chương 8b tứ giác nội tiếp

Chuyên đề 5 - TỨ GIÁC NỘI TIẾPLƯU Ý: Đây là 1 nội dung tuy giống sách cũ nhưng có một số điểm hơi khác, đó làBạn chỉ được phép sử dụng góc nội tiếp KHÔNG sử dụng góc tạo bởi tiếp tuyến &

TUYỂN TẬP

Chuyên đề 8B

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ

Zalo-hotline : 03.4348.1625-03.5352.6757

Chuyên đề 5 - TỨ GIÁC NỘI TIẾP

LƯU Ý: Đây là 1 nội dung tuy giống sách cũ nhưng có một số điểm hơi khác, đó làBạn chỉ được phép sử dụng góc nội tiếp

KHÔNG sử dụng góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc có đỉnh bên trong, bênngoài đường tròn

I) CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:

đường tròn) và ngược lại:

AC

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc A C  180o và ngược lại:

thì tứ giác ABCD nội tiếp

Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC biết (BA < BC) Trênđoạn OC lấy điểm I bất kì (I ≠ C) Đường thẳng BI cắt (O) tại điểm thứ hai là D.

Kẻ CH ⊥ CD (H ∈ BD), DK vuông góc với AC (K ∈ AC)

a, Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp

Tính diện tích ∆ACD

c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E Chứngminh rằng khi I thay đổi trên đoạn thẳng OC (I ≠ C) thì điểm E luôn thuộc mộtđường tròn cố định

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H M làmột điểm trên đoạn thẳng CD Tia AM cắt (O) tại N

a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp

b, Chứng minh MC.MD = MA.MN

Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn (A; AH) Từ đỉnh

B kẻ tiếp tuyến BI với (A) cắt đường thẳng AC tại D (I là tiếp điểm, I và H khôngtrùng nhau)

a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp

b, Cho AB = 4 cm, AC = 3 cm Tính AI

c, Gọi HK là đường kính của (A) Chứng minh rằng: BC = BI + DK

Bài 6: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O; R) Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại

H

a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp

b, Chứng minh BD.BC = BH.BE

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh ∆BMH cân

Bài 7: Cho nửa (O) đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn (C thuộc cungAD) AD cắt BC tại H, AC cắt BD tại E

a, Chứng minh CHDE nội tiếp và EH ⊥ AB

c, Vẽ tiếp tuyến với (O) tại D cắt EH tại I Chứng minh I là trung điểm của EH Bài 8: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BD và CE cắtnhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh DE ⊥ OA

c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH Cho K, L lần lượt

là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD Chứng minh KL // AC.Bài 9: Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BCsao cho AB < AC và ∆ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K làgiao điểm của EF với BC

a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

b, Chứng minh KB.KC = KE.KF

c, Gọi M là giao điểm của AK với (O), M khác A Chứng minh MH ⊥ AK

Bài 10: Cho (O) đường kính AB = 2R, điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B).Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B và C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E,Tia AC cắt BE tại F

a, Chứng minh FCDE nội tiếp

a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh FC.FA = FD.FB

c, Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)

Bài 12: Cho ∆ABC nhọn có (AB < AC) Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt haicạnh AB và AC lần lượt tại F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BCtại D Gọi I là trung điểm của AH

a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và AD ⊥ BC

b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đườngtròn

Bài 13: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy haiđiểm B và C sao cho cung AB < AC, AC cắt BD tại E Kẻ EF ⊥ AD tại F

a, Chứng minh ABEF nội tiếp

b, Chứng minh DE.DB = DF.DA

c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp ∆FBC

Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm M sao cho AM = R

và N là một điểm bất kì trên cung nhỏ BM (N khác M và B) Gọi I là giao điểmcủa AN và BM, H là hình chiếu của I trên AB

a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MHN luôn đi qua 2 điểm cố định

d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất

Bài 15: Cho đường tròn (O) có dây cung CD cố định Gọi M là điểm chính giữacung nhỏ CD Đường kính MN của đường tròn (O) cắt dây CD tại I Lấy điểm Ebất kỳ trên cung lớn CD (E khác C, D, N) ME cắt CD tại K Các đường thẳng NE

và CD cắt nhau tại P

a, Chứng minh tứ giác IKEN nội tiếp

b, Chứng minh EI.MN = NK.ME

d, Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H Chứng minhkhi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường

cố định

Bài 16: Cho nửa (O) đường kính AB Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn với

