về một vài bất đẳng thức mới kiểu simpson đối với hàm lồi tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ LÊ TIẾN QUYNH VỀ MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỚI KIỂU SIMPSON ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁTLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021Ve mot

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ TIẾN QUYNH

VỀ MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỚI

KIỂU SIMPSON ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021

Ve mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quat382412067:58:32 PM7:58:32 PM382412067:58:32 PM7:58:32 PM382412067:58:32 PM7:58:32 PM

Ve mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quat

Ve mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quat

38Wednesday, June 12, 20247:58:32 PM7:58:32 PM38Wednesday, June 12, 20247:58:32 PM7:58:32 PM38Wednesday, June 12, 20247:58:32 PM7:58:32 PM

Ve mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatVe mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quat

38Ve mot vai bat dang thuc moi kieu Simpson doi voi ham loi tong quatWednesday, June 12, 2024

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nông Quốc Chinh

THÁI NGUYÊN - 2021

Trang 3

Mục lục

1.1 Hàm lồi và một kết quả liên quan 5

1.2 Bất đẳng thức Simpson 9

Chương 2 Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát 142.1 Hàm lồi tổng quát và một số kết quả liên quan 14

2.2 Một số bất đẳng thức trên tập phân thứ 21

2.3 Một số áp dụng của bất đẳng thức Jensen tổng quát 24

2.4 Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát 27

Trang 4

Danh sách kí hiệu viết tắt

N Tập hợp các số tự nhiênR Tâp hợp các số thực

N∗ Tập hợp các số tự nhiên bỏ đi phần tử 0Zα Tập các số nguyên kiểu α được xác định bởi

{0α, ±1α, ±2α, , ±nα, }

Qα Tập hợp các số hữu tỉ kiểu α được xác định bởi

mα= pq

: p, q ∈ Z, q 6= 0

Jα Tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định bởi

mα6= pq

: p, q ∈ Z, q 6= 0

Rα Tập hợp các số thực kiểu α được xác định bởiRα = Qα∪ Jα

i=1f (xi) f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn)

Trang 5

Mở đầu

Chuyên đề bất đẳng thức là một chuyên đề rộng trong toán học, có rất nhiều bàitoán hay và thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Toán học ứng dụng Ngày nay việc tìmlời giải gần đúng của các bài toán trong các lĩnh vực, đặc biệt kinh tế, địa chất, khítượng, trở thành phổ biến nhờ có sự hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính Việc giải các bàitoán đó đòi hỏi ta ước lượng đánh giá để thu được lời giải gần đúng cần thiết Trongtrường phổ thông các bài toán bất đẳng thức (hay bài toán so sánh) luôn được khaithác để đưa vào rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh Đặc biệt trong các kì thi họcsinh giỏi các cấp thì chủ đề bất đẳng thức thường được khai thác để đánh giá tư duycủa học sinh.

Bất đẳng thức Simpson là bất đẳng thức đánh giá sai số cho ước lượng của trungbình tích phân

1b − a

Z ba

f (x)dx,

đây là bất đẳng thức có ý nghĩa Kết quả này đã được mở rộng cho nhiều lớp hàm xácđịnh trên [a, b] ⊂ R Hiện nay, bất đẳng thức này không những được nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu, không chỉ trên tập các số thực mà còn được mở rộng nghiêncứu trên tâp phân thứ (fractal sets).

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nông Quốc Chinh, tôi lựa chọn đề tài “Về mộtvài bất đẳng thức mới kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát”.

Nội dung của luận văn được viết trong hai chương.Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị.

Nội dung chương này trình bày về hàm lồi, một số tính chất và bất đẳng thức liênquan tới hàm lồi, các kết quả này sẽ được phát biểu và chứng minh đối với hàm lồi suyrộng được trình bày trong chương sau Trong mục 1.2 của chương này, chúng tôi trìnhbày về bất đẳng thức Simpson Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu[1]-[4].

Chương 2 Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát.

