GIÁO TRÌNH CƠ HỌC CƠ SỞ - TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GTVT

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Kinh tế - Thương mại - Kiến trúc - Xây dựng BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GTVT NGUYỄN THỊ GIANG (Chủ biên) ĐỖ QUANG CHẤN - BÙI GIA PHI GIÁO TRÌNH CƠ HỌC CƠ SỞ (Lƣu hành nội bộ) Dùng cho đào tạo: Đại học Hà Nội, năm 2015 LỜI NÓI ĐẦU Cơ học là khoa học có tính hệ thống và đƣợc trình bày rất chặt chẽ . Khi nghiên cứu môn học này đòi hỏi phải nắm vững các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề, vận dụ ng thành thạo các công cụ toán học nhƣ hình giải tích, các phép tính vi phân, tích phân, phƣơng trình vi phân... để thiết lập và chứng minh các định lý đƣợ c trình bày trong môn họ c. Ngoài ra, ngƣời học cần phải thƣờng xuyên giải các bài tập để củng cố kiến thức đồng thời rèn luyện kỹ năng áp dụng lý thuyết cơ học giải quyết các bài toán kỹ thuật. Giáo trình này đƣợc biên soạn dùng cho sinh viên hệ Đại học trƣờng Đại họ c công nghệ Giao thông vận tả i. Khi biên soạn chúng tôi đã tham khảo các giáo trình và tài liệu giảng dạ y môn học này của một số trƣờng đại học trong và ngoài nƣớc để giáo trình vừa đạt yêu cầ u cao về nội dung vừa thích hợp với đối tƣợng ngƣời họ c. Nội dung của giáo trình gồm ba phần: Phần 1 (tĩnh học vật rắn) do cô Nguyễ n Thị Giang biên soạn, phần 2 (động học) do thầy Đỗ Quang Chấn biên soạn và phầ n 3 (động lực học) do thầy Bùi Gia Phi biên soạn. Chịu trách nhiệm chủ biên: Cô Nguyễ n Thị Giang. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô đã tham gia đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để chúng tôi hoàn thiệ n giáo trình. Khi viết chúng tôi đã hết sức cố gắng để cuốn sách đƣợc hoàn chỉnh, song chắ c chắn không tránh khỏi sai sót, chúng tôi rất mong tiếp tục nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện đầy đủ hơn cho giáo trình này. Các tác giả MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN 1 TĨNH HỌC Chƣơng1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CỦA TĨNH HỌC 1.1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1 1.2. CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 3 1.3. LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT 7 1.4. TIÊN ĐỀ GIẢI PHÓNG LIÊN KẾT 12 1.5. MÔ MEN CỦA MỘT LỰC 13 1.6. NGẪU LỰC 18 Chƣơng 2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC 2.1. BÀI TOÁN THU GỌN HỆ LỰC 24 2.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỆ LỰC 33 Chƣơng 3 CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN 3.1. BÀI TOÁN ĐÒN 45 3.2. BÀI TOÁN VẬT LẬT 46 3.3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỆ VẬT 49 3.4. BÀI TOÁN TĨNH ĐỊNH VÀ BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 56 3.5. MA SÁT TRỢT 57 3.6. MA SÁT LĂN 63 3.7. BÀI TOÁN TRỌNG TÂM 65 PHẦN 2 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN Chƣơng 4 ĐỘNG HỌC ĐIỂM – HAI CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 4.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM 80 4.2. HAI CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 94 Chƣơng 5 CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 5.1. ĐỊNH NGHĨA 108 5.2. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 108 5.3. VẬN TỐC CỦA ĐIỂM TRÊN HÌNH PHẲNG. 110 5.4. GIA TỐC CỦA ĐIỂM TRÊN HÌNH PHẲNG 114 Chƣơng 6 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM 6.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 125 6.2. ĐỊNH LÝ HỢP VẬN TỐC 128 6.3. ĐỊNH LÝ HỢP GIA TỐC 130 PHẦN 3 ĐỘNG LỰCHỌC Chƣơng 7 CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 7.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 138 7.2. CÁC ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC 139 7.3. PHƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 140 7.4. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐIỂM 142 Chƣơng 8 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 8.1. HÌNH HỌC KHỐI TÂM 147 8.2. ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM 148 8.3. ĐỊNH LÝ ĐỘNG LỢNG 150 8.4. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LỢNG 154 8.5. ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 161 Chƣơng 9 NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT - NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN CÓ THỂ 9.1. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT 171 9.2. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN CÓ THỂ (KHẢ DĨ) 181 Chƣơng 10 PHƠNG TRÌNH LAGRANGE 10.1. PHƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ 192 10.2. PHƠNG TRÌNH LAGRANGE II 195 TÀI LIỆU THAM KHẢO 202 PHẦN MỞ ĐẦU Cơ học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của vật thể dƣớ i tác dụng của lực. Cân bằng hay chuyển động trong cơ học là trạng thái đứng yên hay dờ i chỗ của vật thể trong không gian theo thời gian so với vật thể khác đƣợc làm chuẩn gọ i là hệ quy chiếu. Không gian và thời gian ở đây độc lập với nhau. Vật thể trong cơ họ c xây dựng dƣới dạng các mô hình chất điểm, cơ hệ và vật rắn. Cơ học đƣợc xây dựng trên cơ sở hệ tiên đề của Newton đã ra trong tác phẩm nổi tiếng " Cơ sở toán học củ a triết học tự nhiên" năm 1687 - chính vì thế cơ học còn đƣợc gọi là cơ học Newton. Cơ học khảo sát các vật thể có kích thƣớc hữu hạn và chuyển động với vận tố c nhỏ hơn vận tốc ánh sáng. Các vật thể có kích thƣớc vĩ mô, chuyển động có vận tốc gầ n với vận tốc ánh sáng đƣợc khảo sát trong giáo trình cơ học tƣơng đối của Anhxtanh. Trong các trƣờng đại học kỹ thuật, cơ học làm nền tảng cho các môn học kỹ thuật cơ sở và kỹ thuật chuyên ngành nhƣ sức bền vật liệu, nguyên lý máy, động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, lý thuyế t ô tô máy kéo v.v... Để hiểu sâu nội dung của môn Cơ học cơ sở, ngƣời học phải nắm đƣợc cơ sở của giải tích toán học, Phƣơng trình vi phân, Đại số cao cấp và có những hiểu biết thự c tế của kỹ thuật ở một mức độ nhất định. Cơ học đã có lịch sử lâu đời cùng với quá trình phát triển của khoa học tự nhiên, bắt đầu từ thời kỳ phục hƣng sau đó đƣợc phát triển và hoàn thiện dần. Các khả o sát có tầm quan trọng đặc biệt làm nền tảng cho sự phát triển của cơ học là các công trình củ a nhà bác học ngƣời ý Galilei (1564- 1642). Galilei đã đƣa ra các định luật về chuyển động của vật thể dƣới tác dụng của lực, đặc biệt là định luật quán tính. Đến thời kỳ Newton (1643- 1727) ông đã hoàn tất trên cơ sở thống nhất và mở rộng cơ học củ a Galilei, xây dựng hệ thống các định luật mang tên ông - định luật Newton. Tiế p theo Newton là D’Alembert (1717- 1783), Euller ( 1707 - 1783) đã có nhiều đóng góp cho cơ học hiện đại ngày nay. Euler là ngƣời đặt nền móng cho việc hình thành môn cơ họ c giải tích mà sau này Lagrange, Hamilton, Jaccobi, Gauss đã hoàn thiện thêm. Căn cứ vào nội dung và các đặc điểm của bài toán khảo sát, chƣơng trình cơ học giảng cho các trƣờng đại học kỹ thuật có thể chia ra thành các phần: Tĩnh học, động học, động lực họ c và các nguyên lý cơ học. Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật thể dƣớ i tác dụng của lực. Động học chỉ nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể đơn thuần về mặt hình học. Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể dƣới tác dụng của lực. Các nguyên lý cơ học là nội dung cơ bản nhất của cơ học giải tích. Cơ học giải tích chính là phần động lực học của hệ đƣợc trình bày theo hƣớng giả i tích hoá. 1 PHẦN 1 TĨNH HỌC Chƣơng1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CỦA TĨNH HỌC Tĩnh học nghiên cứu sự cân bằng của vật rắn tuyệt đối dƣới tác dụng của lực. Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản cần giải quyết là bài toán thu gọn hệ lực về hệ lực khác tƣơng đƣơng nhƣng có dạng đơn giản hơn và bài toán tìm điều kiện cân bằng củ a hệ lực tác dụng lên một vật rắn. 1.1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1. Lực Trong thực tế các vật luôn luôn tác dụng tƣơng hỗ lẫn nhau, tác dụng tƣơng hỗ đó là nguyên nhân làm cho các vật thay đổi trạng thái chuyển động. Trong cơ học tác dụng tƣơng hỗ đó đƣợc đánh giá qua một đại lƣợng gọi là lực. Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là gây nên sự thay đổi trạng thái động học của các vật đó. Ví dụ: Xe goòng đang đứ ng yên, một ngƣời đẩy nó lên đƣờng ray, nhƣ vậy ngƣời đã tác dụng lên xe goòng một lực. Lực là đại lƣợng véc tơ, đƣợc đặc trƣng bởi ba yếu tố sau: - Điểm đặt của lực là điểm mà vật đƣợc truyền tác dụng tƣơng hỗ cơ học từ vậ t khác. - Phƣơng, chiều của lực biểu diễn khuynh hƣớng chuyển động mà lự c gây ra cho vậ t. - Trị số của lực biểu thị độ mạnh yếu của tác dụng tƣơng hỗ. Đơn vị chính để đo trị số của lực trong hệ SI là Newton (N). Cách biểu diễn một lực trong mô hình tính toán, bằng đại lƣợng véctơ có gố c trùng với điểm đặt của lực, có phƣơng chiều trùng với phƣơng chiều của lực, có độ dài tỉ lệ với trị số của lực (hình 1.1), đƣờng thẳng xx đƣợc gọi là đƣờng tác dụng của lự c và ký hiệu lực:F  , tuy nhiên trong các hình vẽ của giáo trình này, để đơn giản quy ƣớ c ký hiệu véctơ lực là F mà bỏ qua mũi tên véc tơ trên đầu. Hình 1.1 A F x x 2 1.1.2. Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối là vật có dạng hình học không thay đổi, hay là khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn không đổi khi chịu tác dụng của lực . Thực tế, vật rắn bao giờ cũng bị biến dạng nhiều hay ít khi chịu tác dụng của lực. Do có độ biến dạng bé nên ta có thể bỏ qua và coi vật là rắn tuyệt đối để nghiên cứu cho đơn giản mà kết quả vẫn đủ chính xác theo yêu cầu kỹ thuật. Trƣờng hợp cần xét tới biến dạng thì không thể xem vật là rắn tuyệt đối, vấn đề này sẽ đƣợc nghiên cứu kỹ trong các môn học khác còn trong cơ học cơ sở ta chỉ hạ n chế xét các vật rắn tuyệt đối. Để đơn giản, vật rắn tuyệt đối thƣờng đƣợc gọi vắn tắt là vật rắn. 1.1.3. Các định nghĩa khác 1.1.3.1. Trạng thái cân bằng của vật rắn Vật rắn ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều đối với hệ quy chiếu thỏa mãn định luật quán tính của Newton (hệ quy chiế u quán tính). Trong kỹ thuật, hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu đƣợc gắn với trái đấ t. Nếu vật đứng yên so với hệ quy chiếu cố định thì cân bằng ấy là tuyệt đối. Nế u vật đứng yên so với hệ quy chiếu động thì đó là cân bằng tƣơng đối. 1.1.3.2. Hệ lực Hệ lực là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng vào một vật rắn. Giả sử vật rắn chịu tác dụng của n lực gồm1 2, ,..., nF F F    , hệ lực đó đƣợc ký hiệu là1 2( , ,..., )nF F F    . 