Hướng dẫn giải bài tập phương trình vi phân

Một số bài tập phương trình vi phân cho sinh viên ngành sư phạm Toán trường Đại học Giáo dục, tài liệu này mang tính chất tham khảo để học tập. Trong quá trình chế bản còn một số lỗi mong các độc giả góp ý để tác giả hoàn thiện chỉnh chu hơn.

HƯỚNG DẪN

GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(Dành cho sinh viên Sư phạm Toán và sinh viên kép Sư phạm ToánTrường Đại học Giáo dục, ĐHQGHN)

MỤC LỤC

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 3

A LÝ THUYẾT: 3

1 Phương trình biến số phân li: 3

2 Phương trình biến số phân li được: 3

B BÀI TẬP CHƯƠNG II: 19

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT 20

A LÝ THUYẾT 20

I Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng: 20

II Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 24

III Một số phương trình tuyến tính cấp n đưa về phương trình tuyến tính với hệ sốhằng 30

IV Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 37

B BÀI TÂP CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT 42CHƯƠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 43

I Phương pháp tích phân hệ phương trình vi phân: 43

II Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất 45

1 Các tính chất của nghiệm hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất 46

2 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrang .47

III Hệ phương trình không thuần nhất với hệ số hằng 49

B.BÀI TÂP CHƯONG IV 56

CHƯƠNG V: BIẾN ĐỔI LAPLACE 57

I Định nghĩa 57

II Tính chất 57

III Bảng 1 số biến đổi Laplace thường dùng 57

IV ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 58

1 Giải phường trình vi phân 59

2 Giải hê phương trình vi phân 63

BÀI TẬP CHƯƠNG V: BIẾN ĐỔI LAPLACE 68

CHƯƠNG VI: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69

I Ứng dụng vào cơ học 69

II Ứng dụng vào giải tích mạch điện 71

BÀI TẬP CHƯƠNG VI 75

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 77

CHƯƠNG I : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 77

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM 84

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT 87

CHƯƠNG IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 88

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP IA LÝ THUYẾT:

1 Phương trình biến số phân li:

Ở đây hệ số của dx là hàm chỉ phục thuộc biến x, hệ số của dy là hàm chỉphụ thuộc biến y Ta sẽ giả thiết rằng các hàm X,Y liên tục trong miền xácđịnh của chúng, Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) xác địnhnhư sau:

1 + �2�� = � (� ∈ �)=> ln(1 + �2) + ��(1 + �2) = � (� > 0)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là: ln(1 + �2) + ��(1 + �2) = �

* Ví dụ 2: Giải phương trình:

�' =�3�2

Ta có: �' = ��32 => �2 �' = �3 => �2 ��

��= �3 => �2�� = �3��Lấy nguyên hàm hai vế ta được :

�2�� = �3��=> �33=�44+ � (� ∈ �)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: �33=�44+ � (� ∈ �)

2 Phương trình biến số phân li được:Phương trình có dạng sau:

Ở đây các hàm m1,m2,n1,n2được giả thiết là liên tục trong miền đang xét.

�2(�)

Tức là ta đi đến phương trình biến số phân li Bởi vậy tích phân tổng quátcủa phương trình (2.1):

�1(�)�2(�)�� +

�1(�)�� = �

* Chú ý: Để đi đến phương trình biến số phân ly (2.2) tã đã giải thiết≠ 0 Xét trường hợp bằng 0 :

(2.1) và để ý rằng �1(�) = 0, d(a) = 0ta suy ra y=a cũng là nghiệm của (2.1).+ Nếu trong phương trình (2.1) ta coi vai trò của x và y như nhau thìphương trình đó còn có nghiệm x=b, trong đó b là ngiệm của phươngtrình �2(�) = 0

* Ví dụ : Xét phương trình:

x 1 − y2dx + y 1 − x2dy = 0 (*)

1 − y2 1 − x2ta được phương trình phân li biến số :x

1 − y2dy = 0+ Lấy tích phân hai vế ta được :

3 Phương trình thuần nhất :

Phương trình thuần nhất có dạng: �(�, �)�� + �(�, �)�� = 0 (3.1)Hướng dẫn giải: Phương trình thuần nhất (3.1) có thể đưa về phương trìnhbiến số phân li nhờ phép thế � = �� hoặc � =��

* Ví dụ: Xét phương trình

�' = � − 2�� + �

+ Điều kiện: x ≠ 2y

+ Xét x ≠ 0 ta chia cả hai vế cho x ta được:�' = 1 + ��

1 − 2 ��

+ Đặt z =yx => y = zx => �' = � + ��' thay vào biểu thức trên ta được :� + ��' = 1 − 2�1 + �

=> ��' =1 + 2�1 − 2�2=> ��� =1 + 2�1 − 2� ��2

=> ��� = 1 − 2�1 + 2�2��+ Lấy tích phân hai vế ta được :

1 − 2�1 + 2�2��=> 1

2arctan( 2x) =1

2 ln(1 + 2z2) + C (C ∈ R)=> 1

2arctan( 2x) =1

2 ln(1 + 2y2

x2) + C (C ∈ R)+ Xét x=0 thì là nghiệm của phương trình.

Vậy 12arctan( 2x) = 12ln(1 + 2yx22) + C (C ∈ R) là nghiệm tổng quát của bàitoán và x=0 là nghiệm của phương trình.

4 Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất:Xét phương trình (4.1) có dạng:

���� = �(

� = � + �

Trong đó u,v là biến mới và α, β thỏa mãn:�1� + �1� + �1 = 0�2� + �2� + �2 = 0

���� = �(

�1� + �1� + �1� + �1� + �1�2� + �2� + �2� + �2� + �2)Giải phương trình thuần nhất trên rồi tìm nghiệm.b Trường hợp 2 định thức �1 �1

�2 �2 = 0Khi đó �1

�2 = � Do đó phương trình (4.1) có dạng��

−7� + 3� + 73� − 7� − 3

���� =

−7� + 3�

3� − 7� =−7 + 3 ��3 − 7 ��

Đặt� = ��ta đưa phương trình trên về phương trình biến số phân li� + ����� =−7 + 3�3 − 7�

=> ��� =�� −7 + 3�3 − 7� − �=> 3 − 7�

−7 + 7�2�� =���

Lấy tích phân hai vế và thế biến � = � − � �à � = � ta tìm nghiệm tổngquát của phương trình đã cho là (� + � − �)�(� − � + �)�= �

5 Phương trình tuyến tính cấp 1:

=> y = Ce− p(x)dx (C = eC1, C ≠ 0) (5.3)Nhận thấy y ≡ 0 cũng là nghiệm của (5.2).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (5.2) là

Để tìm nghiệm tổng quát phương trình (5.1) Ta dùng phương pháp biếnthiên hằng số C = C(x) ta có y = C(x) e− p(x)dx và thế vào phương trình (5.1)ta được:

�,+ �(�)� = �(�)

=> �'(x) e− p(x)dx− C(x) p(x) e− p(x)dx+ C(x) p(x) e− p(x)dx = �(�)=> �'(x) e− p(x)dx = �(�)

�,−2� � = 0=>���� −2� � = 0

=> ��� =2� ��=> � = � �2

Khi đó nghiệm của phương trình (1) có dạng� = �(�) �2 (2)Thay (2) vào phương trình (1) ta được:

�'(�) �2+ 2� �(�) −2� �(�) �2 = �=> �'(�) =1�

được nghiệm tổng quát của phương trình (1)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là � = ���� � + ���

+ Ta thấy phương trình (**) là phương trình tuyến tính cấp 1.

=> ��� =− 4���=> �� � =− 2�2+ �

=− 2�=> C1(�) = −2��2�2

Định lý: Điều kiện cần và đủ để cho phương trình (7.1) là phương trình vi

phân toàn phần trong miền đơn liên G khi và chỉ khi:��

�� =��

Với mọi (x, y)ϵ G.

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Kiểm tra xem phương trình đang xét có thỏa mãn điều kiện cầnvà đủ (7.2) để phương trình là phương trình vi phân toàn phần.

+ Bước 2: Ta xác định u(x,y) bằng cách:u(x, y) =

M(x, y0) dx +

N(x, y)dyHoặc

u(x, y) =

M(x, y) dx +

N(x0, y)dy

Ở đây (��, ��) là hằng số tùy ý ta chọn để tính cho dễ.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toànphân có dạng u(x, y) = C trong G.