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

Nội dung của chương này là trình bày về hàm lồi tổng quát xác định trên tập phânthứ Đưa ra một số bất đẳng thức kiểu Jensen, Hermite - Hadamad đối với hàm lồitổng quát Bất đẳng thức H¨older trên tập phân thứ Phần cuối chương trình bày vềmột đẳng thức mới kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát Kết quả này được nhómtác giả M Z Sarıkaya, H Budak, and S Erden đưa ra năm 2019 khi nghiên cứu mộtsố kết quả trên tập phân thứ Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [5]và [6].

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, ngoài sự nỗ lực học hỏi củabản thân, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS TS NôngQuốc Chinh Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời triân nhất của em đối với những điều thầy đã dành cho em.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Khoa Toán – Tin, quý thầy cô giảng dạylớp Cao học Toán K12 (2018 - 2020), Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũngnhư tạo điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình em tham gia học tập tại trường.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THCS Tân Dân, Khoái Châu, Hưng Yên đãtạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, nhữngngười đã động viên, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn.

Thái Nguyên, ngày 18 tháng 01 năm 20201Tác giả

Lê Tiến Quynh

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này sẽ trình bày về hàm lồi, một số tính chất và bất đẳng thức liênquan tới hàm lồi, các kết quả này sẽ được phát biểu và chứng minh đối với hàm lồi suyrộng được trình bày trong chương sau Trong mục 1.2 của chương này, chúng tôi trìnhbày về bất đẳng thức Simpson.

1.1Hàm lồi và một kết quả liên quan

Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất các các điểm x = (1 − t)a + tb với 0 6 t 6 1 đượcgọi là đoạn thẳng (đóng) giữa a và b và ký hiệu bằng [a, b] Tập I ⊂ R được gọi là lồinếu nó chứa mọi đường thẳng nối hai điểm của nó; nói cách khác, nếu (1 − t)a + tb ∈ Imiễn là a, b ∈ I, 06 t 6 1.

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : I → [−∞, +∞] trên tập lồi I ⊂ R Hàm f được gọilà lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ I và t ∈ [0, 1] ta có

f (tx1+ (1 − t)x2) 6 tf (x1) + (1 − t)f (x2)

nếu vế phải xác định.

Hàm f được gọi là lõm trên I nếu −f là hàm lồi.

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử f : I → [−∞, +∞] là hàm lồi Khi đó, với bất kỳ tập hữu hạnx1, , xk ∈ I và bất kỳ các số không âm t1, , tk thỏa mãn t1+ t2+ · · · + tk = 1, tacó

Trang 8

Mệnh đề 1.1.3 Hàm f : R → R là hàm lồi nếu và chỉ nếu thỏa mãn

f x + y2

6 f (x) + f (y)

với mọi x, y ∈ R.

(xem hình vẽ dưới đây).

Hàm lồi lần đầu tiên được giới thiệu bởi J.L.W.V.Jensen năm 1905, mặc dù hàm sốthỏa mãn điều kiện (1.1) đã được nghiên cứu bởi Hadamard (1893) và Holder (1889).Ví dụ dưới đây sẽ chỉ ra một số hàm lồi cơ bản

Ví dụ 1.1.4 Các hàm số xác được dưới đây là hàm số lồi.(a) f (x) = ax + b trên R với mọi a, b ∈ R

Trang 9

là hàm lồi trên R nhưng tích của chúng

h(x) = x2exkhông phải là hàm lồi trên R.

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử f có đạo hàm trên I Khi đó f là hàm lồi trên I khi và chỉkhi f0 là hàm tăng trên I (Tức là nếu f có đạo hàm cấp 2 thì f00 > 0 trên I).

Hệ quả 1.1.6 Cho f : [a, b] ⊆ R → R là một hàm lồi trên đoạn [a, b] Giả sử xi ∈ [a, b],pi > 0, i ∈ {1, 2, , n} và Pn :=

6 1Pn

p1+ p2, x = x1 và y = x2 Vậy (1.3) được chứng minh.