1.1.3.3. Hai hệ lực tương đương Hai hệ lực được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tác dụng cơ họ c gây ra cho một vật rắn. Ta có thể thay hệ lực đã cho tác dụng lên vật rắn tự do bằng một hệ lực khác mà không làm thay đổi trạng thái cân bằng hoặc quy luật chuyển động ban đầ u của vật rắ n. Hai hệ lực 1 2, ,..., nF F F    và'''' '''' '''' 1 2( , ,..., )nF F F    tƣơng đƣơng đƣợc ký hiệu là:1 2 1 2( , ,..., ) ( '''', '''',..., '''')n nF F F F F F        . 1.1.3.4. Hệ lực cân bằng Một hệ lực tác dụng lên một vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái động họ c của vật gọi là hệ lực cân bằng . Hệ lực1 2( , ,..., )nF F F    cân bằng đƣợc ký hiệu:1 2( , ,..., ) 0nF F F     . 1.1.3.5. Hợp lực Hợp lực là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của một hệ lực. 3 NếuR  là hợp lực của hệ1 2( , ,..., )nF F F    thì1 2( , ,..., )nR F F F      . Bổ sung về lực phân bố Trong thực tế còn có lực phân bố là lực đặt trên một thanh thẳng, một phần của bề mặt hoặc một phần nào đó của một công trình. Lực phân bố đƣợc đặc trƣng bằng cƣờng độ lực (là số lƣợng lực tác dụng lên một đơn vị độ dài, diện tích hay thể tích). Ta đi xét một vài trƣờng hợp lực phân bố đơn giản trong bài toán phẳ ng. Lực phân bố đều trên đoạn thẳng AB = a với cƣờng độ lực phân bố q. Hợp củ a lực phân bố làQ  có đƣờng tác dụng đi qua trọng tâm của hình chữ nhật và có trị số.Q q a , về ý nghĩa Q chính là diện tích của hình chữ nhật có các cạnh làa và q (hình 1.2). Hình 1.2 Ví dụ: Bánh xe hình trụ tròn đồng chất tác dụng lực lên mặt phẳng cứng tuyệt đố i (hình 1.3) Hình 1.3 Lực phân bố bậc nhất theo chiều dài cƣờng độ của lực biến đổi tuyến tính từ không đến giá trị cực đạimaxq Hợp của lực phân bố bậc nhất theo chiều dài làQ  có đƣờng tác dụng đi qua trọ ng tâm tam giác, có trị số:max 1 . 2 Q q a (hình 1.4). Hình 1.4 Ngoài ra có thể gặp lực phân bố theo mặt là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm q A B a Q=qa A B a a2a qmax A B a a3 Q=qmax .a2 A B 4 tác dụng lên vật tạo thành một mặt trên vật, ví dụ áp lực nƣớc tác d ụng lên thành đê, thành tƣờng chắn, trong đóp  là áp lực, đơn vị Nm2 (hình 1.5) hay lực phân bố theo thể tích, ví dụ trọng lƣợng tác dụng lên vật3 ( )N m   (hình 1.6) Hình 1.5 Hình 1.6 1.2. CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học đƣợc xây dựng trên cơ sở các tiên đề dƣới đây 1.2.1. Tiên đề hai lực cân bằng Điều kiện cần và đủ để một vật rắn tuyệt đối tự do cân bằng dưới tác dụng củ a hai lực là hai lực này có cùng đường tác dụng, cùng trị số và ngược chiều. a) b) Hình 1.7 Ký hiệu: 1 2,F F   ~ 0. Hai lực1 2,F F   này còn gọi là hai lực trực đối. Trƣờng hợ p biểu diễn nhƣ hình (1.7a) ta nói vật cân bằng chịu kéo, hình (1.7b) vật cân bằng chị u nén. Tiên đề này đƣa ra một tiêu chuẩn cân bằng đơn giản nhất, hệ chỉ có hai lực. Nế u một vật rắn tự do chỉ chịu tác dụng của một lực thì không thể cân bằng. Muốn chứ ng minh một hệ lực có cân bằng hay không ta có thể chứng minh hệ lực đó tƣơng đƣơng với hai lực cân bằng. 1.2.2. Tiên đề thêm hoặc bớt hai lực cân bằng Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn tuyệt đối không bị thay đổi nế u thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng. Nếu , ''''F F   là hai lực cân bằng thì1 2( , ,..., )nF F F    ~1 2( , ,..., , , '''')nF F F F F      ; ngƣợ c lại nếu hệ1 2 3( , , ,..., )nF F F F     có hai lực 1 2,F F   cân bằng thì 1 2 3 3( , , ,..., ) ,...n nF F F F F F       F1 F2 B A A B F2 F1 5 Hệ quả trượt lực Tác dụng của lực lên vật rắn tuyệt đối không thay đổi nếu trượt lực dọc theo đường tác dụng của nó đến một điểm khác thuộc vật. Chứng minh Giả sử tại A có lựcF  tác dụng. Cần trƣợt lựcF  về điểm B trên đƣờng tác dụng (hình 1.8) Trên đƣờng tác dụng tại B, ta đặt thêm vào hai lực cân bằng 1 2, 0F F    , với1 2,F F F F       Hình 1.8 Theo tiên đề thêm hai lực cân bằng ta có 1 2, , .F F F F       Do 1,F F   cân bằng nên theo tiên đề cân bằng ta có thể bỏ đi hai lự c này. Vậy 1 2 2, ,F F F F F         Suy ra lực2F  chính là lựcF  trƣợt từ A đến B. Vậy ta đã trƣợt lựcF  về điểm B mà không làm thay đổi tác dụng của lực lên vật. Véc tơ biểu thị lực tác dụng lên vật rắn là véc tơ trƣợt. 1.2.3. Tiên đề hình bình hành lực Hai lực tác dụng vào cùng một điểm trên vật thể có hợp lực đặt t ại điểm đó và được biểu diễn bằng đường chéo hình bình hành mà các cạnh là hai lực đã cho (hình 1.9). Qua tiên đề trên ta thấy có thể thay thế hai lực đồng quy bằng một lự c (phép hợp lực) và ngƣợc lại có thể phân tích mộ t lực thành hai lực đồng quy theo quy tắ c hình bình hành lực (phép phân tích lực). Hình 1.9 Hệ quả (định lý ba lực phẳng không song song cân bằng) Nếu có ba lực phẳng không song song cân bằng thì đường tác dụng của chúng phải đồng quy tại một điểm. Chứng minh F A F2 F1 B A R F1 F2 6 Giả sử có ba lực1 2 3, ,F F F    cùng nằm trong một mặt phẳ ng, không song song và cân bằng nhau (hình 1.10). Ta phải chứng minh ba lực này có đƣờng tác dụng đồ ng quy tại một điểm. Do hai lực1F  và2F  không song song nên chúng đồng quy, giả sử đồng quy tại điểm B. Trƣợt1F  và2F  về B, áp dụng tiên đề hình bình hành lực, ta đƣợc hợp lực1 2R F F     . Do đó   1 2 3 3, , , 0F F F R F         . Theo tiên đề hai lực cân bằng thìR  và3F  tr ực đối nghĩa là đƣờng tác dụng của3F  phải đi qua B. Định lý đƣợc chứng minh. Định lý này không có định lý đảo, tức là nếu đƣờng tác dụng của ba lực cắ t nhau tại một điểm thì ba lực đó chƣa chắc đã cân bằng. Định lý dùng để xác định phƣơng của lực thứ ba (phản lực liên kết) nếu hệ chỉ gồm ba lực mà hai lực đã biết phƣơng. 1.2.4. Tiên đề lực tác dụng và lực phản tác dụng Khi vật thể này tác dụng lên vật thể khác, bao giờ nó cũng bị phản tác dụng trở lại. Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng đường tác dụng, ngược chiều nhau và có cùng trị số. Vật I tác dụng lên vật II lực12F  , ngƣợc lại vật II phản tác dụng lại vật I lực21F  (hình 1.11).12 21F F    Hình 1.11 Chú ý: Lực tác dụng và lực phản tác dụng không phải là hai lực cân bằ ng vì chúng không tác dụng lên cùng một vật. Lực12F  tác dụng vào vật II nên có điểm đặt là một điểm trên vật II. Lực21F  tác dụng vào vật I nên có điểm đặt là một điểm trên vật I. Nế u hai vật đó tác dụng lên nhau do tiếp xúc nhau thì hai điểm đặt đó trùng nhau tại tiếp điểm. Tiên đề này là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát một vật sang khảo sát hệ vật. 1.2.5. Tiên đề hóa rắn Vật thể biến dạng cân bằng dưới tác dụng của hệ lực thì khi hóa rắn nó vẫ n cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ấy. I II M F21 F12 Hình 1.10F3 F1 F2 B R F1 F2 A3 A2 A1 7 Tiên đề hóa rắn cho phép áp dụng điều kiện cân bằng của vật rắn tuyệt đối cho vậ t rắn và hệ vật rắn biến dạ ng. Ví dụ: Xét lò xo (vật biến dạng) cân bằng ở trạng thái kéo dƣới tác dụng của hệ lực ở trạng thái cân bằng kéo thì cũng có thể xem nó nhƣ thanh cân bằng dƣới tác dụ ng của hai lực ấy (hình 1.12). Hình 1.12 Chú ý: Điều ngƣợc lại của tiên đề hóa rắn không phải lúc nào cũng đúng, tứ c là nếu vật rắn tuyệt đối đƣợc cân bằng dƣới tác dụng của hệ lực, thì khi nó trở thành vậ t biến dạng nó có thể mất cân bằng. 1.3. LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT 1.3.1. Khái niệm Những vật không bị ràng buộc với các vật khác và có thể thực hiện mọi di chuyển trong không gian đƣợc gọi là vật tự do. Ví dụ quả bóng nhẹ đang bay lơ lử ng trên không trung. Những vật có một vài phƣơng di chuyển bị cản trở bởi những vật khác đƣợc gọ i là vật không tự do hay vật chịu liên kết. Ví dụ quyển sách đặt trên mặt bàn nằ m ngang là vật chịu liên kết vì chuyển động đi xuống của quyển sách bị mặt bàn cản trở . Những điều kiện cản trở chuyển động tự do của vật khảo sát gọi là liên kết . Khi ta xét cân bằng của một vật thể nào đó thì vật ấy đƣợc gọi là vật khảo sát, còn các vật khác liên quan đến vật ấy gọi là vật gây liên kết. Để dễ hình dung các định nghĩa, ta đƣa vào ví dụ quyển sách đặt trên mặt bàn nằ m ngang: Vật đang xét cân bằng thì gọi là vật khảo sát (quyển sách); vật liên kết với vậ t khảo sát gọi là vật gây liên kết (mặ t bàn). Tại liên kết thƣờng xuất hiện lực tác dụng tƣơng hỗ: Lực do vật khảo sát tác dụ ng lên vật gây liên kết gọi là áp lực, còn lực do vật gây liên kết tác dụng lên vật khả o sát gọi là phản lực liên kết . Phản lực liên kết không thể tự nó gây ra chuyển động cho vật khảo sát, mà chỉ có tác dụng cản trở những di chuyển nhất định mà các lực khác tác dụng lên vật đó có thể gây ra nếu không có liên kết, nên là loại lực bị động chƣa biết cần phải tìm trong bài toán tĩnh học. Phản lực liên kết có phương là phương mà nó ngăn cản chuyển động của vật, ngược với chiều chuyển động của vật bị ngăn cản, có độ lớn phụ thuộc vào các lực chủ động tác dụng lên vật rắn. 8 1.3.2. Các liên kết thƣờng gặp và phản lực liên kết Đây là các liên kết cơ bản thƣờng gặp và các phản lực liên kết của chúng, với giả thiết các mặt tựa ở vùng liên kết hoàn toàn rắn và trơn nhẵn. 1.3.2.1. Liên kết tựa Liên kết tựa là liên kết trong đó các vật chỉ tựa với nhau trên mặt tiếp xúc chung hay điểm tiế p xúc. Vật không thể di chuyển theo phƣơng pháp tuyến của mặt phẳng tiế p xúc chung giữa vật khảo sát và vật gây liên kết tại điểm tiế p xúc (hình 1.13). Phản lực liên kết đƣợc ký hiệu làN  có phƣơng vuông góc với mặt tiếp xúc chung, trong trƣờng hợp một trong hai mặt tiếp xúc là điểm thì phản lực sẽ theo phƣơng pháp