một vài kết quả mới về điểm kosnita và ứng dụng

r B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸pRO B¡n k½nh ÷íng trán t¥m OAB ë d i ¤i sè o¤n AB−→[ABC] Di»n t½ch tam gi¡c ABCAB, CD Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB, CD−→CD Gâc giúa hai v²ctì AB v CDABCD Bèn iº

Trang 1

I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅCo0o

60Wednesday, June 12, 20246:10:53 PM6:10:53 PM60Wednesday, June 12, 20246:10:53 PM6:10:53 PM60Wednesday, June 12, 20246:10:53 PM6:10:53 PM

Mot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dung

Mot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dung

Mot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dung

60Mot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungWednesday, June 12, 2024

Trang 2

1.1 Mët sè iºm trong tam gi¡c 3

1.2 Mët sè ÷íng trong tam gi¡c 6

1.3 Mët sè ành lþ 8

2 Mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita v ùng döng 182.1 iºm Kosnita 18

2.1.1 ành lþ v t½nh ch§t 18

2.1.2 Mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita 27

2.2 Mët sè ùng döng cõa iºm Kosnita 39

Mot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dung

Trang 3

Danh s¡ch h¼nh v³

1.1 iºm Schiffler 4

1.2 iºm Miquel cõa tù gi¡c to n ph¦n 5

1.3 Hai iºm P v P∗ ¯ng gi¡c trong tam gi¡c ABC 6

2.1 AX v AX0 ¯ng gi¡c trong gâc BACd 19

2.2 iºm Kosnita K cõa tam gi¡c ABC 20

2.3 T¥m N cõa ÷íng trán Euler v iºm K ¯ng gi¡c 23

2.4 iºm Kosnita cõa ∆DEF v iºm Schiffler cõa ∆ABC tròng nhau 242.5 H¼nh biºu di¹n t½nh ch§t 2.1.7 26

2.6 ÷íng th¯ng Euler cõa ∆HaHbHc song song vîi OK 27

2.7 ành lþ Cevian Nests 28

2.8 C¡c ÷íng th¯ng B0I0, C0J0, D0K0 v AM çng quy 29

2.9 AA2 i qua iºm èi xùng cõa I 30

2.10 Ba iºm A2, I, A0 th¯ng h ng 31

2.11 Ba ÷íng th¯ng AX, BY, CZ çng quy t¤i P 32

Mot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dungMot vai ket qua moi ve diem Kosnita va ung dung60Wednesday, June 12, 20246:10:53 PM6:10:53 PM60Wednesday, June 12, 20246:10:53 PM6:10:53 PM60Wednesday, June 12, 20246:10:53 PM6:10:53 PM

Trang 4

2.12 IQ song song vîi ÷íng th¯ng Euler cõa ∆ABC 33

2.13 C¡c ÷íng th¯ng AA1, BB1, CC1 çng quy ho°c song song 34

2.14 Tröc ¯ng ph÷ìng chung HP cõa (AA2), (BB2), (CC2) 35

2.15 XO1, Y O2 v ZO3 çng quy 36

2.16 ÷íng th¯ng O1O4, O2O5 v O3O6 çng quy 38

2.17 Ba ÷íng trán (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) còng i qua mët iºm 392.18 C¡c ÷íng trán AB0C0, BC0A0, CA0B0 i qua £nh cõa iºm Kosnita 412.19 T¥m ÷íng trán Taylor cõa ∆ABC l iºm Spieker cõa ∆A0B0C0 432.20 ành lþ 2.2.4 44

2.21 IL i qua iºm Kosnita K 46

2.22 HSP i qua iºm Kosnita K 48

2.23 L∗Ex0 i qua iºm Kosnita 49

Trang 5

r B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p

R(O) B¡n k½nh ÷íng trán t¥m OAB ë d i ¤i sè o¤n AB−→

[ABC] Di»n t½ch tam gi¡c ABC

(AB, CD) Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB, CD(−→

CD) Gâc giúa hai v²ctì AB v CD(ABCD) Bèn iºm i·u háa A, B, C, DO(ABCD) Chòm i·u háa OA, OB, OC, ODNIk Ph²p nghàch £o cüc I, ph÷ìng t½ch kVGk Ph²p và tü t¥m G, t¿ sè k

