Một vài kết quả mới về điểm kosnita và ứng dụng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o L TH PHìèNG THO MậT VI KT QU MẻI V IM KOSNITA V NG DệNG Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 46 01 13 LUN VN THC S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC PGS TS TRN VIT CìNG ThĂi Nguyản - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! i Möc löc Danh sĂch hẳnh v Danh sĂch kỵ hiằu Lới cÊm ỡn M Ưu Mởt số kián thực chuân b iii iv vi 1.1 Mët sè iºm tam gi¡c 1.2 Mët sè ÷íng tam gi¡c 1.3 Mởt số nh lỵ Mởt vi kát quÊ mợi và im Kosnita v ùng döng 2.1 2.2 iºm Kosnita 2.1.1 nh lỵ v tẵnh chĐt 2.1.2 Mởt vi kát quÊ mợi v· iºm Kosnita 18 18 18 27 Mët sè ùng döng cõa iºm Kosnita 39 Kát luên Ti liằu tham kh£o 52 53 ii Danh s¡ch h¼nh v³ 1.1 iºm Schiffler 1.2 iºm Miquel cõa tù gi¡c to n ph¦n 1.3 Hai iºm 1.4 ÷íng trán Euler 1.5 ÷íng th¯ng Euler P v  P∗ ABC 1.6 nh lỵ Thales 1.7 nh lỵ Menelaus 1.8 nh lỵ Ceva 10 1.9 nh lỵ Desargues 11 1.10 nh lỵ Miquel 12 1.11 Tam gi¡c ph£n chi¸u 13 1.12 Kho£ng c¡ch ¯ng gi¡c tam gi¡c AH = 2OM 1.13 Ba ÷íng th¯ng AA0 , BB CC 15 1.14 ÷íng trán Taylor 16 AX v ỗng quy 13 2.1 AX 2.2 im Kosnita 2.3 TƠm 2.4 im Kosnita cừa 2.5 Hẳnh biu diạn tẵnh ch§t 2.1.7 2.6 ÷íng th¯ng Euler cõa 27 2.7 nh lỵ Cevian Nests 28 2.8 C¡c ÷íng th¯ng 2.9 AA2 v  N ¯ng gi¡c gâc K cõa tam gi¡c d BAC ABC 19 20 cõa ÷íng trán Euler v  iºm ∆DEF A2 , I, A0 2.11 Ba ÷íng th¯ng ¯ng gi¡c v  iºm Schiffler cõa ∆Ha Hb Hc B I , C J , D0 K song song vỵi AM OK trịng 24 26 29 30 th¯ng h ng 31 AX, BY, CZ I v ABC 23 ỗng quy i qua iºm èi xùng cừa 2.10 Ba im K ỗng quy tÔi P 32 iii 2.12 IQ song song vợi ữớng th¯ng Euler cõa 2.13 C¡c ÷íng th¯ng AA1 , BB1 , CC1 HP 2.14 Trưc ¯ng ph÷ìng chung 2.15 XO1 , Y O2 v 2.16 ữớng thng ZO3 ỗng quy O1 O4 , O2 O5 2.17 Ba ÷íng trán v  ABC ỗng quy hoc song song 34 35 36 cõa O3 O6 (AA2 ), (BB2 ), (CC2 ) ỗng quy AB C , BC A0 , CA0 B ABC 2.19 TƠm ữớng trỏn Taylor cõa 33 (AB1 C1 ), (BC1 A1 ), (CA1 B1 ) 2.18 C¡c ÷íng trán 38 còng i qua mët iºm 39 i qua £nh cõa iºm Kosnita 41 ∆A0 B C 43 2.20 nh lỵ 2.2.4 44 2.21 IL 2.22 HSP 2.23 L∗ E x i qua iºm Kosnita K i qua iºm Kosnita l  iºm Spieker cõa K i qua iºm Kosnita 46 48 49 iv Danh sĂch kỵ hiằu I TƠm ữớng trỏn nởi tiáp O TƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp H Trỹc tƠm K im Kosnita (O) ữớng trỏn tƠm (ABC) ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc (AB) ữớng trỏn ữớng kẵnh C(O; R) ữớng trỏn tƠm R BĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp r BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp R(O) BĂn kẵnh ữớng trỏn tƠm AB AB ở di Ôi số oÔn [ABC] Diằn tẵch tam gi¡c (AB, CD) −→ −−→ (AB, CD) Gâc giúa hai ÷íng th¯ng Gâc giúa hai v²ctì AB (ABCD) Bèn iºm i·u háa A, B, C, D O(ABCD) Chòm i·u háa NIk Ph²p nghàch £o cüc VGk Ph²p tü t¥m V²ctì O O, ABC AB b¡n k½nh R O AB AB ABC v  AB, CD CD OA, OB, OC, OD G, I, t số phữỡng tẵch k k v k HO Php v tỹ tƠm A(a) im a Liảp hủp phùc cõa |a| Modulo cõa sè phùc (c.g.c) D§u hi»u ỗng dÔng cÔnh, gõc, cÔnh (g.g) DĐu hiằu ỗng dÔng gâc, gâc A O, t¿ sè k câ tåa ë phùc l  a a a vi Líi c£m ìn º hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, ngoi sü né lüc håc häi cõa b£n th¥n, em ln nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS TS TrƯn Viằt Cữớng, GiÊng viản Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, Ôi hồc ThĂi Nguyản Em xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa em ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho em Em xin chƠn thnh cÊm ỡn Phỏng o tÔo, Khoa ToĂn - Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K12A5 (2018 - 2020) Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho em ho n th nh khâa håc Tỉi xin c£m ìn Ban gi¡m hiằu Trữớng Trung hồc phờ thổng Bưc KÔn - Thnh phố Bưc KÔn  tÔo iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b v ỗng nghiằp, nhỳng ngữới  ởng viản, hộ trủ v tÔo iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn ThĂi Nguyản, thĂng 01 nôm 2021 TĂc giÊ luên vôn Lả Th Phữỡng ThÊo M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn Nghiản cựu, trẳnh by và im Kosnita, mởt vi kát quÊ mợi và im Kosnita Ngoi chúng tổi nghiản cựu, trẳnh by mởt sè ùng döng cõa iºm Kosnita Nëi dung cõa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát im Kosnita l  mët nhúng iºm °c bi»t tam gi¡c l mởt nhỳng vĐn à thú v hẳnh hồc phng CĂc bi toĂn liản quan án im Kosnita ·u l  nhúng b i to¡n hay v  khâ Vỵi mong muốn tẳm hiu sƠu hỡn và im Kosnita, và nhỳng kát quÊ mợi và im Kosnita v ựng dửng cừa iºm Kosnita, tỉi lüa chån · t i Mët v i k¸t quÊ mợi và im Kosnita v ựng dửng dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS.TS TrƯn Viằt Cữớng Nởi dung cừa à ti luên vôn ữủc viát chữỡng: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, trẳnh by mởt số kián thực chuân b cõ liản quan án luên vôn nhữ im Schiffler, ữớng thng Euler, ÷íng trán Euler ch÷ìng 2, c¡c nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc têng hđp tø c¡c t i li»u [2, 3, 4] 1.1 1.2 1.3 Chữỡng Mởt vi kát qu£ mỵi v· iºm Kosnita v  ùng dưng Mët sè iºm tam gi¡c Mët sè ÷íng tam gi¡c Mởt số nh lỵ Trong chữỡng ny,chúng tổi trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa im Kosnita v ựng dửng cõa iºm Kosnita C¡c nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc têng hñp tø c¡c t i li»u [1, 2, 3, 4, 5] 2.1 2.2 iºm Kosnita Mët sè ùng dưng cõa iºm Kosnita Ch÷ìng Mët sè kián thực chuân b Chữỡng ny tõm tưt khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt hẳnh hồc phng m s ữủc sỷ dửng chữỡng sau, vẵ dử nhữ im Schiffler, iºm Miquel, iºm de Longchamps, iºm Exeter, iºm Spieker, ÷íng ¯ng gi¡c, ÷íng trán Euler, ÷íng th¯ng Euler, ÷íng trỏn Taylor, tam giĂc thĐu xÔ, tam giĂc Pedal, tam gi¡c ph£n chi¸u Sau â l  têng hđp mët sè nh lỵ cỡ s dũng cĂc chựng minh chữỡng sau, vẵ dử nhữ nh lỵ Thales, nh lỵ Menelaus, nh lỵ Ceva, nh lỵ Desargues, nh lỵ Miquel, 1.1 Mët sè iºm tam giĂc nh lỵ 1.1.1 (im Schiffler) Cho tam giĂc ABC cõ I l tƠm nởi tiáp Khi õ bốn ÷íng th¯ng Euler cõa tam gi¡c IAB, IBC, ICA, ABC ỗng quy tÔi im S, im ny ữủc gồi l  iºm Schiffler cõa tam gi¡c Chùng minh Gåi M l trung im tÔi J , (I) O BC , G1 tiáp xúc vợi ngoÔi tiáp tam giĂc G l tƠm ngoÔi tiáp tam giĂc, BC IBC l trồng tƠm tam giĂc tÔi K , JG1 Do õ JG1 c­t AM l  trång t¥m tam gi¡c IBC , AI tÔi E , OG cưt tÔi BC S tÔi D, Dạ thĐy J cưt GOM vợi cĂt tuyán SG JO EM · · = SO JM EG Do â, ta câ SG JM EG = · SO R EM SEJ , ta cõ (O) l tƠm l ữớng thng Euler cừa tam giĂc p dửng nh lỵ Menelaus cho tam gi¡c ABC , IBC 30 th¯ng h ng Ta cõ A, D0 , D lƯn lữủt l giao im cừa nh lỵ Desargues cho Tữỡng tỹ, ta cõ Gồi v M0 BB S quy tÔi AM BB Y DK, D0 K , XZ l  giao im cừa thĐu xÔ tƠm M Tữỡng tỹ Y v II X ta ữủc ỗng quy tÔi D0 K ÷đc II , I X, XI v  vỵi BB , B Y, Y B BI, B I , Y X p dửng ỗng quy tÔi S T B I p dửng nh lỵ Desargues cho DD0 T A, M , M B I , C J , AM thng hng, tực l ỗng quy tÔi M D0 K , B I , AM Suy ỗng B I , C J , D0 K v ỗng quy Bờ à 2.1.11 ([2]) Cho ABC , tƠm ữớng trỏn nởi tiáp I Gồi DEF l  tam gi¡c Cevian cõa I èi vỵi ∆ABC Gåi A1 l  giao iºm cõa EF v  AD Gåi A2 l hẳnh chiáu cừa A1 lản BC Khi â AA2 i qua iºm èi xùng cõa I qua BC H¼nh 2.9: AA2 i qua iºm èi xùng cõa I Chùng minh −1 hay Do ∆DEF A2 (AIA1 D) l  tam gi¡c Cevian cõa I qua BC ∆ABC n¶n (AIA1 D) = A2 A1 ⊥A2 D n¶n A2 A1 , A2 D èi vỵi l  chịm i·u hỏa Hỡn nỳa lƯn lữủt l ữớng phƠn giĂc v  ngo i cõa cõa I ∆AA2 I Gåi X l  iºm èi xùng Thỉng qua bi¸n êi gâc, ta câ (A2 I, A2 A) + (A2 X, A2 I) = 2(A2 I, A2 A1 ) + 2(A2 D, A2 I) = Nhữ vêy A, A2 , X th¯ng h ng 31 Bê · 2.1.12 h ng ([2]) Gồi A0 l hẳnh chiáu cừa D lản EF Khi â A2, I, A0 th¯ng H¼nh 2.10: Ba iºm A2, I, A0 th¯ng h ng Chùng minh BC vỵi Gåi A1 A0 DA2 Gåi Y X0 l  giao