Kỹ Thuật - Công Nghệ - Khoa học tự nhiên - Khoa học tự nhiên UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- TRẦN THỊ HẰNG MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY Sinh viên thực hiện TRẦN THỊ HẰNG MSSV: 2114020116 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn TH.S. ĐOÀN THỊ TUYẾT LÊ MSCB: 26643 Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Qua quá trình học tập và rèn luyện trong 4 năm tại giảng đường trường đại học Quảng Nam, dưới sự dìu dắt, chỉ bảo tận tình của quý Thầ y Cô giáo, bản thân tôi đã tích lũy cho mình rất nhiều kiến thứ c và kinh nghiệm quý báu về cả chuyên môn lẫn nghiệp vụ sư phạm. Khóa luậ n này chính là thành quả quan trọng của quá trình đó. Khóa luận được hoàn thành dưới sự quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, đầy trách nhiệm của Cô giáo ThS. Đoàn Thị Tuyết Lê. Qua đây, tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắ c và lòng kính trọng tới Cô và gửi đến Cô lời cảm ơn chân thành nhất. Tôi xin gởi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà trường, quý thầy cô giáo đặc biệt là quý thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Quả ng Nam và các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Đại học sư phạm Toán K14STH02 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến tất cả những người thân và bạn bè đã luôn ở bên cạnh, giúp đỡ, cổ vũ tinh thần và động viên tôi trong suố t quá trình vừa qua. Không có thành công nào mà không có sự nổ lực của chính bả n thân mình cùng với sự quan tâm, giúp đỡ của những người xung quanh. Một lầ n nữa, tôi xin chân thành cảm ơn. Mặc dù bản thân tôi đã rất cố gắng và nổ lự c trong quá trình nghiên cứu luận văn này nhưng với thời gian có hạn, năng lực nghiên cứu lại hạ n chế nên không thể nào tránh những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự nhận xét, những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô để bài khóa luận được hoàn thiện hơn. Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “Mặt phẳng Lobachevsky” là kế t quả nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu trong khóa luậ n là trung thực và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nghiên cứu. Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hằng MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU .......................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1 1.2. Mục tiêu nghiên cứu............................................................................... 2 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................... 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 2 1.5. Đóng góp của đề tài................................................................................ 2 1.6. Cấu trúc của đề tài .................................................................................. 2 Phần 2. NỘI DUNG ...................................................................................... 3 Chương 1. HÌNH HỌC TRUNG HÒA ......................................................... 3 1.1. Các khái niệm ........................................................................................ 3 1.2. Hai đường thẳng song song .................................................................... 3 1.3. Tam giác ................................................................................................. 5 1.3.1. Góc ngoài của tam giác ....................................................................... 5 1.3.2. Trường hợp bằng nhau của tam giác ................................................... 6 1.3.3. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác bất kỳ........... 7 1.3.4. Bất đẳng thức trong tam giác .............................................................. 8 1.3.5. Tổng các góc trong một tam giác ...................................................... 10 1.3.6. Đồng quy trong tam giác ................................................................... 12 1.3.7. Góc khuyết trong tam giác ................................................................ 15 Chương 2. MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY ............................................ 22 2.1. Tam giác trong mặt phẳng Lobachevsky ............................................. 23 2.1.1. Tổng các góc trong một tam giác ...................................................... 23 2.1.2. Tam giác đồng dạng .......................................................................... 24 2.2. Tứ giác Saccherri ................................................................................. 25 2.3. Đường thẳng song song trong mặt phẳng Lobachevsky ...................... 27 2.4. Tam giác tiệm cận ................................................................................ 36 2.5. Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác trong phẳng Lobachevsky ... 37 Phần 3. KẾT LUẬN .................................................................................... 41 Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................. 