tuyến của mặt còn lại; chiều đi từ vật gây liên kết vào vật khảo sát; trị số đƣợc xác định khi giải bài toán. Hình 1.13 1.3.2.2. Liên kết dây mềm Liên kết dây mềm, không giãn, bị kéo căng cản trở di chuyển của vật khảo sát theo phƣơng dọ c dây. Phản lực liên kết (còn gọi là sức căng dây) có ký hiệu:T  Phản lực liên kết có phƣơng dọc dây; chiều từ vật khảo sát vào dây (theo chiều kéo căng dây) (hình 1.14). Hình 1.14NNB NA B A NC C B T P A P D B C TB TC 9 Đây là liên kết một chiều, chỉ chịu kéo. 1.3.2.3. Liên kết thanh Hai vật đƣợc nối với nhau bằng một thanh thẳng, cong hoặc gấ p khúc, trên thanh không có lực tác dụng và bỏ qua trọng lƣợng bản thân thanh, hai đầu thanh đƣợc gắ n khớp bản lề trụ, cầu điểm tựa với vật liên kết khác. Liên kết thanh cản trở chuyển độ ng của vật khảo sát theo phƣơng nối hai bản lề ở hai đầ u thanh. Phản lực liên kết đƣợc ký hiệu:S  Phản lực liên kết có phƣơng theo phƣơng nối hai bản lề ở hai đầu thanh (theo tiên đề về hai lực cân bằng); chiều nếu thanh chịu kéo thì đi từ vật vào thanh, nếu thanh chịu nén thì đi từ thanh vào vật. a) b) Hình 1.15 Ví dụ (hình 1.15a) thanh thẳng AB và thanh cong CD dùng để treo vật có trọng lƣợng P, (hình 1.15b) thanh thẳng AB và thanh gấp khúc CD dùng để chống vậ t có trọng lƣợng P. 1.3.2.4. Liên kết gối tựa cố định và gối tựa di động a. Gối tựa cố định Hạn chế mọi di chuyển của vật khảo sát, chỉ cho phép vật khả o sát quay quanh trục bản lề nên phản lựcR  có phƣơng bất kỳ phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật. Để tìm phản lực tại gối cố định, ta tìm thành phần hình chiếu,X Y   củaR  lên hai trụ c tọa độ vuông góc (hình 1.16). Hình 1.16 b.Gối tựa di động Cho phép vật khảo sát quay quanh trục bản lề và di chuyển theo phƣơng song P SAB A B C D SCD P C SCD A B D SABY R X Y R X Y R X 10 song mặt tựa, chỉ cản trở chuyển động theo phƣơng vuông góc với mặt tựa. Phản lựcN  vuông góc với phƣơng di động của gối (hình 1.17). Hình 1.17 1.3.2.5. Liên kết bản lề trụ Hình 1.18 Nếu hai vật liên kết với nhau bằng boulon, bắt qua các lỗ khoan (hình 1.18), thì liên kết gọi là liên kết bản lề (hay liên kết khớp). Trục của boulon gọi là trục của bản lề . Vật không thể di chuyển theo phƣơng bất kỳ trong mặt phẳng vuông góc với trục củ a bản lề. Phản lực liên kết có phƣơng bất kỳ trong mặt phẳng vuông góc với trục của bả n lề. Để tìm phản lực, ta tìm hai thành phần chiếu của nó lên hai trục tọa độ vuông góc. Hình 1.19 Hình 1.19 có hai thanh (1) và (2) nối với nhau bằng bản lề A. Phản lực liên kế t do thanh (2) tác dụng lên thanh (1) làAR  , ngƣợc lại, thanh (1) tác dụng lên thanh (2) lực''''AR  , theo tiên đề lực tác dụng và lực phản tác dụng, ta đƣợc''''A AR R    . Nế u phân tích các lực đó ra các thành phần theo các trục tọa độ, ta có'''' '''' ; .A A A AX X Y Y        1.3.2.6. Liên kết bản lề cầu Quả cầu gắn với vật chịu liên kết và đƣợc đặt trong một vỏ cầu gắn liền với vậ t gây liên kết. Phản lực liên kết của gối cầu phải đi qua tâm của vỏ cầu, có phƣơng chiềuN NN R X Y A RA R''''A (1) (2) A RA (1) XA YA A R''''A (2) X''''A Y''''A 11 nào đó trong không gian (hình 1.20). Thƣờng phản lực gối cầu đƣợ c phân tích thành ba thành phần vuông góc với nhau. Tƣơng tự nhƣ liên kết bản lề cầu là liên kết khớp cối (ổ chặn), chỉ khác là phả n lựcR  có phƣơng bất kỳ nhƣng luôn hƣớng lên trên (hình 1.21). Hình 1.20 Hình 1.21 1.3.2.6. Liên kết ngàm Khi vật chịu liên kết và vật gây liên kết nối cứng với nhau thì liên kết đó gọ i là liên kế t ngàm. Vật khảo sát bị hạn chế không những di chuyển theo các phƣơng mà cũng hạn chế cả chuyển động quay. Phản lực là một lựcAR  và một ngẫu lực có mômen.AM  a) b) Hình 1.22 Trong trƣờng hợp vật chịu tác dụng của hệ lực phẳng, phản lực liên kế t ngàm phẳng đƣợc tìm qua hai thành phần lực vuông góc với nhau,A AX Y   và một ngẫu lự c có mômenAM với chiều đƣợc giả thiết tùy ý (hình 1.22a).R R X Y Z x y zYA XA MA A X Z x y z YMx My Mz O 12 Trong trƣờng hợp vật chịu tác dụng của hệ lực không gian, phản lực liên kết tại đầu ngàm gồm ba thành phần lực vuông góc nhau, ,X Y Z    và ba thành phần ngẫu lự c quay quanh ba trục tọa độ, ,x y zM M M với chiều giả định (hình 1.22b). 1.4. TIÊN ĐỀ GIẢI PHÓNG LIÊN KẾT Vật không tự do (vật chịu liên kết) cân bằng có thể xem là vật rắn tự do cân bằ ng nếu giải phóng các liên kết và thay thế tác dụng của các liên kết đƣợc giải phóng bằ ng các phản lực liên kết tƣơng ứng. Ví dụ 1.1 Quả cầu đồng chất trọng lƣợng P treo vào mặt tƣờng nhẵn thẳng đứng nhờ dây OA. Giải phóng liên kết cho quả cầu (hình 1.23). Bài giải Vật khảo sát là quả cầu có trọng lựcP  (lực đã cho) đặt tại tâm O và hƣớng thẳng đứng xuống dƣới. Giải phóng liên kết: Thay liên kết dây bằng phản lực là sức căng.T  Thay liên kết tựa ở B bằng phản lực tựaN  Hình 1.23 Ta có thể xem quả cầu nhƣ vật rắn tự do cân bằng dƣới tác dụng của hệ lực( , , )P N T    đồng quy ở điểm O. Ví dụ 1.2 Cho thanh AB và hình trụ tròn đồng chất có trọng lƣợng tƣơng ứng bằng P1, P2. Trụ tròn đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn và đƣợc giữ lại bởi dây nằm ngang một đầu buộc vào trọng tâm của trụ tròn, một đầu buộc vào tƣờng cố định. Giải phóng liên kết cho thanh AB và trụ tròn (hình 1.24). Bài giải Thanh AB có hai liên kết: Bản lề B và mặt tựa tại D. Giải phóng các liên kế t, thanh AB trở thành vật tự do dƣới tác dụng của các lực1, , ,D B BP N X Y     , với chiều của,B BX Y   giả thiết nhƣ hình vẽ. P O A 300 B B P T N 60o O 13 Hình 1.24 Khối hình trụ tròn có ba liên kết là liên kết dây, liên kết tựa với mặt tựa nằ m ngang và thanh AB lần lƣợt tại K và D. Giải phóng các liên kết trụ tròn trở thành vật tự do dƣới tác dụng của các lực '''' 2 , , ,K DP N T N    , với'''' D DN N   . 1.5. MÔ MEN CỦA MỘT LỰC 1.5.1. Mô men của một lực đối với một điểm Khi lực tác dụng lên vật, nó có thể làm cho vật quay quanh một điểm nào đó. Tác dụng đó của lực đƣợc đặc trƣng đầy đủ bằng mô men của lực đối với một điể m. Tác dụng của lựcF  làm vật quay quanh điểm O đƣợc xác định bởi ba yếu tố sau: - Độ lớn bằng tích số: F.h, với F là trị số của lực và h là khoảng cách từ tâm O tới đƣờng tác dụng của lực (cánh tay đòn); - Phƣơng vuông góc với mặt phẳ ng chứa tâm O và lựcF  (mặt phẳ ng tác dụ ng); - Chiều hƣớng về phía sao cho khi nhìn từ đỉnh của véc tơ xuống mặt phẳ ng tác dụng sẽ thấy véc tơ lựcF  chuyển độ ng theo chiều mũi tên vòng quanh O theo ngƣợc chiều kim đồng hồ. Hình 1.25 Ba yếu tố trên đƣợc biểu thị bằng một đại lƣợng véc tơ, gọi là mô men của lựcF  đối với điểm O, ký hiệu là( )Om F   và đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Mô men của lựcF  đối với điểm O là đại lượng véc tơ, có trị số bằ ng tích F.h (tích giữa trị số của lực với chiều dài tay đòn), có phương vuông góc với mặt phẳng tạ o bởi điểm O và đường tác dụng của lựcF  , có chiều sao cho nếu đứng theo véc tơ đó thì thấy lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ. K C D A B P1 P2 D A B P1 ND YB XBP2 N''''D T NK D CmO (F) F Ah  14 Biểu thức:( )Om F r F     (1.1) trong đó:r OA   là véctơ định vị của điểm đặt của lựcF  so vớ i tâm O. Trị số:( ) .Om F F h ( ) 0om F   khiF  =0 hoặc đƣờng tác dụng của lựcF  đi qua tâm mô men O. Theo định nghĩa thì độ dài của véc tơ mômen bằng hai lần diện tích tam giác OAB( ) 2O OABm F S   Cũng theo định nghĩa thấy( )O i j k m F r F x y z X Y Z         (1.2) trong đó: x, y, z là tọa độ của điểm A; Hình 1.26 X, Y, Z là các hình chiếu của lựcF  lên các trục của hệ tọa độ vuông góc Oxyz;, ,i j k   là các véc tơ đơn vị trên các trục tọa độ . Khai triển định thức (1.2) ta đƣợc:( ) ( ) ( ) ( )Om F yZ zY i zX xZ j xY yX k          Hình chiếu của véc tơ mô men lực xuống các trục tọa độ là:( ) ( )Oxm F yZ zY  ( ) ( )Oym F zX xZ   (1.3)( ) ( )Ozm F xY yX  2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )Om F yZ zY zX xZ xY yX        (1.4) Trƣờng hợp khảo sát hệ lực cùng nằm trên một mặt phẳng thì các véctơ mômen đều vuông góc với mặt phẳng chứa các lực và điểm lấy mômen nên đều song song với nhau, do đó mômen của các lực đối với một điểm chỉ cần tính nhƣ một lƣợng đại số . Ký hiệu:( ) .Om F F h   Lấy dấu dƣơng (+) khi dƣới tác dụng của lực, vật quay quanh O ngƣợc chiều kim đồng hồ, lấy dấu trừ (-) trong trƣờng hợp quay ngƣợc lại (hình 1.27).mO(F) F(X,Y,Z) A(x,y,z) O h r x y z i k j B 15( ) .Om F F h  ( ) .Om F F h   Hình 1.27 Mômen đại số thƣờng đƣợc biểu diễn bởi mũi tên vòng quanh tâm O theo chiề u của mômen. Ví dụ 1.3 Khối hình lập phƣơng cạnh a chị u tác dụng của hai lực1 2,F F   . Tìm các véctơ mômen của hai lực đó đối với đỉnh A. Bài giải Theo định nghĩa, véc tơ mô men 1Am F  nằm trên trục Ax, hƣớ ng theo chiều dƣơng và có trị số bằng F1.a. Véctơ mômen 2Am F  có phƣơng vuông góc với đƣờng chéo AC, có trị số bằng F2.a, chiều nhƣ hình vẽ. Hình 1.28 1.5.2. Mô men của một lực đối với một trục Mô men của lực đối với một trục đặc trƣng cho tác dụng của lực làm vậ t quay quanh trục đó. Khảo sát một vật rắn có thể quay đƣợc quanh trục z dƣới tác dụng củ a lựcF  đặt tạ i A. Qua A dựng mặt phẳng () vuông góc với trục z và cắt trục z tạ i O. Phân tích lựcF  thành hai thành phần:zF  trục z vàxyF  nằm trong mặt phẳng ( ). Thành phầnzF  có tác dụng làm vật chuyển dời theo trục z, chỉ có thành phầnxyF  mớ i có tác dụng làm vật quay quanh trục z. Nhƣ vậy tác dụng quay của lựcF  quanh trụ c z chính là tác dụng quay của thành phầnxyF  . Mômen củaxyF  đối với trục z bằ ng tích giữa cƣờng độ củaxyF  với cánh tay đòn h của nó xuống trục z, đại lƣợ ng này chính là mômen củaxyF  đối với điểm O (hình 1.29). h F O h F O a x y z C B D A a a F1 F2 mA(F1) mA(F2) B'''' A'''' D'''' C'''' 16 Định nghĩa: Mô men của lựcF  đối với trục z là đại lượng đại số, bằng mô men của thành phầnxyF  đối với điểm O.( )zm F  =.xyF h =.cos .F h  (1.5) Lấy dấu (+) nếu đứng theo chiều dƣơng của trục z thấy lựcxyF  có xu hƣớng làm vật quay ngƣợc chiều kim đồng hồ; lấy dấu (–) nếu vật có xu hƣớng quay thuận chiều kim đồng hồ; α là góc tạo bởi lựcF  và mặt phẳng (). Hình 1.29( )zm F  = 0 khiF  song song với trục Oz (Fxy= 0) hoặc đƣờng tác dụng của lựcF  cắt trục Oz (h = 0). 