Một số bài toán bất đẳng thức thi học sinh giỏi lớp 9 và tuyển sinh vào lớp 10 chuyên

Tài liệu tổng hợp những bài toán cơ bản dành cho phần chung của các môn và phần nâng cao dành cho các lớp chuyên Tin và chuyên Toán. Đây là lại liệu rất có ích cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là việc nghiên cứu phát triển bài toán.

Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC (Cần file Word, liên hệ: 0905414206) Cấu trúc gồm 4 phần:

* Một số bài toán cơ bản (Thi chung cho tất cả các môn)

* Một số bài toán cơ bản (Dành cho thi chuyên Tin) * Một số bài toán nâng cao (Dành cho thi chuyên Toán)

* Một số bài toán nâng cao (Dành cho thi HSG)

A MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUNG) Bài 1.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số thực không âm , ,x y z thỏa mãn xy yz zx  2023 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P6x2 6y2  z2

  

Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 4

0,25

Bài 3.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn x0, y 0, z và 2 x y z   Tìm giá trị lớn nhất 4.của biểu thức Hxyz.

xyx yz

zx y z

     

   

Vậy giá trị lớn nhất của H bằng 2

0,25

Bài 4.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho hai số thực x y, thỏa mãn x3; y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3.

Bài 5.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

+

+

222

Bài 6.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2017-2018)

Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 32

2y yzP xy xz 

+ Áp dụng: a b,0 ta có

2a b

ab  , dấu bằng xảy ra khi a b

(3 )

2y y z

Cho biểu thức: A 4 x 2x 2

Bài 9.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)

Cho a, b thỏa điều kiện: 0 ≤ a ≤ 2 ; 0 ≤ b ≤ 2 và a + b = 3 Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 5

Cách 1:

a2 + b2 = (a + b )2 - 2ab = 9 - 2ab

Do: 0 a2 ; 0  b 2 => ( 2 - a)(2 - b ) 0 => ab2 Nên: a2 + b2 9 - 4 = 5

Cách 2:

Ta có a = 3 – b nên a2 + b25 b2 - 3b + 2 0(b - 1)(b - 2)  0

Do giả thiết: a = 3 - b 2 và 0  b 2 => 1  b 2 Nên (b - 1)(b - 2)  0 Vậy a2 + b2 5

B MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUYÊN TIN) Bài 1.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn a b c  6 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca   b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn a b c  6

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca   0,5 Ta có: a2  b2 c2 ab bc ca  , dấu “=” xảy ra khi a b c  0,25

36 a b c  a b c 2 ab bc ca  3 ab bc ca 

12S ab bc ca

     12

  3

  .Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x;

y khác 0 Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0

0,25

Cách 2: Đặt t x y

Bất đẳng thức đã cho trở thành t2    3t2 0  t1t20 (*) 0,25 Với t2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25 Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25

Bài 3.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 1 1 1

ab bccaa b c

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Vậy Min P=3 0,25 Bài 4.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c  2020 Chứng minh rằng

0,25

0,25 Tương tự suy ra 4 2 4 ; 4 2 4

   

1 1 3 13b c 16 b c

  

4 1 3 13b c 4 b c

Tương tự 4 1 3 13c a 4 c a

     

Cộng theo vế thu được kết quả

( Không cần đánh giá dấu bằng xảy ra vẫn cho điểm tối đa ) 0,25 Bài 5.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho ba số thực dương x y z, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đẳng thức xảy ra khi

a b

a b

a b 

Không mất tính tổng quát, giả sử x  y z 0.

x y z

maxT khi ( ; ; ) ( ; ;0)3 32 2

x y z hoặc ( ; ; ) (0; ; )3 32 2

Dấu bằng xảy ra khi: 3, 02

x y z

maxT khi ( ; ; ) ( ; ;0)3 32 2

x y z hoặc ( ; ; ) (0; ; )3 32 2

Bài 2.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 3.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz zx xyz   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H 2 2 2 2 2 2

0,25

Chứng minh được ( )2

3a b c

Thật vậy: ()2 222

3a b c

ab bc ca      a b  b c  c a  (đúng)

ab bc ca Do đó H 12 Dấu bằng xảy ra khi 1

a b c   hay x  y z3 Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 1

2 0,25 Bài 4.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

0,25

Bài 5.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1.

