Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kỹ thuật GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 708 Chương 10 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 709 Động lượng, Mômen động lượng, Động năng km 4m nm 2m 3m 5m 1mkF kv O kr k km v 1 Hai đặc trưng của hệ lực trên hệ chất điểm Véc tơ lực chính 1 n k k R F = = ∑ Véc tơ mômen lực chính đối với O 1 1 ( ) ( ) n n O k kO k k k M m F r F = = = = ∧∑ ∑ 2 Hai đặc trưng động học của hệ chất điểm Véc tơ động lượng chính 1 ( ) n k k k Q m v = = ∑ Véc tơ mômen động lượng chính đối với O 1 1 ( ) ( ) n n O O k k k k k k k K m m v r m v = = = = ∧∑ ∑ Cố đị nh Chất điểm k bất kỳ - Xác định bởi với O là điểm tùy chọ n - Khối lượ ng - Chịu lực tác dụng kr km kF GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 711 4 Mối quan hệ giữa véc tơ mômen lực chính với véc tơ mômen động lượng chính đối với cùng một điểm– Định lý Mômen động lượng ( )k k kk k k k k k k k k Om a F r m a r F r m a m F= ⇒ ∧ = ∧ ⇒ ∧ = Từ: Trong một hệ chất điểm, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ mômen động lượng chính tại điểm nào thì bằng véc tơ mômen lực chính tại điểm đó. ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) k k k k k k k k k k k k k k k d r m v dv dr r m m v dt dt dt dv r m r m a dt ∧ = ∧ + ∧ = ∧ + = ∧ mà: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n k k k n kk k k k kO O k d r m v d r m v m F m F dt dt = = ∧ ∧ = ⇒ = ∑ ∑ Từ: O O d K M dt = Do đó: GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 710 3 Mối quan hệ giữa véc tơ lực chính với véc tơ động lượng chính – Định lý Động lượng 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k k k k k kk k k n n k k k k k n k k n k k k dv d m v m a F m F F dt dt d m v F dt d m v F dt d Q R dt = = = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∑ ∑ ∑ ∑ Từ: Trong một hệ chất điểm, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ độ ng lượng chính thì bằng véc tơ lực chính. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 712 5 Mối quan hệ giữa công suất của hệ lực với động năng của hệ chất điểm 2 1 1 . . 1 ( ) ( )2 . ( ) k kk k k k k k k k k k k k n k n k k k m a F m a v F v d m v d T F v W dt dt d T dT W W dt dt = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∑ ∑ Từ: Trong một hệ chất điểm, đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tổng động nă ng của hệ thì bằng tổng công suất của lực trong hệ. 2 21 1 2 2 k k k k kT m v m v= = : động năng của chất điểm thứ k kk kW F v= : công suất của lực kF GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 713 6 Lưu ý áp dụng định lý cho hệ vật rắn Khi áp dụng định lý cho vật rắn thì cần lưu ý những điều sau: 1 0 n i i k k R Fe i e R R R R R= = =∑ = + → = 1 ( ) 0 n i i O k O k M m Fe i e O O O O OM M M M M= = =∑ = + → = Thật vậy, xét hai chất điểm bất kỳ M và N trong cùng một vật rắ n, chúng tương tác nhau bởi các nội lực như hình vẽ. M N O Mr Nr i MNF i NMF i i i NM MNF F F= = Véc tơ lực chính và mômen lực chính do nội lực là bằng 0, nên nội lự c không làm phát sinh động lượng và mômen động lượng trong hệ. 0 i i MN NMF F+ = 0 i i MN NMM Nr F r F∧ + ∧ = Rõ ràng: GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 715 Các chất điểm về vị trí và động học liên hệ theo công thức sau: 1 1 1 . . . , , n n n k k k k k k k k k C C C m r m v m a r v a M M M = = = = = = ∑ ∑ ∑ Mỗi định lý thể hiện nội dung định lý dưới những dạ ng công thức khác nhau. Các bài sau, mỗi bài trình bày mỗi định lý. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 714 e i W W W= + Vật rắn tuyệt đối e W W= 0i W = Nội lực trong vật rắn biến dạng có sinh công, trong vật tuyệt đối cứ ng không sinh công. ( ) . . . . ( ) . ( ) , . ( ) i i i ii MN NM MN MNM N M N i i i MN MN i i MN M N N M NM dA F dr F dr F dr F dr F dr dr F d NM F d NM F F = + = − = − = = − Ta có: Có thể biểu diễn ( α là hằng số nào đó)2 . i NMF NM α= 2 2 2 2 2 ( ) . . ( ) ( ) ( ) 2 2 , i i MN NM i dA NM d NMF d d MNF NM α α α= − = − = − Do đó: +Vật rắn biến dạng, có thể thay đổi nên nội lực sinh côngMN +Vật rắn tuyệt đối cứng, không đổi nên nội lực không sinh côngM N Công suất do nội lực: i i dA W dt = GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 716 1. Định lý động lượng Trong phần này sẽ khảo sát mối quan hệ giữa động lượng của hệ với véc tơ chính của ngoại lực tác dụng trên hệ. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 717 km kv k 1F 2F 3F nF .k k k Q m v= ∑ ... edQ R dt = i e e dQ R dt d S= = i 1 22 1 e Q Q S −− = i Véc tơ động lượng của hệ : Véc tơ lực chính của hệ ngoại lực: e i i R F= ∑ Một vài kết quả từ định lý Nội dung định lý này đượ c làm rõ chi tiết trong phầ n tiếp sau. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 719 c. Động lượng của vật rắn: . CQ M v= M C Cv . CQ M v= 10.3 Chứng minh: k k k kQ m v m r= =∑ ∑ ɺ Mà: k k Cm r Mr=∑ nên C CQ Mr Mv= = ɺ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 718 a. Động lượng của một chất điểm: .Q m v= m v b. Động lượng của hệ chất điểm: 2m 1m nm 1v 2v nv 1 11 .Q m v= 2 22 .Q m v= .n nnQ m v= Q 1. Động lượng 10.1.Q m v= 1 n k k k Q m v = = ∑ 10.2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 720 d. Động lượng của hệ vật rắn:α 1 21 2. . ... . nC C n CQ M v M v M v= + + + 1Cv 2Cv 4Cv 3 0Cv = 1C 2C 3C 4C 1M 2M3M 4M 22 . CM v Q 11. CM v 44 . CM v 10.4 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 721 Trong hệ trục tọa độ Descartes cố định thì: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 . . ... . . . ... . . . ... . n n n x C C n C y C C n C x y z z C C n C Q M x M x M x Q M y M y M y Q Q Q Q Q M z M z M z = + + + = + + + ⇒ = + + = + + + ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ Khi các véc tơ đã xác định, thì:( 1, )kCv k n= 1 2 2 2 1 1 . . . k k k n x k xC k n y k yC x y z k n z k zC k Q M v Q M v Q Q Q Q Q M v = = = = = ⇒ = + + = ∑ ∑ ∑ Khi biết phương trình chuyển động của , thì:( 1, )kC k n= GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 723 3. Định lý động lượng a. Dạng động học: 1 n e k k d Q F dt = = ∑ 10.7 Chứng minh: 0 e i e k k k kk k k e e k kk k dv m a F F m F dt d d Q m v F F dt dt = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ta có: 10.8 b. Phương trình vi phân của chuyển động khối tâm: 1 1 n ne e k kC C k k Ma F Mr F = = = ⇒ =∑ ∑ ɺɺ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 722 2. Lực tác dụng a. Véc tơ chính của ngoại lực 1 n e e k k R F = = ∑ b. Xung lượng của lực: biểu thị tác dụng của lực theo thời gian + Xung lượng nguyên tố: biểu thị tác dụng