1.5.3. Liên hệ giữa mô men của lực đối với một điểm và mô men của lực đối với mộ t trục Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho hệ Oxy nằm trong mặt phẳng (), lựcF  có các hình chiếu lên các trục tọa độ là X, Y, Z. Điểm đặt A có tọa độ (x, y, 0) (hình 1.30). Từ định nghĩa mô men của lực đối với một trục ta có:( ) ( ) ( )z O xy Oz O xym F m F hch m F     (1.6) Véctơ mômen của lực đối với điểm O là( ) 0 ( yX) 0 O xy i j k m F x y xY k X Y       (1.7) Véctơ mômen( )o xym F  nằm trên trụ c Oz. Từ các công thức (1.7) và (1.2) ta đƣợc ( ) ( )Oz O xy Oz Ohch m F hch m F    (1.8) Từ (1.6) và (1.8) ta đƣợc( ) ( )= ( )z Oz o xy Oz om F hch m F hch m F     Vậy mômen của một lực đối với mộ t trục bằng hình chiếu lên trục ấy của véctơ mômen của lực đối với điểm O bất kỳ trên trục. Hình 1.30Fz A  z h F Fxy O  Z A(x,y,0)  z F Fxy O x y i k j Y X r mO (F) mO(Fxy) 17( )= ( ) ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ox x O oy y oz z m F m F m F m F m F m F m F               (1.9) trong đó:( ); ( ); ( )ox oy ozm F m F m F    là hình chiếu của véc tơ( )Om F  tƣơng ứ ng trên các trục tọa độ vuông góc Ox, Oy, Oz. Nhờ liên hệ này ta có thể chuyển việc tìm mômen của lực đối với một điểm về tính mômen của lực đối với một trục. Ví dụ 1.4 Cho lựcF  tác dụng vào khối hình lập phƣơng cạnh a, điểm đặt tại đỉnh A và dọc theo đƣờng chéo của mặt bên (hình 1.31). Tìm mômen của lực đó đối với 3 trục tọa độ. Bài giải Chiếu lựcF  xuống mặt phẳng Oxy đƣợcxy xF F   . Cánh tay đòn củaxF  đối với O là a; Đứng theo trục z thấyxF  làm vật quay ngƣợc chiều kim đồng hồ. 2 ( ) . aF 2 z xm F a F   2 ( ) . aF 2 x zm F a F   2 ( ) . aF 2 y zm F a F     Hình 1.31 Tƣơng tự ta có thể tìm bằng phƣơng pháp giả i tích: Mô men của lựcF  đối với điểm O là2 2 2 ( ) 0 = aF aF aF 2 2 2 2 2 0 2 2 O i j k m F a a i j k F F           Hình chiếu véctơ mômen xuống các trục đó chính là mômen của lực đối vớ i các trục đó 2 ( ) . aF 2 x zm F a F   ; 2 ( ) . aF 2 y zm F a F     ; 2 ( ) . aF 2 z xm F a F   . a = Fx a Fz Fxy F x y z A B C O 18 1.6. NGẪU LỰC 1.6.1. Định nghĩa, các yếu tố của ngẫu lực Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng. Kí hiệu: , ''''F F   (hình 1.32) Hình 1.32 Ngẫu lực là một hệ lực không cân bằng, không có hợp lực vì1 2 0R F F      , nghĩa là ta không thể thay thế một ngẫu lực bằng một lực đƣợc. Tác dụng của ngẫu lực lên vậ t làm vật quay và đƣợc xác định bởi ba yếu tố : - Mặt phẳng tác dụng của ngẫu: Là mặt phẳng tạo bởi hai đƣờng tác dụng củ a các lực thuộc ngẫ u; - Cánh tay đòn của ngẫu lực (khoảng cách giữa hai đƣờng tác dụng của các lự c thuộc ngẫu) và trị số của lực thuộc ngẫ u; - Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó, đƣợc xác định từ đầ u mút lực này đến gốc của lực kia. Ví dụ 1.5 Mỏ lết A đƣợc vặn theo chiều nhƣ hình vẽ, đinh ốc B chịu tác dụng của ngẫu lực , ''''F F   làm quay B quanh trục của nó, đinh ốc B đƣợc vặ n vào (hình 1.33a); Van chịu tác dụng của ngẫu lực làm van quay (hình 1.33b). a) b) Hình 1.33 F'''' B A h  F A B F'''' F 19 Thiếu một trong ba yếu tố trên, tác dụng của ngẫu lực chƣa đƣợc xác định. Để biểu diễn đầy đủ ba yếu tố trên của ngẫu lực ta đƣa ra khái niệm về véctơ mômen ngẫu lực. Véctơ mômenM  có trị số bằng tích số F.h, có phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực, có chiều sao cho nhìn từ mút của nó xuống mặt phẳng tác dụng thấy chiều quay của ngẫu lực theo chiều ngược kim đồng hồ. Để phân biệt véctơ lực, ta vẽ thêm chiều quay của ngẫu quanh véctơM  (hình 1.34) Hình 1.34 Ý nghĩa của mômen: VéctơM  hoàn toàn đặc trƣng cho tác dụng của ngẫ u lên vật.M  =( '''')Am F  =( )Bm F  . Véctơ mômen của ngẫu lực bằng véctơ mômen của một lực thuộc ngẫu đối với điểm đặt của lực kia . Thật vậy,( '''') ''''Am F AB F M      ;( )Bm F BA F M      Do đó,( '''') ( )A BM m F m F      Chú ý: Nếu các ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng thì mômen của các ngẫu lực chỉ cần tính nhƣ lƣợng đại số:.M F h  .M F h  .M F h  Hình 1.35 Quy ƣớc lấy dấu (+) ngẫu làm vật quay ngƣợc chiều kim đồng hồ và dấu (-) ngẫ u làm vật quay cùng chiều kim đồng hồ (hình 1.35). 1.6.2. Sự tƣơng đƣơng của ngẫu lực Định lý 1: Hai ngẫu lực có cùng mặt phẳng tác dụng, cùng chiều quay và cùng trị số mômen thì tƣơng đƣơng nhau. Hệ quả của định lý: Tính chất 1 Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta thay đổi vị trí của ngẫu lực trong mặ t phẳng tác dụng của nó. M F'''' B A h  F F'''' F h F'''' F h 20 Ví dụ: Thay đổi vị trí ngẫu lực (hình 1.36a) thành ngẫu lực trong cùng mặt phẳ ng tác dụng (hình 1.36b) a) b) c) d) Hình 1.36 Tính chất 2 Tác dụng của ngẫu lực sẽ không thay đổi khi ta thay đổi tuỳ ý cƣờng độ của lực và cánh tay đòn nhƣng vẫn giữ nguyên mômen. Ví dụ: Thay ngẫu lực ( '''' 1 1,F F  ) (hình 1.36b) thành ngẫu lực '''' 2 2,F F  , với F2 = 2F1 (hình 1.36c). Định lý 2: Tác dụng của ngẫu lực lên vật rắn sẽ không thay đổi khi ta dời ngẫu lực đế n mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng củ a nó. Ví dụ: Dời ngẫu lực (hình 1.36a) đến mặt đáy của hình lập phƣơng (hình 1.36d). 1.6.3. Hợp hệ ngẫu lực Hệ ngẫu lực bất kỳ trong không gian tƣơng đƣơng với một ngẫu lực có véctơ mômenM  bằng tổng hình học các véctơ mômen của các ngẫu lực thành phần:kM m    Để thuận tiện cho việc tính toán, véctơ mômen ngẫu lực tổng cộngM  có thể tìm bằng phƣơng pháp giải tích nhờ định lý hình chiếu véc tơ lên một trục là:, ,x kx y ky z kzM m M m M m     Mx, My, Mz là hình chiếu của véctơM  lên các trục tọa độ x, y , z. Trị số củaM  là:2 2 2 x y zM M M M   Phƣơng, chiều:cos( , ) , cos( , ) , cos( , )yx z MM M M Ox M Oy M Oz M M M      a a2 F2 F2'''' M a F1 F1'''' aF1 F1 '''' M F1'''' F1 M M a ~ ~ ~ 21 Chú ý: Trƣờng hợp hệ ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó các mômen củ a ngẫu lực đƣợc biểu diễn bởi các mômen đại số. Theo kết quả trên, ngẫu lực tổng hợp trong trƣờng hợp này cũng nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ ngẫu lực đã cho và có mômen bằng tổng đại số các mômen của các ngẫu lực thành phầnkM m  Ví dụ 1.6 Cho hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực có mômen1 2 3 4150 ; 200 ; 100 ; 150m Nm m Nm m Nm m Nm      . a. Thu gọn hệ ngẫu lực phẳ ng. b. Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là a = 2m thì trị số của lựcF  là bao nhiêu? Bài giải a. Thu gọn hệ ngẫu lực1 2 3 4( , , , )m m m m ta đƣợc một ngẫu lực tổng hợpM có mô men:1 2 3 4kM m m m m m     = 150-200+100-150 =-100 (Nm) b. Với a=2m M =F.a  F = Ma = 1002 =50 (N) Ví dụ 1.7 Khối hình lập phƣơng cạnh a, chịu tác dụng của ba ngẫu lực2 '''' '''' 1 1 2( , ),( , )F F F F    và '''' 3 3( , )F F  nhƣ hình vẽ (hình 1.37). Tìm tổng mômen của các ngẫu lực đó đối với các trụ c tọa độ. Hình 1.37 a x y z O a a F''''3 F1 F3 F2 F''''2 M3 M1 M2 F''''1 22 Bài giải Ngẫu lực '''' 1 1( , )F F  có véctơ mômen1M  nằm trên trục z, chiều theo chiều dƣơng, trị số M1 = a.F1 . Ngẫu lực '''' 2 2( , )F F  có véctơ mômen2M  nằm trên đƣờng chéo đáy, trị số2 22M a F . Ngẫu lực '''' 3 3( , )F F  có véctơ mômen3M  nằm trên trục Ox, trị số M3 = a.F3 . Ba ngẫu lực đó tƣơng đƣơng với một ngẫu lực có véctơ mômen:1 2 3M M M M       Tổng mômen của các ngẫu lực đối với các trục tọa độ chính là hình chiếu củ a véctơM  xuống các trục đó.1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 1 1 2 ( ) 2 2 2 x x x x y y y y z z z z M M M M M M a F F M M M M M aF M M M M M aF                 M  : Trị số2 2 2 2 3 2 1( )M a F F F F    Phƣơng, chiều:2 3 2 1( ) cos( , ) ,cos( , ) ,cos( , ) a F F aF aF M Ox M Oy M Oz M M M        CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Tĩnh học nghiên cứu những vấn đề gì? 2. Thế nào là vật rắn tuyệt đối? Khi nào có thể coi vật là rắn tuyệt đối? 3. Lực là gì? Nêu các yếu tố của lực và trình bày cách biểu diễn lực. 4. Lực phân bố là gì? Xác định hợp lực của lực phân bố đều, tam giác. 5. Hai hệ lực cân bằng có tƣơng đƣơng nhau không? vì sao? 6. Vì sao nói vectơ lực là vectơ trƣợt? 7. Cho hai lực có trị số:1 210 ; 8F N F N  cùng đặt tại điểm O (hình 1.38). Hỏi: - Với góc bằng bao nhiêu thì hợp lựcR  có trị số lớ n nhất? Trị số bằng bao nhiêu? - Với góc bằng bao nhiêu thì hợp lựcR  có trị số nhỏ nhất? Trị số bằng bao nhiêu? 8. Phát biểu và chứng minh định lý về hệ ba lực phẳ ng không song song cân bằng. Hình 1.38 F1 F2 O 23 9. Liên kết là gì? Phản lực liên kết là gì? Nêu các tính chất của phản lực liên kết. 10. Vẽ các liên kết cơ bản thƣờng gặp và phản lực liên kết tƣơng ứng. 11. Định nghĩa mômen của một lực đối với một điểm và biểu thức véctơ của nó. 12. Định nghĩa mômen của một lực đối với một trục. Mômen bằ ng không khi nào? 13. Định nghĩa ngẫu lực và các yếu tố của nó. 14. Phát biểu định lý tƣơng đƣơng của ngẫu lực. Kết quả hợp hệ ngẫu lực. 24 Chƣơng 2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC Trong tĩnh học thƣờng giải quyết hai vấn đề cơ bả n sau: Thu gọn hệ lực tác dụng lên vật, tức là phải thay thế hệ lực đã cho bằng hệ lực tƣơng đƣơng đơn giản nhất; Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực. 2.1. BÀI TOÁN THU GỌN HỆ LỰC Để thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cần phải dời song song các lực đế n một điểm. Vì vậy trƣớc khi nghiên cứu cách thu gọn hệ lực ta nghiên cứu định lý dờ i lực song song. 2.1.1. Định lý dời lực song song Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta dời song song nó từ điểm này đến điểm khác của vật nếu ta thêm vào một ngẫu lực mô men bằ ng mômen của lực đặt tại điểm cũ đối với điểm mới dời đến.F  tại A ''''F  (đặt tại B) =F  ;( )Bm m F   Chứng minh Giả sử lựcF  tác dụng lên vật tại điểm A, cần dờiF  đến điểm B cách A một đoạ n AB = a. Tại B đặt thêm vào vật hai lực cân bằng'''', ''''''''F F   sao cho'''' , ''''''''F F F F       . Theo tiên đề thêm bớt lực cân bằng thìF   (, '''', ''''''''F F F    ) màF  và''''''''F  tạo thành mộ t ngẫu lực; Nhƣ vậy (, '''', ''''''''F F F    ) là một hệ gồm có một lực''''F  và một ngẫu (, ''''''''F F   ). Ngẫ u này có mômen( )Bm m F   (hình 2.1).   