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

HOk Ph²p và tü t¥m O, t¿ sè kA(a) iºm A câ tåa ë phùc l a

|a| Modulo cõa sè phùc a

(c.g.c) D§u hi»u çng d¤ng c¤nh, gâc, c¤nh(g.g) D§u hi»u çng d¤ng gâc, gâc

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, ngo i sü né lüc håchäi cõa b£n th¥n, em luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõaPGS TS Tr¦n Vi»t C÷íng, Gi£ng vi¶n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡iNguy¶n Em xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líitri ¥n nh§t cõa em èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho em.

Em xin ch¥n th nh c£m ìn Pháng o t¤o, Khoa To¡n - Tin, quþ th¦y cægi£ng d¤y lîp Cao håc K12A5 (2018 - 2020) Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤oi·u ki»n cho em ho n th nh khâa håc.

Tæi xin c£m ìn Ban gi¡m hi»u Tr÷íng Trung håc phê thæng Bc K¤n - Th nhphè Bc K¤n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp.

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b± v çng nghi»p,nhúng ng÷íi ¢ ëng vi¶n, hé trñ v t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp v thüc hi»n luªn v«n.

Xin tr¥n trång c£m ìn.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 01 n«m 2021T¡c gi£ luªn v«n

Trang 8

Mð ¦u

1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

Nghi¶n cùu, tr¼nh b y v· iºm Kosnita, mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita.Ngo i ra chóng tæi nghi¶n cùu, tr¼nh b y mët sè ùng döng cõa iºm Kosnita

2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

iºm Kosnita l mët trong nhúng iºm °c bi»t trong tam gi¡c l mët trongnhúng v§n · thó và trong h¼nh håc ph¯ng C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n iºmKosnita ·u l nhúng b i to¡n hay v khâ Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u hìnv· iºm Kosnita, v· nhúng k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita v ùng döng cõa iºmKosnita, tæi lüa chån · t i Mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita v ùng döngd÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Tr¦n Vi»t C÷íng.

Nëi dung cõa · t i luªn v«n ÷ñc vi¸t trong 2 ch÷ìng:Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà câ li¶n quan ¸n luªnv«n nh÷ iºm Schiffler, ÷íng th¯ng Euler, ÷íng trán Euler trong ch÷ìng 2,c¡c nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [2, 3, 4].

1.1 Mët sè iºm trong tam gi¡c.1.2 Mët sè ÷íng trong tam gi¡c.1.3 Mët sè ành lþ.

Ch÷ìng 2 Mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita v ùng döng

Trong ch÷ìng n y,chóng tæi tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa iºm Kosnita v ùng döng cõa iºm Kosnita C¡c nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc têng hñp tø c¡ct i li»u [1, 2, 3, 4, 5].

Trang 9

2.1 iºm Kosnita

2.2 Mët sè ùng döng cõa iºm Kosnita.

Trang 10

Ch÷ìng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tâm tt kh¡i ni»m v c¡c t½nh ch§t trong h¼nh håc ph¯ng m s³ ÷ñc sû döng ð ch÷ìng sau, v½ dö nh÷ iºm Schiffler, iºm Miquel, iºm deLongchamps, iºm Exeter, iºm Spieker, ÷íng ¯ng gi¡c, ÷íng trán Euler,÷íng th¯ng Euler, ÷íng trán Taylor, tam gi¡c th§u x¤, tam gi¡c Pedal, tamgi¡c ph£n chi¸u Sau â l têng hñp mët sè ành lþ cì sð dòng trong c¡c chùngminh ð ch÷ìng sau, v½ dö nh÷ ành lþ Thales, ành lþ Menelaus, ành lþ Ceva,ành lþ Desargues, ành lþ Miquel,

1.1 Mët sè iºm trong tam gi¡c

ành lþ 1.1.1 (iºm Schiffler) Cho tam gi¡c ABC câ I l t¥m nëi ti¸p Khiâ bèn ÷íng th¯ng Euler cõa bèn tam gi¡c IAB, IBC, ICA, ABC çng quy t¤iiºm S, iºm n y ÷ñc gåi l iºm Schiffler cõa tam gi¡c.