�� = 12��=> ��

�� =��

�� => Phương trình 1 là PTVP toàn phần.Ta chọn (x0, y0) = (0,1) Ta tìm u(x,y) dưới dạng sau

u(x, y) =

M(x, y0) dx +

N(x, y)dy=> u(x, y) =

(3x2+ 6x) dx +

(6x2y + 4y3)dy=> u(x, y) = x3+ 3x2y2+ y4− 1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là x3+ 3x2y2+ y4− 1 = Chay x3+ 3x2y2+ y4= C.

8 Thừa số tích phân:

Phương trình M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (8.1)

Nếu ���� ≠ ���� thì ta tìm thừa số tích phân φ(x, y) ≠ 0 Sao cho phươngtrình �(�, �) �(�, �)�� + �(�, �) �(�, �)�� = � (� �) là phương trình viphân toàn phần.

Hướng dẫn xác định thừa số tích phân:

+ Nếu φ(x, y) = φ(x) (hàm chỉ phụ thuộc vào x) Khi đó ta đặtμ(x) =

∂M∂y − ∂N∂x

phần (8.2) và giải phương trình sau:

�(�) �(�, �)�� + �(�) �(�, �)�� = �

+ Nếu φ(x, y) = φ(ε) (hàm ε(x, y) phụ thuộc vào x và y) Khi đó ta đặtg(ε) =

∂M∂y − ∂N∂xN ∂ε

∂y − ∂N∂x

−2(1 + xy2)x(1 + xy2) =

−2x

Do đó:

φ(x, y) = φ(x) = e−2 dxx = 1x2

Nhân cả hai vế của phương trình 1 với φ(x) ta được phương trình thuầnnhất

(1 − 2 y

x2)dx + (y2+1x )dy = 0

Giải phương trình thuần nhất trên ta tìm được nghiệm tổng quát là:3x2+ xy3+ 3xy − Cx = 0

1 − y2dy + 1 − x2dx = 0c.

c y2+ x2 dy

dx= xydydxd.

(x − y cosyx )dx + x cosyx dy = 0e.

(x + 2y + 1)dy − (2x + 4y + 3)dx = 0f.

1y sin

xy −

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RAĐẠO HÀM

a Nếu từ phương trình �(�, �') = 0 ta tìm được ra �' = �(�) thì khi đó nghiệm

của phương trình (1) được xác định:

y = f(x)dx + C

b Nếu từ phương trình (1) ta giải ra được x = φ(y') thì khi đó ta đặt y'= p và p

là tham số hóa của y'ta có

dy = p'φ(p)dp

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) biểu diễn dưới dạng sau:

x = φ(p)y = p φ'(p)dp

p+ py = pep− ep+p2

Khi đó

Nghiệm tổng quát của phương trình (1) biểu diễn dưới dạng tham số

x = φ(t)y = ω(t)φ'(t)dt

b Từ phương trình (2) ta giải đươc y = φ(y').

nghiệm tổng quát của phương trình (2) dưới dạng sau:

x = φ'(p)p dp + Cy = φ(p)

* Ví dụ: Xét phương trình sau

y'+ ln y'− y = 0 (b 2)Ta có y = y'+ ln y' Khi đó ta đặt y' = p ta có:

y = p + ln p=> dydx =p'+pp'=> dx = 1p + 1

p2 dp

=> x = 1p +p12 dp = ln p −1p + CVậy nghiệm tổng quát của phương trình (b.2) là:

x = ln p −1p+ Cy = ln p + p

c Từ phương trình (2) ta biểu diễn:

y = φ(t)y'= ω(t)

Khi đó

dx =φω(t) dt => x ='(t) φω(t)'(t)dt + C

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) là:

x = φω(t) dt + C'(t)y = φ(t)

=> �(�) − � �� + ��'(�) + �'(�) �� = 0 (*)Xét �(�) − � ≠ 0 khi đó ta chia cả hai vế của phương trình (*) cho �(�) − � tađược

dxdp + x

φ'(p)φ(p) − p =

=> ln (1 + x) = ln (1 − p)−2+ C=> 1 + x = C(1 − p)−2

C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) là:

(1 − p)2− 1

(1 − p)2 p2

B BÀI TẬP CHƯƠNG II:

Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát các phương trình sau:a.