42 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Hình học được ra đời như một khoa học thực nghiệm về đo đạc ruộng đất, độ dài các đường, đo diện tích các mảnh đất, đo thể tích các thùng chứa… Tất cả những công trình xuất hiện vào thời kỳ này (từ thế kỷ thứ VI đến thế kỷ thứ III TCN) được tổng kết lại một cách đầy đủ trong mộ t tác phẩm bất hủ của Euclid có tên là “Cơ bản”. Về phương pháp, chúng ta thấy Euclid đã cố gắng xây dựng môn hình học bằng cách thứ c mà ngày nay chúng ta g ọi là phương pháp tiên đề. Sau các định nghĩa, Euclid đã trình bày các định đề và tiên đề là những mệnh đề mà sự đúng đắn của nó đượ c thừa nhận, không chứng minh. Định đề 5 của Euclid đóng vai trò đặc biệt trong lịch sử phát triể n hình học nói riêng và toán học nói chung. Khi nghiên cứu tập “Cơ bản”, các nhà khoa học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay không? Hay nó có thể được chứng minh như là một định lý? Có vẻ như chính Euclid cũng băn khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trì hoãn việc áp dụng định lý đó vào việc chứng minh các định lý. Mãi cho đến định lý thứ 29, khi không thể dừng được, ông mới sử dụng nó vào chứng minh. Thế là các nhà toán học đã cố gắng tìm cách chứng minh định đề 5. Hầu hết các nhà khoa học đều thất bại. Cuối cùng vào ngày 621826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học ngườ i Nga Lobachevsky khi ông trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán Lí trường đại họ c Kazan (Nga). Lobachevsky đã chứng minh rằng không thể chứng minh được định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải là một định lý. Ông đã giữ nguyên các định đề các định đề của Euclid và thay định đề 5 bằng một định đề phủ định và dựa vào đó chứng minh các định lý của hệ thố ng hình học mới. 2 Ngày nay, chúng ta gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng là hình họ c phi Euclid hay là hình học Lobachevsky. Mặt phẳng Lobachevsky là mộ t phần của hình học Lobachevsky. Vì vậy, để tìm hiểu kỹ hơn và sâu hơn về vấn đề này, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Mặt phẳng Lobachevsky”. 1.2. Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm giúp cho người đọc nắm được những kiến thức cơ bản về hình học Lobachevsky.Từ đó, đi sâu vào nghiên cứu một số điểm đặc trưng của hình học Lobachevsky. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hình học Lobachevsky. Phạm vi nghiên cứu: Mặt phẳng Lobachevsky. 1.4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5. Đóng góp của đề tài Khóa luận sau khi hoàn thành có thể là tài liệu tham khả o cho các sinh viên khác nếu họ muốn nghiên cứu về chuyên đề này khi học hình họ c vi phân. 1.6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì nội dung của luận văn gồm có 2 chương: Chương 1: Hình học Trung hòa. Chương 2: Hình học Lobachevsky. 3 Phần 2. NỘI DUNG Chương 1. HÌNH HỌC TRUNG HÒA Hình học Trung hòa là hình học được bắt nguồn từ bốn định đề đầ u tiên của Euclid. Vì chính Euclid đã không sử dụng định đề 5 để chứng minh 28 định lý đầu tiên trong tập “Cơ bản” nên những định lý này có thể được xem như là nền tảng của hình học Trung hòa. Chúng ta sẽ thấy rằng hình họ c Euclid và hình học Lobachevsky đều chứa được hình học Trung hòa, tức là các định lý của hình học Trung hòa đều đúng trong cả hai loại hình họ c trên. Ở đây, chúng ta chỉ nghiên cứu hình học Trung hòa ở mức độ đủ để cung cấp nền tảng cho hình học Lobachevsky. 1.1. Các khái niệm Hình học Trung hòa được hình thành dựa trên 4 định đề: 1. Từ một điểm bất kỳ này đến điểm bất kỳ khác ta có thể vẽ được một đường thẳng. 2. Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía. 3. Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ đượ c một đường tròn. 4. Tất cả các góc vuông đều bằng nhau. Vì vậy, trong hình học Trung hòa, các khái niệm về điểm, đường thẳ ng, góc, tam giác, hai tam giác bằng nhau, tam giác đều, tam giác cân….được định nghĩa như trong hình học Euclid. 1.2. Hai đường thẳng song song Hình học Trung hòa là bắt nguồn từ 4 định đề đầu tiên của Euclid, đúng cả trong hình học Euclid và hình học Lobachevsky nên hai đường thẳ ng song song trong hình học Trung hòa cũng giống như trong hình học Euclid. Định lý 1.2.1. Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba sao cho cặ p góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. 4 Chứng minh: Giả sử hai đường thẳngm vàl phân biệt bị cắt bởi đường thẳngt tương ứng tại các điểmA vàB sao cho cặp góc so le trong bằng nhau giố ng hình vẽ GọiC là giao điểm củal vàm ,'''' C là một điểm trênl sao choB nằm giữaC và'''' C và'''' AC BC ,D là một điểm nằm trênm sao choA nằm giữaD và.C Ta có '''' ABC BAC c g c do cóAB chung,'''' ABC ABC và'''' AC BC , vì vậy'''' ABC BAC điều này có nghĩa là'''' BAC vàBAC bù nhau. Do đó,'''' CAC là góc bẹt và'''' C nằm trên đường thẳngm . Như vậy, đường thẳngm vàl giao nhau tại hai điểm phân biệt (C và'''' C ), điều này mâu thuẫn với tiên đề “Bất kỳ hai điểm phân biệt nào cũng thuộ c một và chỉ một đường thẳng” nênm vàl phải song song với nhau. Vậy, nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba sao cho mộ t cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau. Định lý này có hai hệ quảl t m CB A C'''' D 5 Hệ quả 1.2.1. Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳ ng thì chúng song song. Hệ quả 1.2.2. Cho đường thẳngl và một điểmP không nằm trênl , khi đó tồn tạ i ít nhất một đường thẳng đi quaP và song song vớil . Hai hệ quả này ta không chứng minh. 1.3. Tam giác Tương tự như hai đường thẳng song song thì đối vớ i tam giác trong hình học Trung hòa cũng giống như trong hình học Euclid. 