Chùng minh Gåi O l t¥m ngo¤i ti¸p tam gi¡c, G l trång t¥m tam gi¡c ABC,

M l trung iºm BC, G1 l trång t¥m tam gi¡c IBC, AI ct BC t¤i D, ct (O)

t¤i J, (I) ti¸p xóc vîi BC t¤i K, J G1 ct AM t¤i E, OG t¤i S D¹ th§y J l t¥mngo¤i ti¸p tam gi¡c IBC Do â J G1 l ÷íng th¯ng Euler cõa tam gi¡c IBC.p döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c GOM vîi c¡t tuy¸n SEJ, ta câ

SGSO · J O

J M · EMEG = 1.

Trang 11

H¼nh 1.1: iºm Schiffler

p döng ành lþ Menelaus cho tam gi¡c IAM vîi c¡t tuy¸n J G1E, ta câ

J IJ A · EA

EM · G1MG1I = 1.

Do â, ta câ

EAEM = 2

J AJ I = 2

J IJ D

(v¼ J I2 = J B2 = J A · J D) Do â

EGEM =

EM − 1 = 13 · AM

EM − 1= 1

EAEM + 1

− 1

= 23

J IJ D − 1

= 23· ID

J D =23· IK

J M =2r3J M.

Suy ra ta câ

SGSO =

J MR · EG

EM =2r3R.

T÷ìng tü ta th§y c¡c ÷íng th¯ng Euler cõa c¡c tam gi¡c IAC, IAB công iqua iºm S ÷ñc x¡c ành nh÷ tr¶n.

Trang 12

ành lþ 1.1.2 (iºm Miquel cõa tù gi¡c to n ph¦n) Cho tù gi¡c to n ph¦n

ABCDEF Khi â c¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c ABF, DCF, BCE, ADE

çng quy t¤i iºm M l iºm Miquel cõa tù gi¡c to n ph¦n.

H¼nh 1.2: iºm Miquel cõa tù gi¡c to n ph¦n

Chùng minh Gåi M l giao iºm cõa (AF B) v (BEC) Ta câ\

AM E =\AM B +\EM B=AF B +[ BCD[

= 180o−ADE.[Tø â M ∈ (ADE), t÷ìng tü M ∈ (F DC)

ành ngh¾a 1.1.3 (iºm de Longchamps) Cho ∆ABC vîi trüc t¥m H v t¥mngo¤i ti¸p O iºm de Longchamps cõa ∆ABC l iºm èi xùng vîi trüc t¥m

H qua t¥m ngo¤i ti¸p O.

ành ngh¾a 1.1.4 (iºm Exeter) Cho ∆ABC vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p (O).C¡c trung tuy¸n cõa tam gi¡c ABC ct (O) l¦n l÷ñt t¤i X; Y ; Z C¡c ti¸p tuy¸ncõa(O)t¤iA; B; C ct nhau t¤o th nh tam gi¡c DEF Khi â, DX; EY ; F Z çngquy t¤i mët iºm iºm n y ÷ñc gåi l iºm Exeter cõa ∆ABC.

Trang 13

ành ngh¾a 1.1.5 (iºm Spieker) Cho ∆ABC vîi D, E, F l¦n l÷ñt l trungiºm cõaBC, CA, AB Khi â, t¥m nëi ti¸p cõa ∆DEF ÷ñc gåi l iºm Spiekercõa ∆ABC.

ành ngh¾a 1.1.6 (iºm ¯ng gi¡c) Trong tam gi¡c ABC, iºm P∗gåi l iºm¯ng gi¡c hay iºm li¶n hñp ¯ng gi¡c cõa mët iºm P n¸u c¡c ÷íng th¯ng

AP∗, BP∗, CP∗ l¦n l÷ñt èi xùng vîi c¡c ÷íng th¯ng AP, BP, CP qua c¡c ÷íngth¯ng ph¥n gi¡c trong cõa c¡c gâc A, B, C.

