Một số bài toán bất đẳng thức thi học sinh giỏi lớp 9 và tuyển sinh vào lớp 10 chuyên

Tài liệu tổng hợp những bài toán cơ bản dành cho phần chung của các môn và phần nâng cao dành cho các lớp chuyên Tin và chuyên Toán. Đây là lại liệu rất có ích cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là việc nghiên cứu phát triển bài toán.

Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC (Cần file Word, liên hệ: 0905414206)

Cấu trúc gồm 4 phần:

* Một số bài toán cơ bản (Thi chung cho tất cả các môn)

* Một số bài toán cơ bản (Dành cho thi chuyên Tin)

* Một số bài toán nâng cao (Dành cho thi chuyên Toán)

* Một số bài toán nâng cao (Dành cho thi HSG)

A MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUNG) Bài 1.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số thực không âm , ,x y z thỏa mãn xy yz zx  2023 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P6x2 6y2  z2

3xy 3xz 3yz 3.2023 6069

Dấu bằng xảy ra khi 17

51

x y z

 



 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 6069 0,25 Bài 2.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Cho ba số thực dương a b c thỏa mãn , , a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

Q 2a bc  2b ca  2c ab

2

a bc  a b c a bc    a b a c     

0,25 Tương tự, ta có :

2

2

; 2c ab (c a  ) (2 c b)

Suy ra

3

a b c  

Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 4

0,25

Bài 3.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn x0, y 0, z và 2 x y z   Tìm giá trị lớn nhất 4 của biểu thức Hxyz

Lại có z     2 4 ( x y ) 2     x y 2. Suy ra H 2 

Dấu bằng xảy ra khi 2 1

2 4

x y

x y

x y z

z

x y z





 



    

   



Vậy giá trị lớn nhất của H bằng 2

0,25

Bài 4.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho hai số thực x y, thỏa mãn x3; y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

T 21 x 3 y

      

x

          

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

7

7 21

21

y    ; 3 2 3 2

   

Mà x ; 3 y nên 3 T 21 1 3 1 14 2 2 3 62 3 80

             

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 80 khi x  y 3

0,25

Bài 5.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

ab

c b a 2

2 2

2  

+

bc

a c b 2

2 2

2  

+

ca

b a c 2

2 2

2  

> 1

1

( ) 2 0

(

c a b

(

a b

 

a b c c a b c a b

0,25

Vì a;b;c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b > c, suy ra a + b –c >0

Tương tự ta có c - a + b > 0 và c + a –b >0

Nhân vế với vế ba bất đẳng thức nói trên ta có

( a + b –c)( c-a+b) (c + a –b)>0, (2) đúng Suy ra (1) đúng (đpcm)

0,25

Bài 6.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2017-2018)

Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3

2 3

2

y yz

P xy xz 

+ Áp dụng: a b ,  0 ta có

2

a b

ab  , dấu bằng xảy ra khi a b 

( 3 )

2

y y z

1 4. ( 3 ) 1 2. ( )

x  y  z y  y z 

Suy ra P  3.

0,25

2

3

y y z

x y z

 







Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 khi x y z    1

0,25

Bài 7.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2016-2017)

Cho hai số thực x; y thỏa mãn 0 x 1, 0 y 1    và x y 3xy 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y24xy

x ≤ 1; y ≤ 1 nên x  1y    1 0 xy    1 x y

Mà x + y = 3xy nên 1  1 3

3 x y      x y x y 2

4



P x   y  xy  x y   xy  x y   x y   x y   

1

  x y      x y  P





0.25

0.25 Bài 8.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2015-2016)

Cho biểu thức: A 4 x 2

x 2

x



  , với x > 0

a) Rút gọn biểu thức A

b) Thực hiện phép tính để tính giá trị của A khi x 3 2 2  

c) Tìm x để A = x + 1

Bài 9.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)

Cho a, b thỏa điều kiện: 0 ≤ a ≤ 2 ; 0 ≤ b ≤ 2 và a + b = 3

Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 5

Cách 1:

a2 + b2 = (a + b )2 - 2ab = 9 - 2ab

Do: 0 a2 ; 0  b 2 => ( 2 - a)(2 - b ) 0 => ab2

Nên: a2 + b2  9 - 4 = 5

Cách 2:

Ta có a = 3 – b nên a2 + b2 5 b2 - 3b + 2 0(b - 1)(b - 2)  0

Do giả thiết: a = 3 - b 2 và 0  b 2 => 1  b 2

Nên (b - 1)(b - 2)  0 Vậy a2 + b2  5

B MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUYÊN TIN) Bài 1.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn a b c  6