1.3.1. Góc ngoài của tam giác Định lý 1.3.1.1. Góc ngoài của một tam giác bất kỳ lớn hơn góc trong không kề với nó. Chứng minh: Cho tam giácABC vàD nằm trên tiaAB sao choB nằm giữaA vàD , ta cóCBD là góc ngoài tam giác. Giả sử rằngACB CBD . Khi đó tồn tại tiaCE nằm giữa tiaCA và tiaCB sao cho các gócBCE vàCBD bằng nhau.A C B E D 6 Ta có:CB cắtCE vàBD tại hai điểm phân biệt mà lại cóBCE CBD do đóCE vàBD song song với nhau (theo định lý 1.2.1). Lại có: TiaCE nằm giữa tiaCA và tiaCB nên nó phải cắt đoạnAB mà điều này mâu thuẫn với điều ta vừa chứng minh. Như vậy,DBC BCA . Đối với gócABC ta làm tương tự. Như vậy, góc ngoài của một tam giác bất kỳ lớn hơn góc trong không kề với nó. Đặc biệt, định lý này là chìa khóa để chứng minh trường hợp bằng nhau “góc - cạnh - góc” của hai tam giác. 1.3.2. Trường hợp bằng nhau của tam giác Ta đã biết rằng hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các c ạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Đối với hai tam giác bằng nhau thì có ba trường hợp, đó là: cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc. Trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta thừa nhận không chứng minh dựa theo hệ thống tiên đề của Euclid, ta chỉ chứng minh cho trường hợp góc - cạ nh - góc. Định lý 1.3.2.1. Cho hai tam giácABC và'''' '''' '''' A B C có'''' '''' '''' '''' '''' , ,AB A B ABC A B C '''' '''' '''' ,BAC B AC khi đó hai tam giác này bằng nhau. Chứng minh: 7 Giả sử có hai tam giácABC và'''' '''' '''' A B C như hình vẽ. Nếu cạnh'''' '''' BC B C thìABC và'''' '''' '''' A B C bằng nhau theo trườ ng hợp “cạnh - góc - cạnh”. Nếu cạnh'''' '''' BC B C thì tồn tại duy nhất một điểmD trên cạnh'''' '''' B C sao cho'''' B D BC . Do đó, hai tam giácABC và'''' '''' '''' A B D bằng nhau. Từ đó ta có:'''' '''' '''' '''' '''' A DB ACB AC B ( điều này mâu thuẫn với đị nh lý 1.3.1.1: Góc ngoài của một tam giác bất kỳ lớn hơn không kề với nó). Như vậy'''' '''' BC B C . Vậy, nếu hai tam giácABC và'''' '''' '''' A B C có'''' '''' '''' '''' '''' , ,AB A B ABC A B C '''' '''' '''' BAC B AC thì hai tam giác này bằng nhau. 1.3.3. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác bất kỳ Định lý 1.3.3.1. Trong một tam giác bất kỳ, góc lớn nhất nằm đối diện với cạnh lớn nhất. Chứng minh: Cho tam giácABC .A C B B'''' C'''' A'''' D 8 Giả sử rằngABC là góc lớn nhất vàAB là cạnh lớn nhất của tam giác. Khi đó, tồn tại duy nhất một điểmD trên cạnhAB sao choAD AC . Suy raACD cân tạiA vàACD ADC . Lại có, theo định lý 1.3.1.1,ADC ABC hayACD ABC , màACB ACD DCB suy raACB ABC . HayACB là góc lớn nhất và nằm đối diện với cạnhAB là cạnh lớ n nhất củaABC . Theo đó ta đã chứng minh được là nếu trong một tam giác bất kỳ thì góc lớn nhất nằm đối diện với cạnh lớn nhất. 1.3.4. Bất đẳng thức trong tam giác Định lý 1.3.4.1. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Chứng minh: ChoABC . Ta chứng minh:BC AB AC . Trường hợp hai cạnh còn lại ta sẽ chứng minh tương tự.A B C D 9 Trên tia đối của tiaAB , ta lấy điểmD sao cho.AD AC Khi đó,ACD cân tại.A TrongBCD , do tiaCA nằm giữa tiaCB và tiaCD nên ta cóBCD DCA . (1) Mặt khácACD ADC BDC (doACD cân tạiA ). (2) Từ (1) và (2) ta cóBCD BDC suy raBD BC (theo định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện). MàBD BA AD hayBD BA AC (doAD AC ). Từ đó ta cóBC AB AC (đpcm). Như vậy, trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Hệ quả 1.3.4.1. Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. Hệ quả này ta chấp nhận và không chứng minh. Nhận xét. Nếu đồng thời xét cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của mộ t tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó được phát biểu rằng: trong một tam giác, độB C A D 10 dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài củ a hai cạnh còn lại. 1.3.5. Tổng các góc trong một tam giác Định lý 1.3.5.1. Tổng hai góc trong của một tam giác nhỏ hơn0 180 . Chứng minh: ChoABC . Trường hợp0 180 .ABC BAC Ta dựng đường thẳngAE nằm trong gócCAB sao cho0 180BAE ABC . Như vậy,BAD ABC . Suy ra theo định lý 1.2.1 thìAE song song vớiBC (vô lý). Trường hợp0 180ABC BAC . Ở trường hợp này thì ta cóAC song song vớiBC (vô lý). Từ đó ta có được0 180ABC BAC . Như vậy, tổng hai góc trong một tam giác nhỏ hơn0 180 .C B A E D 11 Các định lý trên trong hình học Trung hòa giống với các đị nh lý, tính chất mà ta đã biết trong hình học Euclid. Sau đây, ta thấy một điể m khác giữa hình học Trung hòa và hình học Euclid: nếu trong hình họ c Euclid, tổng các góc trong một tam giác bằng0 180 thì trong hình họ c Trung hòa, ta có kết quả sau Định lý 1.3.5.2. Tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng0 180 . Chứng minh: ChoABC , gọiD là trung điểm củaBC , lấyE nằm trênAD sao choD là trung điểm củaAE . Ta có:ABD ECD và hai tam giácABC vàAEC có tổng số đo các góc bằng nhau. VìBAC BAD EAC màBAD AEC ( doABD ECD ) nênBAC AEC EAC . Như vậy, hoặcAEC hoặcEAC phải nhỏ hơn 1 2 BAC . Giả sử tổng số đo các góc trongABC lớn hơn0 180 hay là bằng 0 180 0p p .D E A C B 12 Theo như cách dựng hình ở trên, ta có thể dựng được một tam giác vớ i tổng số đo các góc bằng tổng số đo các góc trongABC và một góc nhỏ hơn 1 2 BAC . Tiếp tục thực hiện cách dựng hình như trên, ta có thể dựng được mộ t tam giác có tổng số đo các góc bằng tổng số đo các góc trongABC và có một góc nhỏ tùy ý, nhỏ hơn.p Theo định lý 1.3.4.1 thì tổng số đo củ a các góc trongABC nhỏ hơn0 180 p . Điều này mâu thuẫn với giả sử nên tổng số đo của các góc trong một tam giác phải nhỏ hơn hoặc bằng0 180 . Vậy tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng0 180 . Nhận xét. Ở định lý này có 2 hệ quả ta chấp nhận mà không cần chứng minh 1. Tổng số đo hai góc của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng số đo củ a góc ngoài không kề với chúng. 2. Tổng các góc trong một tứ giác có số đo nhỏ hơn hoặc bằng0 360 . Như đã nói ở trên thì trong hình học Euclid, tổng các góc trong mộ t tam giác có số đo bằng0 180 và để chứng minh được tính chất này ta phả i sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song. 1.3.6. Đồng quy trong tam giác Đồng quy được định nghĩa là cùng gặp nhau tại một điểm. Từ đó ta có các định lý Định lý 1.3.6.1. Ba đường trung trực của một tam giác cắt nhau tại một điểm (đồ ng quy tại một điểm) và điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. Chứng minh: ChoABC và gọiO là giao điểm của đường trung trực đoạnAB và đoạn.AC 13 Gọi,P N lần lượt là giao điểm của đường trung trực đoạn,AB AC và đoạn, .AB AC VìO nằm trên đường trung trực của cạnhAB vàAC nên ta cóOA OB OA OC (do định lý đường trung trực của một đoạn thẳng: điể m nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạ n thẳng đó). Từ đó ta được.OB OC HayO nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng.BC Suy ra ba đường trung trực của tam giácABC cùng đi qua một điểm là điểmO và điểmO chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của.ABC Như vậy ta đã chứng minh được rằng ba đường trung trực của mộ t tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.NP O C A B 14 Định lý 1.3.6.2. Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm (đồ ng quy tại một điểm) và điểm đó là tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác. Chứng minh: ChoABC và gọiI là giao điểm của hai đường phân giácBE và.CF Gọi, ,L K H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từI lên các đoạn,AB AC và.BC Theo định lý thuận của tính chất đường phân giác của một góc thì ta có: điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì các đều hai cạnh của góc đó nên: VìI thuộcBE nên.IL IHI thuộcCF nên.IK IH Khi đó ta cóIL IK hayI thuộc đường phân giác của góc.A Suy ra ba đường phân giác củaABC đồng quy tại điểmI vàI chính là tâm đường tròn nội tiếp của.ABCH KL I F E A B C 15 Vậy, ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm đó là tâm của đường tròn nội tiếp củ a tam giác. 1.3.7. Góc khuyết trong tam giác Định nghĩa 1.3.7.1. Góc khuyết của một tam giác bằng0 180 trừ đi tổng số đo các góc trong tam giác đó. Trong hình học Euclid, góc khuyết của mọi tam giác bằng0. Ở đây, ta có hai tính chất của góc khuyết Tính chất 1.3.7.1. 1. Trong tam giácABC , với một điểmD bất kỳ trên cạnhAB , góc khuyết của tam giácABC bằng tổng các góc khuyết của tam giácACD và tam giácBCD . Chứng minh: Cho tam giácABC vàD là một điểm nằm trên cạnhAB . Gọi, , lần lượt là số đo góc khuyết của các tam giác,ACD BCD vàABC . Khi đó ta có 0 180 A ADC ACD B C A D 16 0 180 B BDC BCD 0 180 A ABC ACB Lại có 0 0 180 180A ADC ACD B BDC BCD Mà0 180ADC BDC ACD BCD ACB Nên 0 180 A ABC ACB . Suy ra, trong tam giácABC , với một điểmD bất kỳ trên cạnhAB , góc khuyết của tam giácABC bằng tổng các góc khuyết của tam giácACD và tam giácBCD . Như vậy, nếu tổng các góc trong mọi tam giác vuông là0 180 thì tổ ng các góc của mọi tam giác là0 180 . 2. Nếu tồn tại một tam giác có tổng các góc là0 180 thì mọ i tam giác có tổng các góc là0 180 . Chứng minh: Giả sử ta có một tam giácABC có tổng các góc là0 180 . Vì một tam giác bất kỳ có ít nhất là hai góc nhọn nên giả sử;A B là hai góc nhọn của tam giác này. GọiD là chân đường vuông góc hạ từC xuống đường thẳngAB , ta thu đượcD nằm giữaA vàB . Thật vậy nếu điều này không xảy ra, ta giả sửA nằm giữaD vàB . 17 Khi đó, theo định lý 1.3.1.1 ( định lý về góc ngoài của mộ t tam giác bất kỳ) thì ta có0 90BAC BDC (điều này mâu thuẫn với giả thiếtBAC là góc nhọn). Như vậy,D nằm giữaA vàB . Vì tam giácABC có thể chia làm hai tam giác vuông với số đo các góc khuyết đều bằng0 . Xét tam giác vuôngACD với tổng số đo các góc là0 180 , từ tam giác này ta có thể tạo được một hình chữ nhật (tứ...
NỘI DUNG
Hình học Trung hòa là hình học được bắt nguồn từ bốn định đề đầu tiên của Euclid Vì chính Euclid đã không sử dụng định đề 5 để chứng minh 28 định lý đầu tiên trong tập “Cơ bản” nên những định lý này có thể được xem như là nền tảng của hình học Trung hòa Chúng ta sẽ thấy rằng hình học
Euclid và hình học Lobachevsky đều chứa được hình học Trung hòa, tức là các định lý của hình học Trung hòa đều đúng trong cả hai loại hình học trên Ở đây, chúng ta chỉ nghiên cứu hình học Trung hòa ở mức độ đủ để cung cấp nền tảng cho hình học Lobachevsky
Hình học Trung hòa được hình thành dựa trên 4 định đề:
1 Từ một điểm bất kỳ này đến điểm bất kỳ khác ta có thể vẽ được một đường thẳng
2 Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía
3 Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn
4 Tất cả các góc vuông đều bằng nhau
Vì vậy, trong hình học Trung hòa, các khái niệm về điểm, đường thẳng, góc, tam giác, hai tam giác bằng nhau, tam giác đều, tam giác cân….được định nghĩa như trong hình học Euclid
1.2 Hai đường thẳng song song
Hình học Trung hòa là bắt nguồn từ 4 định đề đầu tiên của Euclid, đúng cả trong hình học Euclid và hình học Lobachevsky nên hai đường thẳng song song trong hình học Trung hòa cũng giống như trong hình học Euclid Định lý 1.2.1
Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba sao cho cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
HÌNH HỌC TRUNG HÒA
Các khái niệm
Hình học Trung hòa được hình thành dựa trên 4 định đề:
1 Từ một điểm bất kỳ này đến điểm bất kỳ khác ta có thể vẽ được một đường thẳng
2 Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía
3 Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn
4 Tất cả các góc vuông đều bằng nhau
Vì vậy, trong hình học Trung hòa, các khái niệm về điểm, đường thẳng, góc, tam giác, hai tam giác bằng nhau, tam giác đều, tam giác cân….được định nghĩa như trong hình học Euclid.
Hai đường thẳng song song
Hình học Trung hòa là bắt nguồn từ 4 định đề đầu tiên của Euclid, đúng cả trong hình học Euclid và hình học Lobachevsky nên hai đường thẳng song song trong hình học Trung hòa cũng giống như trong hình học Euclid Định lý 1.2.1
Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba sao cho cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song
Trong trường hợp hai đường thẳng phân biệt m và l bị cắt bởi đường thẳng t tương ứng tại các điểm A và B, điều kiện để xác định hai đường thẳng m và l song song là khi một cặp góc so le trong có giá trị bằng nhau Ví dụ điển hình là hình vẽ minh họa, trong đó cặp góc so le trong ∠mAB và ∠lBA có giá trị bằng nhau, biểu thị cho tính song song của hai đường thẳng m và l.
