skkn cấp tỉnh kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường thcs

Bên cạnh đó, xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay làphải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, có năng lực sáng tạo, mà để đàotạo ra những lớp người như vậy thì

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

STT Nội dung Trang

7 I Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

8 II Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 3

10 A Những kiến thức cơ bản để giải phương trình 5

11 B Một số dạng đặc biệt của phương trình bậc cao 6

12 C Một số phương pháp giải phương trình bậc cao 15

13 IV Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm 22

PHẦN I MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Nghị quyết Trung ương 3 (Khóa VII) năm 1993 khẳng định: “Giáo dục vàđào tạo là quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển”.Nghị quyết Trung ương 8 (khóa XI) (Nghị quyết số 29-NQ/TW) một lần nữakhẳng định: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng,Nhà nước và của toàn dân ta” và xuyên suốt nhiều kỳ Đại hội Đảng cũng nhưnhiều Hội nghị Trung ương, quan điểm giáo dục và đào tạo là quốc sách hàngđầu không thay đổi

Với quan điểm giáo dục như trên thì mục tiêu giáo dục phải là: Nâng caodân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trong đó việc bồi dưỡng họcsinh giỏi là một trong những công tác mũi nhọn của ngành giáo dục nói chung

và các cơ sở giáo dục nói riêng Môn Toán là một trong những bộ môn thườngxuyên tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi từng cơ sở phải xây dựng đội ngũhọc sinh giỏi cho đơn vị mình Phương trình bậc cao (một ẩn) là một đề tài hấpdẫn thú vị của toán học vì vậy phương trình bậc cao đã được rất nhiều giáo viênchú ý nghiên cứu Tuy nhiên với người học thì giải phương trình bậc cao là mộtvấn đề khó Sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy phươngtrình bậc cao được đưa ra ở SGK chủ yếu ở lớp 8,9 (cả chương trình phổ thông

2006 và 2018) là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược mang tính chất một cách kháiquát, quỹ thời gian giành cho nó quá ít ỏi, trong chương trình học lại không cómột bài học cụ thể nào Bên cạnh đó thì các nội dung bài tập ứng dụng lại rấtphong phú, đa dạng và phức tạp Các phương trình bậc cao là một nội dungthường gặp trong các kỳ thi ở bậc THCS đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi vàtuyển sinh vào THPT

Bên cạnh đó, xuất phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay làphải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, có năng lực sáng tạo, mà để đàotạo ra những lớp người như vậy thì người giáo viên cần phải áp dụng phươngpháp dạy học hiện đại, giúp người học phát huy tính tích cực, chủ động, sángtạo, tránh lối truyền thụ một chiều, từng bước áp dụng các phương pháp tiêntiến, hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian cho học sinh tự học, tựnghiên cứu, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đếntình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh, đặc biệt là đối tượnghọc sinh khá giỏi

Với mục tiêu trên, là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán nhiều năm, tôi

mạnh dạn viết đề tài: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS Thọ Lộc với mục tiêu chính là:

- Phát triển phương pháp suy nghĩ ở trình độ cao, phù hợp với khả năng, trí tuệcủa học sinh

- Bồi dưỡng sự lao động làm việc sáng tạo

- Phát triển các kỹ năng, phương pháp và thái độ tự học

- Nâng cao ý thức và khát vọng của học sinh về sự tự chịu trách nhiệm

- Khuyến khích sự phát triển về lương tâm và ý thức trách nhiệm trong đóng góp

xã hội

- Phát triển phẩm chất lãnh đạo của học sinh.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Qua đề tài này giúp học sinh:

- Có cái nhìn tổng quát về phương trình bậc cao ở cấp THCS, từ đó nhận biếtđược một số dạng phương trình bậc cao đã có cách giải

- Phương pháp giải phương trình bậc cao: Bằng cách đưa về các phương trình đãbiết cách giải hoặc các dạng quen thuộc

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phương trình bậc cao: Thôngqua các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao ở trườngTHCS…

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo,tham khảo trên Intenet có nội dung phù hợp, liên quan

- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Phân tích các số liệu từ tài liệu để sử dụngtrong đề bài Sau đó tổng hợp các số liệu

- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu thực trạng về năng lực giải toánphương trình bậc cao của học sinh trường THCS Thọ Lộc

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Mỗi dạng toán đều phải có phương pháp riêng và nghiên cứu nó một cáchhợp lí mới có thể học, đào sâu kiến thức cũng như việc hình thành kỹ năng, kỹxảo cho học sinh Khi giải bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh phảilinh hoạt trong việc áp dụng các công thức mà còn phải đào sâu khai thác, pháttriển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức.