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT

Ở chương này mình tổng hợp các công thức tổng quát ở dạng đặc biệt của phươngtrình tuyến tính cấp n, tức là hệ số của phương trình là hằng số Và các bài tậpthường gặp sẽ là phương trình tuyến tính cấp 2 hoặc cấp 3 Ngoài ra mình cũng sẽđưa một số lý thuyết và bài toán phần hệ số có chứa biến vào phần này.

A LÝ THUYẾT

I Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng:

Xét phương trình có dạng:

�(�)+ ���(�−�)+ + ��� = � (1)Trong đó các ai(i=1,2,3, ,n) là các hằng số thực.

Phương pháp giải đối với bài toán này là ta xét phương trình vi phân đặctrưng:

��+ ����−�+ + �� = � (2)

1 Phương trình đặc trưng (2) có n nghiệm thực phân biệt:

Ta giải phương trình (2) và tìm được n nghiệm λ1, λ2, , λn phân biệt khiđó ta xây dựng được n nghiệm riêng của phương trình (1) như sau:

λ3− λ2− 4λ1+ 4 = 0=> λ = 1λ = 2

được hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phương trình (1) là ���cos �� và

nghiệm cơ bản của phương trình (1).

* Ví dụ: Xét phương trình

�'''− 3�''+ 9�'+ 13� = 0 (2.1)Xét phương trình đặc trưng có dạng

λ3− 3λ2+ 9λ1+ 13 = 0=> λ = 2 + 3iλ =− 1

λ = 2 − 3i

Ta thấy hai nghiệm 2 + 3i và 2 − 3i là hai số phức liên hợp do đó ta tìmđược hai nghiệm thực của phương trình (2.1) là �2�cos 3� và �2�sin 3� Chonên hệ nghiệm cơ bản của phương trình (2.1) là

y1= e−x,y2= e2xcos3x,y3 = e2xsin3xVậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) là

y = C1e−x+ C2e2xcos3x + C3e2xsin3x

3 Phương trình đặc trưng (2) có nghiệm bội:

a Nếu phương trình đặc trưng (2) có �1 là nghiệm bội k thì khi đó hệnghiệm cơ bản của phương trình (1) thì hệ nghiệm cơ bản của phươngtrình

tính của phương trình (1.1) như sau

���cos ��,����cos ��,x2���cos ��, , xk−1���cos �����sin ��,����sin ��,x2���cos ��, , xk−1���sin ��

∗Ví dụ 1 Xét phương trình

�′′′− ��′′+ ��′− � = � (3.1)Phương trinh đặc trưng có dạng

�3− 3�2+ 3� − 1 = 0=> (� − 1)3 = 0

Suy ra nghiệm � = 1 (bội 3) Do đó hệ nghiệm cơ bản của phương trình(3.1) là

�4− 4�3+ 5�2− 4� + 4 = 0

Giải phương trình đặc trưng ta tìm được một nghiệm kép �1 = �2= 2 vàhai nghiệm phức liên hợp là: �3 = �, �4=− � Do đó ta tìm được hệ nghiệmcơ bản của phương trình (3.3) dưới dạng

�2�, ��2�, cos �, sin �Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) là

� = �1e2x+ C2xe2x+ C3cos x + C4sin x

*Ví dụ 4 Cho phương trình

�(�)− ��′′′+ ��′′− ��′+ �� = � (3.4)Xét phương trình đặc trưng có dạng

�5− �4+ 8�3− 8�2+ 16� − 16 = 0

Giải phương trình đặc trưng ta có một nghiệm đơn �1 = 1 và một cặpnghiệm phức liên hợp bội 2

�2= �3 = 2i, �4 = �5 =− 2iDo đó hệ nghiệm cơ bản của phương trình (3.5) là

��, sin 2�, �sin 2�, cos 2�, �cos 2�Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (3.5) có dạng

chúng ta hạy gặp và cách dùng phương pháp đồng nhất hệ số (hệ số bất định)cho từng dạng bài mà ta hay gặp.

