SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP ĐỒ THỊ PHẦN CƠ HỌC VẬT LÝ 10 - ĐIỂM CAO

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Y khoa - Dược - Khoa học tự nhiên UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA - SINH ---------- PHONECHAI KETMALA SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP ĐỒ THỊ PHẦN CƠ HỌC VẬT LÝ 10 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA - SINH ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP ĐỒ THỊ PHẦN CƠ HỌC VẬT LÝ 10 Sinh viên thực hiện: PHONECHAI KETMALA MSSV: 2114010219 CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA :2014 – 2018 Cán bộ hƣớng dẫn: TS. VÕ THỊ HOA Quảng Nam, tháng 05 năm 2018. LỜI CẢM ƠN Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tôi tại trƣờng Đại Học Quảng Nam. Với tình cảm chân thành tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớ i các thầy, các cô trong trƣờng Đại Học Quảng Nam đã quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo Tiến Sĩ: Võ Thị Hoa. Mặc dù bận rất nhiều công việc cô vẫn quan tâm, khích lệ để tôi có cách làm việc khoa học, hiệu quả hơn và hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn đến các thầ y cô trong khoa Lý - Hóa - Sinh nói chung và bộ môn Vật Lý đã dành thời gian quý báu để đọc, nhậ n xét và tham gia hội đồng chấm luận văn này, giúp cho việc nghiên cứu luận văn tốt nghiệp của tôi đƣợc hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng tôi xin gởi lời cảm ơn đến những ngƣời bạn thân thƣơng của lớp ĐHSP Vật Lý K14 và những ngƣời thân trong gia đình, bạn bè và mọi ngƣời xung quanh đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần trong suốt thờ i gian thực hiện khóa luận. Do thời gian làm khóa luận ngắn và đây là lần đầu tiên đi sâu nghiên cứu một đề tài khoa học nên tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để đề tài khóa luận của tôi đƣợ c hoàn chỉnh hơn nữa. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! Ngƣời thực hiện Phonechai Ketmala LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả nêu trong đoạn văn này là trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép sử dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kì một công trình nào khác. Ngƣời thực hiện Phonechai Ketmala MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU ................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 2 6. Đóng góp của đề tài ........................................................................................... 2 7. Cấu trúc khóa luận ............................................................................................. 2 PHẦN 2: NỘI DUNG ............................................................................................ 3 CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA ...................... 3 1.1. Giới thiệu sơ bộ về ngôn ngữ lập trình Mathematica ................................... 3 1.1.1. Giới thiệu về phần mềm Mathematica ........................................................ 3 1.1.2. Giao diện tƣơng tác của Mathematica ......................................................... 4 1.1.3. Các tính năng của Mathematica .................................................................. 4 1.2. Các quy tắc cơ bản về ngữ pháp của Mathematica ...................................... 5 1.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica ........................................... 6 1.2.2. Các pháp toán cơ bản trong biểu thức ......................................................... 6 1.3. Tính toán cơ bản trong Mathematica ........................................................... 8 1.3.1. Tính giới hạn ............................................................................................... 