Về phía học sinhcần có công cụ trợ giúp hướng dẫn các em tích cực thực hành để biểu đạt, khámphá, kiểm nghiệm lại kiến thức mình đã được học, làm sáng tỏ các vấn đề cònvướng mắc, chưa hi
Nhiệm vụ nghiên cứu — HG /gđđ1.1111 4 6 Y nghĩa lý luận và thực tiễn của đê tài - s6 SĂ Sky 4 7 Phương pháp nghiên cứu . cccccccterkettetrittieririiiiiirrie 4 8 Câu trúc luận Văn - - c + 11112211111 11111 911111001111 011g vn 1 1g kg 5 Chương 1 Đồ họa và vai trũ của đồ họa đối với học sinh -ô- 6
Đồ họa máy tính 2 2 + SkEE9EE9 1251215 21121711111211211 112111111111 c1y 0 6 1 Giới thiệu đồ họa máy tính .-¿¿¿¿¿¿¿¿cccccccccccccceceeeeeeeeeeeecee 6 2 Vai trò của đô họa máy tinh đôi với nhận thức - ‹++ s5+ 6 2.1 Hỗ trợ thiẾt kế +-c2xttttt th He 7 2.2 Biểu diễn thông tin -¿- ¿5£ SSE+SE£EE2EE2EE2EE2EEEEEEEEEEEEErrkrrerree 8 2.3 Giải trí nghệ thuậtt 5 5s kh HH HH ng iệt 8 2.4 Giáo dục và Đào {ạO - HH HS SH HS HH 1T vn vn 8 2.5 Giao tiếp máy tính và người dùng - ¿2 2 x+cxz+xczxerxees 9 1.2 Đồ họa hình học phổ thong . -2- 2 2 2+2 +E+EE+EE£EEEEEEEEEEEEEEEEerkrrxrrrrex 10 1.2.1 Các đối tượng d6 họa hình học phổ thông 2 2 s2 s+zxz+sz 10 1.2.2 Yêu cầu xây dựng mô phỏng hình học tại nhà trường phố thông
1.1.1 Giới thiệu đồ họa máy tính Đồ họa máy tính là một ngành khoa học Tin học chuyên nghiên cứu về các phương pháp và kỹ thuật dé có thé mô tả và thao tác trên các đối tượng của thế giới thực bằng máy tinh [5].
Về ban chất đó là một quá trình xây dựng va phat triển các công cụ trên cả hai lĩnh vực phần cứng và phần mềm hỗ trợ cho các lập trình viên thiết kế các chương trình có khả năng đồ họa cao.
Với việc mô tả dữ liệu thông qua các hình ảnh và màu sắc đa dạng của nó các chương trình đồ họa thường thu hút người dùng bởi tính thân thiện, dé dùng kích thích khả năng sáng tạo và nâng cao năng suât làm việc.
1.1.2 Vai trò của đồ họa máy tính đối với nhận thức
Sự phát triển của khoa học, kĩ thuật, nghệ thuật, kinh doanh, và công nghệ luôn luôn phụ thuộc vào khả năng truyền đạt thông tin của chúng ta, hoặc thông qua các dữ liệu lưu trữ trong microchip hoặc thông qua giao tiếp băng tiếng nói Câu châm ngôn từ xa xưa “một hình ảnh có giá trị hơn cả vạn lời” hay “trăm nghe không bằng một thấy” cho thấy ý nghĩa rất lớn của hình ảnh trong việc chuyên tải thông tin Hình ảnh bao giờ cũng được cảm nhận nhanh và dễ dàng hơn, đặc biệt là trong trường hợp bắt đồng về ngôn ngữ Do đó không có gì ngạc nhiên khi mà ngay từ khi xuất hiện máy tính, các nhà nghiên cứu đã cố gang sử dụng nó dé phát sinh các ảnh trên màn hình Trong suốt gần 70 năm phát triển của máy tính, khả năng phát sinh hình ảnh bằng máy tính của chúng ta đã đạt tới mức mà bây giờ hầu như tất cả các máy tính đều có khả năng đồ họa. Đồ họa máy tính là một trong những lĩnh vực lí thú nhất và phát triển nhanh nhất của tin học Ngay từ khi xuất hiện, đồ họa máy tính đã có sức lôi cuốn mãnh liệt, cuốn hút rất nhiều người ở nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học, nghệ thuật, kinh doanh, quản li, Tính hap dẫn và đa dạng của đồ họa máy tính có thé được minh họa rất trực quan thông qua việc khảo sát các ứng dụng của nó.
Ngày nay, đồ họa máy tính được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như công nghiệp, thương mại, quản lí, giáo dục, giải tri, Số lượng các chương trình đồ họa ứng dụng thật không lồ và phát triển liên tục, dưới đây là một số ứng dụng tiêu biểu :
Một trong những ứng dụng lớn nhất của đồ họa máy tính là hỗ trợ thiết kế CAD Ngày nay CAD đã được sử dụng hau hết trong việc thiết kế các cao ốc, 6 tô, máy bay, tàu thủy, tàu vũ trụ, máy tính, trang trí mẫu vải, và rất nhiều sản phẩm khác.
Sử dụng các chương trình này, đầu tiên các đối tượng được hiển thị dưới dạng các phác thảo của phần khung sợi, mà từ đó có thê thấy được toàn bộ hình dạng và các thành phần bên trong của các đối tượng Sử dụng kĩ thuật này, người thiết kế sẽ dé dàng nhận thấy ngay các thay đổi của đối tượng khi tiến hành hiệu chỉnh các chỉ tiết hay thay đổi góc nhìn
Một khi đã thiết kế xong phần khung của đối tượng, các mô hình chiếu sáng, tô màu và tạo bóng bề mặt sẽ được kết hợp dé tạo ra kết quả cudi cùng rat gần với thế giới thực.
Fie a ley eB eT 4/47 ae
(hac tie ier Fest Teen Tom Sie = =a or
Day là các ứng dụng sử dụng đồ họa máy tính dé phát sinh các biểu đồ, đồ thi, dùng minh họa mối quan hệ giữa nhiều đối tượng với nhau Các ứng dụng này thường được dùng dé tóm lược các dữ liệu về tài chính, thống kê, kinh tế, khoa học, toán học, giúp cho việc nghiên cứu, quản lí, nghiên cứu khoa học một cách có hiệu quả.
