MỤC LỤC
Đường thẳngdthay đổi đi quaBcắt các đường tròn(O)và (O′) lần lượt tạiCvàD(dkhông trùng với đường thẳng AB). a) Xác định vị trí của đường thẳngdsao cho đoạn thẳngCDcó độ dài lớn nhất. b) Gọi Mlà điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn(O);N là điểm di chuyền từ điểmA, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn(O′)sao cho÷AOMluôn bằng ÷AO′N. Chứng minh đường trung trực củaMNluôn đi qua một điểm cố định. Trên dường tròn tâmO, lấy hai điểmB,Ccố định vàBC không đi qua tâm. Alà một điểm di động trên cung lớnBCsao cho tam giác ABCnhọn vàAB < AC. Các đường caoAD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳngd đi quaDvà song song vớiEF, cắt các đường thẳngAB,AClần lượt tạiM,N. GọiPlà giao điểm của hai đường thẳng EFvàBC, Ilà trung điểm củaBC. Chứng minh rằng:. a) Tứ giácBFECvà tứ giácMBNCnội tiếp. c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định. B BÀI TẬP VỀ NHÀ. Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn tâmOvà có hai tia BAvàCDcắt nhau tại E, hai tia ADvàBC cắt nhau tạiF. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của AC vàBD. Các dường phân giác trong của các gócBEC‘ và góc BFA‘ cắt nhau tạiK. a) Chứng minh rằngDEF‘ +DFE‘ =’ABCvà tam giácEKFlà tam giác vuông. c) Chứng minh rằng ba điểmK,M,Nthẳng hàng. GọiMlà điểm thuộc cạnh BC(Mkhông trùng vớiBvàC), đường thẳngAMcắt đường tròn(O)tại điểmDkhácA. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCDcẳt đường thẳng ACtại điểmEkhácC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBDcằt đường thẳng ABtại điềm FkhácB. a) Chứng minh tứ giácBECFnội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh hai tam giácECD,FBDđồng dạng và ba điểmE,M,Fthẳng hàng. c) Chứng minh đường thẳngOAvuông góc với đường thẳngEF.
Qua Mkè các tiếp tuyếnMA,MBvới đường tròn(O)(AvàBlà các tiếp điểm,Bthuộc cung nhỏ>. Gọi Ilà trung điểm củaCD, Hlà giao điểm của đường thẳng MOvà đường thẳng AB. a) Chứng minh rằng tứ giác MAIB nội tiếp. b) Chứng minh rằng đường thẳngABluôn đi qua một điểm cố định khiMdi động trên tiaCt. B BÀI TẬP VỀ NHÀ. Cho tam giácABCnhọn có’BAC>45◦. Về phía ngoài tam giác ABCdựng các hình vuông ABMN vàACPQ. Đường thẳng AQcắt đoạn thẳngBMtại E, đường thẳng ANcắt đoạn thẳng CPtạiF. a) Chứng minh tứ giácEFQNnội tiếp được một đường tròn. b) Gọi Ilà trung điểm của doạn thẳngEF. Chứng minh Ilà tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC. c) Đường thẳngMNcắt đường thẳng PQtạiD; Các đường tròn ngoại tiếp tam giácDMQvà DNPcắt nhau tạiKvớiKkhácD; Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạiBvàCcắt nhau tại J. Gọi(O)là đường tròn ngoại tiếp tứ giácDHEC, trên cung nhỏ ECcủa đường tròn(O)lấy điểm I(khác điểmE) sao cho IC> IE. Đường thẳngDI cắt đường thẳngCE tại điểmN, đường thẳngEFcắt đường thẳngCI tại điểmM. b) Chứng minh rằng đường thẳngMNvuông góc với đường thẳngCH. c) Đường thẳngHMcắt đường tròn(O)tại điểmK(khác điểmH), đường thẳngKNcắt đường tròn(O)tại điểmG(khác điểmK), đường thẳngMNcắt đường thẳngBCtại điểmT.
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không đồng tâm(O1)và(O2). Xét các trường hợp sau:. a) Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệtA,B. Khi đó đường thẳngABchính là trục đẳng phương của hai đường tròn. b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau tạiT. Khi đó tiếp tuyến chung tạiTchính là trục đẳng phương của hai đường tròn. c) Hai đường tròn không có điểm chung. Khi đó đường thẳng đi qua trung điểm A′D,A′E(hay đường trung bình của△ADE) chính là trục đẳng phương của (A; 0)và(O;R).
Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn(O), có ACgiaoBDtại E,ABcắtCDtại F.H vàKtheo thứ tự là trực tâm tam giác ADEvàBCE. ChoKlà một điểm tùy ý trên cạnhBCvà khácB,C, kẻ đường kínhKM của đường tròn ngoại tiếp tam giácBFK và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK.
Đường tròn đường kínhAI cắt(O)tại điểm MkhácAvà cắt đường thẳng đi quaAsong song vớiBCtại N. a) Gọi E,F thứ tự là tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB và AC. Chứng minh MN,EF,BCđồng quy tại điểmT. b) Chứng minh rằng MOđi qua trung điểm củaDN. Gọi Q là giao điểm thứ hai củaΓ với (AEF). Gọi R là giao điểm của AQ vàEF. Chứng minh rằng PR⊥OH. Cho tam giác ABCcó tâm nội tiếp I. Một đường tròn đi quaB,Ccắt IC,IBlần lượt tạiE, F. GọiP,Qlần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giácABF,ACE. Chứng minh rằngPQII EF. Cho tam giác ABCnhọn có AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâmO bán kínhR. Các đường caoAD,BE,CF, cắt nhau tạiH. GọiKlà hình chiếu vuông góc củaOtrênBC vàJlà điểm nằm trờn tiaOK, sao choOKãOJ = R2. Cỏc đường thẳng HK và EF cắt nhau tại I, cỏc đường thẳngBCvàEFcắt nhau tại P. Chứng minh rằng IDvuông góc vớiOP. Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn tâmOcó các cặp cạnh đối không song song. Gọi M,N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng ABvà CD,ADvà BC. Gọi P,Q,R,S tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặpMAN÷và MBN,’ MBN’ và÷MCN,÷MCNvà MDN,÷ MDN÷ và÷MAN. Giả sử bốn điểmP,Q,R,Sđôi một phân biệt. a) Chứng minh rằng bốn điểmP,Q,R,Scùng nằm trên một đường tròn. Gọi Ilà tâm của đường tròn đó. b) GọiElà giao điểm của ACvàBD.
Gọi Dlà trung điểm BCvàE,Flà hình chiếu củaDlên AB,AC.(AEF) cắt trung trựcBCtạiH.
Từ Akẻ tiếp tuyếnAB,ACtới(O).MB,MCcắt(O′)tạiE,F.Dlà giao điểm của tiếp tuyến tạiAcủa(O′)vớiEF. Chứng minhDdi động trên một đường cố định khiA di động vàA,O,O′không thẳng hàng. Cho hai đường trònω1vàω2cắt nhau tại A,B, tiếp tuyến củaω1tạiA,Bcắt nhau tạiK. Gọi Mlà một điểm thuộcω1nhưng không trùng A,B, MAcắtω2tạiP C =ω1∪KM. a) Chứng minh trung điểmPQthuộcMC. b) Chứng minhPQluôn đi qua điểm cố định khiMdi động trênω1. Gọi Mlà trung điểmBC.Nlà giaoAMvới(O). Chứng minhKN luôn đi qua một điểm cố định. Cho△ABCcóB,Ccố định Athay đổi thoả△ABCnhọn.Dlà trung điểmBC.E,Flà hình chiếu củaDlên AB,AC. a) GọiOlà tâm ngoại△ABC.EFcắtAO, BCtại M,N.
Các điểmP,Qcùng nằm trênBC, các điểmR,Snằm trênAB,ACsao cho PR,QS là các đường đối song ứng với đỉnhB,Ccủa△ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABPcắt lạiAC tạiE; đường tròn ngoại tiếp tam giác ACPcắt lại ABtại F.
Gọi Qlà giao điểm thứ hai của đường thẳngCAvà đường tròn(O2). Chứng minh rằng:. a) Trung điểmPQnằm trên đường thẳng MC. b) Đường thẳngPQluôn đi qua một điểm cố định khi điểmMdi động trên đường tròn(O1).((O) ký hiệu đường tròn tâmO). (Đường tròn Lemoine thứ ba). Cho tam giácABCvà điểm Lemoine L. Các điểm Ab và Ac. thứ tự nằm trên các đường thẳng ABvà ACsao choLlà trọng tâm của tam giác AAbAc. a) Chứng minh rằng năm điểm L,B,C,Ab,Ac đồng yiên. b) Xác dịnh một cách tương tự cho cáo điểmBc,BavàCa,Cb. Chứng minh rằng sáu điểmAb,Ac, Bc,Ba,Ca, vàCacùng nằm trên đường tròn, đường tròn này gọi là đường tròn Lemoine thứ ba. Các đường trung trực củaAB,ACcắt đường cao kẻ từ đỉnh Acủa tam giác ABCthứ tự tại P,Q. GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giácOPQ. Chứng minh rằng AJlà đường đối trung của tam giác ABC. Cho tam giác nhọnABCcó các đường caoBEvàCF.Mlà trung điểmBC.AMcắt EFtạiP. a) Chứng minh rằngAXlà đường đối trung của tam giácABC. b) GọiK,Lthứ tự là hình chiếu cúaX lênCA,AB.
