Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Volterra.pdf

Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Volterra Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Volterra Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Volterra

Trang 1

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2022

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

Ngành: Toán giải tíchMã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2023

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

1.1.1 Không gian metric 4

1.1.2 Không gian định chuẩn 5

1.1.3 Không gian Hilbert 7

1.1.4 Khai triển Taylor - Maclaurin .8

1.1.5 Biến đổi Laplace - Biến đổi Laplace ngược 9

1.2 Phương trình tích phân Volterra .14

1.2.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại I 14

1.2.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại II 14

1.2.3 Quy tắc Leibnitz cho phương trình tích phân 15

1.2.4 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phươngtrình tích phân Volterra loại hai 17

1.2.5 Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Volterra19Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHTÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA 20

2.1 Phương pháp phân tích Adomian 20

2.2 Phương pháp biến đổi phân tích 24

2.3 Phương pháp số hạng nhiễu 28

2.4 Phương pháp lặp biến phân (VIM) 31

2.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 45

2.6 Phương pháp biến đổi Laplace 49

2.7 Phương pháp nghiệm chuỗi 51

Trang 8

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

VOLTERRA 55

3.1 Hệ phương trình tích phân Volterra loại I 55

3.2 Hệ phương trình tích phân Volterra loại II 55

3.3 Chuyển đổi hệ phương trình loại I sang loại II 56

3.4 Phương pháp phân tích Adomian 56

3.5 Phương pháp số hạng nhiễu 60

3.6 Phương pháp biến đổi Laplace 61

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

Trang 9

DANH MỤC KÍ HIỆU

CKhông gian các hàm liên tục

C1 Không gian các hàm khả vi liên tụcRn Không gian Euclide n chiều

x ∈ Mx thuộc tập M

x /∈ Mx không thuộc tập M∀x ∈ MVới mọi x thuộc tập M

Trang 10

MỞ ĐẦU

Trong thực tế, nhiều vấn đề Toán học, Vật lí hay các bài toán ứng dụngcủa nó dẫn đến những phương trình mà ẩn hàm xuất hiện dưới dấu tíchphân Những phương trình như thế gọi là phương trình tích phân Phươngtrình tích phân là một công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực khoahọc khác nhau, chúng cho ta những kỹ thuật mạnh mẽ để giải quyết các bàitoán thực tế thay cho phương trình vi phân Ví dụ như nghiên cứu phươngtrình tích phân với các điều kiện xác định hoặc bài toán truyền năng lượngbức xạ, Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình - hệ phương trình tíchphân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học.

Phương trình - Hệ phương trình tích phân Volterra được sinh ra từnhiều ứng dụng khoa học như sự phát triển dân số, sự lây lan dịch bệnhvà thiết bị bán dẫn Nó cho thấy rằng phương trình tích phân Volterra cóthể được suy ra từ bài toán giá trị ban đầu Volterra bắt đầu làm việc vớiphương trình tích phân Volterra lần đầu tiên vào năm 1884 nhưng nghiêncứu thực sự của ông bắt đầu vào năm 1896 Phương trình tích phân loạiI hoặc loại II được mô tả bởi một ẩn hàm bên dưới dấu tích phân Vớiphương trình Volterra loại I, ẩn hàm u(x) chỉ xuất hiện dưới dấu tích phândạng

f (x) =Z x

Tuy nhiên, phương trình tích phân Volterra loại II, ẩn hàm u(x) có thểxuất hiện bên trong hoặc bên ngoài dấu tích phân Phương trình loại IIcó dạng

u(x) = f (x) + λZ x

Trong đó ẩn hàm u(x), đã được xác định, xuất hiện trong và ngoài dấutích phân Hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) được cho là hàm giá trị thực, λlà một tham số.

Việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trình - hệ phương trình tíchphân thường gặp nhiều khó khăn; lúc này người ta quan tâm đến việc giải

Trang 11

xấp xỉ phương trình Để giải phương trình - hệ tích phân Volterra ta sửdụng rất nhiều phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa,

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình và hệ phươngtrình tích phân tuyến tính Volterra, dưới sự hướng dẫn của TS Phan ĐứcTuấn, tôi đã chọn đề tài: "Phương trình - Hệ phương trình tích phântuyến tính Volterra" làm đề tài nghiên cứu của mình.

Trang 12

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNHVOLTERRA

1.1 Kiến thức chuẩn bị1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho X là một tập tùy ý Một metric trong X làmột ánh xạ

thỏa mãn các điều kiện sau đây:(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;(ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.

Khi đó cặp (X, d) được gọi là một không gian metric.

Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của khônggian ấy d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.

Định nghĩa 1.1.2 [1]

Cho (xn)n là một dãy trong không gian metric X và x0 ∈ X Ta nóidãy (xn)n hội tụ về x0 nếu lim

n→∞d(xn, x0) = 0.Kí hiệu: lim

n→∞xn= x0hay xn → x0.

Định nghĩa 1.1.3 [1] Một dãy (xn)n trong không gian metric X đượcgọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếulim

n,m→∞d(xn, xm) = 0 Điều này cónghĩa là với mỗi ϵ > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N màm ≥ n0, n ≥ n0thì d(xn, xm) < ϵ.

Trang 13

Nhận xét 1.1.4 Nếu (xn)n là một dãy hội tụ thì (xn)nlà một dãy Cauchy.Định nghĩa 1.1.5 [1] Không gian metric X gọi là đầy đủ nếu mọi dãyCauchy trong nó đều là dãy hội tụ (về một phần tử của X).

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.6 [1] Cho X là một không gian véc-tơ trên trường K và∥.∥ : X → R là một hàm số Ta nói hàm số này là một chuẩn trên X nếunó thỏa mãn 3 tiên đề sau:

(i) ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ X, ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0;(ii) ∥λ.x∥ = |λ|∥x∥, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ X.

Khi đó cặp (X, ∥.∥) được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩnhay gọn hơn là không gian định chuẩn.

Nếu trường K = R (tương ứng C) thì ta gọi (X, ∥.∥) là không gian địnhchuẩn thực (tương ứng không gian định chuẩn phức).

Số thực ∥x∥ được gọi là chuẩn (hay độ dài) của véc-tơ x trong X.Nếu không có sự nhầm lẫn về chuẩn trên X thì ta sẽ kí hiệu tắt làkhông gian định chuẩn X.

Tính chất 1.1.1 [1] d(x, y) = ∥x − y∥ là một metric trên X.

Chứng minh Theo 3 tiên đề của chuẩn, ta suy ra ngay d là một metrictrên X.

Trang 14

Một số khái niệm và tính chất về sự hội tụ trong không gianđịnh chuẩn

Trong không gian định chuẩn X

1 Dãy (xn)n ⊂ X hội tụ đến x trong không gian X, kí hiệu lim

n→∞xn = xhay xn → x(n → ∞) nghĩa là

∥xn− x∥ → 0(n → ∞).Nói cách khác,

( lim

n→∞xn= x) ⇔ ((∀ϵ > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0) : ∥xn− x∥ < ϵ).2 Tương tự với tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có

∀x, y ∈ X : ∥x∥ − ∥y∥ ≤ ∥x − y∥.Thật vậy, từ tiên đề 3 của chuẩn ta suy ra

∥x∥ = ∥(x − y) + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥hay∥x∥ − ∥y∥ ≤ ∥x − y∥.Thay đổi vai trò của x và y ta nhận được

∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥x − y∥.Như vậy, bất đẳng thức được chứng minh.

3 Từ 2 ta có: Nếu xn → x thì ∥xn∥ → ∥x∥ Nói cách khác, chuẩn là mộthàm số liên tục trên X Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh, ta có:

∥xn∥ − ∥x∥ ≤ ∥xn− x∥ → 0khin → ∞.Vậy 3 được chứng minh.

4 Nếu xn → x0, yn → y0 thì xn+ yn → x0+ y0.

Nếu xn → x0 và αn → α0, αn, α0 ∈ K thì αnxn → α0x0.Nói cách khác, các phép toán cộng nhân vô hướng

X × X → X(x, y) → x + yK × X → X

(α, x) → αx

Trang 15

là các ánh xạ liên tục Thật vậy, từ các đánh giá

∥(xn+ yn) − (x0+ y0)∥ ≤ ∥xn+ x0∥ + ∥yn− y0∥ → 0

∥αnxn− α0x0∥ = ∥(αnxn− αnx0) + (αnx0− α0x0)∥≤ |αn|∥xn− x0∥ + |αn− α0|∥x0∥ → 0khi n → ∞, ta suy ra được điều cần chứng minh.

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.7 [1] Cho H là không gian véc-tơ trên trường K (với Klà R hoặc C) Tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ:

⟨., ⟩ : H × H → K(x, y) 7→ ⟨x, y⟩thỏa mãn các điều kiện sau đây:

a) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ với mọi x, y ∈ H (Kí hiệu z = a − ib là số phức liên hợpcủa z = a + ib).

b) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ với mọi x, y, z ∈ H.c) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩ với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K.

d) ⟨x, x⟩ ≥ 0 với mọi x ∈ H và ⟨x, x⟩ = 0 khi và chỉ khi x = 0.