Bài 6.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)Cho ba số thực dương a b c Chứng minh rằng: , ,

xy yz zx   y zx z xy x yz  xyz x y z   ()29xy yz zx

0.25

Cách khác:

0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1  (1 – a)(1 – b) ≥ 0  1 + ab ≥ a + b

 c + abc ≥ ca + bc Tương tự: b + abc ≥ ab + bc a + abc ≥ ab + ca

Cộng 3 bất đẳng thức vế theo vế ta có đpcm

Bài 9.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2015-2016)

Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z  ( xy + yz + zx)

Ta có xy yz xz (x y z)2 (x2 y2 z )22

Do đó P x y z (x y z)2 (x2 y2 z )22

 ( chẳng hạn x = 2; y = 2; z = 1)

0.25

Bài 10.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2014-2015)

Trong hệ trục Oxy có đường thẳng (d): y = 2014  x cắt trục Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B Một điểm M( x; y) di động trên đoạn AB (M không trùng với A và B), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1007

Vậy GTNN của P là 2 1007

0.25

Bài 11.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)Cho hai số x và y thỏa mãn:

GTNN của xy là 1 Khi (x = 1; y =1) hoặc (x = 1; y = 1) 0.25 D MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO (HSG 9)

x y   x  x y x y  xy y  (1) 2 3 2 2 3

xy x y   x y x y xy  (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: x43x y3 4x y2 23xy3y4  0  x44x y22 y4 3xy x 2y2 (3) Đẳng thức xảy ra khi x y

             

0,25

Do đó P M N     6 3 33

P xảy ra khi M  và 6 N  , hay 3 x y z   1.Vậy giá trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x y z   1.

T khi ( ; ; ) (1;0;0)x y z  hoặc ( ; ; ) (0;1;0)x y z  hoặc ( ; ; ) (0;0;1)x y z  0,5

2 

maxT khi ( ; ; ) (1;0;0)x y z  hoặc ( ; ; ) (0;1;0)x y z  hoặc

Bài 3.(HSG lớp 9 – năm học 2021-2022)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi x   y z 1

A   (Dấu bằng xảy ra khi a b c  hay x y z  1) Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1

0,25

Nhận xét: Đặt x a y b z x a b c 3,  3,  3 ( , , 0,abc1)

       

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 4 2 khi 1.2a b  (Có cơ sở kết luận mới cho điểm phần này)

0,25

Bài 6.(HSG lớp 9 – năm học 2018-2019)

Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn 1 1 1 32x 1 2y 1 2z 1

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu

- Áp dụng (a b )2 4 ,ab ta có: 2

   (dấu bằng xảy ra khi x y z  ) 0,25

 b2 +ac ≤ ab+bc (*)  a b 1 a

b    (chia 2 vế (*) cho bc) c cvà b c 1 c

a b   ( chia 2 vế (*) cho ab) a

0,25 0,25  a b b c a c 2 2(a c)

b      c a b c a c  a 0,25 Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh 2 2(a c)

c a

2a c

c   (2) a 0,25 Ta có: 2 ≥ a ≥ c ≥ 1  1 x a 2

(2)  x+1x  5

2  2x25x+2  0  (x2)(2x1)  0 ( đúng vì 1  x 2(2) được chứng minh  (1) được chứng minh

Dấu “=”xảy ra khi a=2, b=c=1 hoặc a=b=2, c=1 và các hoán vị của nó

ac a

 

Tương tự :

ba b

 

cb c

 

2y

   thì a = b = 2c nên A = 8B = 24 Vậy GTNN của A là 24 khi a 5, b 5, c 5

0,25