Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Fredholm.pdf

Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Fredholm Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Fredholm Phương Trình Hệ Phương Trình Tích Phân Tuyến Tính Fredholm

Trang 1

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 2

Ngành: Toán giải tíchMã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2023

luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop

Trang 3

Trang 4

Trang 5

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM 41.1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1.1 Không gian định chuẩn 4

1.1.2 Không gian Banach 4

1.1.3 Không gian Banach khả li 5

1.1.4 Không gian Hilbert 5

1.1.5 Khai triển Taylor 6

1.2 Phương trình tích phân tuyến tính 7

1.3 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 8

1.3.1 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I 8

1.3.2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II 8

1.3.3 Nghiệm của phương trình Fredholm .9

1.3.4 Phương pháp chính quy hóa chuyển phương trình tích phânFredholm loại I thành phương trình tích phân Fredholm loại II .10

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHTÍCH PHÂN FREDHOLM 12

2.1 Phương pháp phân tích Adomian 12

2.2 Phương pháp biến đổi phân tích mADM 18

2.3 Phương pháp số hạng nhiễu 22

2.4 Phương pháp lặp biến phân 25

2.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 29

2.6 Phương pháp tính toán trực tiếp 33

2.7 Phương pháp nghiệm chuỗi 37

Trang 8

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM42

3.1 Hệ phương trình tích phân Fredholm loại I 42

3.2 Hệ phương trình tích phân Fredholm loại II 42

3.3 Một số phương pháp giải hệ phương tích tích phân Fredholm 433.3.1 Phương pháp phân tích Adomian 43

3.3.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 47

3.3.3 Phương pháp nghiệm chuỗi 51

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

Trang 9

DANH MỤC KÝ HIỆU

CKhông gian các hàm liên tục

C1 Không gian các hàm khả vi liên tụcRn Không gian Euclide n chiều

x ∈ Mx thuộc tập M

x /∈ Mx không thuộc tập M∀x ∈ MVới mọi x thuộc tập M

Trang 10

MỞ ĐẦU

Phương trình tích phân thường được xuất hiện trong nhiều bài toántrong Toán học, Vật lý và các ứng dụng khoa học khác, đặc điểm củanhững phương trình tích phân là những phương trình mà ở đó ẩn hàmchưa biết xuất hiện dưới dấu tích phân chúng là một công cụ đắc lựctrong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau Chúng cung cấp các kỹ thuậtđể giải các bài toán trong thực tế thay vì sử dụng các phương trình viphân Một số bài toán thể nói đến như nghiên cứu phương trình tích vớiđiều kiện xác định hay bài toán truyền năng lượng bức xạ, rõ ràng phươngtrình tích phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học.

Hệ phương trình tích phân của Fredholm đã xuất hiện trong nhiều ứngdụng khoa học Đáng chú ý là phương trình tích phân Fredholm có thểsuy ra từ bài toán giá trị biên Erik Ivar Fredholm (1866-1927) được biếtđến nhiều nhất với công trình nghiên cứu về phương trình tích phân vàlý thuyết quang phổ Ông là một nhà toán học Thụy Điển, người đã phátminh ra lý thuyết phương trình tích phân, và bài báo năm 1903 của ôngđóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán tử Phương trình tích phânFredholm, chứa hàm u(x), được đặc trưng bởi giới hạn cố định của tíchphân trong công thức.

u(x) = f (x) + λZ b

Trang 11

Hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm thực, và λ là một tham số Khif (x) = 0, phương trình được gọi là phương trình thuần nhất.

Phương trình - hệ tích phân Fredholm ta có thể sử dụng rất nhiềuphương pháp để giải nghiệm như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, Đốilúc việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trình - hệ phương trình tíchphân thường gặp nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến việc giảixấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính.

Với mong muốn tìm hiểu về việc giải phương trình và hệ phương trìnhtích phân tuyến tính Fredholm, dưới sự hướng dẫn của TS Phan ĐứcTuấn, tôi đã chọn đề tài: "Phương trình - Hệ phương trình tíchphân tuyến tính Fredholm" làm đề tài nghiên cứu của mình.

Trang 12

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM

1.1 Kiến thức chuẩn bị1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho E là một K - Không gian vectơ Một chuẩntrên E là một hàm x → ||x|| từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau vớimọi x, y ∈ E, và với mọi λ ∈ K

i) ∥x∥ ≥ 0, ∈ X, ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0ii) ∥λx∥ = |λ|∥x∥.

iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.

Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩntrên nó Không gian định chuẩn là không gian metric với metric sinh bởichuẩn.

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2 [1] Không gian Banach là không gian định chuẩn đẩyđủ (với metric sinh bởi chuẩn).

Ví dụ 1.1.3 [1]

- Xét không gian vectơ Kn Với mỗi x = (x1, , xn) đặt:

Trang 13

∥x∥ =vuut

Định nghĩa 1.1.5 [1] ChuỗiP∞n=1xnđược gọi là hội tụ tuyệt đối nếuchuỗi số dươngP∞n=1∥xn∥ hội tụ.

Tính chất 1.1.2 [1] Nếu E là không gian Banach vàP∞n=1xn là mộtchuỗi hội tụ tuyệt đối trong E thì chuỗiP∞n=1xnhội tụ và ∥P∞n=1xn∥ ≤P∞

n=1∥xn∥

Tính chất 1.1.3 [1] Không gian định chuẩn E là không gian Banach khivà chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong nó đều là hội tụ.

1.1.3 Không gian Banach khả li

Định nghĩa 1.1.6 [1] Không gian Banach E được gọi là khả li (hay táchđược) nếu tồn tại một dãy {xn}n các phần tử của E trù mật khắp nơitrong E.

Ví dụ 1.1.7 [1] Không gian các hàm số liên tục trên [0, 1] kí hiệu là C[0,1],là không gian khả li với dãy {xn} ⊂ C[0,1] xác định bởi: x0 = 1, xn(t) = tntrù mật khắp nơi trong C[0,1].

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.8 [1] Cho E là một K - không gian vectơ Một dạngHermite trên E là một hàm g : E × E → R thỏa mãn

Trang 14

• g(x, y) = g(y, x), ∀x, y ∈ E.

• g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z), ∀x, y, z ∈ E.• g(λx, y) = λg(x, y), ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ K.

• g(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E, g(x, x) = 0 ⇒ x = 0 ∈ E.

Một dạng Hermite g được gọi là xác định dương nếu g(x, x) > 0 vớimọi x ∈ E, x ̸= 0 Một dạng Hermite xác định đương còn được gọi là mộttích vô hướng.

Một không gian tiền Hilbert là một K - không gian vectơ cùng với mộttích vô hướng trên nó Một không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là mộtgian Hilbert.

Định lý 1.1.4 [3] Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ E taluôn có bất đẳng thức sau đây

|g(x, y)|2 ≤ g(x, x).g(y, y).

Bất đẳng thức (1.1) được gọi là bất đẳng thức Schwarz.

1.1.5 Khai triển Taylor

Định lý 1.1.5 [2] Nếu hàm số y = f (x) có các đạo hàm f′(x), f′′(x), f(n)(x)liên tục tại điểm x0 và có đạo hàm f(n+1)(x) trong lân cận x0 thì tại lâncận đó ta có công thức

f (x) = f (x0) +f′(x0)

1!(x − x0) +

2!(x − x0)2+

+f

n!(x − x0)n +f

(n + 1)!(x − x0)n+1

Trang 15

1.2 Phương trình tích phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân tuyến tính là những phươngtrình chứa hàm phải tìm nằm dưới dấu tích phân mà hàm đó là ở dạngbậc nhất.

Phương trình tích phân tuyến tính thường được cho dưới dạng

u(x) = f (x) + λ

Z g(x)h(x)

Trong đó, u(x) là hàm cần tìm nằm dưới dấu tích phân, K(x, t) là hàmhai biến của x và t được gọi là hạch ( hoặc nhân) của tích phân, h(x), g(x)là các cận tích phân, f (x) là các hàm một biến cho trước và λ là tham sốhằng Các hàm f (x) và K(x, t) thường được cho là liên tục Các hàm h(x)và g(x) có thể là biến, có thể hằng số, cũng có thể hỗn tạp.

Nhận xét 1.2.2 Một phương trình vi tích phân là một phương trìnhtrong đó hàm chưa biết nằm dưới dấu tích phân có dạng:

un(x) = f (x) + λ

Z g(x)h(x)

x + y2 u(t)dt,

u(x) = 3 +Z x

u(x) =Z 100

Trang 16

1.3 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm1.3.1 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I

Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Iđược cho bởi:

f (x) =Z b

trong đó hạt nhân K(x, t) và hàm số f (x) là các hàm giá trị thực chotrước, hàm u(x) là hàm cần được xác định, trong đó a và b là hằng sốvà nó xuất hiện bên trong dấu tích phân của các phương trình tích phânFredholm loại I.