Số ⟨x, y⟩ gọi là tích vô hướng của hai véc-tơ x và y Từ định nghĩa của tíchvô hướng và các điều kiện a) − c) ta suy ra:

⟨x, λy⟩ = λ⟨x, y⟩;⟨x, 0⟩ = 0;⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ K.

Cặp (H, ⟨., ⟩) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita).Để ý rằng, khi trường số K là R thì tích vô hướng ⟨., ⟩ chính là mộtdạng song tuyến tính xác định dương trên H và H được gọi là không giantiền Hilbert thực Nếu K = C, thì H được gọi là không gian tiền Hilbertphức.

Trang 16

Một không gian Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thể đầyđủ hoặc không đầy đủ.

Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn cảm sinhtừ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert Cũng tương tự trườnghợp không gian tiền Hilbert, tùy theo trường K là R hay C ta cũng cókhông gian Hilbert thực hay không gian Hilbert phức.

Định lý 1.1.2 [1] Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H taluôn có bất đẳng thức sau đây

Bất đẳng thức (1.2) được gọi là bất đẳng thức Schwarz.

1.1.4 Khai triển Taylor - Maclaurin

Định lý 1.1.3 [2] Nếu hàm số y = f (x) có các đạo hàm f′(x), f′′(x), f(n)(x)liên tục tại điểm x0 và có đạo hàm f(n+1)(x) trong lân cận x0 thì trong lâncận đó ta có công thức

f (x) = f (x0) +f′(x0)

1!(x − x0) +

2!(x − x0)2+

+f

n!(x − x0)n +f

(n + 1)!(x − x0)n+1

c ở khoảng giữa x0 và x: c = x0+ θ(x − x0), 0 < θ < 1.

Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọisố hạng dư của nó Ta nói f (x) khai triển được theo công thức Taylor.Định lý 1.1.4 [2] Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp n tại x0 Khi đóta có công thức khai triển Taylor với phần dư Peano:

f (x) = f (x0)+f′(x0)

Định lý 1.1.5 [2] Khai triển Maclaurin

Tại lân cận x0 = 0 thì khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurinf (x) = f (0) +f

′(0)1!x +

2+ +f(n)(0)

n!xn +f

(n+1)(θx)(n + 1)!x

Trang 17

Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bảnex = 1 + x +1

+ +1n!x

+ o(xn)

sin x = x −13!x

+ +(−1)

(2k + 1)!+ o(x2k+1

cos x = 1 −12!x

+ +(−1)2n(2n)!x

+ o(x2n)

sinh x = x +13!x

+ +1(2n + 1)!x

+ o(x2n+1)

cosh x = 1 +12!x

4+ +1(2n)!x

2n+ o(x2n)

arctan x = x −x3

5+ + (−1)

n−1 x2n−1

2n − 1+ o(x2n−1

ln(1 + α) = x −x22+

3− + (−1)n−1xn

n+ o(x2n)

1.1.5 Biến đổi Laplace - Biến đổi Laplace ngược

Định nghĩa 1.1.8 [3] Phép biến đổi Laplace của hàm f (x) với x ≥ 0,được định nghĩa bởi

F (s) = L{f (x)} =Z ∞

e−sxf (x)dx = limx→∞

Z x0

e−sxf (x)dx,(1.3)

với s là số thực, và L được gọi là toán tử biến đổi Laplace Biến đổiLaplace F (s) có thể chưa đủ đề tồn tại Thêm vào đó, một điều kiện cầnquan trọng cho sự tồn tại của biến đổi Laplace F (s) là F (s) phải triệt tiêukhi s tiến đến vô cực Nghĩa là

Trang 18

Trang 19

• Một số biến đổi Laplace sơ cấp

f (x)F (s) = Lf (x) =Z ∞

s2− a2, s > |a|

s2− a2, s > |a|Ví dụ 1.1.9 Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau:

a)x sin x,b)e−4xsin23x.Giải.

a) Ta có:

L{x sin x} = −d

dsL{sin x} = −dds

1s2+ 1

(s2+ 1)2.luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 20

b) Ta có: e−4xsin23x = e−4x1 − cos 6x

−4xcos 6x.Nên:

L{e−4xsin23x} =1

2L{e−4xcos 4x} =12

1s + 4−1

s + 4(s + 4)2+ 62.Định nghĩa 1.1.10 [3] Nếu phép biến đổi Laplace L{f (x)} = F (s) thìf (x) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược của F (s) và ta viết

f (x) = L−1{F (s)}.