H¼nh 1.3: Hai iºm P v P∗ ¯ng gi¡c trong tam gi¡c ABC

1.2 Mët sè ÷íng trong tam gi¡c

ành ngh¾a 1.2.1 (÷íng ¯ng gi¡c) Cho gâc xOyd Ta nâi hai ÷íng th¯ng

d1 v d2 l c¡c ÷íng ¯ng gi¡c trong gâc ¢ cho n¸u chóng còng i qua ¿nh O

v èi xùng vîi nhau qua ph¥n gi¡c cõa gâc â.

ành lþ 1.2.2 (÷íng trán Euler) Cho∆ABC, ba trung iºm ba c¤nh, ba ch¥n÷íng cao, ba trung iºm cõa ba o¤n th¯ng nèi ba ¿nh tam gi¡c vîi trüc t¥mcòng n¬m tr¶n mët ÷íng trán, ÷íng trán â gåi l ÷íng trán Euler.

Trang 14

H¼nh 1.4: ÷íng trán Euler

Chùng minh Ta câ O v H l hai iºm ¯ng gi¡c trong ∆ABC, suy ra c¡c iºm

Ma, Mb, Mc, Ha, Hb, Hc còng n¬m tr¶n mët ÷íng trán t¥m l trung iºm E cõa

M°t kh¡c, ta câ AH = 2OMa, suy ra A0HMaO l h¼nh b¼nh h nh Suy ra

Ma èi xùng vîi A0 qua E Do â Ma, Mb, Mc, Ha, Hb, Hc, A0, B0, C0 còng n¬m tr¶n

(E) Vªy ành lþ ÷ñc chùng minh.

ành lþ 1.2.3 (÷íng th¯ng Euler) Cho tam gi¡c ∆ABC, t¥m ngo¤i ti¸p O,trång t¥m G, trüc t¥m H Khi â O, G, H th¯ng h ng v OH = 3OG ÷íngth¯ng i qua O, G, H ÷ñc gåi l ÷íng th¯ng Euler.

H¼nh 1.5: ÷íng th¯ng Euler

Trang 15

Chùng minh Gåi D, E, F l trung iºm c¡c c¤nh cõa tam gi¡c ∆ABC Ta câ O

l trüc t¥m tam gi¡c ∆DEF Ta câ ph²p và tü t¥m G, t¿ sè −2 bi¸n tam gi¡c

DEF th nh tam gi¡c ABC Do â bi¸n O th nh H suy ra −−→GH = −2−→

GO Tø â,suy ra O, G, H th¯ng h ng v OH = 3OG.

1.3 Mët sè ành lþ

ành lþ 1.3.1 (ành lþ Thales trong tam gi¡c) N¸u mët ÷íng ct hai c¤nhcõa mët tam gi¡c v song song vîi c¤nh cán l¤i th¼ nâ ành ra tr¶n hai c¤nh ânhúng o¤n th¯ng t÷ìng ùng t¿ l», tùc l : AD

DB =AEEC.

H¼nh 1.6: ành lþ Thales

Chùng minh X²t tam gi¡c ABC v gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 k BC ct c¤nh AB

v AC t÷ìng ùng t¤i D v E Ta s³ chùng minh

ADDB =

V¼ DE song song vîi BC, n¶n di»n t½ch tam gi¡c DEB b¬ng di»n t½ch tam gi¡c

DEC Trong tam gi¡c ABE k´ ÷íng cao EF Khi â

[ADE][BDE] =

2AD · EF

2BD · EF =AD

T÷ìng tü ta câ

[ADE][BDE] =

Tø (1.1) v (1.2) ta suy ra AD

DB =AEEC.

Trang 16

ành lþ 1.3.2 (ành lþ Menelaus) Cho tam gi¡c ABC Gåi D, E, F l¦n l÷ñtn¬m tr¶n c¡c ÷íng th¯ng BC, CA v AB Khi â c¡c iºm D, E, F th¯ng h ngkhi v ch¿ khi F A

F B · DBDC · EC

EA = 1.