Trong lĩnh vực nghệ thuật, các chương trình máy tính như Paint Shop Pro,
Adobe Photoshop, 3D Studio, hỗ trợ rất đắc lực cho các họa sĩ, các nhà tạo mẫu trong việc thiết kế các hình ảnh sống động, và rất thực Với các chương trình này, người họa sĩ được máy tính tạo cho cảm giác y như đang làm việc ngoài đời thực bang cách cung cấp các công cụ như khung vẽ, giá vẽ, bang pha màu, các hiệu ứng ba chiều, làm cho họ cảm thấy rất thoải mái và tiện lợi.
Ngoài ra đồ họa máy tính còn giúp tạo ra các chương trình trò chơi, giải trí; hỗ trợ cho các kĩ xảo điện ảnh, cho các nhà làm phim Có nhiều bộ phim rất nổi tiếng nhờ vào kĩ xảo điện ảnh như: Công viên Khủng long kỉ Jura, Titanic, Thế giới nước
Hình 2 Đồ họa giải tri - nghệ thuật
1.1.2.4 Giáo duc va Dao tạo
Hiện nay các chương trình mô phỏng cấu trúc của các vật thể, tiến trình của các phản ứng hóa học, hoạt động của các gói tin trên mạng máy tính, được dùng rất nhiều trong việc hỗ trợ giảng dạy Trong đào tạo, các ứng dụng mô phỏng được dùng dé kiểm tra trình độ người lái, huấn luyện phi công, điều khiển giao thông
Hình 3 Đồ họa trong Giáo dục Đào tạo
1.1.2.5 Giao tiếp máy tính và người dùng
Mọi ứng dụng đều phải có giao diện giao tiếp với người dùng Giao diện đồ họa thực sự là một cuộc cách mạng mang lại sự thuận tiện và thoải mái cho người dùng ứng dụng Các ứng dụng dựa trên hệ điều hành MS Windows là một minh họa rất trực quan của giao diện đồ họa Các chức năng của các ứng dụng này được thiết kế cho người dùng làm việc thông qua các biểu tượng mô tả chức năng đó Ví dụ, chức năng lưu tập tin được hiểu thông qua biểu tượng đĩa mềm, chức năng in ấn được hiểu thông qua biểu tượng máy in, Dé chọn các chức năng, người dùng sử dụng chuột trỏ đến và nhắn vào các biểu tượng tương ứng Điểm thuận lợi chính khi dùng biểu tượng là kích thước không gian mà nó chiếm ít hơn nhiều so với dùng văn ban dé mô ta cho cùng một chức năng, ngoài ra việc nắm bắt các chức năng qua các biểu tượng sẽ dé dàng hơn rất nhiều khi người dùng gặp trở ngại về mặt ngôn ngữ Các ứng dụng có giao diện đồ họa còn cho phép người dùng khả năng làm việc dê dàng với nhiêu cửa sô với nhiêu dạng tải liệu khác nhau cùng một lúc.
Hình 4 Tương tác đồ hoạ người-máy
1.2 Đồ họa hình học pho thông
1.2.1 Các đối tượng đồ họa hình học phố thông
Chương trình hình học phổ thông được chia thành hai phần là hình học phẳng và hình học không gian.
1 Hình học phăng gồm các đối tượng đồ họa cơ sở như: điểm, đường thăng, vecto, tia, đa giác, đường tròn, cung tròn, các đường conic và các hình phức hợp được xây dựng từ hai đối tượng cơ sở trong hình học phẳng trở lên.
2 Hình học không gian gồm các đối tượng đồ họa cơ sở như: điểm, đoạn thăng, đường thắng, mặt phăng, vecto, đa giác, đường tròn, cung tròn, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón và các hình phức hợp được xây dựng từ hai đối tượng cơ Sở trong không gian trên trở lên.
1.2.2 Yêu cầu xây dựng mô phỏng hình học tại nhà trường pho thông
Một số khía cạnh liên quan đến đồ họa - 5c St SE EkEEkEEEEkekrrkererrrrx 23 2.3 Chuẩn hóa tham số cho các đối tượng CO SỞ . 2-2 2 2+x+£x+£x£s+zssxsee 23 2.4 Xử lí các đối tượng đồ họa cơ sở thuộc hình học phăng
Liên quan đến những chức năng xử lí đồ họa của MATLAB, người ta thấy có những khía cạnh sau :
1 Đồ họa 2 chiều; Đồ họa 3 chiều;
Phương pháp tọa độ phang;
Phương pháp tọa độ không gian; we Ye N Một số phép dựng hình.
Trong khuôn khổ của luận văn, dé nội dung này không làm loãng ý chính của các chương sau, học viên xin nêu chỉ tiết các khía cạnh liên quan đến chức năng đồ họa trong phần phụ lục của luận văn.
2.3 Chuan hóa tham so cho các đôi tượng cơ sở
Mục đích của việc chuẩn hóa tham số là để thong nhất tham số xử li cho đối tượng cơ sở Ví dụ như trong hình học phăng một đường thăng thường được xác định theo 3 cách sau :
Hình 8 Đường thẳng trong mặt phẳng
1 THỊ: Đường thăng đi qua 2 điểm phân biệt MO(xo;yo), MI(x¡;y)).
2 TH2: Đường thăng đi qua điểm M0(xạ; Yo), và có vecto pháp tuyến n(A;B).
3 TH3: Đường thang đi qua điểm MO(xo; yo), và có vecto chỉ phương u(a;b).
Dé chuẩn hóa tham số cho đường thăng ta tính toán quy về TH3, đường thang qua điểm M0(%;yạ) và có vecto chỉ phương u(dx; dy) Biéu dién đường thang được chuẩn hóa trong MATLAB sé có dạng line2d = [x0 y0 dx dy] Việc tính toán chuẩn hóa là đơn giản dựa trên nền tảng kiến thức hình học phô thông, vì vậy ta có thé xây dựng các thủ tục chuẩn hóa dé thống nhất xử lí cho đối tượng cơ sở và mở rộng việc biểu diễn cho đối tượng khi dữ kiện tham số đầu vào của đối tượng được cho dưới các dạng khác nhau.
2.4 Xử lí các đối tượng đồ họa cơ sở thuộc hình học phẳng
Dé vẽ điểm trong mặt phăng ta dùng ham plot, hàm plot cho phép vẽ don điểm hoặc đa điểm phụ thuộc ma trận tọa độ đầu vào Ngoài ra ta có thể định màu sắc, kiểu, độ rộng của điểm thông qua bảng thuộc tính (bảng 4 phần phụ lục).
