Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Khoa học tự nhiên UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA - SINH ---------- HUỲNH THỊ THU THỦY TÊN ĐỀ TÀI SỬ DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TRONG NGHIÊN CỨU KHÍ HELIUM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong bài khóa luận là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một bài nào khác. Người thực hiện Huỳnh Thị Thu Thủy TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA LÝ – HÓA - SINH ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: SỬ DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TRONG NGHIÊN CỨU KHÍ HELIUM Sinh viên thực hiện HUỲNH THỊ THU THỦY MSSV: 2113010242 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ KHÓA 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn TS. VÕ THỊ HOA MSCB: … Quảng Nam, tháng 5 năm 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Quảng Nam, các thầy cô trong ban lãnh đạo nhà trường, cùng các thầy cô trong khoa Lý – Hóa – Sinh thuộc trường Đại học Quảng Nam và đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy lớp Đại học sư phạm Vật Lí – k13 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo TS. Võ Thị Hoa đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện bài khóa luận để tôi hoàn thành bài khóa luận một cách tốt nhất. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đặc biệt là tập thể lớp Đại học sư phạm Vật Lí K13 trường Đại học Quảng Nam và gia đình đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Người thực hiện Huỳnh Thị Thu Thủy DANH MỤC BẢNG Bảng 3.1. Số liệu thực nghiệm hệ số Virian của khí Helium ................................... 30 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 3.1. Vị trí của phân tử thứ i làm gốc trong tọa độ cầu ..................................... 26 Hình 3.2. Mô hình tương tác giữa hai phân tử i và k ............................................... 28 Hình 3.3. Mô hình tương tác thế Lennard – Jones ................................................... 29 Hình 3.4. Sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ của khí Helium theo mô hình lý thuyết .............................................................................................. 30 Hình 3.5. Số liệu thực nghiệm sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ của khí Helium ................................................................................................... 31 Hình 3.6. Hệ số Virian thu được khi so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm .......... 31 Hình 3.7. Hệ số Virian bậc 2 thu được của A.B. Kaplun cùng các cộng sự: B.I. Kidyarov, A.B. Meshalkin and A.V. Shishkin ......................................................... 32 MỤC LỤC PHẦN A. MỞ ĐẦU .......................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1 4. Giả thuyết khoa học....................................................................................... 2 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2 7. Cấu trúc khóa luận......................................................................................... 2 PHẦN B. NỘI DUNG ....................................................................................... 3 Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ VẬT LÝ THỐNG KÊ .............. 3 1.1. CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ......................................... 3 1.1.1. Xác suất của biến cố ................................................................................ 3 1.1.2. Hàm phân bố của xác suất ....................................................................... 4 1.1.3. Định lý cộng xác suất .............................................................................. 4 1.1.4. Định lý nhân xác suất .............................................................................. 6 1.1.5. Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên .......................................... 7 1.2. CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG ...................................................................... 10 1.2.1. Khái niệm hàm nhiệt động .................................................................... 10 1.2.2. Entanpi H = H (S, p) là một hàm nhiệt động ........................................ 11 1.2.3. Entropi S = S (U, V) là một hàm nhiệt động ........................................ 11 1.2.4. Năng lượng tự do ψ = ψ ( T, V ) là một hàm nhiệt động ...................... 12 1.2.5. Nội năng U = U(V, S) là một hàm nhiệt động ...................................... 13 1.2.6. Thế nhiệt động Gipps Z = Z(T, p) là một hàm nhiệt động ................... 14 1.2.7. Tính chất của hàm nhiệt động ............................................................... 14 1.3. GIỚI THIỆU KHÍ HELIUM .................................................................... 15 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 16 CHƯƠNG 2: PHÂN BỐ GIBBS .................................................................... 17 2.1. PHÂN BỐ CHÍNH TẮC GIBBS ............................................................. 17 2.2. ÁP DỤNG PHÂN BỐ CHÍNH TẮC GIBBS TRONG NGHIÊN CỨU HỆ KHÍ LÝ TƯỞNG ...................................................................................... 20 2.2.1. Tích phân trạng thái của khí lý tưởng ................................................... 20 2.2.2. Năng lượng tự do của khí lý tưởng ....................................................... 21 2.2.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng .............................................. 22 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 23 CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TÍNH HỆ SỐ VIRIAN CHO KHÍ THỰC HELIUM VỚI MÔ HÌNH THẾ LENNARD - JONES .............. 24 3.1. ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TRONG NGHIÊN CỨU KHÍ THỰC.... 24 3.2. ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TÍNH HỆ SỐ VIRIAN CHO KHÍ THỰC HELIUM VỚI MÔ HÌNH THẾ LENNARD - JONES .................................. 28 3.2.1. Mô hình thế Lennard - Jones ................................................................. 28 3.2.2. Tính hệ số Virian với mô hình thế Lennard - Jone ............................... 29 3.3. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ ............................................................................ 30 3.3.1. Các số liệu thực nghiệm ........................................................................ 