1 Nếu �(�) là một đa thức cấp � :

�(�) = ����+ ����−�+ … + ��

thì ta đi đến quy tắc tìm nghiệm riêng �∗(�) như sau :

a) Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng khác 0 thì ta cần tìm nghiệmriêng dưới dạng:

Xét phưong trình đặc trưng

�2− 5� + 6 = 0

Ta giải phương trình đặc trưng và tìm được hai nghiệm thực khác 0 là�1 = 2, �2= 3 Do vậy ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuầnnhất dưới dạng sau:

�∗(�) = ��2+ �� + �Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta được

6��2+ (6� − 10�)� + 6� − 5� + 2� ≡ 6�2− 10�Đồng nhất các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của � ta được

6� = 6; 6� − 10� =− 10; 6� − 5� + 2� = 2Giải ra ta được A = 1, B = 0, C = 0 và do đó

�∗(�) = �2.Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

� = �1�2�+ �2�3�+ �2

* Ví du 2 Xét phương trình

�′′− ��′ =− ���+ �� (1.2)Phương trình đặc trưng là

�2− 5� = 0

Giải phương trình đặc trưng ta tìm được nghiệm đơn và có một nghiệmbằng 0:

�1 = 0, �2 = 5Suy ra tìm nghiệm riêng y∗(x) dưới dạng sau

y∗(x) = x Ax2+ Bx + C

Thay y∗(x) vào phương trình (1.2) và hằng đồng nhất hệ số của các lũythừa cùng bậc của � ta tìm được � =13, � = 0, C = 0 Do đó y∗(x) =13x3vànghiệm tổng quát của phuơng trình đang xét có dạng

�∗(�) = �1+ �2�5�+13 �3

*Ví dụ 3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

�′′− � = (�� + �)��� (1.3)Phương trinh đặc trưng

=> �∗(�) = 23 � −59 �2�

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.3) là� = �1��+ �2�−�+ 23 � −59 �2�

* Ví du 4 Xét phương trình

�′′− ��′+ �� = ���� (1.4)Phương trình đặc trưng là

�2− 4� + 4 = 0

Giải phương trình đặc trưng ta có: �1 = �2 = 2 (bội 2) Do đó tìm nghiệmriêng �∗(�) = �2��2� = ��2�2� Thay biểu thức của �∗(�) vào phương trinh viphân (1.4) rồi đồng nhất hệ số ta tìm được hệ số � = 1 và do đó y∗(x) = x2ex.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là� = �1�2�+ �2��2�+ �2�2�

2 Hàm �(�) có dạng

�(�) = ��� ��(�)(�)��� �� + ��(�)(�)��� ��

trong đó ��(1)(�), ��(2)(�) là các đa thức của � bậc không quá m và ít nhất mộttrong hai đa thức trên có bậc bằng m Có thể một trong hai là hằng số, thậmchí đồng nhất bằng 0

Áp dụng phép biến đổi Ơle

cos �� = ���� + �2 −���, sin �� =����− �2� −���ta viết lại �(�) dưới dạng sau :

�(�) = ��(1)(�)�������+ �−���

2 + ��(2)(�)���

����− �−���2�= ��(1)(�)�(�+��)�+ �(2)(�)�(�−��)�

trong đó �m(1)(x), �m(2)(x) là các đa thức bậc m tức f(x) là tổng của hai hàm dạngđã xét ở phần 1 Áp dụng nguyên lí chồng chất nghiệm và kết quả ở phần 1 tasuy ra :

a) Nếu � + �� không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệmriêng �∗(�) được tìm dưới dạng

�∗(�) = ��(1)(�)�(�+��)�+ ��(2)(�)�(�−��)� (2.1)

trong đó ��1(1)(�), ��1(2)(�) là các đa thức cấp � với các hệ số lá định.

b) Nếu � + �� là nghiệm bội �(�⩾�) của phương trình đặc trưng thì nghiệmriêng �∗(�) được tìm dưới dạng

trong đó ���(1)(�), ��(2)(�) là các đa thức cấp m với các hệ số ta cần xác định

* Nếu � + �� là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng (�⩾�) thì ta tìmnghiệm riêng �∗(�) dưới dạng

�∗(�) = �� ��(1)(�)cos �� + ��(2)(�)sin �� �∞� (2.4)

Để xác định các hệ số của ��(1)(�), ��(2)(�) ta thay �∗(�) vào phương trình (2)giống như tiến hành ở phần 1 phía trên Ta cần chú ý rằng ngay cả khi mộttrong hai đa thức ��(1)(�) hoặc �m(2)(�) đồng nhất bằng 0 thì vẫn phải tìmnghiệm riêng y∗(x) dươi dạng (2.3) hoặc (2.4).