H¼nh 1.7: ành lþ Menelaus

Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû D, E, F th¯ng h ng L§y iºm I thuëc DE

sao cho CI k AB p döng ành lþ Thales ta câ

ECEA =

ICF A;

DBDC =

F BIC .

Suy ra

F AF B · DB

DC · ECEA = 1.

i·u ki»n õ: Gi£ sû c¡c iºm D, E, F thäa m¢n

F AF B · DB

DC · ECEA = 1.

L§y F0∈ AB sao cho D, E, F0 th¯ng h ng Theo i·u ki»n c¦n ta câ

F0AF0B ·DB

DC · ECEA = 1.

Suy ra F0A

F0B =F A

F B Vªy F = F0 hay D, E, F th¯ng h ng.

ành lþ 1.3.3 (ành lþ Ceva) Cho tam gi¡c ABC v c¡c iºm A1, B1, C1 l¦nl÷ñt thuëc c¡c c¤nh BC, CA, AB Khi â ba ÷íng th¯ng AA1, BB1, CC1 çng quykhi v ch¿ khi

Trang 17

C1AC1B =

Hìn núa ta câ

IAA1B =

AMM A1

= KAA1C.

Suy ra, ta câ

A1BA1C =

IAAK · BC

ta c¦n chùng minh AA1, BB1, CC1 çng quy Thªt vªy, gåi M l giao iºm cõa

AA1 v BB1, C0 l giao iºm cõa CK v AB Khi â theo chùng minh i·u ki»nc¦n ta câ

A1C · B1CB1A · C

Trang 18

Tø â, suy ra

C1AC1B =

Suy ra C1 ≡ C0 ( Do C1 v C0 còng thuëc c¤nh AB) Vªy AA1, BB1, CC1 çngquy t¤i M Trong ành lþ tr¶n tam gi¡c A1B1C1 gåi l tam gi¡c Ceva cõa tamgi¡c ABC.

ành lþ 1.3.4 (ành lþ Desargues) Cho hai tam gi¡c ABC v M N P câ AM, BN, CP

çng quy t¤i O Gåi I, J, K theo thù tü l giao iºm cõa c¡c c°p ÷íng th¯ng AB

v M N, BC v N P, CA v P M Khi â ba iºm I, J, K th¯ng h ng.

H¼nh 1.9: ành lþ Desargues

Chùng minh p döng ành lþ Menelaus cho c¡c tam gi¡c OAB, OBC, OCA, tacâ

IAIB ·N B

N O · M OM A = 1J B

J C · P CP O · N O

N B = 1KC

KA.M AM O.

P OP C = 1

Nh¥n theo v¸ ba ¯ng thùc tr¶n, ta câ

J BJ C.

KCKA = 1

Vªy I, J, K th¯ng h ng.

Trang 19

ành lþ 1.3.5 (ành lþ Miquel) Cho tam gi¡c ∆ABC v ba iºm M, N, P

l¦n l÷ñt n¬m tr¶n BC, CA, AB Khi â c¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c

AP N, BP M v CM N çng quy.

H¼nh 1.10: ành lþ Miquel

Chùng minh Gåi S l giao iºm cõa (BP M ) v (CM N ) Ta câ

(SN, SP ) = (SN, SM ) + (SM, SP )= (CN, CM ) + (BM, BP )= (CA, CB) + (BC, BA)

= (CA, BA) = (AN, AP ) (mod π).

Suy ra S ∈ (AN P ) Vªy ành lþ ÷ñc chùng minh.

ành ngh¾a 1.3.6 Tam gi¡c ABC v tam gi¡c A0B0C0 thäa m¢n AA0, BB0, CC0

còng i qua mët iºm (hay cán gåi l çng quy) gåi l hai tam gi¡c th§u x¤.ành ngh¾a 1.3.7 (Tam gi¡c Pedal) Tø iºmP tuý þ b¶n trong tam gi¡c ABC

h¤ c¡c ÷íng vuæng gâc vîi c¡c c¤nh BC, CA v AB l¦n l÷ñt t¤i A1, B1, C1 Tamgi¡c A1B1C1 ÷ñc gåi l tam gi¡c Pedal (ho°c tam gi¡c b n ¤p) cõa iºm P

èi vîi tam gi¡c ABC.