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca  

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn a b c  6

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca   0,5

Ta có: a2  b2 c2 ab bc ca  , dấu “=” xảy ra khi a b c  0,25

36 a b c  a b c 2 ab bc ca  3 ab bc ca 

12

S ab bc ca

    

12

S  khi a b c   2

Vậy giá trị lớn nhất của S là 12

0,25

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

T

Ta có: b2 4 4b, dấu “=” xảy ra khi b2

4

a a ab a ab a ab

Tương tự ta có: 24

b

4

c

0,25

4

ab bc ca ab bc ca

a b c

T

“=” xảy ra khi a b c  2

Từ kết quả câu a) ta có: ab bc ca  12, dấu “=” xảy ra khi a b c  2

Do đó: 4 6 12 3

4

4 T

  3

4

T  khi a b c  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 3

4

0,25

Bài 2.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Chứng minh rằng

  với mọi số thực x; y khác 0

Cách 1:

3 4

4 3

x y

x y x y xy x y do x y



0,25

x 2 y 2x 2 y 2 xy 2 xy x 2 y 2 xy 0 x 2 y 2 xy x 2 y 2 2 xy 0

2

3

0 (*)

  .Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x;

y khác 0 Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0

0,25

Cách 2:

Đặt t x y

  Ta có

2

t

Theo Cô-si 2 2 2

2

2

t

t





Bất đẳng thức đã cho trở thành t 2      3 t 2 0  t 1 t  2 0 (*) 0,25 Với t2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25 Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng 0,25 Bài 3.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn a b c 1 1 1

a b c

      Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pab bc ca 

Cách 1:

2

1 1 1

1 1 1

abc

a b c

P ab bc ca abc

 

 

2

2 1 2 3

abc

ab bc ca

a b c

0,25

0,25

0,25

Dấu bằng xảy ra khi a b c    1 Vậy Min P=3 0,25 Cách 2:

Biến đổi giả thiết 1 1 1 2 2 2

CM được BĐT  2  

3

x y z   xy yz zx 

0,25

0,25

Áp dụng: x ab y bc z ca ,  ,  thu được P 2  3 P   P 3P  0 0,25

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Vậy Min P=3 0,25 Bài 4.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c  2020 Chứng minh rằng

a b  b c  c a   a b c

+ Thay số 2020 bởi a b c 

ab ac b c

a b  a b c a b  a b ab ac 

0,25

0,25 Tương tự suy ra 4 2 4 ; 4 2 4

Mặt khác chúng minh được 3b c 3 1 16

b c

   

1 1 3 1

3b c 16 b c

  

4 1 3 1

3b c 4 b c

Tương tự 4 1 3 1

3c a 4 c a

   

  

3a b 4 a b

   

Cộng theo vế thu được kết quả

( Không cần đánh giá dấu bằng xảy ra vẫn cho điểm tối đa ) 0,25 Bài 5.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho ba số thực dương x y z, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

4

0,25

4 2 ( )2 2 4 1 2 ( )2 2 4( 2)2

4



Suy ra A1 (dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x  ) y z

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x  y z

0,25

Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski ta có:

(2 y x )(2 z x ) ( x ) ( y ) ( y )   ( z ) ( z ) ( x ) 

xy xy

( Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi x y y x y z

z  z  x    )

yz

Suy ra: A  1. Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x  y z

Bài 6.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a  b ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ab

A a b

a b

  



Ta có: 2 a b  a  b  ab  ab  4

10

a b

Suy ra: A  10

0,5

Đẳng thức xảy ra khi

4

4 4

a b

a b

a b

 







Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a b   4

0,25

C MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO (TOÁN CHUYÊN) Bài 1.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số thực không âm x y z, , thỏa mãn x y z  3 và biểu thức

x kyz y kzx z kxy

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T khi k  2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T khi k  1

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T khi k  2 0,5 Khi k 2,ta có T  1 x 2  2 yz  1 y 2  2 zx  1 z 2  2 xy

0,25

Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1 Vậy maxT  3 3 khi x    y z 1 0,25 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T khi k  1 0,5 Khi k 1,ta có T  x 2  yz  y 2  zx  z 2  xy 

Không mất tính tổng quát, giả sử x  y z 0

- Nếu y z 0 thì T  x 3

- Nếu y z, không đồng thời bằng 0, ta có: 2 1 2

2

x yz

z x



2

2

y zx

y z



2

2

z xy

y z



1

2

T

1

(2 2 3 )