% Vẽ đơn điểm M(x, y) : plot(x, y, PropertyNamel, PropertyValuel, );
% Vẽ da điểm MI(xI1, yl), , Mn(xn, yn): plot(x1, yl, x2, y2, , xn, yn, PropertyName1, PropertyValuel, );
2.4.2 Tao nhan điểm, chú thích Đề thuận tiện cho việc xác định vi trí và thứ tự cua điểm, chúng ta thường gán cho mỗi điểm một kí tự in hoa duy nhất gọi là nhãn điểm Nhãn điểm có vai trò quan trọng trong việc xây dựng, phát triển lý thuyết và chứng minh các bài toán hình học Trong MATLAB ta có thể tạo nhãn cho một điểm hoặc danh sách các điểm băng cách sử dụng hàm text.
% gan nhan diém M text(x, y, ‘M’, PropertyNamel, PropertyValuel, );
Gan nhãn cho dãy n điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2), , Mn(xn, yn).
% vẽ dãy điểm plot(x1, yl, x2, y2, , xn, yn);
% tao ma trận toa độ điểm va nhãn điểm x=[xl; x2; xn]; y=[|yl;y2: yn]; labels = [“M1’;’M2’; ;’Mn’);
% gan nhãn cho danh sách điêm text(X, Y, labels, PropertyNẹame1l, PropertyValuel, );
2.4.3 Doan thang trong mặt phẳng
Dé vẽ đoạn thăng 2D trong MATLAB ta sử dung ham plot Hàm plot cho phép vẽ một đoạn thang hay nhiều đoạn thang liên tiếp tao thành một đường gap khúc tùy thuộc ma trận tọa độ đầu vao.
% Vẽ đoạn thắng AB: A(xa, ya), B(xb, yb) plot([xa xb], [ya yb], PropertyNamel, PropertyValuel, );
% Vẽ đường gấp khúc A1A2, A2A3, , An-IAn : A1(x1, y1), , An(xn, yn) plot([x1 x2 xn], [yl y2 yn], PropertyNamel, PropertyNamel, );
Theo định nghĩa một vecto được xác định nếu ta biết hai điểm đầu mút (điểm đầu và điểm cuối) của vecto Giả sử trong hệ trục tọa độ (Oxy) cho vecto AB có tọa độ điểm đầu A(x,; Vạ), điểm cuối B(x; Yb): Dé vé vecto AB ta phai vé doan thang
AB va dau mii vecto tai diém B Viéc vé doan thang AB áp dụng phần vẽ đoạn thăng đã được nêu ở trên, còn phần đầu mũi vecto được biểu diễn bằng một tam giác cân, muốn làm được điều này ta chọn hai điểm U, V sao cho UBV tạo thành một tam giác cân tại đỉnh B và các cạnh của tam giác có tỉ lệ phù hợp với độ dài của vecto AB, sau đó ta thực hiện vẽ đường gấp khúc UBV.
Goi I là trung điểm của U, V Giả sử U, V, I có tọa độ tương ứng là Ủ(xụ, Yu), V(xv, Vv) , lŒ, yp) Gọi a, /ỉ là cỏc tham SỐ dương xỏc định tỷ lệ của đầu vecto
UBV theo hệ thức : JB = ứ AB: il || = oo |x ,
AB = (xb - xa; yb - ya) = (xp; yp) ;
UI.AB =0 © (x,-ax, —x,)x, +(9,-ay, -y,)y, =0 () lea] =p |AB) = Joa, -as, 57 +0, -ay, 9.9 fi +ằ
Giải pháp trong MATLAB function varargout = Vecto2d(vecto, varargin)
% Vecto2d là ham vẽ vecto trong mặt phẳng
% vecto = [xa ya xb yb] vecto AB voi A(xa;ya), B(xb;yb)
% Vecto2d([xa ya xb yb]);
% Vecto2d([xa ya xb yb], PropertyName1, PropertyValuel, );
% rút trích tọa độ vecto xa = vecto(1); ya = vecto(2); xb = vecto(3); yb = vecto(4);
% tham sô định tỷ lệ đầu vecto alpha = 0.1; beta = 0.1;
% ma trận tọa độ điểm tương ứng đầu vecto UBV hu = [xb-alpha*((xb-xa)-beta*(yb-ya)); xb; xb-alpha*((xb-xa)+beta*(yb-ya))]: hv = [yb-alpha*((yb-ya)+beta*(xb-xa)); yb;yb-alpha*((yb-ya)-beta*(xb-xa))];
% vẽ nhiều đối tượng trên một hình hold on;
% vẽ độ dài vecto AB h =plot([xa;xb], Lyasyb]);
% vé dau mit vecto UBV k = plot(hu(:), hv());
% set thudc tinh vecto if (~isempty(varargin)) set(h, varargin{:}) end
% xử lí đầu ra if nargout == 2 varargout{ 1} varargout{2} h; k; end
2.4.5 Đường thang trong mặt phẳng
Trong mặt phăng (Oxy) xét đường thăng (d) qua điểm M(xo, yo) va có vecto chỉ phương u(a;b).
Thực tế đường thắng (d) có độ dài không giới hạn, nhưng trên thiết bị hiển thị thì đường thang (d) được biểu diễn có giới hạn bởi một phan của đường thang. Như vậy dé vẽ đường thăng (d) ta sẽ vẽ phần đoạn thăng thuộc nó và nam trong giới hạn của hệ trục tọa độ hiện thời hay vùng xén, vùng hiển thị hiện thoi.
Bước 1: lay giới hạn của vùng xén
Bước 2: thực hiện kỹ thuật xén đường thăng như trong mục 5.2.2 phan phụ lục
(gia sử ton tại đoạn thăng xén được xác định bởi hai điểm I, J) Bước 3: dùng ham plot vẽ đoạn thang IJ
Giải pháp trong Matlab function varargout = Line2d(line, varargin)
% Line2d hàm vẽ đường thang trong mặt phẳng.
% line = [x0 y0 dx dy] đường thắng qua M0(x0;y0)
% có vecto chỉ phương u = (dx;dy).