1.3.2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại IIDạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loạihai được cho bởi

u(x) = f (x) + λZ b

Phương trình tích phân Fredholm loại II, ẩn hàm u(x) xuất hiện ở cảtrong lẫn ngoài dấu tích phân Hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàmthực, và λ là một tham số Khi f (x) = 0, phương trình được gọi là phươngtrình thuần nhất.

u(x) = λZ b

Trong luận văn, chúng ta sẽ chủ yếu sử dụng các hạt nhân suy biến vàtách được Một hạt nhân suy biến và tách được là một hàm có thể biểudiễn được dưới dạng tổng của các tích hai hàm mà mỗi hàm chỉ phụ thuộcvào một biến Một hạt nhân như vậy có thể biểu diễn được dưới dạng

K(x, t) =nX

Trang 17

1.3.3 Nghiệm của phương trình Fredholm.

Nghiệm của phương trình tích phân là một hàm, có hai dạng:

a Nghiệm chính xác là nghiệm được trình bày dưới dạng ngắn ngọnnhư một đa thức, hàm lũy thừa, hàm lượng giác hoạcc sự kết hợp của haihay nhiều các hàm số sơ cấp.

b Nghiệm chuỗi là một chuỗi vô hạn hội tụ về nghiệm chính xác nếunghiệm chính xác tồn tại Khi nghiệm chính xác không tồn tại, chuỗi nàyđược dùng để đánh giá giá trị nghiệm.

Định lý 1.3.1 [3] Nếu phương trình tích phân Fredholm thuần nhất

u(x) = λZ b

u(x) = −2 − 3x +Z 1

Trang 18

Phương trình (1.11) sẽ được giải từng bước qua ví dụ (2.6.5)

1.3.4 Phương pháp chính quy hóa chuyển phương trình tíchphân Fredholm loại I thành phương trình tích phân Fred-holm loại II.

Phương pháp chính quy hóa được giới thiệu độc lập bởi Phillips andTikhonov Phương pháp này chuyển đổi phương trình tích phân loại I códạng:

f (x) =Z b

thành phương trình tích phân gần đúng:

µuµ(x) = f (x) −Z b

Z ba

Trang 19

Sau khi giải phương trình tích phân (1.16) ta được nghiệm uµ(x) Khiđó nghiệm u(x) của phương trình (1.14) được cho bởi:

x =Z 16

Sử dụng phương pháp chính quy hóa theo (1.16) ta được:

uµ(x) =16µe

Z 160

Giải tiếp phương trình (1.18) ở Ví dụ (2.1.4)

Sử dụng phương pháp chính quy hóa ta có thể chuyển phương trình tíchphần Fredholm loại I sang phương trình Fredholm loại II để giải Trongluận văn này tập trung sử dụng các phương pháp giải phương trình tíchphân Fredholm loại II.

Trang 20

2.1 Phương pháp phân tích Adomian

Phương pháp này được giới thiệu và phát triển bởi nhà toán học ngườiMỹ George Adomian Nó được phát triển để giải quyết các bài toán tíchphân, mở rộng trên lớp phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân,tích phân tuyến tính và phi tuyến Sau đây, ta xét phương pháp này vớiphương trình tích phân Fredholm.

Phương pháp phân tích Adomian gồm cách phân tích ẩn hàm u(x) củaphương trình bất kì thành tổng của vô số thành phần được xác định bởichuỗi:

u(x) =∞Xn=0

u(x) = u0(x) + u1(x) + u2(x) + (2.3)trong đó các hàm thành phần un(x), n ≥ 0 được xác định liên tiếp Phươngpháp phân tích Adomian quan tâm đến việc tìm kiếm các hàm thành phầnriêng lẻ u0, u1, un, Như chúng ta đã thấy ở trước, việc xác định cácthành phần có thể được xác định một cách dễ dàng thông qua các hệ thứctruy hồi thường bao gồm các tích phân đơn giản có thể dễ dàng đánh giá.Để thiết lập hệ thức truy hồi, ta thay (2.2) vào phương trình tích phân