Hình 2.1 B A a F B A a F F''''F'''''''' m B A a F'''' 25 2.1.2. Thu gọn hệ lực không gian về một tâm. Véctơ chính và mômen chính của hệ lực 2.1.2.1. Phương pháp thu gọn Giả sử vật rắn chịu tác dụng của hệ lực bất kỳ trong không gian (1 2, ,... nF F F    ). Chọn điểm O thuộc vật làm tâm thu gọn. Áp dụng định lý dời lực song song, ta lần lƣợt dời song song tất cả các lực về O (hình 2.2). Dời lực1F  về O, ta đƣợc lực1 ''''F  và ngẫu lực có mômen1 1( )Om m F   Dời lực2F  về O, ta đƣợc lực2 ''''F  và ngẫu lực có mômen2 2( )Om m F   ….. Dời lựcnF  về O, ta đƣợc lực''''nF  và ngẫu lực có mômen( )n O nm m F   Do đó hệ lực bất kỳ tƣơng đƣơng với một hệ lực đồng quy ở O là (1 2'''', '''',... ''''nF F F    ) và một hệ ngẫu lực có các véctơ mômen (1m  ,2m  ,..,nm  ) Hợp hệ lực đồng quy theo tiên đề về hình bình hành lực ta đƣợc một lực lực''''R  đặt tại O'''' ''''k kR F F      Hợp hệ ngẫu lực ta đƣợc một ngẫu lực có véctơ mômenOM ( )O k O kM m m F        Hình 2.2 2.1.2.2. Véctơ chính và mômen chính của hệ lực'''' kR F    gọi là véctơ chính của hệ lực (1 2, ,... nF F F    )OM  =( )O km F  là mômen chính của hệ lực đối với tâm O. Chú ý:''''R  là hợp lực của hệ lực1 2( '''', '''',... '''')nF F F    đặt tại O nhƣng không phải là hợp lự c của hệ lực (1 2, ,... nF F F    ).''''R  không phụ thuộc vào tâm thu gọn.OM  phụ thuộc vào tâm thu gọn O.F1 F2 Fn O y z xm1 m2 mn O y z x F''''1 F''''2 F''''n Mo R'''' O y z x 26 2.1.2.3. Xác định véctơ chính và mômen chính của hệ lực a. Xác định véctơ chính Phƣơng pháp giải tích Theo định nghĩa'''' kR F    Do đó '''' '''' '''' x y z R X R Y R Z          '''' 2 '''' 2 '''' 2 2 2 2 '''' ( ) ( ) ( )x y zR R R R X Y Z        Gọi , ,  là góc tạo bởi véc tơ''''R  với các trục Ox, Oy, Oz: '''' '''' x R co R s   ; '''' '''' y R co R s   ; '''' '''' z R co R s   Phƣơng pháp hình học (dùng đa giác lực) Từ một điểm O bất kỳ, ta lần lƣợt vẽ các véctơ bằng các véctơ biểu thị các lực của hệ, ngọn của véctơ này trùng với gốc của véctơ kia. VéctơOD  , có gốc là gốc của véctơ đầu tiên và có ngọn là ngọn của véctơ cuố i cùng, chính là véctơ''''R  . Đa giác nhận đƣợc gọi là đa giác lự c. Véctơ chính của hệ lực đƣợc biểu thị bằng véctơ khép kín của đa giác lực tạo bở i hệ lực đó. Hình 2.3 b. Xác định mômen chính Mômen chính của hệ lực đối với tâm O là đại lượng véctơ, bằng tổng hình học của tất cả các véctơ mômen của các lực thuộc hệ đối với tâm đó.OM  =( )O km F  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, gốc là điểm lấy mômen, chiếu véctơ mô men chính xuống các trục tọa độ ta đƣợc:F1 F2 F3 F4F2 R'''' O A B C D F3 F4 F1 27 0 0 0 ( ) ( ) ( ) xx k yy k zz k M m F M m F M m F               2 2 2 ( ) ( ) ( )y zO x k k kM m F m F m F         Gọi 1, 1, 1 là góc tạo bởi véctơOM  với các trụ c Ox, Oy, Oz cos1 = Ox O M M ; cos1 = Oy O M M ; cos1 = Oz O M M 2.1.2.4. Kết quả thu gọn hệ lực Hệ lực bất kỳ khi thu về một tâm tương đương với một lực (đặt tại tâm thu gọn, được biểu diễn bằng véctơ chính) và một ngẫu lực (có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn). 2.1.3. Các trƣờng hợp tối giản khi thu gọn Trường hợp 1 Nếu'''' 0R   và0OM   : Hệ lực cân bằng Trường hợp 2 Nếu'''' 0R   và0OM   : Hệ lực thu về một ngẫu lực có véctơ mômen bằng( )O O kM m F    . Trƣờng hợp này véctơOM  không thay đổi đối với mọi tâm thu gọn. Trường hợp 3 Nếu'''' 0R   và0OM   : Hệ lực có hợp lực bằng véctơ chính'''' kR F    và có điểm đặt chính là tâm thu gọn O. Trường hợp 4 Nếu'''' 0; 0OR M    và''''R  vuông góc vớiOM  (hình 2.4)  Hình 2.4 Ta có thể chọn ngẫu lực có véctơ mômenOM  sao cho có một lực''''''''R  đặt tạ i O và cân bằng với lực''''R  , còn lựcR  đặt tại điểm O1 cách đƣờng tác dụng của lựcR  đoạn R R'''' R'''''''' MO O O1 d  R O O1 d  28 OO1 ='''' o M d R  , nhƣ vậy hệ có hợp lựcR  (1F  ,2F  , …,nF  ) ( , '''', '''''''')R R R    R  Trường hợp 5 Nếu'''' 0; 0OR M    và''''R  OM  (hình 2.5) Hệ lực tƣơng đƣơng với một lực và một ngẫ u lực, mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực vuông góc vớ i lực''''R  . Hệ lực này không có hợp lực, gọi là hệ lự c xoắn. Đƣờng tác dụng của lực''''R  đi qua điểm O, gọ i là trục trung tâm (trục xoắn). Trường hợp 6 Hình 2.5 Nếu'''' 0; 0OR M    ,''''R  vàOM  không vuông góc cũng không song song vớ i nhau (hình 2.6).  Hình 2.6 Hệ lực cũng tƣơng đƣơng với một lực xoắn (hoặc đinh ốc), nhƣng trụ c trung tâm (trục xoắn) không đi qua O. Thật vậy, véctơOM  đƣợc phân tích thành hai thành phần1M  nằm trên phƣơng của''''R  và2M  vuông góc với''''R  , với trị số: M1 = MO. cos  ; M2 = MO. sin . Trong đó  là góc giữaOM  và''''R  . Lực''''R  đặt tại O và ngẫu lực có véctơ mômen2M  tƣơng đƣơng với lựcR  đặt tại điểm O1 có khoảng cách đến đƣờng tác dụng của''''R  là: 2 1 '''' sinOM M OO d R R     Vậy hệ lực tƣơng đƣơng với hệ lực xoắn gồm lựcR  đặt tại điểm O1 và ngẫu lực có véctơ mômen1M  , trục trung tâm đi qua điểm O1, cách tâm O đoạn d. 2.1.4. Định lý Varinhông a, Đị nh lý Nếu hệ lực có hợp lực thì véctơ mômen của hợp lực đối với một điểm nào đó bằng O MO d R'''' M2 MO M1 R R'''' R'''''''' O O1 d  O d M1  O1 R 29 tổng hình học các véctơ mômen các lực của hệ đối với điểm ấy.( ) ( )O O kM R m F     Chiếu đẳng thức trên lên một trục z nào đó có sử dụng liên hệ giữa mômen củ a lực đối với một điểm và một trục, ta có:( ) ( )z z kM R m F    b, Chứng minh Giả sử hệ lực 1 2, ,..., nF F F    có hợp lựcR  đặt tại O1. Theo định lý dời lự c song song, nếu dờiR  từ O1 về O ta phải thêm vào ngẫu lực có mômen bằng mômen củaR  đối với điểm O (hình 2.7). a) b) c) Hình 2.7 Nhƣ vậy 1 2, ,..., ( ''''nF F F R R        và ngẫu lực có mômen( ))OM m R   . Mặt khác khi thu gọn hệ lực 1 2, ,..., nF F F    về O1 ta đƣợc''''R  và ngẫu lực( )O kM m F    . Vậy( ) ( )O O km R m F     c, Áp dụng Định lý Varinhông để xác định mô men của một lực đối với một điểm hoặc một trục bằng cách phân tích lực thành các thành phần; Để xác định đƣờng tác dụng hợp lực của hệ lực song song... Ví dụ 2.1: Xác định mômen của lựcF  đối với điểm O, biết F, a, b, α (hình 2.8). Hình 2.8F1 F2 Fn O1 R ~ ~ O O1 O O1 O R'''' M= mO(R) O F a b  O F1 F F2 a b  30 Bài giải Phân tích lựcF  thành hai thành phần1F  và2F  , với trị số:1 2.cos ; .sinF F F F    . Áp dụng định lý Varinhông cho hệ lực phẳng:1 2 1 2( ) ( ) ( ) . . ( .cos - .sin )O O OM F m F m F F a F b F a b          Vậy mômen của lựcF  đối với điểm O là( ) ( .cos - .sin ).OM F F a b    Ví dụ 2.2 Cho hệ lực phẳng song song gồm các lực có trị số1 2 320 , 30 , 10F N F N F N   (hình 2.9). Xác định hợp lực của hệ. Bài giải Hợp lực có trị số:1 2 3 20 30 10 40R F F F N       Hình 2.9R  song song cùng chiều với1F  Chọn điểm O nằm trên đƣờng tác dụng của1F  , giả sử hợp lựcR  có đƣờ ng tác dụng đặt cách O một đoạn x và nằm bên phải1F  . Áp dụng định lý Varinhông cho hệ lực phẳng:2 3( ) ( ) . .1 .2,5O O kM R m F R x F F      Giải phƣơng trình trên ta đƣợc x = 0,125m. Vậy hợp lực ở bên phải1F  , cùng phƣơng chiều với1F  và cách1F  một đoạ n x = 0,125m. Nếu kết quả x âm thì hợp lựcR  ở phía ngƣợc lại với phía đã giả định. Ví dụ 2.3 Tại các đỉnh của hình lập phƣơng cạnh là a, có các lực tác dụng nhƣ hình vẽ ; Trị số các lực F1 = F2 = F3 = F; F4 = F5 = 2F (hình 2.10). Thu gọn hệ lực về tâm O. Bài giải Thu gọn hệ lực về tâm O là tìm véctơ chính và mômen chính của hệ đối với tâm O. Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ.F3 R F1 O 1m 1,5m x F2 311 2 '''' – 0x FR X F '''' 0yR Y 5 3 '''' 4–z F FR Z F F   4 5 0( )Ox x k aF aM Fm F     2 4( )Oy y k aF aF aM m F F    ( ) 0Oz z kM m F   Hình 2.10 Thu hệ lực trên về O, ta đƣợc một lực''''R  song song và ngƣợc chiều với trụ c z, một ngẫu lực cóOM  song song cùng chiều với trục y.'''' . oR F M aF    Vì''''OM R   nên hệ thu về một hợp lực đi qua O’. Ví dụ 2.4 Dầm AB chịu tác dụng của các lực F1=10 kN; F2=12kN; F3 =15kN. Hãy thu gọn hệ lực1 2 3( , , )F F F    về tâm A (hình 2.11). Hình 2.11 Bài giải Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ, tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ là: 2 1 2 3 2 os45 12 8, 49 2 2 sin45 10 12 15 16,52 2 o o X F c kN Y F F F kN                O y z F3F2 F1 MO F4 F5 a a a x O'''' R'''' B A y F1 F2 F3 x 45o 1m 1m 1m 32 Khi thu hệ lực1 2 3, ,F F F    về tâm A ta đƣợc một véctơ chínhR  và mộ t mômen chínhM : Véctơ chính có: Trị số:2 2 ( ) ( )R X Y   =2 2 (8,46) ( 16,54)  = 18,57kN Phƣơng, chiều: 8, 49 os 0, 46 18,57 16,52 sin 0,89 0 18,57 X c R Y R                 63o    VậyR  nằm ở góc phần tƣ IV tạo với phƣơng nằm ngang một góc 630 . Mômen chính:1 2 3 2 2 ( ) 3 38,0( . ) 0 2 A iM m F F F F kN m         VậyM quay thuận chiều kim đồng hồ. Ví dụ 2.5 Khối hình lập phƣơng cạnh a chịu tác dụng của bốn lực1 2 3 4, , ,F F F F     và một ngẫ u lực( , '''')G G   . Hãy thu gọn hệ lực về tâm O (hình 2.12). Bài giải Ta phân tích hai lực xiên2 4,F F   thành các thành phần theo các trục tọa độ: Hình 2.122 2 2 4 4 4 2 2 2 2 x y x z F F F F F F     a x y z O a a F2 M F4x F4 F4z G'''' F1 F2x F2y F3 G 33 Véctơ mômenM  của ngẫu lực( , '''')G G   nằm trên trục Oy, hƣớng theo chiề u âm của trục và có trị số M= G.a. Véctơ chính:1 2 3 4R F F F F         với các thành phần hình chiếu lên các trục tọa độ:1 2 4 2 3 4 2 ( ) 2 2 2 2 2 x y z R F F F R F R F F                 2 2 2 x y zR R R R    Véctơ mômen chính đối với tâm O:1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )O O O O OM M m F m F m F m F             Ox 2 3 4 2 3 4 Oy 1 2 4 1 2 4 Oz 4 4 2 2 . . ( ) 2 2 2 2 . . ( ) 2 2 2 . 2 y z x z x M F a F a F a a F F F M M F a F a F a a G F F F M F a a F                             Ox OY Oz 2 2 2 OM M M M    Vậy thu gọn hệ lực về tâm O ta đƣợc một lựcR  và một ngẫu lựcM  đƣợc xác định bằng hình chiếu của chúng xuống c