của lực trong dt d S Fdt= + Xung lượng hữu hạn: biểu thị tác dụng của lực từ t1 đến t2 2 2 1 1 1 2 t t t t S d S Fdt− = =∫ ∫ F const= Nếu thì 1 2 2 1( )S F t t− = − 10.6 10.5 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 724 - Đối với hệ một vật rắn khối lượng M, khối tâm C: 1 1 1 . . . n e xC k k n e yC k k n e zC k k M a X M a Y M a Z = = = = = = ∑ ∑ ∑ 10.9a ( ) ( ) ( ), , , , , , , e e e e e e e kC xC yC zC kx ky kx k k ka a a a F F F F X Y Z= = = Lưu ý: - Đối với hệ p vật rắn; vật rắn thứ k có khối lượng Mk, khối tâm Ck: 1 1 1 1 1 1 . . . k k k p n e k xC k k k p n e k yC k k k p n e k zC k k k M a X M a Y M a Z = = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 10.9b GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 725 c. Dạng bảo toàn: Nếu 1 0 n e k k F Q const = = ⇔ =∑ 10.10 + Đối với hệ gồm q vật rắn: 1 1 0k k q q k C k C k k M v const M a = = = ⇔ =∑ ∑ + Đối với hệ một vật rắn: 0 C C C v const Mv const a = = ⇔ = 1 0 n e k x k X Q const = = ⇔ =∑Nếu + Đối với hệ gồm q vật rắn: 1 1 0k k q q k xC k xC k k M v const M a = = = ⇔ =∑ ∑ + Đối với hệ một vật rắn: 0 xC xC xC v const Mv const a = = ⇔ = 10.11 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 727 Ví dụ 1: Đĩa tròn mảnh đồng chất, khối lượng M, khối tâm C. Đĩa lăn tự do không trượt trên mặt phẳng nghiêng nhanh dần đều theo chiều hướ ng xuống. Hãy viết công thức dạng đạo hàm của định lý động lượng? N P msF C Ca C ms CP N F Ma+ + = Theo định lý Động lượng: α αα Từ công thức trên, tính được lực ma sát và phản lực pháp .sin .sinms C ms CP F Ma F P Ma α α− = ⇒ = −i .cos 0 .cosN P N P α α− = ⇒ =i GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 726 c. Dạng biến thiên: 1 22 1 e Q Q S −− = 10.12 Chứng minh: 2 2 1 1 1 2 1 22 1 2 1( ) ( ) t t e e e e k k t t d Q F dt d Q F dt Q t Q t S Q Q S− −= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =∑ ∑∫ ∫ Ta có: GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 728 Ví dụ 2: Vật phẳng đồng chất có khối lượng M, khối tâm C trượt tự do không vận tốc đầu trên mặt nghiêng không ma sát. Hãy viết công thứ c dạng đạo hàm của định lý động lượng? C C P N Cv Ca CP N Ma+ = Theo định lý Động lượng: Từ công thức trên, ta tính được phản lực pháp và tìm được phươ ng trình vận tốc, phương trình chuyển động. 0 2 0 0 ( ) .sin . .sin .sin 1 ( ) ( .sin ) 2 C C C C v t g t v P Ma a g s t g t v t s α α α α = + = ⇒ = ⇒ = + + i .cos 0 .cosN P N P α α− = ⇒ =i α α α GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 729 Ví dụ 3: Thanh thẳng mảnh đồng chất, khối lượng M, khố i tâm C quay tự do quanh đầu thanh. Hãy viết công thức dạng đạo hàm của định lý động lượng? ( )n A A C CP X Y M a a τ + + = + Theo định lý Động lượng: A B C ϕ A B C ϕ Ca τ n Ca AX AY P Từ công thức trên, ta tính được phản lực liên kết tại A từ 2 phươ ng trình chiếu khi biết gia tốc tại C. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 731 Ví dụ 5: Vật đồng chất có khối lượng M, khối tâm C rơi tự do không vận tốc đầu, không chịu cản. Viết công thức dạng biến thiên của định lý động lượng, thời điểm đầu lúc vật bắt đầu chuyển động, thời điểm cuố i là thời điểm t2. 