Trang 21

Fredholm (2.1) ta có:∞Xn=0

un(x) = f (x) + λZ b

K(x, t)∞Xn=0

tương đương với

u0(x)+u1(x)+u2(x)+ = f (x)+λZ b

K(x, t)[u0(t)+u1(t)+ .]dt (2.5)

Hàm thành phần thứ 0, un(x) được xác định bởi tất cả các số hạngkhông có trong dấu tích phân Có nghĩa là thành phần uj(x), j ≥ 0 của ẩnhàm chưa biết u(x) hoàn toàn được xac định bằng hệ thức truy hồi

u0(x) = f (x), un+1(x) = λZ b

K(x, t)un(t)dt,n ≥ 0(2.6)

u0(x) = f (x),u1(x) = λ

Z ba

K(x, t)u0(t)dt,

u2(x) = λZ b

K(x, t)u1(t)dt,

u3(x) = λZ b

Rõ ràng rằng phương pháp phân tích chuyển đổi phương trình tích phânthành các thành phần đơn giản có thể tính toán được Người ta đã chứngminh được nếu tồn tại nghiệm chính xác của bài toán thì chuỗi số thu đượchội tụ rất nhanh về nghiệm chính xác đó Khái niệm hội tụ của chuỗi phântích đã được nhiều nhà nghiên cứu nghiên cứu kỹ lưỡng để khẳng định

Trang 22

sự hội tụ nhanh chóng của chuỗi kết quả Tuy nhiên, với một bài toán cụthể, khi mà không thể đạt được một nghiệm, các phần bị cắt ngắn thườngđược sử dụng cho mục đích số học Càng sử dụng nhiều thành phần thì tađộ chính xác thu được càng cao.

Sau đây là ví dụ minh họa:

Ví dụ 2.1.1 (Bài tập 4.2.1, [3]) Giải phương trình tích phân sau:

u(x) = ex+ e−1Z 1

Xét điều kiện nghiệm:

Rõ ràng là λ = e−1, |K(x, t)| ≤ 1 và (b − a) = 1 Ta được:|λ|M (b − a) = e−1 < 1.

Thỏa mãn ( 1.9) dẫn đến phương trình (2.8) tồn tại nghiệm duy nhất.Các ví dụ phương trình tiếp theo trong luận văn đều tồn tại nghiệm.

Thay chuỗi (2.2) vào hai vế của phương trình (2.8), ta được:∞

un(x) = ex+ e−1Z 1

u0(x) + u1(x) + u2(x) + = ex+ e−1Z 1

[u0(t) + u1(t) + u2(t) ]dt.

Ta có hệ thức truy hồi:u0(x) = ex,u1(x) = e−1

Z 10

u0(t)dt = e−1Z 1

etdt = 1 − e−1,

u2(x) = e−1Z 1

u1(t)dt = e−1− e−2,

u3(x) = e−1Z 1

u2(t)dt = e−2− e−3.

Trang 23

và tiếp tục ta thu được nghiệm chuỗi:

u(x) = ex+ 1 − e−1 + e−1 − e−2 + e−2+ e−3 + Triệt tiêu các thành phần nhiễu, ta được nghiệm:

u(x) = ex+ 1.

Ví dụ 2.1.2 (Bài tập 4.2.1, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmsau:

u(x) =910x

2+Z 1

Theo phương pháp Adomian giả sử rằng nghiệm u(x) có dạng chuỗi códạng như ở (2.2) Thay chuỗi phân tích (2.2) vào hai vế của (2.9) ta được

un(x) =910x

2Z 1

u0(x) + u1(x) + u2(x) + =910x

2Z 1

t2[u0(t) + u1(t) + u2(t) + ]dt.

Ta xác định thành phần thứ 0 là tất cả những phần không nằm trongdấu tích phân Do đó, ta có hệ thức truy hồi sau:

u0(x) =910x

2, uk+1(x) =12x

2Z 1

t2uk(t)dt,k ≥ 0.