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GTVT

NGUYỄN THỊ GIANG (Chủ biên)

ĐỖ QUANG CHẤN - BÙI GIA PHI

GIÁO TRÌNH CƠ HỌC CƠ SỞ

(Lưu hành nội bộ)

Dùng cho đào tạo: Đại học

Hà Nội, năm 2015

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học là khoa học có tính hệ thống và được trình bày rất chặt chẽ Khi nghiên cứu môn học này đòi hỏi phải nắm vững các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề, vận dụng thành thạo các công cụ toán học như hình giải tích, các phép tính vi phân, tích phân, phương trình vi phân để thiết lập và chứng minh các định lý được trình bày trong môn học

Ngoài ra, người học cần phải thường xuyên giải các bài tập để củng cố kiến thức đồng thời rèn luyện kỹ năng áp dụng lý thuyết cơ học giải quyết các bài toán kỹ thuật Giáo trình này được biên soạn dùng cho sinh viên hệ Đại học trường Đại học công nghệ Giao thông vận tải

Khi biên soạn chúng tôi đã tham khảo các giáo trình và tài liệu giảng dạy môn học này của một số trường đại học trong và ngoài nước để giáo trình vừa đạt yêu cầu cao về nội dung vừa thích hợp với đối tượng người học

Nội dung của giáo trình gồm ba phần: Phần 1 (tĩnh học vật rắn) do cô Nguyễn Thị Giang biên soạn, phần 2 (động học) do thầy Đỗ Quang Chấn biên soạn và phần 3 (động lực học) do thầy Bùi Gia Phi biên soạn Chịu trách nhiệm chủ biên: Cô Nguyễn Thị Giang

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô đã tham gia đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để chúng tôi hoàn thiện giáo trình

Khi viết chúng tôi đã hết sức cố gắng để cuốn sách được hoàn chỉnh, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót, chúng tôi rất mong tiếp tục nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện đầy đủ hơn cho giáo trình này

Các tác giả

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN 1 TĨNH HỌC Chương1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CỦA TĨNH HỌC

Chương 2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

Chương 3 CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN

PHẦN 2 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN

Chương 4 ĐỘNG HỌC ĐIỂM – HAI CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

Chương 5

CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

7.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 140

Chương 8 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

Chương 10 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE

PHẦN MỞ ĐẦU

Cơ học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực Cân bằng hay chuyển động trong cơ học là trạng thái đứng yên hay dời chỗ của vật thể trong không gian theo thời gian so với vật thể khác được làm chuẩn gọi

là hệ quy chiếu Không gian và thời gian ở đây độc lập với nhau Vật thể trong cơ học xây dựng dưới dạng các mô hình chất điểm, cơ hệ và vật rắn Cơ học được xây dựng trên cơ sở hệ tiên đề của Newton đã ra trong tác phẩm nổi tiếng " Cơ sở toán học của triết học tự nhiên" năm 1687 - chính vì thế cơ học còn được gọi là cơ học Newton

Cơ học khảo sát các vật thể có kích thước hữu hạn và chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng Các vật thể có kích thước vĩ mô, chuyển động có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng được khảo sát trong giáo trình cơ học tương đối của Anhxtanh Trong các trường đại học kỹ thuật, cơ học làm nền tảng cho các môn học kỹ thuật

cơ sở và kỹ thuật chuyên ngành như sức bền vật liệu, nguyên lý máy, động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, lý thuyết ô tô máy kéo v.v Để hiểu sâu nội dung của môn Cơ học cơ sở, người học phải nắm được cơ sở của giải tích toán học, Phương trình vi phân, Đại số cao cấp và có những hiểu biết thực

tế của kỹ thuật ở một mức độ nhất định

Cơ học đã có lịch sử lâu đời cùng với quá trình phát triển của khoa học tự nhiên, bắt đầu từ thời kỳ phục hưng sau đó được phát triển và hoàn thiện dần Các khảo sát có tầm quan trọng đặc biệt làm nền tảng cho sự phát triển của cơ học là các công trình của nhà bác học người ý Galilei (1564- 1642) Galilei đã đưa ra các định luật về chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực, đặc biệt là định luật quán tính Đến thời kỳ Newton (1643- 1727) ông đã hoàn tất trên cơ sở thống nhất và mở rộng cơ học của Galilei, xây dựng hệ thống các định luật mang tên ông - định luật Newton Tiếp theo Newton là D’Alembert (1717- 1783), Euller ( 1707 - 1783) đã có nhiều đóng góp cho

cơ học hiện đại ngày nay Euler là người đặt nền móng cho việc hình thành môn cơ học giải tích mà sau này Lagrange, Hamilton, Jaccobi, Gauss đã hoàn thiện thêm Căn cứ vào nội dung và các đặc điểm của bài toán khảo sát, chương trình cơ học giảng cho các trường đại học kỹ thuật có thể chia ra thành các phần: Tĩnh học, động học, động lực học

và các nguyên lý cơ học Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật thể dưới tác dụng của lực Động học chỉ nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể đơn thuần về mặt hình học Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực Các nguyên lý cơ học là nội dung cơ bản nhất của cơ học giải tích Cơ học giải tích chính là phần động lực học của hệ được trình bày theo hướng giải tích hoá