M ≠ A, B, và C là điểm chính giữa cung AM Gọi D là giao điểm của AC và BM,

H là giao điểm của AM và BC

a, Chứng minh CHMD nội tiếp

b, Chứng minh BD.BC = BH.BE.

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh ∆BMH cân

Bài 18: Trên nửa đường tròn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộccung AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI

a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp

b, Chứng minh CI.AI = HI.BI

c, Biết AB = 2R Tính giá trị biểu thức M = AI.AC + BQ.BC theo R

Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và điểm A trên nửa đường trònvới (AB > AC) Gọi D là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳngvuông góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng AC ở F

a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp

b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M Chứng minh MA = ME

c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AEF

d, DF cắt nửa đường tròn (O) tại điểm P Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEP.Chứng minh C, I, P thẳng hàng

Bài 20: Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC cố định A là điểm di động trên

cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường tròn tại D và E Đường thẳng DE cắt BC, AC tại

M, N

a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự

b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi

c, Chứng minh ∆BDI cân Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất

Bài 21: Cho ∆ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Điểm Dthuộc bán kính OC Đường thẳng vuông góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượttại E và F

a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp

c, Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O)

Bài 22: Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm Dây PQ của (O) vuônggóc với AB tại H (HA > HB) Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB QMcắt AB tại K

a, Chứng minh BHQM nội tiếp và BQ > HM

b, Chứng minh ∆QAK cân

c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đócắt QB tại I Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng.

Bài 23: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA, Vẽ dây

MN ⊥ AO tại C K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và

a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b, Chứng minh NQ.NA = NH.NM

d, Hạ MP ⊥ BN, Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN cóGTLN

Bài 25: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C saocho B nằm giữa A và C Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn (O) với K là tiếp điểm.Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt CK tại H Gọi I là giao điểm của OH và

AK J là giao điểm của BH và (O) ( J không trùng với B)

a, Chứng minh AJ.HB = AH.AB

b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn

c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P Tính

AH HP

HP  CP Bài 26: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC A là một điểm bất kì trên nửađường tròn BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F Gọi D là điểm chính giữa cung AC

DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E

a, Chứng minh BD là phân giác ABC và OD // AB.

b, Chứng minh ADEF nội tiếp

c, Gọi I là giao điểm của BD và AC Chứng minh CI = CE và IA.IC = ID.IB

Bài 27: Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trònbàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK

a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm

Bài 28: Cho (O) đường kính AC Trên đoạn AC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm(O′) đường kính BC Gọi M là trung điểm của đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE ⊥

AB, DC cắt đường tròn (O′) tại I

a, Tứ giác ADBE là hình gì?

b, Chứng minh DMBI nội tiếp

c, Chứng minh B, I, E thẳng hàng và MI = MD

d, Chứng minh MC.DB = MI.MD

e, Chứng minh MI là tiếp tuyến (O′)

Bài 29: Cho ∆ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC Dựngđường tròn (O) đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E đường thẳng BM cắt(O) tại D và AD cắt (O) tại S

a, Chứng minh ADCB nội tiếp

d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy

Bài 30: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 4 cm, AC = 3 cm Lấy điểm D thuộc cạnh

AB sao cho (AD < DB) Đường tròn (O) đường kính BD cắt CB tại E Kéo dài CDcắt (O) tại F

a, Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp

b, Biết BF = 3 cm Tính BC và diện tích ∆BFC

c, Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại điểm G Chứng minh rằng BA là tia phân giác