8 1.3.2. Tính đạo hàm của hàm số............................................................................ 8 1.3.3. Tính tích phân.............................................................................................. 9 1.3.4. Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình ......................................................... 9 1.4. Các kiểu số trong Mathematica .................................................................. 10 1.5. Các pháp tính toán số học ........................................................................... 11 1.5.1. Số nguyên .................................................................................................. 11 1.5.2. Số hữu tỷ ................................................................................................... 11 1.5.3. Số phức ...................................................................................................... 11 1.6. Đồ họa với Mathematica ............................................................................... 12 1.6.1. Đồ thị hàm một biến .................................................................................. 12 1.6.2. Đồ thị hàm hai biến( 3 chiều ) ................................................................... 15 1.6.3 . Vẽ đồ thị động ......................................................................................... 18 1.6.4. Cấu trúc đồ thị ......................................................................................... 20 1.7. Một số lƣu ý khi sử dụng phần mềm Mathematica .................................... 21 KẾT LUẬT CHƢƠNG 1 ..................................................................................... 22 CHƢƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ PHẦN CƠ HỌC ................................. 23 2.1. Động học chất điểm .................................................................................... 23 2.1.1 Chuyển động thẳng đều ............................................................................. 23 2.1.2. Chuyển động thẳng biến đổi đều............................................................... 23 2.1.2.1. Chuyển động thẳng biến đổi đều............................................................ 23 2.1.2.2. Sự rơi tự do.............................................................................................. 24 2.1.3. Chuyển động tròn đều ................................................................................ 25 2.1.4. Ghi chú ....................................................................................................... 26 2.2. Động lực học chất điểm ................................................................................ 26 2.2.1. Sự tƣơng tác giữa các vật ........................................................................... 26 2.2.2. Phép tổng hợp lực ...................................................................................... 27 2.2.3. Khối lƣợng và quán tính............................................................................. 28 2.2.4. Các định luật Niu-Tơn................................................................................ 28 2.2.5. Các lực cơ học ............................................................................................ 29 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2.................................................................................... 31 CHƢƠNG 3: SỬ DUNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢ I CÁC BÀI TẬP ĐỒ THỊ PHẦN CƠ HỌC VẬT LÝ 10. ...................................................... 32 3.1. Động học chất điểm ...................................................................................... 32 3.1.1. Phân loại bài tập phần “Động học chất điểm” ........................................... 