Giả sử rằng (1.2) đúng với n, ta chứng minh nó đúng với n + 1, tức là ta muốnchứng minh

= f PnPn+1 · 1

6 PnPn+1f

+ pn+1

Pn+1f (xn+1)

do f là hàm lồi với t = PnPn+1, x =

i=1pixi và y = xn+1.Sử dụng giả thiết quy nạp, ta được

+ pn+1

Pn+1f (xn+1) 6 PnPn+1

Trang 10

+ pn+1

Pn+1f (xn+1)= 1

Mệnh đề 1.1.7 (Bất đẳng thức Hermite–Hadamard) Giả sử f là hàm lồi trên [a, b].Khi đó, nếu f khả tích trên [a, b] thì ta có

f (a + b

2 ) 6 1b − a

Z ba

f (x)dx 6 f (a) + f (b)

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older quen thuộc trong lớp các bất đẳng thứcsơ cấp Kết quả này cũng được trình bày ở chương sau đối với các bộ số xác định trongtập phân thứ.

Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức H¨older) Cho hai bộ số a1, a2, , an và b1, b2, , bn làhai bộ n số thực dương và p > 1, thỏa mãn q−1+ p−1 = 1 Khi đó ta có bất đẳng thứcsau

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi api = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , , n}.

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình bàykết quả mà không chứng minh.

Định lý 1.1.9 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích) Giả sử p, q > 1 thỏa mãn1

q = 1, f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khi đóZ b

|f (x)g(x)| dx 6Z b

|f (x)|pdx

1pZ ba

Trang 11

|f (x) − f (y)| 6 L|x − y| với mọi x, y ∈ [a, b].

(c) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ khitồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn

|f (xi) − f (xi−1)| 6 M,

với mọi phân hoạch P = {x0, x1, · · · , xn} của [a, b].

Trong giải tích, một bất đẳng thức rất nổi tiếng và được sử dụng nhiều trong tínhtoán đó là bất đẳng thức Simpson, nó được phát biểu như sau.

Định lý 1.2.2 (Bất đẳng thức Simpson) Giả sử f : [a, b] → R là hàm khả vi liên tụccó đạo hàm tới cấp 4 trong khoảng (a, b) và có đạo hàm cấp 4 bị chặn trên khoảng(a, b), nghĩa là,

Z ba

f (x)dx − b − a3

f (a) + f (b)2 + 2f

a + b2

6 1

2880 f

∞(b − a)5, (1.10)Xét In: a = x0 < x1 < < xn−1< xn= b là một phân hoạch của khoảng [a; b] vàf được xác định như trên, từ đó ta có công thức Simpson cầu cổ điển:

Z ba

f (x)dx = AS(f, In) + RS(f, In) (1.11)

Trang 12

với AS(f, In) là quy tắc Simpson

AS(f, In) =: 16

[f (xi) + f (xi+1)] hi+ 23

hi (1.12)

và phần dư RS(f, In) sẽ thỏa mãn ước lượng

|RS(f, In)| 6 12880 f

với hi := xi+1− xi với i = 0, , n − 1.

Khi ta phân hoạch đều khoảng [a, b] xác định như sau:In: xi := a + b − a

n · i, i = 0, , n; (1.14)thì ta có công thức

Z ba

f (x)dx = AS,n(f ) + RS,n(f ) (1.15)với

AS,n(f ) : = b − a6n

a +b − an · i

+ f

a + b − a

n · (i + 1)#

+2(b − a)3n

a +b − a

n · 2i + 12

và phần dư thỏa mãn bất đẳng thức|RS,n(f )| 6 1

2880 ·(b − a)

n4 kf(4)k∞ (1.17)Các kết quả nghiên cứu về bất đẳng thức tích phân đã được tổng hợp trong cuốnsách “Inequalities for Functions and Their Integrals and Derivatives” của D.S Mitrinovirxuất bản năm 1994 (xem tài liệu [4]) Mục đích của luận văn này là trình bày các kếtquả về bất đẳng thức Simpson với phần dư được biểu diễn qua các biểu thức đạo hàmcấp nhỏ hơn 4 Ta đã biết rắng nếu một hàm số hoặc không có đạo hàm tới cấp 4 hoặcđạo hàm cấp 4 không bị chặn trên khoảng (a, b) thì ta không dùng được công thức xấpxỉ Simpson, một công thức thường được vận dụng nhất trong tính toán thực hành.Định lý 1.2.3 Giả sử f : [a, b] → R là hàm số khả vi, có đạo hàm liên tục trên khoảng(a; b) và thỏa mãn

kf0k1 :=Z b

|f0(x)| dx < ∞.Khi đó ta có bất đẳng thức

Z ba

f (x)dx − b − a

3 · f (a) + f (b)2 + 2f

a + b2

6 1

3kf0k1(b − a)2 (1.18)