1

PHẦN 1 TĨNH HỌC

Chương1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CỦA TĨNH HỌC

Tĩnh học nghiên cứu sự cân bằng của vật rắn tuyệt đối dưới tác dụng của lực Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản cần giải quyết là bài toán thu gọn hệ lực về hệ lực khác tương đương nhưng có dạng đơn giản hơn và bài toán tìm điều kiện cân bằng của

hệ lực tác dụng lên một vật rắn

1.1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Lực

Trong thực tế các vật luôn luôn tác dụng tương hỗ lẫn nhau, tác dụng tương hỗ đó

là nguyên nhân làm cho các vật thay đổi trạng thái chuyển động Trong cơ học tác dụng tương hỗ đó được đánh giá qua một đại lượng gọi là lực

Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là gây nên sự thay đổi trạng thái động học của các vật đó

Ví dụ: Xe goòng đang đứng yên,

một người đẩy nó lên đường ray, như vậy

người đã tác dụng lên xe goòng một lực

Lực là đại lượng véc tơ, được đặc

trưng bởi ba yếu tố sau:

- Điểm đặt của lực là điểm mà vật

được truyền tác dụng tương hỗ cơ học từ

vật khác

- Phương, chiều của lực biểu diễn khuynh hướng chuyển động mà lực gây ra cho vật

- Trị số của lực biểu thị độ mạnh yếu của tác dụng tương hỗ

Đơn vị chính để đo trị số của lực trong hệ SI là Newton (N)

Cách biểu diễn một lực trong mô hình tính toán, bằng đại lượng véctơ có gốc trùng với điểm đặt của lực, có phương chiều trùng với phương chiều của lực, có độ dài

tỉ lệ với trị số của lực (hình 1.1), đường thẳng xx được gọi là đường tác dụng của lực và

2

1.1.2 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là vật có dạng hình học không thay đổi, hay là khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn không đổi khi chịu tác dụng của lực

Thực tế, vật rắn bao giờ cũng bị biến dạng nhiều hay ít khi chịu tác dụng của lực

Do có độ biến dạng bé nên ta có thể bỏ qua và coi vật là rắn tuyệt đối để nghiên cứu cho đơn giản mà kết quả vẫn đủ chính xác theo yêu cầu kỹ thuật

Trường hợp cần xét tới biến dạng thì không thể xem vật là rắn tuyệt đối, vấn đề này sẽ được nghiên cứu kỹ trong các môn học khác còn trong cơ học cơ sở ta chỉ hạn chế xét các vật rắn tuyệt đối

Để đơn giản, vật rắn tuyệt đối thường được gọi vắn tắt là vật rắn

1.1.3 Các định nghĩa khác

1.1.3.1 Trạng thái cân bằng của vật rắn

Vật rắn ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều đối với hệ quy chiếu thỏa mãn định luật quán tính của Newton (hệ quy chiếu quán tính) Trong kỹ thuật, hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu được gắn với trái đất Nếu vật đứng yên so với hệ quy chiếu cố định thì cân bằng ấy là tuyệt đối Nếu vật đứng yên so với hệ quy chiếu động thì đó là cân bằng tương đối

1.1.3.3 Hai hệ lực tương đương

Hai hệ lực được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tác dụng cơ học gây ra cho một vật rắn Ta có thể thay hệ lực đã cho tác dụng lên vật rắn tự do bằng một hệ

lực khác mà không làm thay đổi trạng thái cân bằng hoặc quy luật chuyển động ban đầu của vật rắn

độ lực (là số lượng lực tác dụng lên một đơn vị độ dài, diện tích hay thể tích)

Ta đi xét một vài trường hợp lực phân bố đơn giản trong bài toán phẳng

Lực phân bố đều trên đoạn thẳng AB = a với cường độ lực phân bố q Hợp của

a

q max

aa/3

Q=q max a/2

Tĩnh học được xây dựng trên cơ sở các tiên đề dưới đây

1.2.1 Tiên đề hai lực cân bằng

Điều kiện cần và đủ để một vật rắn tuyệt đối tự do cân bằng dưới tác dụng của hai lực là hai lực này có cùng đường tác dụng, cùng trị số và ngược chiều

Tiên đề này đưa ra một tiêu chuẩn cân bằng đơn giản nhất, hệ chỉ có hai lực Nếu một vật rắn tự do chỉ chịu tác dụng của một lực thì không thể cân bằng Muốn chứng minh một hệ lực có cân bằng hay không ta có thể chứng minh hệ lực đó tương đương với hai lực cân bằng

1.2.2 Tiên đề thêm hoặc bớt hai lực cân bằng

Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn tuyệt đối không bị thay đổi nếu thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng

Nếu F F , '

là hai lực cân bằng thì (F F 1, 2, ,F n)

~ (F F 1, 2, ,  F F F n, , ')

; ngược lại nếu hệ (F F F  1, 2, 3, ,F n)

Hệ quả (định lý ba lực phẳng không song song cân bằng)

Nếu có ba lực phẳng không song song cân bằng thì đường tác dụng của chúng phải đồng quy tại một điểm

Chứng minh

F A

6

Giả sử có ba lực F F F  1, 2, 3

cùng nằm trong một mặt phẳng, không song song và cân bằng nhau (hình 1.10) Ta phải chứng minh ba lực này có đường tác dụng đồng quy tại một điểm

Tiên đề này là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát một vật sang khảo sát hệ vật

Hình 1.12

Chú ý: Điều ngược lại của tiên đề hóa rắn không phải lúc nào cũng đúng, tức là

nếu vật rắn tuyệt đối được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực, thì khi nó trở thành vật biến dạng nó có thể mất cân bằng

1.3 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT

1.3.1 Khái niệm

Những vật không bị ràng buộc với các vật khác và có thể thực hiện mọi di chuyển

trong không gian được gọi là vật tự do Ví dụ quả bóng nhẹ đang bay lơ lửng trên

không trung

Những vật có một vài phương di chuyển bị cản trở bởi những vật khác được gọi là

vật không tự do hay vật chịu liên kết Ví dụ quyển sách đặt trên mặt bàn nằm ngang là

vật chịu liên kết vì chuyển động đi xuống của quyển sách bị mặt bàn cản trở

Những điều kiện cản trở chuyển động tự do của vật khảo sát gọi là liên kết Khi ta xét cân bằng của một vật thể nào đó thì vật ấy được gọi là vật khảo sát, còn các vật khác liên quan đến vật ấy gọi là vật gây liên kết

Để dễ hình dung các định nghĩa, ta đưa vào ví dụ quyển sách đặt trên mặt bàn nằm

ngang: Vật đang xét cân bằng thì gọi là vật khảo sát (quyển sách); vật liên kết với vật khảo sát gọi là vật gây liên kết (mặt bàn)

Tại liên kết thường xuất hiện lực tác dụng tương hỗ: Lực do vật khảo sát tác dụng

lên vật gây liên kết gọi là áp lực, còn lực do vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát gọi là phản lực liên kết

Phản lực liên kết không thể tự nó gây ra chuyển động cho vật khảo sát, mà chỉ có tác dụng cản trở những di chuyển nhất định mà các lực khác tác dụng lên vật đó có thể gây ra nếu không có liên kết, nên là loại lực bị động chưa biết cần phải tìm trong bài toán tĩnh học

Phản lực liên kết có phương là phương mà nó ngăn cản chuyển động của vật, ngược với chiều chuyển động của vật bị ngăn cản, có độ lớn phụ thuộc vào các lực chủ động tác dụng lên vật rắn

8

1.3.2 Các liên kết thường gặp và phản lực liên kết

Đây là các liên kết cơ bản thường gặp và các phản lực liên kết của chúng, với giả

thiết các mặt tựa ở vùng liên kết hoàn toàn rắn và trơn nhẵn

Hình 1.13 1.3.2.2 Liên kết dây mềm

Liên kết dây mềm, không giãn, bị kéo căng cản trở di chuyển của vật khảo sát theo phương dọc dây

Phản lực liên kết (còn gọi là sức căng dây) có ký hiệu: T

Phản lực liên kết có phương dọc dây; chiều từ vật khảo sát vào dây (theo chiều kéo căng dây) (hình 1.14)

N C

C

B T

P

A

P D

B

C

Phản lực liên kết được ký hiệu: S

Phản lực liên kết có phương theo phương nối hai bản lề ở hai đầu thanh (theo tiên

đề về hai lực cân bằng); chiều nếu thanh chịu kéo thì đi từ vật vào thanh, nếu thanh chịu nén thì đi từ thanh vào vật

Hình 1.15

Ví dụ (hình 1.15a) thanh thẳng AB và thanh cong CD dùng để treo vật có trọng lượng P, (hình 1.15b) thanh thẳng AB và thanh gấp khúc CD dùng để chống vật có trọng lượng P

1.3.2.4 Liên kết gối tựa cố định và gối tựa di động

a Gối tựa cố định

Hạn chế mọi di chuyển của vật khảo sát, chỉ cho phép vật khảo sát quay quanh

trục bản lề nên phản lực R

có phương bất kỳ phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật

Để tìm phản lực tại gối cố định, ta tìm thành phần hình chiếu X Y ,

của R

lên hai trục tọa độ vuông góc (hình 1.16)

Hình 1.18

Nếu hai vật liên kết với nhau bằng boulon, bắt qua các lỗ khoan (hình 1.18), thì liên kết gọi là liên kết bản lề (hay liên kết khớp) Trục của boulon gọi là trục của bản lề Vật không thể di chuyển theo phương bất kỳ trong mặt phẳng vuông góc với trục của bản lề Phản lực liên kết có phương bất kỳ trong mặt phẳng vuông góc với trục của bản

lề Để tìm phản lực, ta tìm hai thành phần chiếu của nó lên hai trục tọa độ vuông góc

R

X

Y Z

x

y z

12

Trong trường hợp vật chịu tác dụng của hệ lực không gian, phản lực liên kết tại đầu ngàm gồm ba thành phần lực vuông góc nhau , ,  X Y Z

và ba thành phần ngẫu lực quay quanh ba trục tọa độM M M với chiều giả định (hình 1.22b) x, y, z

1.4 TIÊN ĐỀ GIẢI PHÓNG LIÊN KẾT

Vật không tự do (vật chịu liên kết) cân bằng có thể xem là vật rắn tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết và thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng

Ví dụ 1.1

Quả cầu đồng chất trọng lượng P treo vào mặt tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây

OA Giải phóng liên kết cho quả cầu (hình 1.23)

Bài giải

Vật khảo sát là quả cầu có trọng lực P

(lực đã cho) đặt tại tâm O và hướng thẳng đứng xuống dưới Giải phóng liên kết: Thay liên kết dây bằng phản lực là sức căng T

Thay liên kết tựa ở B bằng phản lực tựa N

1.5 MÔ MEN CỦA MỘT LỰC

1.5.1 Mô men của một lực đối với một điểm

Khi lực tác dụng lên vật, nó có thể làm cho vật quay quanh một điểm nào đó Tác dụng đó của lực được đặc trưng đầy đủ bằng mô men của lực đối với một điểm Tác

dụng của lực F

làm vật quay quanh điểm O được xác định bởi ba yếu tố sau:

- Độ lớn bằng tích số: F.h, với F là trị số của lực và h là khoảng cách từ tâm O tới đường tác dụng của lực (cánh tay đòn);

- Phương vuông góc với mặt phẳng

chứa tâm O và lực F

(mặt phẳng tác dụng);

- Chiều hướng về phía sao cho khi

nhìn từ đỉnh của véc tơ xuống mặt phẳng

tác dụng sẽ thấy véc tơ lực F

chuyển động theo chiều mũi tên vòng quanh O theo

Mô men của lực F

đối với điểm O là đại lượng véc tơ, có trị số bằng tích F.h (tích giữa trị số của lực với chiều dài tay đòn), có phương vuông góc với mặt phẳng tạo bởi điểm O và đường tác dụng của lực F

, có chiều sao cho nếu đứng theo véc tơ đó thì thấy lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ

K

C

D A

B

P1

P2

D A

NK

D C

mO(F)

F

A h



Ký hiệu:m F O( )  F h.