% Line2d([x0 y0 dx dy], PropertyNamel, PropertyValuel, );
% mặc định kiểu màu cho đường thắng varargin = [{'color’, 'b'}, varargin];
% rút trích giới han vùng xén hiện thời xlim = get(gca, 'xlim); ylim = get(gca, 'ylim);
% xén đường thăng theo vùng xén hiện thời clip = clipingLine2d(line, [xlim ylim]); ok = isfinite(clip(:,1));
% tạo mang lưu kết qua h = -1*ones(size(line, 1), 1);
% vẽ đoạn thăng hợp lệ h(ok) = plot(clip(ok, [1 3])', clip(ok, [2 4])', varargin{:});
% tra vé két qua cho dau ra if nargout > 0 varargout{ 1} =h; end
2.4.6 Da giác trong mặt phẳng
Da giác là một đường gap khúc kin có đỉnh đầu va đỉnh cuối trùng nhau. Trong toán học phố thông các đa giác thường gặp là tam giác, tứ giác, ngũ giác Đa giác được xác định khi ta biết các đỉnh của nó Trong hệ trục tọa độ (Oxy) để vẽ đa giác AAa Án, có tọa độ các đỉnh tương ứng A¡(X\, y1), AaŒa, Y2),
› An(Xạ, Yn) ta tao ma trận tọa độ các đỉnh, sau đó sử dụng chức năng vẽ đường gấp khúc kín trong lệnh plot dé vẽ đa giác hoặc dung hàm fill để vẽ và tô màu cho miền đa giác.
% Nhập ma trận tọa độ đỉnh của đa giác.
% Gọi ham plot dé vẽ các cạnh của đa giác plot(X, Y, PropertyNamel, PropertyValuel, ); % hoặc fill(X,Y,Color);
2.4.7 Đường tròn trong mặt phẳng
Trong hệ trục tọa độ Descartes (Oxy) cho đường tròn (C) tâm I(x,, y„), ban kính r Trong hệ tọa độ cực phương trình đường tròn (C) được biểu diễn dưới dạng tham sô như sau : š =x,+rcos¢
Dé vẽ đường tròn (C) ta xây dựng dãy điểm mô phỏng cho (C) băng cách thực hiện phân hoạch đoạn [0;27] Các bước thực hiện như sau :
Hình 11 Phân hoạch đường tròn e Phân hoạch đoạn [0;27] thành n phần bang nhau theo tham số ộ
, ,' e Xác định tọa độ tại các điểm chia {Aj(x;, y;)} qua phương trình tham sé
Xi = XC +rcos(¢), yi= ye + rsin(¢ ) (i=0 n) e Vẽ đa giác mơ phỏng đường trịn AoẬ¡ An
Giải pháp trong Matlab function varargout = Circle2d(circle, varargin)
% Circle2d ham vé duong tron.
% circle = [xc yc r] đường tròn tâm (xc;yc), bán kính r > 0
% Circle2d([xc yc r], PropertyNẹamel, PropertyValue l, );
% xử lí tham số xc = circle(1); ye = circle(2) ; r = circle(3) ;
% tham số phân hoạch đường tròn
% phân hoạch đường tròn bằng lệnh linspace t = linspace(0, 2*pi, N+1);
% xác định tọa độ dãy điểm mô phỏng theo vecto t xt = xc + r*cos(t); yt = yc + r*sin(t);
% vẽ da giác mô phỏng đường tròn từ hai ma trận toa độ xt, yt h =plot(xt, yt);
% set thuộc tinh cho đường tròn if (~isempty(varargin)) set(h, varargin{:}); end % xử li đầu ra if nargout > 0 varargout = {h}; end
2.4.8 Cung tròn trong mặt phẳng
Trong mặt phang (Oxy) cho cung trũn tõm I(x,, y,) bỏn kớnh r cú độ lớn ỉ, điểm đầu của cung được xác định qua góc xuất phát a (a, tính theo đơn vị độ). Quy ước chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, thuận kim đồng hồ là chiều âm. ay yo vx
Thực hành xây dựng mô phỏng sự tương giao giữa đường thăng và mặt cầu 56 1 Đường thang không cắt mặt cầu - 2 5¿©cx+2zxvcxzvrxeerxere 56 1.1 Giải tích hóa các đối tượng cơ SỞ . -.¿ c¿©5++cx++cxrsreersed 57 1.2 Kịch bản vẽ mô phỏng ¿- 5c 3c 2+ +sEEseexeesserrrsreses 57 1.3 Kết quả thực hiện qua giao điện C# - 2 2 +cccxscxerereee 57 2 Đường thắng tiếp xúc với mặt cẦu ¿-+¿©++cx++zx+rx+srxezrxere 58 2.1 Giải tích hóa các đối tượng CO SO ceccseessesssesssesstssseessecssecseesseesseeses 58 2.2 Thực hiện vẽ đối "10501
x = -8, và y = -8 Ta có tọa độ của A, B:
3.2.2.2 Thực hiện vẽ đối tượng
Thực hiện theo các bước:
1 Chọn hệ trục tọa độ có giới hạn ba trục trên đoạn [-8 8]
2 Vẽ mặt phăng (P) qua O(0; 0; 0) có cặp vecto chỉ phương i (1; 0; 0), 7(0; 1;
3 Vé mặt cầu tâm O(0; 0; 0) bán kính r = 4.
4 Vẽ đường thang (d) qua H( ~2^Í2;-2J2 ;0) có vecto chỉ phương (1:-1:0), hoặc vẽ đoạn thắng AB chính là biểu diễn của đường thăng (d).
5 Vẽ va gan nhãn các điểm O, H.
3.2.2.3 Kết quả thực hiện qua giao diện C#
Hình 21 Mô phỏng MATLAB đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
3.2.3 Đường thắng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
Hình 22 Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt (SGK) 3.2.3.1 Giải tích hóa đối tượng cơ sở
Chọn hệ trục tọa độ có giới han tọa độ của ba trục trên đoạn [-8 8].
Chon mặt phang (P) là mặt phang (Oxy) đi qua điểm O(0; 0; 0) có cặp vecto chỉ phương id; 0; 0), 7(0; 1;0).
Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) bán kính r = 4.