Trang 20

ành ngh¾a 1.3.8 (Tam gi¡c ph£n chi¸u) Tam gi¡c thu ÷ñc b¬ng c¡ch l§yèi xùng c¡c ¿nh cõa tam gi¡c cho tr÷îc qua c¡c c¤nh èi di»n cõa tam gi¡câ gåi l tam gi¡c ph£n chi¸u Kþ hi»u tam gi¡c ph£n chi¸u cõa tam gi¡c ABC

l A∗B∗C∗.

H¼nh 1.11: Tam gi¡c ph£n chi¸u

M»nh · 1.3.9 Cho ∆ABC vîi trüc t¥m H, trång t¥m G, t¥m ngo¤i ti¸p O

v M l trung iºm BC Khi â AH = 2OM.

H¼nh 1.12: Kho£ng c¡ch AH = 2OM

Trang 21

Chùng minh GåiM, N, P l¦n l÷ñt l trung iºm cõa BC, CA, AB Khi â, ta câ

VG−2: M → AN → BP → C

Tø (1.5) v (1.6) ta câ

VG−2 : M → AO → H

Suy ra AH = 2OM.

ành lþ 1.3.10 (Coxeter, [4]).

(a) N¸u hai ÷íng trán câ ÷íng k½nh l hai ÷íng c¶-va cõa tam gi¡c (Thængqua c¡c ¿nh kh¡c nhau) th¼ c¡c tröc ¯ng ph÷ìng cõa nâ i qua trüc t¥m cõatam gi¡c.

(b) T¥m ¯ng ph÷ìng cõa ba ÷íng trán khæng çng tröc vîi ÷íng k½nh l c¡c ÷íng c¶-va (Thæng qua c¡c ¿nh kh¡c nhau) cõa tam gi¡c tròng vîi trüct¥m cõa tam gi¡c.

ành lþ 1.3.11 (Gauss-Bodenmiller, [4]) Ba ÷íng trán vîi ÷íng k½nh l c¡c÷íng ch²o cõa mët tù gi¡c to n ph¦n th¼ çng tröc T¥m cõa chóng th¯ng h ngv khi l§y hai ÷íng trán b§t ký th¼ tröc ¯ng ph÷ìng tròng nhau.

ành lþ 1.3.12 (Newton-Gauss, [4]) Trung iºm cõa c¡c ÷íng ch²o cõa tùgi¡c to n ph¦n th¯ng h ng.

ành lþ 1.3.13 (Desargue, [4]) Hai tam gi¡c çng phèi c£nh tröc khi v ch¿khi chóng l çng phèi c£nh t¥m.

Trang 22

ành lþ 1.3.14 (Kiepert v Jacobi, [4]) Cho ba iºm ph¥n bi»t A, B v C iºm

A0 khæng n¬m tr¶n BC, B0 khæng n¬m tr¶n CA v C0 khæng n¬m tr¶n AB thäam¢n i·u ki»n (AB, AC0) = (AB0, AC), (BC, BA0) = (BC0, BA) v (CA, CB0) =(CA0, CB) Khi â AA0, BB0 v CC0 çng quy ho°c c°p c¡c ÷íng th¯ng n y songsong.

H¼nh 1.13: Ba ÷íng th¯ng AA0, BB0 v CC0 çng quy

Chùng minh Düng c¡c ÷íng trán (Oa)i qua B v C,(Ob) i qua C v A, (Oc)

i qua A v B sao cho:

(Oa) =

OaC) = (AB, AC0)

(Ob) =nX

ObA) = (BC, BA0)o(Oc) =

OcB) = (CA, CB0)

°t c¡c iºm giao nhau cõa ÷íng trán (A0BC) vîi ÷íng th¯ng AA0 l A0 v

A00, t÷ìng tü vîi c¡c iºm B0, B00 v C0, C00.Ta câ

(A00B, A00A) = (A00B, A00A0) = (CB, CA0) = (CA, CB0)

Trang 23

= 12(

Suy ra A00 thuëc (Oc) T÷ìng tü, A00 thuëc (Ob) Do â, AA0 ≡ A0A00 l tröc ¯ngph÷ìng cõa hai ÷íng trán (Ob) v (Oc).