Bài 31: Cho (O) đường kính AB và dây CD ⊥ AB tại F Trên cung BC lấy điểm

M Nối A với M cắt CD tại E

b, Chứng minh EFBM nội tiếp

d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I Chứng minh NI // CD

e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp ∆CIM

Bài 32: Cho ∆ABC nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AF

và CE của ∆ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp

b, Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) Chứng minh ∆ABK ~ ∆AFC

c, Kẻ FM // BK (M ∈ AK) Chứng minh CM ⊥ AK

Bài 33: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn.Trên Ax lấy điểm K sao cho AK ≥ R Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn (O).Đường thẳng d vuông góc với AB tại O, d cắt MB tại E

a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp

c, Gọi H là trực tâm ∆KMA Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax

Bài 34: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp (O), đường cao AH D là điểm nằmgiữ hai điểm A và H Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và

N khác A

a, Chứng minh MN < AD và tứ giác BHDM nội tiếp

b, Chứng minh ∆AMN ~ ∆ACB

c, Đường tròn đường kính AD cắt (O) tại điểm thứ hai E Tia AE cắt đường thẳng

BC tại K Chứng minh ba điểm K, M, N thẳng hàng

Bài 35: Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không có điểm chung Kẻ OH ⊥

d tại H Lấy điểm M bất kì thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đườngtròn (O) Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở K và I

a, Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn

b, Chứng minh OK.OH = OI.OM

c, Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cốđịnh

d, Chứng minh

2

R OK OH

 Từ đó suy ra điểm K cố định

e, Tìm vị trí của M để diện tích ∆ΙΚO đạt giá trị lớn nhất O đạt giá trị lớn nhất

Bài 36: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) với cạnh AB cố định khácđường kính Các đường cao AE, BF của ∆ABC cắt nhau tại H và cắt đường trònlần lượt tại I và K CH cắt AB tại D

a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn

c, Chứng minh EF // IK

d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp

∆DEF luôn đi qua một điểm cố định

Bài 37: Cho ∆ABC nhọn có AB > AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD

và CE cắt nhau tại H Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC

a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp

b, Chứng minh AE.AM = AD.AN

c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giaođiểm của ED và AH Chứng minh F là trực tâm của ∆KAI

Bài 38: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửađường tròn, Ax và By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Tiếp tuyến tại I vớinửa đường tròn (O) (I khác A và B) cắt Ax, By lần lượt tại M và N

a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và AM + BN = MN

Bài 39: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Trên nửa đường tròn đó lấyđiểm C (CA < CB) Hạ CH ⊥ AB tại H Đường tròn đường kính CH cắt AC và BClần lượt tại M và N

a, Chứng minh HMCN là hình chữ nhật

c, Tia MN cắt tia BA tại K Lấy điểm Q đối xứng với H qua K Chứng minh QC làtiếp tuyến của (O; R)

d, Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp AC =

R

Bài 40: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Từ O kẻ đường thẳng vuônggóc với AB và cắt đường tròn (O) tại C trên cung CB lấy 1 điểm M bất kì Kẻ CH

⊥ AM tại H Gọi N là giao điểm của OH và MB

a, Chứng minh tứ giác CHOA nội tiếp

c, OH cắt CB tại điểm I và MI cắt (O) tại điểm thứ hai D Chứng minh CM // BD

d, Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng Khi đó tính độ dài cung

MB theo R

Bài 41: Cho (O; R) đường kính AB cố định, Điểm H nằm giữa A và O kẻ dây CD

AB ⊥ tại H Lấy điểm F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I

a, Chứng minh tứ giác AHEF nội tiếp

c, Đường tròn ngoại tiếp ∆IEF cắt AE tại điểm thứ hai M

Chứng minh ∆HBE ~ ∆HIA và điểm M thuộc (O)

d, Tìm vị trí của H trên OA để ∆OHD có chu vi lớn nhất

Bài 42: Cho ∆ABC có (AB < AC) nhọn nội tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy

tương ứng cắt lại đường tròn (O) tại I và J

a, Chứng minh phân giác góc BAC đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ củađường tròn (O)

b, Chứng minh tứ giác BCJI là hình thang cân

Bài 43: Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp (O; R) và AB < AC Đường kính AD cắt BC tại

M Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC

a, Chứng minh AEMF nội tiếp

c, Kẻ AH ⊥ BC tại H, tia AH cắt (O) tại N

1, Chứng minh BN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ABM

2, Qua B vẽ đường thẳng (d) vuông góc với BN, đường thẳng (d) cắt AN cắtđường tròn ngoại tiếp ∆ABM lần lượt tại K và Q Chứng minh AD.QB = KB.BN

Bài 44: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao AH.