Chứng minh I là tâm(PQD). Đường cao AD,BE,CFtrực tâmH. GọiEFcắtBCtạiT a) GọiMlà trung điểmBC. Chứng minh TB. c) QuaBkẻ vuông góc vớiBCcắt AMtạiK. Cho△ABCnội tiếp(O).BCcố định, Adi chuyển. Gọi Hlà trực tâm. Phân giác ngoài gócBHCcắtAB,ACtạiM,N. a) Chứng minh AM =AN. b) Phân giác gócBACcắt(J)ngoại tiếp tam giác AMNtạiK. Chứng minh HKluôn đi qua một điểm cố định. c) GọiI là trung điểmAH.
Cho△ABCcó đường tròn nội tiếp(I)tiếp xúcBCtạiD.Plà tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc A của △ABCvới BC.
CÁC ĐỊNH LÝ CỔ. D,E,F nằm trên BC,AC,ABsao cho AD,BE,CF đồng quy. Lấy X,Y,Z nằm trên EF,FD,DE. Khi đóDX,EY,FZđồng quy khi và chỉ khiAX,BY,CZđồng quy. Cho△ABC.E,Fnằm trên các cạnhAB,AC.Dnằm trên phần kéo dài củaBC. Khi đóD,E,Fthẳng hàng khi và chỉ khi. 10 Định lý Pascal, Pappus, Desargues. Khi đóX,Y,Zthẳng hàng. b) Cho hai đường thẳngdvàd′ và 6 điểm A,B,C,D,E,Ftrong đó ba điểm A,B,C thuộcd. Cho△ABCnhọn không cân có đường tròn nội tiếp(I)tiếp xúc với các cạnhBC,CA,AB lần lượt tạiD,E,F. a) GọiHlà hình chiếu củaDlênEF. Chứng minh HDlà phân giác∠BHC. b) GọiPlà giao điểmBE,CFvàLlà giao điểmAI,EF. Gọi H′là điểm đối xứng với Hqua L. c) GọiMlà điểm đối xứng vớiFquaBvàNlà điểm đối xứng vớiEquaC.
Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn tâm(O)đồng thời lại ngoại tiếp một đường tròn khác(O′), có các tiếp điểm N,P,Q,Mlần lượt với các cạnh AB,BC,CD,DAcủa tứ giác đã cho. GọiPlà giao điểm củaBLvà tiếp tuyến tại Acủa(ATB),Olà điểm nằm trên ABsao choLO ⊥BCãMlà trung điểm của AB.Hlà trực tõm tam giỏc MOP.
Tiếp tuyến của đường tròn(DBC)tạiDcắtAB,ACtạiM,Nvà cắt(O)tạiP,Q. GọiHlà trực tâm tam giácAPQ. a) CMR(HPQ)và(APQ)đối xứng nhau quaPQ. b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giácAPQvàHMNtiếp xúc nhau. Tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn(O)cắtBCtạiT.DTcắtAB,AC lần lượt tạiE,F. GọiKlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAEF. a) CMRTDlà tiếp tuyến của(BDC) b) Chứng minh rằng(KEF)tiếp xúc(O).
Đường tròn ngoại tiếp tam giácBCDcắt đường thẳng ABtại điểmE(khácB), đường thẳng ECcắt đường tròn(O1)tại điểmP(khácC), đường thẳngEDcắt đường tròn(O2)tại điểm Q(khácD). b) Chứng minh rằng: Ba điểm A,P,Qthẳng hàng. c) Vẽ phân giác trongEI của tam giácEPQ; vẽPM,QNlần lượt là phân giác trong của tam giác CPI và tam giácDQI. Nlà giao điểm của AMvới(O). Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định. Cho đường tròn tâmO và dây cung ABcố định khác đường kính, I là trung điểm AB. Một điểmPthay đổi trên cung lớn AB. Lấy các điểm M,Ntrên các tiaPA,PBsao cho∠PMI =. Các điểmX,Ylần lượt là giao điểm củaPBvới MI, PAvớiN I a) Chứng minh rằng bốn điểmM,N,X,Ycùng thuộc một đường tròn. b) GọiH,O′lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giácPMN.