Gọi C là giao điểm của l và m , C ' là một điểm trên l sao cho B nằm giữa
C và C ' và AC BC ' , D là một điểm nằm trên m sao cho A nằm giữa D và C
Ta có ABC BAC c ' g c do có AB chung, ABC ABC ' và
AC BC ', vì vậy ABC BAC ' điều này có nghĩa là BAC ' và BAC bù nhau
Do đó, CAC ' là góc bẹt và C ' nằm trên đường thẳng m
Như vậy, đường thẳng m và l giao nhau tại hai điểm phân biệt ( C và C ' ), điều này mâu thuẫn với tiên đề “Bất kỳ hai điểm phân biệt nào cũng thuộc một và chỉ một đường thẳng” nên m và l phải song song với nhau
Nếu hai đường thẳng cắt nhau bởi một đường thẳng thứ ba và tạo thành một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau Định lý này có hai hệ quả là:
Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song
Cho đường thẳng l và một điểm P không nằm trên l , khi đó tồn tại ít nhất một đường thẳng đi qua P và song song với l
Hai hệ quả này ta không chứng minh.
Tam giác
Tương tự như hai đường thẳng song song thì đối với tam giác trong hình học Trung hòa cũng giống như trong hình học Euclid
1.3.1 Góc ngoài của tam giác Định lý 1.3.1.1
Góc ngoài của một tam giác bất kỳ lớn hơn góc trong không kề với nó
Cho tam giác ABC và D nằm trên tia AB sao cho B nằm giữa A và D , ta có CBD là góc ngoài tam giác
Giả sử rằng ACB CBD Khi đó tồn tại tia CE nằm giữa tia CA và tia
CB sao cho các góc BCE và CBD bằng nhau
Ta có: CB cắt CE và BD tại hai điểm phân biệt mà lại có
BCE CBD do đó CE và BD song song với nhau (theo định lý 1.2.1) Lại có: Tia CE nằm giữa tia CA và tia CB nên nó phải cắt đoạn AB mà điều này mâu thuẫn với điều ta vừa chứng minh
Như vậy, DBC BCA Đối với góc ABC ta làm tương tự
Như vậy, góc ngoài của một tam giác bất kỳ lớn hơn góc trong không kề với nó Đặc biệt, định lý này là chìa khóa để chứng minh trường hợp bằng nhau “góc - cạnh - góc” của hai tam giác
1.3.2 Trường hợp bằng nhau của tam giác
Ta đã biết rằng hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau Đối với hai tam giác bằng nhau thì có ba trường hợp, đó là: cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc
Trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta thừa nhận không chứng minh dựa theo hệ thống tiên đề của Euclid, ta chỉ chứng minh cho trường hợp góc - cạnh - góc Định lý 1.3.2.1
Cho hai tam giác ABC và A B C ' ' ' có AB A B ABC ' ' , A B C ' ' ' ,
BAC B AC khi đó hai tam giác này bằng nhau
Giả sử có hai tam giác ABC và A B C ' ' ' như hình vẽ
Nếu cạnh BC B C ' ' thì ABC và A B C ' ' ' bằng nhau theo trường hợp “cạnh - góc - cạnh”
Nếu cạnh BC B C ' ' thì tồn tại duy nhất một điểm D trên cạnh B C ' ' sao cho B D ' BC Do đó, hai tam giác ABC và A B D ' ' ' bằng nhau
Từ đó ta có: A DB ' ' ACB AC B ' ' ' ( điều này mâu thuẫn với định lý 1.3.1.1: Góc ngoài của một tam giác bất kỳ lớn hơn không kề với nó)
Vậy, nếu hai tam giác ABC và A B C ' ' ' có AB A B ABC ' ' , A B C ' ' ' ,
BAC B AC thì hai tam giác này bằng nhau
1.3.3 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác bất kỳ Định lý 1.3.3.1
Trong một tam giác bất kỳ, góc lớn nhất nằm đối diện với cạnh lớn nhất
Giả sử rằng ABC là góc lớn nhất và AB là cạnh lớn nhất của tam giác Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm D trên cạnh AB sao cho AD AC Suy ra ACD cân tại A và ACD ADC
Lại có, theo định lý 1.3.1.1, ADC ABC hay ACD ABC , mà
ACB ACD DCB suy ra ACB ABC
Hay ACB là góc lớn nhất và nằm đối diện với cạnh AB là cạnh lớn nhất của ABC
Theo đó ta đã chứng minh được là nếu trong một tam giác bất kỳ thì góc lớn nhất nằm đối diện với cạnh lớn nhất
1.3.4 Bất đẳng thức trong tam giác Định lý 1.3.4.1
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại
Ta chứng minh: BC AB AC Trường hợp hai cạnh còn lại ta sẽ chứng minh tương tự
Trên tia đối của tia AB , ta lấy điểm D sao cho AD AC Khi đó,
Trong BCD , do tia CA nằm giữa tia CB và tia CD nên ta có
Mặt khác ACD ADC BDC (do ACD cân tại A ) (2)
Từ (1) và (2) ta có BCD BDC suy ra BD BC (theo định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Mà BD BA AD hay BD BA AC (do AD AC )
Từ đó ta có BC AB AC (đpcm)
Như vậy, trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
Hệ quả này ta chấp nhận và không chứng minh
Trong một tam giác, độ dài cạnh luôn nằm giữa hiệu và tổng độ dài của hai cạnh còn lại.
