

P Điểm M thuộc BE sao cho ’MAB= PAE Điềm K thuộc AC sao cho MK song song AD, diềm L‘thuộc đường thẳng AD sao cho ML AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC cắt BD, CE tại Q và

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc(O)

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn(AB <AC)nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AD, BE, CFđồng quy tại H Gọi P là giao diểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC, I là giao điểm củađường thẳng PA với duờng tròn(O)

a) Chứng minh các điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một dường tròn

b) Gọi M là trung diểm của BC, chứng minh ba diểm M, H, I thẳng hàng

c) Đường thẳng qua D song song với EF cắt các đường thẳng AB, CF lần lượt tại Q, S Chứngminh D là trung diểm của QS

Bài 5. Cho dường tròn(T)tâm O và dây cung AB cố định(O /∈ AB) P là diểm di động trên đoạnthẳng AB(P ̸= A, B và P khác trung điểm của đoạn thẳng AB) Đuờng tròn(T1)tâm C đi quađiểm P tiếp xúc với đường tròn(T)tại A Đường tròn(T2)tâm D di qua điểm P tiếp xúc với đườngtròn(T) tại B Hai đường tròn(T1)và(T2) cắt nhau tại N(N ̸= P) Gọi(d1) là tiếp tuyến chungcủa (T) với(T1)tại A,(d2)là tiếp tuyến chung của(T)với(T2)tại B,(d1)cắt(d2)tại diểm Q.

a) Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: ’ANP = ’BNPvà bốn diểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn

c) Chứng minh rằng dường trung trực của đoạn thẳng ON luôn đi qua một điểm cố định khiPdiđộng trên đoạn thẳng AB(P ̸= A, B và P khác trung điểm của đoạn thẳng AB)

B

Bài 1. Cho đường tròn tâm O, bán kính R =4 cm và hai điểm B, C cố định trên(O), BC không làđường kính Điểm A thay đổi trên(O)sao cho tam giác ABC nhọn Gọi D, E, F lần lượt là chân cácđường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC

a) Chứng minh ’BAD =CAO.’

b) Gọi M là điểm đối xứng của A qua BC, N là điêm đối xứng của B qua AC Chứng minh rằng:CD.CN =CE.CM

c) Trong trường hợp 3 điểm C, M, N thẳng hàng, tính độ dài đoạn thẳng AB

d) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng AI cắt EF tại K Gọi H là hình chiếu vuông góc của

Ktrên BC CHứng minh rằng đường thẳng AH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đồi

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC(AB ̸= AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là tâm đường trònbàng tiếp trong góc ’BACcủa tam giác ABC Đường thẳng AI cắt BC tại D, cắt đường tròn(O)tại

E(E̸= A)

a) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC

b) KI H¯ vuông góc với BC tại H Dường thẳng EH cắt dường tròn(O) tại F(F ̸= E) Chứngminh AF⊥ FI

c) Đường thẳng FD cắt đường tròn(O)tại M(M ̸= F) Đường thẳng I M cắt(O)tại N khác M.Đường thẳng qua O song song với IF cắt AI tại J Đường thẳng qua J song song với AH cắt

I Htại P Chứng minh N, E, P thẳng hàng

Bài 3. Cho đường tròn tâm O dường kính AB = 2R và điểm C nằm trên đường tròn sao cho

CA >CB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại M

và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn(O)tại diểm thứ hai K

a) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp dược trong một dường tròn

b) Chứng minh 3 diểm B, P, K thẳng hàng

c) Các tiếp tuyến tại A và C của dường tròn(O)cắt nhau tại Q Tính diện tích của tứ giác QAI Mtheo R biết BC=R

Bài 4. Cho dường tròn(O)và dường thẳng d cố định ((O) và d không có diểm chung) Điểm P diđộng trên đường thẳng d Từ diềm P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB(A, B thuộc đường tròn(O)) Gọi H

là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC, E là giao diểm của hai đường thẳng

CPvà AH Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng CP và đường tròn(O)

a) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH

b) Vẽ đây cung CN của đường tròn(O) sao cho CN song song với AB Gọi I là giao của haiđường thẳng NF và AB Chứng minh IFIB = AFAC và I A =IB

c) Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường cố định khi P di dộng trên d

Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.M là điểm chính giữa cung>AB, C là một điểmtrên nửa đường tròn AC cắt MO tại D Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácMCDluôn nằm trên một đường thẳng cố định khi C di động trên nửa đường tròn

Bài 6. Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không qua O Điểm M nằm trên cung lớn AB Cácđường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H

a) Chứng minh OM vuông góc với EF

b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB lần lượt tại C và D Chứng minh rằng khi M

di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm

cố định

Bài 7. Cho điềm A cố định nằm ngoài đường tròn(O) Kẻ các tiếp tuyến AE, AF với đường tròn

(O),(E, F là các tiếp điểm) Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho tam giác DEF nhọn Tiếptuyến tại D của đường tròn(O)cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C Gọi M, N lần lượt là giao điểmcủa đường thẳng EF với các đường thẳng OB, OC

a) Chứng minh bốn điểm B, M, N, C cùng thuộc một đường tròn

b) Gọi DK, OI lần luơott là đường phân giác cúa các góc ‘EDF, ’BOC(Kthuộc EF, I thuộc BC ).Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định

Bài 8. Cho dường tròn(O)đường kính BC và H là một điểm nằm trên đoạn thẳng BO (diểm HkHông trùng với hai diểm B và O ) Qua H vẽ dường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn ( O )tại A và D Gọi M là giao diểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N

a) Chứng minh rằng MNBA là tứ giác nội tiếp

b) Tính giá trị của P=2ÄBOABä2−OHBH

c) Từ B vẽ tiếp tuyến với dường tròn(O), cắt hai dường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E.Chứng minh rằng dường thẳng EC luôn đi qua trung diểm I của đoạn thẳng AH khi diểm

Hdi động trên đoạn thẳng BO

Bài 9. Cho đường tròn(O)có dây cung BC cố định và không di qua tâm O Gọi A là diểm di độngtrên dường tròn(O)sao cho tam giác ABC nhọn và AB< AC Gọi M là trung điểm của cạnh BC

và H là trực tâm tam giác ABC Tia MH cắt đường tròn(O)tại K, đường thẳng AH cắt cạnh BCtại D và đường thẳng AO cắt đường tròn(O)tại E(Ekhác A)

a) Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và HA·HD = HK.HM

b) Tia KD cắt đường tròn(O)tại I ( I khác K ), đường thẳng di qua I và vuông góc với đườngthẳng BC cắt AM tại J Chứng minh rằng các đường thẳng AK, BC và H J cùng đi qua mộtđiêm

c) Một đường tròn thay dổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Qphân biệt Gọi N là trung điểm của PQ Chứng minh rằng AN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 10. Cho hai đường tròn(O ) và ( O′) cắt nhau tại A vàB Trên tia đối của tia AB lấy điểm Mkhác A; Qua M k ˙e các tiếp tuyến MC và MD vơi đường tròn(O′) (C, D là tiếp điểm và D nằmtrong đường tròn tâm O )

a) Chứng minh rằng AD·BC = AC.DB

b) Các đường thẳng AC, AD cắt đường tròn(O)ần lượt tại E và F(E, F khác A) Chứng minhđuờng thẳng CD đi qua trung điểm của EF

c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi M thay đổi

Bài 11. Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theothứ tự tại các diểm D, E, F Đường thẳng đi qua A và song song với BC, cắt EF tại K Đường thẳng

ID cắt EF tại N.Từ điểm N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại P, Q Gọi M

là trung điểm BC

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, N, P, F cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng ba điểm A, N, M thẳng hàng

c) Chứng minh rằng I M⊥DK

Bài 4 LUYỆN TẬP GÓC (PHẦN 3)

A

Bài 1. Cho dường tròn(O; R) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC(B,

Clà hai điểm thuộc đường tròn tâm O ) Gọi M là một diểm thuộc cung nhỏ BC(Mkhác B, C ).Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại E và F Đường thằng BC cắt OE, OF lần lượt tại P và Q

a) Chưng minh ’ABC =AOC.’

b) Chứng minh PF, QE, ON đồng quy

c) Chứng minh rằng PQEF không đồi khi M di chuyền trên cung nhỏ BC của đường tròn(O; R)