32 3.1.2. Sử dụng phần mềm Mathematica để giải bài tập phần “Động học chất điểm” ................................................................................................................... 33 3. 1.3. Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị bài tập “Động học chất điểm” ................................................................................................................... 37 3.2. Động lực học chất điểm ................................................................................ 40 3.2.1. Phân loại bài tập phần “Động lực học chất điểm” ..................................... 40 3.2.2. Sử dụng phần mềm Mathematica để giải bài tập phần “Động lực học chất điểm” ................................................................................................................... 41 3.2.3. Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị bài tập “Động lực học chất điểm” ................................................................................................................... 42 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3.................................................................................... 44 PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................. 45 1.1. Kết luận ......................................................................................................... 45 1.2. Kiến nghị ....................................................................................................... 45 1.3. Hƣớng phát triển .......................................................................................... 46 PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................... 47 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1: Độ thị hàm số f(x) ......................................... 12 Hình 1.2 : Đồ thị hàm f(x), g(x), h(x) .................................................................. 13 Hình 1.3: Đồ thị hàm ( ) ( ) ( ) .................................................. 14 Hình 1.4: Đồ thị hàm ( ) ( ) ........................................................... 14 Hình 1.5: Đồ thị ( ) , - ............................................................................. 15 Hình 1.6: Đồ thị hàm ( ) với ; ........................................... 15 Hình 1.7: Đồ thị hàm hai biến ba chiều ( ) trên đoạn , - 16 Hình 1.8: Đồ thị tham số : , , trong khoảng biế n thiên của t từ : 0,8 Pi ..................................................................................................... 16 Hình 1.9 : Đồ thị tham số x=tcos2t, y=tsin2t, z=t/5 trong khoảng biến thiên củ a từ : 0, 8Pi .............................................................................................................. 17 Hình 1.10: Đồ thị sóng hình sin ........................................................................... 19 Hình 1.11 : Đồ thị đƣờng xoắn ốc ....................................................................... 19 Hình 3.1.1: Mô phỏng cho bài 3 .......................................................................... 34 Hình 3.1.2: Mô phỏng cho bài 4 .......................................................................... 35 Hình 3.1.3: Mô phỏng cho bài 1 .......................................................................... 37 Hình 3.1.4: Mô phỏng cho bài 2 .......................................................................... 38 Hình 3.1.5: Mô phỏng cho bài 5 .......................................................................... 39 Hình 3.1.6: Mô phỏng cho bài 6 .......................................................................... 39 Hình 3.1.7: Mô phỏng cho bài 8 ....................................................................... 