30 3.3.2. So sánh kết quả tính với số liệu thực nghiệm ....................................... 31 3.3.3. So sánh với kết quả tính của tác giả khác ............................................. 32 Kết luận chương 3 ........................................................................................... 33 PHẦN C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................ 34 1. Kết luận ....................................................................................................... 34 2. Kiến nghị ..................................................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35 1 PHẦN A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học, áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê. Một trong những phân bố quan trọng của thống kê cổ điển là phân bố Gibbs thường dùng trong nghiên cứu cấu trúc vật chất của hệ đẳng nhiệt, nhờ đó ta tìm ra được các đại lượng thống kê tương tự như các hàm nhiệt của hệ như: entropi, nội năng, năng lượng tự do, nhiệt dung, … Khí lý tưởng và khí thực khác nhau ở đặc tính tương tác giữa các phân tử, nội năng của khí thực ngoài phần nội năng của khí lý tưởng còn thêm phần năng lượng tương tác giữa các phân tử. Do đó, để khảo sát được các hàm nhiệt của khí thực cần phải xác định được năng lượng tương tác này nhờ vào các hàm phân bố. Khí Helium được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằng ngày, ví dụ như: Helium nhẹ hơn không khí nên có thể dùng để bơm khí cầu vào bóng bay, dùng để ngưng tụ hydro và oxy tạo nhiên liệu tên lửa, Helium còn được thêm vào bình dưỡng khí để thợ lặn có thể thở dễ dàng hơn điều này đặc biệt quan trọng cho những người lặn sâu, nhờ khí Helium mà người ta có thể dễ dàng phát hiện rò rỉ trong các thiết bị có chân không cao và áp suất cao… Đó là lý do em chọn đề tài: “Sử dụng phân bố Gibbs trong nghiên cứ u khí Helium’’ 2. Mục tiêu nghiên cứu - Khái quát được các kiến thức về vật lý thống kê - Hàm phân bố Gibbs - Sử dụng phân bố Gibbs trong nghiên cứu khí Helium 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết xác suất về vật lý thống kê. - Nghiên cứu các hàm thế nhiệt động và mối quan hệ giữa các tham số. 2 - Thiết lập hàm phân bố Gibbs và sử dụng hàm phân bố Gibbs trong nghiên cứu hệ khí lý tưởng và khí Helium. 4. Giả thuyết khoa học Nếu việc sử dụng phân bố Gipps trong nghiên cứu khí Helium được tiến hành một cách khoa học thì sẽ góp phần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động cho sinh viên. Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả, khả năng tự học tự nghiên cứu kiến thức về vật lý thống kê cho sinh viên, đặc biệt là sinh viên chuyên nghành Vật lý. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các luận đề cơ bản của vật lý thống kê - Hàm phân bố Gibbs và sử dụng hàm phân bố Gibbs trong nghiên cứu khí Helium 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp phân tích tổng hợp, tính toán giải tích - Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số 7. Cấu trúc khóa luận - Chương 1: Tổng quan lý thuyết về vật lý thống kê - Chương 2: Phân bố Gibbs - Chương 3: Sử dụng phân bố Gibbs trong nghiên cứu khí Helium 3 PHẦN B. NỘI DUNG Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1. CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1. Xác suất của biến cố Trong lí thuyết xác suất, một biến cố là một tập các kết quả đầu ra (hay còn gọi là một tập con của không gian mẫu) mà tương ứng với nó người ta sẽ gán kèm với một số thực (hay còn gọi là một xác suất). Thông thường, nếu không gian mẫu là hữu hạn, thì bất kì tập con nào của không gian mẫu cũng được xem là một biến cố. Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp không gian mẫu là vô hạn, đáng chú ý là khi đầu ra của một phép thử là một số thực. Vì thế, khi định ra một không gian xác suất, nếu có thể, người ta thường tìm cách loại bỏ các tập con của không gian mẫu mà không được xem là biến cố . Ví dụ đơn giản về biến cố, người ta thường khảo sát sự xuất hiện mặt này hay mặt kia của đồng tiền xu khi ta tung nó, hoặc là sự xuất hiện một con số (điểm) nào đó khi gieo con xúc xắc. Ở đây, ta coi việc xuất hiện mặt này hay mặt kia (con số) như là một biến cố riêng lẻ. Tỉ số của số lần xuất hiện cùng một con số (khi gieo con xúc xắc nhiều lần) chia cho số lần ném tổng cộng được gọi là tần số lặp lại của biến cố đã cho trong một loạt các phép thử đồng tính. Khi số lần thử tổng cộng tăng lên thì tần số lặp lại sẽ càng tiến tới một giới hạn không đổi, được gọi là xác suất của biến cố đã cho. Trong trường hợp tổng quát, nếu một biến cố nào đó xảy ra n lần trong tổng cộng N lần thử thì về phương diện toán học, xác suất được xác định như là giới hạn của tỉ số của số biến cố thuận lợi n i chia cho số biến cố tổng cộng N với điều kiện là số lần thử trong nhóm đó tiến đến vô hạn. Nói cách khác, xác suất Wi của biến cố đó sẽ bằng: W୧ ൌ lim →ஶ ୬ (1.1) Trong vật lý học, các đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian. Khi đó xác suất của một trạng thái nào đó của hệ có thể xác định theo công thức: W ൌ lim →ஶ ୲ (1.2) 4 trong đó: t là thời gian lưu lại của hệ trong trạng thái đã cho T là thời gian quan sát tổng cộng Từ đó suy ra rằng, để xác định bằng thí nghiệm xác suất của một biến cố nào đó, ta cần phải tiến hành nếu không phải là một số vô hạn thì củng là một số rất lớn phép thử N, tìm biến cố thuận lợi ni và tìm xác suất W của biến cố đó bằng cách lập tỉ số của chúng. 1.1.2. Hàm phân bố của xác suất Đại lượng ngẫu nhiên có thể có một số (hoàn toàn xác định) các trị số khác nhau, và chúng ta đã gọi biến cố là những trường hợp trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trong các trị số đó, và chúng ta đã gán cho biến cố đó một xác suất nhất định. Bên cạnh các đại lượng như vậy, còn có các đại lượng ngẫu nhiên có thể có một tập hợp vô hạn các trị số khác nhau vô cùng gần nhau. Các đại lượng này có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có các trị số phân bố trong một khoảng nào đó từ x đến x + dx. Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x được kí hiệu là ∆W(x). Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì xác suất sẽ là dW(x). Xác suất dW(x) sao cho các đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ phụ thuộc vào chính số x đó, nghĩa là nó là một hàm f(x); hay tỉ lệ với chiều rộng của khoảng dx. dW(x) = f(x)dx (1.3) Tập hợp tất cả các trị số của xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác định bởi hàm f(x). Vậy, hàm f(x) này thường được gọi là hàm phân bố xác suất. 1.1.3. Định lý cộng xác suất a, Hai biến cố xung khắc Giả sử hai biến cố xung khắc A và B (tức là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời). Xét một biến cố phức tạp trong đó hoặc biến cố A hoặc biến cố B sẽ xảy ra. Khi đó theo định nghĩa xác suất của biến cố ta suy ra xác suất của biến cố phức tạp: 5 W (A hoặc B) = lim →ஶ ୬ఽ ା୬ా (1.4) Trong đó: n là số tổng cộng các phép thử nA , nB là số lần xảy ra các biến A và B tương ứng Theo định nghĩa xác suất của biến cố, ta có: lim →ஶ ୬ ఽ ൌ WሺAሻ và lim →ஶ ୬ా ൌ WሺBሻ Nên xác suất của biến cố phức tạp được biểu thị như là tổng các xác suất của các biến cố riêng biệt: W (A hoặc B) = W (A) + W (B) (1.5) Trong trường hợp hàm phân bố liên tục, nếu ta chú ý tới xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên nằm, hoặc trong khoảng từ x1 đến x1+dx1 hoặc là trong khoảng x 2 đến x2 + dx2 , ta có: dW(x1 hoặc x2 ) = dW(x1 ) + dW(x 2) = f(x 1 )dx1 + f(x 2 )dx 2 Ta có thể mở rộng định lý đó cho một số các biến cố xung khắc: W(A hoặc B, hoặc C,…, hoặc K) = W(A) + W(B) +…+ W(K) Theo định lý cộng xác suất, xác suất của biến cố sao cho một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có một trong các trị số nằm trong khoảng từ x1 đến x2 sẽ bằng: W (từ x1 đến x2) = ∑ ∆Wሺx ୧୧ ሻ ൌ dWሺxሻ ୶ మ ୶భ (1.6) b, Hệ đủ các biến cố Hệ đủ các biến cố là tất cả các biến cố có thể xảy ra trong phép thử đã cho. Tổng các xác suất đối với hệ đủ các biến cố là bằng 1, bởi vì việc xuất hiện của một biến cố bất kỳ nào trong hệ đủ đều là một biến cố chắc chắn. Nếu các biến cố A, B, …, D tạo thành một hệ đủ thì: W(A) + W(B) +…+ W(D) = 1 (1.7) Trong hệ đủ các biến cố, xác suất xảy ra một trong các biến cố không bao giờ có thể lớn hơn tổng các xác suất xảy ra tất cả các biến cố. Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hệ đủ các biến cố có thể có bất kỳ trị số nào trong toàn bộ khoảng biến thiên của đại lượng ngẫu nhiên từ a đến b hoặc 6 từ െ∞ đến ∞ . Tất nhiên xác suất tìm một đại lượng ngẫu nhiên trong toàn bộ khoảng các giá trị khả dĩ của nó là một biến cố chắc chắn. Vì vậy: dWሺxሻ ାஶି ஶ ൌ fሺxሻdx ൌ 1 ାஶି ஶ (1.8) là diện tích giới hạn bởi đường cong f(x) và trục x cần phải bằng đơn vị. Điều kiện đó gọi là điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố. c, Hệ đủ các biến cố dùng để xác định trị số mỗi xác suất Nếu 2 biến cố xung khắc A và B tạo thành hệ đủ các biến cố A là đối lập với biến cố B. Xác suất của bất kỳ biến cố nào có thể xác định theo xác suất của biến cố đối lập theo công thức: W(A) = 1 – W(B) (1.9) tức là xác suất của bất kì biến cố nào đều bằng đơn vị trừ đi xác suất của biến cố xung đối với nó. 1.1.4. Định lý nhân xác suất Một biến cố phức tạp nào đó chỉ xảy ra với điều kiện là có biến cố khác xảy ra. Trong trường hợp đó, xác suất của biến cố phức tạp đó gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện xảy ra biến cố A với điều kiện là có biến cố B xảy ra được xác định theo công thức: W(A với điều kiện có B) = W(A) W(B) (1.10) Xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đồng thời xảy ra hai biến cố độc lập A và B được xác định bằng tích của các xác suất W(A) và W(B) của các biến cố độc lập riêng biệt A và B theo công thức: W(A và B) = W(A) W(B) (1.11) Mở rộng cho trường hợp có nhiều biến cố độc lập: W(A và B, và C,…, và K) = W(A)…W(B)…W(K)… (1.12) Xác suất xảy ra chỉ một trong các biến cố sẽ luôn luôn lớn hơn xác suất xảy ra biến cố đó cùng các biến cố độc lập khác. Trong trường hợp các đại lương x và y là độc lập có nghĩa những trị số xác định nào đó của đại lượng x sẽ không ảnh hưởng tới các định luật phân bố của y. Xác suất của một biến cố phức tạp, sao cho đại lượng ngẫu nhiên x có trị số trong khoảng từ x đến x +dx và đồng thời đại lượng 7 ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng từ y đến y + dy, được xác định bằng tích các xác suất: dW(x,y) = dW(x) dW(y) = f(x)dx f(y)dy = f(x)f(y) dxdy (1.13) Tích các hàm f(x) f(y) là hàm phân bố của hai đại lượng ngẫu nhiên 1.1.5. Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên a, Trị trung bình Trị trung bình: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên x có thể có: Trị số x 1 với xác suất W1 (hoặc là trị số đó xuất hiện n1 lần trong N lần thử) Trị số x 2 với xác suất W2 (hoặc là trị số đó xuất hiện n2 lần trong N lần thử) … Trị số x k với xác suất Wk (hoặc là trị số đó xuất hiện nk lần trong N lần thử) Khi đó tổng các tổng các trị số của đại lượng ngẫu nhiên trong N lần thử sẽ là: x1 n1 + x2 n2 +…+ xk n k Để tìm trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên x, tức là trị số ứng với một lần thử, ta cần chia tổng đó cho tổng các lần thử: x ൌ ୶భ ୬భ ା ୶మ ୬మ ା⋯ା ୶ౡ ୬ ౡ (1.14) Khi số lần thử tổng cộng N là khác nhau thì các trị số của đại lượng trung bình sẽ khác nhau, vì các đại lượng mà ta đang xét mang tính ngẫu nhiên. Tuy nhiên khi N tăng lên thì trị trung bình của đại lượng x sẽ tiến tới một giới hạn xác định a và khi N càng lớn thì càng gần tới bằng a: a ൌ lim →ஶ x ൌ xଵ lim →ஶ ୬ భ ⋯ x ୩ lim →ஶ ୬ ౡ ൌ xଵ Wଵ x ଶ Wଶ ⋯ x ୩ W୩ ൌ ∑ x ୧ W ୧ ୩ ୧ୀଵ (1.15) Đẳng thức trên biểu thị định luật về các số lớn hay định lý Chêbưxép: Trị trung bình của một đại lương ngẫu nhiên sẽ dần tới một số không đổi khi số phép đo (thử) là rất lớn. 8 Nếu đại lượng ngẫu nhiên x biến thiên liên tục thì trị trung bình của nó có thể tìm được bằng cách lấy tích phân: x ൌ xfሺxሻdx ାஶି ஶ (1.16) Các tính chất quan trọng của trị trung bình: + Trị trung bình của một đại lượng không đổi A là bằng chính đại lượng không đổi đó, có nghĩa: A ൌ A ൌ const + Trị trung bình x của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó là một đại lượng không đổi, nghĩa là x ൌ const của các đại lượng đó, nghĩa là: ሺx y zሻ = x + y + z (1.17) + Trị trung bình của tích của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập với nhau và bằng tích của các trị trung bình của các đại lượng đó, nghĩa là: ሺxyሻ ൌ x y Đối với nhiều đại lượng độc lập, ta có: ሺxy … tሻ ൌ x y…t (1.18) Trị toàn phương trung bình: Do nguyên nhân này hoặc nguyên nhân khác nếu chỉ biết trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên là chưa đủ thì người ta không những tìm trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên mà còn tìm trị trung bình của bình phương của đại lượng đó, được gọi là trị toàn phương trung bình. Trị toàn phương trung bình đối với các đại lượng có trị số gián đoạn: ሺxሻ ଶ ൌ ∑ x ୧ ଶ W ୧ ୩ ୧ୀଵ (1.19) Trị toàn phương trung bình đối với các đại lượng ngẫu nhiên biến thiên liên tục: ሺxሻ ଶ ൌ x ଶ fሺxሻdx ஶି ஶ (1.20) Trị toàn phương trung bình của một đại lượng ngẫu nhiên ሺxሻଶ luôn luôn dương và khác không. 