Bài 2. Cho nửa đường tròn(O)đường kính MN Trên tia đối của tia MO lấy điềm B, Trên tia đốicủa tia NO lấy điểm C Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn(O), chúng cắt nhau tại A,tiếp diểm của nửa đường tròn(O)với BA, AC lần lượt là E, D Kẻ AH vuông góc với BC(H∈ BC).Chứng minh AH, BD, CE đồng quy

Bài 3. Cho hai dường tròn(O; R)và(O′; R)cắt nhau tại hai diểm phân biệt A và B(AB<2R) Từmột điểm C thay đổi trề tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O(D, E làcác tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O′) Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm

O′lần lượt tại M và N(Mvà N khác với diềm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:

a) MI.BE= BI.AE;

b) Khi điềm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4. Cho hai đường tròn(O)và(O′)cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O′ nằm khác phíađối với đường thẳng AB Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn(O)và ( O′) lần lượttại C và D ( d không trùng với đường thẳng AB )

a) Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất

b) Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn(O); N làđiểm di chuyền từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn(O′)sao cho ÷AOMluônbằng ÷AO′N Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5. Trên dường tròn tâm O, lấy hai điểm B, C cố định và BC không đi qua tâm A là một điểm

di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn và AB < AC Các đường cao AD, BE, CFcủa tam giác ABC cắt nhau tại H Đường thẳng d đi qua D và song song với EF, cắt các đườngthẳng AB, AC lần lượt tại M, N Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, I là trung điểmcủa BC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BFEC và tứ giác MBNC nội tiếp

b) △EDI ∼ △PEI và H là trực tâm của tam giác API

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định

Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có hai tia BA và CD cắt nhau tại E, hai tia

ADvà BC cắt nhau tại F Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD Các dường phân giáctrong của các góc ‘BECvà góc ‘BFAcắt nhau tại K

a) Chứng minh rằng ‘DEF+DFE‘ =’ABCvà tam giác EKF là tam giác vuông

b) Chứng minh rằng EM.BD =EN.AC

c) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O)với AB<AC Gọi M là điểm thuộc cạnh

BC( M không trùng với B và C ), đường thẳng AM cắt đường tròn(O)tại điểm D khác A Đườngtròn ngoại tiếp tam giác MCD cẳt đường thẳng AC tại điểm E khác C Đường tròn ngoại tiếp tamgiác MBD cằt đường thẳng AB tại điềm F khác B

a) Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh hai tam giác ECD, FBD đồng dạng và ba điểm E, M, F thẳng hàng

c) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC(AB > BC)nội tiếp đường tròn(O) Gọi D, E lần lượt là trungđiểm AB và AC, H là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của△ABCvà K là điểm đối xứng cử là H quađường

thằng DE

a) Chứng minh bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AK vuông góc với BK và ba điểm B, O, K thẳng hàng

c) Tiếp tuyến của đường tròn(O)tại B cắt AC tại M Trên tia BM, lấy điểm P sao cho BP=CM;trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN =BC Gọi X, Y lần luợt là trung điểm của CN

và BM Tính tỉ số XYCP

Bài 4. Cho đường tròn(O)đường kính AB, M thuộc(O)khác A vàB Các tiếp tuyến của A và Mcắt nhau ởC Đường tròn(I)qua M tiếp xúc với AC tạiC Các đường CO và CB lần lượt cắt(I)tại

Evà F Vẽ đường kính CD của(I), giao điểm DE và AB là K

a) Chứng minh rằng tam giác OCD cân và OEFK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tám giác OEF và CED đồng dạng

c) Đường thẳng đi qua 2 điểm(O)và(I)cắt AC tại H Chứng minh rằng các đường AF, CK, OHđồng quy

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn(O; R), các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại

H Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh bốn điểm M; D; E; F cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh AB·BF+AC.CE ≤4R2 c) Khi vị trí các đỉnh A, B, C thay đổi trên đường tròn

(O)sao cho tam giác ABC luôn nhọn, chứng

minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF không đổi

Bài 6. Cho đường tròn tâm(O)và dây cung AB cố định không phải đường kính Điểm C khác

A, B di động trên AB Đường tròn tâm P đi qua C và tiếp xúc với(O)tại A, đường tròn tâm Q điqua C và tiếp xúc với(O)tạiB Các đường tròn(P),(Q)cắt nhau tại điềm thứ hai là M Các tiếptuyến của đường tròn(O)tại A và B cắt nhau tại I

a) Chứng minh rằng MC là phân giác của AMB và các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc đườngtròn

b) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luônthuộc một đường thẳng cố dịnh