Kết quả, ta có:u0(x) =9

u1(x) =12x

2Z 1

t2u0(t)dt =12x

2Z 1

2)dt =9x2100,u2(x) =1

Z 10

tu1(t)dt =12x

2Z 1

100)dt =9x21000,u3(x) =1

Z 10

tu2(t)dt =12x

2Z 1

1000)dt =9x210000,u4(x) =1

Z 1

tu3(t)dt =12x

2Z 1

10000)dt =

Trang 24

và tiếp tục như thế, ta thu được nghiệm chuỗi:

u(x) =910x

(1 +110+

1000+ ).(2.10)Lưu ý dãy cấp số nhân ở vế phải có a1 = 1, và công bội là r =1

10 Tổnghữu hạn của chuỗi được tính bởi

1 − 101 =10

Nghiệm chuỗi (2.10) hội tụ đến nghiệmu(x) = x2có được bằng cách thay (2.11) vào (2.10).

Ví dụ 2.1.3 (Bài tập 4.2.1, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmsau:

u(x) = cos x + 2x +Z π

un(x) = cos x + 2x + xZ π

u0(x) + u1(x) + u2(x) + = cos x + 2x + xZ π

Trang 25

Ta được:

u0(x) = cos x + 2x,u1(x) = x

Z π0

t.u0(t)dt = −2 +23π

u2(x) = xZ π

t.u1(t)dt = x

u3(x) = xZ π

t.u2(t)dt = x

u4(x) = xZ π

t.u3(t)dt = x

,và tiếp tục như vậy Ta có nghiệm chuỗi

u(x) = cos x + 2x + x

−2 +23π

9+

Ta có thể dễ dàng thấy được sự xuất hiện của các thành phần nhiễu, tứclà các phần tử giống hệt nhau nhưng chỉ trái dấu Triệt tiêu các thànhphần nhiễu đó ta được nghiệm chính xác

u(x) = cos x.

Ví dụ 2.1.4 (Bài tập 4.3, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholm loạiI sau:

Z 160

Sử dụng phương pháp chính quy hóa theo (1.16) ta được:

uµ(x) =16µe

µZ 16

với µ là tham số dương rất nhỏ.

Dễ thấy (2.14) là phương trình tích phân Fredholm loại II Ta sử dụngphương pháp ADM Ta có chuỗi phân tích

uµ(x) =∞Xn=0

Trang 26

Thay (2.15) vào hai vế của (2.14) ta xác định thành phần thứ 0 là tất cảnhững phần không nằm trong dấu tích phân ta có hệ thức truy hồi sau:

uµ0(x) =16µe

uµk+1(x) = −1µ

Z 160

ex−tuµk(t)dt,k ≥ 0.

Kết quả ta có:

uµ0(x) =16µe

uµ1(x) = −1µ

Z 160

ex−tuµ0(t)dt = − 16µ

uµ2(x) = −1µ

Z 160

ex−tuµ1(t)dt = 16µ

3ex, .

Thay vào (2.15) ta được:

uµ(x) = (1

6µ− 16µ

+ 16µ

+ = −∞Xn=1

1 + 6µ.Như vậy ta thu được:

1 + 6µex.

Vậy nghiệm phương trình tích phân đó là:u(x) = lim

µ→0uµ(x) = ex.

2.2 Phương pháp biến đổi phân tích mADM

Như đã nói ở phần trước, phương pháp phân tích Adomian biểu diễnnghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn các thành phần.

Trang 27

Các thành phần uj, j ≥ 0 có thể dễ dàng tính được nếu số hạng f (x)trong phương trình tích phân

u(x) = f (x) + λZ b

là một đa thức Tuy nhiên nếu hàm f (x) là tích phân của hai hay nhiều đathức, các hàm lượng giác, các hàm hyperbolic, thì việc xác định thànhphần uj, j ≥ 0 trở nên phức tạp và gặp nhiều khó khăn.Nhà toán học MĩAbdul-Majid Warwar đã cải tiến phương pháp ADM thành phương phápmADM bằng cách cho phép ta tách hàm f (x) ra thành tổng của hai hàmf1(x) và f2(x) Điều đó cho thấy rằng cải tiến này tạo điều kiện thuận lợicho công việc tính toán và tăng tốc độ hội tụ của chuỗi Phương pháp biếnđổi phân tích phụ thuộc chủ yếu vào việc tách hàm f (x) thành hai phần,do đó nó không thể được sử dụng nếu f (x) chỉ bao gồm đơn thức Do đókhông thể dùng nếu hàm f (x) là đơn thức (vì không thể tách được).