10 dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại
1.3.5 Tổng các góc trong một tam giác Định lý 1.3.5.1
Tổng hai góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180 0
Ta dựng đường thẳng AE nằm trong góc CAB sao cho
Như vậy, BAD ABC Suy ra theo định lý 1.2.1 thì AE song song với
Trường hợp ABC BAC 180 0 Ở trường hợp này thì ta có AC song song với BC (vô lý)
Từ đó ta có được ABC BAC 180 0
Như vậy, tổng hai góc trong một tam giác nhỏ hơn 180 0
Các định lý trên trong hình học Trung hòa giống với các định lý, tính chất mà ta đã biết trong hình học Euclid Sau đây, ta thấy một điểm khác giữa hình học Trung hòa và hình học Euclid: nếu trong hình học Euclid, tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0 thì trong hình học Trung hòa, ta có kết quả sau Định lý 1.3.5.2
Tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng 180 0
Cho ABC , gọi D là trung điểm của BC , lấy E nằm trên AD sao cho
D là trung điểm của AE
Ta có: ABD ECD và hai tam giác ABC và AEC có tổng số đo các góc bằng nhau
Vì BAC BAD EAC mà BAD AEC ( do ABD ECD ) nên
BAC AEC EAC Như vậy, hoặc AEC hoặc EAC phải nhỏ hơn 1
Giả sử tổng số đo các góc trong ABC lớn hơn 180 0 hay là bằng
Theo như cách dựng hình ở trên, ta có thể dựng được một tam giác với tổng số đo các góc bằng tổng số đo các góc trong ABC và một góc nhỏ hơn 1
Tiếp tục thực hiện cách dựng hình như trên, ta có thể dựng được một tam giác có tổng số đo các góc bằng tổng số đo các góc trong ABC và có một góc nhỏ tùy ý, nhỏ hơn p Theo định lý 1.3.4.1 thì tổng số đo của các góc trong ABC nhỏ hơn 180 0 p Điều này mâu thuẫn với giả sử nên tổng số đo của các góc trong một tam giác phải nhỏ hơn hoặc bằng 180 0 Vậy tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng 180 0
Nhận xét Ở định lý này có 2 hệ quả ta chấp nhận mà không cần chứng minh
1 Tổng số đo hai góc của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng số đo của góc ngoài không kề với chúng
2 Tổng các góc trong một tứ giác có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 360 0 Như đã nói ở trên thì trong hình học Euclid, tổng các góc trong một tam giác có số đo bằng 180 0 và để chứng minh được tính chất này ta phải sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song
1.3.6 Đồng quy trong tam giác Đồng quy được định nghĩa là cùng gặp nhau tại một điểm Từ đó ta có các định lý Định lý 1.3.6.1
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đây là điểm đồng quy của ba đường trung trực và cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cho ABC và gọi O là giao điểm của đường trung trực đoạn AB và đoạn AC
Gọi P N , lần lượt là giao điểm của đường trung trực đoạn AB AC , và đoạn AB AC ,
Vì O nằm trên đường trung trực của cạnh AB và AC nên ta có OA OB
(do định lý đường trung trực của một đoạn thẳng: điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó)
Từ đó ta được OB OC
Hay O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
Suy ra ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm là điểm O và điểm O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC
Như vậy ta đã chứng minh được rằng ba đường trung trực của một tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó
Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm đó là tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác
Cho ABC và gọi I là giao điểm của hai đường phân giác BE và CF
Gọi L K H , , lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I lên các đoạn ,
Theo định lý thuận của tính chất đường phân giác của một góc thì ta có: điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì các đều hai cạnh của góc đó nên:
Vì I thuộc BE nên IL IH
I thuộc CF nên IK IH
Khi đó ta có IL IK hay I thuộc đường phân giác của góc A
Suy ra ba đường phân giác của ABC đồng quy tại điểm I và I chính là tâm đường tròn nội tiếp của ABC
Vậy, ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm đó là tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác
1.3.7 Góc khuyết trong tam giác Định nghĩa 1.3.7.1
Góc khuyết của một tam giác bằng 180 0 trừ đi tổng số đo các góc trong tam giác đó
Trong hình học Euclid, góc khuyết của mọi tam giác bằng 0 Ở đây, ta có hai tính chất của góc khuyết
MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY
Tam giác trong mặt phẳng Lobachevsky
Trong mặt phẳng Euclid, tổng các góc trong một tam giác là 180 0 ; trong mặt phẳng Trung hòa như đã trình bày ở trên thì tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng 180 0 , như vậy trong mặt phẳng Lobachevsky thì tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180 0
2.1.1 Tổng các góc trong một tam giác Định lý 2.1.1.1
Trong một tam giác, tổng các góc nhỏ hơn 180 0
Cho đường thẳng l và điểm P không nằm trên l Gọi Q là giao điểm của l và đường thẳng đi qua P vuông góc với l Vẽ thêm đường thẳng m vuông góc với PQ tại P.
Gọi n là đường thẳng khác m cũng đi qua P và song song với l Trên m ta lấy điểm X , trên n ta lấy điểm A sao cho X và A nằm cùng phía đối với đường thẳng PQ l m n Q
24 Đặt XPA p 0, khi đó QPA 90 0 p Như vậy, với mọi điểm B nằm trên l ta có QPB QPA
Ta chọn điểm B ' trên đường thẳng l sao cho QB ' PQ Lúc đó, tam giác QB P ' là tam giác vuông cân và QB P ' lớn nhất là 45 0 Nếu ta chọn B '' nằm về phía bên phải điểm B ' trên đường thẳng l sao cho B B ' '' PB ' thì tam giác PB B ' '' là tam giác cân với góc ở đỉnh nhỏ nhất là 135 , 0 nên góc
PB B Tiếp tục quá trình này ta sẽ được điểm B sao cho PBQ p nên tổng các góc của tam giác PBQ nhỏ hơn 180 0
Theo tính chất 2 của góc khuyết ta suy ra trong mặt phẳng Lobachevsky, mọi tam giác đều có tổng các góc nhỏ hơn 180 0
Tất cả các tứ giác đều có tổng các góc nhỏ hơn 360 0
Hệ quả này ta không chứng minh
Như ta đã biết, trong hình học Euclid thì hai tam giác có thể đồng dạng hoặc bằng nhau, nếu hai tam giác mà đồng dạng với nhau thì ta sẽ suy ra được các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau
2.1.2 Tam giác đồng dạng Định lý 2.1.2.1
Các tam giác mà đồng dạng với nhau ( tam giác có các góc tương ứng bằng nhau ) thì bằng nhau
Cho 2 tam giác đồng dạng ABC và A B C ' ' '
Giả sử hai tam giác vuông không bằng nhau thì nghĩa là một trong hai tam giác đó phải có ít nhất một cạnh dài hơn cạnh tương ứng của tam giác kia.