Cho z = 0, xét trong mặt phăng (Oxy):
+ Gọi H là giao điểm của đường thắng y = x và đường thắng (đ): H(-2; -2)
3.2.3.2 Kịch bản vẽ mô phỏng
Chon hệ trục tọa độ có giới hạn ba trục trên đoạn [-8 8]
Vẽ mặt phẳng (P) qua O(0; 0; 0) có cặp vecto chỉ phương i (1; 0; 0), j (0; 1;
Vẽ mặt cầu tam O(0; 0; 0) bán kính r = 4.
Vẽ đường thang (d) qua hai điểm M(-4; 0; 0), N(0; -4; 0).
Vẽ và gán nhãn các điểm O(0; 0; 0), H(-2; -2; 0), M(-4; 0; 0), N(O; -4; 0).
3.2.3.3 Kết quả thực hiện qua giao diện C#
Hình 23 Mô phỏng MATLAB đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm
3.3 Giao diện C# truy cập bài thực hành Đề tiện cho học sinh phổ thông tiếp cận chương trình, luận văn thé hiện bài thực hành, với nhiều mẫu thực hành khác nhau, trong hệ thống được viết bằng ngôn ngữ C# Hệ thống truy cập các hàm đồ họa của MATLAB và hướng dẫn học sinh thực hiện.
MATLAB là môi trường tính toán gồm nhiều công cụ, MATLAB compiler va MATLAB builder for NET là các công cụ quan trọng nhất hỗ trợ lập trình tính toán trong C# sử dụng các hàm MATLAB Chúng ta có thể sử dụng MATLAB builder for Net dé tạo một lớp (Class) từ các M-files trong MATLAB và các hàm được sinh ra từ lớp này có thê được triệu gọi từ các hàm trong C#.
3.3.2 Tạo lớp đồ họa từ các hàm trong MATLAB cho C# Đề thực hiện ta xây dựng hai lớp graphic2d và graphic3d lần lượt chứa các hàm vẽ đối tượng được xử lí trong MATLAB tương ứng thuộc hình học phẳng 2D và hình học không gian 3D, lớp options chứa các hàm cho phép người sử dụng tương tác lựa chọn thực hiện một số thao tác trên figure chứa đồ thị hiện thời, cụ thể như sau:
Tạo lớp graphic2d gồm các hàm:
Point2dQ vẽ điểm Axis2d() vẽ và định giới hạn hệ trục cần biểu diễn Label2dQ gán nhãn điểm
Segment2dQ vẽ đoạn thẳng Line2d() vẽ đường thang
Vecto2d() vẽ vecto Circle2dQ vẽ đường tròn Arc2d() vẽ cung tron
11 getPointPosOnLine2d() xác định vị tri của một điểm trên đường thang
12 getIntersectLines2d() xác định giao điểm giữa các đường thang
13 getDistances2d() xác định khoảng cách giữa các đối tượng
Tạo lớp graphic3d gồm các hàm:
Point3d() vẽ điểm Axis3d() vẽ và định giới hạn hệ trục cần biểu diễn Label3d() tạo nhãn điềm, ký hiệu
Line3dQ vẽ đường thang Plane3d() vẽ mặt phẳng
Cirele3dQ vẽ đường tròn Arc3d() vẽ cung tron
10 Polyhedron3dQ vẽ đa diện
12 Cone3dQ vẽ mặt nón
13 Cylinder3dQ vẽ mặt tru
14 getPointPosOnLine3d() xác định vị trí của điểm với đường thang
15 getIntersectLines3d() giao điểm các đường thắng
16 getIntersectLineAndPlane3d() giao điểm của đường thắng và mặt phẳng
17 rotOx3dQ phép xoay quanh trục Ox
18 rotOy3dQ phép xoay quanh trục Oy
19 rotOz3dQ phép xoay quanh trục Oz
21 transform3dQ ma trận biến đổi từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ toàn cục.
3.3.2.3 Lớp thực hiện một số chức nang chung
Tạo lớp options gồm các hàm: axisOnQ hiển thị hệ trục tọa độ axisOff() ân hệ trục tọa độ holdOn() cho phép vẽ nhiều đối tượng trên một figure holdOff() tắt chế độ vẽ nhiều đối tượng trên một figure
5 gridOn() hiển thị đường lưới trên hệ trục
6 gridOff() tat đường lưới trên hệ trục
1 Trong cửa số command window của MATLAB gõ lệnh deploytool Một cửa sô pop up xuât hiện yêu câu nhập tên gói, chọn khu vực lưu giữ, và chọn mục đích deploy là Net assembly.
Hình 24 Tạo gói thư viện graphics
2 Tạo tên các lớp graphic2d, graphic3d, options và chọn các M-file tương ứng với môi lớp đã nêu ở trên.
Classes © qraphic2d ÊÌ Arc2d.m ®) Circle2d.m ®) clipingLine2d.m
B) getPointPosOnline2d.m ®) Label2d.m ®) Line2d.m ÊÌ Point2d.m
Hình 25 Tạo các lớp trong gói graphics
3 Chọn công cụ build dé thực hiện
Generating file "C:\Users\Admin\Documents\MATLAR\gr , Executing command: C:\Windows\Microsoft.NET\Framewc Executing command: C:\Windows\Microsoft.NET\Frarewc copy 'C:\Users\Admin\Documents\MATLAB\graphics\src\ copy 'C:\Users\Admin\Documents\MATLAB\graphics\src\ copy 'C:\Users\Admin\Documents\MATLAB\graphics\src\ copy 'C:\Users\Admin\ Documents\MATLAB\ graphics src\—)
Hình 26 Build ứng dung graphics thành công cho Net
4 Tao ứng dụng Windows Forms đặt tên là DemoMatlab trong Microsoft
File Edit View Refactor Project Build Debug Data Tools Test Window Felp ¡im | Ba | 2 x Gx E1: |b Debug + Any CPU |e! ¡E4 ha A+ | \22\OPGasgaaQe _Statt Page| frm_drawAxis3D,resy ` frm_drawAxis3D.cs = x | Solution Explorer - Solution Dem + 2
4% DemoMathlab.Geom3DForm.frn x 3% button1 Click object sender, Eve + Ee) J using MathWorks.MATLAB.NET.Arrays; using graphics; fH (Sa) Properties f- [gj References
{ Ei- iy Geom3DForm a public partial class frm_drawAxis3D : Form fH ES) frm_drawAxis3D.cs
{ Iai- EE] frm_drawCircle3D.cs a public frm drawAxis3D() fy EE] frm_drawEdge3D.cs _ £ a i EE]fema_eleaaailime2D ex
L ¥ = utils = new Utiis(); ee |\A phic3d test = new graphic3d()¿
Hình 27 Tao ứng dụng DemoMatlab trong VS 2008
5 Trong ứng dụng click chuột phải chon add references dé add các đường dẫn đến các file graphics.dll (gói được build cho Net ở trên), và MWArray.dll là file thư viện của MATLAB cho phép sử dụng các hàm MATLAB trong Net.