T÷ìng tü, BB0 l tröc ¯ng ph÷ìng cõa (Oc) v (Oa); v CC0 l tröc ¯ngph÷ìng cõa(Oa)v (Ob) Do â,AA0, BB0, CC0 çng quy ho°c æi mët song song.ành lþ ÷ñc chùng minh.

Bê · 1.3.15 Cho ∆ABC vîi t¥m ngo¤i ti¸p O, ÷íng trán nëi ti¸p (I) Ti¸piºm cõa (I) vîi BC; CA; AB t÷ìng ùng l D; E; F Gåi H l trüc t¥m ∆DEF

v R; r l¦n l÷ñt l b¡n k½nh cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p v nëi ti¸p cõa ∆ABC.Khi â, OI tròng vîi ÷íng th¯ng Euler IH cõa ∆DEF v IH

OI =rR.

ành lþ 1.3.16 Cho ∆ABC vîi A0, B0, C0 t÷ìng ùng l ch¥n ba ÷íng cao, gåi

AB, AC l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u cõa A0 tr¶nAB, AC X¡c ành c¡c iºm BC, BA, CA,CB t÷ìng tü Khi â, s¡u iºm AB, AC, BC, BA, CA, CB còng n¬m tr¶n mët ÷íngtrán ÷íng trán n y ÷ñc gåi l ÷íng trán Taylor.

Trang 24

Trang 25

2.1 iºm Kosnita

2.1.1 ành lþ v t½nh ch§t

ành lþ 2.1.1 ([1]) Cho tam gi¡c ABC, vîi O l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p.C¡c ti¸p tuy¸n t¤i A, B, C cõa ÷íng trán (O) ct nhau t÷ìng ùng t¤i A0, B0, C0.Gåi X, Y, Z l¦n l÷ñt l £nh cõa A0, B0, C0 qua ph²p và tü t¥m O, t¿ sè k Khi â,c¡c ÷íng th¯ng AX, BY, CZ çng quy.

Chùng minh Gåi H l trüc t¥m cõa tam gi¡c ABC M l trung iºm cõa BC.Gi£ sû ÷íng ¯ng gi¡c cõa AX trong gâc [BAC ctOA0t¤i X0 v Ll giao iºmcõa AX0 v OH Do O v H l 2 iºm li¶n hñp ¯ng gi¡c trong tam gi¡c ABC

Trang 26

H¼nh 2.1: AX v AX0 ¯ng gi¡c trong gâc [BAC

OX =1k.

Do â, ta câ

OLLH =

OX0AH =

OX02OM =

Suy ra L cè ành n¶n AX i qua iºm li¶n hñp ¯ng gi¡c L0 cõa L trong tamgi¡c ABC cè ành.

T÷ìng tü ta công chùng minh ÷ñc BY v CZ i qua L0 VªyAX,BY,CZ çngquy.

Trang 27

ành lþ 2.1.2 (Kosnita) Cho O l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC

v X, Y, Z l¦n l÷ñt l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c BOC, COA, AOB.Khi â, c¡c ÷íng th¯ng AX, BY, CZ çng quy t¤i iºm K l iºm Kosnita cõatam gi¡c ABC.

H¼nh 2.2: iºm Kosnita K cõa tam gi¡c ABC

Chùng minh C¡ch 1 Theo chùng minh cõa ành lþ 2.1.1, ta câ khi k = 12 th¼

X, Y, Z l¦n l÷ñt l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c BOC, COA, AOB v

AX, BY, CZ çng quy.

C¡ch 2 Chóng ta gåi Q1, Q2, Q3 t÷ìng ùng l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõatam gi¡c BOC, COA, AOB º chùng minh ành lþ Kosnita, chóng ta sû döngtåa ë phùc cõa iºm Kosnita, vîi t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC l gèc cõa m°t ph¯ng phùc Ta c¦n 2 bê · sau:

Bê · 2.1.3 ([3]) X²t A(a), B(b), C(c), D(d) l bèn iºm trong m°t ph¯ng saocho c¡c ÷íng th¯ng AB v CD ct nhau t¤i iºm M (m), trong â m l tåa ëphùc cõa iºm M Khi â

m = (ab − ab)(d − c) − (cd − cd)(b − a)(b − a)(d − c) − (d − c)(b − a) .