Bài 7. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn(O) Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC(B, C là tiếp điểm)

và cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB và AO ) Gọi K là trung điểmcủa đoạn DE, H là giao điểm của AO và BC

a) Chứng minh năm điểm A, B, K, O, C nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AD·AE= AH·AO

c) Gọi F là điểm đối xứng của D qua AO Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng

a) Chứng minh tứ giác BHCO nội t tiếp, Ho là tia phân giác của ’BHC.

a) Tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn

b) PQsong song với BC và tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQE, AMF, CEN cùng nằmtrên một đường thẳng cố định

c) Các đường thẳng MN, BD, EF đồng quy tại một điểm

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB> AC)nội tiếp đường tròn(O)đường cao AH Gọi D

là điểm đối xứng với A qua BC Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD Qua H kẻ đườngthằng song song với BD cắt AK tại I Đường thẳng BI cắt dường tròn(O)tại N(Nkhác B)

D Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại S

a) Chứng minh tam giác AN A′là tam giác cân và MA′.MK =ML.MA

b) Chứng minh MI2 = ML.MA và tứ giác NH IK là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi T là trung điểm của cạnh SA, chứng minh ba điểm T, I, K thẳng hàng

d) Chứng minh nếu AB+AC =2BC thì I là trọng tâm của tam giác AKS

Bài 5. Cho đường tròn(O)có tâm O và hai điểm C, D trên(O) sao cho ba điểm C, O, D khôngthẳng hàng Gọi Ct là tia đối của tia CD, M là điểm tùy ý trên Ct, M khác C Qua M kè các tiếptuyến MA, MB với đường tròn(O)( A và B là các tiếp điểm, B thuộc cung nhỏ>CD) Gọi I là trungđiểm của CD, H là giao điểm của đường thẳng MO và đường thẳng AB

a) Chứng minh rằng tứ giác MAIB nội tiếp

b) Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên tia Ct

a) Chứng minh tứ giác EFQN nội tiếp được một đường tròn

b) Gọi I là trung điểm của doạn thẳng EF Chứng minh I là tâm đường trong ngoại tiếp tamgiác ABC

c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng PQ tại D; Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ vàDNPcắt nhau tại K với K khác D; Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCtại B và C cắt nhau tại J Chứng minh bốn điểm D, A, K, J thẳng hàng

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A Các điểm E, F lần lượt thay đổi trên các canh AB, AC saocho EF//BC Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF Đường tròn (I)

đường kính EF cắt BF, CE tại M, N(Mkhác F, N khác E)

Bài 3. Cho đường tròn(O)và đường kính AB cố định Biết điểm C thuộc đường tròn(O), với Ckhác A và B Vẽ đường kính CD của đường tròn(O) Tiếp tuyến tại B của đường tròn(O)cắt haiđường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F

a) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn

b) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BF Chứng,minh OE vuông góc với AH

c) Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF

d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cốđịnh và đường tròn(I) luôn đi qua 2 điểm cố định khi C di động trên(O) thỏa mãn điềukiện

Bài 4. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M là điểm di động trên đoạn OB ( M khác O và B )

Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúcvới CD tại D Đường tròn(I)và đường tròn(J)cắt nhau tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường trò

b) Chứng minh 3 điểm C, M, N thẳng hàng

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC(AB< BC<CA)nội tiếp đường tròn(O) Từ A kẻ đường thẳngsong song với BC cắt(O) tại A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt(O)tại B1 Từ C kẻđường thẳng song song với AB cắt(O)tại C1 Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1, B1, C1lần lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy.