40 Hình 3.2.1: Mô phỏng cho bài 9 .......................................................................... 42 Hình 3.2.2: Mô phỏng cho bài 10 ........................................................................ 43 Hình 3.2.3: Mô phỏng cho bài 11 ........................................................................ 43 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Một số hàm cơ bản trong Mathematica: ................................................ 7 Bảng 1.2: Các tùy chọn với và .................................. 18 Bảng 2.1: Các lực cơ học .................................................................................... 29 1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bƣớc vào thế kỷ XXI, xã hội loài ngƣời đã có những bƣớc phát triển vƣợ t bậc về khoa học và công nghệ. Điều này đã mang đến cho con ngƣời những lợ i ích rất thiết thực và quan trọng, góp phần nâng cao chất lƣợng cuộc sống củ a xã hội. Tuy nhiên nó cũng đặt ra những yêu cầu cao hơn về chất lƣợng, trình độ, kỹ năng của đội ngũ lao động. Việc nâng cao chất lƣợng giáo dục là một vấn đề đã và đang đƣợc quan tâm hàng đầu trong xã hội. Chính vì vậy, việc đổi mớ i công tác giáo dục và đào tạo đã diễn ra rất sôi động ở nhiều nƣớc trên thế giớ i và khu vực. Theo xu hƣớng đó Đảng và nhà nƣớc ta đã xác định " Giáo dục là quốc sách hàng đầu", đầu tƣ cho giáo dục là đầu tƣ cho sự phát triển. Điều này đã đặ t cho ngành giáo dục và đào tạo những nhiệm vụ rất khó khăn là phải đổi mới đồng bộ cả về mục đích, nội dung, phƣơng pháp, phƣơng tiện dạy học. Vật lý là một môn khoa học khó vì cơ sở của nó là toán học. Bài tập vật lý rất đa dạng và phong phú. Các bài toán về dao động, cơ học lƣợng tử nói chung cũng nhƣ các bài toán về cơ học nói riêng rất phong phú và đa dạng, có thể sử dụng nhiều phƣơng pháp để giải. Để nghiên cứu, khảo sát các quá trình sử dụng các bài toán vật lý đòi hỏ i phải tính toán các phép toán rất phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức. Vì vậ y việc ứng dụng công nghệ thông tin vào để nghiên cứu các quá trình tính toán vậ t lý, sử dụng các công cụ tính toán sẽ giúp cho việc xử lý các bài toán vật lý đƣợ c nhanh chóng và thuận tiện. Để làm đƣợc điều này, ngôn ngữ lập trình giải thích Mathematica nổi lên với ƣu điểm vƣợt trội về giao diện thân thiện, về khả năng đồ thị siêu việt và khả năng xử lý số liệu nhanh đã trở thành một công cụ đắc lực cho các nhà khoa họ c, các kỹ sƣ, các chuyên gia sinh học, giáo viên, các nhà tài chính…ngoài ra Mathematica còn có những ƣu thế trong việc mô phỏng các hiện tƣợng, đồ họa đẹp, thân thiện và dễ sử dụng, có khả năng ứng dụng cao trong vật lý. Từ lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng phần mềm Mathematica để giả i các bài tập đồ thị phần cơ học vật lý 10 ” 2 2. Mục tiêu nghiên cứu + Sử dụng phần mềm Mathematica trong việc giải các bài toán về cơ học. + Làm rõ đƣợc ƣu điểm của việc sử dụng phần mềm Mathematica. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Tập trung tài liệu, nghiên cứu lý thuyết về cơ học. + Nghiên cứu sử dụng cú pháp cấu trúc câu lệnh của Mathematica. + Khai thác các tính năng vẽ đồ thị hai chiều, ba chiều trên Mathematica. + Nghiên cứu phần mềm Mathematica trong việc giải các bài toán về cơ học. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu + Các dạng chuyển động và các bài tập về cơ học. + Phần mềm Mathematica + Phƣơng pháp giải các bài toán về cơ học khi sử dụng phần mềm Mthematica. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu + Phƣơng pháp lý thuyết: Đọc và tìm hiểu ngôn ngữ lập trình Mathematica. + Phƣơng pháp giải bài tập. + Phƣơng pháp phân tích tổng hợp. 6. Đóng góp của đề tài Đề tài đƣợc hoàn thành sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên chuyên nghành Vật lý nói chung và đồng thời xây dựng đƣợc cách học mới, đó là ứng dụng công nghệ thông tin trong việc giải quyết các bài toán Vậ t lý khó và phức tạp. 7. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có 3 phần: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. - Phần mở đầu trình bày: Lí do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu, đóng góp của đề tài và cấu trúc khóa luận. - Phần nội dung có 3 chƣơng : + Chƣơng 1: Giới thiệu tổng quan về Mathematica + Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết về phần cơ học + Chƣơng 3: Sử dụng phần mềm Mathematica để các bài tập đồ thị phần cơ học vật lý 10. - Phần kết luận. 3 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA 1.1. Giới thiệu sơ bộ về ngôn ngữ lập trình Mathematica 1.1.1. Giới thiệu về phần mềm Mathematica Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài toán cụ thể với thờ i gian nhanh nhất là điều cấp thiết. Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên là Macsyma, Reduce…. Ra đời từ những năm 60 của thế kỷ XX. Các ngôn ngữ này chủ yế u dùng cho giải bài toán năng lƣợng cao. Nhƣợc điểm của chúng là định hƣớ ng chạy trên các máy tính lớn. Thế hệ tiếp theo là Maple, Mathab, Mathematica …. Các ngôn ngữ này có ƣu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn chạy hoàn hảo trên các máy tính cá nhân. Nỗi bật lên là Mathematica v ới ƣu điểm vƣợc trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng tính toán không thua kém gì các ngôn ngữ khác. Mathematica là một ngôn ngữ lập trình mạnh với hơn 700 hàm có sẵn trong thƣ viện hàm sẽ giải quyết các vấn đề nêu trên. Mathematica là môi trƣờng ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhấ t cho các tính toán kỹ thuật. Đƣợc sử dụng trong khoa học, kỹ thuật, toán học và các lĩnh vực khác của kỹ thuật máy tính. Mathematica là thế hệ thứ 3 của dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tƣợng trƣng. Nó là ý tƣởng của Stephen Wolfram và đƣợc phát triển tại trung tâm nghiên cứu Wolfram. Phiên bản đầ u tiên Mathe ( ver 1.0) phát hành ngày 26/6/1988. 4 1.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica Mathematica đƣa ra một giao diện thân thiện với ngƣời sử dụng đƣợc đặ t tên là bản ghi ( note book – thƣờng đƣợc gọi tắt là nb ). Các bản ghi là dạng cửa sổ biễu diễn một lƣợt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chƣơng trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và đƣợ c ghi lại dƣới dạng file riêng của Mathematica có đuôi là *.nb. Các bản ghi đƣợc tổ chức thành các ô ( cell ) một cách trật tự và thứ bậc. Ta có thể nhóm mộ t nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó ( số nhóm lồng tùy ý ). Mathematica còn đƣa ra một giao diện phụ là các nút lệnh Palettes và các nút lệnh Button. Ngƣời sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy ý biến theo ý mình. 1.1.3. Các tính năng của Mathematica a. Khá năng tính toán bằng số Mathematica cho phép tính toán một cách trực tiếp giống nhƣ dung mộ t Calculator với độ chính xác bất kỳ một biểu thức phức tạp nào bằng cách viế t biểu thức và nhấn tổ hợp phím shifl – Enter. Ví dụ: Ta có thể tính biểu thức sau một cách nhanh chóng: , - Out[1]= In[2] = Out[2]= b. Khá năng tính toán với biến đặc trưng. Mathematica cho phép giải các phƣơng trình hay tính toán các biểu thứ c mà nghiệm hay các kết quả đƣợc biểu diễn tƣợng trƣơng: Ví dụ: In[1]:= √ √ Out[1]= (√ √ ( ) ,√ √ -) 5 c. Khá năng đồ họa hai chiều Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng độ thị có thể của hàm số với cầ u trúc lệnh đơn giản nhất nhƣ đồ thị hai chiều, đồ thị ba chiều, đồ thị đƣờng viên, đồ thị mật độ… 1.2. Các quy tắc cơ bản về ngữ pháp của Mathematica Các biến đi theo hàm đều đƣợc đặt