Trong chương trình toán học phổ thông nước ta, cụ thể là chương trình đại

số phương trình và bất phương trình là một mội dung quan trọng, phổ biến trênnhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường thấy trong các

kỳ kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển vào THPT, thi học sinh giỏi môn toáncác cấp và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức hết sức phongphú đa dạng Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống nhưng không vìthế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến mức khó thậmchí rất khó với các phép biến đổi đẹp kết hợp với nhiều kiến thức kỹ năng vẫnlàm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT

Trong phương trình và bất phương trình đại số nói chung chúng ta bắt gặprất nhiều bài toán có dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ các bài toán có mức

độ khó dễ khác nhau, đòi hỏi tư duy linh hoạt và vẻ đẹp cũng rất riêng Từ rấtlâu rồi đây vẫn là vấn đề quan trọng, xuất hiện hầu khắp và là công đoạn cuốiquyết định trong nhiều bài toán phương trình, hệ phương trình chứa căn, phươngtrình vi phân, dãy số … Vì thế, về tinh thần nó vẫn được đông đảo các bạn họcsinh các thầy cô giáo và các chuyên gia toán phổ thông quan tâm sâu sắc Sự đadạng về hình thức của lớp bài toán căn bản này đặt ra yêu cầu cấp thiết là làmthế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực đãhình thành đi vào hệ thống Về cơ bản để làm việc với lớp phương trình, bấtphương trình này chúng ta ưu tiên hạ hoặc giảm bậc của bài toán gốc cố gắngđưa về các dạng bậc hai, bậc nhất hoặc các dạng đặc thù (đã được khái quáttrước đó)

Trong số những bài tập được đề cấp trong chương trình đại số nói chung vàcấp THCS nói riêng tôi nhận thấy bài tập về giải phương trình chiếm một thờigian lớn nó xuyên suốt chương trình học Điều đó khẳng định vai trò và vị trícủa phương trình, nó là đối tương trung tâm của môn đại số

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Về chương trình giáo dục: Thực tế khi giảng dạy ở trường THCS, quanghiên cứu tài liệu, qua bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy giải phương trình bậccao là tương đối khó đối với học sinh THCS, trong khi đó chương trình toánTHCS nội dung về phương trình bậc cao là rất sơ lược mang tính chất một cáchkhái quát, quỹ thời gian giành cho nó quá ít ỏi, trong chương trình học lại không

có một bài học cụ thể nào, phương pháp giải cũng không được đề cập đến Nộidung bài tập ứng dụng phương trình bậc cao lại rất phong phú, đa dạng và phứctạp Các phương trình bậc cao lại là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ởbậc THCS đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh vào THPT

Về học sinh: Trong quá trình học tập khi gặp phương trình bậc cao thìthường bỏ qua, không chịu nghiên cứu, khảo sát để tìm ra cách giải, vì thế khi

bắt buộc phải gặp trong các kỳ thi thì học sinh thường lúng túng không biết bắtđầu từ đâu, không biết làm cách nào để tìm ra lời giải mà chỉ biết mò mẫm mộtcách vô hướng

Về giáo viên: Nhiều giáo viên đã có ý thức trong việc tìm tòi, nghiên cứutài liệu song tài liệu thì mênh mông, mỗi sách lại đề cập đến một nội dung, chưa

có tài liệu nào đề cập riêng về nội dung này một cách cụ thể mang tính tổngquát, do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên vẫn không giúp học sinh có đượccái nhìn tổng quát về phương trình bậc cao ở cấp THCS

Đối với bản thân và ở nhà trường giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát đốivới học sinh khối 9 về nội dung phương trình bậc cao (khi chưa áp dụng sángkiến) Kết quả đạt được cụ thể:

Kết quả qua kiểm tra, khảo sát lớp 9, năm học 2021-2022

là một yêu cầu không dễ dàng vì đòi hỏi tôi phải sáng tạo, không ngừng học tập,nghiên cứu chương trình, nắm bắt đối tượng học sinh và đưa ra được những giảipháp hợp lý, nếu không kết quả sẽ không thể đáp ứng yêu cầu như tôi đã kìvọng

Với kết quả khảo thời điểm tháng 9, đối với học sinh lớp 9 năm học 2022-2023như sau: (đây là thời điểm chưa áp dụng sáng kiến)

Căn cứ vào kết quả khảo sát, căn cứ vào đặc điểm tình hình của học sinh

và điều kiện của nhà trường, của bản thân, ngoài việc rèn luyện kỹ năng cho họcsinh tôi mạnh dạn hệ thống hóa các dạng phương trình bậc cao và bồi dưỡng chocác em (áp dụng sáng kiến) với mong muốn giúp các em nắm bắt và thực hànhthành thạo cách giải các dạng phương trình bậc cao và hơn thế nữa là nâng cao

tỷ lệ học sinh khá giỏi

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.