“4g DemoMathlab.Geom3DForm.frn + 3% buttonl_Click(object sender, Eve + using MathWorks.MATLAB.NET.Arrays;
{ a Public partial class frm_drawAxis3D : Form
Utils utils = new Utils()z graphic3d test = new graphic3d();
Hình 28 Import các file thư viện cho ứng dung DemoMatlab
6 Khai báo sử dung các thư viện trong chương trình ứng dụng DemoMatlab using MathWorks.MATLAB.NET.Arrays; using MathWorks.MATLAB.NET.Utility; using graphics;
7 Xây dựng giao điện C# cho phép nhập tham số gọi các hàm vẽ từ MATLAB
Hình học 2d | Hình học3D | Công cụ _ Trợgiúp
Chương trên đã trình bày hệ thống viết bằng ngôn ngữ C#, cho phép truy cập các bài thực nghiệm cho học sinh phổ thông, cho phép họ truy cập đến các hàm đồ họa MATLAB, đồng thời thực hiện các bài tập theo chương trình của giáo viên.
Mỗi học sinh sẽ lựa chọn bộ tham số của bài thực hành để xây dựng hình không gian, rồi thử lại bằng MATLAB Sau thời gian ứng dụng, học sinh tự kiểm tả được kiến thức bản thân, tự đánh giá qua hệ thống phần mềm.
Sau thời gian làm luận văn tốt nghiệp, học viên đã đạt được một số kết quả sau :
1 Tim hiểu về MATLAB và ứng dụng của nó trong xử lí đồ họa;
2 Khả năng ứng dụng MATLAB dé kiểm chứng những phép dựng hình của học sinh phô thông trung học Học sinh sẽ thực hiện thực hành theo kịch bản của giáo viên, bằng cách lựa chọn tham số trong chương trình của
3 Trong chương 2 học viên đã nêu một số khả năng dựng hình của MATLAB.
Trong chương 3, đưa ra thí dụ mô phỏng về giao của đường thắng với mặt À N câu.
Hướng tìm hiểu tiếp theo
Bên cạnh những kết quả nghiên cứu đạt được, luận văn vẫn còn một SỐ các vấn đề hạn chế chưa được giải quyết được nêu ở trên Mặt khác chương trình demo các kết quả thực nghiệm của luận văn mới đưa ra được những chức năng cơ bản minh chứng cho lý thuyết mà chưa có đầu tư nhiều cho một ứng dụng thực tiễn.
Tuy nhiên trong tương lai đề tài này có thé đầu tư, phát triển theo các hướng phân tích sâu hơn về kỹ thuật để xây dựng một phần mềm có tính ứng dụng trong thực tiễn như sau : e Nâng cao kỹ thuật xử lí cho phép các đối tượng hiển thị có chất lượng hơn về mau sắc, đường nét, bề mặt giống với thực tiễn hơn. e_ Bồ sung bộ công cụ cho phép chỉnh sửa đối tượng, bộ công cụ trợ giúp tính toán và hiền thị thông tin.
Trên đây là toàn bộ nghiên cứu của tôi về lý thuyết xử lí đồ họa trong MATLAB phục vu cho công cụ toán học ở trường phố thông Nghiên cứu dựa trên lý thuyết về đồ họa máy tính, phương pháp tọa độ hình học PT, ứng dụng đồ họa và ngôn ngữ lập trình MATLAB.
1 Dương Anh Đức (2006), Đồ họa máy tính, NXB Đại Học Quốc Gia
Nguyễn Hoàng Hải, Nguyễn Khắc Kiểm, Nguyễn Trung Dũng, Hà Trần Đức (2003), Lập trình Matlab, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
Tran Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2010), SGK Hình học 10, 11, 12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
Lê Tan Hùng, Huỳnh Quyết Thắng (2008), Kỹ thudt đồ họa, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, tái bản lần IV.
Khoa Công nghệ Thông tin, trường Đại học Khoa học Huế (2003), Giáo trình đồ họa máy tính.
Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. Đoàn Quỳnh (1998), Đại số tuyến tính và hình học giải tích, NXB ĐHQG
Doan Quỳnh (Tổng chủ biên) (2008), SGK Hình học nâng cao 10, 11, 12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
11. lan Griffiths, Matthew Adams, Jesse Liberty (2010), Programming C# 4.0,
Sixth Edition, O’ Reilly Media, Inc.
Matlab 7.10 R2010a (2010), Help&Demo, The Mathworks, Inc.
Đồ họa phăng -¿- 2 ¿St SEE9EEEE1EE1211211211111111111 11.11111111
Phần lớn lớn các câu lệnh để vẽ đồ thị trong mặt phẳng đều là lệnh plot. Lệnh plot tạo ra một cửa số đồ họa gọi là figure, trong cửa số này nó sẽ tạo độ chia phù hợp với dữ liệu, vẽ đường thắng qua các điểm, và đồ thị được tạo thành bởi việc nối các điểm này là đường nét liền, các thang chia dấu và số được tự động cập nhật, nếu cửa số figure đã tồn tại, lệnh plot xóa cửa số hiện thời và thay vào đó cửa số mới Ví dụ vẽ đồ thị hàm y = sinx trong đoạn [0, 27 ], ta thực hiện phân hoạch đoạn [0, 2z ] thành 30 điểm di liệu bằng hàm linspce trong MATLAB theo chiều ngang của đồ thị, các điểm này được chứa trong vecto x, sau đó tạo một vecto y là ham sin cua dữ liệu chứa trong x Lệnh vẽ được thực hiện như sau:
Hình 30 Vẽ đồ thị bằng lệnh plot
Lệnh plot cho phép vẽ đồng thời nhiều đồ thị trên cùng một hình vẽ bằng việc đưa thêm vào lệnh plot các cặp đối số tương ứng, các đồ thị được biểu diễn bang các màu khác nhau trên hình vẽ để tiện phân biệt Ví dụ biéu diễn hai đồ thị sinx và cosx trên cùng một hình.