Phương pháp biến đổi phân tích Adomian ta có hệ thức truy hồi sau:

u0(x) = f (x),uk+1(x) = λ

Z ba

Trang 28

Theo đó (2.19), ta có một sự thay đổi trong việc hình thành mối quanhệ trong (2.17) Phương pháp biến đổi phân tích xác định thành phần thứkhông u0(x) bởi một phần của f (x), cụ thể là f1(x) hoặc f2(x) Phần kháccủa f (x) có thể được thêm vào thành phần u1(x) Cụ thể như sau:

u0(x) = f1(x),u1(x) = f2(x) + λ

Z ba

K(x, t)u0(t)dt,

uk+1(x) = λZ b

Ở đây, chúng ta nhấn mạnh vào hai nhận xét quan trọng được đưa ratrong Chương 3 Đầu tiên, bằng cách lựa chọn phù hợp các thành phầntrong f1(x) và f2(x), nghiệm chính xác u(x) có thể thu được bằng cáchsử dụng rất ít lần lặp, và đôi khi chỉ bằng cách đánh giá hai thành phần.Sự thành công của phương pháp này chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn thíchhợp f1(x)và f2(x),và điều này chỉ có thể được thực hiện thông qua các thửnghiệm Một quy tắc có thể giúp lựa chọn thích hợp f1(x) and f2(x) vẫnchưa thể được tìm thấy.

Ta minh họa phương pháp biến đổi phân tích qua các ví dụ sau:

Ví dụ 2.2.1 (Bài tập 4.2.2, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmbằng cách sử dụng phương pháp biến đổi phân tích

u(x) = sin x − x + xZ π2

Trang 29

thành hai phần, cụ thể là f (x) = f1(x) + f2(x) trong đóf1(x) = sin x,f2(x) = −x.

Tiếp theo, chúng ta sử dụng hệ thực truy hồi ở 2.20) để có đượcu0(x) = f1(x) = sin x,

u1(x) = −x + xZ π2

tu0(t)dt = 0,

uk+1(x) =Z π2

f1(x) = sin x − cos x,f2(x) = (π + 2)x.

Tiếp theo, chúng ta sử dụng hệ thực truy hồi ở (2.20) để có đượcu0(x) = f1(x) = sin x − cos x,

u1(x) = (π + 2)x − xZ π

tu0(t)dt = 0,

uk+1(x) =Z π

K(x, t)uk(t)dt = 0,k ⩾ 1.

Rõ ràng là mỗi thành phần của uj, j ⩾ 1 là số không Điều này đưa ranghiệm chính xác là

u(x) = sin x − cos x.

Trang 30

Ví dụ 2.2.3 (Bài tập 4.2.2, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmbằng cách sử dụng phương pháp biến đổi phân tích

u(x) = e3x−19(2e

+ 1)x +Z 1

ta phân tích f (x)

f (x) = e3x −19(2e

3+ 1)x.thành hai phần:

f1(x) = e3x,f2(x) = −19(2e

3+ 1)x.

Tiếp theo, chúng ta sử dụng hệ thức truy hồi ở (2.20) để có đượcu0(x) = e3x,

u1(x) = −19(2e

3+ 1)x +Z 1

xtu0dt = 0,

uk+1(x) =Z 1

Trang 31

đã cho.Chú ý rằng rằng cần phải có một điều kiện cần thiết để xuất hiệncác số hạng nhiễu đó là thành phần thứ không u0(x) phải chứa nghiệmchính xác của u(x) Mặt khác, nếu các thành phần không bị triệt tiêu củau0(x) không thỏa mãn phương trình tích phân đã cho hoặc các số hạngnhiễu không xuất hiện giữa u(x) và u1(x) thì cần xác định thêm các thànhphần của u(x) để xác định nghiệm dạng chuỗi như đã trình bày ở phầntrước.Người ta chỉ ra rằng, số hạng nhiễu xuất hiện trong các trường hợpđặc biệt của phương trình vi phân và tích phân không thuần nhất, trongkhi các phương trình thuần nhất không làm phát sinh nhiều các thànhphần nhiễu Phương pháp số hạng nhiễu được minh họa qua các ví dụ sau:Ví dụ 2.3.1 (Bài tập 4.2.3, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmbằng cách sử dụng số hạng nhiễu:

u(x) = 1 +π

2+ ln 2

x +cos x1 + sin x−

Z π20

x +cos x1 + sin x,uk+1(x) = −x

Z π20

u(t)dt,k ⩾ 0Tương đương với:

u0(x) = 1 +π

2+ ln 2

x +cos x1 + sin x,u1(x) = −x

Z π20

u0(t)dt = −π3

16x − x ln 2 −

π2ln 2

π2x,u2(x) = −x

Z π20

u1(t)dt =π316x +

π4ln 264x +

π2ln 2

Các số hạng nhiễu ±π2x, ±x ln 2 xuất hiện in u0(x)và u1(x) Triêt tiệu sốhạng nhiễu này khỏi thành phần thứ không u0(x) , và các thành phần sautriệt tiêu số hạng nhiễu tương tự như vậ, ta đưa ra nghiệm chính xác

u(x) = 1 +cos x1 + sin x.