9 Trị trung bình của một hàm tùy ý F(x) của đại lượng ngẫu nhiên x được xác định bằng công thức tổng quát: Trong trường hợp phân bố gián đoạn: F ൌ ∑ Fሺx ୧ ሻ W ୧ ୩ ୧ୀଵ (1.21) Và trong trường hợp phân bố liên tục: F ൌ FሺxሻdWሺxሻ ൌ Fሺxሻfሺxሻdx ஶି ஶ ஶି ஶ (1.22) Để tìm trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên hoặc trị trung bình của hàm của đại lượng ngẫu nhiên dựa vào hàm phân bố chưa chuẩn hóa, ta dùng các công thức: F ൌ ሺ୶ሻሺ୶ሻୢ୶ ಮ షಮ ሺ୶ሻୢ୶ ಮ షಮ (1.23) x ൌ ୶ሺ୶ሻୢ୶ ಮ షಮ ሺ୶ሻୢ୶ ಮ షಮ (1.24) (ta lấy tích phân theo toàn bộ miền các giá trị khả hữu của đại lượng ngẫu nhiên x) Nếu f ch = Af là hàm phân bố đã được chuẩn hóa, ta có: fୡ୦ dx ൌ 1 ൌ A fdx ஶି ஶ ஶି ஶ (1.25) Suy ra: A ൌ ଵ ୢ୶ ಮ షಮ Do đó: F ൌ Ffୡ୦ dx ൌ FAfdx ൌ A Ffdx ൌ ୢ୶ ಮ షಮ ୢ୶ ಮ షಮ ஶି ஶ ஶି ஶ ஶି ஶ (1.26) b, Độ lệch so với trị trung bình Trong nhiều trường hợp, trị trung bình và trị toàn phương trung bình chưa đủ đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên. Nếu lấy trị trung bình của độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên x so với trị trung bình x của nó là tìm trị trung bình của các số: ∆xଵ ൌ ሺxଵ െ xሻ, ∆x ଶ ൌ ሺx ଶ െ xሻ, … , ∆x ୩ ൌ ሺx ୩ െ xሻ (1.27) ta thu được trị số bằng 0. Thật vậy: ∆x ൌ ሺxଵ െ xሻWଵ ሺx ଶ െ xሻWଶ ⋯ ሺx ୩ െ xሻW୩ ൌ xଵ Wଵ x ଶ Wଶ ⋯ x ୩ W୩ െ xሺWଵ Wଶ ⋯ W୩ ሻ 10 ൌ x െx. 1 ൌ 0 ሺ1.28ሻ Và ∆x ൌ ሺx െ xሻfሺxሻdx ൌ xfሺxሻ െ x fሺxሻdx ൌ x െ x. 1 ൌ 0 (1.29) Trị trung bình của môđun độ lệch của đại lượng ngẫu nhiên so với trị trung bình: ห∆xห ൌ ∑ x ୧ െ xW ୧ ୩ ୧ୀଵ hoặc là ห∆xห ൌ x െ xfሺxሻdx (1.30) Tuy nhiên phép tính này thường phức tạp và đôi khi không thể thực hiện được. Để đặc trưng cho phân bố của đại lượng ngẫu nhiên ở gần trị trung bình của nó, người ta thường sử dụng độ lệch quân phương hay trị trung bình của bình phương độ lệch và được gọi là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên, được xác định theo công thức: ∆x ଶ ൌ ∑ ሺx ୧ െ xሻ ଶ W୧ và ∆x ଶ ൌ ሺx െ xሻ ଶ fሺxሻdx ୩ ୧ୀଵ (1.31) Ta có: ∆x ଶ ൌ ሺx െ xሻ ଶ ൌ x ଶ െ x ଶ Căn số của phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên được gọi là độ lệch quân phương của đại lượng ngẫu nhiên đó, trong vật lí người ta gọi đó là độ thăng giáng: ට∑ ሺx ୧ െ xሻ ଶ W ୧ ୩ ୧ୀଵ và ට ሺx െ xሻ ଶ fሺxሻdx ஶି ஶ (1.32) Độ thăng giáng tương đối xác định theo công thức: δ ൌ ට∆୶ మ ୶ (1.33) 1.2. CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG 1.2.1. Khái niệm hàm nhiệt động Phương pháp hàm nhiệt động hay còn gọi là phương pháp hàm đặc trưng là một phương pháp tích phân do Gibbs xây dựng dựa trên việc vận dụng phương trình cơ bản của nhiệt động lực học: TdS ൌ dU δA ୫ୟ୶ (1.34) Thực chất của phương pháp này là khi áp dụng hệ thức (1.34) vào các hệ hoặc quá trình tiến hành trong những điều kiện xác định, ta có thể chọn ra các hàm trạng thái ứng với những cặp biến số xác định cho phép thông qua các hàm đó hoặc đạo hàm bậc một và bậc hai của chúng, biển diễn các tính chất nhiệt động của hệ khảo 11 sát. Các hàm trạng thái này có đặc tính chung là độ giảm của chúng trong các quá trình cân bằng tiến hành trong điều kiện các cặp biến cố tự nhiên tương ứng không thay đổi và bằng công ích cực đại. Tương tự trong cơ học, công của vật rơi tự do bằng độ giảm của thế năng của vật đó trong trường, các hàm này được gọi là các hàm nhiệt động. Trong hệ thức (1.34) δA ୫ୟ୶ là nguyên tố công cực đại bao gồm công cơ học PdV và các dạng công khác gọi là công hữu ích A’, do đó có thể viết: TdS ൌ dU pdV δA′୫ୟ୶ (1.35) => δA′ ୫ୟ୶ ൌ TdS െ dU െ pdV (1.36) 1.2.2. Entanpi H = H (S, p) là một hàm nhiệt động Nếu chọn các biến cố độc lập của hệ đơn giản là S và p thì hàm đặc trưng sẽ là: H(S, p) = U + pV. Từ phương trình TdS = dU + pdV ta chuyển từ các vi phân dS và dV sang các vi phân của S và p, ta được: TdS + Vdp = d(U + pV) Hay: dH = TdS + Vdp (1.37) trong đó hàm H = U + pV được gọi là entanpi và là thế nhiệt động Lấy vi phân 2 vế hàm H = H(S, p), ta được: dH ൌ ቀ பୌ பୗ ቁ ୮ dS ቀ பୌ ப୮ ቁ ୱ dp (1.38) So sánh (1.37) và (1.38) ta có: T ൌ ቀ பୌ பୗ ቁ ୮ và V ൌ ቀ பୌ ப୮ ቁ ୱ (1.39) Lấy đạo hàm bậc hai của H theo S, ta có: ቀ ப మ ୌ பୗమ ቁ ୮ ൌ ቀ ப பୗ ቁ ୮ ൌ ሺ ப பୗ ሻ ୮ ൌ T ቀ ப ப୕ ቁ ୮ ൌ େ౦ => C ୮ ൌ ൬ ಢమ ౄ ಢమ ൰ ౦ (1.40) Như vậy, tương tự hàm U = U(S, V), hàm H = H(S, p) là một hàm đặc trưng vì qua nó các đạo hàm bậc một và bậc hai ta có thể biểu diễn rõ rệt các tính chất nhiệt động của hệ. 1.2.3. Entropi S = S (U, V) là một hàm nhiệt động 12 Khảo sát hệ đơn giản khi công hữu ích δA′୫ୟ୶ ൌ 0 , khi đó phương trình (1.40) viết dưới dạng: TdS = dU + pdV dU = TdS – pdV (1.41) Suy ra: dS ൌ ଵ dU dV (1.42) Mặt khác S = S(U, V) và lấy vi phân 2 vế ta được: dS ൌ ቀ பୗ ப ቁ dU ቀ பୗ ப ቁ dV (1.43) So sánh (1.42) và (1.43), ta rút ra: T ൌ ଵ ሺபୗபሻ và P ൌ ቀ ಢ ಢ ቁ ቀ ಢ ಢ ቁ (1.44) Như vậy S = S(U, V) là hàm đặc trưng. 1.2.4. Năng lượng tự do ψ = ψ ( T, V ) là một hàm nhiệt động Nếu chọn các biến số độc lập của hệ đơn giản là T và V thì thực hiện cách biến đổi Legendre (1.41) sao cho trong phương trình đó có chứa các vi phân dT và dV, đem trừ cả 2 vế (1.41) cho vi phân d(T, S) ta được: TdS – d(TS) = dU + pdV – d(TS) (1.45) => - SdT = d(U – TS) + pdV (1.46) Kí hiệu: ψ = U – TS (1.47) Vi phân toàn phần (1.47), ta được: dΨ ൌ dU െ TdS െ SdT (1.48) Kết hợp (1.41) và (1.48) ta được: dΨ ൌ െpdV െ SdT (1.49) Mặt khác ψ = ψ(V, T) và lấy vi phân 2 vế (1.49) ta được: dΨ ൌ ቀ பஏ ப ቁ dV ቀ பஏ ப ቁ dT (1.50) So sánh (1.49) và (1.50), suy ra: p ൌ െ ቀ பஏ ப ቁ và S ൌ െ ቀ பஏ ப ቁ (1.51) Lấy đạo hàm bậc hai của Ψ theo V ta có: ቆ∂ଶ Ψ ∂T ଶ ቇ ൌ െ ൬ ∂S ∂T ൰ ൌ െ ൬ T ∂S T ∂T ൰ ൌ െ 1 T ൬ ∂Q ∂T൰ ൌ െ C T 13 => Nhiệt dung C ൌ െT ቀ ப మ ஏ பమ ቁ (1.52) Vậy hàm Ψ là hàm đặc trưng hay thế nhiệt động. Hàm Ψ = U – TS do Helmholtz đưa vào và được gọi là năng lượng tự do. 1.2.5. Nội năng U = U(V, S) là một hàm nhiệt động Phương trình cơ bản của nhiệt động (1.34) có thể viết dưới dạng: dU ൌ TdS െ pdV φde σdΩ mgdh ൌ ∑ P୧ dx ୧ (1.53) Trong đó: T là nhiệt độ, P là áp suất, φ là điện thế, σ là sức căng bề mặt, mg là thế trọng trường, Pi là các lực khái quát và Xi là tọa độ khái quát. Khảo sát hệ đơn giản khi công hữu ích δA′ ୫ୟ୶ ൌ 0 , khi đó phương trình (1.36) viết dưới dạng: TdS = dU + pdV dU = TdS – pdV (1.54) Ph...
Mục tiêu nghiên cứu
- Khái quát được các kiến thức về vật lý thống kê
- Sử dụng phân bố Gibbs trong nghiên cứu khí Helium
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết xác suất về vật lý thống kê
- Nghiên cứu các hàm thế nhiệt động và mối quan hệ giữa các tham số
- Thiết lập hàm phân bố Gibbs và sử dụng hàm phân bố Gibbs trong nghiên cứu hệ khí lý tưởng và khí Helium.