Hình 31 Vẽ 2 đồ thị đồng thời
1.1.2 Kiéu đường, dấu và màu
Mặc định MATLAB chọn kiểu nét vẽ solid và màu blue cho đồ thị Ngoài ra MATLAB cho phép khai báo kiểu màu, nét vẽ theo yêu cầu ta cần hiển thị bang việc đưa vào lệnh plot một đối số thứ 3 sau mỗi cặp dit liệu của mảng Các đối số tùy chọn này là một xâu ký tự, có thé chứa một hay nhiều hơn theo bảng bên dưới.
Hình 32 Biểu diễn thuộc tinh đồ thị
Bảng 4 Bảng thuộc tính đường đồ thị
Màu Kiểu đường Đánh dấu
Tên Giá trị Tên Giá trị Tên Giá trị
Xanh da trời B |Nétliền - Dấu x X
Xanh lá cây G Hai chấm : Dấu cộng + Đỏ R Chấm vạch ơ Hoa thị *
Lục lam C Gach ngang Hình vuông S
Vàng Y Kim cương D Đen K Tam giác lên Vv
Trang WwW Tam giác xuống A
1.1.3 Đô thị lưới, hộp chứa trục, nhãn, chu thích
Dé hiện hay an các đường lưới trong đồ thị hiện tại MATLAB cung cấp cặp lệnh grid on, và grid off Mặc định MATLAB chọn lệnh an lưới grid off Thông thường trên mỗi hình vẽ đều có một khung trục tọa độ hình chữ nhật kiểu solid bao quanh gọi là hộp chứa trục, dé hiển thi hay an hộp chứa trục ta su dụng cặp lệnh box on va box off Ngoài ra ta có thé gan nhãn cho các trục tọa độ bang các lệnh xlabel, ylabel, và định tiêu đề cho đồ thi qua lệnh title Lệnh text cho phép ta có thé thêm nhãn hoặc một chuỗi kí tự vào bất kỳ vị trí nào của hình theo định dạng text(x, y,
>> title(Sine and Cosin Curve’);
Hình 33 Biểu diễn chú thích, ký hiệu
MATLAB cung cấp công cụ để có thé kiểm soát hoàn toàn hình dang và thang chia của cả hai trục đứng và ngang với lệnh axIs Các đặc tính cơ bản của lệnh axis được liệt kê trong bảng dưới đây.
Bảng 5 Bảng đặc tính cơ bản của hệ trục tọa độ
Axis([xmin xmax ymin ymax]) Thiết lâp các giá trị max, min của hệ trục
Axis auto Tra lại gia tri mặc định cho thang chia
Axis xy Sử dụng hệ tọa độ Descarters trong đó gốc tọa độ ở góc thấp nhất bên trái, trục ngang tăng từ trái qua phải, trục đứng tăng từ dưới lên trên.
Axis Ij Sử dụng hệ tọa độ ma trận, trong đó gốc tọa độ ở đỉnh góc trái, trục đứng tăng từ đỉnh xuong, trục ngang tăng từ trái qua phải.
Axis square Thiét lập đồ thị hiện tại là hình vuông so với mặc định là hình chữ nhật.
Axis equal Thiết lập thang chia giống nhau cho cả hai trục
Axis normal Tắt chế độ axis equal
Axis off Tắt bỏ chế độ nền trục, nhãn, lưới, và hộp, dấu Thoát bỏ chế độ lệnh title, và bất cứ lệnh label nao thay vào chê độ lệnh text va gtext.
Axis on Ngược lại lệnh axis off
1.1.5 Thao tác với đô thị Đề thêm các nét vẽ vào đồ thị, hoặc vẽ một đồ thi mới trong cùng figure, trong MATLAB dùng lệnh hold on Khi lệnh hold on được thiết lập hệ trục đã tồn tại không bị thay đổi khi ta tiếp tục gọi ham plot, nó sẽ thêm đồ thị mới vào hệ trục hiện tại Tuy nhiên nếu đữ liệu không phù hợp với hệ trục tọa độ cũ, thì trục được chia lại Thiết lập hold off sẽ bỏ đi cửa số figure hiện tại và thay vào đó bằng một đồ thị mới.
Ngoài ra một figure có thể chứa nhiều hơn một hệ trục Lệnh subplot(m, n, p) chia cửa số hiện tại thành một ma trận mxn cửa số nhỏ để vẽ đồ thị, và chọn p la cửa sô hoạt động Các đồ thị thành phan được đánh số từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, sau đó đến hàng thứ hai.
Hình 34 Hiển thị đa cửa sổ trên một figure 1.2 Đồ họa không gian
1.2.1 Vẽ đường trong không gian
Tương tự lệnh plot trong không gian hai chiều, lệnh plot3 rất mạnh về vẽ đường trong không gian ba chiều Lệnh plot3 cho phép chúng ta vẽ đường thăng, đường cong, xoăn ốc, gấp khúc tùy thuộc ma trận dữ liệu đầu vào Ngoài ra lệnh plot3 cũng cho phép chúng ta vẽ nhiều đồ thị đồng thời, và có các tùy chọn cho việc khai báo màu, tạo biểu tượng hoặc kiểu đường theo từng yêu cầu Lệnh plot3 có định dạng plot3(X1, Y1, Z1, S1, X2, Y2, Z2, S2, ), trong đó Xn, Yn, Zn là các vecto hoặc ma trận Sn là xâu ki tự tùy chọn khai báo mau, tạo biểu tượng, hoặc kiểu đường Ví dụ vẽ đường xoắn ốc x = sin(t), y = cos(t), z = t.
1.2.2 Đô thị bé mặt, lưới trong không gian
MATLAB định nghĩa bề mặt lưới bằng các điểm theo hướng trục z ở trên đường kẻ ô hình chữ nhật lên mặt phẳng (Oxy) Sau khi nối các điểm gan kề với nhau được một đồ thị trông như một mạng lưới với các mắt lưới là các điểm dữ liệu. Đề vẽ hàm hai biến z = f(x, y) ta xây dựng ma trận dữ liệu X, Y sao cho X là ma trận có các hang của nó là bản sao của vecto x, va ma trận Y có các cột của nó là bản sao của vecto Y, trong MATLAB hàm meshgrid cung cấp cho ta chức năng này Cặp ma trận X, Y sau đó được dùng dé ước lượng ma trận giá tri của hàm hai biến z dùng đặc tính toán học về mảng của Matlab Ví dụ vẽ hàm z = x” + yŸ
Hình 36 Đồ thị lưới trong không gian
MATLAB định một biểu đồ màu như là một ma trận có ba cột, mỗi hàng của ma trận định nghĩa một màu riêng biệt sử dụng các số trong dai 0 và 1 Những số này chỉ ra giá trị RGB, độ nhạy của các màu thành phan đỏ, xanh lá cây, và xanh da trời trong một màu do các thành phan đó tạo ra.