iºm cừa ữớng phƠn giĂc ngoi gõc l giao im cừa nởi tiáp nản ữớng thng A0 AX A1 A2 v  A Ta câ c¡c tù gi¡c cõa ∆ABC X AA0 D v  l  iºm Miquel cõa tù giĂc ton phƯn tÔo bi bở bốn (X A2 , AA1 , X A, A2 A1 ) Suy tù gi¡c AY A0 A1 nëi ti¸p Do â, ta câ (A0 Y, A0 A1 ) = (AY, AA1 ) = (A0 A1 , A0 D) = hay Y, A0 , D Gåi I0 π th¯ng h ng l  giao iºm cõa A1 D v  A2 A0 ÷íng th¯ng (DA0 , A2 A1 , DA2 , A0 A1 ) i·u háa hay (AI A1 D) = M°t kh¡c (AIA1 D) = −1 Bê · 2.1.13 Chựng minh ([2]) Tứ tự giĂc ton phƯn tÔo bi bë ta câ n¶n ta câ X (AI A1 D) = X (Y I A1 D) I0 ≡ I Vªy A2 , I, A0 l  chòm th¯ng h ng AA2, AA0 ¯ng gi¡c gâc A ∆ABC Tø c¡c k¸t qu£ cõa Bê · 2.1.11 v  Bê · 2.1.12 ta bi¸n êi gâc (AA2 , AD) = (Y A2 , Y D) = (AD, AA0 ) Vªy AA2 , AA0 Bê · 2.1.14 ¯ng gi¡c gâc ([2]) A ∆ABC ành ngh¾a c¡c iºm Y, Z t÷ìng tü iºm X Khi õ AX, BY, CZ ỗng quy tÔi im P 32 Hẳnh 2.11: Ba ữớng thng AX, BY, CZ ỗng quy tÔi P Chựng minh nh nghắa cĂc im Cevian Nests cho v  ∆A0 B C ∆ABC quy tÔi im Chựng minh A0 B C DEF ([2]) ∆A2 B2 C2 ∆A2 B2 C2 Q AA2 , AA0 I ([2]) I ∆DEF ∆ABC ta ÷đc ¯ng gi¡c gâc AX, BY, CZ èi vỵi ∆ABC p dưng Bờ à 2.1.10 cho I, P, Q A ỗng Ta công ∆ABC v  DA0 , EB , F C thng hng IQ song song vợi ữớng thng Euler cõa ∆ABC Oa l  giao iºm cõa Ob , Oc AI vỵi (ABC) ∆ABC Ta câ (IY Z), (IZX), (IXY ) n¶n AX, BY, CZ Ta cõ XY Z nản Oa l tƠm cừa (IBC) Theo tẵnh chĐt 2.1.6 thẳ im Kosnita cụng chẵnh l im Schiffler cõa ∆XY Z P l  tam gi¡c Cevian cừa thĐu xÔ tƠm nản ta ữủc Gồi cừa ữớng trán cõa èi vỵi èi vỵi 0 ta ữủc DA , EB , F C , IP ỗng quy M nh nghắa tữỡng tỹ cho P I Gåi Q l  trüc t¥m cõa ∆DEF Khi â I, P, Q th¯ng h ng Ta câ Bê · 2.1.16 Oa OB Oc p dửng nh lỵ P thĐu xÔ tƠm Chựng minh DEF nản theo tẵnh chĐt cừa ữớng ng giĂc ta cõ v ỗng quy tÔi A0 l tam giĂc Cevian cừa ỗng quy p dửng Bờ à 2.1.13 thẳ Bờ à 2.1.15 cõ DEF vợi tữỡng tü iºm l  tam gi¡c Cevian cõa trüc t¥m AA0 , BB , CC ∆ABC B0, C ỗng dÔng vợi A, B, C S cừa lƯn lữủt l tƠm ỗng quy tÔi im Kosnita Oa Ob Oc vẳ cõ cĂc cÔnh tữỡng ựng 33 Hẳnh 2.12: IQ song song vợi ữớng thng Euler cừa ABC song song cịng vng gâc vỵi AI, BI, CI l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, im Kosnita cừa IP k OS ∆ABC ÷íng th¯ng Euler cõa cõa I, P, Q Theo Bê · 2.1.15 th¼ ∆XY Z IQ v  O, S v  ∆Oa OB Oc IQ k OS th¯ng h ng n¶n n¶n ta câ I, P Hìn nỳa, Do S lƯn lữủt nản ta cõ nơm trản song song vợi ữớng thng Euler ABC Chựng minh cừa nh lỵ 2.1.8 tÔi B Do Ha Hb Hc v  C, C v  vng gâc vỵi A, A v B cừa ỗng dÔng vợi OA, OB, OC X, Y, Z Gồi lƯn lữủt l giao im cừa ti¸p tuy¸n (O) Gåi Ha Hb Hc ∆XY Z l  tam giĂc trỹc tƠm cừa ABC