0, (0) 0, (0) 0t v s= = = 2 2,t v S P ( )Cv t C, ( ), ( )t v t s t ( )s t C 2 ( 2) (0) 0 ( 2) 2 ( 2) ( 2) 2 2 ( ) . . t C C C C C M v t v Pdt M v Pt M v Mgt v gt − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∫ Theo định lý Động lượng: Nếu t2=t thì: 0 2 0 (0) 0 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 C s s g v t gt s t t s g s t t= ⇒ = = ⇒ = + → = GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 730 Ví dụ 4: Vật phẳng đồng chất có khối lượng M, khối tâm C trượt tự do không vận tốc đầu trên mặt nghiêng không ma sát. Hãy viết công thứ c dạng biến thiên của định lý động lượng, thời điểm đầu lúc vật bắt đầ u chuyển động, thời điểm cuối là thời điểm t tổng quát. C C C 0N P P ( )N t (0) Cv ( )Cv t ( )Ca t t = 0 t (0) 0 ( ) ( ) t C CM v t v N t P dt − = + ∫ Theo định lý Động lượng: 0 ( ) ( ) t CMv t N t P dt ⇒ = + ∫ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 732 Nhìn lại định lý động lượng 1 n e k k d Q F dt = = ∑ 1. Từ công thức dạng đạ o hàm: - Đây là phương trình véc tơ tổ ng quát. - Trong hệ trục Oxyz, có thể triển khai thành 3 phương trình chiế u - Khi véc tơ động lượng đã biết thì dùng phương trình trên tìm ngoạ i lực – xác định được nhiều nhất 3 ẩn số . - Nếu biết tất cả ngoại lực thì dùng phương trình trên định véc tơ độ ng lượng. Từ đó, tìm các đặc trưng chuyển độ ng. 2. Đối với hệ tĩnh, cân bằng thì: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 n e k k n ne e k k k k n e k k X Q F Y Z = = = = = = ⇒ = ⇔ = = ∑ ∑ ∑ ∑ Đây là phương trình cân bằng lực theo 3 phương trong bài toán tĩnh GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 733 BÀI TẬP CHƯƠNG 10 SINH VIÊN CẦN GIẢI QUYẾT Các dạng bài toán áp dụng các định lý tổng quát - Bài toán thứ nhất: Dùng định lý bảo toàn động lượng để tìm chuyển dịch một vài bộ phận trong hệ . - Bài toán thứ hai: Dùng định lý bảo toàn động lượng để xác định phản lực liên kế t trong hệ. GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 735 Bài giải: R I 0 ω P AB ω0 45 n BAa AO 3B C≡ 1Cv 3B Cv v= r 2Cv 1C 2C R 3r Av Véc tơ động lượng của hệ là một véc tơ tự do: 1 2 3Q Q Q Q= + + GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 734 Bài tập 10.1 Xác định véc tơ động lượng của hệ sau, các thanh là mảnh đồng chấ t, bánh xe đồng chất với khối tâm là B. 0 ω R I 0 45 n BAa AO B r R 3r1 0 2 3 : 2 , , : , , , Thanh OA Thanh AB Banï h xe: OA a r m AB l m R r m ω= = = Bánh xe lăn không trượt 3 2 12 4 4m m m m= = =Cho: GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 736 y x 111 . CQ m v= 222 . CQ m v= 333 . CQ m v= H 0 45 y x 1Q 2Q 3Q H Q 0 45 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 737 1 2 31 2 3. . . (1)C C CQ m v m v m v= + + Động lượng của hệ là: 1 0 0 , 2 C a v r ω ω= = 0 02Av a r ω ω= = 2 0 0.cos45 2C Av v r ω= = 3 02 ,C Bv v r ω= = Trong đó: 2 2 0109.x yQ Q Q mr ω= + = 2 3 0 2 3 0. .cos 45 . 10x C CQ m v m v mr ω= + = 1 2 0 1 2 0. . .cos 45 3y C CQ m v m v mr ω= − − = − Chiếu véc tơ động lượng lên các trục của hệ trục tọa độ (x,y), ta có:Q Độ lớn động lượng của hệ : Véc tơ động lượng là một véc tơ tự do, phương được xác định như sau: 0 0 0 0 cos 10 109. 10 109 cos 3 109. 3 109 x y mr mr mr mr α ω ω α ω ω = = = − = − GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 739 Vận tốc góc của thanh OA khi t = 2(s) 2 2 02( ) 2( ) 3 sin( ) (rad s) 0 18 6 36 OA t s t s t π π π ω ϕ ω = = = = − = − = ⇒ =