77 Đỏ Xanh lá cây Xanh da trời Màu
Ham plot3 không dùng bang mau trên, chúng dùng các màu liệt kê trong bảng kiểu đường, điểm đánh dấu, màu của hàm plot trong không gian hai chiều. Phần lớn bang màu được sử dụng cho các hàm vẽ mặt, lưới như mesh, surf, fill3, contour và các biên của nó.
Bộ môn hình học ở nhà trường phé thông được chia thành hai phan là hình học phẳng 2D và hình học không gian 3D Hình hoc phổ thông được nghiên cứu theo ba phương pháp: phương pháp tiên đề, phương pháp vecto và phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ cho phép giải tích hóa, đại số hóa hình học Tức là cho phép chuyển những khái niệm hình học cũng như những mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số Mỗi điểm sẽ được biểu diễn bang một bộ số thực duy nhất trong hệ trục tọa độ và ngược lại, còn các đường và mặt sẽ được biểu diễn tương ứng với một phương trình, việc xác định vị trí, giao điểm, khoảng cách giữa các đối tượng này sẽ thông qua việc giải các phương trình đại số hay biểu thức tính toán dai sé.
Chính vì lí do này mà phương pháp tọa độ được coi là phương pháp hiện đại.
Phương pháp toa độ trong hình hoc phang c c.ccccscsscesseesessesssessessessesssessesseesees 78 1 Hệ tọa độ Descartes —— 78 2 Vecto trong mặt phăng . + x11 91191191101 ng ng nh ng ry 78 2.1 Tọa dO V€CO - - LG LH HH ng ng KH ket 78 2.2 Các phép toán V€CẲO . SH HH HH Hệ 79 Đường thắng trong mặt phăng
3 Đường thang qua M(xo;yo) có hệ số góc k: y = k(x - x9) + yo
3.4 Khoảng cách trong mặt phẳng
3.4.1 Khoảng cách giữa hai điểm d(Mo, M)) = MoM, = Vv (x, —Xx,)° + (y, ~~ Yo) ( Mo(Xo, Yo)s M(x), yi)).
3.4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thang
Khoảng cách từ điểm M(xo, yo) tới đường thang (A) Ax + By + =0 là:
3.5 Sự tương giao trong mặt phẳng d(M,A)= (Aˆ+B #0).
3.5.1 Tương giao giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng
Cho hai đường thắng: A, qua điểm M¡(x¡, y¡) có vecto chỉ phương u, (a,;b,), va A, qua điểm M(xằ, y2) cú vecto chỉ phương u,(a,;b,) Khi đú A,, A, cú 3 vi trớ tuong d6i xac dinh nhu sau : n,u, =0 a,b, —a,b, =0
3 A, A A, = {Mo(Xo, yo)} © na, #0 & ajby—ayb, 40 xX.= a, (DX, ay, ) a, (b,x, đ;Y,
A + oh ba, — ab, 0 tọa độ giao diém Mp: ˆ y = b, (b,x, a, y;) b, (b,x, a, Mì ) ° ba, ~ a,b,
(nj, n;tương ứng là pháp tuyến của đường thang A,, A,)
4 Phuong pháp tọa độ trong hình học không gian
4.1 Hệ trục tọa độ trong không gian
4.1.1 Hệ tọa độ Descartes trong không gian
Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một Goi i, j,k lần lượt là các vecto don vị trên các trục x’Ox, y Oy, z’Oz.
Hình 39 Hệ tọa độ Descartes trong không gian
Hệ ba trục trên được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) trong không gian Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Hệ tọa độ cầu là một hệ tọa độ trong không gian 3 chiều mà vị trí một điểm
M bat kỳ được xỏc định bởi bộ 3 số r, ý, ỉ. r : độ dài của vecto bán kính OM ¢: góc giữa hình chiếu của vecto OM lên mặt phẳng (Oxy) và chiều đương trục Ox
6: góc giữa vecto OM và chiều đương trục Oz.
4.1.3 Quan hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ Cầu
Hình 40 Quan hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ Cầu x=rcos@sind y=rsingdsinOd (0 Â,: X = Xmin Khi đó vi trí của đường thăng A được xác định như sau :
Nếu yy e[y,„:y„„] đoạn thang xén là đoạn AB.
Nếu yy #[Y,„:Y„„] đoạn AB không thuộc cửa số xén.
Nếu x, e[x,„.;x„„] đoạn thắng xén là đoạn CD.
Nếu Xy #[X„„„:X„„„| đoạn CD không thuộc cửa số xén min?
Trường hợp 3: (A —ơ// A,) va (A —⁄/ A,) khi a,b #0 a Xác định giao điểm của A với các cạnh cửa số xén we AY pin + OX) — AY
ANA, ={N}=> N: DX max = DX nox + ayo Yu = a x.= FY max + bx, — ayy
= a b Xác định vi trí của các điểm trên đường thang A
Goi (d) là đường thắng đi qua Mo(Xo; Yo) có vecto chỉ phương u(a;b) VỊ trí của điểm K(x); y¡) trên đường thang (d) được xác định là giá trị của tham số T thỏa mãn phương trình:
Từ (*) ta suy ra: T=—4 (*) y GP M,Kz C*) c Ap dụng xác định vị tri của các điểm trên đường thang A Áp dụng (**) ta tính được lần lượt vị trí của các điểm M, N, P, Q trên đường thắng A thông qua dãy giá trị :
Tiến hành sap thứ tự dãy giá trị T(M), T(N), T(P), T(Q) Gia sử sau khi sap thứ tự, dãy có thứ tự như sau: T; < Tạ < Tạ < Ty.
Khi đó hai điểm I, J nằm ở giữa ứng với hai giá trị tham số T>, Ts:
Nêu đoạn thăng IJ thuộc vùng xén, ngược lại đoạn thang
IJ không thuộc vùng xén.