Bài 6. Trên đường tròn tâm O đường kính AB lấy điểm C bất kì(CA <CB, C khác A) Gọi H làhình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của CH Đường thẳng BI cắt đường tròn(O)tại điểm F( F khác B) Qua điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với CF, đường thẳng này cắt FB tại điểm K.Gọi P là trung điểm của BC

a) Chứng minh BI·BF= BC2;

b) Chứng minh tứ giác CPKI nội tiếp;

c) Chứng minh KF là tia phân giác của ’CKA;

d) Khi C di chuyển trên đường tròn(O)(CA < CB, C khác A), chứng minh đường thẳng CKluôn đi qua một điểm cố định

Bài 7. Cho tam giác OBC cân tại O, đường cao OH Vẽ đường tròn(O)không có điểm chung vờiđường thẳng BC Dựng các tiếp tuyến BE, CF của đường tròn(O)không đối xứng với nhau qua

OH(E, F là các tiếp điểm) sao cho hai điểm E và H nằm cùng một phía so với đường thẳng BO.Đường thẳng BE cắt dường thẳng CF tại M Chứng minh:

a) Bốn diểm B, O, M, C cùng thuộc một đường tròn;

b) Ba điểm E, F, H thẳng hàng

Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Các đường cao AD, BE, CF của tam giácABCcắt nhau tại diểm H Gọi(O)là đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC, trên cung nhỏ EC củađường tròn(O)lấy điểm I (khác điểm E ) sao cho IC> IE Đường thẳng DI cắt đường thẳng CEtại điểm N, đường thẳng EF cắt đường thẳng CI tại điểm M

a) Chứng minh rằng N I.ND= NE.NC

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng CH

c) Đường thẳng HM cắt đường tròn(O)tại điểm K (khác điểm H ), đường thẳng KN cắt đườngtròn(O)tại điểm G (khác điểm K ), đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm T Chứngminh rằng ba điểm H, T, G thẳng hàng

Bài 6 PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Khi đó theo định nghĩa ta cóPM/(O) = MA·MB=d2−R2

Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và PA·PB =PC·PDthì 4 điểm A, B, C, D cùngthuộc một đường tròn

1.2 Tính chất

a) Mnằm trên đường tròn(O)khi và chỉ khiPM/(O) =0

b) Mnằm ngoài đường tròn(O)khi và chỉ khiPM/(O) >0

c) Mnằm trong đường tròn(O)khi và chỉ khiPM/(O) <0

d) Khi M nằm ngoài đường tròn(O)và MT là tiếp tuyến của(O)thìPM/(O) =MT2

e) Nếu A, B cố định và AB·AM=const⇒ Mcố định Ý tưởng này giúp ta giải các bài toán vềđường đi qua điểm cố định

f) Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng với A, B, T ) Khi

đó, nếu MA·MB= MT2thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T

2 Trục đẳng phương

2.1 Định nghĩa Cho hai đường tròn không đồng tâm Tập hợp các điểm có cùng phương tíchđối với hai đường tròn là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương củahai đường tròn

2.2 Tính chất

a) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm

b) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng

c) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với(O1)và(O2)thì đường thẳng qua M vuông gócvới O1O2là trục đẳng phương của hai đường tròn

d) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính

là trục đẳng phương của hai đường tròn

e) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng

f) Nếu(O1)và(O2)tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với O1O2chính

là trục đẳng phương của hai đường tròn

3 Cách xác định trục đẳng phương

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không đồng tâm(O1)và(O2) Xét các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó đường thẳng AB chính là trụcđẳng phương của hai đường tròn

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T Khi đó tiếp tuyến chung tại T chính là trục đẳng phươngcủa hai đường tròn

c) Hai đường tròn không có điểm chung Dựng đường tròn(O3)cắt cả hai đường tròn(O1)và

(O2)lần lượt tại A, B và C, D Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M Đường thẳng qua Mvuông góc với O1O2chính là trục đẳng phương của(O1)và(O2)

4 Tâm đẳng phương của ba đường tròn

Cho 3 đường tròn(C1),(C2) và(C3) Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn hoặctrùng nhau hoặc song song hoặc đi qua một điểm Nếu các trục đẳng phương đó đi qua một điểmthì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

5 Đường tròn điểm

Một điểm A bất kì được xem như là một đường tròn tâm A bán kính bằng 0 Kí hiệu là(A; 0) Do

đó các tính chất vừa nêu trên vẫn đúng với đường tròn điểm

Phương tích từ một điểm P đến(A; 0)bằng PA2

6 Cách dựng trục đẳng phương của đường tròn điểm

a) Nếu điểm A nằm ngoài đường tròn(O; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AD, AE tới đường tròn(O; R).Khi đó đường thẳng đi qua trung điểm AD, AE (hay đường trung bình của△ADE) chính làtrục đẳng phương của(A; 0)và(O; R)

b) Nếu điểm A nằm trên(O; R)thì trục đẳng phương của(A; 0)và(O; R)chính là tiếp tuyến