trong ngoặc vuông và đƣợc dùng để nhóm các toán tử, các vectơ, ma trận. Cú pháp hình thức nhƣ sao: Hàm [expr] Ví dụ: Sin[x] Danh mục đƣợc liệt kê trong dấu ngoặc nhọn{…} Ví dụ: {1,2,3,…}, {Sin[t], Cos[t]}… Dầu (…) dùng để nhóm các biểu thức lại. Ví dụ: , ( )⁄ - Mathematica phân biệt chữ hoa với chữ thƣờng, chữ đầu của tên hàm phải đƣợc biết hoa. Ví dụ: Plot, Cos, Sin, Integrate… Nếu tên chử hai hoặc nhiều tên kết hợp thì ký tự đầu tiên của mỗi tên đề u phải viết tổ hợp Ctrl + k để tìm các hàm các tên giống nhau ở phần đầu. Pháp nhận đƣợc hiển thị bởi một khoảng trẳng hoặc bởi kỳ tự “ * ” Khi kết thúc một lệnh của Mathematica bằng dấu chấm phẩy thì kết quả không hiển thị trên màn hình. Sau khi viết lệnh nhấn Shift + enter để thực hiện lệnh. Không đƣợc chạy nhiều chƣơng trình cũng một lúc vì các biến vẫn còn lƣu giá trị của nó, khi đó kết quả của bạn sẽ bị sai, để khắc phục chính lại nhƣ sau Evaluation/Quit Kerne/Local. Cần phân biệt List và Matrix trong Mathematica. Nếu viết {1,2,3,4} thì đây là một List gồm 4 phần tử, còn nếu viết {1}, {2}, {3}, {4} đây là một là mộ t matrix 4 dòng 1 cột đối với một List thì không thể dùng hàm chuyển vị Transpose đƣợc, tuy nhiên bạn có thể sử dụng các phép toán củ a Matrix và List, kết quả vẫn đúng khi tính toán giữa các ma trận. 6 1.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica Lệnh trong Mathematica là các Cell gồm: In[n]:= Nhập lệnh Out[n]:=Trả về kết quả Trong đó n là số thứ tự câu lệnh. Lệnh trong Mathematica có thể sử dụ ng trực tiếp. Ví dụ1: Để tính ta nhân: ln[1]:= sẽ cho kết quả là Out[2]= Ký hiệu % dùng để lấy kết quả Cell liền kề trƣớc đó. Ví dụ2: In[2]:= Out[3]= Ví dụ 3: , - Out[3]= Trong Mathematica ta có thể gán kết quả cho một tên. Ví dụ 4: , - Out[4]= 1.2.2. Các pháp toán cơ bản trong biểu thức  Một số phép toán cơ bản: + : Phép cộng ! : Giai thừa : Phép trừ : Nhỏ hơn hoặc bằng * : Phép nhân < : Nhỏ hơn / : Phép chia >= : Lơn hơn hoặc bằng ^ : Phép lũy thừa >: Lớn hơn Ví dụ: In[6]:= Out[6]= 7 In[7]:= Out[7]= Trong Mathematica phân giữa (* * ) thì không có giá trị, nó chỉ là một lờ i chú thích. Ví dụ: In[8]:= ⁄ Out[8]= Để biến thông tin về hàm đang sử dụng, ta sử dụng dấu ? trƣớc tên hàm đó. Để tìm tất cả các hàm bắt đầu bằng một tên hàm nào đó ta dụng ? tên hàm * Ví dụ:Factor* kết quả * + * + * + * + Ta có thể dùng lệnh ? * tên hàm * để tìm tất cả các hàm khác bắt nguồn từ một tề hàm. Có hơn 700 hàm đƣợc xây dựng trong Mathematica, tên củ a hàm trong Mathematica nói chung là chỉ ra mục đích sử sụng hàm đó. Bảng 1.1: Một số hàm cơ bản trong Mathematica. Hàm số cơ bản Khai báo trong Mathematica Hàm số cơ bản Khai báo trong Mathematica | | | | √ Sqrt, - hoặ c x^(1/2) Sinx Sin[x] Cosx Cos[x] Tgx Tan[x] Cotgx Cot[x] Arcsinx ArcSin[x] Arccosx Arccos[x] Arctgx ArcTan[x] Arctagx ArcCot[x] Log[x] Ln x Log[x] hoặc Exp(x) Ta có thể vào Palettes → Other → Basic Math Input có sẵn trong Mathematica 8.0 để nhập nhanh hơn. Bảng Basic Math Input có dạng: 8 1.3. Tính toán cơ bản trong Mathematica 1.3.1. Tính giới hạn Để tính các giới hạn ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Ta đùng các lệnh tƣơng ứng sao đây: , , - - , , - - , , - - , , - - , , - - Ví dụ: Limit[(1+x/n)^n, n Infinity]= Limit[(Sin[x] Tan[x]) / , x 0]= 1.3.2. Tính đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp 1 của hàm 1 biến ( ) , , - - Đạo hàm cấp n của hàm một biến ( ) , , - * +- Đạo hàm của hàm nhiều biến ( ) Ví dụ: đạo hàm 2 lần theo x, 1 lần theo y và 4 lần theo z nhƣ sao: , ( ) * + * +- Đào hàm toàn phần: Dt[f,{x,n}, n là bậc của đạo hàm Dt [f,{x,nx}, {y,ny}...] đạo hàm nhiều biến. Ví dụ : Dt[a x + b,x]= a + xDt[a, x] + Dt[b, x] Dt[x^2 y, x, y]= 2x + 2yDt[x, y] + 2xDt[x, y]Dt[y, x] 9 Dt[ax + b, x, Constans→ {b}]= Dt[a, Constans → {b}] + Dt[a, x]Dt[x, Constans → {b}] + Dt[b, x, Constans → {b}] 1.3.3. Tính tích phân Để tính nguyên hàm của f(x) ta dùng lệnh: Integrate[f(x), x]. Ví dụ: Để tính tích phân xác định của f(x) trên [a,b] ta dùng lệnh Integrate[f[x], {x,a,b}]. Để tính tích phân xác định của f(x) xá đị nh trên [a,b] kết quả hiển thị dƣới dạng số thập phân ta dùng lệnh Nintegrate[f[x],[x,a,b] Ví dụ: , - ,( ) -= , √ - √ , - , - In[2]:= ,( ) * +-= ( √ , -) Nintegrate,( ) * +-= Lƣu ý: Ta có thể sử dụng BaiscInput. Vào File Palettes BaiscInput hoặ c Palettes có sẵn trên thanh công cụ. 1.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình Đầu tiên chúng ta làm quan với lệnh Solve: Cú pháp và cách lấy giá trị nghiệm hãy chú ý đến trƣờng hợp có nghiệm bội nhƣ trong ví dụ sau đây: Ví dụ: ln[1]:= , - Out[1]= ** √ + * √ ++ , - Out[2]= * √ √ + , - ,, -- Out[3] √ In[4]:= , - Out[4]** + * + * ( √ )+ * ( √ )++ 10 Theo ví dụ trên thì ta thấy cú pháp để giải một phƣơng trình đơn một biế n: Solve[equation, variable]. Cụ pháp tổng quát đối với các đối số của lệ nh Solve bao gồm một list các phƣơng trình phụ thuộc vào một List các biến, có nghĩa là: Solve[equation – list – variable – list]. Ví dụ sao đây sẽ cho thấy đƣợc điều đó: ,* + * +- Out[1] ** + * + * ( √ ) ( √ )+ * ( 2 + i√ ),y → ( - 2 - i√ )}} Chú ý: không phải tất cả các phƣơng trình đa thực đều có nghiệ m chính xác. Theo lý thuyết phƣơng trình thì các phƣơng trình thì các phƣơng trình bậc 4 trở xuống đều có công thƣc nghiệm chính xác đƣợc xây dựng từ các hệ số. Tuy nhiên theo Galois đối với các phƣơng trình bậc 5 trở lên chúng ta lại có nhữ ng công thức nghiệm thƣ thể. Mathematica sẽ không đánh giá các phƣơng trình bậ c 5 trở lên ( các phƣơng trình không thể phân tích thành nhân tử ). Tuy nhiên có thể tìm tất cả các nghiệm của phƣơng trình đa thức bằng phƣơng pháp số thông qua lệnh N[ ]. Ví dụ tham khảo: , - Out[1]= {{x→ ( 1 - i√ )},{x → (1 + i√ )},{x → Root[1 + 2#1 + # -},{x , -},{x → Root[1 + 2#1 + # -},{x → Root[1 + 2#1 + # -},{x → Root[1 + 2#1 + # -}} 1.4. Các kiểu số trong Mathematica Có 4 kiểu số thông dụng trong Mathematica: Integer: Số nguên Rational: Số hữu tỷ Real: Số thực Complex: Số phức Để kiểm tra một số thuộc kiểu số nào đó ta dùng hàm Head. Ví dụ; Head[1234] trả về là Integer. Ngoài các kiểu trên còn có một kiểu số đặc biệt đƣợc gọi là số ngẫu nhiên. 11 Để tìm số ngẫu nhiện Mathematica cung cấp cho ta hàm Random. Random [ ] cho một số thực biến thiên trong đoạn[0, 1]. Ví dụ: Rabdom[ ] cho kết quả là 0.43165 Random[ Integer ] cho giá trị ngẫu nhiện là 0 hoặc 1. Random[ kiểu số, khoảng biến thiên ]: cho giá trị ngẫu nhiện là “không biến thiên”. Ví dụ: Random [ Integer,{0,1000}]: cho kết quả là 345 1.5. Các pháp tính toán số học Nhƣ một máy tính tay, Mathematica có thể thực hiện đƣợc tất cả các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia, nâng, lên lũy thừa… 1.5.1. Số nguyên Khi làm việc với số nguyên, Mathematica luôn hiển thị kết quả chính xác và đầy đủ trên màn hình, ngay cả khi tính toán với những số lớn. Ví dụ: In[1]:= Out[1]= 1.5.2. Số hữu tỷ Số hữu tỷ là một số đƣợc biễu diễn bởi tỷ số của một số nguyên chia cho số nguyên khác 0. Thông thƣờng khi sử dụng máy tính hay các phần mề m khác ta chỉ nhận đƣợc giá trị xấp xỉ, chẳng hạn 2/4 + 24/44 thì ta đƣợc kết quả là: 0,6666667. Đổi với Mathematica khi nói về số hữu tỷ là nói về phân số. Ví dụ: , - ⁄ ⁄ Out[2]= 1.5.3. Số phức Một số hàm thƣờng để làm việc với số phức: Re : Lấy phần thực của số phức Rm : Lấy phần ào của số phức Conjugate : Tìm liên hợp của số phức 12 Arg : Tính góc Round : Làm tròn số cả phần thực và phần phức Ví dụ : ln[1]:= , - Out[1]= In[2]:= , - Out[2]= , - , - Out[3]= , - , - Out[4]= √ , - , - Out[9]= 1.6. Đồ họa với Mathematica 