* Ví dụ 5 Xét phương trình

�''+ �'− 2� = ��( cos � − 7 sin � ) (2.5)Phương trình đặc trưng

�2+ � − 2 = 0

có nghiệm �1 = 1, �2 =− 2 Trong trường hợp ta đang xét � + �� = = 1 + ikhông phải là nghiệm của phương trình đặc trưng Do đó ta tìm nghiệm riêngy∗(x) dưới dạng sau

�∗(�) = ��(�cos � + �sin �)=> �∗'

(�) = ��(� + �)cos � + (� − �)sin �=> �∗''

(�) = ��(2�cos � − 2�sin �).

Thế vào phương trình vi phân (2.5) rồi giản uớc thừa số exvà đồng nhất hệ sốcủa cos x, sin x ta được hệ sau :

−� + 3� = 1, − � − 3� =− 7.Giải hệ này ta tìm được A = 2, B = 1 và do đó

� = �1�−12�cos  2 � + �3 2�−12�sin  2 � + 2cos 2� + 3sin 2�3

* Ví du 7 Xét phương trình

�′′+ � = ���� � (2.7)Phương trình đặc trưng

� = �(x) (3.1)với � là hàm khả vi một số lần cần thiết Ta có

���� �′(�)�2�

��2= ��� ���� �′(�) �� =�� �2�

��2 �′(�) 2+���� �′′(�)

��� =���

��� �′(�) �+ … +��

�� �(�)(�)Thay các biểu thức này vào phươg trình (3) ta được

��� �′(�) �+ … + ��(�)� = 0Chia hai vế cho �′(�) � suy ra

�′(�) � =1

��(� = const )Khi đó

�′(�) = �� ��(�)và do đó

Như vậy ta đi đến kết luận : Nếu phương trình (3) có thể đưa về

phương trình tuyến tính với hệ số hằng nhờ phép thế biến độc lập (3.1) thìphép thế đó phái theo công thức

2 Phương trình tuyến tính Ơle:

Phương trìnhh tuyến tính Ơle có dạng

���(�) + ����−��(� − �) + … + ��−���′+ ��� = � (3.4)trong đó �1, �2, …, �� là các hằng số Điểm � = 0 là điểm kì dị của phươngtrình Nghiệm phương trình (3.4) tồn tại và duy nhất trên khoảng ( − ∞, 0) và(0, ∞) Giả sử ta xét phương trình trên khoảng (�, ∞).

Để giải phương trình (3.4) và tìm nghiệm tổng quát thì ta có hai cáchthực hiện:

+ Cách 1:

Khi đó dễ kiểm tra được rằngdy

dx2 = d2y

dt2 −dydt e−2t

dx3 = ddt3y3 − 3ddt2y2 + 2dydt e−3t,dny

Tìm nghiệm tổng quát của (3.7) rồi thay t = ln x ta được nghiệm tổng quátcủa phương trình Ole (3.4).

Chý ý Nếu ta xét phương trình (3.4) trên khoảng ( − ∞, 0) thì phép thế

biến (3.5) được thay bằng phép thế

x =− et

* Ví dụ 1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

���′′− ���′+ �� = � (3.8)trên khoảng (0, ∞).

Đặt x = et ta códydx =

dydt e−t;

dt2 − 3dydt + 2y = 0 (3.9)

Khi đó phương trình (3.9) trở thành phương trình vi phân tuyến tính vớihệ số hằng.

dt2 − 2dydt + y = 0 (3.11)Phương trình đặc trưng của phương trình (3.11) là

− 4dy

Xét phương trình đặc trưng

λ2− 4λ + 5 = 0có cặp nghiệm phức liên hợp là

λ1 = 2 + i, λ2= 2 − i

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (3.13) là

y = C1e2tcos t + C2e2tsin t = C1cos t + C2sin t e2t ( ∗ )