Lấy dấu dương (+) khi dưới tác dụng của lực, vật quay quanh O ngược chiều kim

đồng hồ, lấy dấu trừ (-) trong trường hợp quay ngược lại (hình 1.27)

mO(F)

F(X,Y,Z)A(x,y,z)O

nằm trên trục Ax, hướng theo

chiều dương và có trị số bằng F1.a

Véctơ mômenmA F2

có phương vuông góc với đường chéo AC, có trị số

bằng F 2 a, chiều như hình vẽ

Hình 1.28

1.5.2 Mô men của một lực đối với một trục

Mô men của lực đối với một trục đặc trưng cho tác dụng của lực làm vật quay quanh trục đó Khảo sát một vật rắn có thể quay được quanh trục z dưới tác dụng của lực F 

có tác dụng làm vật chuyển dời theo trục z, chỉ có thành phần Fxy

mới

có tác dụng làm vật quay quanh trục z Như vậy tác dụng quay của lực F 

quanh trục z chính là tác dụng quay của thành phần Fxy

Mômen của Fxy

đối với trục z bằng tích giữa cường độ của Fxy

với cánh tay đòn h của nó xuống trục z, đại lượng này chính là

mômen của Fxy

đối với điểm O (hình 1.29)

h F

O

h F

O

a

x

y z

C B

D A

16

Định nghĩa: Mô men của lực F 

đối với trục z là đại lượng đại số, bằng mô men của

nếu vật có xu hướng quay thuận chiều kim

Vậy mômen của một lực đối với một

trục bằng hình chiếu lên trục ấy của véctơ

mômen của lực đối với điểm O bất kỳ trên

y i

k j

Y X

r

mO(F)

mO(F xy )

Nhờ liên hệ này ta có thể chuyển việc tìm mômen của lực đối với một điểm về tính mômen của lực đối với một trục

Tương tự ta có thể tìm bằng phương pháp giải tích:

Mô men của lực F

AB

CO

18

1.6 NGẪU LỰC

1.6.1 Định nghĩa, các yếu tố của ngẫu lực

Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng

Kí hiệu: F F , '

(hình 1.32)

Hình 1.32

Ngẫu lực là một hệ lực không cân bằng, không có hợp lực vì  R F 1 F2 0, nghĩa

là ta không thể thay thế một ngẫu lực bằng một lực được Tác dụng của ngẫu lực lên vật làm vật quay và được xác định bởi ba yếu tố:

- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu: Là mặt phẳng tạo bởi hai đường tác dụng của các lực thuộc ngẫu;

- Cánh tay đòn của ngẫu lực (khoảng cách giữa hai đường tác dụng của các lực thuộc ngẫu) và trị số của lực thuộc ngẫu;

- Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó, được xác định từ đầu mút lực này đến gốc của lực kia

A h

 F

A

B F' F

19

Thiếu một trong ba yếu tố trên, tác dụng của ngẫu lực chưa được xác định

Để biểu diễn đầy đủ ba yếu tố trên của ngẫu lực ta đưa ra khái niệm về véctơ mômen ngẫu lực

Véctơ mômen M 

có trị số bằng tích số F.h, có phương vuông góc với mặt phẳng tác

dụng của ngẫu lực, có chiều sao cho nhìn từ

mút của nó xuống mặt phẳng tác dụng thấy

chiều quay của ngẫu lực theo chiều ngược kim

đồng hồ Để phân biệt véctơ lực, ta vẽ thêm

chiều quay của ngẫu quanh véctơ M 

(hình

Ý nghĩa của mômen: Véctơ M 

hoàn toàn đặc trưng cho tác dụng của ngẫu lên vật M 

1.6.2 Sự tương đương của ngẫu lực

Định lý 1: Hai ngẫu lực có cùng mặt phẳng tác dụng, cùng chiều quay và cùng trị số

mômen thì tương đương nhau

A h

 F

Tác dụng của ngẫu lực sẽ không thay đổi khi ta thay đổi tuỳ ý cường độ của lực và cánh tay đòn nhưng vẫn giữ nguyên mômen

Định lý 2: Tác dụng của ngẫu lực lên vật rắn sẽ không thay đổi khi ta dời ngẫu lực đến

mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng của nó

Ví dụ: Dời ngẫu lực (hình 1.36a) đến mặt đáy của hình lập phương (hình 1.36d)

F2

F 2 '

M a

F1'

F1

M M

a

21

Chú ý: Trường hợp hệ ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó các mômen của

ngẫu lực được biểu diễn bởi các mômen đại số Theo kết quả trên, ngẫu lực tổng hợp trong trường hợp này cũng nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ ngẫu lực đã cho và có mômen bằng tổng đại số các mômen của các ngẫu lực thành phần

nằm trên trục Ox, trị số M3 = a.F3

Ba ngẫu lực đó tương đương với một ngẫu lực có véctơ mômen:

2 Thế nào là vật rắn tuyệt đối? Khi nào có thể coi vật là rắn tuyệt đối?

3 Lực là gì? Nêu các yếu tố của lực và trình bày cách biểu diễn lực

4 Lực phân bố là gì? Xác định hợp lực của lực phân bố đều, tam giác

5 Hai hệ lực cân bằng có tương đương nhau không? vì sao?

6 Vì sao nói vectơ lực là vectơ trượt?

7 Cho hai lực có trị số: F110 ;N F2 8N cùng đặt tại điểm O (hình 1.38) Hỏi:

- Với góc  bằng bao nhiêu thì hợp lực R 

có trị số lớn nhất? Trị số bằng bao nhiêu?

- Với góc  bằng bao nhiêu thì hợp lực R 

có trị số nhỏ nhất? Trị số bằng bao nhiêu?

23

9 Liên kết là gì? Phản lực liên kết là gì? Nêu các tính chất của phản lực liên kết

10 Vẽ các liên kết cơ bản thường gặp và phản lực liên kết tương ứng

11 Định nghĩa mômen của một lực đối với một điểm và biểu thức véctơ của nó

12 Định nghĩa mômen của một lực đối với một trục Mômen bằng không khi nào?

13 Định nghĩa ngẫu lực và các yếu tố của nó

14 Phát biểu định lý tương đương của ngẫu lực Kết quả hợp hệ ngẫu lực

24

Chương 2 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

Trong tĩnh học thường giải quyết hai vấn đề cơ bản sau:

Thu gọn hệ lực tác dụng lên vật, tức là phải thay thế hệ lực đã cho bằng hệ lực tương đương đơn giản nhất;

Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực

2.1 BÀI TOÁN THU GỌN HỆ LỰC

Để thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cần phải dời song song các lực đến một điểm Vì vậy trước khi nghiên cứu cách thu gọn hệ lực ta nghiên cứu định lý dời lực song song

2.1.1 Định lý dời lực song song

Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta dời song song nó từ điểm này đến điểm khác của vật nếu ta thêm vào một ngẫu lực mô men bằng mômen của lực đặt tại điểm cũ đối với điểm mới dời đến

 (F F F  , ', ''

) mà F 

và F  ''

tạo thành một ngẫu lực;

Như vậy ( , ', ''F F F  

) là một hệ gồm có một lực F'

và một ngẫu (F F , ''

) Ngẫu này có mômen m m FB( ) (hình 2.1)

F

F'F''

m

BAa

F'

Dời lực F1

về O, ta đƣợc lực F1'

và ngẫu lực có mômen m1 mO(F1)Dời lực F2

z

x

Gọi , ,  là góc tạo bởi véc tơ R  '

với các trục Ox, Oy, Oz:

' '

x

R co

R

s  ;

' '

y

R co

R

s  ;

' '

z

R co

R

s 

Phương pháp hình học (dùng đa giác lực)

Từ một điểm O bất kỳ, ta lần lượt vẽ các véctơ bằng các véctơ biểu thị các lực của

hệ, ngọn của véctơ này trùng với gốc của véctơ kia

Véctơ OD



, có gốc là gốc của véctơ đầu tiên và có ngọn là ngọn của véctơ cuối cùng, chính là véctơ R  '

Đa giác nhận được gọi là đa giác lực

Véctơ chính của hệ lực được biểu thị bằng véctơ khép kín của đa giác lực tạo bởi

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, gốc là điểm lấy mômen, chiếu véctơ mômen chính xuống các trục tọa độ ta được:

Gọi 1, 1, 1 là góc tạo bởi véctơ MO

với các trục Ox, Oy, Oz

2.1.2.4 Kết quả thu gọn hệ lực

Hệ lực bất kỳ khi thu về một tâm tương đương với một lực (đặt tại tâm thu gọn, được biểu diễn bằng véctơ chính) và một ngẫu lực (có mômen bằng mômen chính của

hệ lực đối với tâm thu gọn)

2.1.3 Các trường hợp tối giản khi thu gọn

 , như vậy hệ có hợp lực R (F1

Hệ lực tương đương với một lực và một ngẫu

lực, mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực vuông góc với

lực R  '

Hệ lực này không có hợp lực, gọi là hệ lực

xoắn Đường tác dụng của lực R  '

đi qua điểm O, gọi

là trục trung tâm (trục xoắn)

đặt tại O và ngẫu lực có véctơ mômen M2

tương đương với lực R 

đặt tại điểm O1 có khoảng cách đến đường tác dụng của R  '

là: OO1 d M2' M Osin



Vậy hệ lực tương đương với hệ lực xoắn gồm lực R 

đặt tại điểm O1 và ngẫu lực

Vậy mômen của lực F

đối với điểm O là MO( ) F   F a ( cos - sin )  b 

, giả sử hợp lực R

có đường tác dụng đặt cách O một đoạn x và nằm bên phải F 1

Áp dụng định lý Varinhông cho hệ lực phẳng:

M R m F R xF F

Giải phương trình trên ta được x = 0,125m

Vậy hợp lực ở bên phải F 1

, cùng phương chiều với F 1

và cách F 1

một đoạn

x = 0,125m

Nếu kết quả x âm thì hợp lực R

ở phía ngược lại với phía đã giả định

F1

x

F2

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ, tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ là:

x

B A

32

Khi thu hệ lực F F F  1, 2, 3

về tâm A ta đƣợc một véctơ chính R 

và một mômen chính M :

18,57

X c

R Y R

Hãy thu gọn hệ lực về tâm O (hình 2.12)

2.2 BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỆ LỰC

2.2.1 Điều kiện cân bằng tổng quát Các phương trình cân bằng của hệ lực

2.2.1.1 Điều kiện cân bằng tổng quát

Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là véctơ chính và véctơ

mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn bất kỳ đồng thời phải bằng không

1 2( ,F F  , ,Fn) 0

Thật vậy, Khi R'0,MO 0: hệ thu về một hợp lực

2.2.1.2 Phương trình cân bằng của hệ lực không gian

Trong không gian, hệ lực bất kỳ tác dụng lên vật rắn có thể làm cho vật rắn chuyển động tịnh tiến theo ba trục toạ độ và chuyển động quay quanh cả ba trục đó

Vì vậy điều kiện để vật rắn cân bằng là:

000

nằm ngang nhờ hai bản lề A, B và dây treo IK tạo góc = 30o với mặt phẳng của tấm

Tìm phản lực tại A, B và lực căng của dây Biết b= 1m, d= 6m, a= 2m

2.2.2 Điều kiện cân bằng của các hệ lực đặc biệt

2.2.2.1 Hệ lực đồng quy

Hệ lực đồng quy trong không gian: Là hệ gồm các lực có đường tác dụng đồng

quy tại một điểm Đây là trường hợp đặc biệt của hệ lực không gian Giả sử hệ trục tọa

độ có gốc trùng với điểm đồng quy của các lực thì trong mọi trường hợp ta luôn có:

P B A



I K

P

B A

a/2

y z