Chùng minh Do c¡c iºm A, B v M th¯ng h ng n¶n ta câ

Trang 28

Do c¡c iºm C, D v M th¯ng h ng n¶n ta câ

cd − cd − m(d − c) + m(d − c) = 0 (2.2)Khû m tø (2.1) v (2.2) ta câ

m = (ab − ab)(d − c) − (cd − cd)(b − a)(b − a)(d − c) − (d − c)(b − a) .

Bê · 2.1.4 ([3]) Cho tam gi¡c ABC v Q l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõatam gi¡c ABC X²t a, b, c, q l¦n l÷ñt l tåa ë phùc cõa c¡c iºm A, B, C, Q.Khi â

q = |a|2(b − c) + |b|2(c − a) + |c|2(a − b)a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) .

Chùng minh Ta câ QA = QB = QC Tø QA = QB ta câ

|q − a| = |q − b|

Do â, ta câ

(q − a)(q − a) = (q − b)(q − b).

Suy ra, ta câ

q(a − b) + q(a − b) = |a|2− |b|2 (2.3)T÷ìng tü, tø QA = QC ta câ

Trang 29

B¥y gií chóng ta i chùng minh ành lþ Kosnita Gåi C(O; R) l ÷íng tránngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC, trong â R l b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p Khængm§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gåi O l gèc cõa m°t ph¯ng phùc Trong tr÷ínghñp n y, ta câ OA = OB = OC = R v tåa ë phùc cõa t¥m ÷íng trán ngo¤iti¸p O l 0 Gåi a, b, c, q1, q2, q3 l¦n l÷ñt l tåa ë phùc cõa c¡c iºm A, B, C,

b , c =R2

c .

Sû döng cæng thùc trong Bê · 2.1.4, chóng ta thu ÷ñc

q1 = |b|2c + |c|2(−b)bc + c(−b) =

R2(c − b)R2c

b− bc = bcb + c.

Do â, ta câ

q1 = bc

b + c, q1 =R2b + c.

T÷ìng tü, ta câ

q2 = ac

a + c, q2 =R2a + c.

q3 = ab

a + b, q3 =R2a + b.

Gåi M l giao iºm cõa c¡c ÷íng AQ1 v BQ2 v gåi m l tåa ë phùc cõaiºm M p döng cæng thùc trong Bê · 2.1.3, ta câ

m = (aq1− aq1)(q2− b) − (bq2− bq2)(q1− a)(q1− a)(q2− b) − (q2− b)(q1− a) .

Tø mèi quan h» n y d¹ d ng thu ÷ñc

m = a

2b2+ a2c2+ b2c2

(a + b + c)(ab + ac + bc) − 4abc. (2.4)X²t N l giao iºm cõa c¡c ÷íng AQ1 v CQ3 v n l tåa ë phùc cõa iºm N.Tø cæng thùc trong Bê · 2.1.3, ta câ

n = (aq1− aq1)(q3− c) − (cq3− cq3)(q1− a)(q1− a)(q3− c) − (q3− c)(q1− a) .

Trang 30

T÷ìng tü, ta d¹ d ng câ ÷ñc biºu thùc t÷ìng tü cho n nh÷ trong (2.4).

T÷ìng tü, n¸u P l iºm giao nhau cõa c¡c ÷íng BQ2 v CQ3 v p l tåa ëphùc cõa iºm P, chóng ta thu ÷ñc biºu thùc t÷ìng tü cho p nh÷ trong (2.4).Do â, ta câ m = n = p, suy ra

M = N = P.

Ta câ tåa ë phùc cõa iºm Kosnita, khi t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c

ABC l gèc cõa m°t ph¯ng phùc, câ mët biºu thùc èi xùng â l

H¼nh 2.3: T¥m N cõa ÷íng trán Euler v iºm K ¯ng gi¡c