Thay t = ln x vào (*) ta suy ra nghiệm tổng quát của phương trình(3.10) là:

y = C1cos ln x + C2sin ln x x2

+ Nhận xét 1 (Cách số 2) Vì phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số

hằng mà phương trình Ole được dẫn tới có các nghiệm riêng dạng: ���, �� ���nên trởlại biến � ta suy ra phương trình Ole có các nghiệm riêng dạng ��, (�� �)� �� Từđây suy ra phương pháp trực tiếp giải phương trinh Ole như sau :

Ta tìm nghiệm dưới dạng

y = xλ

Khi đó

y(k) = λ(λ − 1)(λ − 2)…[λ − (k − 1)]xλ−k (k = 1,2, …, n)Thay vào phương trình Ole (3.4) ta được

trong đó

P(λ) = λ(λ − 1)…(λ − n + 1) + a1λ(λ − 1)…(λ − n + 2) + + an−1λ + anTừ (3.14) ta suy ra rằng hàm y = xλ là nghiệm của phưong trình (3.4) khivà chỉ khi λ là nghiệm của phương trình

P(λ) = 0Hay

λ(λ − 1)…(λ − n + 1) + a1λ(λ − 1)…(λ − n + 2) + …… + an−1λ + an = 0 (3.15)Khi đó phương trình (3.15) được gọi là phương trình đặc trưng ứng vớiphương trình tuyến tính Ơle.

a Giả sử mọi nghiệm của phương trình đặc trưng là thực và khác nhau :

�1, �2, …, �� Khi đó phương trình Ơle có các nghiệm riêng độc lập tuyến tính là:

�1 = ��1, �2 = ��2, …, �� = ��� Do đó nghiệm tổng quát của phương trình Ơle códạng

y = C1x1+ C2x2+ … + Cnxn

b Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (3.15) khác nhau nhưng giữa

chúng có thêm nghiệm phức � + �� thì số phức liên hợp � − �� cũng là nghiệm củaPTĐT (3.14) Áp dụng công thức Eluer của số phức ta có

xa+ib = xa[cos (b ln x) + isin (b ln x)]

ta suy ra cặp nghiệm phức liên hợp a ± ib ứng với hai nghiệm thực làxacos (b ln x), xasin (b ln x)

Kết hợp với các nghiệm thực khác ta suy ra được nghiệm tổng quát củaphương trình Ơle (3.4)

c Nếu phương trình đặc trưng (3.15) có nghiệm bội, chẳng hạn như nghiệm �1

có bội k Khi đó.

P λ1 = P′ λ1 = … = P(k−1) λ1 = 0; P(k) λ1 ≠ 0

Ở phần 3 (phương trình tuyến tính thuần nhất) chúng ta đã biểu diễnđược hệ nghiệm cơ bản nghiệm cơ bản đối với trường hợp phương trình đặctrưng có dạng nghiệm bôi là y1 = eλ1x,y2 = xeλ1x,y3 = x2eλ1x, , yk= xk−1eλ1x.Do đó ta kết luận được phương trình Ơle (3.4) có hệ nghiệm cơ bản là:

xλ1, xλ1ln x, xλ1(ln x)2, …, xλ1(ln x)k−1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình Ơle có dạng:y = C1xλ1+ C2xλ1ln x + C3xλ1(ln x)2+ … + Ckxλ1(ln x)k−1

d Nếu �1 là thực thì k nghiệm này là thực ; nếu �1 = � + �� thì �2 = � − ��

cũng là nghiệm bội � của phương trình đặc trưng (3.15) Cặp nghiệm phức liênhợp � này ứng với 2� nghiệm thực của phương trinh Ole :

xa(lnx)mcos (b ln x), xa(ln x)msin (b ln x )m = 0,1,2, …, k − 1

* Ví dụ 4 Xét phương trình

���′′+ ���′+ � = � (3.16)

Đặt y = xλta có y′ = λxλ−1, y′′= λ(λ − 1)xλ−2 Thay vào phương trình (3.16)ta được

x2λ(λ − 1)x2− 2 + 3xλxλ− 1 + x2 = 0Chia hai vế cho x2ta được:

λ(λ − 1) + 3λ + 1 = 0hay

λ2+ 2λ + 1 = 0

có nghiệm kép λ1 = λ2 =− 1 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình(3.16) là

y = C1x−1+ C2x−1ln x =1x C1+ C2ln x

Nhận xét 2 Đối với phương trình

(ax + b)ny(n)+ (ax + b)n−1a1y(n−1)+ … + an−1(ax + b)y′+ any = 0trong đó a, b, a1, …, anlà các hằng số ta cūng đưa được về phương trình tuyếntính với hệ số hằng bằng phép thế sau :

ax + b = et

* Ví dụ 5 Xét phương trình

(� + �)��′′+ (� + �)�′+ � = ���� �� (� + �) (3.17)Đặt 1 + x = et(ta xét trong miền −1 < x < ∞ do et > 0 ∀t) ta có:

dt2 + y = 4cos t (3.18)

Phương trình (3.18) là phương trình tuyến tính với hệ số hằng khôngthuần nhất Do đó giải và ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trìnhnày có dạng

y = C1cos t + C2sin t + 2tsin t

Trở lại biến x ta được nghiện tổng quát của phương trình đang xét lày = C1cos (ln (1 + x)) + C2+ 2ln (1 + x) sin (ln (1 + x))

IV Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao

Ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2:�′′+ �(�)�′+ �(�)� = � (4.1)

Nếu p(x), q(x) là những hằng số thì ta giải như phần III, ta luôn tìm đượcnghiệm tổng quát của phương trình (4) và do đó dễ dàng biết được các tínhchất nghiệm của phương trình.

Nếu p(x), q(x) không phải là hằng số, thậm chí đối với phương trình thuầnnhất dạng sau

y′′+ q(x)y = 0 (4.2)

Nói chung, không thể tìm được biểu thức của nghiệm tổng quát Tuy vậy,như sau đây sẽ thấy, dựa vào các tính chất của hàm p(x), q(x) ta có thể biếtđược một số tính chất của nghiệm phương trình (4.1).

1 Đưa phưong trình về dạng không chứa đạo hàm cấp 1

Giả thiết các hàm p(x), q(x) liên tục trên khoảng (a, b), ta chứng minh rằngtồn tại phép biến đổi sau

α(x) = e− p(x)2 dx (4.4)

xy′+ 1 −n2

x2 y = 0Ở đây ta có

p(x) = 1x ; q(x) = 1 −n2x2

Do đó ta tìm được

I(x) = 1 +14 − n2

Từ đây ta suy ra, nếu n =±12thì phép thế

y = α(x) ztrong đó

α(x) = e− 2x1 = 1xDo đó sẽ đưa phương trình Becxel

Nhân các hàm này với 2πta được các hàm được gọi là các hàm Becxelsau :

2(x) = 2πsin x

x ; J−12(x) =

Vậy phương trình Becxel dạng (4.8) có nghiệm tổng quát lày = C1J1

2(x) + C2J

* Ví dụ 2 Xét phương trình

�′′+�� �′+ � = � (4.10)Ở đây ta có

p(x) =2x , q(x) = 1Do dó

I(x) = 1

x2−4x42+ 1 = 1Ta có phép thế

y = α(x)z

trong đó

α(x) = e− dxx =1xĐưa phương trình (3.10) về dạng

z′′+ z = 0 ( ∗ )Nghiệm tổng quát của phương trình (*) này là

Định lí 1 Để các phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2

y1′′+ p1(x)y1′ + q2(x)y1 = 0 (4.11)y2′′+ p2(x)y2′ + q2(x)y2= 0 (4.12)

Có thể đưa về lẫn nha qua phép thế (4.3) thì cần và đủ là chúng có cùngchung các bất biến I(x).

Ta cần chọn

β(x) =α1(x)α2(x)

Giả sử phép thế y1= β(x)y2đưa (4.11) về (4.12) ; phép thế y2 = α(x)z đưa(4.12) về dạng

z′′+ I2(x)z = 0 (4.13)

2 Đưa phương trình về dạng liên hợp

Định nghĩa Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 mà hệ số của y' bằng đạo

hàm của hệ số y" được gọi là phương trình tự liên hợp.

Như vậy phương trình tự liên hợp cấp 2 có dạng�(�)�′′+ �′(�)��+ �(�)� = �hay