Trong đề tài này tôi sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng quát về phương trìnhbậc cao ở cấp THCS, từ đó khi đứng trước một bài toán về giải phương trình bậccao các em có thể biết nó thuộc dạng nào, từ đó biết cách vận dụng kiến thức gì

và giải theo trình tự nào Cụ thể các giải pháp đưa ra như sau:

A NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

1 Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa phương trình.

Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x Khi nói A(x) = B(x) là mộtphương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của haibiểu thức này bằng nhau

Mỗi biểu thức A(x), B(x) được gọi là một vế của phương trình

Biến x được gọi là ẩn Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm của phương trình.Việc tìm nghiệm của phương trình gọi là giải phương trình

1.2 Tập xác định của phương trình.

Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa

1.3 Định nghĩa hai phương trình tương đương.

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

1.4 Các phép biến đổi tương đương

Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành các phươngtrình tương đương với nó (nhưng đơn giản hơn).Phép biến đổi như thế gọi làphép biến đổi tương đương

a Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phương

trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Lưu ý: Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một phương trình thì phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đã cho.

Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế náy sang vế kia của một phương trìnhđược một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở 2 vế của một phương trình đượcmột phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

b Định lí 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được

một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Lưu ý: Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn thì phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đã cho.

2 Phương tình bậc cao.

2.1 Định nghĩa: Ta gọi phương trình đại số bậc n (n ≥ 3) ẩn x trên trường số

thực là phương trình bậc cao nếu đưa được về dạng:

1 Phương trình tam thức (Dạng đặc biệt là phương trình trùng phương)

2 Phương trình đối xứng (bậc chẵn, bậc lẻ)

3 Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c

Trong đó a,b,c là các số thực, n nguyên dương và n ¿ 2

b Phương pháp giải: đặt y = xn ta đưa về dạng ay2 + by + c = 0 là phương trìnhbậc 2 (ẩn y) đã biết cách giải

Giải phương trình bậc 2 (ẩn y) tìm được y Thay y = xn ta tìm được x

Lưu ý: Với n = 2 khi đó phương trình (*) có dạng: ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a≠ 0) được gọi là phương trình trùng phương.

Vậy phương trình (1.2) có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = 3

Lưu ý: Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình luôn có một nghiệm bằng 1.

Tùy theo n là số chẵn hay lẻ mà ta có phương trình đối xứng bậc chẵn hay bậclẻ



2 2

; 2

2 2

1  x  

x

2 2

; 2

Lưu ý: Nếu a là một nghiệm của phương trình đối xứng thì cũng là nghiệm của phương trình đó.

2.1 Phương trình đối xứng bậc chẵn:

a Dạng tổng quát: a2nx2n + a2n-1x2n-1 + + a1x + a0 = 0 (a2n 0)

Trong đó: a2n = a0; a2n-1= a1;

b Phương pháp giải: Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta

chia cả 2 vế của phương trình cho x n Sau đó đặt y = x +

Vì nên y phải có điều kiện là│y│≥ 2

c Các ví dụ:

Ví dụ 1 : Giải các phương trình: x4 + 2x3 - 13x2 + 2x+ 1 = 0 (2.1.1)

Giải: Ta thấy rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Vì với x = 0 thì phương trình (2.1.1) trở thành 1 = 0 (vô lí)

Chia cả 2 vế của PT (2.1.1) cho x2 (x2≠0) ta được: x2



x 1

2 2

1 1

2 1

2 2

x x

x

16 15





x 1

21 5 2

21 5

2 1

5 3 2

5 3

4 3

21 5

2 1

5 3

4 3

Chia cả 2 vế của phương trình (2.1.2) cho x2 (x2≠0) ta được:

Giải: Ta thấy rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình (2.1.3) cho x2 (x2≠0) ta được:

(2.1.3’)

Đặt y = x + với |y| ≥2 thì

Khi đó phương trình (2.1.3’) có dạng 2(y2 -2) - 5y +13 = 0  2y2 – 5y + 9 = 0 

= (-5)2 – 4.2.9 = 25 – 72 =-47 < 0 (Phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình (2.1.3) vô nghiệm

1 3

x 1

0 13

1 5

⇔

2

21 5 2

21 5

2 1

5 3

4 3

Vậy phương trình (1) có 5 nghiệm: 2

21 5 2

21 5

2 1

5

3

4 3

Giải phương trình (*): Ta thấy phương trình là phương trình đối xứng bậc chẵn

có 1 nghiệm là x = 1 (đã giải ở ví dụ 2 phần phương trình đối xứng bậc chẵn).Vậy phương trình (2.2.2) có hai nghiệm là: x1 = -1; x2 = 1

x    2

4 Phương trình dạng: (ax + m)(bx + n)(cx + p)(dx + k) = r (*)

a Dạng tổng quát: Có dạng hoặc đưa được về dạng

(ax + m)(bx + n)(cx + p)(dx + k) = r

trong đó a.d = b.c và a.k + d.m = b.p + c.n

Lưu ý: Trong trường hợp a=b=c=d=1 khi đó phương trình (*) có dạng:

(x + m)(x + n)(x + p)(x + k) = r Trong đó m + k = n + p

b Phương pháp giải:

Phương trình (*) ⇔ [(ax + m)(dx + k)][(bx + n)(cx + p)] = r

⇔ [adx2 + (a.k + d.m)x + mk][bcx2 + (b.p + c.n)x + np] = r

Do a.d = b.c và a.k + d.m = b.p + c.n Nên đặt adx2 + (a.k + d.m)x = t

Khi đó phương trình có dạng At2 + Bt + C = 0 Giải phương trình tìm t

Sau đó giải phương trình : adx2 + (a.k + d.m)x = t ta tìm được nghiệm củaphương trình (*) đã cho

Suy ra phương trình có nghiệm: x3=−2; x4=−6

Vậy phương trình (4.1) có 4 nghiệm là: x1=−4+√6; x2=−4−√6;

x3=−2; x4=−6

Ví dụ 2: Giải phương trình: (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 (4.2)

Giải: Đây là phương trình có dạng (ax + m)(bx + n)(cx + p)(dx + k) = r

trong đó a.d = b.c và a.k + d.m = b.p + c.n

 Với t2=−3 ta có 12 x2+11 x=−3  12 x2+11 x +3=0

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình (4.2) có nghiệm là: x1,2 =

−11±√21724

Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 + 5x + 6)(x2 + 9x + 20) = 24 (4.3)

Giải: Phương trình (4.3) tương đương: ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24 ⇔ [( x + 2)( x + 5)][( x + 3)( x + 4)] = 24

5 Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx 2

a Dạng tổng quát: Có dạng hoặc đưa được về dạng

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 trong đó a.d = b.c

b Phương pháp giải:

Nhóm [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = mx2 rồi đặt ẩn phụ t=x+

ad x

−15±√1292

 

; m=(d-a)(d-b) (d-c)

b Phương pháp giải:

Phương trình vô nghiệm

Đặt y = x+d => x=y-d thay vào phương trình ta được phương trình ẩn y; giảiphương trình đó ta tìm được nghiệm y0 Giải phương trình x=y0 - d ta tìm được

x0 là nghịêm của phương trình đã cho

c Ví dụ: Giải phương trình (x-2)(x-3)(x+7) = -72x (6.1)

Giải: Đặt y=x+

( 2) ( 3) 7 2

   

=x+1 => x=y-1 thay vào (6.1) ta có:

(y-3)(y-4)(y+6) = -72(y-1) <=> y3 - y2 + 42y = 0 <=> y(y2- y + 42) = 0

Vậy nghiệm của phương trình (6.1) là: x=-1

d Bài tập vận dụng: Giải phương trình: 8(x+2)(x+5)(x+9) = -18x

+bt+c+2 a=0 là phương trình bậc 2 với ẩn t đã biếtcách giải

Giải phương trình bậc 2 với ẩn t vừa tìm được thay vào ta tìm được x

Trường hợp còn lại ta làm tương tự

x=t suy ra x2+ 1

x2=t

2

+2Thay vào (7.1’) khi đó phương trình trở thành: 5 t2 −6 t+1=0