1.6.1. Đồ thị hàm một biến Vẽ đồ thị hàm một biến f[x]ta dùng lệnh: Plot[f[x],{x,a,b}]: Vẽ đồ thị hàm f[x] trong khoảng a,b. Ví dụ: Định nghĩa của hàm f, g, h Clear[f, g, h] , - , - , - Vẽ dồ thị hàm: , - , , - * + * +- Hình 1.1: Đồ thị hàm số f(x) 13 Vẽ đồng thời nhiều đồ thị: Ta có thể dùng lệnh vẽ đồng thời ba đồ thị trên trên cùng một đồ thị theo lệnh tƣơng tự nhƣ sao: Dt1= ,* , - , - , - + * + * +- Hình 1.2 : Đồ thị hàm f(x), g(x), h(x) Ta có thể vẽ riêng từng đồ thị Và cho cùng hiển thị trên cùng một hệ trụ c bằng lệnh: ,* +- với n1, n2,…là các số thì đồ thị sẽ có dạng các đƣờng chấm. Ngoài ra chúng ta còn có một số dạng nhƣ: + Tạo tỷ số khoảng chia trên trục 0x, 0y: . +Tạo khung: , đặt cho khung: {“đồ thị 1”, “đồ thị 2”, “đồ thị 3”}. + Chỉ rõ có dặt dấu khiểm trên các trục 0x, 0y hay không: hay ** + * ++. + Ghi tên các trục tọa độ: * + . Nếu muốn bó các trục thì: , muốn có: . Đặt tên cho đồ thị vừa vẽ: “Name” + Quy định vùng giá trị của x: ** + * +. +Vẽ toàn bộ đồ thị: . 14 +Vẽ đồ thị trong phạm vi nhất định của x, y: ** + * ++ +Vẽ lƣới tự động: +Chỉ vẽ lƣới mang: * +. +Vẽ các đƣờng thẳng đứng tại x=2,3 và 4: ** ++.  Vẽ đồ thị hai chiều . Vẽ đồ thị ( )trên (a,b) ta dùng lệnh: , , - * + Vẽ cùng lúc hai độ thị ( ), ( ) trên (a,b) trên dùng lệnh: ,* , - ( )+ * + Ví dụ 1: , , - , - * + * +- Hình 1.3: Đ ồ thị hàm ( ) ( ) ( ) Ví dụ 2: , , - , - * + * + Hình 1.4: Đồ thị hàm ( ) ( ) 15 ví dụ 3: , ( ) , - * + * +- Hình 1.5: Đồ thị ( ) , - Nếu các hàm x và hàm y đƣợc có dƣới dạng hàm số ( ) và ( ) thì lệnh để vẽ đồ thị: ( ) trong trƣờng hợp này là: ,* , - , -+ * +- Ví dụ 4 : , ( ) * , - , -+ * + * +- Kết quả ta thu dƣợc độ thị: Hình 1.6: Đồ thị hàm ( ) với ; 1.6.2. Đồ thị hàm hai biến( 3 chiều ) Vẽ đồ thị hàm hai biến ( )ta dùng lệnh có dạng tổng quát: , - * + * +- 161.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 0 2 4 Ví dụ vẽ đồ thị hàm: , , - * + * + - Hình 1.7: Đồ thị hàm hai biến ba chiều ( ) trên đoạn , - Vẽ đồ thị tham số trong không gian: Khi các hàm x, y, x liên hệ với nhau theo tham số t thì lệnh tổng quát để vẽ mặt z(x, y) nhƣ sao : ,* , - , - , -+ * +- Khi các hàm x, y, x liên hệ với nhau theo tham số u, v thì lệnh tổng quát để vẽ mặt z(x, y) nhƣ sao : ,* , - , - , -+ * + ** ++ Ví dụ : Vẽ đồ thị theo tham số , , trong khoả ng biến thiên của t là : 0, 8pi Dt1: ,* , - , - ⁄ + * +- Hình 1.8: Đồ thị tham số : , , trong khoảng biế n thiên của t từ : 0,8 Pi 17 So sánh với đồ thị , 2t, trong khoảng biế n thiên của t từ : 0,8 Pi Dt2=ParametricPlot3D [{t Cos[2t], t Sin [2t],t/5},{t, 0, 8Pi}] Hình 1.9 : Đồ thị tham số x=tcos2t, y=tsin2t, z=t/5 trong khoảng biến thiên của t từ : 0, 8Pi  Đồ thị trƣờng véc tơ : Để thực hiện đƣợc lệnh vẽ trƣờng véc tơ thì ta cần mở gói chƣơng trình - vẽ trên mặt phẳng thực hiện lệnh : ,* , - , -+ * + * + - trƣờng véc tơ f trong mặt phẳng - Vẽ trong không gian ba chiều: ,* , - , - , -+ * + * + ( )  Chú thích cho đồ thị: Ta mở gói chƣơng trình ( ), sao đó dùng lệnh hay dùng lệnh * + , - Bảng 1.2: Các tùy chọn với và . 18 Tên tùy chọn Giá trị mặc định Chức năng LegendPosition {1,3} Chỉ vị trí bảng chú thích với tâm đồ thị. LegendSize Automatic Chỉ rõ độ dài bảng chú thích. LegendShutdow Automatica Có thể cho giá trị None. LegendOrientation Vẻtical Có thẻ cho Vertical hay Horizontal. LegendLabel None Tên bảng chú thích. LegendTextDirection Automatica Hƣớng của bảng chú thích. LegendTextOffset Automatica Cân bằng chứ trong chú thích. LegendSpacing Automatica Khoảng cách hai hàng trong bảng chú thích. LegendTextSpace Automatica Khoảng cách các chứ trong bảng chú thích. 1.6.3 . Vẽ đồ thị động Mathematica có khá năng tạo nên hiệu ứng chuyển động cho các đồ thị. Trƣớc khi sử dụng hiệu ứng vẽ động của Mathematica ta phải mở gói chƣơ