vẳ cõ cĂc cÔnh tữỡng ựng song song Do õ ữớng th¯ng Euler cõa hai tam gi¡c n y song song vỵi Gåi cõa O Ta câ J l  iºm èi xùng cõa Y Z, ZX, XY qua AOa , BOb , COc Gåi O K qua Oa , Ob , Oc ỗng quy tÔi K Goi A0 , B , C lƯn lữủt l im ối xựng OX, OY, OZ ta cõ lƯn lữủt l  trung iºm cõa X²t ph²p tü t¥m O t¿ sè HO2 : A0 7→ A, B 7→ B, C 7→ C, X 7→ Oa , Y 7→ Ob , Z 7→ OC , J 7→ K Ta ÷đc XA0 , Y B , ZC ữớng trỏn nởi tiáp O ỗng quy tÔi J v im Kosnita song vợi ữớng thng Euler cừa p döng Bê · 2.1.16 cho J ∆XY Z cõa ∆A0 B C ta ÷đc ∆XY Z , OK OJ tƠm song 34 nh lỵ 2.1.17 ([4]) Cho im P nơm trản mt phng (ABC) m khổng nơm trản ữớng trỏn ngoÔi tiáp v cĂc ữớng thng chựa cĂc cÔnh cừa tam giĂc ny Gồi A0, B 0, C l hẳnh chiáu vuổng gõc cừa iºm P l¶n BC, CA, AB v  c¡c iºm A1 , B1 , C1 thäa m¢n: P A1 · P A0 = P B1 · P B = P C1 · P C = k, k ∈ R∗ Khi â c¡c ÷íng th¯ng AA1, BB1, CC1 l  cĂc ữớng thng ỗng quy hoc l cĂc cp ữớng thng song song Hẳnh 2.13: CĂc ữớng thng AA1, BB1, CC1 ỗng quy hoc song song Chựng minh Gồi ta ữủc cĂc im H l trỹc tƠm cừa tam giĂc B , C , B1 , C1 ABC Do P B1 · P B = P C1 à P C ỗng tƠm Ta cõ (P A, B1 C1 ) = (P A, P B ) + (P B , B1 C1 ) = (C A, C B) + (B1 B , B1 C1 ) = (C A, C B) + (C B , C C1 ) = (C A, C C1 ) = Tø â, ta câ PA vng gâc vỵi vng gâc vợi B1 C1 Tữỡng tỹ, PB vng gâc vỵi C1 A1 v  PC A1 B1 i·u n y câ ngh¾a l  P A, P B, P C lƯn lữủt vuổng gõc vợi B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 (2.5) 35 Tr÷íng hđp N¸u P H H Rã r ng AA1 , BB1 v  CC1 ỗng quy tÔi nh lỵ 2.1.17 úng trữớng hủp ny Trữớng hủp Náu P cừa tam giĂc â trịng vỵi A0 v  A1 ABC khỉng trịng H v  thc v o mët c¡c ÷íng cao P Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ rơng cụng nơm trản nơm trản AH , AH Tứ (2.5) ta câ hai ÷íng th¯ng B1 C1 v  BC song song ho°c trịng Do â, c°p ÷íng th¯ng chùa cĂc cÔnh cừa hai tam giĂc P B1 C1 v HBC song song ho°c c¡c ÷íng th¯ng n y hëi tư Vªy chóng l  £nh cõa chóng qua mët ph²p tỹ hoc mởt php tnh tián Vêy Tứ õ AA1 v  A1 H P H, B1 B, C1 C tròng nhau, ỗng quy hoc ổi mởt song song AA1 , BB1 , CC1 ỗng quy hoc cp ữớng thng ny song song nh lỵ 2.1.17 cụng úng trữớng hủp ny Trữớng hủp Náu P tam giĂc Gồi ABC Ma , Mb , Mc Khi â, °t (AB1 ) v  A2 = BC ∩ B1 C1 , B2 = CA ∩ C1 A1 , C2 = AB ∩ A1 B1 lƯn lữủt l trung im cừa õ theo (2.5) thẳ trỏn khổng nơm trản ữớng thng chựa cĂc ữớng cao cừa AP vuổng gõc vợi AA2 , BB2 , CC2 B1 C1 tÔi Ka °t Ka = AP ∩ B1 C1 , Ka thuëc cĂc ữớng Suy (AA2 ) Hẳnh 2.14: Trửc ng ph÷ìng chung HP cõa (AA2), (BB2), (CC2) 36 Khi â, ta câ PP/(AA2 ) = P A · P Ka = P B1 · P B = k T÷ìng tü PP/(BB2 ) = k v  PP/(CC2 ) = k i·u â ngh¾a l  PP/(AA2 ) = PP/(BB2 ) = PP/(CC2 ) (2.6) p dửng nh lỵ 1.3.10, tứ (2.6) ta câ HP c°p hai ÷íng trán tø ba ÷íng trán (AA2 ), (BB2 ), (CC2 ) l  trưc ng phữỡng chung cừa mội tƠm cừa chúng thuởc ữớng thng vuổng gõc vợi (Hẳnh 2.14) Do õ, P H , tùc l  c¡c iºm Ma , Mb , Mc thng hng p dửng cĂc nh lỵ 1.3.11 v nh lỵ 1.3.12 ta cõ ba im l thng hng Do õ, theo nh lỵ 1.3.13 thẳ AA1 , BB1 v CC1 A2 , B2 , C2 ỗng quy hoc cp cĂc ữớng thng ny song song Vêy nh lỵ 2.1.17 cụng úng trữớng hủp ny nh lỵ 2.1.17 ữủc chựng minh nh lỵ 2.1.18 (Dao -[4]) Cho sĂu iºm A, B, C, D, E v  F cịng n¬m trản mởt ữớng trỏn (O) Kỵ hiằu X = CD ∩ EF, Y = EF ∩ AB v  Z = AB ∩ CD Gåi O1 , O2 v  O3 l  tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp cĂc tam giĂc OAB, OBC v  OEF Khi â c¡c ÷íng th¯ng XO1, Y O2 v ZO3 l cĂc ữớng thng ỗng quy hoc l cĂc cp ữớng thng song song Hẳnh 2.15: XO1, Y O2 v ZO3 ỗng quy 37 Chựng minh GiÊ sû c¡c ÷íng trán t÷ìng tü nh÷ iºm Ta câ CD, EF ÷íng trán OK v  M L v  (OEF ) cưt tÔi P v K, nhữ Hẳnh 2.15 l cĂc ữớng thng ỗng quy tÔi tƠm ng phữỡng cõa ba (OCD), (OEF ) T÷ìng tü, (F E, F O) v  L (OCD) OY thuëc v  (O) v  M Suy K thuëc OZ thuëc Do OX OE = OF n¶n (EO, EF ) = Suy ra, ta câ (KE, KX) = (KE, KO) = (F E, F O) = (EO, EF ) = (EO, EX) Suy OE l  ti¸p tuy¸n (KEX) Do â, theo ành lỵ phữỡng tẵch cừa mởt im, ta cõ OE = OK · OX T÷ìng tü, ta cơng câ OA2 = OL · OY Ta câ OE = OA = OC v  OC = OM · OZ Do â, ta câ OK · OX = OL · OY = OM · OZ Gåi N = O2 O3 ∩ OX, P = O3 O1 ∩ OY M, N, P v  Q = O1 O2 ∩ OZ (2.7) Ta câ OK, OL, OM (2.8) O2 O3 , O3 O1 , O1 O2 (2.9) lƯn lữủt l trung im cừa v OX, OY, OZ lƯn lữủt vuổng gõc vợi Tø (2.7) v  (2.8), ta câ ON · OX = OP · OY = OQ · OZ p döng ành lỵ 2.1.17, tứ (2.9) v (2.10) ta cõ O1 X, O2 Y (2.10) v O3 Z ỗng quy hoc ổi mởt song song nh lỵ 2.1.19 ([4]) Cho sĂu iºm A, B, C, D, E v  F cịng n¬m trản mởt ữớng trỏn (O) Kỵ hiằu U = CE ∩ DF, V = EA ∩ F B v  W = AC ∩ BD Gåi O1, O2, O3, O4, O5 v O6 lƯn lữủt l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp c¡c tam gi¡c OAB, OBC, OEF, U DE, V F A v  W BC Khi â, c¡c ÷íng th¯ng O1 O4 , O2 O5 v O3 O6 ỗng quy hoc ổi mởt song song 38 Hẳnh 2.16: ữớng thng O1O4, O2O5 v O3O6 ỗng quy Ró rng, B ≡ C, D ≡ E v  F ≡A th¼ hai nh lỵ trản tr thnh nh lỵ Kosnita Chựng minh CĂc ữớng trỏn ối vợi cĂc im L v M (OCD) v (OEF ) nhữ Hẳnh 2.16 Do cưt tÔi OC = OD v P v K OE = OF n¶n ta câ −−→ −→ π (CD, CO) = (OD, OC) + 2 −→ −−→ π (OF, F E) = (OF , OE) + 2 Do â, ta câ (KD, KE) = (KD, KO) + (KO, KE) = (CD, CO) + (F O, F E) −−→ −→ −→ −−→ = (OD, OC) + (OF , OE) 2 = (ED, EC) + (DF, DE) = (DF, EC) = (U D, U E) Suy K nơm trản (U DE) Tữỡng tỹ 39 Tữỡng tỹ, L nơm trản vuổng gõc vợi KE , O3 O2 vng gâc vỵi OL (V F A) v  M vuổng gõc vợi nơm trản OK , O3 O5 (W BC) Tø â, ta câ vng gâc vỵi LF v  O3 O4 O3 O1 Ta câ (O3 O2 , O3 O4 ) = (KO, KE) = (F O, F E) = (EF, EO) = (LF, LO) = (O3 O5 , O3 O1 ) T÷ìng tü, ta câ (O1 O3 , O1 O5 ) = (O1 O6 , O1 O2 ), (O2 O1 , O2 O6 ) = (O2 O4 , O2 O3 ) Do õ, theo nh lỵ 1.3.14, c¡c ÷íng th¯ng O1 O4 , O2 O5 v  O3 O6 ỗng quy hoc cp cĂc ữớng thng ny song song 2.2 Mët sè ùng döng cõa iºm Kosnita ành lỵ 2.2.1 CĂc ữớng trỏn (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) (Musselman, [5]) i qua iºm KO l  £nh cõa iºm Kosnita qua php nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ABC Hẳnh 2.17: Ba ÷íng trán (AB1C1), (BC1A1), (CA1B1) cịng i qua mët im 40 Chựng minh M Gồi E v lƯn lữủt l Ênh cừa im Êo ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam gi¡c ABC KO v  A1 qua ph²p nghàch Khi â, ta câ OKO · OQ1 = OA2 = OE · OA1 Suy \ \O , O \ [ O M A = OAK A1 A = OAE Ta câ bë t¥m t¿ cü cõa iºm Kosnita l   b c a : : cos(B − C) cos(A C) cos(B A)  v tƠm ữớng trỏn ch½n iºm N (a cos(B − C) : b cos(A − C) : c cos(B − A)) Do â im Kosnita v tƠm ữớng trỏn chẵn im l hai iºm ¯ng gi¡c cõa tam gi¡c ABC M°t kh¡c O l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp v ng giĂc cõa tam gi¡c ABC H l  trüc t¥m cơng l  hai iºm n¶n ta câ \O = N \ OAK AA1 T÷ìng tü, ta câ \ \ N AA1 = O A1 A Vªy \ \ O MA = O A1 A hay nâi c¡ch kh¡c iºm mët ữớng trỏn Tữỡng tỹ vợi cĂc ữớng trỏn O, A, A1 (BOB1 ) v v M nơm trản (COC1 ) Vêy nh lỵ ữủc chựng minh nh lỵ 2.2.2 (Yiu, [5]) C¡c ÷íng trán AB0C 0, BC 0A0, CA0B0 i qua nghàch £nh cõa iºm Kosnita n¬m ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc Chựng minh Kỵ hiằu Q l Ênh nghch Êo cừa im Kosnita trỏn ngoÔi tiáp Theo nh lỵ Musselman, v (COC ) Q v ữớng nơm trản cĂc ữớng trỏn Do õ, ta câ QO = B BO \ \ B N∗ QO = C CO \ \ C (BOB ) 41 Hẳnh 2.18: CĂc ữớng trỏn AB 0C 0, BC 0A0, CA0B i qua £nh cõa iºm Kosnita Tø â, ta câ QC = B QO + C QO \ \ \ B Ta ÷đc QC = B BO + C CO \ \ \ B \ \ [ + (B [ = (C BB − CBO) CC − BCO) \ \ [ + BCO) [ =C BB + B CC − (CBO \ \ [ =C BB + B CC − (π − BOC) \ \ [ =C BB + B CC − π + BOC M°t kh¡c, ta câ \ C BB = Hìn núa, ta câ b [ = 2A BOC π −C v  \ B CC = π b − B Do â QC = ( \ B π b + ( π − B) b − π + 2Ab − C) 2 42 b − Cb − π + 2Ab =π−B b − Cb bB = 2− b − (Ab + B b + C) b = 3A b − π = 3A Do â, ta câ QC = π − (3A b − π) = 2π − 3A b \ π−B M°t kh¡c, ta câ \ [ = Ab B AC = BAC v  b \ C AB = A Vẳ vêy, ta câ AC = 2π − (B \ \ \ [ +C B AC + BAC AB ) b + Ab + A) b = 2π − 3A b = 2π − (A Do â, ta câ AC = π − B QC \ \ B Vªy Q (AB C ) nơm trản ữớng trỏn ữớng trỏn (BC A0 ) H» qu£ 2.2.3 ([5]) v  (CA0 B ) Lêp luên tữỡng tỹ Q cụng nơm trản cĂc Vêy nh lỵ ữủc chựng minh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc phÊn xÔ A0B0C l ữớng trỏn im Kosnita Chựng minh Vẳ tƠm ữớng trỏn cừa tam giĂc Thũy Túc cừa im im cừa oÔn thng cho tƠm N P P , P l liản hủp ¯ng gi¡c cõa P P l  trung p dưng k¸t quÊ ny cừa ữớng trỏn chẵn im ta suy tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp cừa tam giĂc phÊn xÔ A0 B C l  £nh cõa trung iºm NN∗ qua ph²p tü l  iºm G+4 N +N ∗ − G = 2(N + N ∗ ) − 3G
= 2N ∗ + 2N − 3G = 2N ∗ + (O + H) − (2 · O + H) = 2N ∗ − O h(G, 4) õ 43 phÊn xÔ cừa OH v G O chia v o iºm Kosnita OH N ∗ Do H l  trüc t¥m, N l  trung iºm cõa theo t sè HG : GO = : Vêy hằ quÊ ữủc chựng minh nh lỵ 2.2.4 ([1]) Cho ABC vợi trỹc tƠm H , ữớng trỏn ngoÔi tiáp (O) v l tam giĂc tÔo bi ba chƠn ữớng cao cừa ABC S l tƠm ữớng trỏn Taylor cừa ABC H ∗ l  £nh nghàch £o cõa H qua (O) Khi â, ÷íng th¯ng SH ∗ i qua iºm Kosnita K cõa ∆ABC ∆DEF Chùng minh Bê · 2.2.5  chựng minh nh lỵ ta cƯn bờ · sau: ([1]) ∆ABC nhån vỵi A0, B0, C lƯn lữủt l ba chƠn ữớng cao Khi õ, tƠm cừa ữớng trỏn Taylor cừa ABC l im Spieker cừa A0B 0C Hẳnh 2.19: TƠm ữớng trỏn Taylor cõa ∆ABC l  iºm Spieker cõa ∆A0B 0C Chùng minh Gåi l  trung iºm cõa Thªt vªy, E S l tƠm ữớng trỏn Taylor cừa B C , C A0 , A0 B l trung im cừa ABC Gồi Trữợc hát ta chùng minh C A0 AB AC n¶n 0 A0 A = 900 − BC A0 = 900 − ACB \ \ [ EA B A = C\ B AA = A\ = A\ C C AB A D, E, F lƯn lữủt i qua E, F 44 Do â E ∈ AB AC Tữỡng tỹ vợi F suy AB AC Chựng minh tữỡng tỹ nhữ trản ta ữủc D, E Mt khĂc thĐy D = BA BC CA CB m  [ B\ C DCB ≡ EDF cõa ∆DEF BA CA k CB BC suy Tữỡng tỹ, nản ∆DBC CB ES ([1]) BA BC E, F i qua BA CA BC CB F, D v  CA CB i qua l mởt hẳnh thang cƠn, l tam giĂc c¥n v  l  ph¥n gi¡c cõa v  cơng l  iºm Spieker cõa Bê · 2.2.6 i qua [ DEF DS Vêy l phƠn giĂc cừa S l tƠm nởi tiáp A0 B C ABC vợi tƠm nởi tiáp I , trồng tƠm G v im Spieker v  iºm Nagel Na Khi â, I, G, SP , Na nơm trản mởt ữớng thng v INa = 2ISP = 3IG SP Hẳnh 2.20: nh lỵ 2.2.4 Quay tr lÔi nh lỵ 2.2.4 Gồi N l tƠm ữớng trán Euler cõa X, Y, Z, J, L, M H tữỡng ựng l trung im cừa l tƠm nởi tiáp cõa ∆DEF H, G, S ∆ABC , P Ta ÷đc ∆DEF HO , G, N th¯ng h ng, Gåi HO , G l  trung iºm cõa EF, F D, DE, HA, HB, HC Gồi Q v Dạ thĐy lƯn lữủt l trỹc tƠm v trồng tƠm cừa thng hng trản ữớng thng Euler cừa HG = 2GS NO l  trung iºm cõa HK Gåi ∆DEF r, R v lƯn lữủt