Nghiệm thỏa mãn phương trình tích phân Các số hạng nhiễu khác củau1(x)triệt tiêu với các số hạng khác của các thành phần sau.

Trang 32

Ví dụ 2.3.2 (Bài tập 4.2.3 [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmbằng cách sử dụng số hạng nhiễu:

u(x) = x

1 + π +π22

+ x sin x −Z π

+ x sin x,

uk+1(x) = −xZ π

u(t)dt,k ⩾ 0.Ta có:

u0(x) = x

1 + π +π22

+ x sin x,

u1(x) = −xZ π

u0(t)dt = −x

π +π22+

Các số hạng nhiễu ±π22x, ±xπ xuất hiện trong u0(x) vàu1(x) Triệu tiêusố hạng này khỏi thành phần thứ không u0(x) ta đưa ra nghiệm chính xác

u(x) = x + xsinx.

Nghiệm thỏa mãn phương trình tích phân Cần lưu ý rằng các số hạnnhiễu khác của u1(x) sẽ bị triệu tiêu với các số hạng nhiễu của các thànhphần sau đó.

Ví dụ 2.3.3 (Bài tập 4.2.3, [3]) Giải phương trình tích phân Fredholmbằng cách sử dụng số hạng nhiễu:

u(x) = x(π − 2 + sin x + cos x) −Z π

xu(t)dt.Phương pháp Adomian tiêu chuẩn đưa ra hệ thức truy hồi sau:

u0(x) = x(π − 2 + sin x + cos x),uk+1(x) = −

Z π0

xu(t)dt,k ⩾ 0.Điều này cho

u0(x) = x(π − 2 + sin x + cos x),u1(x) = −

Z π

xu0(t)dt = x(π − 2 − π2+π32).

Trang 33

Các số hạng nhiễu ±πx, ±2x xuất hiện trong u0(x) và u1(x) Triệt tiêucác số hạng này khỏi thành phần thứ không u0(x) đưa ra nghiệm chínhxác

u(x) = x sin x + x cos x.

Nghiệm đó thỏa mãn phương trình tích phân Các số hạng nhiễu khác củau1(x) sẽ triệt tiêu với các số hạng nhiễu của các thành phần tiếp sau.

2.4 Phương pháp lặp biến phân

Phương pháp này cho ra các xấp xỉ liên tiếp hội tụ một cách nhanhchóng để tìm nghiệm chính xác nếu nghiệm chính xác tồn tại.Phương phápnày làm việc khá hiệu quả nếu như hạt nhân K(x, t) tách được và có thểđược viết dưới dạng K(x, t) = g(x)h(t) Ta sẽ đạo hàm cả hai vế củaphương trình tích phân Fredholm để biến đổi nó thành phương trình vitích phân Fredholm Để ý rằng phương trình vi tích phân cần có điều kiệnban đầu Chúng ta sẽ chỉ để ý đến trường hợp g(x) = xn, n ≥ 1 Phươngtrình tích phân Fredholm dạng

u(x) = f (x) +Z b

u(x) = f (x) + g(x)Z b

Hàm hiệu chỉnh cho phương trình tích phân (2.28) là

un+1(x) = un(x) +Z x

λ(ξ)u′n(ξ) − f′(ξ) − g′(ξ)Z b

Trang 34

Như đã trình bày trước đó, phương pháp lặp tích phân được sử dụng bằnghai bước cơ bản Đầu tiên, xác định nhân tử Lagrange λ(ξ) bằng cách tíchphân từng phần và sử dụng biến phân hạn chế Khi xác định được λ, côngthức truy hồi được cho bởi

un+1(x) = un(x) −Z x

u′n(ξ) − f′(ξ) − g′(ξ)Z b

dξ (2.30)

được sử dụng để xác định các xấp xỉ liên tiếp un+1(x), n ≥ 0 của nghiệmu(x) Xấp xỉ thứ không u0 có thể được chọn bởi hàm bất kì Tuy nhiên,ta nên sử dụng giá trị ban đầu u(0) để làm xấp xỉ thứ không Cuối cùng,nghiệm thu được là

2+Z 1

xt + x2t2 u(t)dt.(2.32)

Đạo hàm cả hai vế ta được:

u′(x) =−215x +

Z 1−1

t + 2xt2 u(t)dt.