Từ H kẻ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC Vẽ đường kính AE của đường tròn (O) cắt MN tại

I Tia MN cắt đường tròn (O) tại K

a, Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp

b, Chứng minh AM.AB = AN.AC

c, Chứng minh CEIN là tứ giác nội tiếp và ∆AHK cân

Bài 45: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH.Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC

a, Chứng minh rằng tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

2

QH QM QN

d, Cho BAC 60o và R = 3 cm Tính diện tích hình viền giới hạn bởi dây BC và

d, Cho (O) và điểm B, C cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC luôn

có 3 góc nhọn, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính không đổi.Bài 47: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp (O; R) Gọi H là giao điểm bađường cao AD, BE và CF của ∆ABC

a, Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn

b, Vẽ hình bình hành BHCK Tính AK biết R = 6 cm

c, Gọi S là giao điểm của AK và EF Đường thẳng qua D và song song với HS cắt

AK tại Q Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆DQK

động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho ∆ABC nhọn Các đường cao BD và

CE của ∆ABC cắt nhau tại H Kẻ đường kính AF của (O), AF cắt BC tại N

a, Chứng minh BEDC nội tiếp

b, Chứng minh AE.AB = AD.AC

c, Chứng minh BHCF là hình bình hành

d, Đường tròn ngoại tiếp ∆ADE cắt (O) tại điểm thứ hai K (K khác với O) Chứngminh ba điểm K, H, F thẳng hàng

Bài 49: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,

BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

b, Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh

ba điểm A, O, K thẳng hàng

c, Chứng minh AK ⊥ EF

d, Chứng minh nếu ∆ABC có tanB.tanC = 3 thì OH // BC

Bài 50: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa O và B Kẻdây CD vuông góc với AB tại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì (E khác A

và C) Kẻ CK ⊥ AE tại K Đường thẳng DE cắt CK tại F

a, Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh KH // ED và ∆ACF cân

c, Tìm vị trí của điểm E để diện tích ∆ADF lớn nhất.

Bài 51: Cho hình vuông ABCD, N là trung điểm của DC, Nối BN cắt AC tại F Vẽđường tròn tâm O đường kính BN, đường tròn (O) cắt AC tại E Kéo dài BE cắt

AD tại M

a, Chứng minh tứ giác MDNE nội tiếp

b, Chứng minh ∆BEN vuông cân

c, Gọi I là giao điểm của (O) với MN, H là giao điểm của BI với NE Chứng minh

a, Chứng minh tứ giác ABHO là tứ giác nội tiếp

c, BH cắt (O) tại K Chứng minh AE // CK

Bài 53: Cho đường tròn (O; R) Một đường thẳng (d) không đi qua O và cắt đườngtròn tại hai điểm A và B Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (C thuộc d và CB <CA) Kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (M thuộc cung nhỏ AB) Gọi H

là trung điểm của AB Đường thẳng OH cắt tia CN tại K

a, Chứng minh 5 điểm M, H, O, N, C cùng thuộc 1 đường tròn

Bài 54: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,

BE, CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh rằng tứ giác CDHE và BCEF nội tiếp

b, Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M Chứng minh MB.MC = ME.MF

c, Đường thẳng qua B và song song với AC cắt AM và AH lần lượt tại I và K.Chứng minh HI = HK

Bài 55: Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm I nằm giữa A và O, (I khác A

và O) Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn(O) tại M và N Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM và AN Qua S kẻđường thẳng song song với MN Đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AMlần lượt tại K và H

a, Chứng minh SKAM là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh rằng: SA.SN = SB.SM

c, Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d, Chứng minh rằng ba điểm H, N, B thẳng hàng