Tính chất 1.1.7 [3] Nếu f (x) và g(x) lần lượt là biến đổi Laplace ngượccủa F (s) và G(s), còn a, b là các hằng số, thì:

L−1{aF (s) + bF (s)} = af (x) + bg(x).Tính chất 1.1.8 [3] Nếu L{f (x)} = F (s) thì

(i) L−1{F (s + a)} = e−axf (x),

(ii) L−1{e−asF (s)} = ua(x).f (x − a) trong đó ua(x) =

1, x > a0, x < a

(iii) L−1{F (as)} =1af

.Ví dụ 1.1.11 Tìm

a) L−1{e−3x},b) L−1

e−2ss2+ 1

ss2+ 4s + 1

a) Ta có L

1s + 3

= e−3x Nên L−1e−3x =1s + 3.b) Ta có

e−2ss2+ 1= e

−2s.L{sin x}.

Nên L−1

e−2ss2+ 1

= u2(x) sin(x − 2).

Trang 21

c) Ta cóL−1

ss2+ 4s + 1

= L−1

s(s + 2)2− 3

= L−1

s + 2(s + 2)2− 3

− L−1

2(s + 2)2− 3

= e−2xcosh√

3x −√23e

−2xsinh√3x.• Định lí tích chập cho phép biến đổi Laplace

Nếu hạt nhân K(x, t) của phương trình tích phân

u(x) = f (x) + λ

Z g(x)h(x)

K(x, t)u(t)dt

phụ thuộc vào sai phân x − t, thì nó được gọi là hạt nhân sai phân Ví dụvề hạt nhân sai phân là ex−t, cos(x − t) và x − t Phương trình tích phâncó thể biểu diễn như sau

u(x) = f (x) + λ

Z g(x)h(x)

Giả sử hai hàm f1(x) và f2(x) thỏa mãn những điều kiện cần cho sự tồntại của biến đổi Laplace ở mỗi hàm Biến đổi Laplace cho các hàm f1(x)và f2(x) được cho bởi

L{f1(x)} = F1(s),L{f2(x)} = F2(s).

Tích chập Laplace của hai hàm đó được định nghĩa bởi(f1∗ f2)(x) =

Z x0

f1(x − t)f2(t)dthay

(f2∗ f1)(x) =Z x

f2(x − t)f1(t)dt.Nhắc lại rằng

(f1∗ f2)(x) = (f2∗ f1)(x).

Dễ dàng chỉ ra rằng biến đổi Laplace của tích chập (f1∗ f2)(x) được chobởi

L{f1∗ f2(x)} = LZ x

f1(x − t)f2(t)dt

= F1(s)F2(s).luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 22

Dựa vào tóm tắt trên, ta sẽ nêu các ví dụ về phương trình tích phânVolterra đặc biệt trong đó hạt nhân là hạt nhân sai phân Lấy Laplace cảhai vế của (1.5) ta tìm ra

trong đó

U (s) = L{u(x)},K(s) = L{K(x)},F (s) = L{f (x)}.Giải cho U (s) ta được

F (s)1 − λK(s)

1.2 Phương trình tích phân Volterra

1.2.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại I

Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Iđược cho bởi:

f (x) =Z x

trong đó hạt nhân K(x, t) và hàm số f (x) là các hàm giá trị thực chotrước, hàm u(x) là hàm cần tìm và nó xuất hiện bên trong dấu tích phâncủa các phương trình tích phân Volterra loại I.

1.2.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại II

Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại haiđược cho bởi

u(x) = f (x) + λZ x

Trang 23

Hàm ẩn u(x), sẽ được xác định, nằm bên trong và bên ngoài dấu tích phân.Hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là hàm giá trị thực, và λ là một tham sốcho trước.

1.2.3 Quy tắc Leibnitz cho phương trình tích phân.

Một trong những phương pháp được sử dụng để giải phương trình tíchphân đó là chuyển đổi phương trình tích phân thành phương trình vi phân.Các chuyển đổi có được bằng việc sử dụng quy tắc Leibnitz cho phươngtrình tích phân.

∂f (x, t)∂xdt.Nếu g(x) = a và h(x) = b khi a và b là hằng số, quy tắc Leibnitz được viếtgọn thành

F′(x) =dFdx=

Z ba

extdt =Z b

∂tliên tục, vì nó không bị chặn tại x = t.

Trang 24

Chú ý: Trong phần này của phương trình tích phân, ta sẽ phân biệtcác tích phân ở dạng

F (x) =Z x

K(x, t)u(t)dt.