Giả thuyết khoa học
Nếu việc sử dụng phân bố Gipps trong nghiên cứu khí Helium được tiến hành một cách khoa học thì sẽ góp phần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động cho sinh viên Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả, khả năng tự học tự nghiên cứu kiến thức về vật lý thống kê cho sinh viên, đặc biệt là sinh viên chuyên nghành Vật lý.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Phương pháp phân tích tổng hợp, tính toán giải tích
- Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số
Cấu trúc khóa luận
- Chương 1: Tổng quan lý thuyết về vật lý thống kê
- Chương 3: Sử dụng phân bố Gibbs trong nghiên cứu khí Helium
TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ VẬT LÝ THỐNG KÊ
CÁC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
1.1.1 Xác suất của biến cố
Trong lí thuyết xác suất, một biến cố là một tập các kết quả đầu ra (hay còn gọi là một tập con của không gian mẫu) mà tương ứng với nó người ta sẽ gán kèm với một số thực (hay còn gọi là một xác suất) Thông thường, nếu không gian mẫu là hữu hạn, thì bất kì tập con nào của không gian mẫu cũng được xem là một biến cố Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp không gian mẫu là vô hạn, đáng chú ý là khi đầu ra của một phép thử là một số thực Vì thế, khi định ra một không gian xác suất, nếu có thể, người ta thường tìm cách loại bỏ các tập con của không gian mẫu mà không được xem là biến cố
Ví dụ đơn giản về biến cố, người ta thường khảo sát sự xuất hiện mặt này hay mặt kia của đồng tiền xu khi ta tung nó, hoặc là sự xuất hiện một con số (điểm) nào đó khi gieo con xúc xắc Ở đây, ta coi việc xuất hiện mặt này hay mặt kia (con số) như là một biến cố riêng lẻ Tỉ số của số lần xuất hiện cùng một con số (khi gieo con xúc xắc nhiều lần) chia cho số lần ném tổng cộng được gọi là tần số lặp lại của biến cố đã cho trong một loạt các phép thử đồng tính Khi số lần thử tổng cộng tăng lên thì tần số lặp lại sẽ càng tiến tới một giới hạn không đổi, được gọi là xác suất của biến cố đã cho
Trong trường hợp tổng quát, nếu một biến cố nào đó xảy ra n lần trong tổng cộng N lần thử thì về phương diện toán học, xác suất được xác định như là giới hạn của tỉ số của số biến cố thuận lợi ni chia cho số biến cố tổng cộng N với điều kiện là số lần thử trong nhóm đó tiến đến vô hạn Nói cách khác, xác suất Wi của biến cố đó sẽ bằng:
→ (1.1) Trong vật lý học, các đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian Khi đó xác suất của một trạng thái nào đó của hệ có thể xác định theo công thức:
→ (1.2) trong đó: t là thời gian lưu lại của hệ trong trạng thái đã cho
T là thời gian quan sát tổng cộng
Từ đó suy ra rằng, để xác định bằng thí nghiệm xác suất của một biến cố nào đó, ta cần phải tiến hành nếu không phải là một số vô hạn thì củng là một số rất lớn phép thử N, tìm biến cố thuận lợi ni và tìm xác suất W của biến cố đó bằng cách lập tỉ số của chúng
1.1.2 Hàm phân bố của xác suất Đại lượng ngẫu nhiên có thể có một số (hoàn toàn xác định) các trị số khác nhau, và chúng ta đã gọi biến cố là những trường hợp trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trong các trị số đó, và chúng ta đã gán cho biến cố đó một xác suất nhất định
Bên cạnh các đại lượng như vậy, còn có các đại lượng ngẫu nhiên có thể có một tập hợp vô hạn các trị số khác nhau vô cùng gần nhau Các đại lượng này có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có các trị số phân bố trong một khoảng nào đó từ x đến x + dx Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x được kí hiệu là ∆W(x) Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì xác suất sẽ là dW(x) Xác suất dW(x) sao cho các đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ phụ thuộc vào chính số x đó, nghĩa là nó là một hàm f(x); hay tỉ lệ với chiều rộng của khoảng dx dW(x) = f(x)dx (1.3) Tập hợp tất cả các trị số của xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác định bởi hàm f(x) Vậy, hàm f(x) này thường được gọi là hàm phân bố xác suất
1.1.3 Định lý cộng xác suất a, Hai biến cố xung khắc
Giả sử hai biến cố xung khắc A và B (tức là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời) Xét một biến cố phức tạp trong đó hoặc biến cố A hoặc biến cố B sẽ xảy ra Khi đó theo định nghĩa xác suất của biến cố ta suy ra xác suất của biến cố phức tạp:
→ (1.4) Trong đó: n là số tổng cộng các phép thử nA, nB là số lần xảy ra các biến A và B tương ứng
Theo định nghĩa xác suất của biến cố, ta có: lim
→ W B Nên xác suất của biến cố phức tạp được biểu thị như là tổng các xác suất của các biến cố riêng biệt:
W (A hoặc B) = W (A) + W (B) (1.5) Trong trường hợp hàm phân bố liên tục, nếu ta chú ý tới xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên nằm, hoặc trong khoảng từ x1 đến x1+dx1 hoặc là trong khoảng x2 đến x2 + dx2, ta có: dW(x1 hoặc x2) = dW(x1) + dW(x2)
Ta có thể mở rộng định lý đó cho một số các biến cố xung khắc:
Theo định lý cộng xác suất, xác suất của biến cố sao cho một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có một trong các trị số nằm trong khoảng từ x1 đến x2 sẽ bằng:
W (từ x1 đến x2) = ∑ ∆W x dW x (1.6) b, Hệ đủ các biến cố
Hệ đủ các biến cố là tất cả các biến cố có thể xảy ra trong phép thử đã cho Tổng các xác suất đối với hệ đủ các biến cố là bằng 1, bởi vì việc xuất hiện của một biến cố bất kỳ nào trong hệ đủ đều là một biến cố chắc chắn Nếu các biến cố A, B,
…, D tạo thành một hệ đủ thì:
W(A) + W(B) +…+ W(D) = 1 (1.7) Trong hệ đủ các biến cố, xác suất xảy ra một trong các biến cố không bao giờ có thể lớn hơn tổng các xác suất xảy ra tất cả các biến cố Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hệ đủ các biến cố có thể có bất kỳ trị số nào trong toàn bộ khoảng biến thiên của đại lượng ngẫu nhiên từ a đến b hoặc từ ∞ đến ∞ Tất nhiên xác suất tìm một đại lượng ngẫu nhiên trong toàn bộ khoảng các giá trị khả dĩ của nó là một biến cố chắc chắn Vì vậy: dW x f x dx 1 (1.8) là diện tích giới hạn bởi đường cong f(x) và trục x cần phải bằng đơn vị Điều kiện đó gọi là điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố c, Hệ đủ các biến cố dùng để xác định trị số mỗi xác suất
Nếu 2 biến cố xung khắc A và B tạo thành hệ đủ các biến cố A là đối lập với biến cố B Xác suất của bất kỳ biến cố nào có thể xác định theo xác suất của biến cố đối lập theo công thức:
W(A) = 1 – W(B) (1.9) tức là xác suất của bất kì biến cố nào đều bằng đơn vị trừ đi xác suất của biến cố xung đối với nó
1.1.4 Định lý nhân xác suất
Một biến cố phức tạp nào đó chỉ xảy ra với điều kiện là có biến cố khác xảy ra Trong trường hợp đó, xác suất của biến cố phức tạp đó gọi là xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện xảy ra biến cố A với điều kiện là có biến cố B xảy ra được xác định theo công thức:
W(A với điều kiện có B) = W(A) W(B) (1.10) Xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đồng thời xảy ra hai biến cố độc lập A và B được xác định bằng tích của các xác suất W(A) và W(B) của các biến cố độc lập riêng biệt A và B theo công thức:
Mở rộng cho trường hợp có nhiều biến cố độc lập:
CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG
1.2.1 Khái niệm hàm nhiệt động
Phương pháp hàm nhiệt động hay còn gọi là phương pháp hàm đặc trưng là một phương pháp tích phân do Gibbs xây dựng dựa trên việc vận dụng phương trình cơ bản của nhiệt động lực học:
TdS dU δA (1.34) Thực chất của phương pháp này là khi áp dụng hệ thức (1.34) vào các hệ hoặc quá trình tiến hành trong những điều kiện xác định, ta có thể chọn ra các hàm trạng thái ứng với những cặp biến số xác định cho phép thông qua các hàm đó hoặc đạo hàm bậc một và bậc hai của chúng, biển diễn các tính chất nhiệt động của hệ khảo sát Các hàm trạng thái này có đặc tính chung là độ giảm của chúng trong các quá trình cân bằng tiến hành trong điều kiện các cặp biến cố tự nhiên tương ứng không thay đổi và bằng công ích cực đại Tương tự trong cơ học, công của vật rơi tự do bằng độ giảm của thế năng của vật đó trong trường, các hàm này được gọi là các hàm nhiệt động
Trong hệ thức (1.34) δA là nguyên tố công cực đại bao gồm công cơ học PdV và các dạng công khác gọi là công hữu ích A’, do đó có thể viết:
TdS dU pdV δA′ (1.35) => δA′ TdS dU pdV (1.36)
1.2.2 Entanpi H = H (S, p) là một hàm nhiệt động
Nếu chọn các biến cố độc lập của hệ đơn giản là S và p thì hàm đặc trưng sẽ là: H(S, p) = U + pV Từ phương trình TdS = dU + pdV ta chuyển từ các vi phân dS và dV sang các vi phân của S và p, ta được:
Hay: dH = TdS + Vdp (1.37) trong đó hàm H = U + pV được gọi là entanpi và là thế nhiệt động
Lấy vi phân 2 vế hàm H = H(S, p), ta được: dH dS dp (1.38)
So sánh (1.37) và (1.38) ta có:
T và V (1.39) Lấy đạo hàm bậc hai của H theo S, ta có:
Như vậy, tương tự hàm U = U(S, V), hàm H = H(S, p) là một hàm đặc trưng vì qua nó các đạo hàm bậc một và bậc hai ta có thể biểu diễn rõ rệt các tính chất nhiệt động của hệ
1.2.3 Entropi S = S (U, V) là một hàm nhiệt động
Khảo sát hệ đơn giản khi công hữu ích δA′ 0, khi đó phương trình (1.40) viết dưới dạng:
TdS = dU + pdV dU = TdS – pdV (1.41) Suy ra: dS dU dV (1.42) Mặt khác S = S(U, V) và lấy vi phân 2 vế ta được: dS dU dV (1.43)
So sánh (1.42) và (1.43), ta rút ra:
Như vậy S = S(U, V) là hàm đặc trưng
1.2.4 Năng lượng tự do ψ = ψ ( T, V ) là một hàm nhiệt động
Nếu chọn các biến số độc lập của hệ đơn giản là T và V thì thực hiện cách biến đổi Legendre (1.41) sao cho trong phương trình đó có chứa các vi phân dT và dV, đem trừ cả 2 vế (1.41) cho vi phân d(T, S) ta được:
TdS – d(TS) = dU + pdV – d(TS) (1.45) => - SdT = d(U – TS) + pdV (1.46)
Vi phân toàn phần (1.47), ta được: dΨ dU TdS SdT (1.48) Kết hợp (1.41) và (1.48) ta được: dΨ pdV SdT (1.49) Mặt khác ψ = ψ(V, T) và lấy vi phân 2 vế (1.49) ta được: dΨ dV dT (1.50)
So sánh (1.49) và (1.50), suy ra: p và S (1.51)
Lấy đạo hàm bậc hai của Ψ theo V ta có:
Vậy hàm Ψ là hàm đặc trưng hay thế nhiệt động Hàm Ψ = U – TS do Helmholtz đưa vào và được gọi là năng lượng tự do
1.2.5 Nội năng U = U(V, S) là một hàm nhiệt động
Phương trình cơ bản của nhiệt động (1.34) có thể viết dưới dạng: dU TdS pdV φde σdΩ mgdh ∑ P dx (1.53) Trong đó: T là nhiệt độ, P là áp suất, φ là điện thế, σ là sức căng bề mặt, mg là thế trọng trường, Pi là các lực khái quát và Xi là tọa độ khái quát
Khảo sát hệ đơn giản khi công hữu ích δA′ 0, khi đó phương trình (1.36) viết dưới dạng:
TdS = dU + pdV dU = TdS – pdV (1.54) Phương trình (1.54) chứa 5 thông số là: T, U, S, p, V, tuy nhiên để xác định trạng thái của một hệ đơn giản chỉ cần biết hai thông số Nếu chọn hai thông số một cách bất kỳ về nguyên tắc, ngoài phương trình (1.54) ta phải biết thêm hai phương trình khác nửa để xác đinh ba thông số còn lại Để đơn giản ta nên chọn hai biến cố độc lập S, V và biểu diễn U là hàm của hai biến cố đó:
U = U(S, V) (1.55) Lấy vi phân (1.55) ta được: dU dS dV (1.56)
Từ (1.53) và (1.55) ta rút ra:
T và p (1.57) Đạo hàm bậc hai của U theo S ta được:
Vậy hàm U của cặp biến số S, V cùng với các đạo hàm của nó cho phép biểu diễn các tính chất đặc trưng của một hệ nhiệt động Nội năng U là hàm đặc trưng nếu nó là hàm của hai biến số S, V Hàm U = U(S, V) được gọi là hàm nhiệt động
Nếu ta chọn U = U(T, V) thì nó không còn là hàm đặc trưng nữa, vì trong trường hợp này ta không tìm được biểu thức để tính p Vì vậy S, V được gọi là các biến số tự nhiên của nội năng
1.2.6 Thế nhiệt động Gipps Z = Z(T, p) là một hàm nhiệt động
Nếu chọn các biến số độc lập T và p thì hàm đặc trưng sẽ là hàm:
Z(T, p) = U – TS +pV (1.59) Dựa vào phép biến đổi Legendre sang các biến số T và p, và vi phân 2 vế (1.59) ta được: dZ = dU – TdS – SdT + pdV + Vdp (1.60) Kết hợp 2 hệ thức (1.72) và (1.78) ta được: dZ = - SdT + Vdp (1.61) Mặt khác Z = Z(T, p), lấy vi phân 2 vế: dZ dT dp (1.62)
So sánh (1.79) và (1.80) ta được:
Phương trình thứ hai (1.63) là phương trình trạng thái, nên hàm Z(T, p) = U – TS + pV là hàm đặc trưng và gọi là thế nhiệt động Gibbs
Lấy đạo hàm bậc hai của Z theo T ta có:
1.2.7 Tính chất của hàm nhiệt động
- Các hàm nhiệt động có quan hệ với nhau, nếu biết một số hàm nhiệt động thì ta có thể tìm các hàm nhiệt động khác
- Tất cả các hàm nhiệt động là hàm đơn giá và cộng tính của trạng thái, đồng thời độ giảm của chúng trong các điều kiện tương ứng sẽ xác định công của các lực tác dụng lên hệ
- Khi các biến số đặc trưng là không đổi các trị số cực trị của các thế nhiệt động tương ứng xác định điều kiện cân bằng của hệ.
GIỚI THIỆU KHÍ HELIUM
Heli là nguyên tố trong bảng tuần hoàn nguyên tố có ký hiệu là He, số hiệu nguyên tử bằng 2, nguyên tử khối bằng 4 Tên của nguyên tố này bắt nguồn từ Helios, tên của thần mặt trời trong thần thoại Hy Lạp, do nguồn gốc nguyên tố này được tìm thấy trong quang phổ Mặt Trời Heli là nguyên tố phổ biến thứ 71 trong vỏ Trái Đất, chiếm tỉ lệ 8.10 -9 , còn trong nước biển chỉ có 4.10 -12 Nói chung nó hình thành từ sự phân rã phóng xạ của các nguyên tố, do vậy người ta có thể tìm thấy heli trong các mỏ khoáng chất chứa urani, thori… và trong vài loại nước khoáng cuảng như khí phun trào núi lửa
Nguyên tử heli là nguyên tử đơn giản nhất kế tiếp sau nguyên tử Hidro Nguyên tử heli được cấu tạo từ hai electron quay quanh một hạt nhân chứa hai proton cùng với một hay hai neutron
Khí Helium được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằng ngày, ví dụ như: Helium nhẹ hơn không khí nên có thể dùng để bơm khí cầu vào bóng bay, dùng để ngưng tụ hydro và oxy tạo nhiên liệu tên lửa, Helium còn được thêm vào bình dưỡng khí để thợ lặn có thể thở dễ dàng hơn điều này đặc biệt quan trọng cho những người lặn sâu, nhờ khí Helium mà người ta có thể dễ dàng phát hiện rò rỉ trong các thiết bị có chân không cao và áp suất cao… Khí heli còn có khả năng làm cho giọng nói trở nên thay đổi ( trở nên cao hơn) Do heli nhẹ hơn không khí rất nhiều nên trong khí heli, tốc độ của âm thanh nhanh hơn tới 3 lần trong không khí, lên tới 927 m/s Khi hít khí heli, trong vòm họng tràn ngập nó nên tần số giọng nới sẽ biến đổi, tăng lên rất nhiều và tất yếu khiến giọng cao và trong hơn
Chương này giới thiệu các cơ sở của lý thuyết xác suất cần thiết để nghiên cứu Vật lí thống kê, hàm phân bố xác suất, tính chất xác suất, trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên, trị toàn phương trung bình, trung bình của hàm tùy ý của đại lượng ngẫu nhiên, trị trung bình của bình phương độ lệch và độ thăng giáng của đại lượng ngẫu nhiên và các hàm nhiệt động của vật lí thống kê: nội năng, entropi, năng lượng tự do… Đặc biệt là phương pháp của nhiệt động lực học: mối quan hệ giữa các đại lượng nhiệt động và các quy luật chi phối sự biến đổi của đại lượng nhiệt động khi hệ chuyển từ trạng thái nhiệt động này sang trạng thái nhiệt động khác giúp trang bị cho người học một cái vốn cơ bản để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác của nhiệt động lực học củng như có thể tiếp tục áp dụng nó vào việc giải quyết các vấn đề khác nhau của Vật lí học.