Bài 56: Cho đường tròn (O) với đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B Gọi M

là trung điểm của AB Từ M kẻ dây DE vuông góc với AB Từ B kẻ BF vuông gócvới CD (F thuộc CD)

a, Chứng minh BMDF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh CB.CM = CF.CD

c, Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi và 3 điểm E, F, B thẳng hàng

d, Gọi S là giao điểm của BD với MF, Tia CS lần lượt cắt AD, DE tại H và K.Chứng minh

DA DB DE

DH  DS DK Bài 57: Cho đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB(C khác B) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của

AC Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC

a, Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng

c, Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N

Bài 58: Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn.Trên Ax lấy điểm K (AK ≥ R) Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn (O).Đường thẳng (d) vuông góc với AB tại O, (d) cắt đường thẳng MB tại E

a, Chứng minh tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp

c, Chứng minh tứ giác KAOE là hình chữ nhật Giả sử AK = 2R, R = 6 cm Hãytính diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành khi cho tứ giác KAOE quaymột vòng quanh cạnh OE cố định

d, Gọi H là trực tâm ∆KMA Chứng minh khi K chuyển động trên Ax thì H luônthuộc một đường tròn cố định

Bài 59: Cho ∆ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao

AD, BE, CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh AEHF và ACDF là các tứ giác nội tiếp

b, BE cắt (O) tại V Chứng minh ∆HVC cân và BH.HV = 2.FH.CV

c, VD cắt (O) tại N (N khác V) Gọi I là giao điểm của AN và DF

Chứng minh ID = IF

Bài 60: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếptuyến đó một điểm P sao cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M

a, Chứng minh APMO là tứ giác nội tiếp

Bài 61: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC Vẽ đường kính ADcủa đường tròn Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) và BE ⊥ AD (E ∈ AD)

a, Chứng minh tứ giác ABHE nội tiếp

b, Chứng minh HE // CD

c, Gọi M là trung điểm của BC, kẻ CF ⊥ AD (F ∈ AD) Chứng minh M là tâmđường tròn ngoại tiếp ∆HEF

Bài 62: Cho (O) đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa O và B Kẻ dây CD ⊥

AB tại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ (E khác A và C) Kẻ CK ⊥ AE tại

K Đường thẳng DE cắt CK tại F

a, Chứng minh AHCK là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh HK // ED và ∆ACF cân

c, Tìm vị trí của E để diện tích ∆ADF lớn nhất.

Bài 63: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE và CF cắt nhau tại

H

a, Chứng minh BFEC nội tiếp

b, Chứng minh AF.AB = AE.AC

c, BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N Chứng minh EF // MN

d, Giả sử B và C cố định, A thay đổi Tìm vị trí của A sao cho ∆AEH có diện tíchlớn nhất

Bài 64: Cho (O) đường kính AB = 2R, đường thẳng xy là tiếp tuyến với (O) tại B

CD là một đường kính bất kì sao cho AC < CB Gọi giao điểm của AC, AD với xytheo thứ tự là M, N

a, Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp

b, Chứng minh AC.AM = AD.AN

c, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm của MN.Chứng minh rằng tứ giác AOIH là HBH Khi đường kính CD quay xung quanhđiểm O thì I di chuyển trên đường nào?

Bài 65: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.

OB Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt OB, OD kéo dài lần lượt tại E và F.Đường thẳng qua N và vuông góc với AB cắt EF tại P

a, Chứng minh tứ giác ONMP là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh ∆EMN là tam giác đều

c, Chứng minh NC = OP

d, Gọi H là trực tâm của ∆AEF Hỏi ba điểm A, H, P có thẳng hàng không? Vìsao?

Bài 66: Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau.Lấy điểm M bất kì thuộc đoạn OA (M khác O và A) Tia DM cắt đường tròn (O)tại N

a, Chứng minh OMNC nội tiếp

c, Tiếp tuyến tại C với đường tròn (O) cắt tia DM tại E, đường tròn ngoại tiếp

∆CDE cắt BC tại F Chứng minh DF // AN

B

I