đi qua A của(O)

c) Nếu điểm A nằm bên trong đường tròn(O; R), ta dựng A′sao cho OA.OA′ =R2 Kẻ hai tiếptuyến A′D, A′Etới đường tròn(O; R) Khi đó đường thẳng đi qua trung điểm A′D, A′E(hayđường trung bình của△ADE) chính là trục đẳng phương của (A; 0)và(O; R)

B

minh rằng OI2 =R2−2Rr

điểm A thay đổi trên(O)sao cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ

B, C của tam giác ABC Cho (I) là đường tròn đi qua E, F và tiếp xúc với BC tại điểm D Chứngminh rằng DCDB =»cot Bcot C

sao cho M gần 1 hơn N Tiếp tuyến 1 tiếp xúcΓ1tại A và tiếp xúcΓ2tại B Đường thẳng đi qua Msong song với 1 cắtΓ1tại điểm thứ hai là C và cắtΓ2tại điểm thứ hai là D Đường thẳng CA và

DBcắt nhau tại E; đường thẳng AN và CD cắt nhau tại P; đường thẳng BN và CD cắt nhau tại Q.Chứng minh rằng EP=EQ

L Ví dụ 4. Cho AB, CD là hai đường kính của (O) Tiếp tuyến của(O)tại B cắt AC ở E, DE cắt

(O)tại điểm thứ hai F Chứng minh rằng BC, AF, OE đồng quy

là giao điểm của AB và CD; BC và AD; AC và BD Khi đó O là trực tâm tam giác HEF

và K theo thứ tự là trực tâm tam giác ADE và BCE Chứng minh F, H, K thẳng hàng

tùy ý trên cạnh BC và khác B, C, kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK vàđường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh rằng ba điểm M, H, Nthẳng hàng

lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MA = MCvà N A= NB Các đường tròn ngoại tiếp các tamgiác AMN và ABC cắt nhau tại P(P ̸= A) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q Chứngminh rằng ba điểm A, P, Q thẳng hàng

(BPC)cắt BC tại X Các điểm Y, Z được xác định tương tự Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng

giác Gọi K, L lần lượt là trung điểm của ME, MD.KL cắt đường thẳng qua A song song với BC tại

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) Hai điểm P, Q nằm trên BC sao cho∠PAB=

∠BCAvà∠CAQ = ∠ABC Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng với A qua P, Q Chứng minh BM

và CN cắt nhau tại một điểm nằm trên(O)

Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi bằng P Hai điểm X, Y nằm trên tia AB, AC sao cho AX =

AY = P4 Doạn XY cắt đoạn BC tại M Chứng minh rằng chu vi của một trong hai tam giácAMB, AMC bằng P2

Bài 6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi E, F lần lượt là giao điểm của các cặp đườngthẳng AC và BD, AB và CD Chứng minh rằng: điểm F, trực tâm tam giác AED và trực tâm tamgiác BEC nằm trên một đường thẳng

Bài 7. Cho tam giác ABC và các đường cao AD, BE, CF DE và DF lần lượt cắt DF, BE tại M, N.Chứng minh rằng đường thẳng qua A vuông góc MN đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp BHC

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDgiao với phân giác trong góc ’BACtại E nằm trong tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giácABEgiao với BD tại F (khác B ) AF giao với BE tại I CI giao với BD tại K Chứng minh rằng I làtâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.

Bài 9. Cho đường tròn(O)và dây cung AB Các đường tròn(O1),(O2)nằm về một phía đối vớiđường thẳng AB, tiếp xúc với nhau tại T, đồng thời tiếp xúc với AB và tiếp xúc trong với(O) Tiếptuyến chung tại T của các đường tròn(O1),(O2)cắt đường tròn(O)tại C (với C thuộc nửa mặtphẳng bờ là đường thẳng AB, chứa(O1),(O2).Chứng minh T là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC

Bài 10. Cho tam giác nhọn không cân ABC và D là một điểm trên cạnh BC Lấy điểm E trêncạnh AB và lấy điểm F trên cạnh AC sao cho ’DEB= ’DFC Các đường thẳng DF, DE lần lượt cắt