Hàm hiệu chỉnh được cho bởi công thức sau:

u′n(ξ) −−215ξ −

Z 1−1

r + 2ξr2 u(r)dr

Trang 35

Điều kiện ban đầu là u0(x) = u(0) = 1 khi cho x = 0 Ta cóu0(x) = 1,

u1(x) = u0(x) −Z x

u′0(ξ) −−215ξ −

Z 1−1

r + 2ξr2 u0(r)dr

= 1 +35x

u2(x) = u1(x) −Z x

u′1(ξ) −−215ξ −

Z 1−1

r + 2ξr2 u1(r)dr

= 1 +35x

u3(x) = u2(x) −Z x

u′2(ξ) −−215ξ −

Z 1−1

r + 2ξr2 u2(r)dr

= 1 +35x

un+1(x) = 1 +35x

+ +35.

5nx2 = 1 +35.

(2/5)n+1 − 12/5 − 1x

Ta thu được nghiệm

Hàm đúng của phương trình được cho bởi vớin ≥ 0 ta có:

un+1(x) = un(x)−Z x

u′n(ξ) − (π + 2) − cos ξ − sin ξ +Z π

Ta chọn điều kiện ban đầu u0(x) = sin x − cos x Từ đây, ta được các xấp

Trang 36

sỉ sau

u0(x) = sin x − cos x,u1(x) = u0(x) −

Z x0

u′0(ξ) − (π + 2) − cos ξ − sin ξ +Z π

dξ= sin x − cos x,

u2(x) = u1(x) −Z x

u′1(ξ) − (π + 2) − cos ξ − sin ξ +Z π

u3(x) = u2(x) −Z x

u′2(ξ) − (π + 2) − cos ξ − sin ξ +Z π

un+1(x) = sin x − cos x, n ≥ 0.

Phương pháp này cho ta thu được nghiệmu(x) = lim

n→∞un(x) = sin x − cos x.

Ví dụ 2.4.3 (Bài tập 4.2.4, [3]) Sử dụng phương pháp lặp tích phân đểgiải phương trình tích phân Fredholm sau

u(x) = cos x + 2x +Z π

Đạo hàm hai vế ta được:

u′(x) = −sinx + 2 +Z π

Hàm hiệu chỉnh là

u′(ξ) + sinx − 2 −Z π

Trang 37

Điều kiện ban đầu là u0(x) = u(0) = 1 khi cho x = 0 Ta cóu0(x) = 1,

u1(x) = u0(x) −Z x

u′0(ξ) + sinξ − 2 −Z π

= cosx + 2x +π22x,u2(x) = u1(x) −

Z x0

u′1(ξ) + sinξ − 2 −Z π

= cosx + 2x +π22x −

π2

2+ 2 −23.

và tương tự như vậy, bỏ qua các thành phần nhiễu ta thu được nghiệmchính xác

u(x) = cosx.

2.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp, hay còn gọi là phương pháp lặp Picard.Phương pháp này cung cấp 1 lược đồ có thể được sử dụng để giải các bàitoán giá trị ban đầu hoặc phương trình tích phân Phương pháp này giảiquyết bất kỳ bài toán nào bằng cách tìm các giá trị gần đúng liên tiếp cholời giải bằng cách bắt đầu với một phỏng đoán ban đầu là u0(x), được gọilà xấp xỉ thứ 0 Có thể thấy rằng, xấp xỉ thứ không là bất kỳ hàm có giátrị thực chọn lọc nào sẽ được sử dụng trong quan hệ lặp lại để xác địnhcác giá trị gần đúng khác Các giá trị được sử dụng phổ biến nhất cho cácgiá trị gần đúng thứ 0 là 0, 1 hoặc x Tất nhiên, các giá trị thực khác cũngcó thể được chọn Cho phương trình tích phân Fredholm của loại thứ hai:

u(x) = f (x) + λZ b