Trang 13

Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức Simpson đối với ánh xạ Lipschitz.) Giả sử f : [a, b] → Rlà hàm L-Lipschitzian trên khoảng [a, b] Khi đó ta có bất đẳng thức sau

Z ba

f (x)dx − b − a

3 · f (a) + f (b)2 + 2f

a + b2

vx(n)i+1− vx(n)i x(n)i+1− x(n)i

6 L lim

x(n)i+1− x(n)i

= LZ b

Áp dụng bất đẳng thức (2.59) cho hàm p(x) = s(x) và v(x) = f (x) ta có được bất đẳngthức

Z ba

s(x)df (x) 6 L

Z ba

Trang 14

Ta lại cóZ b

|s(x)|dx =Z a+b2

x −5a + b6

dx +Z b

x − a + 5b6

=Z 5a+b6

5a + b6 − x

dx +

Z a+b2

x −5a + b6

+Z a+5b6

a + 5b6 − x

dx +

Z b

x − a + 5b6

= 5

36(b − a)

Áp dụng bất đẳng thức (2.60) và đẳng thức (2.57) suy ra (2.53).

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Simpson với các số hạng p-chuẩn

Định lý 1.2.5 Giả sử f : [a, b] → R là hàm số liên tục tuyệt đối trên [a, b] cóf0 ∈ Lp[a, b] Khi đó, ta có bất đẳng thức

Z ba

f (x)dx − b − a

3 · f (a) + f (b)2 + 2f

a + b2

6 1

2q+1+ 13(q + 1)

(b − a)1+1q kf0kp, (1.23)

trong đó 1p +

a + b2

Z ba

f (x)dx (1.24)

trong đó

s(x) :=

x − 5a + b6 , x ∈

a,a + b2

x − a + 5b6 , x ∈

a + b2 , b

Thật vậy,Z b

s(x)f0(x)dx =Z a+b2

x −5a + b6

f0(x)dx +Z b

x − a + 5b6

x −5a + b6

f (x)

x − a + 5b6

f (x)

−Z b

f (x)dx

=b − a

3 · f (a) + f (b)2 + 2f

a + b2

Z ba

f (x)dx,

Trang 15

hay có đẳng thức (1.24).

Áp dụng bất đẳng thức H¨older ta có được

Z ba

≤Z b

kf0kp (1.25)

Ta lại cóZ b

|s(x)|qdx =Z a+b2

x −5a + b6

dx +Z b

x − a + 5b6

=Z 5a+b6

5a + b6 − x

dx +Z a+b2

x −5a + b6

+Z a+5b6

a + 5b6 − x

dx +Z b

x −a + 5b6

q + 1

− 5a + b6 − x

x − 5a + b6

− a + 5b6 − x

x − a + 5b6

q + 1"

5a + b6 − a

+ a + b

2 − 5a + b6

+ a + 5b

6 − a + b2

b − a + 5b6

Trang 16

Trước tiên, chúng tôi trình bày về lớp hàm lồi tổng quát và một số kết quả liênquan.

2.1Hàm lồi tổng quát và một số kết quả liên quan

Mục đích cả mục này là trình bày về hàm lồi tổng quát xác định trên tập phân thứRα với 0 < α 6 1 và trình bày các tính chất cơ bản của hàm lồi tổng quát và trình bàycác bất đẳng thức Jensen, Hermite - Hadamard đối với hàm lồi tổng quát Nội dungcủa mục này được tham khảo từ bài báo [5] xuất bản năm 2014.