AB, AC tại M, N Gọi(I1),(I2)tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM, DFN Kýhiệu(J1)là đường tròn tiếp xúc trong với(I1) tại D và tiếp xúc với AB tại K,(J2)là đường tròntiếp xúc trong với (I2)tại D và tiếp xúc với AC tại H, P là giao điểm của (I1) và(I2), Q là giaođiểm của(J1)và(J2) (P, Q, khác D) Chứng minh rằng D, P, Q thẳng hàng

Bài 7 LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

A

Bài 1. Cho tam giác ABC(AB< AC)nhọn, không cân nội tiếp đường tròn(O) Các đường cao

AD, BE và CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm cạnh BC Đường tròn(J)ngoại tiếp tam giácAEF cắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai là K(Kkhác A) Đường thẳng AM cắt đường tròn(J)tạiđiểm thứ hai là Q(Qkhác A) EF cắt AD tại P Đoạn PM cắt đường tròn(J)tại N Chứng minhcác đường thẳng KF, EQ và BC đồng quy và ba điểm K, P, Q thẳng hàng

Bài 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C nằm trên đó sao cho C không phải là trungđiểm của cung nửa đường tròn này Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB Đườngtròn đường kính CH cắt CA tại E, CB tại F và đường tròn đường kính AB tại D Chứng minh rằng

CD, EF, AB đồng quy

Bài 3. Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó Đường tròn đường kính AC, BDcắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z, lấy điểm P trên XY khác Z Đường thẳng CP cắtđường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai M; đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BDtại điểm thứ hai N Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy

Bài 4. Cho tam giác ABC Bên ngoài tam giác này vẽ các tam giác cân BCD, CAE, ABF có các cạnhđáy tương ứng là BC, CA, AB Chứng minh rằng ba đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C xuống

Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, ngoại tiếp đường tròn tâm I Tiếp điểm của

BCvới đường tròn (I) là D Đường tròn đường kính AI cắt(O)tại điểm M khác A và cắt đườngthẳng đi qua A song song với BC tại N

a) Gọi E, F thứ tự là tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB và AC Chứng minh

MN, EF, BC đồng quy tại điểm T

b) Chứng minh rằng MO đi qua trung điểm của DN

B

Bài 1. Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D và E Gọi P là mộtđiểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của DE với BP và CP Đường tròn tâm(J)ngoại tiếptam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q Chứngminh rằng AQ⊥ J I

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, E là tâm đường tròn Euler Các đường cao AX, BY, CZ đồng quytại H BH, CH theo thứ tự cắt XZ, XY tại M, N Chứng minh rằng AE vuông góc với MN

Bài 3. Cho tam giác ABC; O, Ia theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn bàngtiếp đối diện đỉnh A BE, CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC Khi đó OIa ⊥EF

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trònΓ có tâm O, và trực tâm H Giả sử AB ̸= AC và

Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có các cặp cạnh đối không song song Gọi

M, N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, AD và BC Gọi P, Q, R, S tươngứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp ÷MAN và ’MBN, ’MBNvà ÷MCN, ÷MCNvà

÷

MDN, ÷MDN và ÷MAN Giả sử bốn điểm P, Q, R, S đôi một phân biệt

a) Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S cùng nằm trên một đường tròn Gọi I là tâm của đườngtròn đó

b) Gọi E là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng ba điểm E, O, I thẳng hàng

Bài 8. Cho△ABC nhọn không cân có H là trực tâm M là trung điểm BC Gọi D, E nằm trên

AB, AC sao cho AE = ADvà D, H, E thẳng hàng Chứng minh rằng HM vuông góc với dây cungchung của (O), (ADE)

Bài 9. Cho tứ giác lồi ABCD có AC ̸=BDnội tiếp(O) Gọi E là giao điểm của AC và BD Điểm

Pnằm trong tứ giác sao cho∠PAB+ ∠PCB = ∠PBC+ ∠PDC =90◦ Chứng minh rằng O, P, Ethẳng hàng

Bài 10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp(O), AC cắt BD tại E.AD cắt BC tại K, AB cắt DC tại T Đườngtròn đường kính KT cắt OE tại P Chứng minh rằng ‘PAB+PCB‘ = ’PDC+PBC‘ =90◦