Trong trường hợp này, quy tắc Leibnitz được viết gọn thành

F′(x) = K(x, x)u(x) +Z x

∂K(x, t)

∂xu(t)dt.Ví dụ 1.2.1 Tìm F′(x) của hàm

F (x) =Z x

(x − t)u(t)dt.

Áp dụng quy tắc Leibnitz ta có

F′(x) =Z x

Ví dụ 1.2.2 Tìm F′(x) của:

F (x) =Z x

sin(x2+ t2)dt.

Áp dụng quy tắc Leibnitz, ta có

F′(x) = sin 2x2+Z x

2x cos(x2+ t2)dt.

Ví dụ 1.2.3 Tìm F′(x) của

F (x) =Z x

(x − t)2u(t)dt.

Áp dụng quy tắc Leibnitz, ta có

F′(x) =Z x

2(x − t)u(t)dt.

Trang 25

1.2.4 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thànhphương trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng tôi trình bày phương pháp biến đổi phươngtrình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterraloại hai Giả sử K(x, x) ̸= 0, lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tíchphân Volterra loại I

f (x) =Z x

K(x, t)u(t)dtđối với x, và dùng quy tắc Leibnitz, ta tìm được

f′(x) = K(x, x)u(x) +Z x

Z x0

1K(x, x)K

x(x, t)u(t)dt.Đặt

g(x) =f′(x)K(x, x),và

G(x, t) = −1K(x, x)K

x(x, t).Khi đó ta có phương trình tích phân Volterra loại II

u(x) = g(x) +Z x

G(x, t)u(t)dt.

Khi đã biến đổi phương trình tích phân Volterra loại I sang phương trìnhtích phân Volterra loại II Ta có thể áp dụng các phương pháp giải phươngtrình tích phân Volterra loại II Nghiệm thu được chính là nghiệm củaphương trình tích phân tích phân Volterra loại I.

Ví dụ 1.2.4 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại I sau đâythành phương trình tích phân Volterra loại II.

ex− cos x =Z x

Trang 26

Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình và dùng quy tắc Lebnitz ta được:

ex+ sin x = u(x) +Z x

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại II là

u(x) = ex+ sin x −Z x

Nhận xét 1.2.5 Đã biết rằng nếu K(x, x) = 0, thì không thể biến đổiphương trình tích phân Volterra loại một thành loại hai Tuy nhiên, nếuK(x, x) = 0 và Kx′(x, x) ̸= 0 thì bằng việc lấy đạo hàm phương trình tíchphân Volterra loại một nhiều lần, với K(x, t) là hạt nhân, thì phương trìnhđã cho sẽ đưa được về phương trình tích phân Volterra loại hai Ở chú ýthứ nhất, khi K(x, x) = 0 nhưng Kx′(x, x) ̸= 0 ta sẽ lấy đạo hàm hai lần,và áp dụng quy tắc Leibnitz để biến đổi phương trình đã cho về phươngtrình tích phân Volterra loại hai.

Ví dụ 1.2.6 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại I thành phươngtrình tích phân Volterra loại II.

sin x − x cos x = 2Z x

cosh(x − t).u(t)dt.

Phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại I Tuynhiên vì Kx′(x, x) ̸= 0 nên ta đạo hàm lần nữa để thu được phương trìnhtích phân Volterra loại II:

u(x) =1

2sin x +x

2cos x −Z x

sinh(x − t)u(t)dt.

Trang 27

1.2.5 Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phânVolterra

Xét phương trình tích phân Volterra loại I và loại IIf (x) =

Z x0

K(x, t)u(t)dt,

u(x) = f (x) + λZ x

K(x, t)u(t)dt.

Định lý 1.2.1 [5] Với mỗi vế phải của f ∈ C[a, b], phương trình tích phânVolterra loại II với hạt nhân K liên tục có nghiệm duy nhất φ ∈ C[a, b].Chứng minh Ta mở rộng hạt nhân trên [a, b] × [a, b] bằng cách thiết lậpK(x, t) := 0 với t > x Khi đó K liên tục với x ̸= t và

|K(x, t)| ≤ M := max

a≤t≤x≤b|K(x, t)|với mọi x ̸= t Hay K bị chặn.

Giờ đặt φ ∈ C[a, b] là nghiệm của phương trình thuần nhất.

φ(x) −Z x

K(x, t)φ(t)dt = 0,x ∈ [a, b].(1.10)

Bằng quy nạp, ta chứng minh|φ(x)| ≤ ∥φ∥∞M

|φ(x)| =