2

T

+ Vì x  y z 0 nên yzxz z, 2 zy

Do đó 1 (2 2 3 ) 2 2

2

0,25 Dấu bằng xảy ra khi 3, 0

2

x y z

2



maxT khi ( ; ; ) ( ; ;0)3 3

2 2

x y z  hoặc ( ; ; ) (0; ; )3 3

2 2

x y z  hoặc ( ; ; ) ( ;0; ).3 3

x y z 

0,25

* Cách khác: Không mất tính tổng quát, giả sử x  y z 0

x yz  x xz x x z     

1 y  zx  1 z  xy  1  1 ( y  zx ) (  z  xy )   2( y  zx z   xy )

x y z

0,25

Dấu bằng xảy ra khi: 3, 0

2

x y z

2



maxT khi ( ; ; ) ( ; ;0)3 3

2 2

x y z  hoặc ( ; ; ) (0; ; )3 3

2 2

hoặc ( ; ; ) ( ;0; ).3 3

x y z 

0,25

Bài 2.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

4 x y 4 y z 4 z x

P

3

0,25

3

3

3

0,25

Ta có: ( 2 )22 ( 2 )22 ( 2 )22 4(2 2 2)2 22( 2 2)2

Ta đi chứng minh: 22( 2 2)2 2

6

x y z

   (**)

6

x y z

3

xy yz zx   là bất đẳng thức đúng vì xy yz zx  3 (3 xyz)2 3 (bđt Cô si)

0,25

Từ (*) và (**) suy ra 4 3 1.2 2 1

P      P (Dấu “=” xảy ra khi x  y z 1)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là bằng 1

2 0,25

3 1 1 1 1

4 4 2 x 1 2 y 1 2 z 1

0,25

Đặt x a y b z c 3,  3,  3 Khi đó a b c , ,  0 và abc  1

0,25

1

Suy ra P 3 1 1

   (Dấu “=” xảy ra khi x  y z 1)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là bằng 1

2 0,25 Cách khác:

Ta có 4    x 2 y 2 x 2   1 y 2       1 2 2 x 2 y 2 2( x   y 1)

Suy ra

4 x y  2 x y 1

Tương tự và dẫn đến 1 1 1 1

P



           

Q

Đặt x  a y 3 ;  b z 3 ;  c 3 Vì xyz = 1 nên abc = 1 Khi đó

Q

Ta có a 3    b 3 1 ab a b (   ) abc  ab a b c (   ) suy ra 3 13 1

a  b  ab a b c  Tương tự và dẫn đến có Q 1 1 1 1 1 a b c 1



           Dấu

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Do đó 1.1 1

P   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy MaxP = 1

2khi x = y = z = 1

Bài 3.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz zx xyz   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H 2 2 2 2 2 2

Từ giả thiết, suy ra : xy yz zx xyz 1 1 1 1

1

H

Đặt a 1,b 1,c 1

   , khi đó a b c , ,  0 và a b c    1

H

a b c

1 9

0,25

3

ab bc ca

Suy ra H 1 3( )

2 ab bc ca

0,25

Chứng minh được ( )2

3

a b c

Thật vậy: ( )2 2 2 2

3

a b c

ab bc ca      a b  b c  c a  (đúng)

3

ab bc ca    Do đó H 1

2

 Dấu bằng xảy ra khi 1

3

a b c    hay x    y z 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 1

2 0,25 Bài 4.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

H  xy yz zx x y

3

H  xy x y yz  zx xy(3 x) yz2zx2 xy y z(  ) yz2zx2

xy2yz2zx2 xyz

+ Không mất tính tổng quát giả sử 0 x   , khi đó (y z x y z y x )(  ) 0.

0,25

H xy yz zx xyz x y xyz yz xy xyz x y zx 

y x z x y yz xy zx

       y x z(  )2x y y z (  ) x y z(  )

y x z x y z y x y x z

       (Đẳng thức xảy ra khi y z hoặc y x )

0,25

3

y x z  y x z x z         

(Đẳng thức xảy ra khi 2 y x z)

0,25

Suy ra H  , dấu bằng xảy ra khi 4 x  y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của H bằng 4 khi x  y z 1

(Phải có cơ sở lập luận phần này mới cho điểm)

0,25

Bài 5.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

P

Ta có: 1  a2  b 2   5 a 2  b 2  2 a   6 2 ab  2 a  6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b  (không nêu cũng được) 0,25

2 1

0,25

1 2 2 5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b   1 (không nêu cũng được)

Tương tự, xét hai biểu thức 1 2 2 5 1 2 2 5

,

    ta suy ra:

P

0,25

ab a  bc b  ca c 

      Do đó: P  5

P      a b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 khi a b c    1

0,25

Bài 6.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho ba số thực dương a b c Chứng minh rằng: , ,