Ta giả sử AB A B AC ' ' , AC ' '
Khi đó, ta có thể tìm trên AB và AC hai điểm D và E sao cho
AD A B AE AC ; như vậy ta được ADE A B C ' ' '
Suy ra ADE A B C ' ' ' ABC và AED AC B ' ' ' ACB Do đó, tứ giác
DECB có tổng các góc là 360 0 (điều này mâu thuẫn với hệ quả 2.1.1.1) nên ABC A B C ' ' '
Vậy, các tam giác mà đồng dạng với nhau thì bằng nhau.
Tứ giác Saccherri
Một tứ giác với góc ở đáy vuông và hai cạnh bên bằng nhau được gọi là tứ giác Saccherri Cạnh đối diện với đáy được gọi là đỉnh tứ giác và các góc tạo bởi cạnh bên và đỉnh gọi là góc ở đỉnh
Như ta thấy ở trên thì tứ giác ABCD là tứ giác Saccherri với đỉnh là
AB , đáy là CD và 2 cạnh bên là AD BC , Điều chú ý ở đây là các góc ở đỉnh của tứ giác Saccherri bằng nhau và nhọn, đoạn nối trung điểm của đáy và đỉnh vuông góc với cả hai
Trên mặt phẳng Euclid, tứ giác Saccherri chính là hình chữ nhật, nhưng trong mặt phẳng Lobachevsky thì không tồn tại hình chữ nhật Định lý 2.2.1
Cho tứ giác ABCD vuông tại C và D , khi đó AD BC khi và chỉ khi
Cho tứ giác ABCD như hình vẽ:
Ta có AD BC nên tồn tại duy nhất một điểm E nằm trên cạnh AD sao cho DE BC
Khi đó, ta có BCDE là tứ giác Saccherri ( vì có
C D DEBC) nên CBE DEB 90 0 (do hai góc ở đỉnh của tứ giác Saccherri thì bằng nhau và là góc nhọn)
Lại có: DEB BAD (do DEB là góc ngoài của tam giác ABE và định lý 1.3.1.1)
Từ đó ta có được: ABC BAD vì ABC ABE EBC và CBE BAD
Vậy, cho tứ giác ABCD vuông tại C và D , khi đó AD BC khi và chỉ khi ABC BAD
Trong tứ giác Saccheri, xét đoạn thẳng nối trung điểm của đỉnh và trung điểm của đáy được gọi là đoạn trung bình Đoạn trung bình này có tính chất đặc biệt là ngắn hơn các cạnh của tứ giác và vuông góc với cả đỉnh và đáy Nhờ tính chất này, đoạn trung bình trở thành một yếu tố quan trọng trong việc phân loại và nghiên cứu các loại tứ giác Saccheri khác nhau.
Đường thẳng song song trong mặt phẳng Lobachevsky
Trong mặt phẳng Euclid, hai đường thẳng song song được mô tả như hai đường thẳng cách đều nhau tại mọi điểm, tuy nhiên tính chất này không còn đúng trong phẳng Lobachevsky Định lý 2.3.1
Nếu l và l ' là hai đường thẳng song song phân biệt thì tập hợp các điểm nằm trên l cách đều l ' có nhiều nhất hai điểm
Cho hai đường thẳng song song l và l', lấy các điểm A, B, C phân biệt nằm trên l và cách đều l' Gọi A', B', C' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên l' Như vậy, AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.
Như vậy ABB A ACC A BCC B ' ' , ' ' , ' ' đều là các tứ giác Saccherri nên các góc ở đỉnh của chúng cũng bằng nhau và là các góc nhọn l' l
Khi đó ABB ' CBB ' mà ABB ' CBB ' 180 0 nên ABB ' CBB ' 90 0 (vô lý)
Vậy tập hợp các điểm nằm trên l cách đều l ' chứa không quá hai điểm
Suy ra, nếu l và l ' là hai đường thẳng song song phân biệt thì tập hợp các điểm nằm trên l cách đều l ' có nhiều nhất hai điểm
Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa có gì để đảm bảo rằng tập hợp các điểm trên l cách đều l ' có nhiều hơn một phần tử Nếu như tập này có nhiều hơn một điểm thì ta sẽ có được Định lý 2.3.2
Nếu l và l ' là hai đường thẳng song song phân biệt mà tồn tại hai điểm
A và B trên l cách đều đường thẳng l ' thì l và l ' có một đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng ngắn nhất nối l và l '
Cho A và B là hai điểm trên l cách đều l ' , A ' và B ' là chân đường vuông góc hạ từ A B , xuống đường thẳng l '
Từ hệ quả 2.2.1 ta có được đoạn vuông góc chung MM ' Để chỉ ra đoạn vuông góc chung này là khoảng cách ngắn nhất giữa l và l ' , ta chọn điểm C trên đường thẳng l và lấy C ' là chân đường vuông góc hạ từ C xuống l ' l' l
Khi đó, theo định lý 2.2.1 ta có CC ' MM '
Như vậy, nếu l và l ' là hai đường thẳng song song phân biệt mà tồn tại hai điểm A và B trên l cách đều đường thẳng l ' thì l và l ' có một đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng ngắn nhất nối l và l ' Định lý 2.3.3
Nếu đường thẳng l và l ' có một đoạn vuông góc chung MM ' với
M l M l thì l và l ' là hai đường thẳng song song Trong đó, MM ' là đoạn vuông góc chung duy nhất của l và l ' và nếu A B , nằm trên l sao cho
M là trung điểm đoạn AB thì A B , cách đều đường thẳng l '
Theo định lý 1.2.1 ta có l và l ' song song và do trong mặt phẳng Lobachevsky không tồn tại hình chữ nhật nên MM ' là đoạn vuông góc chung duy nhất
Ta có hai tam giác AMM ' và BMM ' bằng nhau nên ta suy ra hai tam giác AA M ' ' và BB M ' ' bằng nhau Do đó AA ' BB '
Vậy, nếu đường thẳng l và l ' có một đoạn vuông góc chung MM ' với
M l M l thì l và l ' là hai đường thẳng song song Trong đó, MM ' là đoạn vuông góc chung duy nhất của l và l ' và nếu A B , nằm trên l sao cho
M là trung điểm đoạn AB thì A B , cách đều đường l ' Định lý 2.3.4 l' l
Cho đường thẳng l và l ' có đoạn vuông góc chung MM ' , nếu điểm A và B nằm trên l sao cho MB MA thì điểm A gần đường thẳng l ' hơn điểm B
Trong tứ giác ABB'A', góc MAA' và góc ABB' là góc nhọn Điều này chứng tỏ góc AA'B' là góc bù, có số đo lớn hơn góc ABB' Từ đó dẫn đến kết luận rằng BB' dài hơn AA'.
Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm C nằm trên đoạn MB sao cho M là trung điểm của đoạn AC Gọi C ' là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng l ' Đối với tứ giác CBB C ' ' ta có CC ' BB ' còn đối với tứ giác
ACC A ta có CC ' ' nên AA ' BB '
Từ chứng minh trên ta có được, cho đường thẳng l và l ' có đoạn vuông góc chung MM ' , nếu điểm A và B nằm trên l sao cho MB MA thì điểm A gần đường thẳng l ' hơn điểm B Định nghĩa 2.3.1
Hai đường thẳng có một đoạn vuông góc chung được gọi là song song phân kỳ Định lý 2.3.5
Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba sao cho các góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song phân kỳ
Theo định lý 1.2.1 thì nếu hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba sao cho các góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau
Ta cần chứng minh chúng song song phân kỳ, tức là chúng có đoạn vuông góc chung
Kết hợp định lý 2.3.1 và 2.3.2 ta có được điều cần chứng minh
Vậy, nếu hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba sao cho các góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song phân kỳ
Như ta đã được biết thì trong mặt phẳng Euclid, khi hai đường thẳng l và l ' có một đoạn vuông góc chung PQ , khi đó nếu quay đường thẳng l quanh điểm P thì không bao giờ ta được một đường thẳng song song với
' l Tuy nhiên, trong mặt phẳng Lobachevsky thì ta lại có Định lý 2.3.6
Cho một đường thẳng l và một điểm P không nằm trên l Gọi Q là chân đường vuông góc hạ từ P đến l , khi đó tồn tại duy nhất hai tia PX và
PX ' nằm ở hai phía đối diện của PQ và không cắt l Tia PY bất kỳ cắt l khi và chỉ khi PY nằm giữa hai tia PX và PX ' đồng thời ta có
Cho đường thẳng l và một điểm P không nằm trên l , gọi Q là chân đường vuông góc hạ từ P đến l và m là đường thẳng vuông góc với PQ tại P , hai đường thẳng l và m song song phân kỳ
Lấy một điểm S trên m ở phía bên trái P Xét đoạn SQ l m T
Gọi là tập hợp các điểm T trên đoạn thẳng SQ sao cho tia PT cắt l và ' là tập hợp các điểm X trên đoạn thẳng SQ sao cho tia PX không cắt l
Ta thấy rằng nếu T nằm trên đoạn thẳng SQ là một phần tử của tập thì cả đoạn TQ nằm trong Mặt khác, S là một phần tử của ' nên
vì vậy tồn tại một điểm X trên SQ sao cho tất cả các điểm nằm giữa X và Q thuộc tập và các điểm nằm giữa X và S thuộc tập ' Giả sử, tia PX cắt l tại A thì ta có thể chọn một điểm B trên l sao cho A nằm giữa B và Q , như vậy tia PB cắt l và đi qua điểm nằm giữa X và S Điều này mâu thuẫn với tính chất của điểm X trên tia PX không thể cắt l
Và ta cũng có thể tìm được điểm X ' phía bên phải đoạn PQ tương tự cách tìm điểm X Điều còn lại là cần chứng minh QPX QPX '
Tam giác tiệm cận
Một tam giác có một đỉnh hoặc nhiều hơn tại vô cực được gọi là tam giác tiệm cận
Tam giác tiệm cận có một đỉnh, hai đỉnh, ba đỉnh ở vô cực tương ứng được gọi là tam giác tiệm cận đơn, tiệm cận kép và tiệm cận bội ba m l n R
Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác trong phẳng Lobachevsky
Nếu trong hình học Euclid, mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp và tâm của đường tròn này là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh thì trong mặt phẳng Lobachevsky, ba đường trung trực của các cạnh trong một tam giác có thể không giao nhau Chính vì vậy, ta có Định lý 2.5.1
Trong một tam giác bất kỳ, các đường trung trực của ba cạnh hoặc là giao nhau tại cùng một điểm, hoặc là song song giới hạn với nhau hoặc là song song phân kỳ
Giả sử ta có ABC với l và m là các đường trung trực của đoạn AB và
Trường hợp 1: l và m cắt nhau
Giả sử l và m cắt nhau tại O Ta cần chỉ ra rằng đường trung trực của AC cũng đi qua O
Thật vậy, vì các đoạn OA OB OC , , bằng nhau nên tam giác OAC cân tại O , do đó đường trung trực của AC đi qua O
Trường hợp 2: l và m song song phân kỳ với đường vuông góc chung là p
Giả sử l và m song song phân kỳ với đường vuông góc chung là p Ta cần chỉ ra rằng đường trung trực của AC cũng vuông góc với p m l
Hạ các đường cao AA , ' BB CC ' , ' từ A B C , , lên p , đường thẳng l cắt
AB và p lần lượt tại L L , ; ' đường thẳng m cắt BC và p lần lượt tại M M , '
Ta có: ALL ' BLL ' nên AL ' BL ALL ' , ' BLL ' suy ra AL A ' ' BLB ' ' và
Do đó ta có: AA ' BB ' , tương tự ta cũng có BB ' CC '
Do đó, tứ giác ACCA' là tứ giác Saccheri và đoạn nối trung điểm của AC và trung điểm của AC' vuông góc với cả hai, tức là đường trung trực của AC cũng vuông góc với p.
Trường hợp 3: l và m song song giới hạn Chứng minh tương tự ta có được kết quả
Vậy, trong một tam giác bất kỳ, các đường trung trực của ba cạnh hoặc là giao nhau tại cùng một điểm, hoặc là song song giới hạn với nhau hoặc là song song phân kỳ p l m M
Qua đó, ta thấy rằng trong mặt phẳng Lobachevsky thì có tồn tại hoặc không tồn tại đường tròn ngoại tiếp của một tam giác và tồn tại trong trường hợp giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác tồn tại