Cho α là một số thực thỏa mãn 0 < α6 1, ta sẽ xác định các tập kiểu α như sau:Zα: là tập các số nguyên kiểu α được xác định như tập hợp

{0α, ±1α, ±2α, , ±nα, };

Qα: là tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định như tập hợp

mα = pq

: p, q ∈ Z, q 6= 0

Jα: là tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định như tập hợp

mα 6= pq

: p, q ∈ Z, q 6= 0

Trang 17

Rα: là tập hợp các số thực kiểu α được xác định bởi

Rα = Qα∪ Jα

Với các ký hiệu và quy ước như trên, ta sẽ định nghĩa về các phép toán hai ngôi:phép toán cộng + và nhân · (đối với phép toán nhân ta thường lược bỏ ·) trên tập phânthứ địa phương Rα như sau.

Luật phân phối: aα(bα+ cα) = aαbα+ aαcα.

Từ đó, ta có khẳng định sau đối với (Rα, +, ·).

Mệnh đề 2.1.1 (i) (Rα, +, ·) là một trường như trường số thực (R, +, ·);

Trang 18

(ii) Phần tử đơn vị cộng 0α và phần tử đơn vị nhân 1α tương ứng xác định duy nhất;(iii) Phần tử đối và phần tử nghịch đảo tương ứng xác định duy nhất;

(iv) Với mỗi aα ∈ Rα, thì phần tử đối (−a)α có thể viết là −aα Với mỗi bα ∈ Rα\{0α},(1/b)α có thể viết 1α/bα nhưng khác 1/bα;

(v) Nếu quan hệ thứ tự “ < ” xác định trên (Rα, +, ·) như sau: nếu aα < bα khi vàchỉ khi a < b trong R thì (Rα, +, ·, <) là một trường có thứ tự giống như trường(R, +, ·, <).

Nhận xét, trong khẳng định (iv), nếu viết (1/b)α = 1/bα với bα ∈ Rα\ {0α}, thì dẫntới 1α = 1 Như vậy, nếu 1α = 1 là đúng thì ta có thể viết

2α= (1 + 1)α = 1α+ 1α= 1 + 1 = 2,

điều này là không thể xảy ra khi 0 < α < 1.

Định nghĩa 2.1.2 Hàm không khả vi f : R → Rα, x 7→ f (x) được gọi là liên tục phânthứ địa phương tại điểm x0 nếu với mọi > 0 thì tồn tại θ > 0 sao cho

|f (x) − f (x0)| < α (2.2)

với |x − x0| < θ trong đó , θ ∈ R Ta nói hàm f là liên tục địa phương trênkhoảng (a, b) nếu f liên tục phân thứ địa phương tại mọi x ∈ (a, b) Khi đó ta viếtf (x) ∈ Cα[a, b].

Định nghĩa 2.1.3 Đạo hàm phân thứ địa phương của hàm f (x) bậc α tại x = x0được xác định bởi

xf (x) với mọi x ∈ I ⊆ R thì ta ký hiệuf ∈ D(k+1)α(I) với k = 0, 1, 2,

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử f (x) ∈ Cα[a, b] Đặt ∆tj = tj+1− tj và

∆t = max{∆t1, ∆t2, , ∆tn},

Trang 19

trong đó các đoạn [tj, tj+1], j = 0, , N − 1 thỏa mãn

a = t0 < t1 < t2 < · · · < tN −1 < tN = b

là phân hoạch của [a, b] Khi đó tích phân phân thứ của hàm f được xác định như sau

aIbαf (x) = 1Γ(1 + a)

Z ba

f (t) (dt)α := 1

Γ(1 + a)∆→0limN −1

(4) 1Γ(α + 1)

Z ba

xkα(dx)α = Γ(1 + kα)Γ (1 + (k + 1)α) b

(k+1)α− a(k+1)α ,với k ∈ R.

Bổ đề 2.1.6 (Bất đẳng thức H¨older tổng quát) Giả sử f, g ∈ Cα[a, b], p, q > 1 vớip−1+ q−1 = 1 Khi đó ta có bất đẳng thức sau

1Γ(α + 1)

Z ba

|f (x)g(x)|(dx)α

1Γ(α + 1)

Z ba

|f (x)|p(dx)α1p

1Γ(α + 1)

Z ba