Với ba số thực dương a b c ta có: , ,

a2 b2 b2 c2 c2 a2 3(a2 b2 c2)

0,25

0

0,25

 

            

0 (2)

ac c a bc c b ab b a

a b b c a b a c a c b c

Với ba số thực dương a b c ta có (2) luôn đúng Vậy (1) luôn đúng (đpcm) , , 0,25 Bài 7.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2017-2018)

Cho ba số thực dương x y z thỏa mãn    3, , x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 3  3  3

P x yz y zx z xy

Ta có: ( a b c   ) 2  3( ab bc ca   ) với a, b, c là 3 số thực (dấu bằng xảy ra khi a = b = c)

Áp dụng bất đẳng thức trên với a xy b yz c zx  ,  ,  (x, y, z > 0) ta được:

2

3

xy yz zx

xy yz zx   y zx z xy x yz  xyz x y z     ( )2

9

xy yz zx

0,25

Ta có: 2 2 2 ( )2 2 2 2

9

xy yz zx

1( )( )( 2 2 2)

9 xy yz zx xy yz zx x y z

0,25

3

3

x y z

P      3 x y z 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 khi x    y z 1 0,25 Bài 8.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2016-2017)

Cho ba số thực a, b, c sao cho 0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1 và 0 < c ≤ 1 Chứng minh:

Từ 0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1 => (a‒1)( b ‒ 1) ≥ 0 0.25

1 ≥ a + b ‒ ab 1 1 1 1

Tương tự 1 1 1 1

bc  b c và 1 1 1 1

ac  a c Do đó 1 1 1 2 1 1 1 3

       a b c 3 abc  2ab bc ca   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1

0.25

Cách khác:

0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1  (1 – a)(1 – b) ≥ 0

 1 + ab ≥ a + b

 c + abc ≥ ca + bc

Tương tự: b + abc ≥ ab + bc

a + abc ≥ ab + ca

Cộng 3 bất đẳng thức vế theo vế ta có đpcm

Bài 9.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2015-2016)

Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x + y + z  ( xy + yz + zx)

Ta có xy yz xz (x y z)2 (x2 y2 z )2

2

Do đó P x y z (x y z)2 (x2 y2 z )2

2

1

Suy ra P 1(x2 y2 z2 1) 1(9 1) 5

Vậy Pmax = 5 khi và chỉ khi x y z 1 02 2 2

   





 ( chẳng hạn x = 2; y = 2; z = 1)

0.25

Bài 10.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2014-2015)

Trong hệ trục Oxy có đường thẳng (d): y = 2014  x cắt trục Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm

B Một điểm M( x; y) di động trên đoạn AB (M không trùng với A và B), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2014 2014

P

Ta có A(2014 ; 0) và B( 0; 2014) theo giả thiết thì 0 < x, y < 2014 0.25

Ta có

(1)

0.25

Lại có

Từ (1) và (2) ta có 2 2014( 1 1 ) 2014( 2 ) 2014 2

2

P



0.25

Suy ra 2014 2 1007

2014 2

P   , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1007

Vậy GTNN của P là 2 1007

0.25

Bài 11.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)

Cho hai số x và y thỏa mãn:

xy x y

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy

4 4

4 4

Đăt t = xy thì (*) t2  2013t 2014 ≤ 0  (t+1)(t2014) ≤ 0  1 ≤ t ≤ 2014 0.25 GTLN của xy là 2014 khi x = y =  2014

GTNN của xy là 1 Khi (x = 1; y =1) hoặc (x = 1; y = 1) 0.25

D MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO (HSG 9) Bài 1.(HSG lớp 9 – năm học 2023-2024)

Cho ba số thực dương x y z thỏa mãn , , x2y2z23 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

            

 2 2  2 2  2 2 xy yz zx

P xy x y yz y z zx z x

 Xét M xy x 2 y2  yz y2z2 zx z2 x2:

Ta có:  4 4 3 2 2 3 4

x y   x  x y x y  xy y  (1)

 2 3 2 2 3

xy x y   x y x y xy  (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: x43x y3 4x y2 23xy3y4  0

 x44x y2 2 y4 3xy x 2y2 (3) Đẳng thức xảy ra khi x y

0,25

Tương tự: y4 4y z2 2 z4 3yz y 2z2 (4) Đẳng thức xảy ra khi yz

4 2 2 4  2 2

z  z x x  zx z x (5) Đẳng thức xảy ra khi z x 0,25 Cộng vế theo vế (3), (4) và (5), ta được:

2

2

2.3

6 3

M

   Đẳng thức xảy ra khi x y z   1

0,25

 Xét N xy yz zx

   :

Ta có:

2

 

   

        

     

0,25