PHÂN BỐ GIBBS
Tích phân trạng thái của khí lý tưởng
Để tính tích phân trạng thái Z của khí lý tưởng ta cần biết hàm Haminton H Đối với khí lý tưởng, hàm Haminton bằng tổng các năng lượng của các hạt riêng lẻ:
U X : biểu thị cho thế năng của hạt thứ k
Ta không thể đưa thông số ngoại V vào hàm Haminton H(X, a) thông qua thế năng U(x, y, z) mà ta biểu thị dưới dạng:
Vì tất cả các hạt độc lập nên ta có thể viết tích phân trạng thái dưới dạng:
! exp U x , y , z dp dp dp dx dy dz
Với Z là tích phân trạng thái đối với một hạt
Xét tích phân trạng thái một cách chi tiết:
Z ∭ ∬ exp U dp dp dp dx dy dz (2.26)
Do tính độc lập của các hình chiếu px, py, pz, nên (2.26) được viết lại:
Z exp dp exp dp exp dp exp , , dxdydz (2.27) Dựa vào trị số của tích phân Poátxông và dạng của thế năng (2.24) : exp dp √2πmθ (2.28) và: exp , , dxdydz 1 dxdydz V (2.29) Khi đó:
Z √2πmθ V (2.30) Như vậy, tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là:
Năng lượng tự do của khí lý tưởng
Ta có biểu thức của năng lượng tự do: Ψ kTlnZ (2.32) Dựa vào tích phân trạng thái của hệ (2.31) để tìm biểu thức của năng lượng tự do của khí lý tưởng
Với lnZ ln2π ln m lnθ NlnV ln N! (2.33) Áp dụng công thức Stirling với N lớn, ta có: ln N! NlnN (2.34) Thay (2.34) và (2.33) vào (2.32), ta được biểu thức của năng lượng tự do của khí lý tưởng: Ψ kT ln2π ln m lnθ NlnV N ln N
Ψ θN ln2π ln m lnθ lnV ln N (2.35) với θ kT
Biểu thức (2.35) chính là năng lượng tự do của khí lý tưởng.
Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
Để tìm được phương trình trạng thái của khí lý tưởng ta dựa vào biểu thức: p (2.36) Thay (2.35) vào (2.36) ta được: p (2.37) Đối với một mol khí lý tưởng, phương trình (2.36) cần phải trùng với phương trình Clapêyrôn – Menđêlêép: p
Môđun θ của phân bố chính tắc liên hệ vói nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức: θ kT, trong đó k 1,37 10 J/độ là hằng số Bônxơman
Suy ra phương trình trạng thái của khí lý tưởng có dạng:
PV = RT (2.38) Với R = kN = kNA, NA = 6,023.10 23 : số Avogadro
Trong chương này giới thiệu các hàm phân bố chính tắc Gibbs đối với hệ đẳng nhiệt và thiết lập các phương trình cơ bản của nhiệt động lực học dựa vào phân bố chính tắc Chương này cũng nêu lên mối quan hệ chặt chẽ giữa các khái niệm cơ bản của nhiệt động lực học như: nhiệt độ, năng lượng tự do, entropi…với hàm phân bố thống kê
Trình bày các áp dụng của phân bố chính tắc Gibbs và hệ khí lý tưởng và qua đó ta thu được các kết quả của thuyết động học phân tử như năng lượng tự do và phương trình trạng thái của khí lý tưởng…Bên cạnh đó khi dựa vào hàm phân bố Gibbs để xác định phương trình trạng thái của khí lý tưởng thì kết quả cho thấy áp suất, nhiệt độ và thể tích có mối liên hệ chặc chẽ với nhau qua biểu thức: pV = N
ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TÍNH HỆ SỐ VIRIAN CHO KHÍ THỰC HELIUM VỚI MÔ HÌNH THẾ LENNARD - JONES
ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TRONG NGHIÊN CỨU KHÍ THỰC
Tích phân trạng thái được xác định bằng công thức:
Z exp dX (3.1) Đối với hệ các hạt tương tác năng lượng H(X, a) gồm có động năng của các hạt và thế năng tương tác của chúng:
H(X, a) = Eđ + Un (3.2) Năng lượng tương tác của hệ là bằng tổng các năng lượng tương tác cặp đôi riêng lẻ của tất cả các hạt:
=∑ Φ ∑ , Φ (3.3) Hàm Haminton của hệ gồm N hạt có dang:
H X, a ∑ ∑ , Φ (3.4) Lấy tích phân (3.1) theo xung lượng, ta được:
√2mkTπ … exp dx dy … dz (3.5)
Tích phân còn lại được lấy theo tọa độ của tất cả các hạt của hệ, được gọi là tích phân tương tác Zt:
Tích phân trạng thái đối với hệ gồm các hạt tương tác được viết như sau:
Z = Z0 Zt (3.7) trong đó Z0 là tích phân trạng thái của khí lý tưởng
Trường hợp tổng quát nhất của sự tương tác, năng lượng tự do của hệ được biểu thị dưới dạng tổng quát của hai thành phần: Ψ = -kTlnZ = -kTlnZ0 – kTlnZt = Ψ0 + Ψt (3.8) trong đó Ψ0 : là năng lượng tự do của khí ký tưởg Ψt : là lượng phụ thêm vào năng lượng tự do do có tương tác
Phương trình trạng thái được viết dưới dạng tổng quát: p (3.9) Để tiếp tục giải quyết nốt bài toán để tìm phương trình trạng thái ở dạng cụ thể, ta cần tính tích phân tương tác (3.6), tuy nhiên khó tìm ngay được trị số của tích phân đó, vì: ta không biết chính xác dạng của thế tương tác của hai phân tử do đó ta không biết được chính xác thế tương tác Utt và đối với thế gần đúng thì việc tính tích phân (3.6) củng gặp khó khăn lớn về toán học
Do đó, việc nghiên cứu hệ các hạt tương tác quy về việc tìm năng lượng tương tác Utt và tính tích phân tương tác (3.6):
Z exp dX (3.10) exp ∑ | | dX (3.11) với X(q): là phần không gian pha tọa độ
(dX)q : là nguyên tố thể tích của không gian đó
Biểu thức dưới dấu tích phân của (3.13) được viết lại dưới dạng: exp exp ∑ ∏ exp (3.12) Trong các khí loãng, khi rik >> r0 thì Φ(rik) tiến đến không Vì vậy đại lượng exp sẽ gần bằng đơn vị Để thuận tiện tính toán, ta đưa vào hàm: f(rik) = exp 1 (3.13) hàm này sẽ là một đại lượng nhỏ khi rik >> r0
Biểu thức (3.12) được viết lại: exp ∏ 1 f 1 f 1 f
= 1 + (f12 + f13 + f14 + …) + (f12f13 + f12f14 +…)+… (3.14) Đối với chất khí loãng, khi rik >> r0 thì tích các hàm thuộc loại f12f13 sẽ là đại lượng nhỏ bậc hai so với fik Như vậy, để f12f13 khác không thì cần phải làm sao cho khoảng cách rik giữa các hạt thứ i và thứ k phải so sánh được với r0, đồng thời khoảng cách rim giữa các hạt thứ i và m củng phải so sánh được với r0; muốn vậy thì
3 phân tử i, k, m phải ở cạnh nhau
Trong chất khí loãng, khoảng cách trung bình giữa các hạt rất lớn so với r0, nên số nhóm cặp ba phân tử như vậy là rất ít Các kết hợp hoặc các nhóm gồm bốn hoặc nhiều hơn các phân tử phân bố gần nhau lại càng ít xảy ra hơn
Vì vậy, ta giả thiết: exp 1 ∑ f (3.15)
Các phân tử là như nhau nên ta có thể coi rằng tất cả các fik đều bằng nhau Nếu chú ý đến số các cặp khác nhau của N phân tử, thay cho tổng số ở vế phải của (3.15), ta được: exp 1 f r 1 f r (3.16) Thay (3.16) vào (3.6), ta được:
Vì f(rik) chỉ phụ thuộc vào các tọa độ của các phân tử thứ i và thứ k, lấy tích phân theo các tọa độ của tất cả các phân tử khác trong giới hạn của thể tích V mà ta xét:
Zt = 1 + V f r dV dV (3.18) Tiếp theo ta chọn vị trí của phân tử thứ i làm gốc tọa độ cầu như hình vẽ:
Hình 3.1 Vị trí của phân tử thứ i làm gốc trong tọa độ cầu
Trong hệ tọa độ cầu, nếu ta xem rik như là bán kính r, nguyên tố thể tích dVk như là 4πr dr Thì tích phân trong (3.18) được biến đổi về dạng: f r 4πr dr dV β dV (3.19) với β 4πf r r dr
Phân tử thứ i có thể nằm tại một điểm bất kỳ của thể tích, nên: d V V
Cuối cùng đối với tích phân (3.18) ta thu được:
Khi mật độ chất khí nhỏ, nghĩa là thể tích ứng với một phân tử lớn, khi →
0 thì số hạng thứ hai trong (3.20) có thể bằng không Nói cách khác, khi chất khí thực chất loãng thì nó có tính chất như là khí lý tưởng, và khi → 0 thì đối với chất khí thực Zt có trị số bằng đơn vị
Dựa vào (3.20), ta tính năng lượng tự do của khí thực: Ψ = -kTlnZ = Ψlt - kTln 1 (3.21)
Vì là đại lượng nhỏ nên ta có thể phân tích lôga thành chuổi và chỉ giữ lại số hạng phân tích đầu Bỏ qua các số hạng không đổi trong (3.21), ta được: Ψ = - kT NlnV (3.22) Suy ra biểu thức của áp suất khí thực: p = kT (3.23) Theo phương trình Van-đe – Vanxơ, áp suất khí thực là: p (3.24) Đối với khí loãng, ta có: p 1 (3.25) Phương trình trạng thái Van-đe – Vanxơ (3.25) sẽ trùng với phương trình (3.23) nếu như: β 2b (3.26) Đặt B(T) = được gọi là hệ số Virian, biểu thức (3.23) được viết lại: p kT B T (3.27)
ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TÍNH HỆ SỐ VIRIAN CHO KHÍ THỰC
3.2.1 Mô hình thế Lennard - Jones
Khí thực khác với khí ký tưởng ở đặc tính tương tác giữa các phân tử Thường thì người ta coi rằng khí thực khác với khí lý tưởng ở kích thước giới nội của các phân tử Kích thước phân tử được xác định bởi các lực đẩy giữa chúng, ngoài các lực hút
Xét hai phân tử như hình vẽ Năng lượng tuơng tác giữa chúng phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng và phụ thuộc vào cả sự định hướng tương hổ của chúng
Hình 3.2 Mô hình tương tác giữa hai phân tử i và k Trong trường hợp đơn giản, năng lượng phụ thuộc vào khoảng cách giữa các tâm của hai phân tử: r |r r |
Với r và r là các bán kính véctơ của các phân tử đang xét
Khi đó, thế năng tương tác là hàm của khoảng cách: U |r r | U r Để tìm được dạng thế đó, ta đi xét xem các lực tương tác giữa các phân tử có tính chất như thế nào? Ta đã biết khỏang cách càng lớn thì lực tương tác giữa các phân tử càng tiến tới không Khi các phân tử tiến gần đến nhau thì chúng bắt đầu hút nhau, nhưng khi ở khoảng cách rất nhỏ các phân tử không hút nhau nữa mà chúng bắt đầu đẩy nhau Để diễn tả những dạng phức tạp đó của thế tương tác, người ta tách nó làm hai thành phần: thế hút và thế đẩy; thế đó có dạng:
U đ và U (3.29) Với m < n Thế tương tác toàn phần có dạng:
Trong đó σ : là trị số của r ứng với U r 0 ε : là trị số cực đại của năng lượng hút
Hình 3.3 Mô hình tương tác thế Lennard – Jones
3.2.2 Tính hệ số Virian với mô hình thế Lennard - Jone
Biểu thức hệ số Virian:
B(T) = 2π r exp 1 dr (3.32) Chọn thế U( r) là thế Lennard – Jones, thay (3.31) vào (3.32), ta được:
Ta đưa vào các biến số mới: r
0 ro x và τ (3.33) Thay (3.33) vào (3.32), ta được:
Khai triển hàm e mũ và tích phân từng số hạng, ta có:
B T π 6022 σ ∑ ! Γ (3.35) Các thông số thế Lennard – Jones đối với khí Helium: σ 10,9, εHe 2,640A[3]
Sự phụ thuộc của B(T) vào nhiệt độ T của khí Helium theo (3.35) được biểu diễn như hình (3.4)
Hình 3.4 Sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ của khí Helium theo mô hình lý thuyết
ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ
3.3.1 Các số liệu thực nghiệm
Các số liệu thực nghiệm thu được đối với khí Helium:
Bảng 3.1 Bảng số liệu thực nghiệm hệ số Virian của khí Helium[4,6]
Từ bảng số liệu thực nghiệm hệ số Virian của khí helium, ta được:
Hình 3.5 Số liệu thực nghiệm sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ của khí Helium
3.3.2 So sánh kết quả tính với số liệu thực nghiệm
So sánh số liệu thực nghiệm và lý thuyết tính toán hệ số Virian của khí Helium từ biểu thức (3.35), ta được:
Hình 3.6 Hệ số Virian thu được khi so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm
Khi so sánh số liệu thực nghiệm và kết quả lý thuyết thu được từ việc tính toán hệ số Virian cho khí Helium theo biểu thức (3.35), ta thấy kết quả lý thuyết thu được gần trùng khớp với thực nghiệm Như vậy việc sử dụng phân bố chính tắc Gibbs để tính hệ số Virian cho khí Helium với mô hình thế Lennard – Jones là hoàn toàn phù hợp
3.3.3 So sánh với kết quả tính của tác giả khác
Kết quả tính toán sự phụ thuộc hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ T đối với khí
Helium của A.B Kaplun cùng các cộng sự: B.I Kidyarov, A.B Meshalkin and A.V Shishkin:
2 – Tính theo phương trình Virian
3 – Tính theo mô hình tác giả Hình 3.7 Hệ số Virian bậc 2 thu được của A.B Kaplun cùng các cộng sự: B.I Kidyarov, A.B Meshalkin and A.V Shishkin [5] Đối chiếu kết quả tính được với kết quả của A.B Kaplun cùng các cộng sự: B.I Kidyarov, A.B Meshalkin and A.V Shishkin , ta thấy hai kết quả tính toán là gần bằng hhau Do đó có thể nói việc sử dụng phân bố chính tắc Gibbs để tính hệ số Virian cho khí Helium với mô hình thế Lennard – Jones là hoàn toàn phù hợp
Trong chương này tôi tập trung nghiên cứu và trình bày mô hình thế tương tác giữa các hạt của hệ khí thực, cụ thể là khí Helium Trong đó mô hình được chọn là mô hình thế Lennard – Jones
Qua quá trình tính toán dựa trên lý thuyết của mô hình thế Lennard – Jones, tôi thu được biểu thức sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ T của hệ Sau đó đem so sánh mô hình lý thuyết với các số liệu thực nghiệm về hệ số Virian của khí Helium, ta thấy lý thuyết thu được có kết quả gần đúng với thực nghiệm Vì vậy, việc sử dụng phân bố chính tắc Gibbs để tính hệ số Virian cho khí Helium với mô hình thế Lennard – Jones là hoàn toàn phù hợp
PHẦN C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Sử dụng phân bố Gibbs trong nghiên cứu khí Helium” với mục tiêu và nhiệm vụ đã nêu, tôi thu được kết quả sau đây:
Dựa vào lý thuyết để thiết lập hàm phân bố chính tắc Gibbs Qua đó, chúng tôi đã tìm được tích phân trạng thái, năng lượng tự do và phương trình trạng thái của khí lý tưởng nhờ vào hàm phân bố Gibbs
Vận dụng lý thuyết hàm phân bố Gibbs để thiết lập mô hình tương tác giữa các phân tử của khí Helium, cụ thể là mô hình thế Lennard – Jones Qua quá trình tính toán rồi đem so sánh giữa lý thuyết với các số liệu thực nghiệm sự phụ thuộc hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ T của khí Helium, ta thấy việc sử dụng phân bố chính tắc Gibbs để tính hệ số Virian cho khí Helium với mô hình thế Lennard – Jones là hoàn toàn phù hợp
Do điều kiện thời gian và năng lực nên bài khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót về mặt nội dung và hình thức Do đó, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý Thầy, Cô và bạn đọc.
Kiến nghị
Do còn nhiều hạn chế về thời gian và nhữngkhó khăn khác về mặt thực nghiệm, tôi chỉ mới nghiên cứu được sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ của khí Helium bằng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, tính toán dựa trên mô hình thế Lennard – Jones Vì vậy, trong thời gian tới có thể tiếp tục phát triển đề tài theo hướng sau:
+ Khảo sát, vận dụng lý thuyết để tính toán hệ số Virian không chỉ đối với khí Helium mà còn đối với nhiều chất khí khác
+ Tiếp tục xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu sự phụ thuộc của hệ số Virian B(T) vào nhiệt độ T đối với chất khí khác và đối với mô hình khác nhau.
![Bảng 3.1. Bảng số liệu thực nghiệm hệ số Virian của khí Helium[4,6] - SỬ DỤNG PHÂN BỐ GIBBS TRONG NGHIÊN CỨU KHÍ HELIUM](https://media.store123doc.com/figures/005/876/bang-bang-lieu-thuc-nghiem-virian-cua-helium-5876317.webp)
